aula quinze precalculo2016 aluno
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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
Email:
PRÉ-CÁLCULO
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AULA
QUINZE
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FUNÇÕES RACIONAIS
Definição de Função Racional
Uma função racional é qualquer função que
pode ser especificada por uma regra escrita
como f(x) = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são
funções polinomiais.
Normalmente, é assumido que a expressão
racional P(x) / Q(x) está na forma de termos de
menor grau, ou seja, P(x) e Q(x) não tem
fatores em comum.
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplos
*,12
) fDdomíniocomx
xfa
.3,9
)2
2
xxgDdomíniocomx
xxgb
hDdomíniocom
x
xxxhc ,
4
41)
2
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FUNÇÕES RACIONAIS
Gráfico de uma função Racional
O gráfico de uma função racional é analisado em
termos de simetria, interceptos, assíntotas e
comportamento do sinal da função.
1) Se Q(x) não tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x) é
uma curva suave para todo real x.
2) Se Q(x) tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x)
consiste de curvas suaves em cada intervalo aberto
que não inclui um zero. O gráfico tem assíntotas
verticais em cada zero de Q(x).
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FUNÇÕES RACIONAIS
Assíntotas Verticais
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico
de uma função se, à medida que x se aproxima
de a pelos valores maiores ou menores que a, o
valor da função cresce acima de quaisquer
valores positivos ou negativos.
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 1
Explique por que a reta x = 2 é uma assíntota
vertical do gráfico
.2
3
xxf
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SOLUÇÃO
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FUNÇÕES RACIONAIS
Assíntotas Horizontais
A reta y = a é uma assíntota horizontal do
gráfico de uma função f se, à medida que x
cresce indefinidamente para valores positivos
ou negativos, f(x) se aproxima do valor a.
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Encontre as assíntotas horizontais, se houver,
de
5
12
x
xxf
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SOLUÇÃO
Como o grau do numerador é igual ao grau do
denominador (n = m), temos que a reta
y=an/bm é uma assíntota horizontal do gráfico
de f.
Aqui an=2 e bn=1, então a reta y = 2/1 é uma
assíntota horizontal
y = 2
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FUNÇÕES RACIONAIS
Assíntotas Oblíquas
Seja
Então, se n=m+1, f(x) pode ser reescrito usando
a divisão longa (capítulo 14) na forma:
0001
01
mnm
m
n
n beacombxbxb
axaxa
xQ
xPxf
xQ
xRbaxxf
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FUNÇÕES RACIONAIS
Onde o grau de R(x) é menor que o grau de
Q(x).
Logo, se
é uma assíntota oblíqua do gráfico da função.
baxyretaae
baxxfxoux
,
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Encontre a assíntota oblíqua do gráfico da
função
.2
12
3
xx
xxf
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SOLUÇÃO
Usando o procedimento da divisão longa, temos:
.
11
,,
.2
131
2
funçãodagráfico
doolíquaassíntotaumaé
xyretaaexxf
xouxseLogo
xx
xxxf
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FUNÇÕES RACIONAIS
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Esboce o gráfico de .12
xxf
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Esboce o gráfico de
SOLUÇÃO
1 – O gráfico não tem interceptos x ou y. Como
f(-x) = - f(x), a função é ímpar e o gráfico tem
simetria em relação à origem.
2 – Já que 0 é o único zero do denominador, o
eixo y, x=0, é uma assíntota vertical.
.12
xxf
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FUNÇÕES RACIONAIS
3 – Como o grau do denominador é maior que
o grau do numerador, o eixo x, y = 0, é a
assíntota horizontal.
4 – Uma vez que não há solução para a
equação -12/x = 0, o gráfico não intercepta a
assíntota horizontal.
5 – Se x é negativo, f(x) é positivo. Se x é
positivo, f(x) é negativo. Logo,
xfexfx
xlim
00
lim
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FUNÇÕES RACIONAIS
O gráfico fica:
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Gráfico feito no Matlab
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 2
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
42
x
xxf
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SOLUÇÃO
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 3
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
4
122
x
xxf
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SOLUÇÃO
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 4
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
2
122
xx
xxf
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SOLUÇÃO
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 5
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
8
33
x
xf
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SOLUÇÃO
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 6
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
4
42
2
x
xxf
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SOLUÇÃO
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 7
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
4
2
x
xxf
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SOLUÇÃO
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FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 8
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
4
22
x
xxf
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SOLUÇÃO
![Page 45: Aula quinze precalculo2016 aluno](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051502/58ecf12b1a28ab784c8b45df/html5/thumbnails/45.jpg)
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 9
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
14
2532
2
x
xxxf
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SOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 10
Suponha que o custo de produção de 50
unidades de certa mercadoria seja de R$
27.000,00, enquanto o custo para produzir
100 unidades da mesma mercadoria seja R$
38.000,00. Se a função custo C(x) é
assumida como sendo linear, encontre a
regra para C(x). Use a regra para estimar o
custo da produção de 80 unidades da
mercadoria.
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EXERCÍCIO 11
Um campo é delimitado no formato de um
retângulo no qual um lado é formado por um
rio de percurso retilíneo. Se 100 metros
estão disponíveis para o cercado, determine
as dimensões do retângulo de máxima área
possível, sendo que um dos lados do
retângulo é formado pela margem deste rio.
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EXERCÍCIO 12
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EXERCÍCIO 13
![Page 51: Aula quinze precalculo2016 aluno](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051502/58ecf12b1a28ab784c8b45df/html5/thumbnails/51.jpg)
EXERCÍCIO 14
![Page 52: Aula quinze precalculo2016 aluno](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051502/58ecf12b1a28ab784c8b45df/html5/thumbnails/52.jpg)
EXERCÍCIO 15
![Page 53: Aula quinze precalculo2016 aluno](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051502/58ecf12b1a28ab784c8b45df/html5/thumbnails/53.jpg)
EXERCÍCIO 16
![Page 54: Aula quinze precalculo2016 aluno](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051502/58ecf12b1a28ab784c8b45df/html5/thumbnails/54.jpg)
EXERCÍCIO 17
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FIM
DA
AULA
QUINZE