aula sobre spin: programa spins e tabela de clebsch-gordon · jorge c. rom˜ao slides mq-spins –...
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Aula sobre Spin:
Programa Spins e Tabela de Clebsch-Gordon
Jorge C. RomaoInstituto Superior Tecnico, Departamento de Fısica & CFTP
A. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal
2014
Indice
Indice
Programa Spins
Clebsch-Gordon
Jorge C. Romao Slides MQ-Spins – 2
❐ O Programa Spins
❐ Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon
Programa Spins
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
Jorge C. Romao Slides MQ-Spins – 3
❐ Programa Spins em Java da autoria de
❐ Ver como fazer download e como utilizar na pagina alternativa da disciplinahttp://porthos.ist.utl.pt/ensino/MQ/ano1415/index.html
O setup basico
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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❐ Estado inicial aleatorio (random)
Spin numa direcao arbitaria ~n
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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❐ Direcao ~n(θ, φ)
|↑;~n〉 =[
cos(θ/2)
sin(θ/2)eiφ
]
, |↓;~n〉 =[
sin(θ/2)
− cos(θ/2)eiφ
]
❐ Estado inicial |↓ Sz〉 e portanto
〈↑ ~n| ↓ Sz〉 = sin(θ/2)e−iφ, 〈↓ ~n| ↓ Sz〉 = − cos(θ/2)e−iφ,
❐ As probabilidades sao
P (↑ ~n) = sin2(θ/2), P (↓ ~n) = cos2(θ/2)
❐ Para ~n : θ = 45◦, φ = 45◦
P (↑ ~n) = sin2 π/8 = 0.1465, P (↓ ~n) = cos2 π/8 = 0.8535
❐ Para ~n : θ = 60◦, φ = 45◦
P (↑ ~n) = sin2 π/6 = 0.25, P (↓ ~n) = cos2 π/6 = 0.75
Direcao ~n : θ = 45◦, φ = 45
◦
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Direcao ~n : θ = 60◦, φ = 45
◦
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Descobrir “unknown states”
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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❐ Tabela de Probabilidades
Estado ↑ Sx ↓ Sx ↑ Sy ↓ Sy ↑ Sz ↓ Sz
Unknown #1 0.5 0.5 0.5 0.5 1 0
Unknown #2 0.5 0.5 0 1 0.5 0.5
Unknown #3 0.25 0.75 0.067 0.933 0.5 0.5
Unknown #4 0.875 0.125 0.716 0.284 0.25 0.75
❐ Sem perda de generalidade um estado generico escreve-se
|ψ〉 =[
abeiφ
]
, a2 + b2 = 1
com a, b > 0.
❐ Obviamente
|1〉 = |↑ Sz〉 =[
1
0
]
, |2〉 = |↓ Sy〉 =[
1√2
− i√2
]
Descobrir “unknown states”
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
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❐ Para o estado |3〉 temos
| 〈↑ Sz|3〉 |2 = a2 = 0.5, | 〈↓ Sz|3〉 |2 = b2 = 0.5
e isto implica que a = b = 1/√2 e θ = 90◦. Falta determinar φ.
❐ Para isso temos as probabilidades
| 〈↑ Sx|3〉 |2 =1 + cosφ
2= 0.25, | 〈↓ Sx|3〉 |2 =
1− cosφ
2= 0.75
| 〈↑ Sy|3〉 |2 =1 + sinφ
2= 0.067, | 〈↓ Sy|3〉 |2 =
1− sinφ
2= 0.933
o que da φ = 240◦.
❐ Para o estado |4〉 temos
| 〈↑ Sz|4〉 |2 = a2 = 0.25, | 〈↓ Sz|4〉 |2 = b2 = 0.75
o que da a = 1/2, b =√3/2 e θ = 120◦. Falta entao determinar φ.
Descobrir “unknown states”
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
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❐ Para o estado |4〉,
| 〈↑ Sx|4〉 |2 =2 +
√3 cosφ
4= 0.875, | 〈↓ Sx|4〉 |2 =
2−√3 cosφ
4= 0.125
| 〈↑ Sy|4〉 |2 =2 +
√3 sinφ
4= 0.716, | 〈↓ Sy|4〉 |2 =
2−√3 sinφ
4= 0.284
❐ Obtemos entao
θ = 120◦, φ = 330◦
❐ Podemos verificar isto com o programa
“Unknown 3”: Direcao ~n : θ = 90◦, φ = 240
◦
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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“Unknown 4”: Direcao ~n : θ = 120◦, φ = 330
◦
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5)
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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❐ Problema 10.2
Considere o spinor
|ψ〉 = 1√5
[
2
1
]
Qual e a probabilidade que uma medida do operador (3Sx + 4Sy)/5de o valor −~/2?
❐ Devemos ter
~n = (3
5,4
5, 0)
o que da
θ = 90◦, φ = cos−1(3/5) = 53.130◦
Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5)
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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❐ Problema 10.2
Considere o sistema de spin 1/2 representado pelo spinornormalizado
ψ =1√65
[
4
7
]
Qual a probabilidade que uma medida de Sy de o valor −~/2?
❐ Pode tambem encontrar as probabilidades de Sx = ±~
2e Sz = ±~
2
Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Acao do Campo Magnetico ~B
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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❐ Precisamos de identificar o que significa o numero no icon do campo magnetico
❐ Para isso considere que no instante t = 0 o sistema tem spin up segundo oeixo dos x, isto e,
ψ(0) =
1√21√2
, ψ(t) =
1√2e−iω0t
1√2eiω0t
onde ω0 = egB/(4me)
❐ Portanto as probabilidade de medir, instante t, Sx com valores ±~/2 sao,
P (Sx =~
2) = cos2(ω0t), P (Sx = −~
2) = sin2(ω0t),
❐ Utilize este resultado e a montagem da figura seguinte para mostrar que
ω0t =π
36= 5◦ =⇒ Uma unidade no espectrometro de campo B
Acao do Campo Magnetico ~B
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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ω0t = 0 ω0t = 30◦
ω0t = 45◦ ω0t = 90◦
Precessao do spin
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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❐ O spin precessa com frequencia 2ω0. Na figura 2ω0t = 2× 45◦ = 90◦
Problema 10.14
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Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Considere a experiencia da Figura seguinte
Sabe-se que o estado inicial tem spin up segundo o eixo dos z. Explique oresultado em termos de precessao do spin no campo B.
Problema 10.14
Indice
Programa Spins
•Estado Random
•Direcao ~n
•θ = 45◦φ = 45
◦
•θ = 60◦φ = 45
◦
•Descobrir
•Unknown 3
•Unknown 4
•Gasiorowicz 10.5
•Gasiorowicz 10.6
•Magnetic Field
Clebsch-Gordon
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Notando que o spin precessa com frequencia 2ω0, temos a situacao descrita nafigura seguinte
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
90
90
90
180
Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon
Indice
Programa Spins
Clebsch-Gordon
•Tabela CG
•Exemplo
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Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon: Caso 1× 1/2
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Programa Spins
Clebsch-Gordon
•Tabela CG
•Exemplo
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1× 1/2 = 3/2 + 1/2
|3/2, 3/2〉
|3/2, 1/2〉 |1/2, 1/2〉 Ortogonais
|3/2,−1/2〉 |1/2,−1/2〉 Ortogonais
|3/2,−3/2〉
J = 3/2
J = 1/2
Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon: Caso 1× 1/2
Indice
Programa Spins
Clebsch-Gordon
•Tabela CG
•Exemplo
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❐ Temos (2× 1 + 1)× 2 = (2× 3/2 + 1) + (2× 1/2 + 1) = 6 states. We get
|3/2, 3/2〉 = |1, 1〉 |1/2, 1/2〉
|3/2, 1/2〉 =√
1/3 |1, 1〉 |1/2,−1/2〉+√
2/3 |1, 0〉 |1/2, 1/2〉
|1/2, 1/2〉 =√
2/3 |1, 1〉 |1/2,−1/2〉 −√
1/3 |1, 0〉 |1/2, 1/2〉
|3/2,−1/2〉 =√
2/3 |1, 0〉 |1/2,−1/2〉+√
1/3 |1,−1〉 |1/2, 1/2〉
|1/2,−1/2〉 =√
1/3 |1, 0〉 |1/2,−1/2〉 −√
2/3 |1,−1〉 |1/2, 1/2〉
|3/2,−3/2〉 = |1,−1〉 |1/2,−1/2〉