Aula Teórica 16

Equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas. Força de Coriolis

e escoamentos em tubos

Algebra da transformação

• As equações são deduzidas a partir de uma transformação de coordenadas convencional (ver detalhes na sebenta).

• A transformação de coordenadas põe em evidências as acelerações de Coriolis e centrípeta, que aparecem directamente a partir da aceleração convectiva.

• A aceleração centrípeta está associada ao gradiente radial de pressão no caso de ocorrer curvatura das linhas de corrente.

• A aceleração de coriolis é responsável pelo aumento da velocidade tangencial quando o raio de curvatura diminui.

Equações em coordenadas cilíndricas: Forças centrífuga e de Coriolis

z

zzzzz

zzr

z

rz

rr

rrrrr

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gz

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rr

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p

z

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z

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r

vv

r

v

r

vv

t

v

z

vv

rr

rv

rt

rx

rx

zx

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

3

2

1

11

2111

211

011

sin

cos

Aceleração Centrípeta e de Coriolis

r

vv

t

v

r

p

r

v

r

2

A aceleração centrípeta origina aceleração radial, a menos que seja equilibrada por uma força exterior. Essa força só pode ser o gradiente de pressão. O atrito só poderia em escoamentos muito particulares e a gravidade não pode porque é uma força dirigida sempre no mesmo sentido. A aceleração de coriolis origina aceleração tangencial a menos que seja equilibrada por outra força. Essa aceleração aumenta quando o raio de curvatura diminui. A combinação com a aceleração centrípeta e o gradiente de pressão estão na origem dos escoamentos observadas nos tufões.

O escoamento nos tufões

• Nos tufões o ar roda em torno do centro do tufão e por isso tem aceleração centrípeta que se não for equilibrada pelo gradiente de pressão origina aceleração radial. No caso de a aceleração radial fazer convergir o escoamento para o centro de rotação, a velocidade tangencial aumenta devido ao efeito de coriolis.

• Nos tufões isso acontece. A pressão é globalmente hidrostática e o efeito do atrito faz baixar a velocidade junto ao solo. Como consequência o gradiente de pressão necessário para equilibrar a força centrífuga é excessivo, gerando aceleração centrípeta e obrigando o fluido a convergir para o centro.

Escoamento nos tufões

• Quando o fluido converge para o centro a velocidade tangencial aumenta devido a coriolis. Isto acontece junto ao solo por causa do retardamento do escoamento pelo atrito.

• Pelo contrário, no topo da atmosfera, acontece o contrário e o ar diverge do centro para a periferia. Quando o ar diverge do centro, a pressão baixa e o ar sobe, arrefecendo e gerando chuva.

• Vistos da terra, o tufões são por conseguinte escoamentos com rotação e velocidade dirigida para o centro, que aumenta à medida que “caminhamos” para o “olho” do furacão e que originam grande quantidade de chuva.

Escoamento laminar em tubos

• Os tufões são exemplos de escoamentos onde as forças de inércia e de pressão dominam o escoamento. Os tubos são exemplos em que o escoamento é determinado pelo equilíbrio entre as forças de pressão e as forças viscosas.

• O perfil de velocidades num tubo pode ser facilmente obtido integrando as equações de Navier – Stokes.

Balanço de Energia e de QM a um troço de um tubo

P1P2

Aτw

z

zzzzzz

zzr

z

zr

gz

vv

rr

v

rr

rv

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

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vv

rr

rv

rt

2

2

22

2

2

211

011

C

x

gzprv

r

C

x

gzpr

r

v

Cx

gzpr

r

vr

x

gzpr

r

vrr

x

gzp

r

vrrr

z

vv

rr

vrrrx

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gz

vv

rr

vrrrz

p

z

v

x

x

x

x

zzz

zzzz

z

4

1

2

12

11

011

011

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Condições de Fronteira

• r=R => v=0

22

2

4

1

4

rRx

gzpv

Cx

gzprv

Perfil Parabólico, vel máxima em r=0, vel aumenta com gradiente de pressão ou com gradiente de cota.

emedmed

med

R

A

RDVVf

x

gzpR

r

v

x

gzpRV

A

QV

x

gzpRQ

rdrrRx

gzpRdArR

x

gzpRQ

x

gzpRV

6464

2

1

2

82

8

244

4

2

2max

4

22

0

222

2

2

max

Tubo coaxial

• Onde a é o Raio do tubo exterior e b do interior

r

a

a

bba

rax

gzpv

CrCx

gzprv

r

C

x

gzpr

r

v

Cx

gzpr

r

vr

x

x

lnln4

1

ln4

2

2

2222

21

2

1

1

2