Automaatjuhtimissüsteemid

ISS0021-3T

Automaatikainstituut

Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool

MODAALJUHTIMINE: Süsteemide disain olekuruumis

Olekuregulaatori arvutus

● Juhitav süsteem:

● Olekuregulaator:

BuAxx u = -Kx

A – nxnB – nx1K –1xn

Suletud süsteemi võrrand:

xBKAx )( Viimase lahend

).0()( )( xetx tBKASuletud süsteemi (soovitud) omaväärtused

nBKA ,,,: 21

Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav s.t.

BAABBQ 1n

C

juhitavusmaatriksi astak .nQrank C

Defineerime lineaarteisenduse T=QC∙W, kus

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

Wnn

nn

Maatriksi W elementideks on maatriksi A karaktelistliku polünoomi kordajad nn

nn asasasAsI

1

1

1det

Defineerime uue olekuvektori x̂ järgmiselt

xTx ˆ

Juhitav süsteem teisendatud olekuruumis

uBTxATTxBA ˆ

1

ˆ

1 ˆˆ , kus

,

1000

0100

1010

ˆ

121

aaaa

A

nnn

1

0

0

0

ˆ B

nn. juhitav kanooniline kuju!

Suletud süsteemi etteantud (soovitud) karakteristlik polünoom

nn

nn

n ssssss

1

1

121 )())(( (*)

Regulaator teisendatud olekuruumis

11ˆ

ˆ,ˆ nn

K

KxKTu

ja suletud süsteemi võrrand

xKBAx ˆ)ˆˆˆ(ˆ

NB! Süsteemi karakteristlik polünoom on invariantne regulaarse

lineaarteisenduse suhtes.

KBAsIBKAsI ˆˆˆdetdet

11

11

.

1

0

0

0

1000

0100

0010

det

nn

nn aaa

sI

1111

0

1

det

asaa

s

s

nnnn

)()()( 11

1

11 nnnn

nn asasas (**)

(*) ≡ (**)

nnnnnn aa

aa

aa

222222

111111

1ˆˆ TKKKTK 1

11

Tnn

1

112211

Taaaa nnnn

st maatriksi K valikuga on tagatav suvaline suletud süsteemi omaväärtuste paigutus (eeldusel, et süsteem on täielikult juhitav!)

Arvutusskeem:

Juhitav süsteem: BuAxx Regulaator: u = -KxSuletud süsteemi omaväärtused:

n ,,, 21

1.samm - juhitavuse kontroll

Kui rank QC= n, siis 2.samm

2.samm - leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi

.,,,det 211

1

1 nnn

nn aaaasasasAsI

3.samm - leiame teisendusmaatriksi T

T=QC∙W4.samm - arvutame suletud süsteemi (soovitud) karakteristliku polünoomi

n

nn

nn

n ssssss

,,,

)())((

21

1

1

121

Kui rank QC< n, siis süsteem mittejuhitav

5.samm - leiame regulaatori maatriksi K

Kommentaarid:

1) Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja juhtimissüsteemide disainil

2) Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada K maatriksi elemendid otse võrrandist

).())((det 21 nsssBKAsI

1

112211

TaaaaK nnnn

↓

Olekutaastaja arvutus

● Jälgitav süsteem:

Cxy

BuAxx A – nxnB – nx1K –1xn

● Olekutaastaja: )ˆ(ˆˆ xCyLBuxAx

x̂ on oleku x hinnang!

vigax

x

xxLCA

xCCxLxAAxxx

~

~

)ˆ()(

)ˆ(ˆˆ

)0(~)(~

,~)(~

)( xetx

xLCAxtLCA

→ veavõrrand

Süsteemi jälgitavusmaatriks

TnTTTT CACACQ 1

0 )( Süsteem on täielikult jälgitav, kui Q0 astak

rank Q0=n.

Jälgitava süsteemi karakteristlik polünoom:

nn

nn asasasAsI

1

1

1det Defineerime lineaarteisenduse T kujul

,)( 1

0

TQWT

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

Wnn

nn

elemendid on jälgitava süsteemi karakteristliku polünoomi kordajad!

kus

Defineerime uue olekuvektori kujulTx

Jälgitav süsteem teisendatud olekuruumis

,~

~

1

~

1

C

BA

CTy

uBTATT

kus

,~,

100

010

001

000

~

011

011

0

1

2

1

bab

bab

bab

B

a

a

a

a

A nn

nn

n

n

n

100~ C nn. jälgitav kanooniline kuju

Veavõrrand uues olekuruumis:

~)(~

~)(~

~~

1 TLCAT

TLCAT

Tx

NB! A-LC karakteristlik polünoom on invariantne teisenduse T suhtes.

Tähistame

1

112

1

n

n

n

LTja

l

l

l

L

Kuna ,1000 CT siis

1

1

1

11

00

000

000

100

n

n

n

n

LCTT

ja

11

22

11

1

100

010

001

000

)(

a

a

a

a

TLCAT nn

nn

nn

Karakteristlik polünoom

11

22

11

1

000

10

01

00

))(det(

as

as

as

as

TLCATsI

nn

nn

nn

)()()( 2

22

1

11 nn

nnn asasas

11

111222

111

a

a

a

LT

a

a

a

nn

nn

nnn

Etteantud karakteristlik polünoom

n

nnn sss 2

2

1

1

n

nn

nn

l

l

l

a

a

a

TL2

1

11

21

Arvutusskeem:

Jälgitav süsteem:

Olekutaastaja:

Cxy

BuAxx

)ˆ(ˆˆ xCyLBuxAx

Suletud süsteemi omaväärtused:

n ,,, 21

1. samm – jälgitavuse kontroll

Kui rank Q0= n, siis 2.samm

2. samm – leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi

nnn

nn aaaasasasAsI ,,,)det( 211

1

1

3. samm – leiame teisendusmaatriksi T1

0 )( TQWT

Kui rank Q0< n, siis süsteem mittejälgitav

4. samm – arvutame suletud süsteemi (soovitud) karakteristliku polünoomi

nnn

nn

n ssssss ,,,)())(( 211

1

121

5. samm – leiame olekutaastaja maatriksi L

n

nn

nn

l

l

l

a

a

a

TL2

1

11

11

Kommentaarid:

1) Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja olekutaastajate disainil.

2) Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada L maatriksi elemendid otse võrrandist

.det 1

1

1 nn

nn sssLCAsI

Olekutaastaja mõju suletud süsteemis

Juhitav süsteem:

Cxy

BuAxx

Olekuregulaator: xKu ˆ

xLCAx

xBKxBKAx

xxx

xxBKxBKAxBKAxx

~)(~

~)(

ˆ~)ˆ()(ˆ

olekutaastaja veavõrrand

x

x

LCA

BKBKA

x

x~0̂

Karakteristlik võrrand

LCAsI

BKBKAsI

0det

0)det()det( LCAsIBKAsI

Järeldus: Olekuregulaatori ja olekutaastaja arvutused on sõltumatud. Saadav juhtimissüsteem on järku 2n.

Järgnevalt leiame regulaator-olekutaastaja ülekandefunktsiooni.

● Juhitav ja jälgitav süsteem:

Cxy

BuAxx

● Regulaator: xKu ˆ

● Olekutaastaja:

LyBuxLCA

xCyLBuxAx

ˆ)(

)ˆ(ˆ̂

L:

)()()(

)()()(ˆ

)()()(ˆ)()(

)(ˆ)(

sYLBKLCAsIKsU

sLYBKLCAsIsX

sLYsBUsXLCAssX

sXKsU

süsteemisregulaatornagutoimib

1

1

!

0)0(ˆ

eeldus

x

Integraatorite probleem tagasisidestatud süsteemides

w(t) e(t)- WR(s)

n(t)

W0(s)y(t)

Eeldame, et n(t)=0.

p

z

n

kk

N

n

ii

R

pss

zsKsW

sWsWsW

1

1

0

)(

)()(

)()()(

)()(1

1)(

)(1)(

)()(

)(

swsW

swsW

sWswse

sy

Järgnevalt analüüsime vea e(t) käitumist erinevate seadesuuruste (st. testsignaalide) korral.

1)sA

swtAtw )()()( 1

)0(1)(1

)(lim)(lim)(

00 WA

sWsA

ssese

ss

N = 0p

k

kk

ii k

A

p

zKA

e

p

1

1

)(

N ≥ 1 0

1

)(

kk

Ni

i

ps

zKA

e

∥0

2)2

)()(sA

swtAtw

)(lim

)(lim

)(1

)(lim)(lim)(

00

2

00

ssWA

ssWsA

sWsA

ssese

ss

ss

N = 0

N = 1

)(e

vK

kk

ii

kk

ii

s

p

zKA

pss

zsKs

Ae

)(

)(lim)(

0

N ≥ 2 0)( e

3)

)(lim

)(1

)(lim)(

20

3

0 sWsA

sWsA

se

ss

)(1

0

eN

N

akA

eN )(2 0)(3 eN

3

2

)(2

)(sA

swAt

tw

Süsteemitüüp

N

Seadesuurus w(t)

A∙1(t)

A∙t A∙t2/2

pkA

e

1

)(0

1

2

3

0

0 0

0)( e

0)( e

0)( e

∞ ∞

∞vk

A

akA

N – integraatorite arv süsteemis

Kokkuvõte:

Järgivsüsteemi disain:

1) Integraatoriga juhitav süsteem

● Juhitav süsteem:

Cxy

BuAxx A – nxnB – nx1K –1xn

● Järgivsüsteemi struktuurskeem

-w(t)

- -

k2

kn

k1 y=Cx

x1x2

xn

BuAxx

y=x1

Eeldame, et y=x1.

Süsteemil on tagasiside oleku järgi

)(11

n

2

1

n2xwk

x

x

x

kk0u

n21

kkkKkus ,wkKx

1

Eeldame, et seadesuurus rakendub süsteemile ajahetkel t=0

wBkxBKABuAxx0t1

)(

Olgu w hüppefunktsioon, siis järgivsüsteem peab tagama järgmist:

0u

wyt

)(

)()(

Väljakujunenud režiimis

)()()()()(

)()()()(

xtxBKAxtx

wBkxBKAx1

Defineerime järgivsüsteemi vea järgmiselt

),()()( textx saame veavõrrandi kujul

).()()( teBKAte Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav. Arvutame olekuregulaatori, mis muudab e(t)→0 suvalise algväärtuse e(0) korral, kasutades eelpool esitatud olekuregulaatori arvutusskeemi. Järgivsüsteemi dünaamilised omadused anname ette suletud süsteemi omaväärtuste kujul (λ1,λ2,…,λn).

Oleku väljakujunenud t=∞

wBkBKAx

wBkxBKA0x

1

1

1

)()(

)()()(

ja u(∞).)()( 0wkKxu

1

2) Integraatorita juhitav süsteem

kI

x∫

y∫

A

B C

K

w

● Juhitav süsteem:

Cxy

BuAxx A – nxnB – nx1K –1xn

● Regulaator:

Cxwyw

kKxuI

)()()(

)(

)(

)(tw

1

0tu

0

B

t

tx

0C

0A

t

tx

- -

)()()(

)(

)(

)(

w1

0u

0

Bx

0C

0Ax

)()()()(

)()(

)()(

)()(

utu0

B

t

xtx

0C

0A

t

xtx

w(t) – hüppefunktsioon!Defineerime:

)()()(

)()()(

)()()(

ututu

tt

xtxtx

e

e

e

Saame:

,)()(

)(

)(

)(tu

0

B

t

tx

0C

0A

t

txe

e

e

e

e

kus

)()()( tktKxtueIee

Defineerime (n+1) mõõtmelise veavektori

,)(

)()(

t

txte

e

e

saame,ˆˆ

euBeAe kus

0

BB

0C

0AA ˆ,ˆ

ja ,ˆeKue kus

IkKK ˆ

Disainida tuleb (n+1) järku regulaator, mis muudab veavektori e(t) kordinaadid nulliks suvalise e(0) puhul vt. olekuregulaatori arvutus!