automatsko - predavanja

Poglavǉe 1

Osnovni pojmovi teorije sistemai automatskog upravǉaǌa

1.1 SistemDefinicija 1.1.1 Sistem je izdvojeni deo prostora kod koga postoji odre�enapovezanost sa ostalim delom prostora.

Granice sistema su relativne, ali pri prouqavaǌu nekog sistema one moraju da buduprecizno definisane. Okolina deluje na sistem (na granice sistema), a sistem reaguje nadejstvo okoline. Sistem je fiziqki ako i samo ako je deo fiziqkog prostora (avion, brod,parni kotao, rudarska maxina, ...). Sistem je apstraktan ako i samo ako je deo apstraktnogprostora (skup diferencijalnih jednaqina koje opisuju kretaǌe aviona, rakete, ...).

Definicija 1.1.2 Organizovani fiziqki sistem predstavǉa skup podsistema (eleme-nata, ure�aja, organa, delova) me�usobno povezanih u funkcionalnu celinu s ciǉem da seostvari odre�eni zadatak (kretaǌe, rad, proces) a na osnovu razmene materije i/ili ener-gije i/ili informacija izme�u podsistema u okviru sistema i izme�u sistema i okoline.

Po svojoj prirodi sistem mo�e da bude bioloxki (qovek, planta�a, ribǌak), ekonom-ski (banka, privredna organizacija, trgovinsko preduze�e), druxtveni (porodica, sport-sko druxtvo, studenti Maxinskog fakulteta), tehniqki (rudarska, poǉoprivredna, alatnamaxina, avion, raketa, automobil, turbina) ili kombinovani (Maxinski fakultet jebioloxko-druxtveno-ekonomsko-tehniqki sistem).

Primer 1Da bi jasnije mogli da budu pojaxǌeni pojmovi, koji �e nadaǉe biti uvo�eni, razmatra�ese jedan konkretan tehniqki sistem.

Na slici 1.1 je prikazana simboliqko funkcionalna xema sistema koji se vrlo qestosre�e u procesnoj industriji. On se sastoji od dva spojena suda S1 i S2, u kojima se nalazeteqnosti razliqitih hemijskih i/ili fiziqkih osobina. Teqnost iz suda S1, konstantnevrednosti temperature θ1 i promenǉive vrednosti pritiska P1, utiqe u sud S2, kroz ventilV1 qije vreteno pomera pneumatski membranski motor PM1. Toplija teqnost, promenǉivihvrednosti i temperature θ2 i pritiska P2, utiqe u sud S2, kroz ventil V2, qije vretenopomera pneumatski servomotor oznaqen sa PM2. Sudovi S1 i S2 su spojeni preko cevi nakojoj se nalazi ventil V3, qija protoqna povrxina se podexava servomotorom PM3. Naservomotore PM1, PM2 i PM3 deluju elektropneumatski pretvaraqi EP1, EP2 i EP3 sled-stveno, koji se pobu�uju naponskim signalima U1, U2 i U3. Veliqine od kojih se zahteva daim promene vrednosti budu prema nekom zadatom zakonu su nivoi teqnosti u sudovima: H1 iH2 i temperatura u sudu S2 oznaqena sa θ. Pomexane teqnosti u sudu S2 iz ǌega odlaze kapotroxaqu preko izlazne cevi, pri qemu je taj protok Qi nepoznata funkcija vremena. Naslici su prikazani i merni organi za mereǌe vrednosti nivoa, odnosno temperature: MO1,MO2 i MO3.

1

2 Poglavǉe 1. Osnovni pojmovi teorije sistema i automatskog upravǉaǌa

EP1

PM1

V1

H1

P1

const≠

Qi const≠

P2

const≠

µ1= const µ

2const≠

H2

S1

S2

V2

V3

PM2

PM3

EP2

EP3

MO1

MO2

MO3

U1

U2

U3

p p

p u

u

ih

i

u

Pa

µ

hiµ

Slika 1.1. Tehniqki sistem.

Definicija 1.1.3 Veliqina koja bitno utiqe na rad sistema a nastala je van ǌega jeǌegova ulazna veliqina (oznaka Xu). Sistem mo�e da ima vixe ulaznih veliqina, npr. M ,u oznaci Xu1,Xu2, . . . , XuM , koje mogu da se usvoje za elemente M-dimenzionalnog vektoraulaza (kra�e ulaz) Xu, Xu ∈ RM :

Xu =

⎛⎜⎜⎜⎝

Xu1

Xu2

...XuM

⎞⎟⎟⎟⎠ =

(Xu1 Xu2 . . . XuM

)T. (1.1)

Primer 2Za sistem sa slike 1.1 veliqine koje zadovoǉavaju prethodnu definiciju su:U1 - naponski signal na ulazu elektropneumatskog pretvaraqa EP1,U2 - naponski signal na ulazu elektropneumatskog pretvaraqa EP2,U3 - naponski signal na ulazu elektropneumatskog pretvaraqa EP3,P1 - pritisak hladnije teqnosti,P2 - pritisak toplije teqnosti,θ2 - temperatura toplije teqnosti,Qi - protok na izlazu iz suda S2.

To znaqi da imamo 7 ulaznih veliqina, koje mogu da se predstave u obliku vektora ulazaXu, Xu ∈ R7:

Xu =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

Xu1

Xu2

Xu3

Xu4

Xu5

Xu6

Xu7

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

U1

U2

U3

P1

P2

θ2

Qi

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. (1.2)

1.2. Dijagram sistema 3

Temperatura hladnije teqnosti θ1 tako�e bitno utiqe na ceo proces, ali je ona konstantnevrednosti, θ1 = const. Ako je neka veliqina konstantne vrednosti, ili je poznata funkcijavremena, koja mo�e taqno analitiqki da se opixe, onda se ona u matematiqkom modelu sis-tema predstavǉa brojqanim vrednostima ili izrazima, tj. ne figurixe kao promenǉiva θ1.Sve takve veliqine ne predstavǉaju ulazne veliqine sistema, a ǌihovi ”bitni” uticaji suimplicitno sadr�ani u matematiqkom modelu datog sistema.

Definicija 1.1.4 Veliqina qija vrednost i qije promene vrednosti predstavǉaju rezul-tat rada sistema, a za qije vrednosti i promene smo zainteresovani je izlazna veliqinasistema (oznaka Xi). Sistem mo�e da ima vixe izlaznih veliqina, npr. N , u oznaciXi1,Xi2, . . . , XiN , koje mogu da se usvoje za komponente N-dimenzionalnog vektora izlaza(kra�e izlaz) Xi, Xi ∈ RN :

Xi =

⎛⎜⎜⎜⎝

Xi1

Xi2

...XiN

⎞⎟⎟⎟⎠ =

(Xi1 Xi2 . . . XiN

)T. (1.3)

Primer 3Za sistem sa slike 1.1 veliqine koje zadovoǉavaju prethodnu definiciju su:

H1 - nivo teqnosti u sudu S1,

H2 - nivo teqnosti u sudu S2,

θ - temperatura teqnosti u sudu S2.

To znaqi da imamo 3 izlazne veliqine, koje mogu da se predstave u obliku vektora izlazaXi, Xi ∈ R3:

Xi =

⎛⎝

Xi1

Xi2

Xi3

⎞⎠ =

⎛⎝

H1

H2

θ

⎞⎠ . (1.4)

Fiziqkom sistemu se pridru�uje ǌegov model koji se odlikuje samo onim osobinama togfiziqkog sistema koje su bitne za ǌegovo prouqavaǌe i dovoǉne da se ono izvede s tra�enomtaqnox�u.

Definicija 1.1.5 Model fiziqkog sistema je idealizovani, zamixǉeni sistem, kojizadr�ava osobine stvarnog sistema bitne za ǌegovu analizu.

Definicija 1.1.6 Matematiqki model sistema je formalni matematiqki opis modelafiziqkog sistema koji uspostavǉa jednoznaqnu vezu izme�u izlaznih i ulaznih veliqina zaproizvoǉne promene ulaznih veliqina i za proizvoǉne poqetne uslove, a iskazan je pomo�umatematiqkih simbola, operacija i relacija.

Ako se pretpostavi da matematiqki model dovoǉno taqno opisuje fiziqki sistem, tj.model fiziqkog sistema, i da predstavǉa ǌegov verodostojan opis, onda on sadr�i sveinformacije o fiziqkim osobinama sistema. Tada se prouqavaǌa tog fiziqkog sistemamogu izvrxiti na ǌegovom matematiqkom modelu, koji predstavǉa apstraktan (a ne fiziqki)sistem.

1.2 Dijagram sistema

Uprkos velikoj raznovrsnosti osobina razliqitih sistema, postoje izvesna ǌihova zajed-niqka, opxta obele�ja. Da bi se ona uoqila, sistem se qesto posmatra apstraktno, kao tzv.”crna kutija”, kao jedna celina qija se struktura ne prikazuje, ve� se ona i ǌegova svoj-stva izra�avaju kroz reakcije sitema na spoǉne veliqine koje na ǌega deluju. Pri ovakvomposmatraǌu sistema koristi se ǌegov dijagram.


S

�

�

�

�

�

�

Xu1

Xu2

XuM

Xi1

Xi2

XiN

......

Slika 1.2. Dijagram sistema.

Definicija 1.2.1 Dijagram sistema je simboliqki, grafiqki prikaz sistema S u ob-liku pravougaonika, na kojem su sve ulazne veliqine prikazane jednostrukim strelicamausmerenim ka sistemu, a sve izlazne veliqine su prikazane jednostrukim strelicama us-merenim od sistema ka okolini, slika 1.2, odnosno to je simboliqki grafiqki prikaz sis-tema u obliku pravougaonika na kome je ulaz sistema predstavǉen dvostrukom strelicomusmerenom ka sistemu, a izlaz sistema je predstavǉen dvostrukom strelicom usmerenom odsistema ka okolini, slika 1.3.

SXu Xi��

��


Informacije koje se dobijaju sa dijagrama sistema su samo informacije o ulaznim iizlaznim veliqinama. To najboǉe pokazuje i slede�i primer.

Primer 4Posmatraju�i ponovo sistem prikazan na slici 1.1 ǌegov digagram mo�e da se predstavi uskalarnom obliku kao na slici 1.4. Strukturni dijagram sistema sa slike 1.1 mo�e da budepredstavǉen i u obliku koji je prikazan na slici 1.3 pri qemu su Xu i Xi dati izrazima(1.2) i (1.4).

�

�

�

�

�

�

�

S

�

�

�

Xu1 = U1

Xu2 = U2

Xu3 = U3

Xu4 = P1

Xu5 = P2

Xu6 = θ2

Xu7 = Qi

Xi1 = H1

Xi2 = H2

Xi3 = θ

Slika 1.4. Dijagram sistema sa slike 1.1.

1.3 Osnovne sprege sistemaDefinicija 1.3.1 Sistemi S1 i S2 su redno spregnuti u sistem S, slika 1.5, ako i samoako je ulaz Xu celog sistema S ujedno i ulaz Xu1 sistema S1, qiji je izlaz Xi1 istovremenoulaz Xu2 sistema S2, a ǌegov izlaz Xi2 ujedno izlaz Xi celog sistema S, pri qemu sistem

1.3. Osnovne sprege sistema 5

S2 ne deluje na sistem S1. Sistem S je redna sprega sistema S1 i S2, a oni su podsistemisistema S.

�� S1�� S2

��

S

Xu Xu1 Xi1 = Xu2 Xi2 Xi

Slika 1.5. Redna sprega.

Definicija 1.3.2 Sistemi S1 i S2 su paralelno spregnuti u sistem S, slika 1.6, ako isamo ako je ulaz Xu celog sistema S istovremeno i ulaz Xu1 sistema S1 i ulaz Xu2 sistemaS2, a izlaz Xi celog sistema je algebarski zbir izlaza Xi1 sistema S1 i izlaza Xi2 sistemaS2, pri qemu sistemi S1 i S2 ne deluju jedan na drugi. Sistem S je paralelna spregasistema S1 i S2, koji predstavǉaju podsisteme sistema S.

�� S1

S2

��

��

��

��Xu

Xi = Xi1 ± Xi2

Xu1

Xu2

Xi1

Xi2

±

S

Slika 1.6. Paralelna sprega.

Definicija 1.3.3 Sistemi S1 i S2 su povratno spregnuti u sistem S, slika 1.7, akoi samo ako je ulaz Xu1 sitema S1 algebarski zbir ulaza Xu celog sistema S i izlazaXi2 sistema S2, a izlaz Xi1 sistema S1 je istovremeno izlaz Xi celog sistema S i ulazXu2 sistema S2. Sistem S je sistem sa povratnom spregom, a sistemi S1 i S2 su ǌegovipodsistemi.

��

�� S1

S2

��

��

�� ±

Xu Xu1 = Xu ± Xi2 Xi1 Xi

BV

A

Xu2Xi2

S

Slika 1.7. Povratna sprega.

Deo sistema S od mesta dejstva ulaza Xu u sistem S, taqka A, do mesta pojavǉivaǌaizlaza sistema S, taqka B, je glavna (direktna) grana (sprega, veza) sistema S.

Deo sistema S od mesta pojavǉivaǌa ǌegovog izlaza Xi, taqka B, do mesta dejstva izlazaXi2 podsistema S2 na sabiraq, taqka V, je povratna sprega (grana) sistema S.


Povratna sprega je pozitivna ako i samo ako se u sabiraqu ne meǌa znak (+), a negativnaako i samo ako se u sabiraqu meǌa znak (−) izlaza Xi2 podsistema S2.

Deo sistema S od mesta dejstva ulaza Xu u sistem S, taqka A, preko mesta pojavǉivaǌaizlaza Xi, taqka B, pa do mesta dejstva izlaza Xi2 podsistema S2 na sabiraq, taqka V, jeotvoreno kolo sistema S.

Stabilnost podsistema S1 i S2 ne garantuje stabilnost sistema S u kome su podsistemiS1 i S2 povratno spregnuti.

1.4 Strukturni dijagram sistemaDijagram sistema, koji je raxqlaǌen, detaǉan, tako da je simboliqki prikazana strukturasistema, koja pokazuje sve podsisteme i ǌihova me�usobna dejstva, naziva se strukturnidijagram sistema.

Definicija 1.4.1 Struktura sistema obuhvata sve ǌegove podsisteme sa svim ǌihovimme�usobnim spregama.

Definicija 1.4.2 Strukturni dijagram sistema je ǌegov dijagram koji prikazjuje ǌe-govu strukturu.

1.5 ObjektDefinicija 1.5.1 Objekt (O) je sistem od koga se zahteva da u propisanim (nominalnim)radnim uslovima ostvari propisano (�eǉeno, zadano) dinamiqko ponaxaǌe, a u proizvoǉnimradnim uslovima dinamiqko ponaxaǌe koje mo�e da odstupi od ǌegovog �eǉenog dinamiqkogponaxaǌa najvixe u dozvoǉenim granicama.

�eǉeno dinamiqko ponaxaǌe objekta u nekom trenutku t, je definisano �eǉenom vrednox-�u vektora izlaza Xiz(t) u tom trenutku.

Tehniqki objekti su projektovani za odre�ene, nominalne uslove rada. Me�utim, stvarniuslovi rada objekta qesto su razliqiti od nominalnih. Usled toga se i stvarno ponaxaǌeobjekta razlikuje od ǌegovog �eǉenog dinamiqkog ponaxaǌa.

Objekt sam od sebe ne mo�e da ostvari �eǉeno dinamiqko ponaxaǌe Xiz. To je mogu�ejedino ako na ǌega deluje ulaz koji se naziva upravǉaǌe.

Primer 5Sistem koji je prikazan na slici 1.1 predstavǉa objekt. ǋegove ulazne veliqine su dateizrazom (1.2). Nadaǉe �e da bude objaxǌeno da te ulazne veliqine objekta mogu da sepodele na poreme�ajne veliqine i na upravǉaqke veliqine xto je suxtinski razliqito zaneki objekt.

1.6 Poreme�ajDefinicija 1.6.1 Ulazna veliqina objekta koja nastaje i meǌa se nezavisno od ǌegovog�eǉenog dinamiqkog ponaxaǌa je ǌegova poreme�ajna veliqina, u oznaci Z, a ako ihima vixe, npr. P , Z1, Z2, . . . , ZP , mogu da se usvoje za elemente P -dimenzionalnog vektoraporeme�aja (kra�e poreme�aj) Z, Z ∈ RP :

Z =

⎛⎜⎜⎜⎝

Z1

Z2

...ZP

⎞⎟⎟⎟⎠ =

(Z1 Z2 . . . ZP

)T. (1.5)

Primer 6Poreme�ajne veliqine objekta sa slike 1.1 su prema prethodnoj definiciji: P1, P2, θ2 i Qi.To znaqi da postoje 4 poreme�ajne veliqine, koje mogu da se predstave u obliku vektora

1.7. Upravǉaǌe 7

poreme�aja Z, Z ∈ R4:

Z =

⎛⎜⎜⎝

Z1

Z2

Z3

Z4

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

P1

P2

θ2

Qi

⎞⎟⎟⎠ . (1.6)

Ove qetiri ulazne veliqine objekta se formiraju nezavisno od ǌegovog �eǉenog dinamiqkogponaxaǌa, tj. one su ”ne�eǉene” ulazne veliqine objekta. Intenziteti, vreme nastanka, tra-jaǌe delovaǌa tih veliqina, kao i ǌihove promene tokom vremena su unapred nepredvidǉivepa stoga P1, P2, θ2 i Qi nazivamo poreme�ajnim veliqinama.

1.7 Upravǉaǌe

Definicija 1.7.1 Ulazna veliqina objekta koja se stvara na osnovu ǌegovog �eǉenog di-namiqkog ponaxaǌa Xiz, da bi svojim dejstvom na taj objekt obezbedila ǌegovo �eǉeno di-namiqko ponaxaǌe u nominalnom radnom re�imu, odnosno ǌegovo zadovoǉavaju�e dinamiqkoponaxaǌe u proizvoǉnim radnim uslovima, je ǌegova upravǉaqka veliqina, u oznaci U ,a ako ih je vixe, npr. R, U1, U2, . . . , UR, mogu da se predstave kao R-dimenzionalni vektorupravǉaǌa (kra�e upravǉaǌe) U, U ∈ RR:

U =

⎛⎜⎜⎜⎝

U1

U2

...UR

⎞⎟⎟⎟⎠ =

(U1 U2 . . . UR

)T. (1.7)

Objekt na koji deluje upravǉaǌe (qije se dinamiqko ponaxaǌe upravǉa) je upravǉaniobjekt, a ǌegov izlaz je upravǉani izlaz.

Primer 7Upravǉaqke veliqine objekta sa slike 1.1 su prema prethodnoj definiciji tri naponskeveliqine na ulazima elektropneumatskih pretvaraqa: U1, U2 i U3. To znaqi da postoje 3upravǉaqke veliqine, koje mogu da se predstave u obliku vektora upravǉaǌa U, U ∈ R3:

U =

⎛⎝

U1

U2

U3

⎞⎠ . (1.8)

Ove tri veliqine U1, U2 i U3 su tako�e ulazne veliqine (kao i poreme�ajne veliqine)objekta, ali se one formiraju na osnovu �eǉenih vrednosti izlaznih veliqina H1z, H2z iθz i one svojim dejstvom na objekt primoravaju taj objekt da veliqine H1, H2 i θ meǌa na�eǉeni naqin.

1.8 Radni i upravǉaqki deo objekta

Definicija 1.8.1 Deo objekta u kome se ostvaruje ǌegovo dinamiqko ponaxaǌe za kojeje taj objekt napravǉen je ǌegov radni (procesni) deo, a ǌegov deo koji prima dejstvoupravǉaǌa i prenosi ga na radni deo je upravǉaqki (organ) deo objekta.

Primer 8Posmatrajmo ponovo objekt koji je prikazan na slici 1.1. Procesni deo objekta su dvaspojena suda S1 i S2. Upravǉaqki organi objekta slu�e da prime upravǉaǌe i da to dejstvoprenesu na radni deo objekta; samim tim to su tri elektropneumatska pretvaraqa EP1, EP2

i EP3. To mo�e da bude i drugaqije i zavisi od toga xta se usvaja za objekt, odnosno gdese postavǉaju granice tog objekta. Ve� je naglaxeno da su granice sistema relativne i damogu da se usvoje na razliqite naqine.


1.9 Upravǉaqki sistemDefinicija 1.9.1 Sistem qija je izlazna veliqina upravǉaǌe za dati objekt je uprav-ǉaqki sistem za dati objekt, slika 1.8.

�� US ��

��

��

Xiz

Z

Xi

U

Slika 1.8. Upravǉaqki sistem.

Ulazne veliqine upravǉaqkog sistema nose informacije neophodne za formiraǌe uprav-ǉaǌa. �eǉeno dinamiqko ponaxaǌe objekta opisano vektorom Xiz je uvek jedan od ulaza up-ravǉaqkog sistema i na slici 1.8 je prikazano dvostrukom neprekidnom strelicom. Budu�ida se proces upravǉaǌa ostvaruje dejstvom upravǉaǌa na objekt, onda se na osnovu defini-cije upravlaǌa zakǉuquje da je za stvaraǌe upravǉaǌa neophodna informacija o �eǉenomdinamiqkom ponaxaǌu tog objekta.

Upravǉaǌe mo�e da se formira i korix�eǌem dodatnih informacija kao xto su: stvarnodinamiqko ponaxaǌe objekta, tj. izlaz objketa Xi, i/ili merenih poreme�ajnih veliqinasadr�anih u vektoru Z. Na dijagramu objekta, slika 1.8, ti vektori su prikazani ispreki-danim dvostrukim strelicama usmerenim ka upravǉaqkom sistemu (US).

Izlaz iz upravǉaqkog sistema je upravǉaǌe U.

Primer 9Na slici 1.1 je prikazan upravǉani objekt. Na toj slici nema upravǉaqkog sistema, ali sutu prikazane ǌegove izlazne veliqine U1, U2 i U3 i neki ǌegovi elementi: ure�aji za mereǌe(merni organi) vrednosti nivoa, odnosno temperature: MO1, MO2 i MO3

1

1.10 Sistem upravǉaǌaDefinicija 1.10.1 Sistem koji se sastoji iz objekta i upravǉaqkog sistema za taj objekt,koje povezuje upravǉaǌe je sistem upravǉaǌa, slika 1.9.

�� US ��

��

��

Xiz

Z

Xi

UO ��

Xi

SU

��

Z

Slika 1.9. Sistem upravǉaǌa.

1Oni predstavǉaju deo upraǉaqkog sistema i imaju funkciju odre�ivaǌa stvarnih vrednosti izlaznihveliqina objekta: H1, H2 i θ.

Poglavǉe 2

Sistemi automatskog upravǉaǌa

2.1 Vrste upravǉaǌaUpravǉaǌe sa stanovixta ǌegovog ostvarivaǌa mo�e da bude ruqno, poluautomatsko iautomatsko.

Definicija 2.1.1 Upravǉaǌe je ruqno ako je upravǉaqki sistem samo qovek. Tada jesistem upravǉaǌa sistem ruqnog upravǉaǌa.

Upravǉaǌe je poluautomatsko ako je upravǉaqki sistem sastavǉen od qoveka i ure�aja.Tada je sistem upravǉaǌa sistem poluautomatskog upravǉaǌa.

Upravǉaǌe je automatsko ako je upravǉaqki sistem samo ure�aj ili skup samo ure�aja.Tada je sistem upravǉaǌa sistem automatskog upravǉaǌa.

Nadaǉe �e da bude razmatrano samo automatsko upravǉaǌe i sistemi automatskog up-ravǉaǌa (SAU).

2.2 Koncepti automatskog upravǉaǌaU zavisnosti od informacija koje su neophodne upravǉaqkom sistemu za stvaraǌe pravilnogupravǉaǌa, sistemi automatskog upravǉaǌa se dele na:

1. otvorene sisteme automatskog upravǉaǌa (OSAU),

2. zatvorene sisteme automatskog upravǉaǌa (ZSAU), koji se jox nazivaju sistemiautomatskog regulisaǌa (SAR),

3. kombinovane sisteme automatskog upravǉaǌa (KSAU).U okviru otvorenih sistema automatskog upravǉaǌa mogu da se izdvoje dve podgrupe u

zavisnosti da li se kompenzuju ili ne dejstva poreme�ajnih veliqina. Ta dva koncepta su:1. otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa bez kompenzacije dejstva poreme�aja (OS-

AUBKDP),

2. otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa sa direktnom kompenzacijom dejstvaporeme�aja (OSAUSDKDP)

Kao xto je ve� naglaxeno, za sve sisteme automatskog upravǉaǌa je zajedniqko da je zaformiraǌe upravǉaǌa neophodna informacija o �eǉenom ponaxaǌu objekta. Me�utim, onanije uvek i dovoǉna. Naredne definicije razjaxǌavaju kojim dodatnim informacijama suodre�eni pojedini koncepti automatskog upravǉaǌa.

Definicija 2.2.1 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi samo informaciju o �eǉenom izlazu objekta Xiz, slika 2.1,

U = U(Xiz)

takav sistem automatskog upravǉaǌa se naziva otvoreni sistem automatskog upravǉaǌabez kompenzacije dejstva poreme�aja.

9

10 Poglavǉe 2. Sistemi automatskog upravǉaǌa

�� US ��Xiz U = U(Xiz)

O ��Xi

OSAUBKDP

Slika 2.1. Opxti strukturni dijagram OSAUBKDP.

Ovaj koncept obezbe�uje zadovoǉavaju�i rad kada na sistem ne deluju poreme�aji. Usluqaju da se oni pojave upravǉaǌe mora da se stvara i na osnovu informacija o timporeme�ajima, pri qemu mo�e da se ostvari samo direktna ili neposredna kompenzacijaǌihovog dejstva na upravǉani objekt.

Definicija 2.2.2 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi samo informacije o �eǉenom izlazu objekta Xiz i o merenom poreme�aju Z kojideluje na ǌega, slika 2.2,

U = U(Xiz,Z)

takav sistem automatskog upravǉaǌa se naziva otvoreni sistem automatskog upravǉaǌasa direktnom kompenzacijom dejstva poreme�aja.

�� US ��

��

XizU = U(Xiz,Z)

O ��Xi

OSAUSDKDP

��

Z

Slika 2.2. Opxti strukturni dijagram OSAUSDKDP.

Definicija 2.2.3 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi samo informaciju o razlici izme�u ǌegovog �eǉenog ponaxaǌa Xiz i ǌegovogstvarnog ponaxaǌa Xi,

U = U(Xiz − Xi) = U(ε), ε = Xiz − Xi

onda je sistem automatskog upravǉaǌa tog objekta zatvoreni sistem automatskog uprav-ǉaǌa, tj. sistem automatskog regulisaǌa, slika 2.3.

Zatvoreni sistem automatskog upravǉaǌa se odlikuje postojaǌem povratne sprege kojaje negativna, xto je potrebno da bi upravǉaqki sistem mogao da utvrdi razliku ε izme�u�eǉenog i stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa objekta

ε = Xiz − Xi.

2.2. Koncepti automatskog upravǉaǌa 11

�� US ��

��

Xiz U = U(ε)O ��

Xi

SAR

��

Z

Slika 2.3. Opxti strukturni dijagram ZSAU (SAR).

U zatvorenom sistemu automatskog upravǉaǌa se ostvaruje indirektna ili posredna kom-penzacija dejtva poreme�aja. Ona se posti�e stvaraǌem upravǉaǌa na osnovu grexke ε, kojapredstavǉa posledicu dejstva poreme�aja Z, ili promene �eǉene vrednosti Xiz.

Definicija 2.2.4 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi informacije i o �eǉenom ponaxaǌu objekta Xiz i o ǌegovom stvarnom ponaxaǌu Xi

i o merenim poreme�ajima Zm,

U = U(Xiz − Xi,Xiz,Zm) = U(ε,Xiz,Zm)

onda je sistem automatskog upravǉaǌa tog objekta kombinovani sistem automatskog up-ravǉaǌa, slika 2.4.

�� US ��

��

Xiz U = U(ε,

Xiz,Zm)O ��

Xi

KSAU

��

Zm

��

��

Zn

Slika 2.4. Opxti strukturni dijagram KSAU.

Kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌa ostvaruju istovremeno i direktnu(merenih poreme�aja Zm) i indirektnu (nemerenih poreme�aja Zn) kompenzaciju dejstvaporeme�aja. Vektor poreme�aja u ovom sluqaju je oblika:

Z =(Zm

Zn

).


2.3 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌaOtvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa se koriste za upravǉaǌe objekta kada na ǌegane deluje, niti �e delovati, poreme�aj ili kada se mo�e predvideti vrsta poreme�aja priqemu on treba da bude pogodan za mereǌe.

2.3.1 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa bez kompenzacije dej-stva poreme�aja

Za ilustraciju razliqitih koncepata automatskog upravǉǌa koristi�e se jedan hidrau-liqki sistem, qija je funkcionalna xema prikazana na slici 2.5. Sistem se sastoji od:

• 1 - parna turbina,

• 2 - ventil na ulazu turbine,

• 3 - zavrtaǌ,

• 4 - opurga,

• 5 - poluga,

• 6 - hidrauliqki klipni razvodnik,

• 7 - hidrauliqki cilindar,

• 8 - poluga.

pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni =ž ž

Pu=const

Vm=const

U

»ž

Xi

Slika 2.5. Funkcionalna xema OSAUBKDP.

Smatra se da ova turbina funkcionixe u uslovima gde nema bitnih ne�eǉenih uti-caja na ǌen rad, tj. gde nema poreme�ajnih veliqina. To je na funkcionalnoj xemi ilus-trovano nepromenǉivox�u pritiska pare na ulazu u turbinu, Pu = const, kao i konstantnimoptere�eǌem Vm = const elektriqnog generatora EG koji je pokretan datom parnom turbinom.

2.3. Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa 13

�eǉena vrednost broja obrtaja turbine se zadaje polo�ajem zavrtǌa 3. Taj polo�aj di-rektno odre�uje deformacionu silu u opruzi 4, ξXiz

, koja svojim dejstvom na polugu 5 rotiratu polugu oko oslonca i prouzrokuje pomeraǌe klipǌaqe hidrauliqnog klipnog razvodnika6. Ta pomeraǌa prouzrokuju pomeraǌe klipova razvodnika xto dovodi do razvo�eǌa uǉapod pritiskom u gorǌu ili doǌu komoru hidrauliqkog cilindra 7. Uǉe pod pritiskompomera klip cilindra i klipǌaqu koja je za ǌega kruto vezana, xto prouzrokuje pomeraǌepequrke ventila 2 u odnosu na sedixte ventila, qime se meǌa protoqna povrxina ventila.Protok kroz ventil je direktno srazmeran toj povrxini pa se u turbinu ubacuje maǌa ilive�a koliqina pare koja dovodi do smaǌeǌa ili pove�aǌa broja obrtaja, sledstveno. Hi-drauliqki cilindar je lokalno povratno spregnut, preko poluge 8, sa uǉnim razvodnikomda bi se obezbedile odre�ene dinamiqke osobine celog sistema. Ceo sklop 6, 7 i 8 se na-ziva hidrauliqki prenosni organ sa krutom povratnom spregom i bi�e detaǉno objaxǌen unarednim poglavǉima.

Funkcionalnost, me�usobnu povezanost i dejstva, pored funkcionalne xeme, mo�e dailustruje i strukturni dijagram razmatranog sistema, slika 2.6.

� � ��

O

Xi = nXiz = nz U

�

�

USOSAUBKDP

3 4 17

8

256

Slika 2.6. Strukturni dijagram OSAUBKDP.

2.3.2 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa sa direktnom kompen-zacijom dejstva poreme�aja

Ovaj sistem sadr�i sve elemente koje sadr�i i sistem qija je funkcionalna xema prikazanana slici 2.5. Pored toga on sadr�i, slika 2.7:

• 9 - priguxnicu (blendu) i

• 10 - membranski motor (diferencijalni meraq pritiska),koji predstavǉaju merni organ protoka pare u ulaznoj cevi. Na priguxnici dolazi do padapritiska qija vrednost je srazmerna protoku. Ve�i protok pravi ve�e padove pritiska,xto se na membranskom motoru manifestuje pomeraǌem membrane i vretena na gore, tj. usmeru sile ξZ . Ova sila pravi moment koji se uravnote�ava sa momentom sile ξXiz

, xtopolugu 5 dovodi u neki novi polo�aj, a sve to na kraju rezultuje pomeraǌem ventila 2 iuspostavǉaǌem neke nove vrednosti protoka pare na ulazu u turbinu.

U sluqaju da se vrednost ulaznog pritiska Pu iz nekog razloga smaǌi, upravǉaqki sis-tem bi, na objaxǌeni naqin, morao da otvori ventil 2 i pove�a protoqnu povrxinu takoda protok kroz ǌu, u uslovima smaǌenog pritiska, bude kao i u neporeme�enom sluqaju.Promena pritiska Pu predstavǉa poreme�anu veliqinu Z1 i kompenzacija tog dejstva mo�eda se ostvari samo na objaxǌeni naqin - direktno (neposredno). Reakcije na bazi grexkesu ovde nemogu�e jer ovaj upravǉaqki sistem ne meri stvarnu vrednost izlaza Xi = n.

Strukturni dijagram razmatranog sistema je prikazana na slici 2.8.

2.3.3 Osobine otvorenih sistema automatskog upravǉaǌa• Upravǉaqki sistem i objekt su redno spregnuti, te se prenos signala odvija u otvo-

renom kolu dejstva. Smer prenosa signala kroz sistem naziva se smer dejstva. Kodotvorenih sistema automatskog upravǉaǌa je smer dejstva odre�en prenosom signala(dejstvom) sa upravǉaaqkog sistema na objekt. Povratno dejstvo objekta na upravǉaqkisistem ne postoji kod ovih sistema automatskog upravǉaǌa.

• Informacija o �eǉenom ponaxaǌu objekta je neophodna za stvaraǌe ǌegovog pravilnogupravǉaǌa.


pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni =ž ž

Pu const≠

Vm=const

U

»ž

Xi

9

10

»Z

Slika 2.7. Funkcionalna xema OSAUSDKDP.

� � �� 5

� � � �Xi = nXiz = nz � U

Z1 = Pu

ξXiz

��

ξZ

O

�

�

USOSAUSDKDP

3 4 17

8

910

26

Slika 2.8. Strukturni dijagram OSAUSDKDP.

• Ako su i upravǉaqki sistem i objekt, svaki ponaosob, stabilni onda je i ceo sis-tem automatskog upravǉaǌa stabilan. Ova ǌegova osobina znaqajno pojednostavǉujeprouqavaǌe i projektovaǌe otvorenog sistema automatskog upravǉǌa. Ona je posled-ica redne sprege upravǉaqkog sistema i objekta.

• U otvorenom sistemu automatskog upravǉaǌa sa direktnom kompenzacijom dejstvaporeme�aja upravǉaqki sistem reaguje na uzrok (poreme�aj) ne�eǉenog rada objekta, ito ne qekaju�i pojavu ǌegove posledice (grexke upravǉanog izlaza). Stoga je naqelnomogu�e da se stvarno ponaxaǌe objekta podudara s ǌegovim �eǉenim ponaxaǌem usvakom trenutku i pri dejstvu merenog poreme�aja.

• Otvoreni sistemi automatskog upravǉǌa mogu da obezbede zadovoǉavaju�i rad ob-jekta jedino ako na ǌega deluje mereni poreme�aj - poreme�aj o kome se dovodi in-formacija u upravǉaqki sistem. Ako na objekt deluje neki nemereni poreme�aj, ondase ne�e obezbediti ǌegov zadovoǉavaju�i rad. Ovo predstavǉa suxtinski nedostatakotvorenih sistema automatskog upravǉaǌa.

• U sluqaju delovaǌa nemerenog poreme�aja, a u ciǉu obezbe�eǌa zadovoǉavaju�eg radaobjekta, neophodno je da qovek neposredno uqestvuje u radu otvorenog sistema automat-

2.4. Sistemi automatskog regulisaǌa 15

skog upravǉaǌa kao deo ǌegovog upravǉaqkog sistema, xto predstavǉa jox jedan ne-dostatak ovakvih sistema automatskog upravǉaǌa.

2.4 Sistemi automatskog regulisaǌaOsnovna strukturna osobina ovih sistema je postojaǌe negativne povratne sprege, kojomse upravǉaqki sistem, tj. regulator, obavextava o trenutnoj vrednosti vektora izlaza. Urazmatranom primeru, upravǉaǌa parne turbine, tu povratnu spregu qine:

• 11 - konusni zupqanici,

• 12 - rotiraju�e kugle i

• 13 - ogrlica.Ovi elementi qine merni organ broja obrtaja. Konusnim zupqanicima se rotacija hor-izontalnog vratila prenosi i na vertikalno koje rotira kugle 12. Neka se usled delo-vaǌa proizvoǉnog poreme�aja broj obrtaja turbine pove�ao (smaǌio). Pove�aǌem (sman-jeǌem) broja obrtaja centrifugalna sila udaǉava (pribli�ava) te kugle osi rotacije itime povlaqi ogrlicu 13 gore (dole). Ogrlica silom ξXi

deluje na polugu 5 i pomera jegore (dole) xto prouzrokuje, kao xto je ranije objaxǌeno, zatvaraǌe (otvaraǌe) ventila 2,a samim tim i smaǌeǌe (pove�aǌe) broja obrtaja turbine.

Ovaj sistem ne meri ni jednu poreme�ajnu veliqinu, bez obzira koliko ih ima i da lisu merǉive. Kompenzacija dejstva svih tih preme�aja je indirektna, na bazi grexke ε.Funkcionalna xema, slika 2.9, najboǉe ilustruje princip rada ovakvog koncepta upravǉa-ǌa. Sada je razmatrana turbina postavǉena u okru�eǌe u kojima postoje dve poreme�ajneveliqine: promena ulaznog pritiska je nepoznata funkcija vremena Z1 = Pu, optere�eǌemre�e se meǌa po nepoznatom zakonu Z2 = Vm.

Strukturni dijagram SAR-a je prikazana na slici 2.10.

pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni=

X ni =ž ž

Pu const≠

Vm const≠

Y

»ž

Xi

»Xi

12

13

11

Slika 2.9. Funkcionalna xema SAR.


� � �� Xi = nXiz = nz � Y

Z1 = Pu

ξXiz

O

5

��

ξXi

Z2 = Vm

�

��

R SAR

3 4 17

1112

8

13

26

Slika 2.10. Strukturni dijagram SAR.

Proces upravǉaǌa koji se ostvaruje u zatvorenom sistemu automatskog upravǉaǌa, gdese upravǉaǌe stvara na osnovu grexke upravǉanog izlaza se naziva regulisaǌe.

To ima za posledicu da se kod zatvorenih sistema automatskog upravǉaǌa koristeslede�i pojmovi, termini:

• ZSAU - sistem automatskog regulisaǌa (SAR),• upravǉaqki sistem - regulator• upravǉaǌe U - regulixu�i vektor, regulisaǌe Y,• upravǉaqka veliqina - regulixu�a veliqina,• upravǉaǌi objekt - regulisani objekt,• upravǉani izlaz - regulisani izlaz,• upravǉana veliqina - regulisana veliqina,• upravǉaqki deo objekta - regulisani deo objekta.

2.4.1 Osobine sistema automatskog regulisaǌa• Sistem regulisaǌa se odlikuje zatvorenim kolom dejstva sa negativnom povratnom

spregom, xto predstavǉa ǌegovu strukturnu osobinu.• Potrebna i dovoǉna informacija za pravilan rad regulatora je informacija o grex-

ci regulisane veliqine i ǌenim izvodima. U sistemu regulisaǌa informacija opreme�aju se ne koristi za stvaraǌe upravǉaǌa. Drugaqije reqeno, regulator stupau dejstvo na osnovu informacije o posledici (grexci), a ne uzroka (poreme�aja). Zbogtoga sistem regulisaǌa ne mo�e ni teorijski da ostvari idealan sluqaj: on ne mo�e daobezbedi stalnu podudarnost stvarnog i �eǉenog ponaxaǌa objekta ako na ǌega delujeporeme�aj, ili ako se �eǉeno ponaxaǌe objekta meǌa tokom vremena.

• U sistemu regulisaǌa se ostvaruje jedino indirektna kompenzacija dejstva poreme�aja.• Regulator mo�e da obezbedi zadovoǉavaju�i rad objekta, bez obzira kakav poreme�aj,

do odre�enog intenziteta, deluje na taj objekt, xto predstavǉa bitnu prednost sistemaregulisaǌa nad otvorenim sistemima automatskog upravǉaǌa. Dovoǉno je znati daje poreme�aj najqex�e sluqajne prirode i u pogledu trenutka svog pojavǉivaǌa i upogledu trajaǌa ǌegovog dejstva, karaktera i intenziteta ǌigove promene. Xta vixe,ne mo�e uvek da se predvidi koji sve poreme�ajne veliqine mogu da deluju na objekt.

• Stabilnost objekta i stabilnost regulatora (svakog ponaosob) ne garantuje stabil-nost sistema regulisaǌa. Ova qiǌenica qini analizu i sintezu (projektovaǌe) ovihsistema slo�enijom nego xto su one za otvorene sisteme automatskog upravǉaǌa. Taqiǌenica tako�e postavǉa problem stabilnosti sistema regulisaǌa kao jedan od os-novnih problema koji treba da se pozitivno rexe. Odatle proistiqe fundamentalanznaqaj prouqavaǌa stabilnosti sistema regulisaǌa.

• Sistem regulisaǌa (podrazumeva se automatsko regulisaǌe) ne zahteva neposrednouqex�e qoveka u ciǉu ostvareǌa zadovoǉavaju�eg rada objekta, bez obzira kolikoporeme�ajnih veliqina na ǌega deluje, ako su dozvoǉenih intenziteta.

2.4. Sistemi automatskog regulisaǌa 17

2.4.2 Osnovni problem dinamiqkog ponaxaǌa SAR-a

Uoqimo slede�i problem, koji je osnovni problem dinamiqkog ponaxaǌa sistema regulisa-ǌa. ǋegovo rexavaǌe je jedan od osnovnih zadataka pri sintezi SAR-a.

Ako se broj obrtaja turbine pove�a iznad zadate vrednosti, usled dejstva proizvoǉnogporeme�aja na vremenskom intervalu od npr. τ1 = 2s do τ2 = 3s, crvena kriva na slikama 2.11,2.12 i 2.13, onda �e ventil 2 da se zatvara. Me�utim, unapred se ne zna koliko �e to zat-varaǌe biti. Ako bi se desilo da se ventil zatvori dovoǉno, tako da se stvarna vrednostbroja obrtaja asimptotski dovodi na zadatu vrednost, plava (aperiodiqno) ili zelena (pri-guxno oscilatorno) kriva sa slike 2.11, onda je sistem regulisaǌa stabilan.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Slika 2.11. Dinamiqko ponaxaǌe stabilnog SAR-a.

Ako to zatvaraǌe ventila nije dovoǉno da se potpuno kompenzuje dejstvo poreme�ajate se broj obrtaja meǌa kao xto to slika 2.12 ilustruje, onda je sistem regulisaǌa nagranici stabilnosti (zelena kriva: aperiodiqno graniqno stabilan; plava kriva: oscila-torno graniqno stabilan).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Slika 2.12. Dinamiqko ponaxaǌe graniqno stabilnog SAR-a.


Ako se ventil suvixe zatvori kada broj obrtaja raste, odnosno suvixe otvori kada brojobrtaja opada, mo�e do�i do promene broja obrtaja po zakonu krivih sa slike 2.13. Tada jesistem regulisaǌa nestabilan. Jasno je da je izbor regulatora koji garantuje stabilnostsistemu regulisaǌa osnovni problem koji treba pozitivno rexiti.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−2

−1

0

1

2

3

4

Slika 2.13. Dinamiqko ponaxaǌe nestabilnog SAR-a.

Primer 10Prethodne slike su nacrtane slede�im Matlab skriptom (problsar.m):

clear; pack; clc

% prenosne funkcije stabilnog sistemanum = [1];den = conv([1 2], [1 3]);W1 = tf(num, den)num = [1];den = [1 0.8 1];W2 = tf(num, den)% prenosne funkcije sistema na granici stabilnostinum = [1];den = [1 0 8];W3 = tf(num, den)num = [1];den = [1 2 0];W4 = tf(num, den)% prenosne funkcije nestabilnog sistemanum = [1];den = conv([1 -0.1],[1 1]);W5 = tf(num, den)num = [1];den = [1 -0.1 1];W6 = tf(num, den)

% vremenska osadt = 0.001;n = 2^14;t = (0:n-1)*dt;

2.5. Kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌa 19

% poremec1ajz = zeros(n, 1);z(2000:3000) = 1;

% odzivi sistemaxi1 = lsim(W1, z, t);xi2 = lsim(W2, z, t);xi3 = lsim(W3, z, t);xi4 = lsim(W4, z, t);xi5 = lsim(W5, z, t);xi6 = lsim(W6, z, t);

figure(1); plot (t, [xi1 xi2 z]);gridfigure(2); plot (t, [xi3 xi4 z]); gridfigure(3); plot (t, [xi5 xi6 z]); grid

2.5 Kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌaZadatak kombinovanih sistema automatskog upravǉaǌa je da ostvare i direktnu i indirek-tnu kompoenzaciju dejstva poreme�aja na objekt u ciǉu obezbe�eǌa zadovoǉavaju�eg radatog objekta. Budu�i da je qesto texko izvesti direktnu kompenzaciju svih poreme�aja, onase koristi samo za neke poreme�aje. Da bi se obezbedio tra�eni kvalitet rada objekta ipri dejstvu ostalih poreme�aja na objekt primeǌuje se ǌihova indirektna kompenzacija.Stoga kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌa predstavǉaju sintezu otvorenih sis-tema automatskog upravǉaǌa i sistema regulisaǌa. Prema tome, u razmatranom primeru,ovaj sistem sadr�i sve ono xto sadr�e sistemi sa slika 2.7 i 2.9.

Strukturni dijagram i funkcionalna xema razmatranog sistema su prikazani naslikama 2.14 i 2.15.

� � �� Xi = nXiz = nz � U

Z1 = Pu

ξXiz

�

ξZ

O

5

��

ξXi

�

Z2 = Vm

�

��

USKSAU

3 4 17

9

1112

8

13

10

26

Slika 2.14. Strukturni dijagram KSAU.

2.5.1 Osobine kombinovanog sistema automatskog upravǉaǌa• Za stvaraǌe pravilnog upravǉaǌa u kombinovanom sistemu automatskog upravǉaǌa

potrebne su i dovoǉne ifnormacije o �eǉenom dinamiqkom ponaxaǌu objekta, o grexciǌegovog stvarnog ponaxaǌa i o poreme�aju qije dejstvo treba da se direktno kompenzuje(neutralixe) uticajem upravǉaǌa na taj objekt.

• Ostvaruje se indirektna kompenzacija uticaja svih poreme�ajnih veliqina na radobjekta na osnovu grexke ǌegovog izlaza i direktna kompenzacija uticaja merenihporeme�ajnih veliqina na taj objekt.

20P

oglavǉ

e2.

Sistem

iautom

atskogupravǉ

aǌa

pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni=

X ni =ž ž

Pu const≠

Vm const≠

U

»ž

Xi

9

10

»Z»Xi

12

13

11

Slika

2.15.F

unkcionalnax

ema

KS

AU

.

2.6. Funkcija i struktura upravǉaqkog sistema 21

• Ako na objekt deluje samo mereni poreme�aj, teorijski je mogu�e da se ostvari podu-darnost stvarnog i �eǉenog ponaxaǌa objekta.

• Poxto u kombinovanom sistemu automatskog upravǉaǌa postoji povratna sprega, sta-bilnost upravǉaqkog sistema i stabilnost objekta (svakog ponaosob) ne garantuje sta-bilnost celog sistema upravǉaǌa. Stabilnost kombinovanog sistema automatskog up-ravǉaǌa treba da se ispita u svakom posebnom, konkretnom sluqaju.

• Da bi se obezbedio zadovoǉavaju�i rad objekta nije potrebno da qovek neposrednouqestvuje u procesu upravǉaǌa qak i ako na objekt deluje nemereni poreme�aj.

Primer 11Objasniti princip rada i koncept automatskog upravǉaǌa sistema qija je funkcionalnaxema prikazana na slici 2.16.

PN=1,4 bar

X Pi =ž ž

X Pi=U

Slika 2.16. SAU rezervoara pod pritiskom.

2.6 Funkcija i struktura upravǉaqkog sistemaDa bi upravǉaqki sistem ostvario zadatak odre�en ǌegovom definicijom on mora da izvrxiniz funkcija od kojih neke zavise, a neke ne, od koncepta upravǉaǌa zastupǉenog u sistemuautomatskog upravǉaǌa. Samim tim funkcije koje US izvrxava mogu da se podele na:

• opxte funkcije upravǉaqkog sistema, koje su sadr�ane u svakom koceptu upravǉaǌa,

• posebne funkcije upravǉaqkog sistema, koje zavise od izabranog koncepta.

Definicija 2.6.1 Deo upravǉaqkog sistema koji u potpunosti izvrxava jednu ǌegovufunkciju se naziva organ upravǉaqkog sistema.

2.6.1 Opxte funkcije upravǉaqkog sistema• Upravǉaqki sistem treba da primi informaciju o �eǉenom dinamiqkom ponaxaǌu

objekta, Xiz, da zapamti tu informaciju i daje stalno signal ξXizo ǌoj. Organ up-

ravǉaqkog sistema koji izvrxava ovu funkciju je zadavaq, pozicija 1 na struktunom


dijagramu sa slike 2.17. Ako je ξXiz= ξXiz

(t) onda se zadavaq naziva programator.U razmatranom primeru zadavaq qine zavrtaǌ 3 i opruga 4, a signal ξXiz

o �eǉenojvrednosti Xiz = nz je srazmeran deformacionoj sili opruge.

� �98

US

Xiz ξiz

ξXi

ξz

Z

U

Xi

1 2 3 5

4

7

6

Slika 2.17. Opxti strukturni dijagram upravǉaqkog sistema.

• Upravǉaqki sistem treba da ostvari zakon (algoritam) upravǉaǌa. Ovu funkcijuostvaruje korekcioni organ, koji se u opxtem sluqaju sastoji od:

– redni korekcioni organ, pozicija 2 sa slike 2.17,– korekcioni organ glavne grane lokalne povratne sprege, pozicija 3,– korekcioni organ povratne grane lokalne povratne sprege, pozicija 4.

U prikazanim primerima hidrauliqki prenosni organ sa krutom povratnom spregom (6,7 i 8 sa slika 2.5, 2.7, 2.9 i 2.15) predstavaǉa korekcioni organ.

• Upravǉaqki sistem treba da stvori upravǉaǌe dovoǉnog intenziteta u svakom tre-nutku. Ovu funkciju ostvaruje izvrxni organ, pozicija 5 na slici 2.17. Izlaz izizvrxnog organa je ujedno i izlaz iz upravǉaqkog sistema, a to je upavǉaǌe U. Izvr-xni oragan upravǉaqkog sistema je uvek direktno spregnut sa upravǉaqkim organom ob-jekta. U prethodnim primerima izvrxni organ je hidrauliqki cilindar, a upravǉaqkiorgan objekta je ventil 2, koji dejstva upravǉaǌa prenosi na procesni deo objekta -parnu turbinu 1.

2.6.2 Posebne funkcije upravǉaqkog sistema• U OSAUSDKDP i KSAU upravǉaqki sistem treba da meri vrednosti poreme�ajnih

veliqina sadr�ane u vektoru Z i da koristi signal ξZ o ǌima. Ovu ǌegovu funk-ciju ostvaruje merni organ poreme�aja, pozicija 6 sa slike 2.17. U razmatranimprimerima merni organ poreme�aja qine blenda 9 i membranski motor 10.

• Kod SAR-a i KSAU-a upravǉaqki sistem treba da izmeri stvarnu vrednost upravǉanogizalaza Xi i koristi signal ξXi

o ǌemu. Ovu funkciju realizuje merni organ izlaza,pozicija 7 na slici 2.17. Konusni zupqanici, rotiraju�e kugle i ogrlica predstavǉajumerni organ izlaza u razmatranim primerima.

• Upravǉaqki sistem kod SAR-a, regulator, treba da utvrdi grexku upravǉanog izlazaε, upore�uju�i �eǉeni i stvarni vektor izlaza. Ovu funkciju ostvaruje sabiraq 8,koji se naziva upore�ivaq. Poluga 5 sa fukcionalne xeme prikazane na slici 2.9predstavǉa upore�ivaq datog regulatora.

Na osnovu prethodno izlo�enog, jasno je da je na slici 2.17 prikazan opxti strukturnidijagram upravǉaqkog sistema KSAU-a. Uklaǌaǌem pojedinih elemenata, tj. organa US,sa tog strukturnog dijagrama, mogu da se dobiju opxti strukturni dijagrami upravǉaqkihsistema svih ostalih koncepata automatskog upravǉaǌa.

Poglavǉe 3

Vremenski odzivi sistema

3.1 Tipiqne promene ulaznih veliqina

Definicija 3.1.1 Promena izlaza sistema u toku vremena, bilo da je izazvana dejstvomulaza bilo dejstvom poqetnih uslova, bilo dejstvom i ulaza i poqetnih uslova, je vremenskiodziv sistema, ili kra�e odziv sistema.

Odziv sistema je jedna od dinamiqkih karakteristika sistema. On je rezultat radasistema i opisuje taj rad. Odnosno, odziv sistema je rezultat prirode sistema, dejstvaulaza i poqetnih uslova (poqetnog staǌa). On je spoǉna reakcija sistema na ova dejstva.

Matematiqki posmatrano, odziv sistema je rexeǌe diferencijalne jednaqine ponaxaǌa togsistema za zadatu promenu ulaza i zadate poqetne uslove.

Zahvaǉuju�i zakonu superpozicije, Odeǉak 3.2, koji va�i za linearne sisteme, odzivisistema na slo�ene promene ulaznih veliqina, mogu da se dobiju jednostavnim sabiraǌemodziva na jednostavne, tipiqne, promene ulaznih veliqina. Ova osobina linearnih sistemabitno pojednostavǉuje analizu ǌihovog dinamiqkog ponaxaǌa.

Za upoznavaǌe, utvr�ivaǌe i analizu odziva linearnih sistema dovoǉno je prouqiti ǌi-hove odzive na odre�ene, tipiqne promene ulaza. Tri najqex�e korix�ene ulazne veliqineza dinamiqku analizu sistema su Hevisajdova ili odskoqna (u Matlabu step), Dirakovaili impulsna (impulse) i sinusna fukcija (sin). Za sve tipiqe promene ulaznih veliqinaje zajedniqko da su one do poqetnog trenutka bile jednake nuli. Za poqetni trenutak seusvaja t0 = 0, xto je opravdano poxto se prouqavaju samo linearni stacionarni sistemiqije dinamiqko ponaxaǌe ne zavisi od izbora poqetnog trenutka.

• h(t) - jediniqna odskoqna funkcija (Hevisajdova funkcija)

Ova funkcija je definisana slede�im izrazom:

h(t)

⎧⎪⎨⎪⎩

= 0, t < 0,

∈ [0, 1], t = 0,

= 1, t ∈ ]0,+∞[.(3.1)

ǋen grafik je prikazan na slici 3.1.

�

�0 t

h(t)

1

Slika 3.1. Jediniqna odskoqna funkcija (Hevisajdova funkcija).

23

24 Poglavǉe 3. Vremenski odzivi sistema

Odziv sistema na ovakav ulaz, Hevisajdovu funkciju, naziva se jediniqni odskoqniodziv ili prelazna funkcija i obele�ava se sa g(t):

Xu(t) = h(t) ⇒ Xi(t) = g(t).

Hevisajdova funkcija je vrlo znaqajna za odre�ivaǌe pokazateǉa kvaliteta prelaznogprocesa kao i stacionarnih osobina sistema (pozicionog pojaqaǌa, pozicione statiqkegrexke, ...).

• hα(t) - odskoqna funkcija

hα(t)

⎧⎪⎨⎪⎩

= 0, t < 0,

∈ [0, α], t = 0,

= α, t ∈ ]0,+∞[.(3.2)

ǋen grafik je prikazan na slici 3.2. Odziv sistema na odskoqnu funkciju se naziva

�

�0 t

hα(t)

α

Slika 3.2. Odskoqna funkcija.

odskoqni odziv i oble�ava sa gα(t):

Xu(t) = hα(t) = αh(t) ⇒ Xi(t) = gα(t). (3.3)

Samo za linearne sisteme va�i:gα(t) = αg(t). (3.4)

• hα(t − Tk) - odskoqna funkcija sa kaxǌeǌem

hα(t − Tk)

⎧⎪⎨⎪⎩

= 0, t < Tk,

∈ [0, α], t = Tk,

= α, t ∈ ]Tk,+∞[.(3.5)

ǋen grafik je prikazan na slici 3.3.

�

�0 tTk

Tk ∈ ]0,+∞[hα(t − Tk)

α

Slika 3.3. Odskoqna funkcija sa kaxǌeǌem.

• δ(t) - jediniqna impulsna funkcija (Dirakova funkcija)

Posmatraju se dve funkcije:1εh(t) i −1

εh(t − ε), slika 3.4. ǋihov algebarski zbir je:

h(t) − h(t − ε)ε

,

3.1. Tipiqne promene ulaznih veliqina 25

�

�

�

�

1ε

−1ε

0 ε t

1εh(t)

−1εh(t − ε)

1ε

ε0 t

Slika 3.4. Funkcije1εh(t) i −1

εh(t − ε) i ǌihov algebarski zbir.

a jediniqna impulsna funkcija, Dirakova funkcija, je definisana relacijom:

δ(t) = limε→0+

h(t) − h(t − ε)ε

. (3.6)

Geometrijska interpretacija Dirakove funkcije je prikazana na desnoj slici slike 3.4.S obzirom da se radi o graniqnoj vrednosti kada se ε beskonaqno smaǌuje, onda puls,

pravougaonik stranica ε i1ε, postaje impuls. Povrxina tog impulsa je, kao i povrxina

pulsa, P = ε1ε

= 1, pa se zato ova funkcija koja je u nuli beskonaqnog intenziteta (ne

jediniqnog) naziva jediniqna impulsna funkcija.Samim tim Dirakova funkcija ima osobinu da je

∫ +∞

−∞δ(t)dt =

∫ 0+

0−δ(t)dt = 1, δ(0) = +∞, δ(t) = 0,∀(t �= 0) ∈ ]−∞,+∞[.

Odziv sistema na Dirakovu funkciju je tako�e tipiqan (poxto je ulaz tipiqan i odzivje tipiqan) i naziva se jediniqni impulsni odziv i obele�ava sa i(t).

Xu(t) = δ(t) ⇒ Xi(t) = i(t).

• n(t) - nagibna funkcijaAnalitiqki opis nagibne funkcije, n(t), je:

n(t) =

{0, t ∈ ]−∞, 0

],

αt, t ∈ [0,+∞[, α ∈ ]−∞,+∞[, (3.7)

xto mo�e da se napixe u kra�em obliku

n(t) = αth(t). (3.8)

Funkcija αt se mno�i sa funkcijom h(t) da bi nagibna funkcija n(t) bila jednaka nuliza ∀t < 0. Grafik nagibne funkcije n(t) je prikazan na slici 3.5. Odziv sistema na

�

�0 t

n(t)

Slika 3.5. Nagibna funkcija.

nagibni ulaz je nagibni odziv.


• e(t) - eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija, oznaqena sa e(t), je definisana sa:

e(t)

⎧⎪⎨⎪⎩

= 0, t ∈ ]−∞, 0[,

∈ [0, α], t = 0,

= αeβt, t ∈ ]0,+∞[.(3.9)

Ovo mo�e da se kra�e napixe sa:

e(t) = αeβth(t). (3.10)

Grafik eksponencijalne funkcije je prikazan na slici 3.6 za α ∈ ]0,+∞[.

�

�0 t

e(t)

α

β > 0

β = 0

β < 0

Slika 3.6. Eksponencijalna funkcija.

Odziv sistema na eksponencijalnu promenu ulaza se naziva eksponencijalni odziv.

• s(t) - sinusna funkcija

Sinusna funkcija, oznaqena sa s(t), definisana je sa:

s(t)

⎧⎪⎨⎪⎩

= 0, t ∈ ]−∞, 0],

∈ [0, α sin θ], t = 0,

= α sin (ωt + θ), t ∈ ]0,+∞[.(3.11)

xto mo�e da se sa�me u oblik:

s(t) = αh(t) sin (ωt + θ), (3.12)

a ǌeg grafik je prikazan na slici 3.7.

�

�0 t

s(t)

α

−α

π − θ

ω

2π − θ

ω

Slika 3.7. Sinusna funkcija.

Odziv sistema na sinusnu promenu ulazne veliqine se naziva sinusni odziv.

3.2. Zakon superpozicije 27

3.2 Zakon superpozicijeJedna od najva�nijih osobina koju imaju linearni sistemi je da za ǌih va�i zakon super-pozicije, xta vixe oni su tako i definisani, tj. neki sistem jeste linearan ako za ǌegava�i zakon superpozicije.

Ilustrujmo to na jednom primeru pre nego xto taj zakon egzaktno iska�emo. Posmatrase jedan jednostruko prenosni sistem, tj. sistem koji ima jednu ulaznu i jednu izlaznuveliqinu, slika 3.8.

S� �Xu Xi

Slika 3.8. Jednostruko prenosni sistem.

Utvr�ivaǌe osobine linearnosti odziva sistema mo�e da se objasni izvo�eǌem slede�atri eksperimenta ili simulacije (izlo�eni rezultati su simulacioni):

• Sistem se pobu�uje proizvoǉnom ulaznom veliqinom, npr. jediniqnom odskoqnomfunkcijom sa kaxǌeǌem Xu = h(t − 5). Oznaqimo ovakvu promenu ulazne veliqine saXu1 (ulazna veliqina Xu u prvom eksperimentu ili simulaciji). Odziv razmatranogsistema na takvu pobudu Xi(Xu1), oznaqen sa Xi1, pri nultim poqetnim uslovima jeprikazan na slici 3.9.

0 5 10 15 200

1

2

3

4

Xu1

=h(t−5)

0 5 10 15 200

1

2

3

4

Xi1

Slika 3.9. Odziv sistema na Xu1 = h(t − 5).

• U drugom eksperimentu ili simulaciji, pobudimo sistem nekom drugom proizvoǉnomulaznom veliqinom, npr. sinusnom funkcijom Xu = sin(0, 5t), i oznaqimo takvu promenusa Xu2. Sinusni odziv sistema, Xi(Xu2) oznaqen sa Xi2, pri nultim poqetnim uslovimaprikazan je na slici 3.10.

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

Xu2

=sin(0,5⋅t)

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

Xi2

Slika 3.10. Odziv sistema na Xu2 = sin(0, 5 · t).


• Na kraju, sistem se pobu�uje ulaznom veliqinom koja je jednaka ponderisanom zbiruulaznih veliqina iz prva dva eksperimenta, tj. simulacije:

Xu = α1Xu1 + α2Xu2,

pri qemu su za α1 i α2 usvojene slede�e vrednosti

α1 = 0, 7 α2 = 1, 2.

Dobijeni odziv sistema na taj slo�eni ulaz je prikazan na sredǌoj slici (crvenakriva) slike 3.11.

0 10 20

0

2

4

6

Xu=α

1 X

u1 + α

2 X

u2

0 10 20

0

2

4

6

Xi=X

i(α

1 X

u1 + α

2 X

u2)

0 10 20

0

2

4

6

Xi=α

1 X

i1 + α

2 X

i2

Slika 3.11: Odziv sistema na Xu = α1Xu1 + α2Xu2 = 0, 7 · h(t − 5) + 1, 2 · sin(0, 5 · t)i zbir odziva Xi = α1Xi1 + α2Xi2 = 0, 7 · Xi1 + 1, 2 · Xi2.

Tako dobijeni odziv se upore�uje sa ponderisanim (na isti naqin α1 = 0, 7, α2 = 1, 2)zbirom partikularnih odziva Xi1 iz prve simulacije i Xi2 iz druge simulacije. Takavzbir je prikazan na desnoj slici (zelena kriva) slike 3.11.Ako su ta dva odziva:

Xi = Xi(Xu) = Xi(α1Xu1 + α2Xu2)

iXi = α1Xi(Xu1) + α2Xi(Xu2) = α1Xi1 + α2Xi2

jednaka, i ako to va�i za bilo koje Xu iz prvog eksperimenta (Xu1), bilo koje Xu izdrugog eksperimenta (Xu2), bilo koje α1 i α2, onda za odziv tog sistema va�i zakonsuperpozicije.

Ako se razmatra vixestruko prenosni sistem: sistem qiji je zbir broja ulaznih i brojaizlaznih veliqina M + N > 2, slika 3.12, onda zakon suprerpozicije mo�e da se iska�e u

� ��

� �

Xu1

Xu2

...XuM

Xi1

Xi2

...XiN

S

Slika 3.12. Vixestruko prenosni sistem.

opxtem sluqaju.

Definicija 3.2.1 Za odziv sistema S, slika 3.12, va�i zakon superpozicije ako i samoako va�i:

Xi(α1Xu1 + α2Xu2) ≡ α1Xi(Xu1) + α2Xi(Xu2). (3.13)

3.3. Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije upravǉanog objekta 29

Identitet u (3.13) iskazuje da taj izraz va�i za bilo koju kombinaciju ulaznih veliqinaXui, i = 1, 2, . . . ,M , u okviru vektora Xu1 i Xu2:

Xu1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

Xu1

Xu2

...XuM

⎞⎟⎟⎟⎠ i Xu2 =

⎛⎜⎜⎜⎝

Xu1

Xu2

...XuM

⎞⎟⎟⎟⎠

i za bilo koje realne brojeve α1 i α2, tj. identitet(3.13) mo�e da se prika�e slede�omjednaqinom:

Xi(α1Xu1 + α2Xu2) = α1Xi(Xu1) + α2Xi(Xu2), ∀(α1, α2,Xu1,Xu2) ∈ R×R×RM ×RM . (3.14)

Sistem S, slika 3.12, za qiji odziv va�i zakon superpozicije je izlazno linearan. To neznaqi da je sistem (kompletno) linearan. U narednim poglavǉima �e biti pokazano da je zalinearnost sistema potrebno da zakon superpozicije va�i i za odziv i za kretaǌe sistema.

3.3 Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije upravǉanogobjekta

Osnovni zadatak objekta je da u nominalnim uslovima svog rada ostvari zahtevano di-namiqko ponaxaǌe, koje je opisano �eǉenom promenom totalne vrednosti ǌegove izlazneveliqine, u oznaci Xiz(t).

U promenǉivim uslovima rada objekta zahteva se da ǌegovo stvarno dinamiqko ponaxaǌebude dovoǉno blisko ǌegovom �eǉenom dinamiqkom ponaxaǌu. Drugim reqima, razlika ε(t)izme�u �eǉenog (Xiz(t)) i stvarnog (Xi(t)) dinamiqkog ponaxaǌa objekta treba da bude uodre�enim granicama (podrazumeva se da su intenziteti poreme�aja u granicama za koje jedati objekt konstruisan).

Grexka izlazne veliqine objekta je definisana sa

ε(t) = Xiz(t) − Xi(t).

Razlika izme�u stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa objekta i ǌegovog �eǉenog dinamiqkogponaxaǌa je odstupaǌe xi(t) izlazne veliqine tog objekta:

xi(t) = Xi(t) − Xiz(t), xi(t) = −ε(t).

Velika slova (npr. Xi) oznaqavaju totalne vrednosti veliqina koje se mere u odnosu natotalnu nulu. Mala slova (npr. xi) oznaqavaju odstupaǌa.

Da bi se definisala zahtevana bliskost stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa objekta ǌegovom�eǉenom ponaxaǌu, tj. da bi se definisala dozvoǉena grexka ε(t) ǌegove izlazne veliqine,definixu se osnovni pokazateǉi kvaliteta dinamiqkog ponaxaǌa, koji su prikazani naslici 3.13.

Π - preskok, predstavǉa razliku vrednosti prvog maksimuma prelazne funkcije i ǌenevrednosti u stacionarnom staǌu. Preskok se izra�ava u procentima od graniqne vred-nosti prelazne funkcije kada t → +∞ (tj. u procentima od pozicionog pojaqaǌa). Ovajpokazateǉ je mera stepena relativne stabilnosti sistema.

εd - dinamiqka grexka izlazne veliqine, grexka koja se javǉa u trenutku pojave preskoka

εd = ε(τd).

τd - trenutak pojavǉivaǌa dinamiqke grexke (preskoka).

τu - vreme uspona je vreme koje je potrebno da prelazna funkcija od 10% dostigne 90%od svoje vrednosti u stacionarnom re�imu kod aperiodiqnih odziva, a u sluqaju os-cilatornog odziva, kao xto je na slici 3.13, od 0% do 100% stacionarne vrednosti.Vrednost vremena uspona karakterixe pored brzine odziva i sposobnost sistema da nasvom izlazu xto vernije reprodukuje ulazne signale. Pri tome du�em vremenu usponaodgovara ve�e izobliqeǌe u prenosu signala.


�

�

�

�

Πεd

Xi(t) = g(t)

τsτd0

1

tτ

ε(τ) xi(τ)�

�

Xiz(t) = h(t)

t = +∞

Xi(t)

τu

�

K

��εs

�

�

�εm

εm

Slika 3.13. Prelazna funkcija objekta.

τs - vreme smireǌa je prvi trenutak posle koga apsolutna vrednost grexke ni u jednomtrenutku nije ve�a od εm. Posle tog trenutka mo�e da se ka�e da je prelazni procespraktiqno ixqezao, bar xto se taqnosti tiqe.

|ε(t)| ≤ εm, ∀t ∈ [τs,+∞[.

εm - najve�a (maksimalna) dozvoǉena apsolutna vrednost grexke posle trenutka τs. Tavrednost je najqex�e 2 ili 5% od vrednosti prelazne funkcije u stacionarnom radnomre�imu.

K - pojaqaǌe (poziciono) je graniqna vrednost prelazne funkcije g(t) objekta, ako ta gra-niqna vrednost postoji:

K = limt→+∞ g(t).

εs - statiqka grexka (poziciona) je graniqna vrednost grexke izlazne veliqine objekta,ako ta graniqna vrednost postoji:

εs = limt→+∞ ε(t).

Napomena: Svi prethodno definisani pokazateǉi kvaliteta prelaznog procesa su dati uodnosu na g(t), tj. kada je sistem pobu�en jediniqnom odskoqnom funkcijom h(t). U sluqajuda je sistem pobu�en odskoqnom funkcijom hα(t), gde je α �= 1, onda treba imati u vidu da suvrednosti odziva gα(t), u bilo kom trenutku t, α puta ve�e od vrednosti g(t), tj.

gα(t) = αg(t), ∀t ∈ R.

U tom sluqaju je npr. pojaqaǌe, definisano u najopxtijem smislu sa:

K = limt→+∞

gα(t)hα(t)

= limt→+∞

gα(t)αh(t)

= limt→+∞

gα(t)α

= limt→+∞

αg(t)α

= limt→+∞ g(t),

jednako koliqniku vrednosti prelazne funkcije u beskonaqnosti i vrednosti odskoqne funk-cije u beskonaqnosti:

K =gα(+∞)hα(+∞)

=gα(+∞)

α.

3.3. Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije upravǉanog objekta 31

Sliqne relacije va�e i za ostale pokazateǉe. Zato, da ne bi doxlo do ne�eǉenih grexaka uodre�ivaǌu pojedinih pokazateǉa najjednostavniji naqin je da se gα(t) svede na g(t), deleǌemsa α.

Neupravǉani objekt ne mo�e sam po sebi da ostvari sve �eǉene pokazateǉe. To je osnovnirazlog da se objekt upravǉa, odnosno da se on spregne sa upravǉaqkim sistemom u sistemautomatskog upravǉaǌa. Zadatak upravǉaqkog sistema, tj. upravǉaǌa je da svojim dejstvomna objekt primora taj objekt da ostvari zahtevane vrednosti svih navedenih pokazateǉa.

Primer 12Korix�eǌe Matlaba za odre�ivaǌe pokazateǉa kvaliteta prelazne funkcije upravǉanogobjekta, mo�e da se ilustruje slede�im skriptom (Pokazatelji.m).

clear; pack; close all; clcdt = 0.001;t = 0:dt:6;% matematichki model objektanum = [0 0 12];den = conv([1 1+3*i], [1 1-3*i]);W = tf(num, den)% prelazna funkcija objekta[y, t] = step(W, t);pok = figure (1);set (pok, ’Position’, [100 100 600 300])plot (t, y);hold ongridxlabel (’t [s]’);ylabel (’g(t)’);

% vrednost izlaza u stacionarnom stanju - pojachanjeK = num(end)/den(end)plot([t(1) t(end)], [y(end) y(end)], ’g’);

% vreme usponar = 1;while y(r) < 1.*K;

r = r + 1;endvreme_uspona = t(r - 1)plot([t(r-1) t(r-1)], [y(1) y(r-1)], ’r’);text(t(r-1), y(1)-0.05*K, ’\tau_u’, ’Color’, ’r’)

% vreme smirenja za 2%r = length (t);while y(r) > 0.98*K & y(r) < 1.02*K;

r = r - 1;endvreme_smirenja = t(r - 1)plot([t(r-1) t(end)], [y(r-1) y(r-1)], ’r’);plot([t(r-1) t(r-1)], [y(1) y(r-1)], ’r’);text(t(r-1), y(1)-0.05*K, ’\tau_s’, ’Color’, ’r’)

% preskok[y_max, tp] = max(y);vreme_preskoka = t(tp - 1)preskok = y_max - Kplot([t(tp-1) t(tp-1)], [y(1) y(tp-1)], ’r’);text(t(tp-1), y(1)-0.05*K, ’\tau_d’, ’Color’, ’r’)


% statichka greshkaeps_s = 1 - K

Dobijeni rezulati su prikazani narednim linijama iz Matlab prozora i slikom 3.14.

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

t [s]

g(t)

τu

τs

τd

Slika 3.14. Prelazna funkcija objekta Wo(s) =12

s2 + 2s + 10.

Transfer function:12

--------------s^2 + 2 s + 10

K =1.2000

vreme_uspona =0.6300

vreme_smirenja =3.5340

vreme_preskoka =1.0460

preskok =0.4211

eps_s =-0.2000

Poglavǉe 4

Oblici matematiqkih modelasistema

4.1 Diferencijalna jednaqina ponaxaǌa

Posmatra se linearni stacionarni sistem sa slike 4.1, qije dinamiqko ponaxaǌe mo�e da se

SXu(t) Xi(t)

��

Slika 4.1. Vixestruko prenosni sistema.

opixe linearnim nehomogenim diferencijalnim jednaqinama razliqitog reda. Me�utim, zaprouqavaǌe dinamiqkih osobina sistema dovoǉno je poznavati odgovaraju�u diferencijalnujednaqinu najni�eg reda. Isto va�i i za prouqavaǌe odziva sistema na poznatu promenuulazne veliqine i pri poznatim poqetnim uslovima.

Definicija 4.1.1 Diferencijalna jednaqina najni�eg reda koja potpuno dinamiqkiopisuje sistem, tj. koja omogu�ava da se odrede vrednosti izlaza sistema i svih ǌegovihizvoda na intervalu [t0,+∞) za svaki poqetni trenutak t0 ∈ R, a pri poznatim poqetnimvrednostima (u trenutku t0) svih izvoda izlaza i pri poznatim vrednostima ulaza na is-tom intervalu [t0,+∞), je diferencijalna jednaqina ponaxaǌa tog sistema, ili kra�ejednaqina ponaxaǌa sistema.

Opxti oblik diferencijalne jednaqine ponaxaǌa jednostruko prenosnog sistema mo�e dase predstavi slede�om skalarnom nehomogenom diferencijalnom jednaqinom sa konstantnimkoeficijentima:

anX(n)i (t) + an−1X

(n−1)i (t) + . . . + a2Xi(t) + a1Xi(t) + a0Xi(t) =

= b0Xu(t) + b1Xu(t) + b2Xu(t) + . . . + bm−1X(m−1)u (t) + bmX(m)

u (t), (4.1)

pri qemu je n najvixi izvod izlazne veliqine, a m najvixi izvod ulazne veliqine i pritome mora da bude ispuǌeno m � n.

Jednaqina (4.1) mo�e da se napixe jednostavnije i kra�e kao

n∑k=0

akX(k)i (t) =

m∑k=0

bkX(k)u (t), m � n. (4.2)

33

34 Poglavǉe 4. Oblici matematiqkih modela sistema

U sluqaju vixestruko prenosnog sistema jednaqina (4.2) poprima svoj opxti oblik, kojimmo�e da se opixe bilo koji linearni stacionarni sistem:

l∑k=0

AkX(k)i (t) =

m∑k=0

BkX(k)u (t), m � l, (4.3)

gde su A ∈ RN×N i B ∈ RN×M matrice sa konstantnim koeficijentima, a l i m najvixiizvodi koji se javǉaju me�u izlaznim, odnosno ulaznim veliqinama.

Prethodna jednaqina ponaxaǌa je data u totalnim koordinatama i ona va�i u svimuslovima rada sistema, samim tim va�i i u nominalnim radnim uslovima, tj. za Xi(t) =Xiz(t) i Xu(t) = XuN (t):

l∑k=0

AkX(k)iz (t) =

m∑k=0

BkX(k)uN (t), m � l. (4.4)

Ako se od jednaqine (4.3) oduzme jednaqina (4.4), dobija se

l∑k=0

Ak[Xi(t) − Xiz(t)](k) =m∑

k=0

Bk[Xu(t) − XuN (t)](k), m � l. (4.5)

Uvo�eǌem oznaka

xi(t) = Xi(t) − Xiz(t), (4.6)

xu(t) = Xu(t) − XuN (t), (4.7)

koje predstavǉaju apsolutna odstupaǌe pojedinih veliqina od ǌihovih nominalnih vredno-sti, jednaqina (4.5) mo�e da se napixe u slede�em obliku:

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

m∑k=0

Bkx(k)u (t), m � l (4.8)

i ta jednaqina predstavǉa najopxtiji oblik diferencijalne jednaqine ponaxaǌa, po odstu-paǌima, za linearne stacionarne sisteme. Upore�uju�i tu jednaqinu, (4.8), sa jednaqinomu totalnim koordinatama (4.3), zakǉuquje se da su one istoga reda, sa istim matriqnimkoeficijentima, tj. da za prouqavaǌe linearnih stacionarnih sistema mogu da se koriste,potpuno ravnopravno, matematiqki model u totalnim koordinatama, ili matematiqki mo-del po apsolutnim odstupaǌima. Osnovna razlika, koju treba i ovde ista�i, je da nultimodstupaǌima u (4.8) odgovaraju nominalne vrednosti u totalnim koordinatama u (4.3), tj.

xu(t) = 0u ⇔ Xu = XuN (t), (4.9)

xi(t) = 0i ⇔ Xi = Xiz(t). (4.10)

U narednim poglavǉima ova transformacija koordinata �e da bude detaǉno objaxǌena.

Primer 13Neka su date skalarne diferencijalne jednaqine ponaxaǌa nekog vixestruko prenosnog sis-tema, koji ima dve izlazne i tri ulazne veliqine:

xi1(t) + 3xi2(t) − 4xi1(t) + 5xi1(t) = 2xu1(t) − 7xu3(t) + 4xu2(t), (4.11a)

xi1(t) + 3xi2(t) + 2xi1(t) + 8xi1(t) + 9xi2(t) = xu2(t) + 3xu3(t) + 6xu1(t). (4.11b)

Ako se usvoji xi(t) = (xi1(t) xi2(t))T i xu(t) = (xu1(t) xu2(t) xu3(t))

T , onda jednaqine (4.11) moguda se napixu u slede�em matriqnom obliku:(

1 01 3

)

︸︷︷︸A2

xi(t) +(−4 3

2 0

)

︸︷︷︸A1

xi(t) +(

5 08 9

)

︸︷︷︸A0

xi(t) =

=(

2 0 −70 1 3

)

︸︷︷︸B0

xu(t) +(

0 4 00 0 0

)

︸︷︷︸B1

xu(t) +(

0 0 06 0 0

)

︸︷︷︸B2

xu(t), (4.12)

4.2. Prenosna funkcija i prenosna matrica sistema 35

odnosno, za poznate matrice Ak i Bk, k = 0, 1, 2,

A2xi(t) + A1xi(t) + A0xi(t) = B0xu(t) + B1xu(t) + B2xu(t), (4.13)

tj. sa�eto2∑

k=0

Akx(k)i (t) =

2∑k=0

Bkx(k)u (t). (4.14)

4.2 Prenosna funkcija i prenosna matrica sistemaZa odre�ivaǌe odziva sistema potrebno je rexiti diferencijalnu jednaqinu ponaxaǌa,kojom je taj sistem opisan. Rexavaǌe linearnih nehomogenih diferencijalnih jednaqina sakonstantnim koeficijentima, koje opisuju sisteme koji se ovde prouqavaju, mo�e jednostavnoda se izvede primenom Laplasovih transformacija.

4.2.1 Laplasova transformacijaLaplasova transformacija omogu�ava jednostavan prelazak iz vremenskog domena u kom-pleksni domen, u kome se funkcije poput sinusne, kosinusne, eksponencijalne, ..., prevodeu algebarske funkcije kompleksne promenǉive s. Operacije kao xto su diferencijaǉeǌei integraǉeǌe zameǌuju se algebarskim operacijama u kompleksnoj ravni. To znaqi da sediferencijalne jednaqine prevode u algebarske jednaqine kompleksne promenǉive s. Rexe-ǌa tih jednaqina u funkciji promenǉive s lako se prevode u vremenski domen (inverznaLaplasova transformacija), korix�eǌem tablica Laplasove transformacije ili odre�iva-ǌem rezidijuma i razlagaǌem rexeǌa na elementarne tabliqne funkcije.

Osim toga, primena Laplasove transformacije na diferencijalnu jednaqinu ponaxaǌadovodi do pojma prenosne funkcije sistema, koji ima fundamentalni znaqaj jer omogu�avada se analiza dinamiqkog ponaxaǌa sistema izvrxi u kompleksnom i uqestanosnom domenu.

Laplasova transformacija je definisana na slede�i naqin.

Definicija 4.2.1 Ako postoje graniqne vrednosti funkcije x(t)

limα→0±

∫ +∞

α

x(t)e−stdt, (4.15)

onda su one:• leva Laplasova transformacija funkcije x(t):

L− {x(t)} = X−(s) =∫ +∞

0−x(t)e−stdt, (4.16)

• desna Laplasova transformacija funkcije x(t):

L+ {x(t)} = X+(s) =∫ +∞

0+x(t)e−stdt. (4.17)

Ako je X−(s) = X+(s), onda funkcija x(t) ima Laplasovu transformaciju, u oznaci

L{x(t)} = X(s) =∫ +∞

0

x(t)e−stdt. (4.18)

Funkcija x(t) mo�e da ima razliqitu levu i desnu Laplasovu transformaciju, u sluqajuda ta funkcija ima prekid u nuli. Jediniqna odskoqna funkcija ima prekid prve vrste unuli, tj.

h(0−) = 0, h(0+) = 1.

Za funkciju koja ima prekid prve vrste u taqki τ se usvaja da joj je vrednost u taqki prekidajednaka vrednosti u τ+. To znaqi da definicija Hevisajdove funkcije mo�e da se prika�ekao

h(t) =

{0, t < 0,

1, t � 0,


pa su ǌoj leva i desna Laplasova transformacija jednake.Dirakova, jediniqna impulsna, funkcija sadr�i prekid druge vrste u trenutku t = 0 i

ǌene vrednosti su:δ(0−) = +∞, δ(0+) = 0.

To znaqi da ǌena leva Laplasova transformacija (koja je jednaka jedinici) i desnaLaplasova transformacija (koja je nula) nisu jednake.

Kompleksna promenǉiva s mo�e da se prika�e kao

s = σ + jω, (4.19)

gde su: σ realni deo broja s, σ = Res, a ω ǌegov imaginarni deo, ω = Ims, dok je j imaginarnajedinica j =

√−1, slika 4.2.

�

�Res

��

jIms

s

σ

ω

s-ravan

Slika 4.2. Kompleksna ravan, s-ravan.

Primer 14Potra�imo Laplasovu transformaciju funkcije x(t) = e−2th(t), po definiciji:

X(s) =∫ +∞

0

e−2te−stdt =∫ +∞

0

e−(s+2)tdt =

= − 1s + 2

e−(s+2)t

∣∣∣∣+∞

0

= − 1s + 2

(e−∞ − e0

)=

1s + 2

. (4.20)

Odre�ivaǌe ovog kompleksnog lika mo�e da se dobije i na bazi tablica Laplasovihtransformacija, ili korix�eǌem Matlaba i ǌegovog simboliqkog paketa. Slede�i skript(Laplas.m) ilustruje taj postupak,

clear; pack; clcsyms x tx = exp(-2*t);X = laplace(x)

a dobijeni rezultat je:X =1/(s+2)

Neke osobine Laplasove transformacije, koje �e da budu korix�ene u narednim izla-gaǌima su:

• to je linearni operator, tj. za ǌega va�i zakon superpozicije:

L{α1x1(t) + α2x2(t)} = α1L{x1(t)} + α2L{x2(t)} . (4.21)

• Ako je funkcija x(t) k-puta diferencijabilna onda je Laplasova transformacija k-togizvoda te funkcije:

L{

x(k)(t)}

= skL{x(t)} −k∑

i=1

si−1x(k−i)(0). (4.22)

• Ako je funkcija x(t) integrabilna i∫ 0+

0− x(t)dt = 0, onda je:

L{∫ t

0

x(t)dτ

}=

1sL{x(t)} . (4.23)


Treba ista�i i dve izuzetno znaqajne teoreme, tzv. graniqne teoreme Laplasa.

Teorema 4.2.1 Prva graniqna teorema Laplasa. Ako postoji graniqna vrednost

x(0) = limt→0

x(t) (4.24)

onda postoji i slede�a graniqna vrednost

lims→+∞ sX(s) (4.25)

i tada su te dve graniqne vrednosti jednake.

x(0) = limt→0

x(t) = lims→+∞ sX(s).

Teorema 4.2.2 Druga graniqna teorema Laplasa. Ako postoji graniqna vrednost

x(+∞) = limt→+∞x(t) (4.26)

onda postoji i slede�a graniqna vrednost

lims→0

sX(s) (4.27)

i tada su te dve graniqne vrednosti jednake.

x(+∞) = limt→+∞x(t) = lim

s→0sX(s).

Ove teoreme omogu�avaju da se graniqne vrednosti, vremenskog signala x(t), za t = 0 it = +∞ izraqunavaju u s domenu na osnovu poznavaǌa ǌegovog kompleksnog lika X(s), bezprela�eǌa u vremenski domen. Jedino ograniqeǌe za primenu ovih teorema u s domenu suuslovi (4.24) ili (4.26), koji su definisani u vremenskom domenu.Napomena: Ako su ispuǌeni uslovi (4.25) ili (4.27) to ne garantuje ispuǌenost odgovaraju�ihuslova (4.24) ili (4.26).

Npr. ako bi se formalno primenila druga graniqna teorema Laplasa na kompleksni lik

X(s) =1

s(s − 1)

dobilo bi sex(+∞) = lim

s→0sX(s) = lim

s→0s

1s(s − 1)

= lims→0

1(s − 1)

= −1. (4.28)

Matematiqki, kvantitativno, ovo je potpuno ispravno, ali se kvalitativno, iskaz drugegraniqne teoreme Laplasa potupuno naruxava! To mo�e da se poka�e kada se od datog kom-pleksnog lika prona�e odgovaraju�i vremenski lik. Inverzna Laplasova transformacijaod datog kompleksnog lika je:

x(t) = L−1

{1

s(s − 1)

}= L−1

{1

s − 1− 1

s

}= (et − 1)h(t),

xto znaqi da jex(+∞) = lim

t→+∞(et − 1)h(t) = +∞. (4.29)

Pomo�u Matlabove funkcije ilaplace mo�e da se dobije isti rezultat, skript InvLaplas.m:clear; pack; clcsyms s X[r, p, k] = residue([4 1 2 1], [0 1 -1 0])X = 0;if length(k)

for i=1:length(k)X = X + k(i)*s^(length(k)-i)

endendfor i=1:length(r)

X = X + r(i)/(s-p(i))endilaplace(X)


Oqigledno je da se (4.28) i (4.29) suxtinski razlikuju. Samim tim u kompleksnom domenuispuǌenost uslova (4.25) i (4.27) ne omogu�ava primenu graniqnih teorema. Uslovi kojimoraju da se provere u s domenu pre nego xto se primeni neka od graniqnih teorema Laplasamogu da se iska�u na slede�i naqin.

Uvedimo racionalnu funkciju Y (s) = sX(s) i sa p(s) oznaqimo ǌen polinom u brojiocu,a sa q(s) polinom u imeniocu

Y (s) =p(s)q(s)

.

Pri tome je Y (s) nedegenerativna funkcija, xto znaqi da je izvrxeno skra�ivaǌesvih me�usobno jednakih korenova polinoma p(s) i q(s). Da bi mogle da se primenegraniqne teoreme Laplasa, qiji su uslovi oblika

lims→α

sX(s) = lims→α

Y (s) = lims→α

p(s)q(s)

,

gde je α ili 0 ili +∞, realni delovi svih korenova polinoma q(s) moraju dabudu negativni, tj.

Res∗i [q(s)] < 0, ∀i = 1, 2, . . . , μ, (4.30)

pri qemu μ predstavǉa broj razliqitih korenova polinoma q(s).

Ako uslov (4.30) nije ispuǌen onda ne mo�e da se primeni ni jedna od graniqnih teorema,a to znaqi da u vremenskom domenu ne postoje odgovaraju�e graniqne vrednosti (vremenskilikovi su ili oscilatorni ili divergiraju ka beskonaqnosti).

Ako se razmatra realna racionalna funkcija X(s) oblika

X(s) =p(s)q(s)

=

m∑k=0

bksk

n∑k=0

aksk

onda su korenovi polinoma u brojiocu nule, a u imeniocu polovi.

Definicija 4.2.2 Broj s je ograniqena nula funkcije X(s), u oznaci s0, ako i samo akoje taj broj s koren polinoma p(s), u brojiocu funkcije X(s). Ako funkcija X(s) ima vixeograniqenih nula, npr. η, one se oznaqavaju sa: s0

1, s02, . . . , s

0η. Vixestrukost k-te nule se

oznaqava sa ν0k pri qemu je

ν01 + ν0

2 + . . . + ν0η = m.

Definicija 4.2.3 Broj s je ograniqeni pol funkcije X(s), u oznaci s∗, ako i samo akoje taj broj s koren polinoma q(s), u imeniocu funkcije X(s). Ako funkcija X(s) ima vixeograniqenih polova, npr. μ, one se oznaqavaju sa: s∗1, s

∗2, . . . , s

∗μ. Vixestrukost k-tog pola se

oznaqava sa ν∗k pri qemu je

ν∗1 + ν∗

2 + . . . + ν∗μ = n.

Ako je X(s) racionalna funkcija s polinomom u brojiocu stepena m, i s polinomom u ime-niocu stepena n, onda ona ima onoliko nula u beskonaqnosti s0 = +∞, kolika je razlikan−m. Pri tome se pretpostavǉa da je m � n, xto povlaqi da X(s) nema polova u beskonaq-nosti.

Primer 15Odrediti nule i polove slede�e kompleksne funkcije:

X(s) =s2 + 4s + 3

s4 + 2s3 − 2s2 + 8.

Izvrxeǌem slede�eg skripta (PolNula.m)


clear; pack; clcbrojilac = [1 4 3];imenilac = [1 2 -2 0 8];nule = roots (brojilac)polovi = roots (imenilac)

dobijaju se rezultati u obliku

nule =-3-1

polovi =-2.0000-2.00001.0000 + 1.0000i1.0000 - 1.0000i

Zakǉuquje se da postoje dve ograniqene jednostruke nule (m = 2, η = 2) s01 = −3 i s0

2 = −1 idve neograniqene nule s0

3,4 = +∞. Postoje i qetiri pola n = 4, od kojih su tri razliqitaμ = 3, tj. prvi pol s∗1 = −2 je dvostruk (vixestrukosti dva) ν∗

1 = 2, a polovi s∗2,3 = 1 ± j sujednostruki.

Odre�ivaǌe vremenskog lika x(t) na osnovu kompleksnog lika, u obliku realneracionalne funkcije X(s), najlakxe je sprovesti rastavǉaǌem funkcije X(s) na zbir jednos-tavnijih funkcija, qije se Laplasove transformacije nalaze u tablici. Ovaj postupak zav-isi samo od vixestrukosti polova i jednog je oblika za jednostruke, a drugog za vixestrukepolove. Da bi se oba postupka prikazala zajedno, polazi se od toga da su svi polovi funk-cije X(s) osim k-tog jednostruki, a k-ti pol je vixestrukosti ν∗

k . Tada se rastavǉaǌesame funkcije na zbir jednostavnijih funkcija, tzv. Hevisajdov razvoj, mo�e prikazati naslede�i naqin:

X(s) =p(s)q(s)

= R0+R1

s − s∗1+

R2

s − s∗2+. . .+

Rk1

s − s∗k+

Rk2

(s − s∗k)2+ . . . +

Rkν∗k

(s − s∗k)ν∗k

+. . .+Rμ

s − s∗μ, (4.31)

pri qemu su R1, R2, Rμ, Rk1, Rk2, Rkν∗k

rezidijumi (ostaci) funkcije X(s) u ǌenim polovima,a R0 vrednost kompleksnog lika u beskonaqnosti, R0 = X(+∞).

Vrednosti rezidijuma se izraqunavaju na poznati naqin• rezidijum funkcije X(s) u ǌenom jednostrukom polu s∗i :

Ri =p(s)q′(s)

∣∣∣∣s=s∗

i

, q′(s) =d

dsq(s), (4.32)

• rezidijumi funkcije X(s) u ǌenom vixestrukom polu s∗k:

Rkj =1

(ν∗k − j)!

dν∗k−j

dsν∗k−j

[(s − s∗k)ν∗

kp(s)q(s)

] ∣∣∣∣s=s∗

k

, j ∈ {1, 2, . . . , ν∗k}. (4.33)

Svaki sabirak Hevisajdovog razvoja je tabliqni sluqaj inverzne Laplasove transforma-cije, pa se polaze�i od kompleksnog lika (4.31) jednostavno dobija vremenski lik:

x(t) = R0δ(t) +μ∑

i=1i�=k

Ries∗

i th(t) +ν∗

k∑j=1

Rkjtj−1

(j − 1)!es∗

kth(t). (4.34)

Primer 16Nastavimo sa prethodnim primerom. Unoxeǌem slede�e komandne linije u Matlab>> [r, p, k] = residue (brojilac, imenilac)

dobijaju se naredne linije (vektor rezidijuma r, vektor sa polovima p):


r =-0.0600-0.10000.0300 - 0.4600i0.0300 + 0.4600i

p =-2.0000-2.00001.0000 + 1.0000i1.0000 - 1.0000i

k =[]

Sada mo�e da se napixe razvijeni oblik od X(s)

X(s) = − 0, 06s + 2

− 0, 1(s + 2)2

+0, 03 − j0, 46s − (1 + j)

+0, 03 + j0, 46s − (1 − j)

.

odakle se prema (4.34) dobija

x(t) =[−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + (0, 03 − j0, 46)e(1+j)t + (0, 03 + j0, 46)e(1−j)t

]h(t) =

={−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et

[(0, 03 − j0, 46)ejt + (0, 03 + j0, 46)e−jt

]}h(t)

={−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et

[0, 03(ejt + e−jt) + j0, 46(e−jt − ejt)

]}h(t)

={−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et

[0, 06

ejt + e−jt

2+ 0, 92

ejt − e−jt

2j

]}h(t)

=[−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et (0, 06 cos t + 0, 92 sin t)

]h(t).

4.2.2 Prenosna funkcija sistemaPrenosna funkcija sistema je jedan od osnovnih pojmova vezanih za linearne stacionarnesisteme sa usredsre�enim parametrima. Ona omogu�ava analizu dinamiqkih osobina sis-tema u kompleksnom domenu, xto u mnogim sluqajevima predstavǉa najefikasniji i najjed-nostavniji pristup za rexavaǌe problema takvih sistema.

Razmatra se vixestruko prenosni sistem sa slike 4.1, qiji matematiqki model je de-finisan diferencijalnom jednaqinom ponaxaǌa (4.3), odnosno (4.8). Zbog jednostavnostiizlagaǌa uoqava se proizvoǉna ulazna veliqina Xuk, k ∈ {1, 2, . . . ,M}, i proizvoǉna izlaznaveliqina Xiq, q ∈ {1, 2, . . . , N}, slika 4.3.

S� �Xuk Xiq

Slika 4.3. Sistem.

Definicija 4.2.4 (q, k)-ta prenosna funkcija sistema S, u oznaci Wqk(s), je koliqniklevih Laplasovih transformacija q-te izlazne veliqine Xiq i k-te ulazne veliqine Xuk,

Wqk(s) =L−{Xiq(t)}L−{Xuk(t)} =

X−iq(s)

X−uk(s)

, (4.35)

pri svim poqetnim uslovima jednakim nuli

X(j)i = 0i, ∀j = 0, 1, . . . , l − 1 (4.36)

X(j)u = 0u, ∀j = 0, 1, . . . ,m − 1 (4.37)

i pri svim ulaznim veliqinama jednakim nuli osim k-te

Xuj = 0, ∀(j �= k) = 1, 2, . . . M.


Na osnovu (4.35) sledi da je promena vrednosti izlazne veliqine Xiq, pri nultim poqet-nim uslovima, nastala usled dejstva samo k-te ulazne veliqine Xuk, opisana sa:

Xiq(s) = Wqk(s)Xuk(s).

U sluqaju da na sistem deluju i druge ulazne veliqine, onda se korix�eǌem zakona super-pozicije lako dolazi do:

Xiq(s) = Wq1(s)Xu1(s) + Wq2(s)Xu2(s) + . . . + Wqk(s)Xuk(s) + . . . + WqM (s)XuM (s).

Budu�i da je veliqina Xiq proizvoǉno izabrana, onda prethodno izlo�eno va�i za bilokoje q ∈ {1, 2, . . . , N}, pa samim tim mogu da se napixu slede�e jednaqine:

Xi1(s) = W11(s)Xu1(s) + W12(s)Xu2(s) + . . . + W1k(s)Xuk(s) + . . . + W1M (s)XuM (s)Xi2(s) = W21(s)Xu1(s) + W22(s)Xu2(s) + . . . + W2k(s)Xuk(s) + . . . + W2M (s)XuM (s)

...

Xiq(s) = Wq1(s)Xu1(s) + Wq2(s)Xu2(s) + . . . + Wqk(s)Xuk(s) + . . . + WqM (s)XuM (s)...

XiN (s) = WN1(s)Xu1(s) + WN2(s)Xu2(s) + . . . + WNk(s)Xuk(s) + . . . + WNM (s)XuM (s).

Taj sistem jednaqina, uvo�eǌem matrice

W(s) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

W11(s) W12(s) . . . W1k(s) . . . W1M (s)W21(s) W22(s) . . . W2k(s) . . . W2M (s)

...Wq1(s) Wq2(s) . . . Wqk(s) . . . WqM (s)

...WN1(s) WN2(s) . . . WNk(s) . . . WNM (s)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(4.38)

mo�e sa�eto da se napixe u obliku

Xi(s) = W(s)Xu(s), (4.39)

xto znqi da je N ×M prenosnih funkcija sistema S sa�eto u jednu matricu. Matrica W(s)opisana sa (4.38) naziva se prenosna matrica sistema i definixe se na slede�i naqin.

Definicija 4.2.5 Prenosna matrica sistema je N×M matriqna funkcija, qiji je (q, k)-tielement (q, k)-ta prenosna funkcija sistema Wqk(s) i oznaqava se sa W(s).

4.2.3 Prenosna matrica i odziv sistemaKao xto je ve� napomenuto rexavaǌe diferencijalne jednaqine ponaxaǌa oblika (4.8)

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

m∑k=0

Bkx(k)u (t), m � l, (4.40)

znaqajno je jednostavnije izvesti u kompleksnom domenu. Ilustrujmo to rexavaǌem ovejednaqine, tj. odre�ivaǌem odziva xi(t). Potra�i�emo opxte rexeǌe ove jednaqine, zaproizvoǉne poqetne uslove i proizvoǉnu promenu ulaza.

Primenom Laplasovog operatora na jednaqinu (4.40) dobija se

L{

l∑k=0

Akx(k)i (t)

}= L

{m∑

k=0

Bkx(k)u (t)

}. (4.41)

Kako je Laplasova transformacija linearni operator onda va�i

l∑k=0

AkL{x(k)

i (t)}

=m∑

k=0

BkL{x(k)

u (t)}

. (4.42)


Korix�eǌem osobine Laplasove transformacije L{x(k)(t)}

= skL{x(t)} −∑kj=1 sj−1x(k−j)(0),

prethodna jednaqina postaje:

l∑k=0

Ak

⎡⎣skXi(s) −

k∑j=1

sj−1x(k−j)i (0)

⎤⎦ =

m∑k=0

Bk

⎡⎣skXu(s) −

k∑j=1

sj−1x(k−j)u (0)

⎤⎦ , (4.43)

odnosno

l∑k=0

AkskXi(s) =m∑

k=0

BkskXu(s) −m∑

k=0

k∑j=1

Bksj−1x(k−j)u (0) +

l∑k=0

k∑j=1

Aksj−1x(k−j)i (0). (4.44)

Budu�i da je Ak ∈ RN×N , ∀k = 1, 2, . . . , l onda je∑l

k=0 Aksk ∈ RN×N kvadratna matriqna

funkcija kompleksne promenǉive s, qija je inverzna vrednost(∑l

k=0 Aksk)−1

. Ako se (4.44)

pomno�i inverznom matriqom funkcijom(∑l

k=0 Aksk)−1

, s leve strane, dobija se rexeǌe ukompleksnom domenu:

Xi(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑k=0

BkskXu(s)+

+

(l∑

k=0

Aksk

)−1⎛⎝

l∑k=0

k∑j=1

Aksj−1x(k−j)i (0) −

m∑k=0

k∑j=1

Bksj−1x(k−j)u (0)

⎞⎠ . (4.45)

Prvi sabirak u rexeǌu predstavǉa odziv izazvan ulazom Xu(s) pri nultim poqetnimuslovima, a drugi sabirak prikazuje uticaj poqetnih uslova na odziv sistema.

U sluqaju da su svi poqetni uslovi nultih vrednosti (4.45) poprima svoj posebni oblik

Xi(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑k=0

Bksk

︸︷︷︸W(s)

Xu(s), (4.46)

xto znaqi da je veza izme�u diferencijalne jednaqine ponaxaǌa i prenosne matrice oblika

W(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑k=0

Bksk. (4.47)

Ova jednaqina pokazuje da je prenosna matrica dinamiqka osobina sistema i da ne zavisiod vrednosti i karaktera ulaza Xu(s), odre�ena je samo matricama Ak i Bk.

U sluqaju jednostruko prenosnog sistema opisanog sa (4.2), prethodna jednaqina (4.47)predstavǉa jedinu prenosnu funkciju tog sistema

W (s) =

m∑k=0

bksk

l∑k=0

aksk

. (4.48)

Primer 17Razmotrimo jednostavni objekt prikazan na slici 4.4. On predstavǉa telo mase M koje jeoprugom, krutosti k, i hidrauliqnim priguxivaqem, koeficijenta priguxeǌa b, zakaqenoza nepokretni oslonac. Treǌe izme�u toqkova i podloge je zanemarivo malo. Jedina ulaznaveliqina objekta je sila F . Matematiqki model objekta mo�e da se prika�e slede�om difer-encijalnom jednaqinom ponaxaǌa:

Mxi(t) + bxi(t) + kxi(t) = F (t), (4.49)


MF

xi

b

k

Slika 4.4. Objekt: masa sa oprugom i priguxeǌem.

a primenom Laplasove transformacije (pri nultim poqetnim uslovima: poqetno izdu�eǌeopruge i poqetna brzina su nultih vrednosti) dobija se:

Ms2Xi(s) + bsXi(s) + kXi(s) = F (s). (4.50)

Prenosna funkcija objekta je samim tim

W (s) =Xi(s)F (s)

=1

Ms2 + bs + k. (4.51)

4.2.4 Fiziqko tumaqeǌe i eksperimentalno odre�ivaǌe prenosne funk-cije sistema

Posmatra se (q, k)-ta prenosna funkcija Wqk(s) nekog vixestruko prenosnog sistema. Zbogjednostavnosti izlagaǌa oznaqimo tu prenosnu funkciju sa W (s), a k-tu ulaznu veliqinu saXu i q-tu izlaznu veliqinu sa Xi. Tada mo�e da se napixe

W (s) =Xi(s)Xu(s)

,

odnosnoXi(s) = W (s)Xu(s).

Prenosna funkcija sistema opisuje zakon, u kompleksnom domenu kompleksne promenǉive s, pokome sistem dejstvo ulazne veliqine prenosi na izlaznu veliqinu.

Ako na sistem deluje ulazna veliqina qija je vrednost jednaka jediniqnoj impulsnojfunkciji xu(t) = δ(t), onda se impulsni odziv xi(t) = i(t) lako odre�uje u kompleksnom domenu

L− {i(t)} = W (s)L− {δ(t)} .

S obzirom da je leva Laplasova transformacija Dirakove funkcije jednaka jediniciL− {δ(t)} = 1, onda prethodna jednaqina postaje

L− {i(t)} = W (s),

pa zakǉuqujemo slede�e:W (s) = L− {i(t)} .

Prenosna funkcija sistema predstavǉa levu Laplasovu transformaciju ǌegovog jediniqnog im-pulsnog odziva pri nultim poqetnim uslovima

W (s) =∫ +∞

0−i(t)e−stdt. (4.52)

Primer 18Eksperimentalni rezulati �e ovde biti zameǌeni simulacijom, ali je postupak istovetanonome koji bi koristio eksperimentalno snimǉeni impulsni odziv. Po�imo od prenosnefunkcije

W (s) =2

s3 + 2s2 + 3s + 2. (4.53)

Nakon izvrxeǌa naredbe


impulse(tf([2], [1 2 3 2])); grid

dobijen je impulsni odziv sistema (4.53), prikazan na slici 4.5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 4.5. Impulsni odziv sistema.

Slede�i program identifikuje prenosnu funkciju sistema minimizovaǌem kvadrata gre-xke izme�u eksperimentalno snimǉenih i teorijski izraqunatih impulsnih odziva sistema.Identifikujmo prenosnu funkciju (4.53) na bazi impulsnog odziva sa slike 4.5 (kao da jeto eksperimentalno snimǉeno, a (4.53) nepoznato), skript Eksp impuls.m.

close all, clear, pack, clc

% eksperimentalni podaciW_eks = tf([2], [1 2 3 2]);[i_eks, t_eks] = impulse(W_eks);

% struktura sistemanum = [1];den = [1 1 1 1];m = length(num);

X = [num den];t = 0:0.001:t_eks(end);i = interp1(t_eks, i_eks, t, ’linear’);t = t’;i = i’;

X1 = fminsearch(’impfit’, X, [], t, i, m);X1(find(X1 < 0.001)) = 0;X1 = X1/X1(m+1)W_fit = tf(X1(1:m), X1(m+1:end))

Funkcija koja raquna kvadrat grexke data je slede�im skriptom, impfit.mfunction e = impfit(X, t, i, m)

W = tf(X(1:m), X(m+1:end));i_fit = impulse(W, t);

e = sum((i_fit - i).^2);

plot(t, i_fit, t, i)legend(’fitovano’, ’eksperiment’)pause(0.001)


Na osnovu informacija sa slike 4.5, mo�e da se zakǉuqi da nepoznati sistem ima parkoǌugovano kompleksnih polova zbog oscilatornog karaktera impulsnog odziva, kao i daje proporcionalnog tipa dejstva, poxto impulsni odziv u stacionarnom staǌu konvergiranultoj vrednosti. Prethodni zakǉuqci dozvoǉavaju da se utvrdi struktura (red i tipdejstva) prenosne funkcije koja se identifikuje, odnosno definixe inicijalno poga�aǌeparametara u modelu.

0 2 4 6 8 10−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8fitovanoeksperiment

Slika 4.6. Poqetak identifikacije prenosne funkcije.

Na slici 4.6 je prikazano poqetno poga�aǌe, a na slici 4.7 sam kraj identifikacijeprenosne fukcije. Rezultat navedenog programa koji je Matlab ispisao je dat u nastavku.

0 2 4 6 8 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6fitovanoeksperiment

Slika 4.7. Kraj identifikacije prenosne fukcije.

Transfer function:1.999

---------------------s^3 + 2 s^2 + 3 s + 2

Upore�uju�i poqetnu i dobijenu prenosnu funkciju

W (s) =2

s3 + 2s2 + 3s + 2i W (s) =

1.999s3 + 2s2 + 3s + 2

, (4.54)

oqigledno je da je poqetna prenosna funkcija (4.53) uspexno identifikovana.


4.3 Blok dijagram sistemaBlok dijagram sistema sadr�i sve informacije o strukturi sistema koju sadr�i ǌegovstrukturni dijagram, i sve informacije o dinamiqkim osobinama sistema koje sadr�i ǌe-gova jednaqina ponaxaǌa.

Definicija 4.3.1 Blok dijagram sistema je ǌegov strukturni dijagram u kome je svakipodsistem predstavǉen svojom prenosnom matricom, a svaka veliqina svojom Laplasovomtransformacijom.

Blok dijagram sjediǌuje informacije o sistemu koje se o ǌemu dobijaju iz ǌegovog struk-turnog dijagrama i jednaqine ponaxaǌa, a pod uslovom da se u prenosnim matricama pod-sistema ne izvrxava skra�ivaǌe jednakih nula i polova, tj. da se one ne dovode na svojnedegenerativni oblik. Ako se izvrxi skra�ivaǌe, onda blok dijagaram sjediǌuje infor-macije o strukturi sistema sa informacijama samo o ǌegovom impulsnom odzivu pri nultimpoqetnim uslovima.

4.3.1 Ekvivalentni blok dijagrami za osnovne spregeBlok dijagram omogu�ava odre�ivaǌe ekvivalentnih sistema u pogledu ǌihovog dinamiq-kog ponaxaǌa i ako su razliqitih struktura. Time se posti�e bitno uprox�avaǌe priprouqavaǌu sistema.

Definicija 4.3.2 Dva blok dijagrama su ekvivalentna ako i samo ako su jednaqine po-naxaǌa iz ǌih dobijene me�usobno identiqne.

Redna sprega

Na slici 4.8 su prikazana dva podsistema, qije su prenosne matrice W1(s) i W2(s).

��

��

W(s)

Xu(s) Xi1(s) Xi(s)W1(s) W2(s)

Slika 4.8. Blok dijagram redne sprege.

Za odre�ivaǌe ekvivalentnog blok dijagrama se polazi od osnovne osobine prenosne ma-trice: izlaz iz nekog podsistema (pri nultim poqetnim uslovima) jednak je proizvodu pre-nosne matrice tog sistema i ulaza koji na ǌega deluje.

Xi(s) = W(s)Xu(s).

U sluqaju redne sprege mo�emo da napixemo dve takve jednaqine. Za podsistem qija jeprenosna funkcija W2(s), ulaz Xi1(s) i izlaz Xi(s), va�i:

Xi(s) = W2(s)Xi1(s), (4.55)

a za podsistem prenosne funkcije W1(s) se analogno dobija:

Xi1(s) = W1(s)Xu(s). (4.56)

Kombinacijom posledǌe dve jednaqine i eliminacijom promenǉive Xi1(s) dolazi se do

Xi(s) = W2(s)Xi1(s) = W2(s)W1(s) Xu(s), (4.57)

odnosnoXi(s) = W(s)Xu(s), (4.58)

pri qemu je prenosna matrica redne sprege odre�ena sa

W(s) = W2(s)W1(s), (4.59)

a ekvivalentni blok dijagram je prikazan na slici 4.9. Treba obratiti pa�ǌu da je redosledmno�eǌa prenosnih matrica suprotan smeru prenosa signala.

4.3. Blok dijagram sistema 47

��Xu(s)

��Xi(s)

W2(s)W1(s)

Slika 4.9. Ekvivalentni blok dijagram blok dijagramu sa slike 4.8.

Paralelna sprega

U sluqaju paralelne sprege, slika 4.10, mo�emo da napixemo slede�e jednaqine:

��

��

��

��Xu(s) Xi(s) = Xi1(s) ± Xi2(s)

Xu1(s)

Xu2(s)

Xi1(s)

Xi2(s)

±

W(s)

W1(s)

W2(s)

Slika 4.10. Blok dijagram paralelne sprege.

Xi(s) = Xi1(s) ± Xi2(s), (4.60)

Xi1(s) = W1(s)Xu1(s) = W1(s)Xu(s), (4.61)

Xi2(s) = W2(s)Xu2(s) = W2(s)Xu(s). (4.62)

Ako se Xi1(s) iz (4.61) i Xi2(s) iz (4.62) uvrste u (4.60) proizilazi

Xi(s) = W1(s)Xu(s) ± W2(s)Xu(s) = [W1(s) ± W2(s)] Xu(s). (4.63)

To znaqi da je prenosna matrica paralelne sprege

W(s) = W1(s) ± W2(s), (4.64)

a ekvivalentni blok dijagram oblika sa slike 4.11.

��Xu(s)

��Xi(s)

W1(s) ± W2(s)


Povratna sprega

Na slici 4.12 je prikazan blok dijagram povratno spregnutih sistema, qije su prenosnematrice W1(s) i W2(s).

Na osnovu slike 4.12 mogu da se napixu slede�e jednaqine.

Xi(s) = W1(s)Xu1(s), (4.65)

Xu1(s) = Xu(s) ± Xi2(s), (4.66)

Xi2(s) = W2(s)Xu2(s) = W2(s)Xi(s). (4.67)


��

±

Xu(s)Xu1(s) == Xu(s) ± Xi2(s) Xi1(s) Xi(s)

Xu2(s)Xi2(s)

W(s)

W1(s)

W2(s)

Slika 4.12. Blok dijagram povratne sprege.

Uvrstimo (4.67) u (4.66)

Xu1(s) = Xu(s) ± W2(s)Xi(s), (4.68)

a onda (4.68) u jednaqinu (4.65)

Xi(s) = W1(s) [Xu(s) ± W2(s)Xi(s)] = W1(s)Xu(s) ± W1(s)W2(s)Xi(s). (4.69)

Iz te jednaqine se dobija

Xi(s) ∓ W1(s)W2(s)Xi(s) = W1(s)Xu(s), (4.70)

tj.[I ∓ W1(s)W2(s)]Xi(s) = W1(s)Xu(s). (4.71)

Mno�eǌem prethodne jednaqine, sa leve strane, sa [I ∓ W1(s)W2(s)]−1 dobija se

Xi(s) = [I ∓ W1(s)W2(s)]−1 W1(s) Xu(s), (4.72)

pa je prenosna matrica povratne sprege

W(s) = [I ∓ W1(s)W2(s)]−1 W1(s), (4.73)

a ekvivalentni blok dijagram je prikazan na slici 4.13

��Xu(s)

��Xi(s)

[I ∓ W1(s)W2(s)]−1 W1(s)


U posebnom, skalarnom, sluqaju prenosna funkcija povratne sprege sa slike 4.12, mo�eda se napixe u obliku:

W (s) =Xi(s)Xu(s)

=W1(s)

1 ∓ W1(s)W2(s),

odnosno, uzimaju�i u obzir da je Wok(s) = W1(s)W2(s)

W (s) =W1(s)

1 ∓ Wok(s).

Primer 19Na slici 4.14 je prikazan SAR koji ima dva ulaza Xiz i Z i izlaz Xi. Samim tim mogu dase definixu dve prenosne matrice sistema: u odnosu na �eǉeni ulaz WXiz

(s) i u odnosu naporeme�aj WZ(s).

4.4. Uqestanosna karakteristika i uqestanosna matrica sistema 49

��

��

��

��

��

��

��

��

Xiz(s)

Z(s)

Xi(s)Y(s)

O

R

W1(s) W2(s) W3(s)

W4(s)

W5(s)

W6(s)

Slika 4.14. Blok dijagram SAR-a.

Te prenosne matrice se lako izraqunavaju i oblika su:

WXiz(s) = [I + W5(s)W3(s)W2(s)W6(s)]

−1 W5(s)W3(s)W2(s)W1(s)

WZ(s) = [I + W5(s)W3(s)W2(s)W6(s)]−1 W5(s)W4(s),

a izlaz Xi(s) je odre�en sa

Xi(s) =(WXiz

(s) WZ(s))(Xiz(s)

Z(s)

)

Ako su na slici 4.14 sve veliqine skalarne, onda je

Xi(s) =W1(s)W2(s)W3(s)W5(s)

1 + Wok(s)︸︷︷︸WXiz

(s)

Xiz(s) +W4(s)W5(s)1 + Wok(s)︸︷︷︸

Wz(s)

Z(s),

pri qemu jeWok(s) = W2(s)W3(s)W5(s)W6(s).

4.4 Uqestanosna karakteristika i uqestanosna matricasistema

Za analizu dinamiqkih osobina sistema veliki znaqaj ima Furijeova transformacija.ǋenom primenom se omogu�ava analiza sistema u uqestanosnom (frekventnom) domenu naosnovu ǌegove uqestanosne (frekventne) karaktetristike. Ovakav pristup prouqavaǌu sis-tema je naxao vrlo veliku primenu u tehnici zato xto se za mnoge sisteme ǌihove uqestano-sne karakteristike mogu eksperimentalno odrediti. Xta vixe, uqestanosna karakteristikastrukturno slo�enog sistema mo�e da se odredi na osnovu poznavaǌa uqestanosne karakteri-stike svih ǌegovih podsistema, koje mogu da budu eksperimentalno odre�ene. To omogu�avaanalizu sistema bez analitiqkog odre�ivaǌa ǌegovog matematiqkog modela, a na bazi eks-perimentalno odre�ene uqestanosne karakteristike koja mo�e da bude izra�ena grafiqkiili tabelarno.

4.4.1 Furijeova transformacijaDefinicija 4.4.1 Furijeova transformacija funkcije x(t), u oznaci F {x(t)}, predstavǉanesvojstveni integral:

F {x(t)} =∫ +∞

−∞x(t)e−jωtdt, (4.74)


ukoliko taj integral postoji.

Uzimaju�i u obzir prethodna izlagaǌa u kojima je naglaxeno da su sve funkcije x(t)definisane samo u nenegativnom vremenu, tj.

x(t) = 0, ∀t < 0,

onda jednaqina (4.74) mo�e da se napixe i u slede�em obliku

F {x(t)} =∫ +∞

0

x(t)e−jωtdt. (4.75)

Upore�uju�i jednaqinu (4.75) sa jednaqinom (4.18), koja definixe Laplasovu transfor-maciju,

L{x(t)} =∫ +∞

0

x(t)e−stdt, (4.76)

zakǉuquje se da je Furijeova transformacija poseban oblik Laplasove transformacije pri

s = jω, (4.77)

tj. kada se iz kompleksne ravni u razmatraǌe uzme samo imaginarna osa.Samim tim i osobine koje su navedene za Laplasovu transformaciju va�e i za Furijeovu

transformaciju. Najva�nije osobine Furijeove transformacije koje �e biti korix�ene unastavku su:

• to je linearni operator, tj. za ǌega va�i zakon superpozicije:

F {α1x1(t) + α2x2(t)} = α1F {x1(t)} + α2F {x2(t)} . (4.78)

• Ako je funkcija x(t) k-puta diferencijabilna i ako su svi poqetni uslovi nultih vred-nosti, onda je Furijeova transformacija k-tog izvoda te funkcije:

F{

x(k)(t)}

= (jω)kX(jω). (4.79)

4.4.2 Uqestanosna karakteristika sistemaRazmatra se vixestruko prenosni sistem sa slike 4.1, qiji matematiqki model je definisandiferencijalnom jednaqinom ponaxaǌa (4.3), odnosno (4.8). Zbog jednostavnosti izlagaǌauoqava se proizvoǉna ulazna veliqina Xuk, k ∈ {1, 2, . . . ,M}, i proizvoǉna izlazna veliqinaXiq, q ∈ {1, 2, . . . , N}, slika 4.15.

S� �Xuk Xiq

Slika 4.15. Sistem.

Definicija 4.4.2 (q, k)-ta uqestanosna karakteristika sistema S, u oznaci Fqk(jω), jekoliqnik Furijeovih transformacija q-te izlazne veliqine Xiq i k-te ulazne veliqine Xuk,

Fqk(jω) =F{Xiq(t)}F{Xuk(t)} =

Xiq(jω)Xuk(jω)

, (4.80)

pri svim poqetnim uslovima jednakim nuli

X(j)i = 0i, ∀j = 0, 1, . . . , l − 1 (4.81)

X(j)u = 0u, ∀j = 0, 1, . . . ,m − 1 (4.82)

i pri svim ulaznim veliqinama jednakim nuli osim k-te

Xuj = 0, ∀(j �= k) = 1, 2, . . . M.


Analognom analizom, kao xto je sprovedena pri definisaǌu prenosne matrice, se za-kǉuquje da vixestruko prenosni sistem sa slike 4.1 poseduje N × M uqestanosnih karakte-ristika. Uvo�eǌem matrice

F(jω) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

F11(jω) F12(jω) . . . F1k(jω) . . . F1M (jω)F21(jω) F22(jω) . . . F2k(jω) . . . F2M (jω)

...Fq1(jω) Fq2(jω) . . . Fqk(jω) . . . FqM (jω)

...FN1(jω) FN2(jω) . . . FNk(jω) . . . FNM (jω)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(4.83)

mo�e da se napixe slede�i izraz

Xi(jω) = F(jω)Xu(jω), (4.84)

xto znaqi da je N × M uqestanosnih karakteristika sistema S sa�eto u jednu matricu.Matrica F(jω) opisana sa (4.83) naziva se uqestanosna matrica sistema i definixe se naslede�i naqin.

Definicija 4.4.3 Uqestanosna matrica sistema je N × M matriqna funkcija, qiji je(q, k)-ti element (q, k)-ta uqestanosna karakteristika sistema Fqk(jω) i oznaqava se sa F(jω).

4.4.3 Analitiqko odre�ivaǌe uqestanosne karakteristike sistemaAko se posmatra jednostruko prenosni sistem opisan slede�om diferencijalnom jednaqinomponaxaǌa:

n∑k=0

akx(k)i (t) =

m∑k=0

bkx(k)u (t), m � n, (4.85)

onda se primenom Furijeove transformacije na tu jednaqinu dobija

F{

n∑k=0

akx(k)i (t)

}= F

{m∑

k=0

bkx(k)u (t)

}, m � n, (4.86)

a kako je Furijeova transformacija zbira jednaka zbiru Furijeovih transformacija, i prinultim poqetnim uslovima va�i F {x(k)(t)

}= (jω)kX(jω), onda je

n∑k=0

ak(jω)kXi(jω) =m∑

k=0

bk(jω)kXu(jω), m � n. (4.87)

Na osnovu prethodne jednaqine dobija se uqestanosna karakteristika razmatranog jednos-truko prenosnog sistema

F (jω) =Xi(jω)Xu(jω)

=

m∑k=0

bk(jω)k

n∑k=0

ak(jω)k

. (4.88)

Prenosna funkcija sistema, qija je diferencijalna jednaqina data jednaqom (4.85), jeoblika

W (s) =

m∑k=0

bksk

n∑k=0

aksk

. (4.89)

Upore�uju�i (4.89) sa (4.88) dolazi se do slede�eg rezultata

F (jω) = W (s)∣∣s=jω

. (4.90)


Ovaj rezultat, prema definicijama prenosne i uqestanosne matrice, mo�e da se uopxti ina matriqni oblik:

F(jω) = W(s)∣∣s=jω

, (4.91)

koji pokazuje da se uqestanosna matrica sistema mo�e odrediti iz ǌegove prenosne matriceW(s), ako se u ǌoj svaki kompleksni broj s zameni samo ǌegovim imaginarnim delom jω.Ovaj rezultat je znaqajan jer pokazuje da sva pravila za odre�ivaǌe ekvivalentnog oblikaprenosne matrice mo�e da se primeni i na uqestanosnu matricu.

4.4.4 Eksperimentalno odre�ivaǌe uqestanosne karakteristike sis-tema

Odre�ivaǌe uqestanosne karakteristike eksperimentalnim putem je mogu�e sprovesti samoza stabilne sisteme. Odziv sistema, sa matematiqke taqke gledixta, predstavǉa rexeǌediferencijalne jednaqine ponaxaǌa:

anx(n)i (t) + an−1x

(n−1)i (t) + . . . + a2xi(t) + a1xi(t) + a0xi(t) =

b0xu(t) + b1xu(t) + b2xu(t) + . . . + bm−1x(m−1)u (t) + bmx(m)

u (t). (4.92)

Budu�i da je ovo linearna nehomogena diferencijalna jednaqina sa konstantnim koefici-jentima ona opisuje linearni stacionarni sistem u proizvoǉnom re�imu rada. Dobro jepoznato da rexeǌe te diferencijalne jednaqine mo�e da se predstavi kao zbir homogenog ipartikularnog dela:

xi(t) = xih(t) + xip(t). (4.93)

Homogeni deo rexeǌa je odre�en korenovima karakteristiqnog polinoma:

ansn + an−1sn−1 + . . . + a2s

2 + a1s + a0,

i u opxtem sluqaju mo�e da se predstavi jednaqinom

xih(t) =μ∑

k=1

νk∑r=1

ckrtr−1es∗

kth(t), (4.94)

gde su: μ broj razliqitih korenova polinoma, νk vixestrukost k-tog korena, ckr konstante,s∗k korenovi polinoma k = 1, 2, . . . , μ.

Neka je ulazna veliqina sistema (4.3), slika 4.16, harmonijska oscilacija oblika sinusne

S� �xu(t) = xuo sin (ωt)h(t) xi(t) = xih(t) + xip(t)

Slika 4.16. Sinusni ulaz i odziv sistema.

funkcije:xu(t) = xuo sin (ωt)h(t). (4.95)

Tada je partikularni deo odziva sistema xip

xip(t) = xio(ω) sin (ωt + θ(ω))h(t). (4.96)

Ako je razmatrani sistem stabilan onda su realni delovi svih korenova karakteris-tiqnog polinoma maǌi od nule:

Res∗k < 0, ∀k = 1, 2, . . . , μ.

To povlaqi da homogeni deo rexeǌa xih(t), (4.94), konvergira nuli kada vreme neograniqenoraste. Sa in�eǌerskog stanovixta jasno je da postoji konaqan trenutak T za koji sa do-voǉnom taqnox�u mo�e da se usvoji:

xih(t) ≈ 0, ∀t � T, (4.97)


odnosno ukupni odziv sistema posle tog trenutka T , sa dovoǉnom taqnox�u, mo�e da sepredstavi sa:

xi(t) = xip(t) = xio(ω) sin (ωt + θ(ω))h(t), ∀t � T. (4.98)

To znaqi da sinusna promena ulaza (kod linearnog sistema) izaziva sinusnu promenuizlaza, slika 4.17, jasno posle isteka prelaznog re�ima tj. posle trenutka T .

S� �xu(t) = xuo sin (ωt)h(t) xi(t) = xio(ω) sin (ωt + θ(ω))h(t)

Slika 4.17. Sinusni ulaz i odziv sistema posle trenutka T .

Sinusni odziv, slika 4.17, linearnog stacionarnog sistema karakterixu:• uqestanost oscilacija ω, koja je jednaka uqestanosti ulaznog signala,

• amplituda koja je srazmerana ulaznoj amplitudi

xio(ω) = A(ω)xuo,

gde A(ω) predstavǉa moduo uqestanosne karakteristike i zavisi od uqestanosti har-monijske oscilacije ulaznog signala,

• fazni pomeraj θ(ω) u odnosu na fazni stav ulaznog signala jednak je faznoj uqestanosnojkarakteristici

ϕ(ω) = θ(ω)

i on tako�e zavisi od uqestanosti ulazne sinusne oscilacije.Zakǉuqujemo da ako dati stabilni sistem pobudimo prostoperiodiqnim signalom, tada

odnos amplituda i fazna razlika izlaznog i ulaznog prostoperiodiqnog signala u sta-cionarnom radnom re�imu daju moduo i argument uqestanosne karakteristike sistema F (jω)za tu uqestanost ω:

F (jω) = A(ω)ejϕ(ω) =xio(ω)xuo

ejθ(ω). (4.99)

Moduo A(ω) uqestanosne karakteristike sistema F (jω) se naziva amplitudna uqestanosnakarakteristika i definisan je koliqnikom amplituda izlaznog i ulaznog signala:

A(ω) =xio(ω)xuo

,

a argument ϕ(ω) uqestanosne karakteristike sistema F (jω) je fazna uqestanosna karakte-ristika i predstavǉa fazni pomeraj θ(ω).

Ako se ove karakteristike odrede pri raznim uqestanostima ulaznog signala, mogu�e jedobiti dijagram modula i dijagram faze uqestanosne karakteristike u funkciji od uqesta-nosti ω. Na bazi tih rezultata se samim tim dobija i uqestanosna karakteristika F (jω) utim taqkama, tj. uqestanostima. Ako se kroz tako dobijene taqke provuqe kriva dobija setzv. hodograf uqestanosne karakteristike.

Naredni primer ilustruje postupak eksperimentalnog dobijaǌa uqestanosne karakteri-stike sistema.

Primer 20S obzirom da nisu korix�eni eksperimentalno dobijeni rezultati, oni su ovde simulirani.Izabrana je prenosna funkcija otvorenog kola nekog SAR-a:

Wok(s) =s − 7

s3 + 3s2 + 5s + 5(4.100)

i za takav sistem se odre�uju sinusni odzivi.Da bi situacija bila xto realnija, idealni sinusni odziv je superponiran sa xumom.

Tako dobijeni signal se smatra eksperimentalno snimǉenim i daǉi postupak potpuno odgo-vara eksperimentalnom radu.


Kroz taj (eksperimentalno snimǉeni) signal se provlaqi idealna prostoperiodiqna har-monijska oscilacija koja sadr�i samo osnovni harmonik, a ǌena faza i amplituda se izraqu-navaju metodom minimalne vrednosti kvadrata grexke, pogledati funkciju SinFit.

Ceo postupak najboǉe ilustruje slede�i skript, ExpFok.m:clear, clc, pack, close all

% otvoreno kolo

num = [1 -7];

den = [1 3 5 5];

% prenosna funkcija otvorenog kola

Wok = tf(num, den)

% propusni opseg

po = bandwidth (Wok)

% uchestanost odabiranja

fs = 1000;

% perioda odabiranja

dt = 1/fs;

% broj tachaka za simulaciju

n = 2^15;

% vremenska osa

t = (0:n-1)*dt;

% uchestanosna osa

f = (0:n-1)/n*fs;

% rezultat koji mora da se dobije na kraju postupka

[ampl phase] = bode (Wok, f);

Aok(1, :) = ampl(1, 1, :);

Phiok(1, :) = phase(1, 1, :);

% broj tachaka za crtanje

N = 100;

% uchestanosti u kojima se crta

fr0 = linspace(0.1*po, 2*po, N);

% amplitudna uchestanosna karakteristika

A = zeros(N,1);

% fazna uchestanosna karakteristika

Fi = zeros(N,1);

% faktor shuma u signalu

noiseF = 0.01;

figure(1)

for k = 1:N

% ulazni sinusni signal sistema

xu = sin(fr0(k)*t);

% snimljeni (ovde simulirani) izlaz iz sistema

xi = lsim(Wok, xu, t);

% dodoavanje shuma

xi = xi’ + randn(size(xu))*noiseF;

% provlachenje idealne sinusoide kroz snimljeni signal xi

[Amplituda, Faza] = SinFit(fr0(k)*t(end-n/2:end), xi(end-n/2:end));

A(k) = Amplituda;

Fi(k) = Faza;

% prikaz na ekranu: ulaza, izlaza i fitovanog signala

plot(t, xu’, ’b’, t, xi’, ’y’, t, A(k)*sin(fr0(k)*t + Fi(k))’, ’r’); grid

xlabel (’t [s]’); ylabel (’x_u, x_i, A*sin(\omega t + \phi)’)

a = axis();

axis([t(end)-3*pi/fr0(k) t(end) a(3) a(4)]);

title ([’f = ’ num2str(fr0(k),2) ’ rad/s’])

pause(0.05)

end

% eksperimentalno snimljena i teorijska amplitudna uch.karak.

figure(2)

plot(fr0, A, ’r*’, f(1:n/2), Aok(1:n/2)); grid

xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’A_{ok}(\omega)’)

a = axis();

axis([0 fr0(k) a(3) a(4)])

% eksperimentalno snimljena i teorijska fazna uch.karak.


figure(3)

plot(fr0, Fi*180/pi, ’r*’, f(1:n/2), Phiok(1:n/2)); grid

xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’\phi_{ok}(\omega) [deg]’)

a = axis();

axis([0 fr0(k) a(3) a(4)])

% eksperimentalno snimljena i teorijska uchestanosna karakteristika

figure(4)

plot(A.*cos(Fi), A.*sin(Fi), ’r*’, Aok(1:n/2).*cos(Phiok(1:n/2)*pi/180),...

Aok(1:n/2).*sin(Phiok(1:n/2)*pi/180));

hold on

% jedinichna kruzhnica

theta = linspace(0, 2*pi, 36);

plot(cos(theta), sin(theta), ’g’); grid

xlabel (’R(\omega)’); ylabel (’j I(\omega)’)

axis equal

% eksperimentalno snimljena i teorijska logaritamska amplitudna uch.karak.

figure(5)

semilogx(fr0, 20*log10(A), ’r*’, f(1:n/4), 20*log10(abs(Aok(1:n/4)))); grid

xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’L_{ok}(\omega) [dB]’)

% eksperimentalno snimljena i teorijska logaritamska fazna uch.karak.

figure(6)

semilogx(fr0, Fi*180/pi, ’r*’, f(1:n/4), Phiok(1:n/4)); grid

xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’\phi_{ok}(\omega) [deg]’)

% procenjena prenosna funkcija na bazi eksperimenta

[bv,av] = invfreqs(A.*exp(j*Fi), fr0, 1, 3)

Weksp = tf(bv, av)

Iz programa se vidi da se for petǉa ponavǉa N = 100 puta i to su uqestanosti za koje su”snimane” taqke u kojima mogu da se nacrtaju eksperimentalno snimǉena amplitudna i faznauqestanosna karakteristika. Na slikama 4.18-4.20 su prikazana 3 (od 100) “eksperimenta”za uqestanosti 1 rad

s , 2 rads i 3 rad

s , sledstveno.

24 25 26 27 28 29 30 31 32−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [s]

x u, xi, A

*sin

(ω t

+ φ

)

f = 1 rad/s

Slika 4.18. Sinusni ulaz i odziv pri ω = 1 rads .

Na svim slikama se nalaze po tri krive:

• ulazna sinusna oscilacija (kriva plave boje),

• snimǉena izlazna sinusna oscilacija sa prisutnim xumom (kriva �ute boje) i

• ufitovana sinusoida (crvene boje) funkcijom function [Amplituda, Faza, DC, A, B] =SinFit(Ugao, Sinusoida), (kod dat u nastavku), kroz prethodnu sa xumom. Na taj naqinse eliminixe uticaj xuma, ako je odnos signal-xum dovoǉno veliki.


28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 32 32.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

x u, xi, A

*sin

(ω t

+ φ

)

f = 2 rad/s


30 30.5 31 31.5 32 32.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

x u, xi, A

*sin

(ω t

+ φ

)

f = 3 rad/s


Rezultati obrade navedenih 100 eksperimenata, za 100 razliqitih uqestanosti ilus-trovani su slikama 4.21-4.23. Vaǉanost dobijenih rezultata lako mo�e da se proveribudu�i da smo identifikovali ono od qega smo u ovom primeru poxli - od poznate Wok(s),jednaqina (4.100). To ilustruju dobijene i polazne kriva na slikama 4.21-4.23.

Pored grafiqke potvrde dobijenih rezultata, oni mogu i numeriqki da budu testiranikorix�eǌem funkcije invfreqs, koja nam daje i numeriqke vrednosti prenosne funkcije akojoj se zadaju samo redovi polinoma u brojiocu i imeniocu te nepoznate prenosne funkcije.Rezultat koji se dobije u komandnom prozoru Matlaba, kao rezultat posledǌe dve linijekoda iz ExpFok.m, je:

bv =0.9997 -6.9988

av =1.0000 2.9994 4.9996 4.9990


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

ω [rad/s]

Aok

(ω)

Slika 4.21. Amplitudna uqestanosna karakteristika Aok(ω).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [d

eg]

Slika 4.22. Fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω).

Transfer function:s - 6.999

-----------------------------s^3 + 2.999 s^2 + 5 s + 4.999

Upore�ivaǌem sa polaznom prenosnom funkcijom Wok(s), (4.100), mo�e da se oceni vaǉa-nost postupka. Kako su polazna i dobijena prenosna funkcija oblika:

Wokpolazna(s) =s − 7

s3 + 3s2 + 5s + 5Wokdobijena(s) =

s − 6, 999s3 + 2, 999s2 + 5s + 4, 999

,

zakǉuquje se da je identifikacija uspexno izvrxena.Ovim programom se izraqunava i logaritamska uqestanosna karakteristika, koja �e biti

definisana u Odeǉku 4.5 i koja je na slikama 4.24 i 4.25 prikazana svojom amplitudom,odnosno fazom.


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

R(ω)

j I(ω

)

Slika 4.23. Hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω).

10−2

10−1

100

101

102

103

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

ω [rad/s]

L ok(ω

) [d

B]

Slika 4.24. Logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika Lok(ω) = 20 log Aok(ω).

Funkcija kojom je izvrxeno fitovaǌe snimǉenog signala idealnim prostoperiodiqimsignalom, je prikazana u nastavku, SinFit.m:

function [Amplituda, Faza, DC, A, B]=SinFit(Ugao, Sinusoida)

SinusUgla = sin(Ugao);

KosinusUgla = cos(Ugao);

Sc = sum(KosinusUgla);

Ss = sum(SinusUgla);

SS = sum(Sinusoida);

Sc2 = sum(KosinusUgla.^2);

Scs = sum(KosinusUgla.*SinusUgla);

ScS = sum(KosinusUgla.*Sinusoida);

Ss2 = sum(SinusUgla.^2);

SsS = sum(SinusUgla.*Sinusoida);

N = length(Ugao);


10−2

10−1

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [d

eg]

Slika 4.25. Logaritamska fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω).

A = (ScS*Ss^2 - Scs*Ss*SS - N*ScS*Ss2 + Sc*SS*Ss2 + N*Scs*SsS - Sc*Ss*SsS)/...

(N*Scs^2 - 2*Sc*Scs*Ss + Sc2*Ss^2 + Sc^2*Ss2 - N*Sc2*Ss2);

B = (N*Scs*ScS - Sc*ScS*Ss - Sc*Scs*SS + Sc2*Ss*SS + Sc^2*SsS - N*Sc2*SsS)/...

(N*Scs^2 - 2*Sc*Scs*Ss + Sc2*Ss^2 + Sc^2*Ss2 - N*Sc2*Ss2);

DC = (Scs^2*SS + Sc*ScS*Ss2 - Sc2*SS*Ss2 + Sc2*Ss*SsS - Scs*(ScS*Ss + Sc*SsS))/...

(-2*Sc*Scs*Ss + Sc2*Ss^2 + Sc^2*Ss2 + N*(Scs^2 - Sc2*Ss2));

Amplituda = sqrt(A^2 + B^2);

Faza = atan2(A, B);

4.4.5 Osobine uqestanosne karakteristike

Uqestanosna karakteristika je racionalna funkcija imaginarne promenǉive jω. ǋene vred-nosti su kompleksni brojevi. Ona mo�e da se prika�e u polarnom obliku (4.99) ili uDekartovom obliku preko svog realnog i imaginarnog dela:

F (jω) = R(ω) + jI(ω), (4.101)

gde su R(ω) = ReF (jω) i I(ω) = ImF (jω), slika 4.26.

�

�

��

��

��F (jω)

ReF (jω)

ImF (jω)

R(ω)

jI(ω)

A(ω)

ϕ(ω)

Slika 4.26. Dekartove i polarne kooordinate.

Razmatra�e se, bez gubitka u opxtosti, jedan jednostruko prenosni sistem, qija je uqes-


tanosna karakteristika opisana jednaqinom (4.88).

F (jω) =

m∑k=0

bk(jω)k

n∑k=0

ak(jω)k

. (4.102)

Ta jednaqina mo�e da se prika�e u razvijenoj formi na slede�i naqin:

F (jω) =(b0 − b2ω

2 + b4ω4 − b6ω

6 + . . .) + j(b1ω − b3ω3 + b5ω

5 − b7ω7 + . . .)

(a0 − a2ω2 + a4ω4 − a6ω6 + . . .) + j(a1ω − a3ω3 + a5ω5 − a7ω7 + . . .), (4.103)

odnosno uvo�eǌem slede�ih polinoma:

R1(ω) = b0 − b2ω2 + b4ω

4 − b6ω6 + . . . (4.104a)

I1(ω) = b1ω − b3ω3 + b5ω

5 − b7ω7 + . . . (4.104b)

R2(ω) = a0 − a2ω2 + a4ω

4 − a6ω6 + . . . (4.104v)

I2(ω) = a1ω − a3ω3 + a5ω

5 − a7ω7 + . . . (4.104g)

dobija se

F (jω) =

m∑k=0

bk(jω)k

n∑k=0

ak(jω)k

=R1(ω) + jI1(ω)R2(ω) + jI2(ω)

. (4.105)

Na osnovu (4.104) se vidi da su polinomi R1(ω) i R2(ω) polinomi koji sadr�e samo parnestepene uqestanosti: ω0, ω2, ω4, . . ., odakle se zakǉuquje da su ta dva polinoma parne funkcije

Ri(−ω) = Ri(ω), i = 1, 2. (4.106)

Analogno tome, polinomi I1(ω) i I2(ω) sadr�e samo uqestanosti qiji su stepeni neparni:ω1, ω3, ω5, . . ., iz qega proistiqe neparnost tih funkcija

Ii(−ω) = −Ii(ω), i = 1, 2. (4.107)

Ako se racionalizuje jednaqina (4.105) dobija se

F (jω) =R1(ω) + jI1(ω)R2(ω) + jI2(ω)

· R2(ω) − jI2(ω)R2(ω) − jI2(ω)

=

=R1(ω)R2(ω) + I1(ω)I2(ω) + j [R2(ω)I1(ω) − R1(ω)I2(ω)]

R22(ω) + I2

2 (ω), (4.108)

odakle se izdvajaju realni R(ω) i imaginarni deo I(ω) uqestanosne karakteristike:

R(ω) =R1(ω)R2(ω) + I1(ω)I2(ω)

R22(ω) + I2

2 (ω), (4.109a)

I(ω) =R2(ω)I1(ω) − R1(ω)I2(ω)

R22(ω) + I2

2 (ω). (4.109b)

Na kraju se na osnovu (4.106), (4.107) i (4.109) zakǉuquje da:Realni deo uqestanosne karakteristike F (jω) je parna funkcija

R(−ω) = R(ω),

a ǌen imaginarni deo je neparna funckija uqestanosti

I(−ω) = −I(ω).


−0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

jI(ω

)

R(ω)

F(jω)

ω → +∞ω → −∞

ω → 0+ω → 0−

Slika 4.27. Hodograf uqestanosne karakteristike F (jω).

Kompleksna ravan u kojoj je uqestanosna karakteristika odre�ena svojim realnim R(ω) iimaginarnim delom I(ω) naziva se ravan uqestanosne karakteristike F . Geometrijsko mestotaqaka F (jω) u ravni F dobijeno za promenu uqestanosti ω od −∞ do +∞ naziva se hodografuqestanosne karakteristike.

Navedena osobina uqestanosne karakteristike, tj. ǌenog realnog i imaginarnog dela,obezbe�uje da je deo hodografa uqestanosne karakteristike za ω ∈ [−∞, 0] simetriqan deluǌenog hodografa za ω ∈ [0,+∞] u odnosu na realnu osu, slika 4.27. Na slici je deohodografa za pozitivne uqestanosti prikazan plavom bojom, a za negativne uqestanosticrvenom. Ova osobina simetriqnosti hodografa uqestanosne karakteristike omogu�ava dase taqke hodografa izraqunavaju samo za pozitivne uqestanosti, a da se ǌegov deo za nega-tivne uqestanosti ne izraqunava, ve� se dobija kao otisak pozitivnog dela ”presavijaǌemuqestanosne ravni F” du� realne ose.

Osobine amplitudne uqestanosne karakteristike A(ω) i fazne uqestanosne karakteri-stike ϕ(ω), koje odre�uju uqestanosnu karakteristiku F (jω) u polarnim koordinatama (ek-sponencijalni oblik):

F (jω) = A(ω)ejϕ(ω) (4.110)

mogu da se ilustruju polaze�i od jednaqine(4.105)

F (jω) = R(ω) + jI(ω) =R1(ω) + jI1(ω)R2(ω) + jI2(ω)

,

odakle se dobija da su

A(ω) =√

R2(ω) + I2(ω) =

√R2

1(ω) + I21 (ω)√

R22(ω) + I2

2 (ω)(4.111)

ϕ(ω) = arctanI(ω)R(ω)

= arctanI1(ω)R1(ω)

− arctanI2(ω)R2(ω)

. (4.112)

Posledǌe dve jednaqine zajedno sa jednaqinama (4.106) i (4.107) dovode do zakǉuqka da jemoduo A(ω) uqestanosne karakteristike F (jω) parna funkcija

A(−ω) = A(ω),

a argument ϕ(ω) uqestanosne karakateristike F (jω) neparna funkcija

ϕ(−ω) = −ϕ(ω).


Do tih zakǉuqaka mo�e da se do�e i na osnovu slike 4.26, odakle se dobijaju slede�eveze

R(ω) = A(ω) cos ϕ(ω),

I(ω) = A(ω) sin ϕ(ω).

Koriste�i prethodne dve jednaqine uqestanosna karakteristika F (jω) mo�e da se prika�ei u obliku:

F (jω) = R(ω) + jI(ω) = A(ω) cos ϕ(ω) + jA(ω) sin ϕ(ω) = A(ω) [cos ϕ(ω) + j sinϕ(ω)] .

Kada se ima u vidu da je F (jω) = A(ω)ejϕ(ω), onda se na bazi prethodne jednaqine dolazi do

ejϕ(ω) = cos ϕ(ω) + j sinϕ(ω),

odnosno za negativnu vrednost ϕ(ω)

e−jϕ(ω) = cos ϕ(ω) − j sinϕ(ω),

xto dovodi do obrazaca koji su korix�eni u Primeru 16

cos ϕ(ω) =ejϕ(ω) + e−jϕ(ω)

2, sin ϕ(ω) =

ejϕ(ω) − e−jϕ(ω)

2j.

4.5 Logaritamska uqestanosna karakteristikaCrtaǌe hodografa uqestanosne karakteristike u kompleksnoj ravni F , u sluqaju slo�enijihprenosnih funkcija, tj. uqestanosnih karakteristika, mo�e da bude vrlo komplikovano akose za takva izraqunavaǌa ne koriste raqunari.

U sluqaju slo�ene uqestanosne karakteristike oblika:

F (jω) = A(ω)ejϕ(ω) =A1(ω)ejϕ1(ω)A2(ω)ejϕ2(ω) . . . Ap(ω)ejϕp(ω)

Ap+1(ω)ejϕp+1(ω)Ap+2(ω)ejϕp+2(ω) . . . Aq(ω)ejϕq(ω)(4.113)

gde su p i q prirodni brojevi, q > p > 0, amplitudna uqestanosna karakteristika A(ω) je

A(ω) =A1(ω)A2(ω) . . . Ap(ω)

Ap+1(ω)Ap+2(ω) . . . Aq(ω),

dok je fazna uqestanosna karakteristika ϕ(ω)

ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + . . . + ϕp(ω) − ϕp+1(ω) − ϕp+2(ω) − . . . − ϕq(ω).

Dok se crtaǌe ϕ(ω) svodi na sabiraǌe (oduzimaǌe) ordinata ϕi(ω), i = 1, 2, . . . q, dotle crtaǌeA(ω) zahteva mno�eǌe (deǉeǌe) Ai(ω), i = 1, 2, . . . q, xto nije pogodno za grafiqku obradu. Dabi se to izbeglo uvodi se logaritamska uqestanosna karakteristika koja je definisanasa

20 log F (jω) = 20 log A(ω)ejϕ(ω) = 20 log A(ω) + 20 log ejϕ(ω) = 20 log A(ω) + jϕ(ω)20 log e. (4.114)

Logaritamska uqestanosna karakteristika ima realni deo definisan sa

L(ω) = 20 log A(ω), (4.115)

koji se naziva logaritamska amplitudna uqestanosna karkateristika i ima imaginarnideo

ϕ(ω)20 log e, (4.116)

koji je potpuno odre�en sa faznom uqestanosnom karakteristikom ϕ(ω). Znaqi da L(ω)i ϕ(ω) jednoznaqno odre�uju logaritamsku uqestanosnu karakteristiku, te samim tim, ifrekventnu karakteristiku F (jω).

Vrednost L(ω) logaritamske amplitudne uqestanosne karakteristike za ω � 0 se meriu decibelima: dB. Decibel je mera pojaqaǌa i slabǉeǌa i kao takav je najpre korix�en

4.5. Logaritamska uqestanosna karakteristika 63

u oblasti telekomunikacija. Iz te oblasti je prenet u akustiku kao mera jaqine zvuka, apotom i u automatiku kao mera odnosa amplituda izlazne i ulazne oscilacije sistema.

Ako se sada posmatra uqestanosna karakteristika oblika (4.113), i ako se potra�i ǌenlogaritamski oblik, tj. logaritamska uqestanosna karakteristika sistema, dobija se

20 log F (jω) = 20 logA1(ω)ejϕ1(ω)A2(ω)ejϕ2(ω) . . . Ap(ω)ejϕp(ω)

Ap+1(ω)ejϕp+1(ω)Ap+2(ω)ejϕp+2(ω) . . . Aq(ω)ejϕq(ω)=

= 20 log A1(ω)ejϕ1(ω) + 20 log A2(ω)ejϕ2(ω) + . . . + 20 log Ap(ω)ejϕp(ω)−− 20 log Ap+1(ω)ejϕp+1(ω) − 20 log Ap+2(ω)ejϕp+2(ω) − . . . − 20 log Aq(ω)ejϕq(ω) =

= L1(ω) + jϕ1(ω)20 log e + L2(ω) + jϕ2(ω)20 log e + . . . + Lp(ω) + jϕp(ω)20 log e−− Lp+1(ω) − jϕp+1(ω)20 log e − Lp+2(ω) − jϕp+2(ω)20 log e − . . . − Lq(ω) − jϕq(ω)20 log e =

= L1(ω) + L2(ω) + . . . + Lp(ω) − Lp+1(ω) − Lp+2(ω) − . . . − Lq(ω)++ j20 log e [ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + . . . + ϕp(ω) − ϕp+1(ω) − ϕp+2(ω) − . . . − ϕq(ω)] ,

odakle se dobija da je logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika L(ω)

L(ω) =p∑

k=1

Lk(ω) −q∑

k=p+1

Lk(ω) (4.117)

dok je fazna uqestanosna karakteristika ϕ(ω)

ϕ(ω) =p∑

k=1

ϕk(ω) −q∑

k=p+1

ϕk(ω). (4.118)

To znaqi da se u sluqaju logaritamske amplitudne uqestanosne karakteristike L(ω), ekvi-valentna vrednost dobija sabiraǌem elementarnih vrednosti, a ne ǌihovim mno�eǌem, kaoxto je to bio sluqaj kod amplitudne uqestanosne karakteristike A(ω).

Logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika L(ω) se grafiqki prikazuje u log-aritamskom dijagramu. Na apscisi je log ω (logaritamska skala po ω), a na ordinati je L(ω)prikazano u linearnoj skali. Fazna uqestanosna karakteristika ϕ(ω) se grafiqki prikazujeu polu-logaritamskom dijagramu. Na apscisi je log ω (logaritamska skala po ω), a na ordi-nati ϕ(ω) u linearnoj podeli.

4.5.1 Logaritamske uqestanosne karakteristike za elementarne pre-nosne funkcije

Elementarne prenosne funkcije su one racionalne funkcije koje ne mogu da se prika�u uvidu proizvoda ili koliqnika jednostavnijih prenosnih funkcija.

Prema tome svaka slo�ena prenosna funkcija mo�e da se razlo�i na odgovaraju�i brojelementarnih prenosnih funkcija. Da bi se pokazalo da je broj tih elementarnih funkcijaograniqen i da ih ima samo pet, razmatra se neka slo�ena prenosna funkcija opisana sa:

W (s) =

m∑k=0

bksk

n∑k=0

aksk

, m � n, (4.119)

koja mo�e da se prika�e u razlo�enom obliku, preko binoma:

W (s) = k(s − s0

1)(s − s02) . . . (s − s0

m)(s − s∗1)(s − s∗2) . . . (s − s∗n)

. (4.120)

Korenovi polinoma s0i u brojiocu ili s∗i u imeniocu mogu da budu raspore�eni samo na

neki od naqina prikazanih na slici 4.28.To znaqi da elementarne prenosne funkciju, na osnovu jednaqine (4.120) i slike 4.28,

mogu da poprime samo narednih pet oblika.

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

polulogaritamskom


�

�

σ

jω

� �

realni

s∗ s∗� � �

� � �

σ σ σ

jω jω jω

��

�koǌugovano-kompleksni imaginarni nulti

s∗

s∗1

s∗2 �

�s∗1

s∗2 �

�s∗1

s∗2

Slika 4.28. Mogu�i polo�aji korenova polinoma.

1. W (s) = k, gde je k proizvoǉna konstanta razliqita od nule,

2. W (s) = s, u sluqaju da je koren polinoma u koordinatnom poqetku,

3. W (s) = 1 ± Ts, kada su korenovi realni,

4. W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, T1 > 0, 0 <

T1

2T2< 1, za koǌugovano kompleksne korenove i

5. W (s) = T 22 s2 + 1 u sluqaju imaginarnih korenova.

Ne postoji ni jedna jednostavnija prenosna funkcija od ovih pet elementarnih, kao xtone postoji ni jedna prenosna funkcija koja ne mo�e da se izrazi preko ovih pet elemen-tarnih prenosnih funkcija. To znaqi da poznavaǌe logaritamske amplitudne uqestanosnekarakteristike L(ω) i fazne uqestanosne karakteristike ϕ(ω) elementarnih prenosnih funk-cija obezbe�uje lako crtaǌe logaritamske uqestanosne karakteristike proizvoǉne prenosnefunkcije, jednaqine (4.117) i (4.118). U nastavku se prikazuju logaritamske uqestanosnekarakteristike svih pet elementarnih prenosnih funkcija.

• W (s) = k

Uqestanosna karakteristika je oblika

F (jω) = k = |k|{

ej0, k > 0,

ejπ, k < 0,

xto znaqi da jeA(ω) = |k| ⇒ L(ω) = 20 log A(ω) = 20 log |k|

ϕ(ω) =

{0, k > 0,

π, k < 0.

Grafiqki prikaz L(ω) i ϕ(ω) je dat na slici 4.29.

10−1

100

101

−60

−40

−20

0

20

40

60

|k| = 1

|k| = 10

|k| = 100

|k| = 0,1

|k| = 0,01

ω [rad/s]

L(ω

) [d

B]

10−1

100

101

−90

0

90

180

270

ω [rad/s]

φ(ω

) [d

eg]

k > 0

k < 0

Slika 4.29. L(ω) i ϕ(ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = k, k ∈ R, k �= 0.


• W (s) = s

Uqestanosna karakteristika se dobija kada se u prenosnoj funkciji svaki kompleksnibroj s zameni ǌegovim imaginarnim delom jω:

F (jω) = jω = |ω|

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ejπ

2 , ω > 0,

e−j

π

2 , ω < 0,

odakle se dobijaju A(ω) i ϕ(ω)

A(ω) = |ω|, ϕ(ω) =

⎧⎪⎨⎪⎩

π

2, ω > 0,

−π

2, ω < 0.

Da bi se nacrtala logaritamska uqestanosna karakteristika potrebno je odreditiizraze za L(ω) i ϕ(ω) i to samo za uqestanosti koje su nenegativne ω � 0, s obzirom dase uqestanosti prikazuju na apscisnoj osi koja je logaritamska. Prema tome:

L(ω) = 20 log A(ω) = 20 log ω,

ϕ(ω) =π

2.

Grafiqki prikaz logaritamske uqestanosne karakteristike za ovu elementarnuprenosnu funkciju je data na slici 4.30.

10−1

100

101

102

−20

0

20

40

ω [rad/s]

L(ω

) [d

B]

10−1

100

101

102

89

89.5

90

90.5

91

ω [rad/s]

φ(ω

) [d

eg]

Slika 4.30. L(ω) i ϕ(ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = s.

Sa slike 4.30 se vidi da je L(ω) prava qiji je nagib 20 decibela po dekadi, xto znaqida dekadno uve�aǌe vrednosti ω, tj. deset puta ve�e ω, izaziva promenu vrednosti L(ω)za 20 dB.

• W (s) = 1 ± Ts, T > 0Uqestanosna karakteristika u ovom sluqaju ima oblik

F (jω) = 1 ± jTω.

U tom izrazu postoje dve promenǉive T i ω, xto je u sluqaju da se za T ne zna konkretnabrojqana vrednost, komplikovano za crtaǌe. Zbog toga se uvodi nova promenǉiva Ω,koja se naziva normalizovana uqestanost, na slede�i naqin:

Ω = Tω.


Pored toga, uvodi se pojam prelomne uqestanosti koja se oznaqava sa ωn i jednaka je

reciproqnoj vrednosti konstatnte T , ωn =1T

, tako da prethodna jednaqina mo�e da senapixe i kao

Ω = Tω =ω

ωn.

Uvo�eǌem ovih oznaka uqestanosna karakteristika F (jω) postaje

F (jΩ) = 1 ± jΩ,

pri qemu je ǌen realni deo R(Ω) = 1, a imaginarni I(Ω) = ±Ω. Odatle sledi da jeamplitudna uqestanosna karakteristika

A(Ω) =√

R2(Ω) + I2(Ω) =√

1 + Ω2,

a fazna uqestanosna karakteristika

ϕ(Ω) = arctanI(Ω)R(Ω)

= arctan±Ω1

= ± arctan Ω.

Logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika je sada

L(Ω) = 20 log A(Ω) = 20 log√

1 + Ω2,

pa je postupak za crtaǌe tog hodografa znatno te�i nego u prethodna dva sluqaja. Zbogtoga se kriva L(Ω) aproksimira svojim asimptotama koje se izraqunavaju na slede�inaqin.U sluqaju da je Ω ≪ 1, L(Ω) se aproksimira asimptotom:

La1(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

1 + Ω2

∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

1 = 0,

a za Ω ≫ 1 asimptotom La2(Ω)

La2(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

1 + Ω2

∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

Ω2 = 20 log Ω.

Prva asimptota se poklapa sa apscisnom osom, dok druga asmiptota ima nagib 20 dBpo dekadi.

10−1

100

101

102

−10

0

10

20

30

40

50

La1

(Ω)L

a2(Ω)

Ω [rad/s]

L(Ω

) [d

B]

10−1

100

101

102

−90

0

90

W(s) = 1 + T s

W(s) = 1 − T s

Ω [rad/s]

φ(Ω

) [d

eg]

Slika 4.31. L(Ω) i ϕ(Ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = 1 ± Ts, T > 0.


Na slici 4.31 su prikazane La1(Ω), La2(Ω) i L(Ω), kao i ϕ(ω) za obe razmatrane prenosnefunkcije: W (s) = 1 + Ts i W (s) = 1 − Ts.Asimptota La1(Ω) i La2(Ω) se koriste za pribli�no taqno crtaǌe L(Ω), a sa slike 4.31mo�e da se vidi kolika grexka se pri tome unosi u crtaǌe. Najve�a grexka je utaqki gde se te dve asimptote spajaju, tj. u taqki Ω = 1, xto znaqi da se to dexava u

uqestanosti ω = ωn =1T

, koja se naziva prelomna uqestanost.

Levo (Ω ≪ 1) i desno (Ω ≫ 1) od te taqke, asimptote La1(Ω) i La2(Ω) dovoǉno taqnoaproksimiraju L(Ω) xto proistiqe i iz ǌihove definicije.

• W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, T1 > 0

Ova prenosna funkcija ima koǌugovano kompleksne nule, pa je samim tim zadovoǉeno:

0 <T1

2T2< 1.

Uvo�eǌem slede�ih oznaka: ξ - priguxeǌe i ωn - prelomna ili sopstvena uqestanost

ξ =T1

2T2, ωn =

1T2

,

ova prenosna funkcija mo�e da se prika�e na slede�i naqin

W (s) = T 22

(s2 ± T1

T 22

s +1

T 22

)= T 2

2

(s2 ± 2

T1

2T2

1T2

s +1T2

)=

1ω2

n

(s2 ± 2ξωns + ω2

n

).

Uqestanosna karakteristika se, polaze�i od W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, dobija na poznati

naqin:

F (jω) = W (s)∣∣∣∣s=jω

= 1 − T 22 ω2 ± jT1ω. (4.121)

Uvo�eǌem Ω - normalizovane uqestanost

Ω = T2ω =ω

ωn

i korix�eǌem prethodno uvedenih ξ i ωn, jednaqina (4.121) mo�e da se napixe i naslede�i naqin

F (jω) = 1 − T 22 ω2 ± jT1ω = 1 − ω2

ω2n

± j2T1

2T2T2ω = 1 − ω2

ω2n

± j2ξω

ωn, (4.122)

tj.F (jΩ) = 1 − Ω2 ± j2ξΩ. (4.123)

Realni i imaginarni delovi od F (jΩ)

R(Ω) = 1 − Ω2, I(Ω) = ±2ξΩ,

omogu�avaju da se izraquna amplitudna i fazna uqestanosna karakteristika:

A(Ω) =√

(1 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2, ϕ(Ω) = arctan±2ξΩ1 − Ω2

,

odakle se dobija logaritamska uqestanosna karakteristika

L(Ω) = 20 log√

(1 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2,

ϕ(Ω) = ± arctan2ξΩ

1 − Ω2=

⎧⎪⎨⎪⎩± arctan

2ξΩ1 − Ω2

, Ω � 1,

±[π − arctan

2ξΩ|1 − Ω2|

], Ω � 1.

Mirko

Note

Unmarked set by Mirko

Mirko

Pencil

Mirko

Note



I u ovom sluqaju se za crtaǌe hodografa L(ω) koriste asimptote. Prva, La1(Ω), seizraqunava iz uslova Ω ≪ 1

La1(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

(1 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2

∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

1 = 0,

a druga La2(Ω), iz uslova Ω ≫ 1

La2(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

(1 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2

∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

Ω4 = 40 log Ω.

Prva asimptota se poklapa sa apscisnom osom, dok druga asmiptota ima nagib 40 dB podekadi. Na slici 4.32 su prikazane obe asimptote (isprekidanim crvenim linijama),kao i prave krive. U ovom sluqaju je izraz koji opisuje L(ω) funkcija dve promenǉive:

10−1

100

101

−40

−20

0

20

40

Ω [rad/s]

L(Ω

) [d

B]

La1

(Ω)

La2

(Ω)

ξ=0,8ξ=0,5ξ=0,2ξ=0,1ξ=0,01

10−1

100

101

−180

−90

0

90

180

Ω [rad/s]

φ(Ω

) [d

eg]

W(s) = 1 + T s

W(s) = 1 − T s

ξ=0,8ξ=0,5ξ=0,2ξ=0,1ξ=0,01

Slika 4.32. L(Ω) i ϕ(Ω) prenosne funkcije W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, T1 > 0, 0 < T1

2T2< 1.

uqestanosti Ω i priguxeǌa ξ. Na slici 4.32 je prikazano vixe krivih L(ω) gde je kaoparametar korix�ena vrednost priguxeǌa ξ.

• W (s) = T 22 s2 + 1

Ova elementarna prenosna funkcija predstavǉa graniqni sluqaj prethodne elemen-tarne prenosne funkcije pri ξ → 0. Kada je priguxeǌe jednako nuli, onda koǌugovanokopmpleksni polovi iz prethodnog sluqaja, za 0 < ξ < 1, dolaze na imaginarnu osu ipostaju imaginarni polovi.Uqestanosna karakteristika ove elementarne prenosne funkcije je oblika

F (jω) = 1 − T 22 ω2,

odnosno uvo�eǌem prelomne (ili sopstvene ili prirodne) uqestanosti

ωn =1T2

i normalizovane uqestanosti:

Ω = T2ω =ω

ωn

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

(T2^2) (s^2) + T1s + 1

Mirko

Note


Mirko

Note


Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

(T2^2) (s^2) - T1s + 1

Mirko

Note

None set by Mirko

Mirko

Note

None set by Mirko

Mirko

Note

Accepted set by Mirko

Mirko

Note

Accepted set by Mirko

Mirko

Note

None set by Mirko

Mirko

Note

None set by Mirko


izraz za uqestanosnu karakteristiku prikazan preko normalizovane uqestanostipoprima slede�i oblik

F (jΩ) = 1 − Ω2.

Sada uqestanosna karakteristika ima samo realni deo, dok je imaginarni identiqkijednak nuli. Amplitudna uqestanosna karakteristika je

A(Ω) = |1 − Ω2|,a fazna uqestanosna karakteristika

ϕ(Ω) = arctan0

|1 − Ω2| =

⎧⎪⎨⎪⎩

arctan0

1 − Ω2= 0, Ω < 1,

π − arctan0

|1 − Ω2| = π, Ω > 1.

Na osnovu A(Ω) lako se izraqunava L(Ω)

L(Ω) = 20 log |1 − Ω2|.Prava kriva L(Ω) u ovom sluqaju mo�e da se aproksimira sa tri asimptote. Prva,La1(Ω), se izraqunava iz uslova Ω ≪ 1

La1(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log |1 − Ω2|∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log |1| = 0,

druga La2(Ω), iz uslova Ω ≫ 1

La2(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log |1 − Ω2|∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log | − Ω2| = 40 log Ω,

a tre�a, La3(Ω), iz uslova Ω = 1

La3(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω=1

= 20 log |1 − Ω2|∣∣∣∣Ω=1

= 20 log 0 = −∞.

Prva asimptota se poklapa sa apscisnom osom, druga ima nagib 40 dB po dekadi, atre�a je poluprava koja polazi iz nule i odlazi do −∞. Na slici 4.33 su prikazanesve tri asimptote, kao i prava kriva. U ovom sluqaju logaritamska amplitudna ka-

10−1

100

101

−60

−40

−20

0

20

40

La1

(Ω)

La2

(Ω)

La3

(Ω)

Ω [rad/s]

L(Ω

) [d

B]

10−1

100

101

−180

−90

0

90

180

Ω [rad/s]

φ(Ω

) [d

eg]

Slika 4.33. L(Ω) i ϕ(Ω) prenosne funkcije W (s) = T 22 s2 + 1.

rakteristika L(ω) ima prekid druge vrste za Ω = 1, tj. ω =1T2

, a fazna uqestanosna

karakteristika prekid prve vrste pri istoj uqestanosti.

Mirko

Pencil

Mirko

Pencil


Primer 21Razmotrimo jednu slo�enu prenosnu funkciju, koja opisuje otvoreno kolo nekoga SAR-a,

W (s) = 25s(

14s2 − 1

2s + 1)(1 + 2s)4(

116s2 + 1

) (125s2 + s + 1

)4 (1 − 10s)3. (4.124)

Odre�ivaǌe uqestanosne karakteristike F (jω) ovog sistema, ǌenog realnog R(ω) i imagi-narnog I(ω) dela, je izuzetno slo�eno s obzirom na redove polinoma u brojiocu i imeniocu.Me�utim, odre�ivaǌe logaritamske uqestanosne karakteristike L(ω) i ϕ(ω) se svodi nasabiraǌa ili oduzimaǌa pet elementarnih logaritamskih uqestanosnih karakteristika.

U tom smislu se data prenosna funkcija razla�e na elementarne prenosne funkcije naslede�i naqin:

W (s) = 25︸︷︷︸W1(s)=k

· s︸︷︷︸W2(s)=s

·(

14s2 − 1

2s + 1

)

︸︷︷︸W3(s)=T 2

2 s2±T1s+1

· (1 + 2s)4︸︷︷︸W4(s)=1±Ts

·(

116

s2 + 1)−1

︸︷︷︸W5(s)=T 2

2 s2+1

·(

125

s2 + s + 1)−4

︸︷︷︸W6(s)=T 2

2 s2±T1s+1

· (1 − 10s)−3

︸︷︷︸W7(s)=1±Ts

.

Na slici 4.34 su prikazani dijagrami L(ω) i ϕ(ω) svih sedam elementarnih funkcija.Da ne bude zabune, postoji ukupno pet tipova elementarnih prenosnih funkcija, xta vixeu ovom primeru se pojavǉuje svih pet, ali su elementarne prenosne funkcije W3(s) i W6(s)istoga tipa, isto va�i i za W4(s) i W7(s).

10−2

100

102

26

28

30

L 1(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

0

1

φ 1(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−50

0

50

L 2(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−2

0

2

φ 2(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 3(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

−0.5

0

φ 3(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

0

100

200

L 4(ω)

[dB

]

10−2

100

102

0

1

2

φ 4(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 5(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

−0.5

0

φ 5(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−400

−200

0

L 6(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−4

−2

0

φ 6(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−200

−100

0

L 7(ω)

[dB

]

ω [rad/s]10

−210

010

20

1

2

φ 7(ω)

[π r

ad]

ω [rad/s]

Slika 4.34. L(ω) i ϕ(ω) elementarnih prenosnih funkcija sistema (4.124).

One elementarne prenosne funkcije koje su stepenovane: W4(s) qetvrtim stepenom, W6

qetvrtim stepenom i W7(s) tre�im stepenom, predstavǉaju slo�ene prenosne funkcije i one


su kao tavkve prikazane u qetvrtoj, xestoj i sedmoj vrsti slike 4.34. Upore�uju�i npr.qetvrtu vrstu slike 4.34 u kojoj su L(ω) i ϕ(ω) prenosne funkcije W4(s) = (1 + 2s)4, sa ele-mentarnom prenosnom funkcijom W (s) = 1 ± Ts, qije su L(ω) i ϕ(ω) prikazane na slici 4.31,zakǉuquje sa da su vrednosti krivih iz qetvrte vrste slike 4.34 qetiri (toliki je stepen odW4(s)) puta ve�e nego odgovaraju�e vrednosti na slici 4.31. Ta osobina se lako pokazuje imatematiqki. Obele�imo proizvoǉnu elementarnu prenosnu funkciju sa We(s). Ako je onastepenovana stepenom r, r > 1, onda mo�e da se izraquna slede�e:

L(ω) = 20 log W re (s)

∣∣∣∣s=jω

= 20 log F re (jω) = 20 log

[Ae(ω)ejϕe(ω)

]r= 20 log Ar

e(ω)ejrϕe(ω) =

= 20 log Are(ω) + 20 log ejrϕe(ω) = r20 log Ae(ω) + jrϕe(ω)20 log e =

= rLe(ω) + jrϕe(ω)20 log e,

odakle se zakǉuquje da je

L(ω) = rLe(ω), ϕ(ω) = rϕe(ω).

Logaritamska uqestanosna karakteristika otvorenog kola (4.124) je prikazana naslici 4.35. Ona je dobijena korix�eǌem ranije utvr�enih obrazaca (4.117) i (4.118), kojiovde, u sluqaju razmatrane prenosne funkcije, postaju:

L(ω) =3∑

k=1

Lk(ω) −7∑

k=4

Lk(ω), ϕ(ω) =3∑

k=1

ϕk(ω) −7∑

k=4

ϕk(ω).

Na toj slici je ilustrovana i primena Bodeovog kriterijuma za ispitivaǌe stabilnostiSAR-a, qija je prenosna funkcija otvorenog kola data sa (4.124). Ti detaǉi ovde ne�e bitirazjaxǌavani, ali �e ovaj primer da poslu�i za ilustraciju gradiva koje �e biti izlo�enou odeǉku o stabilnosti sistema.

10−2

10−1

100

101

102

−200

−100

0

100

200

L ok(ω

) [d

B]

10−2

10−1

100

101

102

−2

−1

0

1

2

3

∅

⊕ ∅

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [π

rad

]

P≡3 Σ≡−1 → ZSAU nije stabilan

Slika 4.35. Logaritamska uqestanosna karakteristika sistema (4.124).

Slike 4.34 i 4.35, tj. dijagrami logaritamske amplitudne uqestanosne karakteristikeL(ω) i fazne uqestanosne karakteristike ϕ(ω), prikazane u polulogaritamskoj skali, nazi-vaju se jox i Bodeovi dijagrami.

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

4

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

5

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

4

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

5

Mirko

Pencil


4.6 Jednaqina staǌa i jednaqina izlazaJedan od do sada izlo�enih naqina za prikazivaǌe matematiqkog modela linearnog dina-miqkog sistema je diferencijalna jednaqina ponaxaǌa oblika (4.8)

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

m∑k=0

Bkx(k)u (t), m � l. (4.125)

Ta vektorska jednaqina predstavǉa sistem od N skalarnih jednaqina, pri qemu u svakojod ǌih maksimalni izvod izlazne veliqine xi(t), i = 1, 2, . . . N , mo�e da bude l-ti. Da bimogla da se rexi jednaqina (4.125) neophodno je da se poznaje promena vektora ulaza xu(t),od poqetnog trenutka t = t0 pa nadaǉe, kao i poqetne vrednosti vektora izlaza i ǌegovihizvoda u trenutku t0, tj. moraju da budu poznati slede�i poqetni uslovi:

x(k)i1 (t0), ∀k = 0, 1, 2, . . . l − 1

x(k)i2 (t0), ∀k = 0, 1, 2, . . . l − 1

...x

(k)iN (t0), ∀k = 0, 1, 2, . . . l − 1.

Oqigledno je broj tih poqetnih uslova n = lN i od tih vrednosti direktno zavisi rexe-ǌe jednaqine (4.125). To znaqi da vrednosti i karakter promene vektora ulaza ne odre�ujujednoznaqno izlaz, ve� je za to neophodno poznavati dodatnih n veliqina u poqetnom tre-nutku.

To je, jasno, matematiqko tumaqeǌe. Ako se posmatra fiziqki sistem onda se postavǉapitaǌe: xta je to xto pored vektora ulaza odre�uje izlaz, tj. odziv sistema? Odgovor na topitaǌe dovodi do pojma staǌa sistema.

Staǌe sistema u trenutku τ , predstavǉa ǌegovu unutraxǌu fiziqku situaciju u tomtrenutku, qije poznavaǌe uz poznavaǌe promene ulaza od trenutka τ pa nadaǉe, jedino jed-noznaqno odre�uje promenu izlaza, kao i promenu same te unutraxǌe fiziqke situacije odtog trenutka τ pa nadaǉe.

Sistemi qiji je izlaz jednoznaqno odre�en staǌem i ulazom se nazivaju dinamiqki sis-temi, dok se sistemi qiji je izlaz jednoznaqno odre�en samo ulazom nazivaju statiqkisistemi. Iz toga proizilazi da su dinamiqki sistemi opisani diferencijalnim jednaqi-nama, a statiqki algebarskim.

S obzirom da poznavaǌe poqetnog staǌa, n poqetnih uslova - n veliqina staǌa u poqet-nom trenutku, i poznavaǌe promene ulaza za t � t0, jednoznaqno odre�uje i izlaz i svih nveliqina staǌa sistema u svakom trenutku t � 0, onda promene tih n veliqina staǌa morajuda budu rexeǌa nekog sistema od n diferencijalnih jednaqina. Takav sistem jednaqina,koga qine diferencijalne jednaqine prvoga reda, dobija se matematiqkim transformaci-jama polaznog sistema (4.125).

Algoritmi koji obezbe�uju prevo�eǌe diferencijalne jednaqine (4.125) u sistem od ndiferencijalnih jednaqina prvoga reda nazivaju se algoritmi za usvajaǌe veliqina staǌa.Ilustrujmo jedan od ǌih polaze�i od posebnog oblika diferencijalne jednaqine koja nesadr�i izvode po ulaznoj veliqini:

x(n)i (t) + an−1x

(n−1)i (t) + . . . + a2xi(t) + a1xi(t) + a0xi(t) = b0xu(t). (4.126)

Naglasimo jox jednom da poznavaǌe xi(0), xi(0), . . . , xn−1i (0), zajedno sa poznavaǌem xu(t) za

t � 0 u potpunosti odre�uje budu�e ponaxaǌe sistema. Samim tim veliqine xi(t), xi(t), . . .,x

(n−1)i (t) mogu da budu usvojene za veliqine staǌa sistema1:

x1(t) = xi(t)x2(t) = xi(t)x3(t) = xi(t)

...xn−1(t) = x

(n−2)i (t)

xn(t) = x(n−1)i (t).

(4.127)

1Matematiqki ovo jeste najjednostavnije. Praktiqno, budu�i da se vixi izvodi maǌe taqno odre�ujuzbog postojaǌa xuma u signalima ovakav izbor nije uvek najpo�eǉniji.

4.6. Jednaqina staǌa i jednaqina izlaza 73

Tada diferencijalna jednaqina n-tog reda (4.126) mo�e da se prika�e slede�im sistemomod n diferencijalnih jednaqina prvoga reda:

x1(t) = x2(t),x2(t) = x3(t),x3(t) = x4(t),

...

xn−1(t) = xn(t),xn(t) = −a0x1(t) − a1x2(t) − a2x3(t) − . . . − an−2xn−1(t) − an−1xn(t) + b0xu(t),

ili kompaktnijex(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.128)

gde su:

x(t) =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1(t)x2(t)

...xn(t)

⎞⎟⎟⎟⎠ , A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

00...0b0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. (4.129)

Na osnovu smene x1(t) = xi(t) iz (4.127) oqigledno je da je izlazna veliqina sistema

xi(t) = x1(t),

xto mo�e da se napixe u slede�em vektorskom obliku

xi(t) =(1 0 · · · 0

),

⎛⎜⎜⎜⎝

x1(t)x2(t)

...xn(t)

⎞⎟⎟⎟⎠ , (4.130)

ilixi(t) = Cx(t) (4.131)

gde je matrica C oblikaC =

(1 0 · · · 0

).

Jednaqina (4.128) se naziva vektorska diferencijalna jednaqina staǌa, kra�e jednaqinastaǌa, dok se jednaqina (4.131) naziva vektorska jednaqina izlaza, kra�e jednaqina izlaza.Te dve jednaqine su ekvivalentne jednaqini (4.126). Sve informacije o sistemu sadr�ane u(4.126) nalaze se i u (4.128) i (4.131).

Kao xto je naglaxeno ovaj algoritam za usvajaǌe veliqina staǌa mo�e da se primenisamo u posebnom sluqaju kada u diferencijalnoj jednaqini ponaxaǌa ne postoje izvodi poulaznoj veliqini. Razmotrimo sada opxti sluqaj diferencijalne jednaqine ponaxaǌa nekoglinearnog stacionarnog dinamiqkog sistema

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

m∑k=0

Bkx(k)u (t), m � l, Al = I. (4.132)

Za primenu narednog algoritma se podrazumeva da je matriqni koeficijent Al jediniqnamatrica

Al = I =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

...0 0 · · · 1

⎞⎟⎟⎟⎠ ∈ RN×N .

U sluqaju da matrica Al nije jediniqna, a da je regularna, onda se jednaqina (4.132) mno�is leve strane inverznom matricom A−1

l matrice Al.


Zbog jednostavnosti postupka se u sluqaju m < l formalno uvode slede�e nula matrice

Bm+1 = Bm+2 = · · · = Bl = O,

pa jednaqina (4.132) postaje

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

l∑k=0

Bkx(k)u (t), Al = I. (4.133)

Osnovni problem u definisaǌu veliqina staǌa u ovom sluqaju le�i u izvodima vek-tora ulaza. Veliqine staǌa moraju da budu tako usvojene da eliminixu izvode vek-tora ulaza u jednaqini staǌa. Drugim reqima, sistem od n skalarnih diferencijal-nih jednaqina staǌa ne sme da ima izvode sa desnih strana jednaqina tog sistema.Leve strane jednaqina su predstavǉene samo prvim izvodom odgovaraju�e veliqinestaǌa. Na osnovu tih osobina sledi opxti oblik diferencijalne jednaqine staǌa ijednaqine izlaza:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.134a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (4.134b)

Osnovni zadatak je da se na bazi Ak i Bk iz (4.133) odrede A, B, C i D iz (4.134).

Taj zadatak mo�e da se uradi na razne naqine, tj. raznim algoritmima za usvajaǌeveliqina staǌa. Jedan od naqina je da se definixe slede�ih l vektora, pri qemu su oniN-dimenzionalni, xi ∈ RN , i = 1, 2, . . . , l, i koji suxtinski predstavǉaju n = lN veliqinastaǌa:

x1(t) = xi(t) − Blxu

x2(t) = x1(t) + Al−1xi(t) − Bl−1xu(t)x3(t) = x2(t) + Al−2xi(t) − Bl−2xu(t)x4(t) = x3(t) + Al−3xi(t) − Bl−3xu(t)

...xl−1(t) = xl−2(t) + A2xi(t) − B2xu(t)xl(t) = xl−1(t) + A1xi(t) − B1xu(t).

(4.135)

Ovakvim izborom veliqina staǌa, uz (4.133), se dobija:

x1(t) = −Al−1x1(t)+x2(t) + (Bl−1 − Al−1Bl)xu(t)x2(t) = −Al−2x1(t) + x3(t) + (Bl−2 − Al−2Bl)xu(t)

... (4.136)

xl−1(t) = −A1x1(t) +xl(t) + (B1 − A1Bl)xu(t)xl(t) = −A0x1(t) + (B0 − A0Bl)xu(t).

Sada mogu da se napixu opxti vektorski oblici diferencijalne jednaqine staǌa i jed-naqine izlaza, koji su, u matematiqkom smislu, ekvivalentni polaznom obliku matematiqkogmodela - diferencijalnoj jednaqini ponaxaǌa (4.133).

Jednaqina staǌa se dobija direktno iz jednaqine (4.136)

x(t) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−Al−1 I O · · · O−Al−2 O I · · · O

......

......

...−A1 O O · · · I−A0 O O · · · O

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

x(t) +

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

Bl−1 − Al−1Bl

Bl−2 − Al−2Bl

...B1 − A1Bl

B0 − A0Bl

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

xu(t), (4.137)

a polaze�i od (4.135) gde je x1(t) usvojeno na slede�i naqin

x1(t) = xi(t) − Blxu

dobija se jednaqina izlazaxi(t) = x1(t) + Blxu,


koja matriqno prikazana poprima slede�i izgled

xi(t) =(I 0 · · · 0

)x(t) + Blxu(t). (4.138)

Zakǉuquje se da je postavǉeni zadatak rexen, tj. na bazi matrica Ak i Bk iz (4.133) suodre�ene matrice A, B, C i D iz jednaqine staǌa i jednaqine izlaza:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.139a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t), (4.139b)

pri qemu su n = lN , x ∈ Rn, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×M , C ∈ RN×n i D ∈ RN×M definisani sa:

x(t) =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1(t)x2(t)

...xl(t)

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x11(t)x12(t)

...x1N (t)x21(t)x22(t)

...x2N (t)

...xl1(t)xl2(t)

...xlN (t)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

x1(t)x2(t)

...xn(t)

⎞⎟⎟⎟⎠ , A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−Al−1 I O · · · O−Al−2 O I · · · O

......

......

...−A1 O O · · · I−A0 O O · · · O

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

Bl−1 − Al−1Bl

Bl−2 − Al−2Bl

...B1 − A1Bl

B0 − A0Bl

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

,

(4.140)C =

(I 0 · · · 0,

), D = Bl. (4.141)

Matrica A je matrica staǌa i ona definixe dinamiqke osobine sistema, ǌome je u pot-punosti definisana promena staǌa nastala usled poqetnih odstupaǌa. U odeǉku o stabil-nosti �e biti pokazano da je u ovoj matrici, tj. ǌenim sopstvenim vrednostima, sadr�anaosobina stabilnosti sistema.

Matrica B je matrica ulaza. ǋome je definisan uticaj ulaza na promenu staǌa sistema.Matrica C se naziva matrica izlaza i ona definixe vezu izme�u izlaza sistema i ǌegovogstaǌa - izlaz je samo linearna kombinacija veliqina staǌa. Matrica D izra�ava direktanuticaj ulaza na izlaz i naziva se matricom direktnog prenosa.

U posebnom sluqaju jednaqine (4.133), kada ona opisuje jednostruko prenosni sistem:

n∑k=0

akx(k)i (t) =

n∑k=0

bkx(k)u (t), an = 1,

jednaqina staǌa i jednaqina izlaza su oblika:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t)

gde su x ∈ Rn, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×1, C ∈ R1×n i D ∈ R1×1 definisani sa:

x(t) =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1(t)x2(t)

...xn(t)

⎞⎟⎟⎟⎠ , A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−an−1 1 0 · · · 0−an−2 0 1 · · · 0

......

......

...−a1 0 0 · · · 1−a0 0 0 · · · 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

bn−1 − an−1bn

bn−2 − an−2bn

...b1 − a1bn

b0 − a0bn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

,

C =(1 0 · · · 0

), D = bn.


Mxu1

xi

xu2

m=0

b

k

Slika 4.36. Kolica na pokretnoj platformi.

Primer 22Ako se kolica koja su razmatrana u primeru 17 stave na pokretnu platformu, qija je masazanemariva, m = 0, slika 4.36, onda mo�e da se napixe slede�a diferencijalna jednaqina

Md2xi(t)

dt2+ b

(dxi(t)

dt− dxu2(t)

dt

)+ k (xi(t) − xu2(t)) = xu1(t), (4.142)

odnosnoMxi(t) + bxi(t) + kxi(t) = xu1(t) + kxu2(t) + bxu2(t). (4.143)

Ako se uvede vektor ulaza u obliku xu =(xu1 xu2

)T, prethodna jednaqina mo�e da se

prika�e kaoMxi(t) + bxi(t) + kxi(t) =

(1 k

)xu(t) +

(0 b

)xu(t).

Da bi se odredile jednaqina staǌa i jednaqina izlaza matriqni koeficijent Al morada bude jediniqna matrica, u ovom sluqaju to je skalar a2 koji je a2 = M . To znaqi daprethodna jednaqina mora da se podeli sa M :

xi(t) +b

Mxi(t) +

k

Mxi(t) =

(1M

k

M

)xu(t) +

(0

b

M

)xu(t).

Neka su:• M = 1 kg• b = 10 Ns/m• k = 20 N/m

onda difrencijalna jednaqina sa tim brojqanim vrednostima poprima slede�i izgled

xi(t) + 10xi(t) + 20xi(t) =(1 20

)xu(t) +

(0 10

)xu(t).

Matrice iz jednaqine staǌa i jednaqine izlaza se sada jednostavno odre�uje na baziformula (4.140) i (4.141):

A =(−a1 1−a0 0

)=(−10 1−20 0

), B =

(B1 − a1B2

B0 − a0B2

)=((

0 10)

+ 10(0 0

)(1 20

)+ 20

(0 0

))

=(

0 101 20

),

C =(1 0

), D = B2 =

(0 0

).

Prema tome jednaqina staǌa i jednaqina izlaza, razmatranih kolica na pokretnoj plat-formi, su:

x(t) =(−10 1−20 0

)x(t) +

(0 101 20

)xu(t), (4.144)

xi(t) =(1 0

)x(t). (4.145)

Na osnovu prethodno izlo�enog, lako se pokazuje da je prenosna matrica razmatranogsistema oblika

W(s) =(W1(s) W2(s)

)=(

1s2 + 10s + 20

10s + 20s2 + 10s + 20

)

i tada je

Xi(s) = W(s)(

Xu1(s)Xu2(s)

).


4.6.1 Odre�ivaǌe kretaǌa i odziva sistemaRazmatra se slede�i sistem, opisan u prostoru staǌa

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.146a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (4.146b)

Prva jednaqina je diferencijalna i ǌeno rexeǌe opisuje promenu staǌa u toku vremena,koja je izazvana bilo poqetnim odstupaǌima bilo dejstvom ulaza. Kada se do toga rexe-ǌa do�e, onda je odre�ivaǌe odziva trivijalno s obzirom da je odziv definisan drugomjednaqinom koja je algebarska.

Prema tome osnovni problem le�i u rexavaǌu jednaqine staǌa (4.146a). Rexeǌe tejednaqine definixe promenu vektora staǌa x(t) u toku vremena. Ta promena vektora staǌaodgovara promeni unutraxǌe fiziqke situacije sitema qiji matematiqki model je dat sa(4.146). To znaqi da kada se pojedine fiziqke veliqine u okviru razmatranog sistema meǌajuu toku vremena, onda se veliqine staǌa koje odgovaraju tim fiziqkim veliqinama meǌajuna istovetan naqin, i one predstavǉaju samo matematiqku interpretaciju tih promena.

Budu�i da se ovde razmatraju matematiqki modeli sistema, koji su verodostojnifiziqkim sistemima, onda utvr�ivaǌe promene vektora staǌa u potpunosti definixe di-namiqko ponaxaǌe fiziqkog sistema.

Dimenzija vektora staǌa n, x ∈ Rn, je ujedno i dimenzija ili red sistema, a skup taqakakroz koje mo�e da pro�e vektor staǌa je n-dimenzionalni vektorski prostor koji se nazivaprostor staǌa.

Skup taqaka kroz koji prolazi vektor staǌa poqev od taqke x(t0) u poqetnom trenutkut = t0, do nekog trenutka t je trajektorija staǌa T tog sistema kroz uoqeno x0 = x(t0). Skupsvih trajektorija sistema je lik staǌa ili portret staǌa.

Prema tome rexeǌe jednaqine staǌa (4.146a) kroz dati poqetni uslov x0 predstavǉatrajektoriju staǌa kroz to poqetno staǌe. To rexeǌe se uobiqajeno obele�ava sa x(t), ali�e ovde da bude uvedena jedna funkcija koja to rexeǌe eksplicitnije iskazuje.

Definicija 4.6.1 Vektorska funkcija

χ(t; t0,x0;xu[t0,t]) = x(t) (4.147)

koja definixe zakon po kome sistem iz staǌa x0 u trenutku t0, prelazi u staǌe x(t) u tre-nutku t, a pod dejstvom ulaza xu(t) na intervalu [t0, t], u oznaci xu[t0,t], slika 4.37, se nazivafunkcija prelaza staǌa ili kretaǌe ili rexeǌe sistema (4.146).

�

��

�0x

T

x(t0)

x(t)

χ(t; t0,x0;xu[t0,t])

Slika 4.37. Trajektorija staǌa.

Ova funkcija se naziva funkcija prelaza staǌa jer opisuje zakon po kome sistem prelaziiz staǌa u staǌe, tj. kako se sistem kre�e - pa otuda i drugi naziv kretaǌe. Kako je tafunkcija rexeǌe jednaqine (4.146a) otuda i ǌen tre�i naziv - rexeǌe.

Prema tome vrednost funkcije prelaza staǌa u nekom trenutku predstavǉa vektor staǌax(t) u tom trenutku i samim tim ta funkcija mo�e uvek da bude napisana u skra�enom obliku,preko vektora staǌa. Me�utim, ona je i uvedena da bi eksplicitnije pokazala razloge zakretaǌe sistema: iz kog se poqetnog staǌa, u kom poqetnom trenutku krenulo i pri kakvomvektoru ulaza:

χ( t︸︷︷︸teku�i

trenutak

; t0,x0︸︷︷︸poqetniuslovi

; xu[t0,t]︸︷︷︸promenaulaza

) = x(t)︸︷︷︸vektor staǌa

u teku�em trenutku


Da bi neka funkcija χ(·) mogla da bude rexeǌe jednaqine (4.146a) ona mora da zadovoǉislede�e uslove

• χ(·) je diferencijabilna po vremenu

• χ(·) identiqki zadovoǉava jednaqinu staǌa (4.146a):

d

dtχ(t; t0,x0;xu[t0,t]) ≡ Aχ(t; t0,x0;xu[t0,t]) + Bxu(t),

• χ(·) zadovoǉava poqetni uslov

χ(t0; t0,x0;xu(t0)) ≡ x0.

Ako je poqetni trenutak t0 = 0, onda se izraz za χ(·)

χ(t; 0,x0;xu[0,t])

pixe u skra�enoj formi tako xto se poqetni trenutak izostavǉa, podrazumeva se da je nula

χ(t;x0;xu).

Budu�i da se odre�ivaǌem funkcije prelaza staǌa sistema, odre�uju svi relevantniparametri dinamiqkog ponaxǌa sistema, onda je od fundamentalnog znaqaja ǌeno odre�i-vaǌe i to u opxtem sluqaju jednaqine staǌa (4.146a). Najjednostavniji naqin da se odredikretaǌe je da se jednaqina staǌa rexi u kompleksnom domenu kompleksnog broja s.

Ako se na jednaqinu staǌa (4.146a) primeni Laplasov operator

L{x(t)} = L{Ax(t) + Bxu(t)} , (4.148)

dobija se, pri t0 = 0,sX(s) − x0 = AX(s) + BXu(s). (4.149)

Iz te jednaqine proistiqesIX(s) − AX(s) = BXu(s) + x0, (4.150)

odnosno(sI − A)X(s) = BXu(s) + x0. (4.151)

Matrica (sI − A) se naziva karakteristiqna matrica sistema. ǋena inverzna matrica(sI − A)−1 definisana sa

(sI − A)−1 =adj(sI − A)det (sI − A)

je rezolventna matrica matrice A.Kada se jednaqina (4.151) pomno�i rezolventnom matricom s leve strane dobija se kom-

pleksni lik rexeǌaX(s) = (sI − A)−1BXu(s) + (sI − A)−1x0. (4.152)

Primenom inverzne Laplasove transformacije na jednaqinu (4.152)

L−1 {X(s)} = L−1{(sI − A)−1BXu(s) + (sI − A)−1x0

}(4.153)

dobija se vremenski lik rexeǌa, tj. kretaǌa sistema

χ(t;x0;xu) = L−1{(sI − A)−1BXu(s)

}+ L−1

{(sI − A)−1

}x0. (4.154)

Ako se sistem nalazi u nominalnom radnom re�imu u totalnim koordinatama Xu(t) =XuN (t), tj. u slobodnom radnom re�imu po odstupaǌima xu(t) = 0u dobija se

χ(t;x0;0u) = L−1{(sI − A)−1

}x0. (4.155)

MatricaL−1

{(sI − A)−1

}


se naziva fundamentalna matrica matrice A i oznaqava se sa Φ(t)

Φ(t) = L−1{(sI − A)−1

}, Φ(s) = (sI − A)−1

i ǌen kompleksni lik predstavǉa rezolventnu matricu matrice A. Prema tome, kretaǌesistema u slobodnom re�imu rada je definisano sa:

χ(t;x0;0u) = Φ(t)x0. (4.156)

Odre�ivaǌe odziva sistema u trenutku t je, kao xto je ve� naglaxeno, trivijalno kada sepoznaju vektor staǌa i vektor ulaza u tom trenutku. Po�imo od jednaqine izlaza (4.146b).

Primenom Laplasove transformacije na jednaqinu izlaza

L{xi(t)} = L{Cx(t) + Dxu(t)} ,

odmah se dobija rexeǌe u kompleksnom domenu

Xi(s) = CX(s) + DXu(s).

Kada se u tu jednaqinu uvrsti izraqunato X(s) iz (4.152), ona postaje

Xi(s) = C[(sI − A)−1BXu(s) + (sI − A)−1x0

]+ DXu(s).

Preure�eǌem te jednaqine proistiqe slede�a

Xi(s) =[C(sI − A)−1B + D

]Xu(s) + C(sI − A)−1x0. (4.157)

I u toj jednaqini mogu da se uoqe dva dela: usled dejstva ulaza xu(t) i usled poqetnih od-stupaǌa x0. Vremenski lik odziva se dobija primenom inverzne Laplasove transformacije

xi(t) = L−1{[

C(sI − A)−1B + D]Xu(s) + C(sI − A)−1x0

}. (4.158)

Interesantno je prikazati odziv sistema u slobodnom re�imu rada, tj. kada je xu(t) = 0u.U tom sluqaju jednaqina (4.157) postaje

Xi(s) =[C(sI − A)−1B + D

]Xu(s). (4.159)

Potse�aǌem da je, (4.39),Xi(s) = W(s)Xu(s),

i upore�ivaǌem sa (4.159), zakǉuquje se da su prenosna matrica sistema i matrice A, B, Ci D iz (4.146) u slede�oj vezi:

W(s) = C(sI − A)−1B + D.

Ako se ta jednaqina napixe u razvijenom obliku

W(s) = Cadj(sI − A)det (sI − A)

B + D =Cadj(sI − A)B + D det (sI − A)

det (sI − A)

mo�e da se vidi da je imenilac prenosne matrice odre�en determinantom karakteristiqnematrice det (sI − A).

Poznato je da se sopstvene vrednosti matrice A odre�uju rexavaǌem karakteristiqnejednaqine:

f(s) = det (sI − A) = 0,

gde je f(s) karakteristiqni polinom matrice A. ǋegovi korenovi predstavǉaju sopstvenevrednosti matrice A.

Na osnovu gore navedenog zakǉuquje se da su polovi prenosne matrice jednaki sopstvenimvrednostima matrice A, odnosno korenovima karakteristiqnog polinoma:

s∗i [W(s)] = s∗i (A) = s∗i [f(s)] , ∀i = 1, 2, . . . , μ.

Mirko

Comment on Text

zasto ???


Primer 23Pokuxajmo da sve novouvedene pojmove iz ovog odeǉka ilustrujemo na kolicima iz prethodnogprimera, u kome je odre�en matematiqki model u prostoru staǌa:

x(t) =(−10 1−20 0

)x(t) +

(0 101 20

)xu(t), (4.160a)

xi(t) =(1 0

)x(t). (4.160b)

Red, dimenzija, ovog sistema je n = 2. Sistem ima dve veliqine staǌa. U Matlabu seovaj sistema definixe na slede�i naqin:

A = [-10 1; -20 0];B = [0 10; 1 20];C = [1 0];D = [0 0];sistem = ss(A, B, C, D);

Karakteristiqna matrica matrice A, (sI − A), se dobija ukucavaǌem>> syms s; s * eye(2) - Aans =[ s+10, -1] [ 20, s]

xto znaqi da je

(sI − A) =(

s + 10 −120 s

).

Rezolventna matrica je>> inv(ans)ans =[ s/(s^2+10*s+20), 1/(s^2+10*s+20)][ -20/(s^2+10*s+20), (s+10)/(s^2+10*s+20)]

(sI − A)−1 =

⎛⎜⎜⎝

s

s2 + 10s + 201

s2 + 10s + 20−20

s2 + 10s + 20s + 10

s2 + 10s + 20

⎞⎟⎟⎠ .

Rexeǌe jednaqine staǌa (4.160a) u kompleksnom domenu je, na osnovu jednaqine (4.152),

X(s) = (sI − A)−1BXu(s) + (sI − A)−1x0 =

⎛⎜⎜⎝

s

s2 + 10s + 201

s2 + 10s + 20−20

s2 + 10s + 20s + 10

s2 + 10s + 20

⎞⎟⎟⎠[(

0 101 20

)Xu(s) + x0

].

Sre�ivaǌem ove jednaqine i primenom inverzne Laplasove transformacije odre�uje sekretaǌe sistema, a iz ǌega i ulaza se zatim odre�uje odziv sistma. U ovom primeru to daǉene�e biti ra�eno klasiqim naqinom, ve� �e za ta izraqunavaǌa da se iskoriste Matlabovemogu�nosti. Izvrximo slede�i Matlab skript, ProstorStanja.m.

close all, clear, pack, clc

% sistem u prostoru stanja

A = [-10 1; -20 0];

B = [0 10; 1 20];

C = [1 0];

D = [0 0];

sistem = ss(A, B, C, D);

% trajektorija stanja

figure (1)

x0 = [1; 1];

[y, t, x] = initial(sistem, x0);

plot(x(:,1), x(:,2)); grid

axis equal

xlabel(’x_1(t)’)


ylabel(’x_2(t)’)

% lik stanja sistema

figure (2)

hold on; grid

for x1 = -2:0.5:2

for x2 = -2:0.5:2

x0 = [x1; x2];

[y, t, x] = initial(sistem, x0);

plot(x(:,1), x(:,2))

end

end

xlabel(’x_1(t)’)

ylabel(’x_2(t)’)

% odskochni odziv sistema

figure (3)

step(sistem); grid

% odskochni odziv sistema pri nenultim pochetnim uslovima

figure (4)

t = 0:0.001:3;

xu = [ones(length(t), 1) ones(length(t), 1)];

[y, x] = lsim(A, B, C, D, xu, t, [2; -0.1]);

plot(t, x); grid

legend(’x_1’, ’x_2’)

xlabel(’t’)

ylabel(’x_1(t), x_2(t)’)

% prenosna matrica

W = tf(sistem)

Na slici 4.38 je ilustrovana promena staǌa sistema u slobodnom re�imu rada, xu = 0u.To kretaǌe je izazvano poqetnim odstupaǌem x0 = (1 1)T .

−0.5 0 0.5 1 1.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1(t)

x 2(t)

Slika 4.38. Trajektorija staǌa kroz x0 = (1 1)T .

Prikazana trajektorija staǌa predstavǉa grafiqku interpretaciju funkcije prelazastaǌa kroz dato poqetno staǌe, a ǌen analitiqki oblik mo�e da se dobije iz jednaqinekoja opisuje kretaǌe sistema u slobodnom radnom re�imu:

χ(t;(1 1

)T ;0u) = Φ(t)(

11

).


Sa slike 4.38 mo�e da se vidi da obe veliqine staǌa konvergiraju ka nuli, tj. vektor staǌakonvergira nultom staǌu x = 0x.

Na slici 4.39 je prikazan lik staǌa sistema. Na osnovu ǌega mo�e da se zakǉuqi kakva suponaxaǌa kolica iz bilo kog poqetnog staǌa, kada se ta kolica izvedu iz nultog polo�aja,a zatim prepuste sama sebi, tj. kada je ulaz xu = 0u.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1(t)

x 2(t)

Slika 4.39. Lik staǌa kolica sa pokretnom platformom.

Odre�ivaǌe odziva je tako�e izuzetno jednostavno i na slici 4.40 su prikazani odzivisistema i to:

• na levoj strani te slike je odziv na xu(t) = (h(t) 0)T , tj. na jediniqnu odskoqnu promenuprve ulazne veliqine, kada je druga ulazna veliqina jednaka nuli.

• na desnoj strani iste slike je suprotna situacija: prva ulazna veliqina je nultevrednosti, dok je druga jednaka Hevisajdovoj funkciji xu(t) = (0 h(t))T .

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: In(1)

0 0.5 1 1.5

From: In(2)

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 4.40. Odziv sistma pri nultim poqetnim uslovima.

Posledǌa slika iz ovog primera ilustruje funkciju prelaza staǌa, tj. kretaǌe sistemau najopxtijem sluqaju: ulazi u sistem su razliqiti od nule i poqetni uslovi tako�e. Ta


slika ilustruje rexeǌe

X(s) =

⎛⎜⎜⎝

s

s2 + 10s + 201

s2 + 10s + 20−20

s2 + 10s + 20s + 10

s2 + 10s + 20

⎞⎟⎟⎠[(

0 101 20

)(Xu1(s)Xu2(s)

)+(

x10

x20

)]

i to u vremenskom domenu, pri:

xu1(t) = h(t) ⇒ Xu1(s) =1s, xu2(t) = h(t) ⇒ Xu2(s) =

1s,

x1(t)∣∣t=0

= x10 = 2, x2(t)∣∣t=0

= x20 = −0, 1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x 1(t),

x2(t

)

x

1

x2

Slika 4.41. Kretaǌe sistema.

Na toj slici su dve krive, s obzirom da je sistem drugoga reda, odnosno vektor staǌa jeelement dvodimenzionog prostora. Kada je vektor staǌa n-dimenzioni i kada on pripada n-dimenzionom prostoru staǌa, to samo znaqi da bi na ovoj slici bilo prikazano n krivih. Nataj naqin se stiqe kompletan uvid o ponaxaǌu svih veliqina kojima je odre�eno dinamiqkoponaxaǌe sistema. Izlaz je samo spoǉna manifestacija trenutnog staǌa sistema i trenutnevrednosti ulaza. Zato je informacija koja se dobija pri prouqavaǌu sistema u prostorustaǌa sveobuhvatnija i potpunija nego ona koja se dobija analizom izlaza.

S obzirom da je jednaqina izlaza ovog sistema:

xi(t) =(1 0

)x(t) = x1(t),

onda promena prve veliqine staǌa (plava kriva na slici 4.41) predstavǉa ujedno i promenuizlazne veliqine, tj. pozicije kolica.

Posledǌe dve linije koda primoravaju Matlab da matematiqki model iz prostora staǌakonvertuje u ekvivalentni model u obliku prenosne matrice:

Transfer function from input 1 to output:1

---------------s^2 + 10 s + 20

Transfer function from input 2 to output:10 s + 20

---------------s^2 + 10 s + 20

Poglavǉe 5

Analiza linearnih stacionarnihdinamiqkih sistema

5.1 Stacionarni sistemiPojam nestacionarnosti sistema se vezuje za ǌegovu vremensku promenǉivost. Taj pojam sevrlo qesto poistove�uje sa vremenskim promenama pojedinih ǌegovih veliqina. Me�utim,ako su te promene izazvane ulazom ili poqetnim odstupaǌima, onda je to vremenski odzivsistema, koji u opxtem sluqaju nije konstantne vrednosti ve� je vremenski promenǉiv.

Samim tim potrebno je precizno definisati pojam nestacionarnosti sistema. Oznaqimosa xu(t) ulazni signal koji je za σ pomeren du� vremenske ose

xu(t) = xu(t + σ),

gde je σ proizvoǉan realan broj.

Definicija 5.1.1 Dinamiqki sistem je stacionaran (vremenski nepromenǉiv, kon-stantan) ako i samo ako on poseduje slede�e dve osobine.

(I) Izbor poqetnog trenutka ne utiqe na kretaǌe sistema,

χ(t; t0,x0;xu[t0,t]) ≡ χ(t + σ; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,t+σ]),

xto je ilustrovano na slici 5.1.

�

�χ(·)

t

x0

t0 t0 + σ τ τ + σ

stacionaran

nestacionaran

χ(t; t0,x0;xu[t0,τ ]

)χ(t; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,τ+σ]

)

χ(t; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,τ+σ]

)

Slika 5.1. Kretaǌe stacionarnog i nestacionarnog sistema.

85

86 Poglavǉe 5. Analiza linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema

(II) Vreme ne utiqe eksplicitno (direktno) na vrednost izlaza sistema:

xi(t) = χi

(x(t),xu(t)

).

Prva osobina (I) stacionarnog sistema pokazuje da izbor poqetnog trenutka nema uticajana ǌegovo kretaǌe. Zato, bez gubitka u opxtosti, mo�e da se usvoji proizvoǉan poqetnitrenutak, a najjednostavnije je da to bude t0 = 0.

Tada seχ(t; 0,x0;xu[0,t])

pixe u skra�enoj formi tako xto se poqetni trenutak izostavǉa, podrazumeva se da je nula

χ(t;x0;xu),

pri qemu se xu koristi u smislu xu[0,t].Funckija χi(·), iz osobine (II), se naziva funkcija odziva sistema. Ona jednoznaqno

odre�uje promenu izlaza sistema u zavisnosti od promene ǌegovog staǌa i ǌegovog ulaza.Vrednost χi(x(t),xu(t)) funkcije χi(·) u trenutku t je vektorska vrednost izlaza sistema utom trenutku t.

Ako se u funkciji odziva χi(·) staǌe x(t) zameni kretaǌem χ(t;x0;xu) onda se dobija

χi

(χ(t;x0;xu),xu(t)

)

xto predstavǉa odziv sistema u trenutku t. I ovde se vidi da je poznavaǌem kretaǌa ipromene ulaza odziv sistema jednoznaqno definisan.

Ilustracija osobine stacionarnosti dinamiqkih sistema je data u nastavku. Sistemkoji se ispituje je sistem iz prethodnog priemra (kolica na pokretnoj platformi). Ulazsistema je definisan na slede�i naqin:

xu(t) =(

xu1(t)xu2(t)

)=(

0, 5t4 sin t

).

Sistem se ispituje tako xto se u tri simulacije pobu�uje sa tri razliqita ulaza, pri-kazana na slici 5.2, pri tome sistem uvek kre�e iz istog poqetnog staǌa x0 = (0, 02 −0, 04)T :

a) odre�uje se kretaǌe sistema od t0 = 0 do τ = 5:

χ(t; t0,x0;xu[t0,τ ]) = χ(t; 0, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[0,5]).

Promena ulaza je prikazana na levoj slici slike 5.2, a kretaǌe sistema je dato naslici 5.3.

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[0,5]

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[5,10]

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[0,5]

Slika 5.2. Promena ulaza u tri simulacije (s leva na desno).

5.1. Stacionarni sistemi 87

0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

‖x‖

t

Slika 5.3. Kretaǌe χ(t; 0, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[0,5]) u prvoj simulaciji.

b) Naredni sluqaj predstavǉa ispitivaǌe sistema ako se poqetni trenutak pomeri za σ,σ = 5. Sredǌa slika slike 5.2 ilustruje promenu ulaza koji deluje na dati sistem, priqemu je u poqetnom trenutku sistem bio u istom poqetnom staǌu:

χ(t + σ; t0 + σ,x0;xu[t0+σ,τ+σ]) = χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[5,10]).

Rezultati ovakve simulacije prikazani su na slici 5.4.

5 6 7 8 9 10−6

−4

−2

0

2

4

6

8

t

x1

x2

‖x‖

Slika 5.4. Kretaǌe χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[5,10]) u drugoj simulaciji.

Upore�uju�i rezultate sa slike 5.3 i 5.4 oqigledno je da su oni razliqiti. Pri tomesu poqetni uslovi, tj. poqetno staǌe, bili isti u obe simulacije. Razlika je u promeniulaza. Upore�uju�i ulaze kojima je sistem bio izlo�en, leva i sredǌa slika slike 5.2,zakǉuquje se da su oni razliqiti,

xu[t0+σ,τ+σ] �= xu[t0,τ ],

tj.xu[5,10] �= xu[0,5].


Prema tome, utvr�ivaǌe osobine stacionarnosti se sprovodi ispitivaǌem sistema urazliqitim poqetnim trenutcima, ali pri tome, uslovi ispitivaǌa moraju da buduisti:

– sistem pri svim ispitivaǌima mora da krene iz istog poqetnog staǌa,– promena ulaza tokom svih ispitivaǌa mora da bude ista.

v) U ovom sluqaju svi uslovi su isti kao tokom prve simulacije: i poqetno staǌe ipromena ulaza (samo poqetni trenutak vixe nije 0, ve� je 5):

xu[t0+σ,τ+σ] = xu[t0,τ ],

tj., xto se vidi pore�eǌem leve i desne slike, slike 5.2,

xu[5,10] = xu[0,5],

xto dovodi do slede�eg oblika kretaǌa

χ(t + σ; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,τ+σ]) = χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ; xu[5,10]).

Slika 5.5 pokazuje da je dobijeno kretaǌe identiqki jednako kretaǌu iz prve sim-ulacije, slika 5.3, xto znaqi da izbor poqetnog trenutka ne utiqe na kretaǌe, a sobzirom da i jednaqina izlaza (4.160b) ne zavisi eksplicitno od vremena, onda premadefiniciji zakǉuqujemo da su razmatrana kolica na pokretnoj platformi stacionaransistem.

5 6 7 8 9 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

‖x‖

t

Slika 5.5. Kretaǌe χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ; xu[5,10]) u tre�oj simulaciji.

Ovim se objaxǌava suxtinska va�nost korix�eǌa operatora pomeraǌa du� vremenskeose, za σ, u definiciji osobine stacionarnosti:

xu(t) = xu(t + σ).

5.1.1 Fiziqko poreklo nestacionarnostiU sluqaju da prethodna definicija nije zadovoǉena onda je takav sistem nestacionaran(vremenski promenǉiv). Nestacionarnost je osobina koja se vrlo qesto sre�e kod sistema,a ǌeno fiziqko poreklo mo�e da bude vixestruko.

• Jedan uzrok nestacionarnosti je vezan za stareǌe materijala zbog qega se meǌaju ka-rakteristike elemenata. Proces zamora materijala se odvija u svakom materijalu, alion mo�e da bude i najqex�e je vrlo spor u odnosu na vek rada tog sistema. Zato se pro-mene vrednosti parametara i karakteristika izazvanih stareǌem najqex�e zanemaruju.

5.2. Linearni sistemi 89

Jedino ako je brzina tog procesa reda veliqine brzine odvijaǌa fiziqkih procesa usistemu onda zanemarivaǌe promene vrednosti parametara i karakteristika sistemau toku vremena nemaju opravdaǌa. Kada se one zadr�e u matematiqkom modelu onda onpostaje vremenski promenǉiv tj. nestacionaran.

• Drugi opxti uzrok nestacionarnosti maxinskih elemenata u kretaǌu je vezan za treǌei habaǌe. Procesi treǌa i habaǌa tako�e izazivaju promene vrednosti parametara ikarakteristika sistema i sve xto je reqeno za prvi sluqaj va�i i ovde.

• Tre�i uzrok mo�e da bude vezan za fiziqku prirodu samog sistema, za fizikalnostprocesa koji se u ǌemu odvija. Karakteristiqan primer za to je filter za preqix-�avaǌe uǉa u hidrauliqkoj instalaciji. Kao parametar u matematiqkom modelu togsistema se javǉa otpor samog preqistaqa. Poxto je preqistaq mehaniqki on odvajamehaniqke neqisto�e koje se vremenom sve vixe talo�e u ǌemu i zbog toga se ǌegovotpor neprekidno meǌa u toku vremena pa je odgovaraju�i parametar u matematiqkommodelu neprekidna funkcija vremena. S obzirom da je koliqina primesa, tj. sastavprimesa, i veliqina raznih qestica u hidrauliqkom uǉu nepredvidiva tj. sluqajnogkaraktera onda je jasno da je vremenska promena tog parametra u matematiqkom mod-elu sluqajna. Nizom ispitivaǌa mo�e da se dobija sredǌa vrednost (matematiqkooqekivaǌe) tog parametra i da se ǌegova promena u toku vremena posmatra kao deter-ministiqka funkcija zavisna od vremena.Tipiqan primer je i raketa. Dominantni deo mase rakete je masa goriva. U matem-atiqkom modelu rakete masa goriva se pojavǉuje kao parametar u okviru mase qitaverakete. Odnos mase goriva prema masi cele rakete pred poletaǌe ne mo�e da se zane-mari. Zato ne mo�e da se zanemari promena mase goriva u toku leta rakete. To znaqida parametar u matematiqkom modelu rakete koji predstavǉa ǌenu masu predstav-ǉa neprekidnu funkciju vremena i zanemarivaǌe te promene predstavǉa vrlo grubouprox�eǌe. Zbog ove vremenske promene mase goriva te i mase cele rakete ona jesuxtinski nestacionaran sistem. Dovoǉno taqan matematiqki model rakete je tako�enestacionaran. Sve ovo va�i i za avion, brod, automobil, ..., ali je kod ǌih odnosmase goriva prema ukupnoj masi sistema dosta maǌi nego kod rakete. Zato se kod ǌihnestacionarnost ǌihove mase vrlo qesto zanemaruje.Kod manipulatora i robota se vremenom meǌa masa tereta tokom izvrxavaǌa odre�enihoperacija. Teret u toku prenoxeǌa je qvrsto vezan hvataǉkom za manipulator ilirobot i sa stanovixta celokupne mase i momenta inercije teret je deo celog sistema.Znaqi da je masa tereta deo mase celog sistema i odre�uje i moment inercije posledǌegqlanka. Usled promene tereta u toku operacije meǌa se i masa i moment inercijeposledǌeg qlanka tj. sistema. U matematiqkom modelu manipulatora i robota ta masai moment inercije se javǉaju kao vremenski promenǉivi koeficijenti. Jasno je da seovakav vid nestacionarnosti javǉa i kod mnogih drugih sistema npr. kod hidrauliqkihservo motora kada pokre�u neki teret, kruto vezan za klipǌaqu, qija se masa meǌa utoku vremena.

5.2 Linearni sistemiRazmatra se sistem qiji matematiqki model u prostoru staǌa mo�e da se predstavi u na-jopxtijem (nelinearnom) obliku:

x(t) = f(x(t),xu(t)

), (5.1a)

xi(t) = g(x(t),xu(t)

), (5.1b)

gde su f i g, iz jednaqine staǌa i jednaqine izlaza, proizvoǉne vektorske funkcije.

Definicija 5.2.1 Sistem (5.1) je linearan ako i samo ako za ǌega va�i zakon super-pozicije, tj. ako i samo ako taj sistem poseduje slede�e dve osobine:

(I) ǌegovo kretaǌe χ je linearno i po poqetnom staǌu i po ulazu

χ(t;α1x01 + α2x02;α1xu1 + α2xu2) ≡ α1χ(t;x01;xu1) + α2χ(t;x02;xu2)


(II) ǌegova funkcija izlaza g je linearna i po staǌu i po ulazu:

g(α1x1 + α2x2, α1xu1 + α2xu2) ≡ α1g(x1,xu1) + α2g(x2,xu2).

Osobina (II) razmatranog sistema (5.1) se lako proverava ispitivaǌem zakona superpozi-cije na funkciji izlaza g.

Da bi se proverila osobina (I) prvo mora da se rexi nelinearna diferencijalna jedna-qina staǌa (5.1a). ǋeno rexeǌe je funkcija prelaza staǌa χ.

Prema tome, ispitivaǌe osobina linearnosti sistema, kao i osobina stacionarnostisistema, prema navedenim definicijama, zahteva odre�ivaǌe rexeǌa jednaqine (5.1a). Tajpostupak mo�e da bude vrlo komplikovan.

Drugi pristup za odre�ivaǌe ovih osobina je primena odgovaraju�ih kriterijuma kojise izla�u u nastavku.

Teorema 5.2.1 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku jednaqine staǌa (5.1a) ijednaqine izlaza (5.1b). Da bi taj sistem bio:

a) linearan potrebno je i dovoǉno da su i funkcija f i funkcija g linearne i po staǌu ipo ulazu:

f(x(t),xu(t)

)= Ax(t) + Bxu(t), A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×M ,

g(x(t),xu(t)

)= Cx(t) + Dxu(t), C ∈ RN×n, D ∈ RN×M ,

tj. da je sistem (5.1) oblika

x(t) = Ax(t) + Bxu(t) (5.2a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t) (5.2b)

b) da bi taj linearni sistem (5.2) bio stacionaran potrebno je i dovoǉno da su matriceA, B, C i D konstantne, tj. da su svi ǌihovi koeficijenti konstantnih vrednosti.

Teorema 5.2.2 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku diferencijalne jednaqineponaxaǌa. Da bi taj sistem bio linearan i stacionaran potrebno je i dovoǉno da je ǌegovadiferencijalna jednaqina ponaxaǌa linearna

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

m∑k=0

Bkx(k)u (t), m � l (5.3)

sa svim konstantnim koeficijentima,

Ak ∈ RN×N , ∀k = 0, 1, . . . , l

Bk ∈ RN×M , ∀k = 0, 1, . . . ,m.

Oqigledno je da je utvr�ivaǌe osobina stacionarnosti i linearnosti sistema korix-�eǌem prethodnih teorema, tj. kriterijuma, znaqajno jednostavnije nego korix�eǌem odgo-varaju�ih definicija.

5.3 �eǉeni i stvarni radni re�im

5.3.1 �eǉeni radni re�imIz definicije objekta proistiqe va�nost kvaliteta ǌegovog odziva u odnosu na ǌegov �e-ǉeni odziv, tj. va�nost kvaliteta ǌegovog stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa u odnosu na ǌe-govo �eǉeno dinamiqko ponaxaǌe.

Mo�e da se govori o nominalnom (neporeme�nom) dinamiqkom ponaxaǌu, odnosno,odzivu sistema XiN (·), i o ǌegovom stvarnom (poreme�enom) odzivu Xi(·). U tehniqkomizra�avaǌu se koriste pridevi ”nominalni” i ”stvarni” (”nenominalni”). Ako je sis-tem objekt ili sistem automatskog upravǉaǌa objekta onda se umesto prideva ”nominalni”koristi pridev ”�eǉeni” i koristi se oznaka Xiz(·):

Xiz(·) = XiN (·).

5.3. �eǉeni i stvarni radni re�im 91

U istom smislu se razlikuju nominalno (neporeme�eno) kretaǌe χN (·) i stvarno(poreme�eno) kretaǌe χ(·) dinamiqkog sistema. Ako je taj sistem objekt, bilo da je uprav-ǉan ili neupravǉan, onda se ǌegovo nominalno kretaǌe naziva: �eǉeno kretaǌe i oznaqavasa χz(·),

χz(·) = χN (·).

Definicija 5.3.1 Sistem se nalazi u nominalnom radnom re�imu ako i samo ako jeǌegov stvarni izlaz jednak ǌegovom nominalnom izlazu

χi

(X∗(t),X∗

u(t)) ≡ XiN (t).

Par(X∗(t),X∗

u(t))

koji to obezbe�uje je nominalan za dati sistem i oznaqava se sa

(XN (t),XuN (t)

)=(X∗(t),X∗

u(t)).

Kada je �eǉeno dinamiqko ponaxaǌe sistema definisano, postavǉa se pitaǌe kako odred-iti nominalne vrednosti vektora staǌa i vektora ulaza, tj. kako odrediti nominalni par(XN (t),XuN (t)

). Odgovor se krije u matematiqkom modelu sistema. Iska�imo to najpre

preko naredne dve teoreme.

Teorema 5.3.1 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku vektorske diferencijalnejednaqine ponaxaǌa u totalnim koordinatama:

l∑k=0

AkX(k)i (t) =

m∑k=0

BkX(k)u (t), m � l. (5.4)

Da bi ulaz Xu bio nominalan za taj sistem u odnosu na XiN potrebno je i dovoǉno da va�i:

m∑k=0

BkX(k)uN (t) =

l∑k=0

AkX(k)iN (t). (5.5)

Prema tome, nominalni ulaz XuN se dobija rexavaǌem diferencijalne jednaqine (5.5),pri qemu je desna strana te jednaqine poznata funkcija vremena, ǌu qine funkcija Xiz = XiN

i ǌeni izvodi.Naredna teorema je analogna prethodnoj, samo je matematiqki model korix�en u iskazu

teoreme drugaqiji.

Teorema 5.3.2 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku vektorske diferencijalnejednaqine staǌa u totalnim koordinatama (5.6) i vektorske jednaqine izlaza u totalnimkoordinatama (5.7)

X(t) = AX(t) + BXu(t), (5.6)

Xi(t) = CX(t) + DXu(t). (5.7)

Da bi par (X,Xu) bio nominalan za taj sistem u odnosu na XiN potrebno je i dovoǉno dava�e (5.8) i (5.9):

XN (t) = AXN (t) + BXuN (t), (5.8)

CXN (t) + DXuN (t) = XiN (t). (5.9)

Odre�ivaǌe nominalnih vrednosti zahteva poznavaǌe matematiqkog modela datog sis-tema. U nastavku se usvaja da va�i slede�a pretpostavka:

Pretpostavka 5.3.1 Za razmatrani sistem odre�en je nominalni par(XN (t),XuN (t)

)u

odnosu na �eǉeno dinamiqko ponaxaǌe XiN .

Postupak odre�ivaǌa nominalnog para prikazuje se u narednom primeru.


Primer 24Matematiqki model kolica na pokretnoj platformi je na osnovu prethodnih primera oblika:

Xi(t) + 10Xi(t) + 20Xi(t) =(1 20

)Xu(t) +

(0 10

)Xu(t).

Neka je �eǉeno dinamiqko ponaxaǌe u obliku oscilatorne funkcije, tj. �elimo da se kolicapomeraju na slede�i naqin:

Xiz(t) = sin (t). (5.10)

Odredimo ulazne veliqine Xu1N i Xu2N odnosno nominalni vektor ulaza XuN koji �e daprimora kolica da se ponaxaju po zakonu definisanom sa (5.10).

Prema prethodnim teoremama, a za ovaj primer, treba rexiti slede�u diferencijalnujednaqinu:

1∑k=0

BkX(k)uN (t) =

2∑k=0

akX(k)iN (t).

tj. (0 10

)XuN (t) +

(1 20

)XuN (t) = Xiz(t) + 10Xiz(t) + 20Xiz(t). (5.11)

S obzirom da je:

Xiz(t) = sin (t) ⇒ Xiz(t) = cos (t) ⇒ Xiz(t) = − sin (t),

onda je desna strana jednaqine (5.11) poznata funkcija vremena:(0 10

)XuN (t) +

(1 20

)XuN (t) = − sin (t) + 10 cos (t) + 20 sin (t) = 19 sin (t) + 10 cos (t). (5.12)

Reximo ovu diferencijalnu jednaqinu korix�eǌem Laplasovih transformacija. Nekasu svi poqetni uslovi nulti.

(0 10

)sXuN (s) +

(1 20

)XuN (s) = 19

1s2 + 1

+ 10s

s2 + 1(5.13)

odakle se dobija ((0 10

)s +

(1 20

))XuN (s) =

19 + 10s

s2 + 1, (5.14)

odnosno (1 20 + 10s

)XuN (s) =

19 + 10s

s2 + 1, (5.15)

pa se na kraju izraqunava

Xu1N (s) + (20 + 10s)Xu2N (s) =19 + 10s

s2 + 1, (5.16)

S obzirom da imamo dve ulazne veliqine, jednu mo�emo da izaberemo proizvoǉno. Nekase npr. pokretna platforma pomera po slede�em zakonu:

Xu2N (t) = 0, 5 sin (t) ⇒ Xu2N (s) =0, 5

s2 + 1

Kada se to uvrsti u (5.16) dobija se

Xu1N (s) + (20 + 10s)0, 5

s2 + 1=

19 + 10s

s2 + 1, (5.17)

odakle proistiqe rexeǌe u kompleksnom domenu

Xu1N (s) = −10 + 5ss2 + 1

+19 + 10s

s2 + 1=

9 + 5ss2 + 1

. (5.18)

Vremenski lik ulazne veliqine Xu1 se dobija primenom inverzne Laplasove transformacije:

Xu1(t) = L−1

{9

s2 + 1

}+ L−1

{5s

s2 + 1

}= 9 sin (t) + 5 cos (t).

5.3. �eǉeni i stvarni radni re�im 93

Prema tome nominalni ulaz kolica u obliku

XuN (t) =(

9 sin (t) + 5 cos (t)0, 5 sin (t)

)

obezbe�uje �eǉeni izlaz kolica u obliku

Xiz(t) = sin (t).

Na slici 5.6 su prikazani rezultati simulacije kolica pri izraqunatim nominalnimulazima i pri x0 = (0 0)T . Na desnoj slici navedene slike (kao i slike 5.7) nalaze se trikrive:

• plava kriva predstavǉa rezultat dobijen simulacijom

• zelena kriva je kriva �eǉene vrednosti Xiz(t) = sin (t)

• crvena kriva predstavǉa razliku zelene i plave, tj. grexku ε.

0 1 2 3 4 5−15

−10

−5

0

5

10

15

Xu1N

Xu2N

t

Xu1N

,Xu2N

0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

XiN

,sin

(t),

ε

ε

XiN

sin (t)

Slika 5.6. Rezultati simulacije iz poqetnog staǌa x0 = (0 0)T .

Sa slike 5.6 mo�e da se uoqe razlika izme�u stvarnog i �eǉenog odziva, odnosno uoqavase postojaǌe grexke. Razlog za to je xto simulacija nije poqela iz odgovaraju�ih poqetnihuslova.

Veliqine staǌa su usvojene na naqin opisan sa (4.135), xto je u sluqaju razmatranihkolica oblika:

X1(t) = Xi(t) − B2Xu = Xi(t) − (0 0)T Xu = Xi

X2(t) = X1(t) + a1Xi(t) − B1Xu(t) = Xi(t) + 10Xi(t) − (0 10)Xu(t) = Xi(t) + 10Xi(t) − 10Xu2(t).

U trenutku t = 0 ǌihove vrednosti su

X10 = Xi0 = sin (0) = 0,

X20 = Xi0 + 10Xi0 − 10Xu20 = cos (0) + 10 sin (0) + 0, 5 sin (0) = 1.

Prema tome poqetni uslov koji treba da se koristi tokom simulacije je:

X0 = (0 1)T

i rezultati takve simulacije su prikazani na slici 5.7.Na kraju mo�e da se zakǉuqi da je nominalni par

(XN (t),XuN (t)

)kolica na pokretnoj

platformi za Xiz(t) = sin (t), oblika

(XN (t), XuN (t)

)=((

01

),

(9 sin (t) + 5 cos (t)

0, 5 sin (t)

)).


0 1 2 3 4 5−15

−10

−5

0

5

10

15

Xu1N

Xu2N

t

Xu1N

,Xu2N

0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

XiN

,sin

(t),

ε

ε

XiN

sin (t)

Slika 5.7. Rezultati simulacije iz poqetnog staǌa x0 = (0 1)T .

5.3.2 Stvarni radni re�im

Stvarni radni re�im mo�e da bude nominalni, ali je on qex�e nenominalan. Tada je odinteresa razmatraǌe odstupaǌa stvarnog radnog re�ima od nominalnog radnog re�ima.

Uvode se slede�a odstupaǌa:

x = X − XN ⇒ [(x = 0x) ⇔ (X = XN )

], (5.19a)

xi = Xi − Xiz ⇒ [(xi = 0i) ⇔ (Xi = Xiz)

], (5.19b)

xu = Xu − XuN ⇒ [(xu = 0u) ⇔ (Xu = XuN )

]. (5.19v)

Velika slova oznaqavaju totalne vrednosti odgovaraju�ih veliqina u odnosu na totalnikoordinatni sistem koji je vezan za vremensku osu t, slika 5.8.

��

�

X1

X2

Xn

��

�

x1

x2

xn

Tt

TtNX(τ)

x(τ)

XN (τ)

0x

0x

�t

t = τt = 0

�

�

Slika 5.8. ǈapunovǉeva transformacija koordinata.

Mala slova oznaqavaju odstupaǌa odgovaraju�ih veliqina koja se raqunaju u odnosu nakoordinatni sistem koji je vezan za odgovaraju�e nominalno ponaxaǌe (na slici 5.8 je tonominalno kretaǌe predstavǉeno nominalnom integralnom trajektorijom TtN

1).

1Trajektorija staǌa T je definisana u prostoru staǌa, gde ne postoji vremenska osa. Kada se prostorustaǌa pridoda vremenska osa on postaje integralni prostor staǌa, a trajektorija T postaje integralnatrajektorija staǌa Tt

5.4. Pojaqaǌa sistema 95

Geometrijski ova transformacija koordinata je odre�ena translacijom koordinatnogsistema iz koordinatnog poqetka X = 0x, Xi = 0i i Xu = 0u u x = 0x, xi = 0i i xu = 0u,sledstveno.

Dinamiqki ova transformacija znaqi da se nominalna integralna trajektorija uzima zamesto koordinatnog poqetka tako da koordinatni poqetak x = 0x putuje du� te nominalneintegralne trajktorije TtN tokom vremena, slika 5.8.

S obzirom da je ovakvu transformaciju koordinata uveo ǈapunov, ona se po ǌemu inaziva ǈapunovǉeva transformacija koordinata.

Uspostavimo vezu izme�u ova dva koordinatna sistema sa slike 5.8: sistema u totalnimkoordinatama i sistema po odstupaǌima.

Ako se od jednaqine (5.4) oduzme jednaqina (5.5) dobija se:

l∑k=0

Ak [Xi(t) − XiN (t)](k) =m∑

k=0

Bk [Xu(t) − XuN (t)](k). (5.20)

Ta jednaqina i jednaqine (5.19b) i (5.19v) dovode do diferencijalne jednaqine po odstupa-ǌima

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

m∑k=0

Bkx(k)u (t), (5.21)

xto pokazuje da je matematiqki model u obliku diferencijalne jednaqine po odstupaǌima(5.21) i diferencijalne jednaqine u totalnim koordinatama (5.4) istoga reda sa istim ma-triqnim koeficijentima. Prema tome, oba matematiqka modela mogu potpuno ravnopravnoda se koriste u kvalitativnoj analizi sistema.

Uporedimo i matematiqke modele u prostoru staǌa. Od jednaqine (5.6) oduzmimo jedna-qinu (5.8). Rezultat je

d

dt[X(t) − XN (t)] = A [X(t) − XN (t)] + B [Xu(t) − XuN (t)] . (5.22)

Kombinacijom ove jednaqine sa jednaqinama (5.19a) i (5.19v) dobija se:

dx(t)dt

= Ax(t) + Bxu(t), (5.23)

xto ukazuje da se jednaqina staǌa u totalnim koordinatama (5.6) i jednaqina staǌa poodstupaǌima (5.23) ne razlikuju ni u redu ni u koeficijentima. Jedina ǌihova razlika jeu rexeǌima koja se razlikuju za nominalnu vrednost.

Ako se od jednaqine (5.7) oduzme jednaqina (5.9) dobija se rezultat u obliku

Xi(t) − XiN (t) = C [X(t) − XN (t)] + D [Xu(t) − XuN (t)] , (5.24)

odakle se na osnovu jednaqine (5.19b) i (5.19v) zakǉuquje da jednaqina izlaza po odstupaǌim

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t) (5.25)

ima isti oblik i koeficijente kao odgovaraju�a jednaqina (5.7) izlaza u totalnim koordi-natama.

Prema tome, mo�e uopxteno da se zakǉuqi da:prelazak sa totalnih koordinata na odstupaǌa nema uticaja na matematiqki mo-del sistema, koji zadr�ava isti oblik, isti red i iste koeficijente.

5.4 Pojaqaǌa sistemaVrlo va�na karakteristika sistema jesu ǌegova pojaqaǌa, i to pojaqaǌa razliqitog reda.

Razmatra se vixestruko prenosni sistem. Uoqava se proizvoǉna ulazna veliqina xuk,k ∈ {1, 2, . . . ,M}, i proizvoǉna izlazna veliqina xiq, q ∈ {1, 2, . . . , N}, slika 5.9. Zbog jednos-tavnosti izlagaǌa xuk se oznaqava kratko sa xu, a xiq sa xi.


� S �xu = xuk xi = xiq


Definicija 5.4.1 Pojaqaǌe r-tog reda sistema, u oznaci Kr, predstavǉa graniqnu vred-nost koliqnika r-tog izvoda prelazne funkcije i odskoqne ulazne veliqine kada vremeneograniqeno raste, a za nulte poqetne uslove:

Kr = limt→+∞

x(r)i (t)xu(t)

= limt→+∞

g(r)α (t)hα(t)

, (5.26)

ako i samo ako ova graniqna vrednost postoji.

Kod linearnih sistema, za koje va�i zakon superpozicije, va�i

g(r)α (t) = αg(r)(t)

pa prethodna definicija mo�e da poprimi i slede�i jednostavniji oblik

Kr = limt→+∞

g(r)α (t)hα(t)

= limt→+∞

αg(r)(t)αh(t)

= limt→+∞ g(r)(t), (5.27)

tj.

Kr = limt→+∞ g(r)(t). (5.28)

S obzirom da je u Definiciji 5.4.1 pojaqaǌe definisano u odnosu na k-tu ulaznu i q-tuizlaznu veliqinu, ono preciznije mo�e da se oznaqi sa Kr

qk. Budu�i da ta definicija mo�eda se primeni na odnos bilo koje izlazne veliqine xiq, q ∈ {1, 2, . . . , N}, i bilo koje ulazneveliqine xuk, k ∈ {1, 2, . . . ,M}, onda je jasno da za jedan vixestruko prenosan sistem mo�eda se definixe M · N pojaqaǌa:

Krqk, q ∈ {1, 2, . . . , N}, k ∈ {1, 2, . . . ,M},

i da ona mogu da se predstave u obliku matrice

Kr =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

Kr11 Kr

12 . . . Kr1k . . . Kr

1M

Kr21 Kr

22 . . . Kr2k . . . Kr

2M...

Krq1 Kr

q2 . . . Krqk . . . Kr

qM...

KrN1 Kr

N2 . . . KrNk . . . Kr

NM

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(5.29)

koja se naziva matrica pojaqaǌa r-tog reda, qija je precizna definicija oblika:

Definicija 5.4.2 Matrica pojaqaǌa r-tog reda sistema S, u oznaci Kr, je N × M ma-trica, qiji je (q, k)-ti element (q, k)-to pojaqaǌe r-tog reda, Kr

qk, sistema S.

Zbog jednostavnosti oznaqavaǌa Krqk �e i daǉe da bude oznaqavano sa Kr. U zavisnosti

od stepena r mogu da se izdvoje:• pojaqaǌe nultoga reda, ili poziciono pojaqaǌe, ili kratko pojaqaǌe sistema, koje

predstavǉa graniqnu vrednost prelazne funkcije, kada vreme neograniqeno raste

K0 = K = limt→+∞ g(t)

• pojaqaǌe prvoga reda, ili brzinsko pojaqaǌe sistema, koje predstavǉa graniqnu vred-nost prvog izvoda prelazne funkcije kada vreme neograniqeno raste

K1 = limt→+∞ g(t)


• pojaqaǌe drugoga reda ili akcelerometrijsko pojaqaǌe sistema, koje predstavǉagraniqnu vrednost drugog izvoda prelazne funkcije kada vreme neograniqeno raste

K2 = limt→+∞ g(t).

Pojaqaǌe r-tog reda datog sistema mo�e primenom druge graniqne teoreme Laplasovetransformacije jednostavno da se izraquna na osnovu poznavaǌa prenosne funkcije tog sis-tema W (s), a bez odre�ivaǌa ǌegove prelazne funkcije g(t). Na osnovu druge graniqneteoreme Laplasove transformacije sledi:

limt→+∞ g(r)(t) = lim

s→0sL{

g(r)(t)}

. (5.30)

Uslovi za primenu ove graniqne teoreme su ranije objaxǌeni, vidi stranu 38, i moraju uvekda se provere pri primene ove teoreme.

Laplasova transformacija izvoda neke veliqine, (5.30), za nulte poqetne uslove je

L{

g(r)(t)}

= srL{g(t)} , (5.31)

a kompleksni lik prelazne funkcije L{g(t)} = G(s) je

G(s) = L{g(t)} = W (s)1s, (5.32)

pri qemu je W (s) prenosna funkcija tog sistema, a1s

je Laplasova transformacija jediniqne

odskoqne, Hevisajdove, ulazne veliqine h(t).Na osnovu prethodnih jednaqina sledi:

Kr = limt→+∞ g(r)(t) = lim

s→0sL{

g(r)(t)}

= lims→0

ssrL{g(t)} = lims→0

ssrW (s)1s

= lims→0

srW (s), (5.33)

tj.Kr = lim

s→0srW (s). (5.34)

Jox jednom se podvlaqi da obrazac (5.28) mo�e uvek da se primeni, bez proverenekih dodatnih uslova, dok je za primenu obrasca (5.34) neophodno proveriti uslovezahtevane drugom graniqnom teoremom Laplasovih transformacija, (4.30).

Primer 25Razmatraju se spojeni sudovi sa slike 5.10. Nominalni protok koji utiqe u prvi sud je Q1N ,a u drugi Q2N . Nominalni (�eǉeni) nivoi teqnosti u sudovima su H1N i H2N . Odstupaǌaq1, q2, q3, q4, h1 i h2 od odgovaraju�ih nominalnih vrednosti su dovoǉno mala, xto znaqi damatematiqki model mo�e sa ”dovoǉnom” taqnox�u da se linearizuje oko nominalne taqke.

Izlazne veliqine sistema su nivoi h1 i h2, a ǌegove ulazne veliqine su protoci q1 i q2.Jednaqine, iz mehanike fluida, koje mogu da se napixu za navedeni sluqaj, a posle izvr-

xene linearizacije oko nominalne taqke, su oblika:

A1dh1

dt= q1 + q − q3, (5.35)

q = −kvx = −kvl2l1

h1 = −kh1, (5.36)

q3 =h1 − h2

R1, (5.37)

A2dh2

dt= q3 + q2 − q4, (5.38)

q4 =h2

R2. (5.39)


Q q1N 1+

H h1N 1+ H h2N 2+

Q q1N 3+

Q1N+Q q2N 4+

Q q2N 2+q=-k xv

R1

A1

A2

R2

h1

l1 l2

x

Slika 5.10. Objekt: spojeni sudovi.

Eliminacijom q i q3 iz jednaqine (5.35) korix�eǌem jednaqina (5.36) i (5.37) dobija se

dh1

dt=

1A1

(q1 − kh1 − h1 − h2

R1

). (5.40)

Korix�eǌem (5.37) i (5.39) eliminixe se q3 i q4 iz (5.38)

dh2

dt=

1A2

(h1 − h2

R1+ q2 − h2

R2

). (5.41)

Neka su brojqane vrednosti parametara matematiqkog modela oblika:• A1 = 0, 1 m2 - slobodna povrxina teqnosti u prvom sudu,

• A2 = 0, 2 m2 - slobodna povrxina teqnosti u drugom sudu,

• R1 = 2m

m3/s- otpor ventila R1,

• R2 = 4m

m3/s- otpor ventila R2,

• k = kvl2l1

= 0, 5m3/s

m- konstanta koja zavisi od koeficijenta ventila kv i polo�aja

oslonca poluge, tj. odnosa l1 i l2.Usvojimo veliqine staǌa na slede�i naqin

x1 = h1 (5.42)

x2 = h2, (5.43)

a ulazne veliqine po slede�em redosledu

xu1 = q1 (5.44)

xu2 = q2, (5.45)

pri qemu su izlazne veliqinexi1 = h1 = x1 (5.46)

xi2 = h2 = x2. (5.47)

Na bazi diferencijalnih jednaqina (5.40) i (5.41) i usvojenih brojqanih vrednosti do-bijaju se

x1 = −(

10, 2

+0, 50, 1

)x1 +

10, 2

x2 +1

0, 1xu1 (5.48)


x2 = − 10, 4

x1 −(

10, 4

+1

0, 8

)x2 +

10, 2

xu2, (5.49)

ili u matriqnom obliku

x =(−10 5−2, 5 3, 75

)x +

(10 00 5

)xu (5.50)

xi =(

1 00 1

)x +

(0 00 0

)xu. (5.51)

Matematiqki model iz prostora staǌa se lako prevodi u ekvivalentni model u oblikuprenosne matrice, korix�eǌem obrasca

W(s) = C(sI − A)−1B + D,

ili jednostavnim unoxeǌem slede�e komande u Matlab2

>> W = tf(sistem)

Kao odgovor na takvu komandu dobija se

Transfer function from input 1 to output...10 s + 37.5

#1: ------------------s^2 + 13.75 s + 25

25#2: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

Transfer function from input 2 to output...25

#1: ------------------s^2 + 13.75 s + 25

5 s + 50#2: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

Prethodne prenosne funkcije se sla�u u prenosnu matricu, na definisani naqin,

W(s) =

⎛⎜⎜⎝

10s + 37, 5s2 + 13, 75s + 25

25s2 + 13, 75s + 25

25s2 + 13, 75s + 25

5s + 50s2 + 13, 75s + 25

⎞⎟⎟⎠ . (5.52)

Budu�i da sistem ima dve ulazne i dve izlazne veliqine tada je i matrica pojaqaǌadimenzije 2 × 2, onda primenom obrasca (5.34) na svaku od prenosnih funkcija iz prenosnematrice, ili korix�eǌem Matlabove funkcije dcgain(sistem) mogu da se dobiju pojaqaǌa.Me�utim, s obzirom da se ovaj raqun izvodi u kompleksnom domenu neophodno je prvo prove-riti uslove za primenu druge graniqne teoreme. Polovi prenosne matrice se dobijaju kaorexeǌe

s2 + 13, 75s + 25 = 0,

ili jednostavno iz Matlaba sa pole(W), i ti polovi su

s∗1 = −11, 5936 i s∗2 = −2, 1564

pa se prema (4.30) zakǉuquje da druga graniqna teorema mo�e da se primeni i dobijaju seslede�e brojqane vrednosti za pojedina pojaqaǌa:

2Podrazumeva se da je sistem prethodno definisan, npr. sa A = [-10 5; 2.5 -3.75]; B = [10 0; 0 5]; C

= [1 0; 0 1]; D = [0 0; 0 0]; sistem = ss(A, B, C, D);.


K =1.5000 1.00001.0000 2.0000

K0 = K =(

1, 5 1, 01, 0 2, 0

). (5.53)

Poziciona pojaqaǌa mogu da se odrede i grafiqki, obrazac (5.28). Ukucavaǌem u ko-mandni prozor Matlaba

>> step(A, B, C, D);

dobija se slika 5.11, sa koje mogu da se vidi graniqne vrednosti pojedinih prelaznih funk-cija, koje su prikazane u prethodnoj matrici pojaqaǌa nultoga reda. Zbog jednostavnosti,

0

1

2

3

4From: In(1)

To:

Out

(1)

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

To:

Out

(2)

From: In(2)

0 1 2 3 4 5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 5.11. Pojaqaǌa sistema.

sve prelazne funkcije mogu da budu prikazane na jednoj slici, slika 5.12.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

g11

g12 = g21

g22

K11 = 1, 5

K12 = K21 = 1, 0

K22 = 2, 0

t

Slika 5.12. Pojaqaǌa sistema.

Na slici su korix�ene slede�e oznake:• g11 prelazna funkcija od xi1 izazvana ulaznom veliqinom xu1

• g12 prelazna funkcija od xi1 izazvana ulaznom veliqinom xu2




a odgovaraju�a pojaqaǌa su

Krqk = lim

t→+∞ g(r)qk (t), q = 1, 2, . . . , N, k = 1, 2, . . . M (5.54)

i ovaj obrazac predstavǉa uopxteǌe obrasca (5.28).Primenom obrasca (5.34) na prenosnu matricu (5.52), mogu da se odrede i matrice po-

jaqaǌa vixih redova datog sistema i one su

Kr =(

0 00 0

), ∀r = 1, 2, . . . (5.55)

a na slici 5.13 su grafiqki interpretirana pojaqaǌa sistema prvoga reda, tj. brzin-ska pojaqaǌa, koja predstavǉaju graniqne vrednosti prvog izvoda prelaznih funkcija saslike 5.12.

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

g11

g12 = g21

g22

K111 = K1

12 = K121 = K1

22 = 0

t

Slika 5.13. Brzinska pojaqaǌa sistema.

5.4.1 Odre�ivaǌe pojaqaǌa slo�enih sistemaSlo�enost sistema mo�e da bude izra�ena ǌegovom strukturnom slo�enox�u: postojaǌemrednih, paralelnih i povratnih sprega. Sistem se sastoji iz me�usobno povezanih podsis-tema S1, S2, . . ., Sn qija su pojaqaǌa K1,K2, . . . ,Kn poznata. Postavǉa se pitaǌe u kakvoj jevezi pojaqaǌe celoga sistema sa pojaqaǌima ǌegovih podsistema?

Prenosna funkcija redne sprege koju qini n podsistema je

W (s) = W1(s)W2(s) · · ·Wn(s),

a ako su svi realni delovi polova W (s) maǌi od nule, (4.30), onda na osnovu druge graniqneteoreme sledi

K = lims→0

W (s) = lims→0

[W1(s)W2(s) · · ·Wn(s)] = lims→0

W1(s) lims→0

W2(s) · · · lims→0

Wn(s) = K1K2 · · ·Kn,

(5.56)odnosno

K = K1K2 · · ·Kn. (5.57)

Ovaj rezultat ne mo�e da se uopxti na pojaqaǌa vixeg reda od nultog jer je

Kr = lims→0

srW (s) = lims→0

sr [W1(s)W2(s) · · ·Wn(s)] �= lims→0

srW1(s) lims→0

srW2(s) · · · lims→0

srWn(s).


U sluqaju paralelne sprege prenosna funkcija n paralelno spregnutih podsistema je

W (s) = W1(s) ± W2(s) ± . . . ± Wn(s),

i ako su svi realni delovi polova W (s) maǌi od nule onda mo�e da se primeni drugagraniqna teorema Laplasa,

Kr = lims→0

srW (s) = lims→0

sr [W1(s) ± W2(s) ± . . . ± Wn(s)] =

= lims→0

srW1(s) ± lims→0

srW2(s) ± . . . ± lims→0

srWn(s) = Kr1 ± Kr

2 ± . . . ± Krn, (5.58)

tj.

Kr = Kr1 ± Kr

2 ± . . . ± Krn. (5.59)

Za povratnu spregu koju qine podsistem S1 u glavnoj i podsistem S2 u povratnoj granimo�e da se napixe

W (s) =W1(s)

1 ∓ W1(s)W2(s).

Mogu�nost primene druge graniqne teoreme dovodi do

K = lims→0

W (s) = lims→0

W1(s)1 ∓ W1(s)W2(s)

=lims→0 W1(s)

1 ∓ lims→0 W1(s) lims→0 W2(s)=

K1

1 ∓ K1K2, (5.60)

ili kratko

K =K1

1 ∓ K1K2. (5.61)

Iz ovih rezultata sledi da se pojaqaǌe, vixeg reda od nultog, jedino za paralelnu spregumo�e izraziti u zavisnosti od pojaqaǌa istoga reda svih podsistema celog sistema. Pritome se pojaqaǌa sistema izraqunavaju po istom algoritmu po kome se izraqunava ǌegovaprenosna funkcija.

Ako se tra�i pojaqaǌe vixeg reda od nultog za ceo sistem (a da taj sistem ne qine samoparalelno spregnuti podsistemi) onda najpre treba odrediti prenosnu funkciju (matricu)sistema. Zatim se, ako je ispuǌen uslov (4.30), Kr izraqunava na osnovu (5.34),

Kr = lims→0

srW (s).

5.4.2 Vrste sistema

Neka je prenosna funkcija razmatranog sistema, slika 5.9

W (s) =

m∑k=0

bksk

n∑k=0

aksk

, m � n. (5.62)

Neka su u brojiocu prenosne funkcije prvih M koeficijenata jednaki nuli

b0 = b1 = bM−1 = 0, 0 � M � m, bm �= 0,

xto znaqi da iz polinoma u brojiocu mo�e da se izdvoji zajedniqki element sM , pa ceopolinom mo�e da se napixe kao sM

∑mk=M bksk−M .

Neka su u imeniocu, analogno, prvih N koeficijenata jednaki nuli:

a0 = a1 = aN−1 = 0, 0 � N � n, an �= 0,

tako da iz imenionca mo�e da se izdvoji sN i onda je on oblika sN∑m

k=N aksk−N .


Prenosna funkcija razmatranog sistema je tada

W (s) =sM

sN

m∑k=M

bksk−M

n∑k=N

aksk−N

, m � n. (5.63)

Uvo�eǌem oznake L = M − N prethodna jednaqina postaje

W (s) = sL

m∑k=M

bksk−M

n∑k=N

aksk−N

, m � n. (5.64)

Oznaqimo sa

W1(s) =

m∑k=M

bksk−M

n∑k=N

aksk−N

, m � n, (5.65)

i uvedimo slede�u pretpostavku.

Pretpostavka 5.4.1 Realni delovi svih polova prenosne funkcije W1(s) su negativni:

Res∗i [W1(s)] < 0, ∀i = 1, 2, . . . , μ,

pri qemu μ predstavǉa broj razliqitih polova W1(s).

Uoqimo da va�i slede�e

lims→0

W1(s) = lims→0

bM + bM+1s + bM+2s2 + · · · + bmsm−M

aN + aN+1s + aN+2s2 + · · · + ansn−N=

bM

aN(5.66)

Tada prenosna funkcija razmatranog sistema mo�e da se prika�e kao

W (s) = sLW1(s). (5.67)

U zavisnosti od celobrojne vrednosti L, meǌaju se vrednosti pojaqaǌa sistema opisanogsa W (s), pa na bazi toga mogu da se definixu tri vrste sistema: prve, druge i tre�e vrste.

Sistemi prve vrste

Kod ovih sistema je L > 0 pa su pojaqaǌa takvih sistema odre�ena sa

Kr = lims→0

srsLW1(s) = 0, ∀r = 0, 1, 2, . . .

Prema tome sva pojaqaǌa, svih redova, ovakvih sitema su jednaka nuli. Ove sisteme karak-terixe postojaǌe qlana

sL

u prenosnoj funkciji. Ti elementi se nazivaju diferencijatori L-tog reda. Za ilustracijudinamiqkog ponaxaǌa izaberimo sistem qija je prenosna funkcija oblika

W (s) =s

s2 + s + 1= s1 1

s2 + s + 1.

Na slici 5.14 su prikazane prelazna funkcija sistema, ǌen prvi i ǌen drugi izvod. Svetri krive konvergiraju ka nuli, pa prema definiciji pojaqaǌa odgovaraju�ih redova, (5.28),sledi da su ona jednaka nuli.


0 2 4 6 8 10 12−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

g

g g(2)

t

Slika 5.14. Sistem prve vrste.

Sistemi druge vrste

Kod ovih sistema je L = 0 pa su pojaqaǌa takvih sistema, imaju�i u vidu (5.66), odre�enasa

Kr = lims→0

srsLW1(s) = lims→0

srW1(s) =bM

aNlims→0

sr =

⎧⎨⎩

bM

aN, r = 0,

0, r = 1, 2, . . .

Kod ovih sistema samo je poziciono pojaqaǌe razliqito od nule, a sva ostala pojaqaǌavixeg reda su jednaka nuli. Spojeni sudovi iz prethodnog primera pripadaju sistemimadruge vrste, pa slike 5.12 i 5.13 najboǉe ilustruju ponaxaǌe sistema druge vrste.

Sistemi tre�e vrste

Ove sisteme karakterixe L < 0 pa su pojaqaǌa takvih sistema, imaju�i u vidu (5.66),odre�ena sa

Kr = lims→0

srsLW1(s) = lims→0

sr−|L|W1(s) =bM

aNlims→0

sr−|L| =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

+∞ signbM

aN, r < |L|,

bM

aN, r = |L|,

0, r > |L|.

(5.68)

Odlika ovih sistema je postojaǌe qlana

1s|L|

u prenosnoj funkciji. Takvi elementi se nazivaju integratori |L|-tog reda. Pojaqaǌaovakvih sistema zavise od reda integratora, kao xto se vidi iz (5.68). Na slici 5.15je prikazano tipiqno ponaxaǌe jednog ovakvog sistema.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

g

g

g(2)

K = +∞

K1 = 5

K2 = 0

t

Slika 5.15. Sistem tre�e vrste W (s) =10

s(0, 1s2 + s + 2).

5.4.3 Tipovi dejstvaDiferencijalna jednaqina ponaxaǌa sistema sa slika 5.9 mo�e da se predstavi jednom odxest narednih diferencijalnih jednaqina, pri qemu je leva strana svih tih jednaqina ista:

kD1xu + kD2xu + . . . + kDmx(m)u (5.69)

kxu (5.70)

kxu + kD1xu + kD2xu + . . . + kDmx(m)u (5.71)

Tnn x

(n)i + . . . + T1xi + xi = kI

∫ t

0

xu(τ)dτ (5.72)

kxu + kI

∫ t

0

xu(τ)dτ (5.73)

kxu + kI

∫ t

0

xu(τ)dτ + kD1xu + kD2xu + . . . + kDmx(m)u (5.74)

Da bi se govorilo o tipu dejstva sistema moraju da budu zadovoǉene slede�e dve pret-postavke.

Pretpostavka 5.4.2 Leva strana diferencijalne jednaqine mora da sadr�i qlan xi, kaosvoj najni�i izvod, a ako to nije sluqaj onda se ona potrebnim brojem integraǉeǌa ilidiferencijaǉeǌa dovodi na taj oblik.

Kada se diferencijalna jednaqina dovede u oblik zahtevan Pretpostavkom 5.4.2 onda jered sistema odre�en redom najvixeg izvoda leve strane diferencijalne jednaqine, u razma-tranom sluqaju to je n-ti izvod, Tn

n x(n)i , pa je taj sistem n-tog reda.

Pretpostavka 5.4.3 Neka je ispuǌena Pretpostavka 5.4.2, tada karakteristiqni poli-nom jednaqina (5.69)-(5.74) ima oblik

f(s) = Tnsn + . . . + T1s + 1,

a ǌegovi korenovi zadovoǉavaju

Res∗i [f(s)] < 0, ∀i = 1, 2, . . . , μ,

pri qemu μ predstavǉa broj razliqitih korenova polinoma f(s).

Kada su ispuǌene obe pretpostavke, onda mo�e da se govori o tipu dejstva i on je odre�endesnom stranom diferencijalne jednaqine. Razlikujemo osnovne i slo�ene tipove dejstva.

Mirko

Pencil

Mirko

Group


Osnovni tipovi dejstva

• Diferencijalno ili D dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jed-naqine ima oblik (5.69). U ovom sluqaju prenosna funkcija sistema je oblika

W (s) = skD1 + kD2s + . . . + kDmsm−1

Tnn sn + . . . + T1s + 1

pa su ovi sistemi sistemi prve vrste.

• Proporcionalno ili P dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jed-naqine ima oblik (5.70). Na osnovu diferencijalne jednaqine prenosna funkcija imaslede�i izgled

W (s) =k

Tnn sn + . . . + T1s + 1

pa takvi sistemi pripadaju sistemima druge vrste.

• Integralno ili I dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jednaqineima oblik (5.72). Iz te diferencijalne jednaqine sledi

W (s) =kI

s(Tnn sn + . . . + T1s + 1)

xto nedvosmisleno ukazuje na ǌihovu pripadnost sistemima tre�e vrste.

Slo�eni tipovi dejstva

• Proporcionalno-diferencijalno ili PD dejstvo imaju sistemi qija desna stranadiferencijalne jednaqine ima oblik (5.71). ǋihova prenosna funkcija je oblika

W (s) =k + kD1s + kD2s

2 + . . . + kDmsm

Tnn sn + . . . + T1s + 1

pa ovakvi sistemi pripadaju sistemima druge vrste. S obzirom da su u ovom sluqajuprisutna dva osnovna tipa dejstva dominantnost u prelaznom radnom re�imu ima Ddejstvo, a po ǌegovom isteku dominira P dejstvo, slika 5.16.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PD

t

g(t)

D

P

Slika 5.16. Prelazna funkcija sistema W (s) =3s + 2

2s2 + 4s + 2.

• Proporcionalno-integralno ili PI dejstvo imaju sistemi qija desna strana dife-rencijalne jednaqine ima oblik (5.73). ǋihova prenosna funkija je

W (s) =k +

kI

sTn

n sn + . . . + T1s + 1=

kI + ks

s(Tnsn + . . . + T1s + 1)

tako da i oni pripadaju sistemima tre�e vrste. Dominantno ponaxaǌe u poqetnomtrenutku ima P dejstvo, a potom dominaciju preuzima I dejstvo, slika 5.17.

Mirko

Group

Mirko

Pencil

5.5. Statiqka grexka 107

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

PI

t

g(t)

P

I

Slika 5.17. Prelazna funkcija sistema W (s) =7s + 1

s(s2 + 2s + 3).

• Proporcionalno-integralno-diferencijalno ili PID dejstvo imaju sistemi qijadesna strana diferencijalne jednaqine ima oblik (5.74). Tada je prenosna funkcijaopisana sa

W (s) =k +

kI

s+ kD1s + kD2s

2 + . . . + kDmsm

Tnn sn + . . . + T1s + 1

=kI + ks + kD1s

2 + kD2s3 + . . . + kDmsm+1

s(Tnn sn + . . . + T1s + 1)

pa su oni tre�e vrste. Redosled dominantnosti ponaxaǌa u ovom sluqaju je: prvo Ddejstvo, potom P dejstvo i na kraju I dejstvo, xto se najboǉe vidi sa slike 5.18.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

4

6

8

10

12

14

PID

t

g(t)

D

P

I

Slika 5.18. Prelazna funkcija sistema W (s) =10s2 + 5s + 1s(s2 + s + 2)

.

Na istoj slici su prikazane i prelazne funkcije sistema koji se dobijaju kada serazmatrana prenosna funkcija razlo�i na tri svoja sabirka, tj. tri osnovna dejstva

W (s)P-dejstvo =5

s2 + s + 2, W (s)I-dejstvo =

1s(s2 + s + 2)

, W (s)D-dejstvo =10s

s2 + s + 2.

5.5 Statiqka grexkaRazlozi za pojavu grexke u sistemima automatskog upravǉaǌa su mnogostruki, ali dom-inantni razlog su promene ulaza: bilo �eǉenog dinamiqkog ponaxaǌa, bilo poreme�aja.Promene �eǉenog dinamiqkog ponaxaǌa dovode neizbe�no do pojave grexke u prelaznomradnom re�imu, a mogu da proizvedu i pojavu statiqke grexke. Sistem mo�e da ima nultustatiqku grexku u sluqaju odskoqne promene ulaza, ali pri nagibnoj promeni ulaza, tajisti sistem, mo�e da ima statiqku grexku qija vrednost nije jedanka nuli. U zavisnostiod karaktera promene ulaza mogu da se definixu slede�e statiqke grexke sistema.


Definicija 5.5.1 Statiqka grexka upravǉane veliqine nastala pri jediniqnimodskoqnim promenama svih ulaznih veliqina, a pri nultim poqetnim uslovima, je pozi-ciona statiqka grexka εsp upravǉane veliqine Xi:

εsp = limt→+∞ [Xiz(t) − Xi(t)] = lim

t→+∞ [h(t) − Xi(t)] . (5.75)

Poziciona statiqka grexka se kratko naziva statiqka grexka i oznaqava sa εs.Ako su ispuǌeni uslovi za primenu druge graniqne teoreme Laplasovih transformacija

onda statiqka grexka mo�e da se odredi i u kompleksnom domenu na slede�i naqin:

εsp = lims→0

sE(s) = lims→0

sL{[h(t) − Xi(t)]} = lims→0

s

[1s− Xi(s)

]= lim

s→0[1 − sXi(s)] . (5.76)

Poziciona statiqka grexka je jednoznaqno odre�ena pozicionim pojaqaǌem sistema. Dabi se to pokazalo po�imo od odziva sistema automatskog upravǉaǌa na koji deluje ve�ibroj poreme�ajnih veliqina:

Xi(s) = Wxiz(s)Xiz(s) + Wz1(s)Z1(s) + Wz2(s)Z2(s) + . . . + WzP

(s)ZP (s). (5.77)

Statiqka grexka je definisana sa

εs = lims→0

sE(s) = lims→0

s [Xiz(s) − Xi(s)] . (5.78)

Kada se u tu jednaqinu uvrsti (5.77) dobije se

εs = lims→0

sE(s) = lims→0

s [Xiz(s) − Xi(s)] =

= lims→0

s [Xiz(s) − Wxiz(s)Xiz(s) − Wz1(s)Z1(s) − Wz2(s)Z2(s) − . . . − WzP

(s)ZP (s)] =

= lims→0

s{

[1 − Wxiz(s)] Xiz(s) − Wz1(s)Z1(s) − Wz2(s)Z2(s) − . . . − WzP

(s)ZP (s)}

=

= lims→0

s [1 − Wxiz(s)] Xiz(s) − lim

s→0sWz1(s)Z1(s) − lim

s→0sWz2(s)Z2(s) − . . . − lim

s→0sWzP

(s)ZP (s).

(5.79)

S obzirom da se statiqka grexka definixe pri svim jediniqnim odskoqnim ulaznimveliqinama onda se iz prethodne jednaqine dobija

εs = lims→0

s [1 − Wxiz(s)] Xiz(s) − lim

s→0sWz1(s)Z1(s) − lim

s→0sWz2(s)Z2(s) − . . . − lim

s→0sWzP

(s)ZP (s) =

= lims→0

s [1 − Wxiz(s)]

1s− lim

s→0sWz1(s)

1s− lim

s→0sWz2(s)

1s− . . . − lim

s→0sWzP

(s)1s

=

= lims→0

[1 − Wxiz(s)]

︸︷︷︸εsxiz

− lims→0

Wz1(s)︸︷︷︸εsz1

− lims→0

Wz2(s)︸︷︷︸εsz2

− . . . − lims→0

WzP(s)

︸︷︷︸εszP

.

(5.80)

Prema tome iz udela pojedinih ulaznih veliqina na ukupnu statiqku grexku dobijaju seslede�e veze:

εsxiz= lim

s→0[1 − Wxiz

(s)] = 1 − lims→0

Wxiz(s) = 1 − Kxiz

, (5.81)

εszi= − lim

s→0Wzi

= −Kzi, ∀i = 1, 2, . . . , P, (5.82)

ili kratkoεsxiz

+ Kxiz= 1,

εszi+ Kzi

= 0, ∀i = 1, 2, . . . , P.(5.83)

Prema tome deo pozicione statiqke grexka nastao usled odskoqne promene �eǉene vred-nosti εsxiz

, je jednak nuli jedino kada je poziciono pojaqaǌe tog sistema u odnosu na �eǉenuvrednost jednako jedinici. U sluqaju poreme�ajne veliqine deo εsz mo�e da bude nula jedinokada je poziciono pojaqaǌe po tom poreme�aju jednako nuli.

To znaqi da je optimalan sistem automatskog upravǉaǌa, po kriterijumu nulte statiqkegrexke, onaj sistem koji zadovoǉava:

Kxiz= 1 i Kzi

= 0, ∀i = 1, 2, . . . , P.


Definicija 5.5.2 Statiqka grexka upravǉane veliqine nastala pri nagibnim prome-nama svih ulaznih veliqina, a pri nultim poqetnim uslovima, je brzinska statiqka grexkaεsv upravǉane veliqine Xi:

εsv = limt→+∞ [n(t) − Xi(t)] . (5.84)

Ako postoji ta graniqna vrednost, onda postoji i slede�a:

εsv = lims→0

s

[1s2

− Xi(s)]

= lims→0

[1s− sXi(s)

]. (5.85)

Definicija 5.5.3 Statiqka grexka upravǉane veliqine nastala pri paraboliqnimpromenama svih ulaznih veliqina, a pri nultim poqetnim uslovima, je akcelerometrijskastatiqka grexka εsa upravǉane veliqine Xi:

εsa = limt→+∞

[12t2 − Xi(t)

], (5.86)

a odgovaraju�i obrazac u kompleksnom domenu je

εsa = lims→0

s

[2

2s3− Xi(s)

]= lim

s→0

[1s2

− sXi(s)]

. (5.87)

Primer 26Razmotrimo sistem opisan slede�om prenosnom funkcijom

Wxiz(s) =

2s2 + 5s + 2

.

Odredi�emo ǌegove odzive na h(t), n(t) i 0, 5t2 da bismo odredili sve tri statiqke grexke:pozicionu, brzinsku i akcelerometrijsku. Simulacijom u Matlabu dobijena je slika 5.19.

0 5 10 15 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g

h

ε

εs = 0

t0 5 10 15 20

−5

0

5

10

15

20

Xi

n

ε εsv = −2,5

t0 5 10 15 20

−50

0

50

100

150

200

XiXiz

ε

t

Slika 5.19. Statiqke grexke: poziciona, brzinska i akcelerometrijska.

Na osnovu analize rezultata sa te slike mo�e da se zakǉuqi da ovaj sistem radi izvrsnokao pozicioni servo ure�aj - ǌegova poziciona statiqka grexka je jednaka nuli. Me�utim,kao brzinski servo ure�aj, kada treba da prati nagibnu promenu ulazne veliqine ǌegovastatiqka grexka - brzinska je ε = −2, 5. U sluqaju kvadratne ulazne funkcije Xiz(t) = 0, 5t2

sistem ne uspeva da prati takvu �eǉenu vrednost, pa sve vixe i vixe ”zaostaje” tako da mugrexka, po apsolutnoj vrednosti, te�i ka beskonaqnosti.


5.5.1 Uticaj vrste regulatora na statiqku grexkuRazmatra se SAR sa slike 5.20. Objekt prenosne funkcije WO(s) je upravǉan regulatoromprenosne funkcije WR(s). Postavǉa se pitaǌe kakav je uticaj vrste regultora na statiqkugrexku regulisane veliqine? Odgovor na ovo pitaǌe treba da da osnovne smernice kojiregulatori mogu, a koji ne mogu (ne smeju) da se koriste za upravǉaǌe pojedinih objekata.

WR(s)�� Xiz(s) E(s)Z(s)

Xi(s)Y (s)


Kompleksni lik odziva sistema sa slike 5.20 je

Xi(s) =WR(s)WO(s)

WO(s)� � ��

�

1 + WR(s)WO(s)Xiz(s) +

WO(s)1 + WR(s)WO(s)

Z(s),

a kompleksni lik ǌegove grexke E(s) je

E(s) =1

1 + WR(s)WO(s)Xiz(s) − WO(s)

1 + WR(s)WO(s)Z(s). (5.88)

Iz prethodne jednaqine se uoqava da grexku qine dva sabirka: prvi kao posledica delo-vaǌa �eǉene ulazne veliqine, a drugi usled dejstva poreme�ajne veliqine

Exiz(s) =

11 + WR(s)WO(s)

Xiz(s) Ez(s) = − WO(s)1 + WR(s)WO(s)

Z(s). (5.89)

Budu�i da se statiqka grexka odre�uje pri jediniqnim odskoqnim promenama svihulaznih veliqina, onda va�i

E(s) =1 − WO(s)

1 + WR(s)WO(s)1s,

pa se primenom druge graniqne teoreme dobija

εs = lims→0

sE(s) = lims→0

s1 − WO(s)

1 + WR(s)WO(s)1s

= lims→0

1 − WO(s)1 + WR(s)WO(s)

. (5.90)

Da bi se izraqunala vrednost (pozicione) statiqke grexke nophodno je da se u (5.90)uvrste odgovaraju�e prenosne funkcije regulatora i objekta. Neka je prenosna funkcijaregulatora data jednaqinom (5.67), tj.

WR(s) = sLW1(s) = sL

m∑k=M

bksk−M

n∑k=N

aksk−N

, m � n, (5.91)

pri qemu va�e sva oznaqavaǌa i objaxǌeǌa kao i za (5.67). Neka i prenosna funkcijaobjekta bude izabrana na isti naqin, ali da ne bi dolazilo do zabune sa oznaqavaǌima,umesto L, ak, bk, M i N �e da se koristi λ, ck, dk, μ i η, sledstveno:

WO(s) = sλW1(s) = sλ

m∑k=μ

dksk−μ

n∑k=η

cksk−η

, m � n. (5.92)

Mirko

Comment on Text

da li mora najvisi izvod da bude isti kao kod regulatora i zasto ?


Uvrstimo sada te dve prenosne funkcije u (5.90):

εs = lims→0

1 − sλ

m∑k=μ

dksk−μ

n∑k=η

cksk−η

1 + sL

m∑k=M

bksk−M

n∑k=N

aksk−N

sλ

m∑k=μ

dksk−μ

n∑k=η

cksk−η

. (5.93)

Zbog postojaǌa graniqne vrednosti prethodna jednaqina mo�e, kao xto je pokazano u(5.66), da se napixe u jednostavnijem obliku

εs = lims→0

1 − sλ dμ

cη

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

. (5.94)

Na osnovu jednaqine (5.89), sledi da i statiqka grexka mo�e da se prika�e preko dvasabirka:

εs = εsxiz+ εsz = lim

s→0

1

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

− lims→0

sλ dμ

cη

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

, (5.95)

gde su:

εsxiz= lim

s→0

1

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

, εsz = − lims→0

sλ dμ

cη

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

. (5.96)

Sada mogu da se provere sve varijante objekata i regulatora i na osnovu dobijenihrezultata donesu odgovaraju�i zakǉuqci.

Objekt prve vrste ⇒ λ > 0

U ovom sluqaju graniqna vrednosti lims→0 dovodi do toga da je qlan sλ iz brojioca (5.94)jednak nuli, xto znaqi da je εsz = 0, pa je ukupna statiqka grexka sistema jednaka statiqkojgrexci εsxiz

εs = εsxiz= lim

s→0

1

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

. (5.97)

Vrednost statiqke grexke je

εs = lims→0

1

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1, L > 0, Regulator I vrste1, L = 0, Regulator II vrste1, −λ < L < 0, Regulator III vrste

1

1 +bM

aN

dμ

cη

, L = −λ, Regulator III vrste

0, L < −λ, Regulator III vrste

(5.98)

Analizom prethodnog rezultata zakǉuquje se da objekt prve vrste ne mo�e da se upravǉaregulatorom I ili II vrste, budu�i da oni nemaju uticaja na statiqku grexku (ona je uvekjednaka jedinici). Samo regulator III vrste mo�e da utiqe na smaǌeǌe vrednosti statitqkegrexke (L = −λ), ili da je potpuno neutralixe (L < −λ).


Objekt druge vrste ⇒ λ = 0

Sada je qlan sλ iz brojioca (5.94) jednak jedinici

εsxiz= lim

s→0

1

1 + sLbM

aN

dμ

cη

, εsz = − lims→0

dμ

cη

1 + sLbM

aN

dμ

cη

, (5.99)

xto povlaqi

εs = lims→0

1 − dμ

cη

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1︸︷︷︸εsxiz

− dμ

cη︸︷︷︸εsz

, L > 0, Regulator I vrste

1

1 +bM

aN

dμ

cη︸︷︷︸εsxiz

−dμ

cη

1 +bM

aN

dμ

cη︸︷︷︸εsz

, L = 0, Regulator II vrste

0, L < 0, Regulator III vrste

(5.100)

Regulator I vrste ne mo�e da se upotrebi, jer on nema uticaja na statitqku grexku.Vrednost grexke je ili εsxiz

= 1, ili zavisi samo od koeficijenata objekta εsz = εs(cη, dμ) ina to ne mo�e da se utiqe.

U sluqaju regulatora II vrste statiqka grexka je funkcija i parametara regulatora aN

i bM , εs = εs(aN , bM , cη, dμ). To znaqi da εs mo�e da se smaǌuje pove�avaǌem bM/aN , ali nemo�e da se svede na nultu vrednost. To jedino mo�e da uradi regulator III vrste.

Objekt tre�e vrste ⇒ λ < 0

Za ovakve objekte vrednost statiqke grexke je

εsxiz= lim

s→0

1

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1, L > −λ, Regulator I vrsteaNcη

aNcη + bMdμ, L = −λ, Regulator I vrste

0, 0 < L < −λ, Regulator I vrste0, L = 0, Regulator II vrste0, L < 0, Regulator III vrste

(5.101)

εsz = − lims→0

sλ dμ

cη

1 + sL+λbM

aN

dμ

cη

=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∞, L > 0, Regulator I vrste

−aN

bM, L = 0, Regulator II vrste

0, L < 0, Regulator III vrste

(5.102)

Upotreba regulatora I prve vrste dovodi do destrukcije sistema zbog toga xto grexkaεz(t) divergira ka beskonaqnosti. Regulator II vrste mo�e da se koristi, ali ako je ciǉneutralisaǌe statiqke grexke, onda to mo�e da se postigne jedino regulatorom III vrste.

U narednoj tabeli su ukratko sumirani prethodno navedeni rezultati.

⊕−da ⊕−mo�e Objekt− ne

⊗−ne sme I vrste II vrste III vrste

RegulatorI vrste ⊗II vrste ⊕ ⊕III vrste

⊕ ⊕ ⊕

Tabela 5.1. Izbor regulatora na osnovu statiqke grexke SAR-a.

Mirko

Pencil

5.6. Pokazateǉi kvaliteta rada sistema u uqestanosnom domenu 113

5.6 Pokazateǉi kvaliteta rada sistema u uqestanosnomdomenu

Dinamiqke osobine sistema su u potpunosti sadr�ane u obliku amplitude i faze ǌegoveuqestanosne karakteristike. Tehniqki zahtevi u pogledu kvaliteta ponaxaǌa sistema uprelaznom radnom re�imu mogu da se postave i na osnovu parametara koji karakterixuizgled tih karakteristika. Poxto je uqestanosna karakteristika realna funkcija uqesta-nosti ω, ona mo�e da se prika�e na vixe naqina. Na slici 5.21 je prikazana samo am-plitudom, a na slici 5.22 Bodeovim dijagramom, tj. sa dve uporedne slike na kojima sulogaritamska amplitudna i fazna uqestanosna karakteristika. Jox jedan oblik mo�e dase vidi na slici 5.23 gde je uqestanosna karakteristika predstavǉena uqestanosnom karak-teristikom ili Najkvistovim dijagramom. Svaka od tih slika omogu�ava da se utvrde neki

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

A(ω

)

ωR

MR

ωo

0.707

Slika 5.21. Amplitudna uqestanosna karakteristika sistema.

od pokazateǉa kvaliteta dinamiqkog ponaxaǌa sistema, kao xto je to prethodno ura�eno uvremenskom domenu, videti stranu 29.

Sve tri slike su ilustracija istog sistema, qiji matematiqki model u obliku prenosnefunkcija izgleda:

W (s) =1

s3 + 5s2 + s + 1(5.103)

koja �e, zavisno od pokazateǉa koji se razmatraju, predstavǉati prenosnu funkcijuotvorenog ili zatvorenog kola.

Osnovni zahtevi u uqestanosnom domenu se izra�avaju kroz rezervu stabilnosti, ilipretek stabilnosti, koji se definixe iskǉuqivo kod zatvorenih sistema. Kao mera pretekastabilnosti koriste se pretek faze i pretek pojaqaǌa. Pored ǌih prikaza�emo i: propusniopseg, rezonantno izdizaǌe i rezonantnu uqestanost.

ϕpr - pretek faze, se definixe kao

ϕpr = 180◦ + ϕok(ω1),

pri|Fok(jω1)| = Aok(ω1) = 1,

i predstavǉa uglovnu udaǉenost taqke Fok(ω1) od kritiqne taqke (−1, j0)

ϕpr =

⎧⎪⎨⎪⎩

> 0, za stabilne sisteme upravǉaǌa= 0, za graniqno stabilne sisteme upravǉaǌa< 0, za nestabilne sisteme upravǉaǌa.

Mirko

Pencil


10−1

100

−15

−10

−5

0

5

10

ωL(

ω)

ωo

−3

ω1

20 log1d

10−1

100

−200

−150

−100

−50

0

ω

φ(ω

)

ωπϕpr

Slika 5.22. Logaritamska uqestanosna karakteristika sistema.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

ϕpr 1d

0 dB

−20 dB−10 dB

−6 dB

−4 dB

−2 dB

20 dB10 dB

6 dB

4 dB

2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Slika 5.23. Uqestanosna karakteristika sistema.

Uqestanost ω1 se naziva - preseqna uqestanost pojaqaǌa. Pretek faze je prikazanna slikama 5.22 i 5.23 i u tim sluqajevima (5.103) predstavǉa prenosnu funkcijuotvorenog kola.

d - pretek pojaqaǌa, je definisan kao reciproqna vrednost amplitudne uqestanosne ka-rakteristike otvorenog kola

d =1

Aok(ωπ)= − 1

ReFok(jωπ)

∣∣∣∣ImFok(jωπ)=0

,

pri ϕok(ωπ) = −180◦. Pretek pojaqaǌa je rezerva u pojaqaǌu otvorenog kola do vredno-sti pojaqaǌa koja zatvoreno kolo dovodi na granicu stabilnosti.

d =

⎧⎪⎨⎪⎩


Uqestanost ωπ se naziva - preseqna uqestanost faze. Pretek pojaqaǌa je prikazanna slikama 5.22 i 5.23 i na ǌima prikazana prenosna funkcija (5.103) mora da budeprenosna funkcija otvorenog kola.

Mirko

Pencil


ωo - propusni opseg, je odre�en vrednox�u graniqne uqestanosti ωo pri kojoj amplitudauqestanosne karakteristike zatvorenog kola opadne na vrednost 0,707 (slika 5.21),odnosno 20 log(0, 707) = −3dB (slika 5.22). Propusni opseg je mera kvaliteta reproduk-cije signala, a osim toga karakterixe i filterske sposobnosti sistema. U podruqjupropusnog opsega reprodukcija ulaznih signala je zadovoǉavaju�a. Xirina propusnogopsega je u direktnoj vezi sa osobinama prelaznog procesa, ve�em propusnom opseguodgovara kra�e vreme uspona.

MR - rezonantno izdizaǌe, predstavǉa maksimalnu vrednost amplitudne uqestanosne ka-rakteristike zatvorenog kola. Ono je u direktnoj vezi sa vrednox�u preskoka. Naslici 5.21 se vidi vrednost rezonantnog izdizaǌa zatvorenog sistema qija je prenosnafunkcija zatvorenog kola opisana sa (5.103).

ωR - rezonantna uqestanost, je definisana kao uqestanost pri kojoj se javǉa rezonantnoizdizaǌe i ona neposredno utiqe na brzinu reagovaǌa sistema.

Parametri rezerve stabilnosti: pretek faze i pretek pojaqaǌa, mogu lako da se dobijukorix�eǌem funkcije margin koja pozvana sa:

margin(W)

rezultuje dijagramom sa slike 5.24. I u ovom sluqaju prenosna funkcija (5.103) mora dabude prenosna funkcija otvorenog kola.

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = 12 dB (at 1 rad/sec) , Pm = 22.4 deg (at 0.62 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Slika 5.24. Ilustracija preteka faze i preteka pojaqaǌa sistema.

Poglavǉe 6

Matematiqki modelihidrauliqnih prenosnih organa

Hidrauliqni prenosni organi se primarno koriste kao izvrxni organi zbog svoje osobineda sa relativno malim gabaritima ostvaruju velike sile i momente u odnosu na pneumatskei elektriqne organe istih veliqina.

6.1 Osnovni elementi hidrauliqnih prenosnih organaOsnovni elementi koji se koriste u sintezi hidrauliqnih prenosnih organa su:

• poluga

• hidrauliqni klipni razvodnik

• hidrauliqni cilindar

• elastiqna sprega (opruga sa priguxivaqem).U nastavku se najpre odre�uju ǌihovi matematiqki modeli.

6.1.1 PolugaRazmatra se poluga sa slike 6.1. Ona je zglobno vezana u osloncu O. Ulazna veliqina xu

deluje na polugu u taqki A na kraju poluge, a izlazna veliqina poluge xi je pomeraǌe ǌenogdrugog kraja, taqka B.

xu xil1 l2O

A B

Slika 6.1. Poluga sa osloncem.

Za polugu kao fiziqki sistem usvaja se ǌen model odre�en slede�im pretpostavkama(idealizacijama).

Pretpostavka 6.1.1 Poluga je kruto telo.

Pretpostavka 6.1.2 Masa poluge je zanemarǉivo mala, pa su samim tim i ǌene inerci-jalne sile zanemarǉivo male.

Pretpostavka 6.1.3 Otpori u osloncu poluge O su zanemarǉivo mali.

Delovaǌe ulaza u taqi A pomera taj kraj poluge po kru�nom luku, tako da taqka Aprelazi u polo�aj Ak, slika 6.2. S obzirom da je prema Pretpostavci 6.1.1 poluga krutotelo onda �e ǌen drugi kraj, tj. taqka B, do�i u polo�aj oznaqen sa Bk odre�en kru�nimlukom polupreqnika l2 qiji je centar u taqki O.

113

114 Poglavǉe 6. Matematiqki modeli hidrauliqnih prenosnih organa

xu

xil1

l2

A

A1

Ak

B

B1

BkO �

Slika 6.2. Poluga sa osloncem.

U sluqaju da su pomeraǌa poluge dovoǉno mala, onda luqna pomeraǌa krajeva polugemogu da se aproksimiraju pravolinijskim pomeraǌima. U takvim sluqajevima va�i slede�apretpostavka.

Pretpostavka 6.1.4 Pomeraǌa krajeva poluge su pravolinijska, upravna na ǌen nomi-nalni polo�aj.

To znaqi da pri delovaǌu ulazne veliqine xu u taqki A, taj kraj poluge prelazi u polo�ajodre�en taqkom A1. Drugi kraj poluge tada dolazi u polo�aj definisan taqkom B1.

Veza izme�u izlaza xi i ulaza xu ove poluge, mo�e da se uspostavi na bazi sliqnostitrouglova

�AOA1 ∼ �BOB1,

odakle se dobija slede�i odnosAOAA1

=BOBB1

tj.l1xu

=l2xi

= − l2ξ

.

Na osnovu prethodne jednaqine dobija se matematiqki model poluge (za koju va�e navedenepretpostavke):

xi = kxu, k =l2l1

. (6.1)

Dobijena algebarska jednaqina ukazuje da je poluga statiqki sistem i da je ǌen izlazjednoznaqno odre�en samo ulaznom veliqinom.

U sluqaju da poluga nema oslonac, slika 6.3, ona se razmatra kao vixestruko prenosnisistem, koji ima dve ulazne veliqine xu1 i xu2 i jednu izlaznu veliqinu xi.

xu1 xu2xi

l1 l2

A BV

Slika 6.3. Poluga bez oslonca.

Matematiqki model poluge bez oslonca se dobija na osnovu prethodno uvedenih pret-postavki. Oznaqimo sa xi1 promenu izlazne veliqine kada na polugu deluje samo ulaznaveliqina xu1, dok je xu2 = 0:

xi1 = xi

∣∣xu2=0

.

Novi polo�aj koji zauzima poluga pri delovaǌu samo ulazne veliqine xu1 je odre�en taqkamaA1V1B, slika 6.4. Na osnovu sliqnosti trouglova

�ABA1 ∼ �VBV1,

se dobija da za ǌihove katete va�iABAA1

=VBVV1

6.1. Osnovni elementi hidrauliqnih prenosnih organa 115

xu1

xu2=0xi1

l1 l2A

A1

Ak

BV

V1


odnosnol1 + l2xu1

=l2xi1

.

To znaqi da je uticaj ulazne veliqine xu1 na promenu izlazne veliqine xi opisan slede�omjednaqinom

xi1 =l2

l1 + l2xu1. (6.2)

U sluqaju da na polugu deluje samo ulazna veliqina xu2, pri qemu je xu1 = 0, slika 6.5,onda na bazi sliqnosti trouglova �ABB2 ∼ �AVV2 sledi

xu1=0

xu2

xi2

l1 l2A B

B2

Bk

V

V2


ABBB2

=AVVV2

odnosnol1 + l2xu2

=l1xi2

,

pri qemu je sa xi2 oznaqena promena izlazne veliqine nastala usled delovaǌa samo ulazneveliqine xu2 (xu1 = 0). Iz prethodne jednaqine proizilazi

xi2 =l1

l1 + l2xu2. (6.3)

U sluqaju da na polugu deluju obe ulazne veliqine istovremeno, slika 6.6, onda je izlazna

xu1

xu2

xi1

xi2

xi

l1 l2A

A A1 2=

Ak

B B=1

B2

G D

Bk

V

V1

V2


veliqina xi odre�ena rastojaǌem VV2

xi = VV2 = VG + GV2 = xu1 + GV2. (6.4)


Iz sliqnosti trouglova�A2GV2 ∼ �A2DB2,

proizilaziA2DDB2

=A2GGV2

odakle se dobija da je GV2

GV2 =DB2

A2DA2G =

xu2 − xu1

l1 + l2l1 =

l1l1 + l2

(xu2 − xu1).

Kada se ovaj izraz uvrsti u (6.4) dobija se

xi = xu1 +l1

l1 + l2(xu2 − xu1) =

(1 − l1

l1 + l2

)xu1 +

l1l1 + l2

xu2,

odnosno

xi =l2

l1 + l2xu1 +

l1l1 + l2

xu2. (6.5)

Upore�ivaǌem ove jednaqine sa (6.2) i (6.3) zakǉuquje se da za datu polugu, kada va�enavedene pretpostavke, va�i zakon superpozicije

xi = xi1 + xi2 =l2

l1 + l2xu1 +

l1l1 + l2

xu2,

tj. data poluga je linearan sistem.

6.1.2 Hidrauliqni klipni razvodnikHidrauliqni ravodnik slu�i za razvo�eǌe hidrauliqnog uǉa u jednu od komora hidrocilindra i time obezbedi kretaǌe cilindra na jednu ili drugu stranu. Funkcionalna

xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

koxuªica

deta Aª

ka cilindru

od cilindra

pomera

koxuªicu

pomera

klipove

u e pod

pritiskom

ª

Slika 6.7. Hidrauliqni klipni razvodnik.

xema hidrauliqnog klipnog razvodnika je prikazana na slici 6.7.Hidrauliqna pumpa snabdeva razvodnik uǉem pod pritiskom. To uǉe mo�e da se prosledi

ka cilindru jedino ako su klipovi i otvori na koxuǉici u takvom polo�aju da je protoqnapovrxina razliqita od nule. Takav sluqaj mo�e da nastene bilo pomeraǌem klipova, bilo


pomeraǌem koxuǉice, odnosno ako postoji relativno pomeraǌe xr me�u ǌima. Detaǉ kojije sa A oznaqen na slici 6.7 je analizovan na naredne tri slike.

Na slici 6.8 je prikazan sluqaj kada klip u potpunosti zatvara otvor i kada ne postojiprotok kroz razvodnik. Visina klipa je oznaqena sa h, a preqnik otvora sa d. Oqigledno je

h

n

n

xr

n

d

Slika 6.8. Detaǉ A: potpuno zatvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

postojaǌe preklopa qija je vrednost

n =h − d

2.

Zbog postojaǌa preklopa postoji interval neosetǉivosti, tj. interval na kome promenaulazne veliqine ne prouzrokuje promenu izlazne:

−n � xr � n ⇒ q = 0.

Kada je apsolutna vrednost relativnog pomeraǌa ve�a od intervala neosteǉivostidolazi do proticaǌa uǉa kroz razvodnik, slika 6.9. Zavisnost protoka q i relativnog

h

n

n

xr

n

d

n d+

0

Slika 6.9. Detaǉ A: delimiqno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

pomeraǌa xr je u opxtem sluqaju nelinearna, pri qemu va�i:

|xr| � n + d ⇒ |q| � qmax.

Kako sve fiziqke veliqine imaju ograniqeǌa tako je i ovde maksimalna vrednost protokaodre�ena preqnikom otvora i, kao xto slika 6.10 pokazuje, daǉe pove�avaǌe relativnogpomeraǌa xr ne izaziva daǉe pove�aǌe protoka q. Za |xr| = n + d dolazi do zasi�eǌaprotoka i va�i:

|xr| � n + d ⇒ |q| = qmax.

Na osnovu svih ovih analiza zavisnost protoka u funkciji od relativnog pomeraǌa mo�eda se predstavi i u grafiqkom obliku, slika 6.11. Ta zavisnost je dobijena na osnovu velikogbroja taqaka koje su odre�ene u stacionarnom radnom re�imu i takve karakteristike sistemase nazivaju statiqke karakteristike sistema. One pokazuju zavisnost izlazne veliqine xi

sistema od ǌegove ulazne veliqine xu u stacionarnom re�imu rada. Poxto su vrednostiovih veliqina konstantne kada se sistem nalazi u stacionarnom re�imu rada, zbog toga jestatiqka karakteristika sistema definisana algebarskom jednaqinom

xi = f(xu).


h

n

n

xr

n

d

n d+

0

q q= max

Slika 6.10. Detaǉ A: potpuno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

�

�xr

q

−qmax

n n + d

−n−n − d

qmax

Slika 6.11. Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika.

Statiqka karakteristika je linearna ako je funkcija f linearna. U suprotnom sluqju onaje nelinearna. Za razmatrani razvodnik, qija je izlazna veliqina xi = q, a ulazna veliqinaxu = xr, statiqka karakteristika je nelinearna. Samim tim i razmatrani razvodnik je unajopxtijem sluqaju nelinearni sistem.

Me�utim u posebnim konstruktivnim sluqajevima, ili u posebnim uslovima rada, raz-vodnik mo�e da se ponaxa i kao linearni sistem. Da bi to moglo da bude zadovoǉeno morajuda budu ispuǌene slede�e pretpostavke.

Pretpostavka 6.1.5 Visina klipa h jednaka je preqniku otvora d, tj. ne postoji preklop.

Kada va�i ova pretpostavka onda ne postoji interval neosteǉivosti n = 0, pa je statiqkakarakteristika razvodnika u tom sluqaju oblika sa slike 6.12.

�

�xr

q

−qmax

d

−d

qmax

Slika 6.12. Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika pri n = 0.

Pretpostavka 6.1.6 Uǉe je nestixǉiv fluid, ρ = const.

Pretpostavka 6.1.7 Pritisak napojnog uǉa, koji daje pumpa, je konstantan.


Pretpostavka 6.1.8 Radni opseg klipnog razvodnika je ±d, tj.

−d � xr � d.

Pretpostavka 6.1.9 U radnom opsegu protok je linearna funkcija relativnog pomeraǌa.

Ove pretpostavke dovode do statiqke karakteristike prikazane na slici 6.13. Sa te

�

�xr

qq = Kqxr

��

��

��

��

��

��

Slika 6.13. Statiqka karakteristika idealizovanog klipnog razvodnika.

slike se vidi da su protok i relativno pomeraǌe u lineranoj vezi, tj. da je, kada va�esve prethodno navedene pretpostavke, matematiqki model hidrauliqnog klipnog razvodnikaoblika

q = Kqxr. (6.6)

Analizom uticaja ulazne veliqine xu - kojom se pomera klipǌaqa, a samim tim i klipovirazvodnika i ulazne veliqine x kojom se pomera koxuǉica tj. otvori na razvodniku, za-kǉuquje se da, prema usvojenoj orijentaciji za pozitivan protok, va�i:

q = Kq(xu − x). (6.7)

6.1.3 Hidrauliqni cilindarHidrauliqni cilindar se prevashodno koristi kao izvrxni organ upravǉaqkog sistema.ǋegova funkcionalna xema je prikazana na slici 6.14. Da bi se odredio ǌegov matematiqki

xi

q

A

q

ka razvodniku

od razvodnika

Slika 6.14. Hidrauliqni cilindar.

model polazi se od modela kojeg definixu slede�e pretposavke.


Pretpostavka 6.1.10 Rezultuju�a inercijalna sila klipa, klipǌaqe i svih delovakruto vezanih za klipǌaqu je zanemarǉivo mala.

Ova pretpostavka je opravdana u sluqaju da su mase male ili da se one pomeraju malimubrzaǌima.

Pretpostavka 6.1.11 Sila treǌa klipa o zid cilindra i klipa i uǉa je zanemarǉivomala.

Pretpostavka 6.1.12 Cureǌe izme�u doǌe i gorǌe komore cilindra, kao i cureǌeizme�u komora i okoline je zanemarǉivo malo.

Pretpostavka 6.1.13 Klip se slobodno zaustavǉa u svojim krajǌim polo�ajima.

Ovom pretpostavkom se zahteva nulta brzina u krajǌim polo�ajima v = 0. Ukoliko to nijesluqaj, tj. ukoliko je v �= 0 tda klip udara u dance ili poklopac cilindra i prinudno sezaustavǉa.

Pretpostavka 6.1.14 Radne povrxine klipa su sa obe ǌegove strane jednake.

Ispuǌenost svih ovih pretpostavki dovodi do toga da je matematiqki model hidrau-liqnog cilindra odre�en jednaqinom kontinuiteta - zapremina uǉa koja u�e u cilindar ujedinici vremena q jednaka je promeni zapremine uǉa izazvane pomeraǌem klipa Axi:

q = Adxi

dt, (6.8)

odnosnoAxi = q, (6.9)

ili

xi =1A

∫ t

0

q(τ)dτ. (6.10)

6.1.4 Elastiqna sprega

Elastiqna sprega ili poluga se sastoji od opruge i uǉnog priguxivaqa, slika 6.15. Ova

A

B

V

xu1xu2

xi

co

cp

FpFo

Slika 6.15. Elastiqna poluga.

sprega je vixestruko prenosni sistem, koji ima jednu izlaznu veliqinu xi koja predstavǉapomeraǌe taqke B, i dve ulazne veliqine: xu1 koja deluje u taqki A i xu2 koja deluje u taqkiV.

Za elastiqnu spregu mogu da se usvoje naredne pretpostavke.

Pretpostavka 6.1.15 Inercijalne sile svih pokretnih delova su zanemarǉivo male.

Pretpostavka 6.1.16 Otporna sila opruge Fo, slika 6.15, srazmerna je ǌenoj deforma-ciji:

Fo = co(xi − xu1).

6.2. Razliqiti tipovi hidrauliqnih prenosnih organa 121

Pretpostavka 6.1.17 Otporna sila uǉnog priguxivaqa Fp, slika 6.15, srazmerna je rel-ativnoj brzini izme�u klipa i zidova cilindra:

Fp = cp(xu2 − xi).

Na osnovu uslova ravnote�e sila u taqki B dobija se∑

Fi = 0 ⇒ Fo = Fp

odnosnoco(xi − xu1) = cp(xu2 − xi).

Ure�ivaǌem prethodne jednaqine sledi

cpxi + coxi = coxu1 + cpxu2.

Ako se uvede vremenska konstanta T u obliku T =cp

co, onda prethodna jednqina mo�e da

se predstavi na slede�i naqin

T xi + xi = xu1 + T xu2. (6.11)

6.2 Razliqiti tipovi hidrauliqnih prenosnih organaKombinacijom osnovnih elemenata dobijaju se hidrauliqni prenosni organi (HPO) razli-qitih redova i tipova dejstava. Budu�i da su hidrauliqni prenosni organi sastavni deoupravǉaqkog sistema, onda ǌihove osobine direktno odre�uju i dinamiqke osobine uprav-ǉaqkog sistema. U nastavku �e biti prikazano nekoliko osnovnih tipova HPO:

• HPO bez povratne sprege

• HPO sa krutom povratnom spregom

• HPO sa elastiqnom povratnom spregom

• HPO sa usporenom povratnom spregom.

6.2.1 HPO bez povratne spregeOvo je najjednostavniji HPO, slika 6.16, koji se sastoji od hidrauliqnog klipnog razvod-

xu

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

12

Slika 6.16. HPO bez povratne sprege.

nika i hidrauliqnog cilindra. ǋegov matematiqki model se odre�uje na osnovu prikazanihjednaqina (6.7) i (6.9):

q = Kqxu,


Axi = q.

Kombinacijom prethodne dve jednaqine (eliminacijom promenǉive q) dobija se:

Axi = Kqxu.

Da bi se na osnovu prethodne diferencijalne jednaqine ponaxaǌa utvrdio red i tip dejstvaHPO ona se dovodi u oblik

xi =Kq

A

∫ t

0

xu(τ)dτ,

odakle se zakǉuquje da je dati HPO nultog reda integralnog dejstva, tj. nultog reda IIIvrste.

Blok dijagram HPO-a bez povratne sprege je prikazan na slici 6.17.

� �� Q(s) Xi(s)Xu(s)Kq

1As

Slika 6.17. Blok dijagram HPO-a bez povratne sprege.

6.2.2 HPO sa krutom povratnom spregomU ovom sluqaju HPO se sastoji od tri osnovna elementa, slika 6.18:

1. hidrauliqni klipni razvodnik

2. hidrauliqni cilindar

3. poluga sa osloncem.

xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1l2

1

3

2

Slika 6.18. HPO sa krutom povratnom spregom.

Za svaki od tih elemenata mo�e da se napixe odgovaraju�i matematiqki model:

q = Kq(xu − x), (6.12)

Axi = q, (6.13)

x =l2l1

xi. (6.14)


Kada se (6.14) uvrsti u (6.12) dobija se

q = Kq

(xu − l2

l1xi

). (6.15)

Ovaj izraz za protok mo�e sada da se iskoristi u (6.13) odakle proistiqe

Axi = Kq

(xu − l2

l1xi

). (6.16)

iliAxi + Kq

l2l1

xi = Kqxu. (6.17)

Pomno�imo prethodnu jednaqinu sa l1/l2 i podelimo je sa b

A

Kq

l1l2

xi + xi =l1l2

xu. (6.18)

Ako se uvedu slede�e oznake

T =l1A

l2Kqk =

l1l2

gde je T vremenska konstanta, a k poziciono pojaqaǌe ovog HPO, prethodna jednaqina, postaje

T xi + xi = kxu. (6.19)

HPO sa krutom povratnom spregom predstavǉa sistem prvog reda P dejstva (II vrste).Matematiqki model mo�e da se prika�e i u obliku blok dijagrama, slika 6.19.

� �� Q(s) Xi(s)Xu(s)

X(s)

��

�

Xr(s)

�

Kq1

As

l1l2

Slika 6.19. Blok dijagram HPO-a sa krutom povratnom spregom.

6.2.3 HPO sa elastiqnom povratnom spregomOvaj HPO se sastoji od qetiri osnovna elementa, slika 6.20. Pri tome je elastiqna spregaoznaqena elementno, preko uǉnog priguxivaqa i opruge.



3. uǉni priguxivaq

4. opruga

5. poluga sa osloncem.Nepoznate veliqine prikazne na slici 6.20 su: xi, ξ, x i q. To znaqi da treba da napixemoqetiri jednaqine da bi smo mogli da odredimo sve nepoznate veliqine.

Za ravodnik mo�e da se napixe

q = Kq(xu − x). (6.20)

Za cilindar va�iAxi = q. (6.21)

Elastiqna sprega je opisana sa (6.11). U ovom sluqaju izlazna veliqina sprege, spojnataqka opruge i priguxivacah, je ξ. Ulazna veliqina sa strane opruge xu1 je ovde nula jer je

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

Kq

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

l2 --- l1


xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1l2

1

5

3

4

2

�

xi

co

cp

Slika 6.20. HPO sa elastiqnom povratnom spregom.

opruga ukǉextena na tom kraju. Ulazna veliqina xu2 sa strane priguxivaqa je na slici 6.20oznaqena sa xi. Prema tome diferencijalna jednaqina ponaxaǌa elastiqne sprege je

cp

c0ξ + ξ =

cp

coxi. (6.22)

Elastiqna sprega u konfiguraciji prikazanoj na slici 6.20 se ponaxa kao diferencijalnielement prvog reda.

Jednaqina ponaxaǌa poluge sa osloncem je

x =l2l1

ξ. (6.23)

Rexeǌe koje treba da dobijemo je diferencijalna jednaqina u kojoj figurixu samo veli-qine xi i xu. To znaqi da iz prethodnih jednaqina mora da se eliminixu ostale nepoznateveliqine x, ξ i q.

Eliminiximo nepoznatu pomo�nu veliqinu x tako xto (6.23) uvrstimo u (6.20)

q = Kq(xu − l2l1

ξ), (6.24)

a zatim kombinacijom (6.24) i (6.21) eliminiximo i neopoznatu q

Axi = Kq(xu − l2l1

ξ). (6.25)

Sada su nam ostale dve jednaqine: (6.22) i (6.25) i dve nepoznate xi i ξ. Odre�ivaǌem ξ iz(6.25) na slede�i naqin

l2l1

ξ = xu − A

Kqxi


i mno�eǌem te jednaqine sa l1/l2 dobija se

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.26)

Na osnovu te jednaqine odre�uje se i prvi izvod veliqine ξ

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.27)

Na kraju se jednaqine (6.26) i (6.27) uvrx�uju u jednaqinu (6.22) odakle sledi

cp

c0

(l1l2

xu − l1A

l2Kqxi

)+

l1l2

xu − l1A

l2Kqxi =

cp

coxi. (6.28)

Preure�eǌem te jednaqine na uobiqajeni naqin kako prikazujemo diferencijalne jedna-qine dobija se

cp

c0

l1A

l2Kqxi +

(cp

co+

l1A

l2Kq

)xi =

l1l2

xu +cp

c0

l1l2

xu (6.29)

ili, preure�ivaǌem u potrebni oblik za odre�ivaǌe reda i tipa dejstva:

cp

c0

l1A

l2Kqxi +

(cp

co+

l1A

l2Kq

)xi =

l1l2

∫ t

0

xu(τ)dτ +cp

c0

l1l2

xu (6.30)

zakǉuquje sa da je razmatrani HPO sa elastiqnom povratnom spregom prvog reda PI dejstva,odnosno III vrste.

U ovom sluqaju matematiqki model u obliku blok dijagrama daje potpuniju sliku o sis-temu budu�i da blok dijagram pored matematiqkog modela prikazuje i strukturu sistema.Na osnovu blok dijagrama sa slike 6.21 mogu da se vide me�usobna dejstva podsistema, tj.osnovnih elemenata ovog hidrauliqnog prenosnog organa.

� �� Q(s) Xi(s)Xu(s)��

��

Xr(s)

�

�

�X(s)

ξ(s)

ξ(s)

�Xi(s)� �Fo = Fp

Kq1

As

cps1co

l1l2

Slika 6.21. Blok dijagram HPO-a sa elastiqnom povratnom spregom.

6.2.4 HPO sa usporenom povratnom spregomHPO sa usporenom povratnom spregom ima iste elemente kao i HPO sa elastiqnom povrat-nom spregom. Jedina razlika je u elastiqnoj sprezi, tj. u polo�aju opruge i priguxivaqa,slika 6.22.



3. opruga

4. uǉni priguxivaq

5. poluga sa osloncem.Nepoznate veliqine prikazne na slici 6.22 su: xi, ξ, x i q. Sa qetiri jednaqine (za

razvodnik, cilindar, elastiqnu spregu i polugu) odredi�emo sve nepoznate veliqine.Jednaqina ponaxaǌa razvodnika je

q = Kq(xu − x). (6.31)

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

l2 --- l1


xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1l2

1

5

3

4

2

�

xi

co

cp

Slika 6.22. HPO sa usporenom povratnom spregom.

Hidrauliqni cilindar je opisan saAxi = q. (6.32)

Elastiqna sprega je opisana sa (6.11). U ovom sluqaju izlazna veliqina sprege, spojna taqkaopruge i priguxivacah, je ξ. Ulazna veliqina sa strane opruge xu1 je ovde oznaqena sa xi.Ulazna veliqina xu2 sa strane priguxivaqa je jednaka nuli budu�i da je uǉni priguxivaqfiksiran sa te strane. Prema tome diferencijalna jednaqina ponaxaǌa elastiqne sprege usluqaju prikazanom na slici 6.22 je

cp

c0ξ + ξ = xi. (6.33)

Elastiqna sprega u konfiguraciji prikazanoj na slici 6.22 se ponaxa kao proporcionalnielement prvog reda.

Jednaqina ponaxaǌa poluge sa osloncem je

x =l2l1

ξ. (6.34)

Rexeǌe koje treba da dobijemo je diferencijalna jednaqina u kojoj figurixu samo veli-qine xi i xu. To znaqi da iz prethodnih jednaqina mora da se eliminixu ostale nepoznateveliqine x, ξ i q.

Eliminiximo nepoznatu pomo�nu veliqinu x tako xto (6.34) uvrstimo u (6.31)

q = Kq(xu − l2l1

ξ), (6.35)

a zatim kombinacijom (6.35) i (6.32) eliminiximo i neopoznatu q

Axi = Kq(xu − l2l1

ξ). (6.36)

6.3. Hidrauliqni sistem automatskog upravǉaǌa 127

Sada su nam ostale dve jednaqine: (6.33) i (6.36) i dve nepoznate xi i ξ. Odre�ivaǌem ξ iz(6.36) na slede�i naqin

l2l1

ξ = xu − A

Kqxi

i mno�eǌem te jednaqine sa l1/l2 dobija se

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.37)

Na osnovu te jednaqine odre�uje se i prvi izvod veliqine ξ

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.38)

Na kraju se jednaqine (6.37) i (6.38) uvrx�uju u jednaqinu (6.33) odakle sledi

cp

c0

(l1l2

xu − l1A

l2Kqxi

)+

l1l2

xu − l1A

l2Kqxi = xi. (6.39)

Preure�eǌem te jednaqine na uobiqajeni naqin kako prikazujemo diferencijalne jedna-qine dobija se

cp

c0

l1A

l2Kqxi +

l1A

l2Kqxi + xi =

l1l2

xu +cp

c0

l1l2

xu (6.40)

odakle se zakǉuquje da je razmatrani HPO sa usporenom povratnom spregom drugog reda PDdejstva, odnosno II vrste.

Me�usobna dejstva pojedinih elemenata u okviru HPO sa usporenom povratnom spregomnajboǉe ilustruje blok dijagram ovog HPO-a koji je prikazan na slici 6.23.

� �� Q(s) Xi(s)Xu(s)��

��

Xr(s)

�

�

�X(s)

ξ(s)

ξ(s)

�Xi(s)� �Fp = Fo

Kq1

As

co1

cps

l1l2

Slika 6.23. Blok dijagram HPO-a sa usporenom povratnom spregom.

6.3 Hidrauliqni sistem automatskog upravǉaǌaVrlo qesto Pretpostavka 6.1.10 i Pretpostavka 6.1.12 nisu prihvatǉive. To se dexava usluqaju velikih masa koje se pomeraju hidrauliqnim cilindrom ili velikih sila koje naǌega deluju. Jedan takav primer je prikazan na slici 6.24. Masa kolica M ne mo�e da sezanemari.

Izlo�imo celokupni postupak za odre�ivaǌe matematiqkog modela hidrauliqnogprenosnog organa koji je verodostojan prikazanom fiziqkom sistemu.

Protok uǉa na izlaznom otvoru razvodnika je odre�en poznatom relacijom

q = Kqxr. (6.41)

U sluqaju kada je hidrauliqni cilindar optere�en velikim silama, tada postoji cureǌeizme�u komora cilindra, kao i komora i okoline. Tada mora da se uzme u razmatraǌe istixǉivost uǉa, pa ni Pretpostavka 6.1.6 nema opravdaǌe u takvim sluqajevima.

Odatle proistiqe da se protok koji iza�e iz razvodnika raspodeǉuje na protok koji ide uhidrauliqni cilindar - qh, protok koji se gubi usled cureǌa - qc i na protok za kompenzacijustixǉivosti hidrouǉa - qs, tj.:

q = qh + qc + qs. (6.42)

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

l2 --- l1


M

xux

q q

ps

p1

p p pL 1 2= -

K pc L

p2

pumpa

rezervoar

xi

A

l1

l21

5

34

2

6

� xi

co

cp

Slika 6.24. HPO koji upravǉa poziciju kolica.

Deo protoka qh proizvodi kretaǌe klipa cilindra i kao xto je ve� pokazano mo�e da seizrazi slede�om jednaqinom:

qh = Adxi

dt. (6.43)

Komponenta protoka koji se gubi usled cureǌa u sistemu qc mo�e da se izrazi prekokoeficijenta cureǌa Kc i radnog pritiska hidrouǉa pL:

qc = KcpL, (6.44)

pri qemu je radni pritisak uǉa jednak razlici pritisaka u komorama hidrocilindra pL =p1 − p2.

Komponenta protoka za kompenzovaǌe stixǉivosti hidrouǉa qs zavisi od modulastixǉivosti hidrouǉa B i efektivne zapremine hidrouǉa koje je pod pritiskom: uhidrocilindru i u vodovima izme�u razvodnika i cilndra V . To mo�e da se izrazi slede�omjednaqinom:

qs =V

B

dpL

dt(6.45)

Na osnovu (6.43), (6.44) i (6.45) jednaqina (6.42) mo�e da se napixe u obliku

q = Adxi

dt+ KcpL +

V

B

dpL

dt, (6.46)

a budu�i da je taj protok jednak protoku razvodnika (6.41) onda va�i i slede�a jednaqina:

Kqxr = Adxi

dt+ KcpL +

V

B

dpL

dt. (6.47)

6.3. Hidrauliqni sistem automatskog upravǉaǌa 129

Sila F koju hidrouǉe pod pritiskom stvara delovaǌem na klip radnog cilindra je:

F = ApL. (6.48)

Da bi ta sila mogla da savlada sva inercijalna optere�eǌa mase M i savlada viskoznotreǌe, mora da va�i:

ApL = Md2xi

dt2+ μ

dxi

dt, (6.49)

gde je μ koeficijent viskoznog treǌa klipa i zidova cilindra. Prvi izvod radnog pritiskaje

dpL

dt=

M

A

d3xi

dt3+

μ

A

d2xi

dt2, (6.50)

Ako se sada u (6.47) uvrsti izraz za pritisak pL i ǌegov prvi izvod (6.49) i (6.50) dobijase:

Adxi

dt+ Kc

(M

A

d2xi

dt2+

μ

A

dxi

dt

)+

V

B

(M

A

d3xi

dt3+

μ

A

d2xi

dt2

)= Kqxr, (6.51)

odakle se preure�eǌem jednaqine dobija diferencijalna jednaqina ponaxaǌa podsistemahidrauliqni klipni razvodnik - hidrauliqni cilindar:

V M

BA

...x i +

(V μ

BA+ Kc

M

A

)xi +

(A + Kc

μ

A

)xi = Kqxr. (6.52)

Prenosna fukcija tog sklopa je

Xi(s)Xr(s)

= W (s) =Kq

s

[V M

BAs2 +

(V μ

BA+ Kc

M

A

)s +

A2 + Kcμ

A

] , (6.53)

tj.

W (s) =Kq

s

[V M

BA

A

A2 + Kcμs2 +

(V μ

BA+ Kc

M

A

)A

A2 + Kcμs + 1

] . (6.54)

Ako se uvedu slede�e oznake

ωn =

√B(A2 + Kcμ)

V Mi

ξ =

(V μ

BA+ Kc

M

A

)A

A2 + Kcμ

2ωn

onda je ωn sopstvena uqestanost, a ξ priguxeǌe sklopa hidrauliqni klipni razvodnik hi-drauliqni cilindar, pa prenosna funkcija mo�e da se prika�e na slede�i naqin

W (s) =Xi(s)Xr(s)

=Kqω

2n

s(s2 + 2ξωns + ω2n)

. (6.55)

Kompletan matematiqki model sistema qija je funkcionalna xema prikazana naslici 6.24 najboǉe ilustruje blok dijagram tog sistema, slika 6.25.

�� Q(s) Xi(s)Xu(s)��

��

Xr(s)

�

�

�X(s)

ξ(s)

ξ(s)

�Xi(s)� �Fo = Fp

� �Kq

cps1co

l1l2

ω2n

s(s2 + 2ξωns + ω2n)

Slika 6.25. Blok dijagram HPO-a koji upravǉa kolica mase M .

Poglavǉe 7

Koncept stabilnosti

Pojam stabilnost se vrlo xiroko upotrebǉava, kako od strane eksperata tako i od straneǉudi koji nisu familijarni sa teorijom stabilnosti. Iz toga razloga potrebno je da se tajpojam detaǉno i precizno razjasni kao i mnoga druga pitaǌa vezana za taj pojam.

7.1 Radni re�imi sistemaRazmatra se sistem opisan u prostoru staǌa:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (7.1a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (7.1b)

Radne re�ime u kojima dati sistem mo�e da se na�e odre�ujemo:• prema dejstvu ulaza xu,

• prema promeni funkcije prelaza staǌa χ(·).Prema dejstvu ulaza xu na sistem, radni re�imi se dele na prinudni i slobodni radni

re�im.Sistem (7.1) se nalazi u:

1. prinudnom radnom re�imu ako i samo ako postoji bar jedan trenutak t takav da jevrednost ulaza razliqita od nule

xu(t) �= 0u,

2. slobodnom radnom re�imu ako i samo ako je ulaz identiqki jednak nuli

xu(t) = 0u, ∀t ∈ R.

Sistem (7.1) u slobodnom radnom re�imu se jednostavnije opisuje sa

x(t) = Ax(t), (7.2a)

xi(t) = Cx(t). (7.2b)

Prema promeni funkcije prelaza staǌa χ(·), sistem (7.1) mo�e da se na�e u:1. ravnote�nom radnom re�imu ako i samo ako je on u slobodnom radnom re�imu i va�i

χ(t;x0;0u) = x0, ∀t ∈ R,

2. stacionarnom radnom re�imu ako i samo ako va�i

χ(t;x0;xu) = x0, ∀t ∈ R,

3. periodiqnom radnom re�imu s periodom T ako i samo ako

χ(t;x0;xu) = χ(t + T ;x0;xu), ∀t ∈ R,

pri qemu je T najmaǌi pozitivan broj koji zadovoǉava prethodnu jednaqinu,

131

132 Poglavǉe 7. Koncept stabilnosti

4. ustaǉenom radnom re�imu ako i samo ako je on ili u stacionarnom ili u periodiqnomradnom re�imu,

5. prelaznom radnom re�imu ako i samo ako nije u ustaǉenom radnom re�imu.Stacionarni radni re�im nastaje onog trenutka (vreme smireǌa) kada sistem u�e u

stacionarno staǌe. To staǌe se oznaqava sa xs i ǌega sistem zadr�ava sve vreme kada sejednom u ǌemu na�e:

χ(t;xs;xu) = xs, ∀t ∈ R.

Poseban oblik stacionarnog staǌa je ravnote�no staǌe xr, koje se definixe u slobodnomre�imu rada, za razliku od stacionarnog staǌa xs koje je definisano u prinudnom re�imurada.

7.2 Ravnote�na staǌa sistemaZa staǌe sistema (7.1) se ka�e da je ravnote�no staǌe tog sistema ako i samo ako on ostajeu tom staǌu stalno qim se jednom na�e u ǌemu u slobodnom re�imu rada. Ravnote�no staǌese oznaqava sa ”r”. Da bi se sistem izveo iz svog ravnote�nog staǌa potrebno je da seizvrxi razmena energije, materije i/ili informacija izme�u ǌega i okoline. To znaqi dana ǌega treba da deluje neka ulazna veliqina da bi se on izveo iz svog ravnote�nog staǌa.

Definicija 7.2.1 Staǌe x∗ sistema (7.1) je ǌegovo ravnote�no staǌe oznaqeno sa xr,x∗ = xr, ako i samo ako va�i

χ(t;x∗;0u) = x∗, ∀t � 0. (7.3)

To znaqi da su kretaǌa iz ravnote�nog staǌa, u slobodnom re�imu rada, konstantna.Samim tim je izvod tih kretaǌa jednak nuli. Budu�i da se ta kretaǌa dobijaju kao rexeǌajednaqine staǌa, u slobodnom radnom re�imu, (7.2a)

x(t) = Ax(t),

onda se lako dolazi do slede�e teoreme:

Teorema 7.2.1 Da bi staǌe x∗ bilo ravnote�no staǌe sistema (7.1) potrebno je i dovoǉnoda je izvod kretaǌa, u slobodnom radnom re�imu, kroz staǌe x∗ jednak nuli:

d

dtχ(t;x∗;0u) = Aχ(t;x∗;0u)(t) = 0u,

odnosno, kratko, da va�iAx∗ = 0u. (7.4)

Svako staǌe koje zadovoǉava uslov (7.4) je ravnote�no staǌe sistema (7.1).Analizom jednaqine (7.4) mo�e da se do�e do slede�e teoreme.

Teorema 7.2.2• Sistem (7.1) ima ravnote�no staǌe za svaku matricu A, tj. jednaqina (7.4) uvek ima

rexeǌe. ǋegovo nulto ravnote�no staǌe xr = 0x predstavǉa trivijalno rexeǌe jed-naqine (7.4).

• Da bi sistem (7.1) imao samo jedno ravote�no staǌe potrebno je i dovoǉno da je ma-trica A regularna (nesingularna)

det A �= 0.

Takvo ravnote�no staǌe se naziva jedinstveno ravnote�no staǌe.

• Ako je matrica A sistema (7.1) singularna

det A = 0,

onda jednaqina (7.4) ima neograniqeno mnogo rexeǌa, tj. sistem (7.1) ima neograniqenomnogo ravnote�nih staǌa.

7.3. Definicije razliqitih osobina stabilnosti sistema 133

klatno u

ravnote¼nom sta©u

klatno u

ravnote¼nom sta©u

(a) (b)

Slika 7.1. Klatno.

Na slici 7.1 je prikazano klatno u dva svoja ravnote�na polo�aja. Prvi ravnote�nipolo�aj je prikazan na slici (a), kada klatno zaklapa ugao od 0◦ sa vektorom Zemǉine te�e,a drugi na slici (b) kada je taj ugao 180◦. Oqigledno je da ta dva ravnote�na polo�ajanemaju isti karakter. Ako je poqetni polo�aj klatna takav da se ono ne nalazi ni u jednomravnote�nom polo�aju, onda �e, u slobodnom radnom re�imu, klatno te�iti polo�aju prvogravnote�nog staǌa. To znaqi da je prvo ravnote�no staǌe stabilno, a drugo ne.

Koncept stabilnosti koji �e ovde da bude izlo�en govori o stabilnosti sistema. Ne�ese razmatrati stabilnost ravnote�nih staǌa. Prema tome za razmatrano klatno kao sistemje nemogu�e dati odgovor na pitaǌe: da li je razmatrano klatno stabilan sistem? Da bi tajodgovor mogao da se da neophodno je da sistem ima jedinstveno ravnote�no staǌe. Odatleproistiqe slede�i zakǉuqak, dat u vidu naredne teoreme.

Teorema 7.2.3 Da bi linearni sistem (7.1) bio stabilan potrebno je (ali nije i dovoǉno)da on ima jedinstveno ravnote�no staǌe xr = 0x.

Na osnovu prethodne teoreme i Teoreme 7.2.2 dolazi se do iskaza slede�e teoreme.

Teorema 7.2.4 Da bi linearni sistem (7.1) bio stabilan potrebno je (ali nije i dovoǉno)da je ǌegova matrica A regularana:

det A �= 0.

7.3 Definicije razliqitih osobina stabilnosti sistemaRazmatra se sistem qije je kretaǌe prikazano na slici 7.2. Sistem se od poqetnog trenutkat = 0 do trenutka t = t1 nalazio u ravnote�nom radnom re�imu. Od trenutka t1 pa sve dotrenutka t2 na sistem deluje nenominalni ulaz, tj. xu �= 0. Kao rezultat takvog prinudnogradnog re�ima na intervalu [t1, t2] sistem dolazi u trenutku t2 u staǌe oznaqeno sa x0.

�

��

0 t1 t2 t

xu = 0u xu �= 0u xu = 0u ��

x0

sistem prepuxten samom sebi

χ(t;0x;0u) χ(t; t1,0x;xu) χ(t; t2,x0;0u)

Slika 7.2. Koncept stabilnosti.


Osobina stabilnosti sistema se odre�uje na bazi karaktera ǌegovog kretaǌa iz x0 odtog trenutka t2, kada se sistem prepuxta samom sebi, tj. kada se od trenutka t2 pa nadaǉeon nalazi u slobodnom re�imu rada:

χ(t; t2,x0;0u).

Imaju�i u vidu da je razmatrani sistem stacionaran, onda trenutak t2 mo�e da se proglasipoqetnim trenutkom t2 = 0, pa se razmatra kretaǌe χ(t;x0;0u) i u zavisnosti od ǌegovogkaraktera definixu se slede�e osobine stabilnosti.

Definicija 7.3.1 Linearni sistem (7.1) je stabilan ako i samo ako u slobodnom rad-nom re�imu kretaǌe sistema (7.1) konvergira nultom ravnote�nom staǌu kada vremeneograniqeno raste.

limt→+∞χ(t;x0;0u) = 0x.

Kao ilustracija prethodne definicije na slikama 7.3 i 7.4 su prikazana kretaǌa jednogstabilnog sistema tre�eg reda. Na prvoj slici je ilustrovana aperiodiqna konvergencijaka nultom staǌu, dok je na drugoj slici prikazano priguxno oscilatorno pribli�avaǌenultom ravnote�nom staǌu.

0 1 2 3 4 5 6−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

t

x1,x

2,x

3,‖

x‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.3. Grafiqka ilustracija definicije stabilnosti.

0 1 2 3 4 5 6 7 8−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

t

x1,x

2,x

3,‖

x‖

x1x2

x3

‖x‖

Slika 7.4. Grafiqka ilustracija definicije stabilnosti.

7.3. Definicije razliqitih osobina stabilnosti sistema 135

Definicija 7.3.2 Linearni sistem (7.1) je graniqno stabilan (na granici stabil-nosti) ako i samo ako u slobodnom radnom re�imu, kada vreme neograniqeno raste, postojibar jedna veliqina staǌa tog sistema koja postaje ili konstanta ograniqene nenulte vred-nosti, ili oscilatorna vremenska funkcija ograniqene amplitude.

Slikama 7.5 i 7.6 je na primeru jednog sistema tre�eg reda ilustrovana prethodnadefinicija. Na slici 7.5 se ilustruje aperiodiqna graniqna stabilnost - kada neka odveliqina staǌa konvergira nenultoj konstanti. Slika 7.6 prikazuje oscilatorno graniqnostabilni sistem - kada veliqine staǌa postaju oscilatorne funkcije ograniqene amplitude.

0 2 4 6 8 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t

x1,x

2,x

3,‖

x‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.5. Grafiqka ilustracija definicije (aperiodiqne) graniqne stabilnosti.

0 10 20 30 40 50 60 70−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

x1,x

2,x

3,‖

x‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.6. Grafiqka ilustracija definicije (oscilatorne) graniqne stabilnosti.

Definicija 7.3.3 Linearni sistem (7.1) je nestabilan ako i samo ako u slobodnom rad-nom re�imu, kada vreme neograniqeno raste, postoji bar jedna veliqina staǌa tog sistemakoja ili poprima neograniqeno velike vrednosti, ili postaje oscilatorna vremenska funk-cija neograniqene amplitude.

Na slici 7.7 je ilustrovan sluqaj nestabilnosti sistema tre�ega reda kada kretaǌamonotono divergiraju ka beskonaqnosti, dok je slikom 7.8 prikazno ponaxaǌe nestabilnogsistema tre�eg reda qije kretaǌe oscilatorno, sa pove�aǌem amplitude, divergira kabeskonaqnosti.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

t

x1,x

2,x

3,‖

x‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.7. Grafiqka ilustracija definicije nestabilnosti.

0 2 4 6 8 10 12 14 16−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

t

x1,x

2,x

3,‖

x‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.8. Grafiqka ilustracija definicije nestabilnosti.

7.4 Uslovi razliqitih osobina stabilnosti sistemaPrema prikazanim definicijama razliqitih osobina stabilnosti izgleda da je za ispiti-vaǌe tih osobina stabilnosti potrebno poznavati kretaǌa sistema χ(t;x0;0u). Me�utim,bi�e pokazno da osobine stabilnosti linearnih sistema mogu da se ispitaju posrednimnaqinom i bez poznavaǌa ǌihovih kretaǌa.

Matematiqki modeli linearnih sistema koju su do sada bili prikazani mogu da se sa�muu tri osnovna oblika:

• diferencijalna jednaqina ponaxaǌa

l∑k=0

Akx(k)i (t) =

m∑k=0

Bkx(k)u (t), m � l (7.5)

• jednaqina staǌa i jednaqina izlaza

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (7.6a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (7.6b)

• prenosna matrica sistema

W(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑k=0

Bksk = C(sI − A)−1B + D. (7.7)

7.4. Uslovi razliqitih osobina stabilnosti sistema 137

Veza izme�u polova prenosne matrice W(s) i sopstvenih vrednosti matrice A se dobijaiz veze prenosne matrice i matrica koje odre�uju jednaqinu staǌa i jednaqinu izlaza:

W(s) = Cadj(sI − A)det (sI − A)

B + D =Cadj(sI − A)B + D det (sI − A)

det (sI − A).

Vidi se da je imenilac prenosne matrice odre�en determinantom karakteristiqne matricedet (sI − A), odakle se zakǉuquje da su sopstvene vrednosti matrice A istovremeno i poloviprenosne matrice W(s).

Budu�i da se sopstvene vrednosti matrice A odre�uju rexavaǌem karakteristiqne jed-naqine:

f(s) = det (sI − A) = 0,

gde je f(s) karakteristiqni polinom matrice A. ǋegovi korenovi predstavǉaju sopstvenevrednosti matrice A.

Na osnovu svega navedenog zakǉuquje se da su polovi prenosne matrice W(s) jednakisopstvenim vrednostima matrice A, odnosno korenovima karakteristiqnog polinoma f(s):

s∗i [W(s)] = s∗i (A) = s∗i [f(s)] , ∀i = 1, 2, . . . , μ,

pri qemu je sa μ oznaqen broj razliqitih polova W(s), tj. sopstvenih vrednosti A, tj.korenova f(s).

To znaqi da su ta tri pojma sinonimi i da mogu ravnopravno da se koriste u iskazima teo-rema koje odre�uju uslove stabilnosti. Neka se za ta izlagaǌa koristi termin: sopstvenevrednosti matrice A.

Kretaǌe sistema u slobodnom radnom re�imu je odre�eno fundamentalnom matricom:

χ(t;x0;0u) = Φ(t)x0 = L−1{(sI − A)−1

}x0.

Opxti oblik tog kretaǌa mo�e da se prika�e u funkciji: s∗k - sopstvenih vrednosti matriceA, ν∗

k - vixestrukosti tih s∗k, μ - broja razliqitih s∗k i ckr - konstanti odre�enih poqetnimuslovima:

χ(t;x0;0u) =μ∑

k=1

ν∗k∑

r=1

ckrtr−1es∗

kt.

Prethodna jednaqina uspostavǉa vezu izme�u navedenih definicija stabilnosti i teo-rema koje se daju u nastavku.

Teorema 7.4.1 Da bi linearni sistem (7.1) bio stabilan potrebno je i dovoǉno da surealni delovi svih sopstvenih vrednosti matrice A negativni:

Res∗i (A) < 0, ∀i = 1, 2, . . . , μ. (7.8)

Raspored sopstvenih vrednosti matrice A u kompleksnoj ravni, koji obezbe�uje stabilnostsistema je prikazan na slici 7.9.

�

�

�

�

�σ∗

k

ω∗k

−ω∗k

σ∗k + jω∗

k

σ∗k − jω∗

k

Res

jIms

Slika 7.9. Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) stabilnog sistema.


Teorema 7.4.2 Da bi linearni sistem (7.1) bio graniqno stabilan (na granici stabil-nosti) potrebno je i dovoǉno da va�e (a)-(v):(a) realni delovi svih sopstvenih vrednosti matrice A su nepozitivni:

Res∗i (A) � 0, ∀i = 1, 2, . . . , μ, (7.9)

(b) postoji bar jedna sopstvena vrednost matrice A sa nultim realnim delom

∃k ∈ {1, 2, . . . , μ} ⇒ Res∗k(A) = 0, (7.10)

(v) sve sopstvene vrednosti matrice A sa nultim realnim delom su jednostruke

Res∗k(A) = 0 ⇒ ν∗k = 1. (7.11)

�

�

�

�

�

�

��σ∗

k

ω∗k

−ω∗k

σ∗k + jω∗

k

σ∗k − jω∗

k

Res

jIms

ω∗k, ν∗

k = 1

−ω∗k, ν∗

k = 1

s∗k = 0, ν∗k = 1

Slika 7.10. Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) graniqno stabilnog sistema.

Teorema 7.4.3 Da bi linearni sistem (7.1) bio nestabilan potrebno je i dovoǉno da ili(a) postoji bar jedna sopstvenia vrednost matrice A sa pozitivnim realnim delom

∃k ∈ {1, 2, . . . , μ} ⇒ Res∗k(A) > 0, (7.12)

ili

(b) postoji bar jedna sopstvena vrednost matrice A sa nultim realnim delomvixestrukosti ve�e od jedan

∃k ∈ {1, 2, . . . , μ} ⇒ Res∗k(A) = 0, ν∗k > 1 (7.13)

ili

(v) da va�e i (a) i (b) istovremeno.

�

�

�

�

�

�

� �σ∗

k

ω∗k

−ω∗k

σ∗k + jω∗

k

σ∗k − jω∗

k

Res

jIms

ω∗k, ν∗

k � 2

−ω∗k, ν∗

k � 2

s∗k = 0, ν∗k � 2

Slika 7.11. Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) koji dovode do nestabilnosti sistema.

7.5. Kriterijumi stabilnosti 139

Uslovi razliqitih osobina stabilnosti sistema (7.1) su izra�eni u algebarskom oblikupreko znaka realnih delova sopstvenih vrednosti matrice A i ǌihove vixestrukosti. Onine zahtevaju rexavaǌe diferencijalne jednaqine staǌa jer ne zahtevaju poznavaǌe kretaǌasistema.

Odre�ivaǌe polo�aja sopstvenih vrednosti matrice A u kompleksnoj ravni zahtevaizraqunavaǌe korenova karakteristiqnog polinoma n-tog stepena, xto se korix�eǌem Mat-laba izvodi jednostavno naredbom roots.

Me�utim, kada nismo u mogu�nosti da odredimo taqan ili dovoǉno taqan matematiqkimodel objekta, tada treba eksperimentalnim postupkom ispitati da li je sistem automatskogupravǉaǌa tog objekta stabilan. Zbog tih razloga razvijeni su posredni naqini ispiti-vaǌa stabilnosti linearnih sistema automatskog upravǉaǌa, koji se nazivaju kriterijumistabilnosti.

7.5 Kriterijumi stabilnosti

Ovde �e biti izlo�eni algebarski i uqestanosni (frekventni) kriterijumi stabilnostilinearnih sistema.

Algebarski kriterijumi stabilnosti su opxteg karaktera i mogu da se koriste za anal-izu stabilnosti linearnih sistema proizvoǉne strukture (objekta, upravǉaqkog sistema,regulatora, otvorenih i zatvorenih sistema automatskog upravǉaǌa). ǋihova primena za-hteva poznavaǌe koeficijenata karakteristiqnog polinoma sistema, xto zahteva poznavaǌedovoǉno taqnog matematiqkog modela sistema. Ovde �e biti izlo�en Hurvicov algebarskikriterijum stabilnosti.

Uqestanosni kriterijumi stabilnosti se odnose na analizu stabilnosti sistemaautomatskog upravǉaǌa s negativnom povratnom spregom (SAR i KSAU). Oni se zasni-vaju na korix�eǌu uqestanosne karakteristike otvorenog kola datog sistema. Stoga seoni koriste za eksperimentalno ispitivaǌe stabilnosti zatvorenih sistema. Ovde �e bitiizlo�eni Najkvistov i Bodeov uqestanosni kriterijum stabilnosti sistema automatskogupravǉǌa, koji su naxli vrlo xiroku primenu u in�eǌerskoj praksi.

7.5.1 Hurvicov kriterijum

Ovaj kriterijum se zasniva na analizi odre�enih algebarskih uslova postavǉenih koefi-cijentima ak karakteristiqnog polinoma razmatranog sistema

f(s) = det(sI − A) =n∑

k=0

aksk = sn + an−1sn−1 + . . . + a2s

2 + a1s + a0, an = 1. (7.14)

Od tih koeficijenata se formira Hurvicova determinanta, koja je n-tog reda,

Δn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−1 an−3 an−5 an−7 · · · 0an an−2 an−4 an−6 · · · 00 an−1 an−3 an−5 · · · 00 an an−2 an−4 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 · · · · · · · · · a0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (7.15)

Ova determinanta se naziva osnovni minor n-tog reda i obele�ava sa Δn ili kratko saΔ. Za primenu Hurvicovog kriterijuma su znaqajni i osnovni minori ni�eg reda. Osnovniminor k-tog reda, u oznaci Δk, 1 � k � n − 1, se dobijaju iz osnovnog minora n-tog redaΔn, kada se iz ǌega izdvoje elementi koji se nalaze u prvih k uzastopnih vrsta i prvih kuzastopnih kolona:

Δ1 =∣∣an−1

∣∣ , Δ2 =∣∣∣∣an−1 an−3

an an−2

∣∣∣∣ , Δ3 =

∣∣∣∣∣∣an−1 an−3 an−5

an an−2 an−4

0 an−1 an−3

∣∣∣∣∣∣, . . .


Mo�e da se uoqi da su u posledǌoj koloni Δn svi elementi jednaki nuli, osim elementa uposledǌoj vrsti koji je a0. Odatle proistiqe:

Δn = a0Δn−1.

Teorema 7.5.1 (Hurvicov kriterijum) Da bi sistem, qiji je karakteristiqni polinomdat jednaqinom (7.14), bio stabilan potrebno je i dovoǉno

1. da su svi koeficijenti ǌegovog karakteristiqnog polinoma f(s) pozitivni

ak > 0, ∀k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

i2. da su svi osnovni glavni minori Hurvicove determinante pozitivni

Δk > 0, ∀k = 2, 3, . . . , n − 1.

Napomena: Ako su svi koeficijenti karakteristiqnog polinoma f(s) razmatranog sistemanegativni

ak < 0, ∀k = 0, 1, 2, . . . , n,

onda taj polinom mo�e da se pomno�i sa −1 i da se onda taqka 2. Hurvicovog kriterijumaproveri sa tako dobijenim koeficijentima (koji su sada svi pozitivni).

Primer 27Ispitati osobine stabilnosti sistema qiji je karakteristiqni polinom f(s) oblika:

f(s) = s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24. (7.16)

Najjednostavniji naqin za odre�ivaǌe osobina stabilnosti je primena teorema kojimasu definisani uslovi stabilnosti (Teorema 7.4.1 - Teorema 7.4.3). Za primenu tih teoremaneophodno je odrediti polo�aj korenova karakteristiqnog polinoma u kompleksnoj ravni.Primenom Matlaba i ǌegove funkcije roots, na slede�i naqin:

>> roots([1 10 35 50 24])

ans =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000

dobija se da su sva qetiri korena f(s) realni i negativni, tj. da se svi nalaze u levojpoluravni kompleksne ravni. Na bazi Teoreme 7.4.1 zakǉuquje se da je dati sistem opisansa (7.16) stabilan.

Velika zastupǉenost raqunara pri sintezi i analizi sistema u potpunosti je elim-inisala upotrebu kriterijuma kao xto je Hurvicov. Ipak, zbog ǌegove jednostavnosti ikorisnosti koju je ispoǉavao u prethodnom periodu on je zauzeo mesto i u ovim izlagaǌima.

Proverimo najpre 1. taqku Hurvicovog kriterijuma. Svi koeficijenti

a4 = 1, a3 = 10, a2 = 35, a1 = 50, a0 = 24,

karakteristiqnog polinoma (7.16) su pozitivni.Formirajmo potom Hurvicovu determinantu Δn = Δ4 na bazi koeficijenata f(s), jedna-

qina (7.16):

Δ4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a3 a1 0 0a4 a2 a0 00 a3 a1 00 a4 a2 a0

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

10 50 0 01 35 24 00 10 50 00 1 35 24

∣∣∣∣∣∣∣∣. (7.17)

Iz tog osnovnog minora dobijaju se minori Δ1, Δ2 i Δ3:

Δ1 =∣∣10∣∣ , Δ2 =

∣∣∣∣10 501 35

∣∣∣∣ , Δ3 =

∣∣∣∣∣∣10 50 01 35 240 10 50

∣∣∣∣∣∣.


Vrednosti tih minora (determinanti) su:

Δ1 = 10, Δ2 = 10 · 35 − 50 · 1 = 300, Δ3 = 10(35 · 50 − 24 · 10) − 50(1 · 50 − 24 · 0) = 12600.

Drugi uslov Hurvicovog kriterijuma zahteva

Δk > 0, ∀k = 2, 3, . . . , n − 1,

xto je u ovom primeruΔk > 0, ∀k = 2, 3.

Budu�i da su oba pozitivna zakǉuquje se da je dati sistem opisan sa (7.16) stabilan. Trebauoqiti da se u ovom kriterijumu ne zahteva provera znaka osnovnih minora Δ1 i Δn. Razlogje jednostavan: ako su svi koeficijenti f(s) pozitivni onda je i Δ1 = an−1 pozitivan. ZaΔn va�i Δn = a0Δn−1 pa je i on pozitivan ako su ispuǌeni uslovi dati iskazom teoreme.

7.5.2 Najkvistov kriterijumNajkvistov kriterijum se zasniva na korix�eǌu uqestanosne karakteristike otvorenog kolaFok(jω) i primeǌuje se samo na sisteme sa negativnom povratnom spregom, SAR ili KSAU.

S obzirom da se sistem automatskog upravǉaǌa pri analizi stabilnosti posmatra bezspoǉnih dejstava posle poqetnog trenutka t0 = 0, ǌegov blok dijagram je prikazan naslici 7.12.

��

Xi(s)Y (s)E(s)WR(s) WO(s)


Blok dijagram otvorenog kola tog sistema je na slici 7.13.

�� Xi(s)Xu(s)WR(s) WO(s)

Slika 7.13. Blok dijagram otvorenog kola SAR-a.

Prenosna funkcija ovog otvorenog kola je

Wok(s) = WR(s)WO(s),

a ǌegova uqestanosna karakteristika

Fok(jω) = FR(jω)FO(jω).

Primena Najkvistovog kriterijuma se zasniva na analizi hodografa uqestanosne karak-teristike otvorenog kola Fok(jω). Na bazi te analize donose se zakǉuqci o stabilnostizatvorenog kola, tj. kako �e se ponaxati sistema sa slike 7.12 koji se dobija zatvaraǌemotvorenog kola sa slike 7.13.

Osnovna prednost ovog kriterijuma je xto on mo�e da se koristi i kada matematiqkimodel sistema nije poznat. Tada mo�e eksperimentalno da se odredi uqestanosna karak-teristika otvorenog kola Fok(jω), kao xto je to bilo pokazano u Odeǉku 4.4.4, strana 52.Preduslov za eksperimentalno odre�ivaǌe Fok(jω) je stabilnost otvorenog kola.

U opxtem sluqaju otvoreno kolo mo�e da bude i nestabilno, ali to samo znaqi datada nije mogu�e eksperimentalno odrediti uqestanosnu karakteristiku tog otvorenog kola.Primena Najkvistovog kriterijuma je mogu�a u oba sluqaja: i kada je otvoreno kolo sta-bilno i kada je ono nestabilno.

Da bi se razdvojila primena ovog kriterijuma za sluqaj eksperimentalno snimǉeneFok(jω) od opxteg sluqaja kada je Fok(jω) matematiqki izvedena, razlikova�emo dva sluqaja:


• poseban sluqaj kada je otvoreno kolo stabilno, i kada je mogu�e eksperimentalno odred-iti hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω) - tada se primeǌuje poseban Najkvi-stov kriterijum

• opxti sluqaj kada otvoreno kolo nije stabilno (ono je ili graniqno stabilno ilinestabilno) - tada se koristi opxti Najkvistov kriterijum.

Na osnovu ovoga proistiqe da prilikom primene Najkvistovog kriterijuma najpre trebaispitati polo�aj polova prenosne funkcije otvorenog kola Wok(s) u kompleksnoj ravni, azatim na osnovu osobina stabilnosti Wok(s) primeniti odgovaraju�i kriterijum.

Poseban Najkvistov kriterijum

Ovaj kriterijum se primeǌuje na zatvorene sisteme automatskog upravǉaǌa qije je otvorenokolo stabilno.

Teorema 7.5.2 (Poseban Najkvistov kriterijum) Ako je otvoreno kolo (sl. 7.13) sistemaregulisaǌa (sl. 7.12) stabilno onda je za stabilnost celog sistema regulisaǌa potrebno idovoǉno da deo hodografa uqestanosne karakteristike Fok(jω) otvorenog kola pri pomeni ωod ω = 0 do ω = +∞ niti obuhvati taqku (−1, j0) niti pro�e kroz ǌu.

Na slici 7.14 taqke A i B nisu obuhva�ene hodografom Fok(jω), taqke a i b jesu, a kroztaqke 1, 2, 3 i 4 prolazi hodograf Fok(jω).

j F j!Im ( )ok

Re ( )F j!ok

1 2 3 4a bA B

F j!ok( )

!=0!=�

Slika 7.14. Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω).

Pogledajmo primer eksperimentalno snimǉenog hodografa uqestanosne karakteristikeotvorenog kola Fok(jω) sa slike 4.23, strana 58.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

ReFok(jω)

jIm

Fok(j

ω)

ω = 0ω = +∞

Fok(jω)

(−1, j0)

Slika 7.15. Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω).


Hodograf Fok(jω) sa slike 7.15 obuhvata kritiqnu taqku (−1, j0). Zato se na osnovu iskazaTeoreme 7.5.2 zakǉuquje da je zatvoreni sistem automatskog upravǉaǌa, koji se dobija zat-varaǌem otvorenog kola qiji je hodograf Fok(jω) prikazan na slici 7.15, nestabilan. Prematome, ekpseriment kojim je izvrxeno odre�ivaǌe uqestanosne karakteristike otvorenog kolaFok(jω) ukazuje da to otvoreno kolo ne sme ni u kom sluqaju da se zatvori, jer �e takav za-tvoreni sistem biti nestabilan.

Opxti Najkvistov kriterijum

Ovaj kriterijum se prevashodno primeǌuje u sluqaju da je otvoreno kolo sa slike 7.13 nesta-bilno. Jasno je i iz samog naziva ovog kriterijuma, da je on opxte primenǉiv, tj. mo�e dase primeni i u sluqaju stabilnog otvorenog kola. Ve� je naglaxeno da je ova klasifikacijaizvrxena na osnovu mogu�nosti eksperimentalnog odre�ivaǌa osobina stabilnosti. Pose-ban Najkvistov kriterijum je samo poseban sluqaj ovog kriterijuma, i izdvojen je iz ovogkriterijuma da bi se koristio samo u sluqajevima eksperimentalnog odre�ivaǌa osobinastabilnosti.

U sluqaju primene opxteg Najkvistovog kriterijuma treba:

1. Utvrditi broj polova od Wok(s) sa pozitivnim realnim delom, tj. broj svih polovaod Wok(s) koji le�e u desnoj poluravni ravni, kompleksne ravni s. Ovaj broj �emooznaqavati sa P .

2. Odrediti sve imaginarne polove od Wok(s).Neka je npr. prenosna funkcija otvorenog kola sa slike 7.13 oblika

Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s − 1)

. (7.18)

Polovi Wok(s) su: s∗1 = j, s∗2 = −j, s∗3 = 1, odakle sledi da je P = 1.Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω) se dobija na osnovu pre-

nosne funkcije otvorenog kola Wok(s) kada se svako s zameni sa jω. Drugim reqima, toznaqi da se crta hodograf od Wok(s), ali ne za svako s iz kompleksne ravni, ve� samo zas = jω, tj. samo za taqke koje se nalaze na imaginarnoj osi s-ravni. Na taj naqin nezavisnomeǌaju�i ω od ω = +∞ (vrh imaginarne ose) do ω = −∞ (doǌi kraj imaginarne ose) nacrtase ceo hodograf Wok(s)

∣∣s=jω

, tj. hodograf Fok(jω).Polovi prenosne funkcije predstavǉaju korenove ǌenog imenioca. To znaqi da za s = s∗i ,

i = 1, 2, . . . , μ, imenilac ima nultu vrednost, pa je samim tim moduo prenosne funkcije tadabeskonaqan. U sluqaju crtaǌa hodografa Fok(jω) kada se s meǌa samo du� imaginarne ose,takav sluqaj nastaje kada Wok(s) ima polove na imaginarnoj osi.

−150 −100 −50 0 50 100−150

−100

−50

0

50

100

150

ω→−1+

ω→−1−

ω→1+

ω→1−

ω→ +∞ω→ −∞

ω→ 0+ω→ 0−

ReFok(jω)

ImF

ok(j

ω)

P≡1 ΔΦ≡−1*2π→ ZSAU je stabilan

Fok(jω)

−20 −15 −10 −5 0 5

−5

0

5

ω→ +∞ω→ −∞

ω→ 0+ω→ 0−

ReFok(jω)

ImF

ok(j

ω)

P≡1 ΔΦ≡−1*2π→ ZSAU je stabilan

Slika 7.16. Hodograf uqestanosne karakteristike Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s − 1)

.


Kako Wok(s) iz (7.18) ima dva pola na imaginarnoj osi ±j, odnosno ±jω gde je ω = 1, toznaqi da �e moduo uqestanosne karakteristike A(ω) za uqestanosti ω = 1 i ω = −1 bitibeskonaqan, xto je i ilustrovano hodografom Fok(jω) prikazanim na slici 7.16.

Samim tim u sluqaju da Wok(s) ima polove na imaginarnoj osi oni moraju da se zaobi�u,u suprotnom ulazi se u singularnu taqku i A(ω) poprima beskonaqnu vrednost.

Polovi s∗i = jωi na imaginarnoj osi se zaobilaze po polukrugovima u desnoj poluravnis-ravni, slika 7.17(a). Centri polukrugova su u imaginarnim polovima, a ǌihovi polupreq-nici su oznaqeni sa εi > 0 i mogu da budu proizvoǉno mali tako da u tim polukrugovimanema drugih polova osim onih u ǌihovim centrima.

(b)

(a)

Res

j sIm

s*

i i=-j!

s j!*

i i=

s j!*

i i=

"i

μi

P=3

s

R=�

**

*

*

*

*

*

*

*

Slika 7.17. Raspored polova u s-ravni.

To znaqi da se pri crtaǌu hodografa Wok(s), kompleksni broj s zameǌuje sa:• s = jω, za ω od ω = +∞ (vrh imaginarne ose) do ω = −∞ (doǌi kraj imaginarne ose),

osim u taqkama u kojima se nalaze polovi Wok(s),

• s = jωi + εiejθi xto predstavǉa jednaqinu polukruga, slika 7.17(b), za promenu θi od

+π

2do −π

2i za proizvoǉno malo εi. Ovakvi polukrugovi se crtaju za svaki pol sa

imaginarne ose, slika 7.17(a).Prema tome za s = jω iz (7.18) se dobija

Wok(s)∣∣s=jω

= Fok(jω) =14 − 9ω2 + 12jω

(1 − ω2)(jω − 1). (7.19)

Racionalizacijom prethodne jednaqine ona postaje

Fok(jω) =14 − 9ω2 + 12jω

(1 − ω2)(jω − 1)· jω + 1jω + 1

= Fok(jω) =(14 − 9ω2 + 12jω)(jω + 1)

(1 − ω2)(−ω2 − 1), (7.20)

odnosno

Fok(jω) =21ω2 − 14

1 − ω4︸︷︷︸ReFok(jω)

+j9ω3 − 26ω

1 − ω4︸︷︷︸ImFok(jω)

. (7.21)

Na osnovu tog izraza mo�e da se nacrta hodograf uqestanosne karakteristike Wok(s)∣∣s=jω

.To je ilustrovano slikom 7.16 i to su sve krive osim onih koje su prikazane isprekidanimlinijama - xto oznaqava neograniqeno veliki moduo. Sa slike se vidi da u taqkama ω → 1−,ω → 1+, ω → −1− i ω → −1+ hodograf odlazi u beskonaqnost.


Deo hodografa koji se dobija pri s = jωi + εiejθi , koji je u naxem sluqaju, pri ω = 1,

oblika s = j + εejθ, izraqunava se na slede�i naqin

Wok(s)∣∣s=j+εejθ =

9(j + εejθ)2 + 12(j + εejθ) + 14((j + εejθ)2 + 1)((j + εejθ) − 1)

. (7.22)

Budu�i da je ε proizvoǉno mali broj onda se u svim sabiraǌima on zanemaruje, dok sepri mno�eǌu mora uzeti u obzir. Isto tako ε2 je pri sabiraǌu zanemarǉivo u odnosu na ε.Imaju�i to vidu prethodni izraz se svodi na

Wok(s)∣∣s=j+εejθ =

9(−1 + 2jεejθ + ε2ej2θ) + 12j + 14(−1 + 2jεejθ + ε2ej2θ + 1)(j − 1)

=

=−9 + 12j + 142jεejθ(j − 1)

=5 + 12j

2jεejθ(j − 1)=

√52 + 122ej arctan 12

5

2 · 1ej π2 εejθ

√12 + 12ej arctan 1

−1=

=√

52 + 122

2ε√

2ej(67,4◦−90◦−θ−135◦) =

4, 6ε

ej(−θ−157,6◦).

Za ovaj deo hodografa se zna da mu je moduo beskonaqno veliki. Ceo prethodni raqun jeizveden da bi se naxao argument tog hodografa i on je:

argWok(j + εejθ) = −θ − 157, 6◦.

Da bi se odredilo kako hodograf Fok(jω), sa slike 7.16, prelazi iz taqke ω = 1+ u taqkuω = 1− (xto je mogu�e samo na dva naqina - u smeru kazaǉke na satu ili obrnuto) posmatrase promena argumenta argWok(j + εejθ) kada se θ meǌa od +90◦ do −90◦, slika 7.18.

!=1+

!=1-

s j*i =

μ

"

Slika 7.18. Obilazak pola s∗i = j.−150 −100 −50 0 50 100

−150

−100

−50

0

50

100

150

↓

ω→1+

ω→1−

ReFok(jω)

ImF

ok(j

ω)

Slika 7.19: Deo hodografa Wok(s) od ω = 1+ do ω = 1−.

Na osnovu vrednosti argumenta argWok(j + εejθ) = −θ− 157, 6◦ mo�e da se napravi slede�atabela:

θ 90◦ 0◦ −90◦

argWok(j + εejθ) −247, 6◦ −157, 6◦ −67, 6◦

Tabela 7.1. Promena argumenta argWok(j + εejθ) u funkciji θ.

Na osnovu te tabele se zakǉuquje:


Prelazak iz taqke ω = 1+ u taqku ω = 1− u s-ravni, promenom θ od 90◦ do −90◦,sl. 7.18, prouzrokuje promenu argWok(j+εejθ) prikazanu u tabeli 7.1, xto posmatranou Fok-ravni odgovara prelazu iz taqke ω = 1+ u taqku ω = 1− na naqin prikazan naslici 7.16, odnosno na slici 7.19 gde je prikazan samo razmatrani prelaz.

Drugi prelaz, za negativne uqestanosti, iz taqke ω = −1− u taqku ω = −1+, prema osobiniparnosti ralnog i neparnosti imaginarnog dela Fok(jω),

ReFok(−jω) = ReFok(jω), ImFok(−jω) = −ImFok(jω)

ne treba da se izraqunava, ve� se korix�eǌem te osobine direktno iscrtava, slika 7.16.

Teorema 7.5.3 (Opxti Najkvistov kriterijum) Neka prenosna funkcija otvorenog kolaWok(s) (sl. 7.13) sistema regulisaǌa (sl. 7.12) ima P polova sa pozitivnim realnim delom.Da bi tada taj sistem regulisaǌa bio stabilan potrebno je i dovoǉno da hodograf uqe-stanosne karakteristike ǌegovog otvorenog kola Fok(jω) obuhvati kritiqnu taqku (−1, j0)taqno P puta u negativnom matematiqkom smeru pri promeni ω od ω = +∞ do ω = −∞ i dapri tome ni jednom ne pro�e kroz ǌu.

U sluqaju da prenosna funkcija Wok(s) ǌegovog otvorenog kola ima polove na imaginarnojosi onda se u svim imaginarnim polovima s∗i crta hodograf Wok(jωi + εie

jθi) za promenu θi od+

π

2do −π

2i za proizvoǉno malo εi takvo da se u polukrugu s centrom u jωi i polupreqnika

εi ne nalazi ni jedan pol od Wok(s) razliqit od si = jωi.

Razmatrani SAR qije je otvoreno kolo opisano sa 7.18:

Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s − 1)

ima jedan pol (P = 1) u desnoj poluravni (s∗3 = 1). Hodograf Wok(jω) koji je nadopuǌenhodografima Wok(j + εejθ) i Wok(−j + εejθ) je prikazan na slici 7.16. Na osnovu te slike sezakǉuquje da pri promeni ω od +∞ do −∞ hodograf Fok(jω) obi�e kritiqnu taqku (−1, j0)taqno jedan put u negativnom matematiqkom smeru (u smeru kazaǉke na satu). Na osnovusvega toga i iskaza opxteg Najkvistovog kriterijuma zakǉuquje se da je zatvoreno kolo, tj.sistem regulisaǌa stabilan.

7.5.3 Bodeov kriterijumZa potrebe Najkvistovog kriterijuma crtani su hodografi Fok(jω), pa se ti hodografi nazi-vaju jox i Najkvistovi dijagrami.

Hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω) otvorenog kola sistema regulisaǌa mo�eda se preslika u dijagrame logaritamske amplitudne uqestanosne karakateristike Lok(ω) ifazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω) tog otvorenog kola, koji se jednim imenom nazivaBodeov dijagram.

Bode je formulisao Najkvistov kriterijum pomo�u Lok(ω) i ϕok(ω). Prema tome Bodeov iNajkvistov kriterijum su suxtinski jedan isti kriterijum ali su ǌihovi iskazi razliqitijer su interpretirani u razliqitim koordinatama. Vezu izme�u ta dva kriterijuma najboǉeilustruje slika 7.20

Re ( )F j!ok

j F j!Im ( )ok L !ok( )

!

Slika 7.20. Preslikavaǌe iz linearnih u logaritamske koordinate.

Sa te slike se vidi da:


• jediniqna kru�nica iz linearnih koordinata, koja je opisana sa Aok(ω) = 1 preslikavase u apscisnu osu Lok(ω) = 20 log 1 = 0 u logaritamskim koordinatama

• taqke iz jediniqne kru�nice gde je Aok(ω) < 1 preslikavaju se u doǌu poluravan gde jeLok(ω) < 0

• taqke van jediniqne kru�nice za koje va�i Aok(ω) > 1 preslikavaju se u gorǌu polura-van, Lok(ω) > 0.

Kritiqna taqka (−1, j0) ima moduo jednak jedinici. ǋen argument je π, ali je matemati-qki potpuno ispravno i (2m+1)π gde je m ceo broj, m ∈ Z, tj. m = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .. Prematome ta taqka se preslikava u neograniqeno mnogo likova u Bodeovom dijagramu: Lok(ω) = 0,ϕok(ω) = (2m + 1)π, m ∈ Z.

Broj obilazaka hodografa uqestanosne karakteristike Fok(jω) oko kritiqne taqke (−1, j0)mo�e da se iska�e brojem preseka tog hodografa sa negativnim delom apscisne ose ReFok(jω)i to na intervalu od −∞ do −1, slika 7.21.

(-1,j0)/2+

+

-

-

j F j!Im ( )ok

Re ( )F j!ok

!=0 !=�

Slika 7.21. Preseci Fok(jω) sa apscisom.

Pri tome prelaz je:• pozitivan ⊕ ako Fok(jω) pri pove�aǌu uqestanosti seqe realnu osu pri ω = ω∗ odozgo

na dole, tj. ako se pri pove�aǌu uqestanosti ω vrednost ϕok(ω) pove�ava:

d

dωϕok(ω∗) > 0

• negativan ako Fok(jω) pri pove�aǌu uqestanosti seqe realnu osu pri ω = ω∗ odozdona gore, tj. ako se pri pove�aǌu uqestanosti ω vrednost ϕok(ω) smaǌuje:

d

dωϕok(ω∗) < 0

U sluqaju da ne dolazi do presecaǌa realne ose ve� samo do ǌenog dodirivaǌa, na istinaqin se, kao za preseke, definixu pozitivni polupreseci ⊕/2 i negativni polupreseci /2.Ti preseci i polpreseci u sluqaju Bodeovog dijagrama se odre�uju na osnovu odnosa fazneuqestanosne karakteristike ϕok(ω) i pravih (2m + 1)π za bilo koji ceo broj m, slika 7.22.

/2+

+

+

-

-

/2-

' !ok( )

!¼

-¼

(2 +1)m ¼

!=1!=0

Slika 7.22. Preseci ϕok(ω) sa pravama (2m + 1)π, m ∈ Z.

Na bazi svih ovih razjaxǌena vezanih za vezu Najkvistovog i Bodeovog dijagrama mo�eda se formulixe opxti Bodeov kriterijum.


Opxti Bodeov kriterijum

Forumulacija opxteg Najkvistovog kriterijuma data Teoremom 7.5.3 mo�e da se iska�e naslede�i naqin korix�eǌem Lok(ω) i ϕok(ω):

Teorema 7.5.4 (Opxti Bodeov kriterijum) Neka prenosna funkcija otvorenog kolaWok(s) (sl. 7.13) sistema regulisaǌa (sl. 7.12) ima P polova sa pozitivnim realnim de-lom. Da bi tada taj sistem regulisaǌa bio stabilan potrebno je i dovoǉno

(a) da za uqestanosti ω∗, za koje je Lok(ω∗) = 0, fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω)ne sme da ima ni jednu zajedniqku taqku sa pravama (2m + 1)π:

ϕok(ω∗) �= (2m + 1)π, ∀m ∈ Z

i

(b) da na svim ω intervalima na kojima je Lok(ω) > 0 razlika izme�u ukupnih brojeva poz-itivnih i negativnih preseka i polupreseka fazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω)i pravih (2m + 1)π, za bilo koji ceo broj m, bude jednaka P/2.

Uslov (a) ove teoreme je ekvivalentan delu opxteg Najkvistovog kriterijuma ”i da pritome ni jednom ne pro�e kroz ǌu”, tj. taj deo zabraǌuje prolazak kroz kritiqnu taqku. Uslov(b) se odnosi na broj obilazaka oko kritiqne taqke.

U primeru koji je korix�en za ilustraciju Najkvistovog kriterijuma otvoreno kolo jebilo opisano sa 7.18:

Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s − 1)

i ima jedan pol (P = 1) u desnoj poluravni (s∗3 = 1).Ta prenosna funkcija mo�e da se napixe preko elementarnih prenosnih funkcija na

slede�i naqin:

Wok(s) = −14(

914

s2 +1214

s + 1)

(s2 + 1)−1(1 − s)−1

qiji su dijagrami prikazani na slici 7.23, a zbirni dijagram na slici 7.24.

10−2

100

102

20

22

24

L 1(ω)

[dB

]

10−2

100

102

0

1

2

φ 1(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 2(ω)

[dB

]

10−2

100

102

0

0.5

1

φ 2(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 3(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

−0.5

0

φ 3(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−40

−20

0

L 4(ω)

[dB

]

ω [rad/s]10

−210

010

20

0.5

φ 4(ω)

[π r

ad]

ω [rad/s]

Slika 7.23. Logaritamske uqestanosne karakteristike elementarnih prenosnih funkcija.

Sada se na osnovu iskaza Bodeovog kriterijuma zakǉuquje: s obzirom da je P = 1, arazlika ukupnog broja preseka i polupreseka na ω intervalima na kojima je Lok(ω) > 0 je1/2 − 1 + 1 = 1/2 = P/2 onda je sistem regulisaǌa stabilan.


10−2

10−1

100

101

102

−50

0

50

100

150

L ok(ω

) [d

B]

10−2

10−1

100

101

102

0.5

1

1.5

2

∅ ⊕⊕/2

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [π

rad

]

P≡1 Σ≡0.5 → ZSAU je stabilan

Slika 7.24. Logaritamska uqestanosna karakteristika Wok(s) =9s2 + 12s + 14(s2 + 1)(s − 1)

.

Poseban Bodeov kriterijum

Kao i u sluqaju Najkvistovog kriterijuma kada je dat poseban, jednostavniji oblik koji jepogodan za eksperimentalno utvr�ivaǌe osobina stabilnosti sistema i u ovm sluqaju se izopxteg Bodeovog kriterijuma izdvaja poseban sluqaj kada je otvoreno kolo stabilno.

Teorema 7.5.5 (Poseban Bodeov kriterijum) Ako je otvoreno kolo sistema regulisaǌastabilno onda je za stabilnost celog sistema regulisaǌa potrebno i dovoǉno

(a) da za uqestanosti ω∗, za koje je Lok(ω∗) = 0, fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω)nema ni jednu zajedniqku taqku sa pravama (2m + 1)π:

ϕok(ω∗) �= (2m + 1)π, ∀m ∈ Z i

(b) da na svim ω intervalima na kojima je Lok(ω) > 0 razlika izme�u ukupnih brojeva poz-itivnih i negativnih preseka i polupreseka fazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω)i pravih (2m + 1)π, za bilo koji ceo broj m, bude jednaka nuli.

Pogledajmo primer eksperimentalno snimǉenih Lok(ω) sl. 4.24 i ϕok(ω) sl. 4.25, str. 59.Ta slika i iskaz posebnog Bodeovog kriterijuma ukazuju da je sistem regulisaǌa nestabilan,

100

−20

−15

−10

−5

0

5

ω [rad/s]

L ok(ω

) [d

B]

100

−90

0

90

180

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [d

eg]

Slika 7.25. Logaritamska uqestanosna karakteristika otvorenog kola.


jer ϕok(0) dodiruje pravu (2m+1)π za m = 0, tj. pravu kroz 180◦ i samim tim pravi negativanpolupresek i to u taqki u kojoj je Lok(0) > 0.

Svi prekidi koji su se javǉali kod Najkvistovog dijagrama zbog polova Wok(s) na imag-inarnoj osi, javǉaju se i na Bodeovom dijagramu i vide se kao prekidi prve vrste ϕok(ω).Treba naglasiti jednu osobenost Bodeovog dijagrama, a to je pojava skoka, tj. prekida prvevrste u sluqaju elementarne prenosne funkcije koja predstavǉa negativnu konstantu. Vred-nost fazne uqestanosne karakteristike je tada 180◦. S obzirom da je ϕok(ω) neparna funkcijaonda je ona u nuli vixeznaqna i ǌena vrednost pripada intervalu [−180◦, 180◦]. U sluqajuBodeovog dijagrama gde se koriste logaritamske koordinate poqetna vrednost uqestanostije ω = 0+ pa se tada javǉa skok ϕok(ω) od [0◦, 180◦], slika 7.26. Po definiciji polupreseka to

' !ok( )

!

¼

0

!=1!=0

/2+

ne postoji

polupresek

Slika 7.26. Fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω) za Wok(s) = k, k < 0.

bi bio pozitivan polupresek, me�utim skok sa slike je posledica matematiqkog formalizmazbog ϕok(−ω) = −ϕok(ω). Taj skok ne postoji na Najkvistovom dijagramu (to je jedna taqkaqiji se argument ne meǌa kada se uqestanost meǌa), pa se ni ovde ne uzima u obzir, ve� sesmatra da skoka nema i da je ϕok(0) = 180◦, odakle sledi da ne postoji nikakav presek ilipolupresek. Za ω = 0 skok mo�e da nastane samo od pola u nuli, tj. ako u imeniocu prenosnefunkcije postoji qlan sk, k = 1, 2, . . ..

7.6 Pokazateǉi kvaliteta rada sistema u uqestanosnomdomenu

Dinamiqke osobine sistema su u potpunosti sadr�ane u obliku amplitude i faze ǌegoveuqestanosne karakteristike. Tehniqki zahtevi u pogledu kvaliteta ponaxaǌa sistema uprelaznom radnom re�imu mogu da se postave i na osnovu parametara koji karakterixuizgled tih karakteristika. Poxto je uqestanosna karakteristika realna funkcija uqesta-nosti ω, ona mo�e da se prika�e na vixe naqina. Na slici 7.27 je prikazana samo am-

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

A(ω

)

ωR

MR

ωo

0.707

Slika 7.27. Amplitudna uqestanosna karakteristika sistema.


plitudom, a na slici 7.28 Bodeovim dijagramom, tj. sa dve uporedne slike na kojima sulogaritamska amplitudna i fazna uqestanosna karakteristika. Jox jedan oblik mo�e dase vidi na slici 7.29 gde je uqestanosna karakteristika predstavǉena uqestanosnom karak-teristikom ili Najkvistovim dijagramom. Svaka od tih slika omogu�ava da se utvrde nekiod pokazateǉa kvaliteta dinamiqkog ponaxaǌa sistema, kao xto je to prethodno ura�eno uvremenskom domenu, videti stranu 29.

Sve tri slike su ilustracija istog sistema, qiji matematiqki model u obliku prenosnefunkcija izgleda:

W (s) =1

s3 + 5s2 + s + 1(7.23)

koja �e, zavisno od pokazateǉa koji se razmatraju, predstavǉati prenosnu funkcijuotvorenog ili zatvorenog kola.

10−1

100

−15

−10

−5

0

5

10

ω

L(ω

)

ωo

−3

ω1

20 log1d

10−1

100

−200

−150

−100

−50

0

ω

φ(ω

)

ωπϕpr

Slika 7.28. Bodeov dijagram.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

ϕpr 1d

0 dB

−20 dB−10 dB

−6 dB

−4 dB

−2 dB

20 dB10 dB

6 dB

4 dB

2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Slika 7.29. Najkvistov dijagram.

Osnovni zahtevi u uqestanosnom domenu se izra�avaju kroz rezervu stabilnosti, ilipretek stabilnosti, koji se definixe iskǉuqivo kod zatvorenih sistema qija su otvorenakola stabilna. Kao mera preteka stabilnosti koriste se pretek faze i pretek pojaqaǌa.Pored ǌih prikaza�emo i: propusni opseg, rezonantno izdizaǌe i rezonantnu uqestanost.

ϕpr - pretek faze, se definixe kao

ϕpr = 180◦ + ϕok(ω1),

pri|Fok(jω1)| = Aok(ω1) = 1,

i predstavǉa uglovnu udaǉenost taqke Fok(ω1) od kritiqne taqke (−1, j0)

ϕpr =

⎧⎪⎨⎪⎩


Uqestanost ω1 se naziva - preseqna uqestanost pojaqaǌa. Pretek faze je prikazan naslikama 7.28 i 7.29 i u tim sluqajevima (7.23) predstavǉa prenosnu funkciju otvorenogkola.

d - pretek pojaqaǌa, je definisan kao reciproqna vrednost amplitudne uqestanosne ka-rakteristike otvorenog kola

d =1

Aok(ωπ)= − 1

ReFok(jωπ)

∣∣∣∣ImFok(jωπ)=0

,


pri ϕok(ωπ) = −180◦. Pretek pojaqaǌa je rezerva u pojaqaǌu otvorenog kola do vredno-sti pojaqaǌa koja zatvoreno kolo dovodi na granicu stabilnosti.

d =

⎧⎪⎨⎪⎩


Uqestanost ωπ se naziva - preseqna uqestanost faze. Pretek pojaqaǌa je prikazanna slikama 7.28 i 7.29 i na ǌima prikazana prenosna funkcija (7.23) mora da budeprenosna funkcija otvorenog kola.

ωo - propusni opseg, je odre�en vrednox�u graniqne uqestanosti ωo pri kojoj amplitudauqestanosne karakteristike zatvorenog kola opadne na vrednost 0,707 (slika 7.27),odnosno 20 log(0, 707) = −3dB (slika 7.28). Propusni opseg je mera kvaliteta reproduk-cije signala, a osim toga karakterixe i filterske sposobnosti sistema. U podruqjupropusnog opsega reprodukcija ulaznih signala je zadovoǉavaju�a. Xirina propusnogopsega je u direktnoj vezi sa osobinama prelaznog procesa, ve�em propusnom opseguodgovara kra�e vreme uspona.

MR - rezonantno izdizaǌe, predstavǉa maksimalnu vrednost amplitudne uqestanosne ka-rakteristike zatvorenog kola. Ono je u direktnoj vezi sa vrednox�u preskoka. Naslici 7.27 se vidi vrednost rezonantnog izdizaǌa zatvorenog sistema qija je prenosnafunkcija zatvorenog kola opisana sa (7.23).

ωR - rezonantna uqestanost, je definisana kao uqestanost pri kojoj se javǉa rezonantnoizdizaǌe i ona neposredno utiqe na brzinu reagovaǌa sistema.

Parametri rezerve stabilnosti: pretek faze i pretek pojaqaǌa, mogu lako da se dobijukorix�eǌem funkcije margin koja pozvana sa:

margin(W)

rezultuje dijagramom sa slike 7.30. I u ovom sluqaju prenosna funkcija (7.23) mora da budeprenosna funkcija otvorenog kola.

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = 12 dB (at 1 rad/sec) , Pm = 22.4 deg (at 0.62 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Slika 7.30. Ilustracija preteka faze i preteka pojaqaǌa sistema.

Poglavǉe 8

Sinteza linearnih sitema

Dosadaxǌa izlagaǌa su obuhvatala anlizu linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema.U ovom poglavaǉu bi�e prikazan jedan jednostavan primer sinteze upravǉaqkog sistema zaizabrani objekt. Odre�ivaǌe upravǉaqkog algoritma, tj. ǌegova sinteza ima smisla jedinoako je objekt upravǉiv.

8.1 Koncept upravǉivostiZadaci koji se postavǉaju sistemima automatskog upravǉaǌa zahtevaju da se rexe i slede�iproblemi:

• Da li se razmatrani objekt pod dejstvom upravǉǌa mo�e prevesti iz datog poqetnogstaǌa x0 u nulto ravnote�no staǌe xr = 0x za ograniqeno vreme?

• Da li se to mo�e posti�i za svako poqetno staǌe sistema?Postavǉeni problemi predstavǉaju probleme upravǉivosti staǌa x0 i upravǉivosti

sistema. Ako veliqine staǌa predstavǉaju fiziqke veliqine onda koncept upravǉivostiima fundamentalan tehniqki znaqaj za sisteme automatskog upravǉaǌa.

Na primer, raketa se u trenutku τ1 nalazi u staǌu x1, a potrebno je da se za konaqnovreme T prevede u staǌe x2 pod dejstvom nekog upravǉaǌa. Isto va�i i za parni kotao,turbinu, avion, kompresor, hemijski proces, itd. Ako ovaj zadatak ne mo�e da se izvrxionda nema smisla uvoditi upravǉaǌe tog objekta.

Razmatrani objekt je opisan matematiqkim modelom u prostoru staǌa:

x(t) = Ax(t) + Bu(t), (8.1a)

xi(t) = Cx(t) + Du(t). (8.1b)

Upravǉivost nekog staǌa x0 razmatranog objekta mo�e da se definixe na slede�i naqin.

Definicija 8.1.1 Staǌe x0 objekta (8.1) je upravǉivo ako i samo ako postoji upravǉaǌeu[0,T ] koje taj objekt iz staǌa x0 prevodi u staǌe 0x za konaqno vreme T :

χ(T ;x0;u[0,T ]) = 0x. (8.2)

Na slici 8.1 je prikazna grafiqka interpretacija prethodne definicije.

x0

Â t( ; ; )x u0

Â T( ; ; )x u0 [0, ]T

Â(0; ; )x u0

0x

Slika 8.1. Upravǉivost staǌa x0.

Upravǉivost jednog staǌa ne garantuje upravǉivost svih staǌa objekta. Samim tim sepostavǉa pitaǌe upravǉivosti objekta u slede�em smislu:

153

154 Poglavǉe 8. Sinteza linearnih sitema

Definicija 8.1.2 Objekt (8.1) je kompletno upravǉiv, kra�e: upravǉiv, ako i samo akoje svako ǌegovo poqetno staǌe upravǉivo.

Kao i u prethodnim izlagaǌima i ovde �e biti izlo�ene teoreme koje omogu�avaju jed-nostavnije utvr�ivaǌe osobine upravǉivosti. Kriterijum upravǉivosti treba da omogu�iefikasnu proveru osobine upravǉivosti bez odre�ivaǌa kretaǌa objekta.

Teorema 8.1.1 (Kriterijum upravǉivosti) Da bi objekt (8.1) bio upravǉiv potrebno jei dovoǉno da je rang matrice U

U = (B... AB

... A2B... · · · ... An−1B) (8.3)

jednak redu objektarangU = n, (8.4)

pri qemu su:u ∈ Rr, xi ∈ RN , A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×r, U ∈ Rn×nr.

Na osnovu ove teoreme se zakǉuquje da upravǉivost objekta zavisi:• od sopstvenih dinamiqkih osobina objekta, tj. od dinamiqki osobina procesnog dela

objekta, koje su sadr�ane u matrici A• od karakteristika upravǉaqkih organa objekta xto je izra�eno matricom B.

Primer 28Ispitati upravǉivost objekta qija je jednaqina staǌa oblika:

x =(−1 1−2 0

)x +

(1 −11 −1

)u. (8.5)

U ovom sluqaju je red objekta n = 2, tako da matricu U qine podmatrice B i AB:

U = (B... AB).

Odre�ivaǌem proizvoda AB

AB =(−1 1−2 0

)(1 −11 −1

)=(

0 0−2 0

)

dobija se matrica U

U = (B... AB) =

(1 −1 0 01 −1 −2 0

).

Rang te matrice je 2, a s obzirom da je i red objekta 2

rangU = n = 2,

zakǉuquje se da je dati objekt upravǉiv.Primenom Matlaba postupak odre�ivaǌa upravǉivosti se svodi na ukucavaǌe narednih

linija programa, Upravljivost.m:clear, pack, clc

A = [-1 1;...-2 0];

B = [1 -1;...1 -1];

U = ctrb(A, B)

n = length(A)rang = rank(U)if rang == n

display (’Objekt je upravljiv’);else

display (’Objekt nije upravljiv’);end

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

2

Mirko

Cross-Out

Mirko

Replacement Text

2

8.2. Sinteza PID upravǉaqkog algoritma 155

Matlabov odgovor na ovaj skript je oblika:

U =1 -1 0 01 -1 -2 2

n =2

rang =2

Objekt je upravljiv

8.2 Sinteza PID upravǉaqkog algoritmaPrenosna funkcija PID regulatora mo�e da se prika�e kao:

W (s) = Kp +KI

s+ KDs =

KDs2 + KP s + KI

s, (8.6)

gde su:• KP - koeficijent proporcionalnog dejstva,

• KI - koeficijent integralnog dejstva,

• KD - koeficijent diferencijalnog dejstva.Podsetimo se kako PID regulator funkcionixe u sistemu sa povratnom spregom (u

zatvorenom kolu). Promenǉiva ε(t) predstavǉa grexku regulisanog izlaza u trenutku t,ε(t) = Xiz(t) − Xi(t). Signal grexke je ulaz u regulator koji na bazi ǌe izraqunava prviizvod i integral tog signala, a zatim generixe upravǉaǌe na izlazu regulatora koje jejednako slede�em zbiru :

U(t) = KP ε(t) + KI

∫ t

0

ε(τ)dτ + KD ε(t). (8.7)

Ovaj signal (U) se prosle�uje objektu xto prouzrokuje novu vrednost izlaza Xi.Novonastali izlaz Xi se povratnom spregom xaǉe nazad ka regulatoru koji na bazi togsignala odre�uje nove vrednosti grexke, ǌenog izvoda i integrala i na bazi ǌih novuvrednost upravǉaǌa. Ovaj proces se neprekidno ponavǉa u zatvorenom kolu.

Zavisno od tipa dejstva regulatora mo�e da se utiqe na pojedine dinamiqke osobine up-ravǉanog objekta. Navedimo ukratko osnovna obele�ja pojedinih osnovnih tipova dejstava.

Proporcionalni regulator (KP ) ima osobinu da smaǌuje vreme uspona, smaǌujestatiqku grexku sistema, ali nikada ne mo�e da je u potpunosti eliminixe isvede na nulu. Integralni regulator (KI) jedini svodi statiqku grexku na nuluali kvari pokazateǉe kvaliteta u prelaznom radnom re�imu. Diferencijalniregulator (KD) pove�ava stabilnost sistema i smaǌuje preskok.

Uticaj svakog od pomenutih regulatora (tj. tipa dejstava) na vreme uspona τu, preskokΠ, vreme smireǌa τs i statiqku grexku εs mogu zbirno da se prika�u na slede�i naqin,tabela 8.1. U tabeli su dati uticaji u odnosu na pove�aǌe vrednosti KP , KI i KD.

Regulator τu Π τs εs

KP smaǌuje pove�ava malo utiqe smaǌujeKI smaǌuje pove�ava pove�ava eliminixeKD malo utiqe smaǌuje smaǌuje malo utiqe

Tabela 8.1. Uticaj tipa dejstva regulatora na dinamiqko ponaxaǌe objekta.

Razmotrimo ponovo objekt koji je prikazan na slici 8.2. On predstavǉa telo mase M kojeje oprugom, krutosti k, i hidrauliqnim priguxivaqem, koeficijenta priguxeǌa b, zakaqeno


MF

xi

b

k

Slika 8.2. Objekt: masa sa oprugom i priguxeǌem.

za nepokretni oslonac. Treǌe izme�u toqkova i podloge je zanemarivo malo. Matematiqkimodel objekta mo�e da se prika�e slede�om diferencijalnom jednaqinom:

Mxi(t) + bxi(t) + kxi(t) = F (t), (8.8)

a primenom Laplasove transformacije (pri nultim poqetnim uslovima: poqetno izdu�eǌeopruge i poqetna brzina su nultih vrednosti) dobija se:

Ms2Xi(s) + bsXi(s) + kXi(s) = F (s). (8.9)

Prenosna funkcija objekta je samim tim

W (s) =Xi(s)F (s)

=1

Ms2 + bs + k. (8.10)

Neka su:• M = 1 kg

• b = 10 Ns/m

• k = 20 N/m

• F = 1 NKoriste�i ove brojqane vrednosti prenosna funkcija neupravǉanog objekta postaje:

W (s) =1

s2 + 10s + 20. (8.11)

Odredimo koeficijente regulatora KP ,KI i KD tako da dobijemo• kratko vreme uspona,

• minimalni preskok,

• nultu statiqku grexku.

8.2.1 Neupravǉani objektSlede�i skript fajl ilustruje odre�ivaǌe prelazne funkcije neupravǉanog objekta, tj.odziv objekta na jediniqnu odskoqnu funkciju F (t) = h(t).

clear, pack, close all, clct = 0:0.01:2;figure (1);num = [0 0 1];den = [1 10 20];[y, x, t] = step(num, den, t);plot (t, y); grid onxlabel (’t [s]’);ylabel (’g(t) [m]’);


0 0.5 1 1.5 20

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

t [s]

g(t)

[m]

Slika 8.3. Jediniqni odskoqni odziv neupravǉanog objekta.

Izvrxavaǌem ovog skripta u Matlabu dobija se slika 8.3.Slika ilustruje aperiodiqnost odziva i proporcionalni tip dejstva neupravǉanog ob-

jekta qije je poziciono pojaqaǌe (graniqna vrednost prelazne funkcije) 0, 05 m, xto znaqida mu je statiqka grexka izuzetno velika i iznosi εs = 0, 95 m.

Korix�eǌem Matlaba lako mogu da se odrede i svi pokazateǉi kvaliteta prelazne funk-cije u ovom sluqaju neupravǉanog objekta i to na slede�i naqin:

% odredjivanje pokazatelja kvaliteta prelazne funkcije>> num = [0 0 1];>> den = [1 10 20];>> dt = 0.001;>> K = 0.05;>> t = 0:dt:2;>> [y, x, t] = step(num, den, t);

% trenutak kada odziv dostizhe 10%>> r = 1;>> while y(r) < 0.1001*K; r = r + 1; end>> vreme_uspona_10 = (r - 1)*dt

vreme_uspona_10 =0.1220

% trenutak kada odziv dostizhe 90%>> r = 1;>> while y(r) < 0.9001*K; r = r + 1; end>> vreme_uspona_90 = (r - 1)*dt

vreme_uspona_90 =1.0070

% vreme uspona>> vreme_uspona = vreme_uspona_90 - vreme_uspona_10

vreme_uspona =0.8850

>> %vreme smirenja za 2%


>> r = length(t);>> while y(r) > 0.98*K & y(r) < 1.02*K; r = r - 1; end>> vreme_smirenja = (r - 1)*dt

vreme_smirenja =1.5890

Sa dinamiqkog stanovixta ovaj objekt je izuzetno nekvalitetan: statiqka grexka εs =0, 95 m, vreme uspona τu = 0, 885 s i vreme smireǌa τs = 1, 589 s.

Uvo�eǌe regulatora za upravǉaǌe tog objekta ima za ciǉ da novi sistem (sistemautomatskog regulisaǌa), koga qine povratno spregnuti regulator i objekt, obezbedi boǉedinamiqko ponaxaǌe upravǉanog objekta (od neupravǉanog), tj. uvedeni regulator treba dasmaǌi vrednosti vremena uspona i smireǌa i da neutralixe statiqku grexku.

8.2.2 Objekt upravǉan P regulatoromBlok dijagram sistema automatskog regulisaǌa je oblika

KP� 1

s2 + 10s + 20�

��

��Xu(s) U(s) Xi(s)

Slika 8.4. SAR sa P regulatorom.

Prenosna funkcija zatvorenog sistema se izraqunava na poznati naqin:

W (s) =KP

1s2 + 10s + 20

1 + KP1

s2 + 10s + 20

=KP

s2 + 10s + 20 + KP. (8.12)

Odziv SAR-a (sistema automatskog regulisaǌa) na Hevisajdovu pobudnu funkciju, a uzavisnosti od parametra KP proporcionalnog regulatora mo�e da se dobije narednim skrip-tom. Rezultati su prikazani na slici 8.5 i trodimenzionalno na slici 8.6.

clear, pack, close all, clct = 0:0.005:2;figure (1);korak = 50;broj = 6;for n = 1:broj

Kp = n*korak;num_r = [Kp];den_r = [1];regulator = tf(num_r, den_r);num_o = [1];den_o = [1 10 20];objekt = tf(num_o, den_o);gg = series(regulator, objekt);sistem = feedback(gg, 1);[y(1:length(t),n), t] = step(sistem, t);

endplot (t, y(:, 1), ’b’, ’LineWidth’, 1.4); grid on; hold onplot (t, y(:, fix(end/2)), ’g’, ’LineWidth’, 1.6);plot (t, y(:, end), ’r’, ’LineWidth’, 1.8);

xlabel (’t [s]’);ylabel (’g(t) [m]’);


Kp = korak:korak:broj*korak;legend([’Kp=’ num2str(Kp(1))],...

[’Kp=’ num2str(Kp(fix(broj/2)))],...[’Kp=’ num2str(Kp(broj))]);

% trodimenzionalni dijagramfigure (2)mesh (t, Kp, y’)view ([1 -1 1])xlabel (’t [s]’)ylabel (’K_p’)zlabel (’g(t)’)

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

g(t)

[m]

Kp=50Kp=150Kp=300

Slika 8.5. Prelazna funkcija objekta upravǉanog P regulatorom.

0

0.5

1

1.5

2 50100

150200

250300

0

0.5

1

1.5

Kpt [s]

g(t)

Slika 8.6. Prelazna funkcija objekta upravǉanog P regulatorom.

Slike 8.5 i 8.6 potvr�uju ono xto je u tabeli 8.1 prikazano:Pove�aǌe pojaqaǌa regulatora, tj. koeficijenta KP dovodi do smaǌeǌa vrednostivremena uspona i do smaǌeǌa vrednosti statiqke grexke, ali dolazi do pove�aǌapreskoka i smaǌeǌa rezerve stabilnosti (videti str. 151).


Za izraqunavaǌe ekvivalentne prenosne funkcije (8.12) mo�e da se koristi Matlabovafunkcija feedback(sys1, sys2), pri qemu je sys1 prenosna funkcija glavne grane, a sys2prenosna funkcija povratne grane. U naxem sluqaju prenosna funkcija povratne grane jejednaka jedinici, Wpg(s) = 1. Usvojimo da je vrednost koeficijenta KP = 300.

>> Kp = 300;>> num = 1;>> den = [1 10 20];>> Wgg = tf(Kp*num, den);>> Wpg = 1;>> Wsar = feedback(Wgg, Wpg)

Transfer function:300

----------------s^2 + 10 s + 320

8.2.3 Objekt upravǉan PD regulatoromPogledajmo xta se dexava kada se nax objekt upravǉa PD regulatorom. Iz tabele 8.1proizilazi da diferencijalno dejstvo smaǌuje i preskok i vreme smireǌa. Blok dijagramsistema automatskog regulisaǌa je prikazan na slici 8.7, a ekvivalentna prenosna funkcija

KP + KDs � 1s2 + 10s + 20

�

��


Slika 8.7. SAR sa PD regulatorom.

SAR-a je:

W (s) =(KP + KDs)

1s2 + 10s + 20

1 + (KP + KDs)1

s2 + 10s + 20

=KDs + KP

s2 + (10 + KD)s + 20 + KP. (8.13)

Odre�ivaǌe ekvivalentne prenosne funkcije sistema SYS, koji u sebi sadr�i podsistemeSYS1 i SYS2, koji su redno, paralelno ili povratno spregnuti u sistem SYS mo�e da sesprovede korix�eǌem Matlabovih funkcija:

• SYS = series(SYS1, SYS2)

• SYS = parallel(SYS1, SYS2)

• SYS = feedback(SYS1, SYS2)

Na osnovu blok dijagrama 8.7 mo�e da se zakǉuqi da su regulator i objekt redno spreg-nuti, a onda oni zajedno povratno spregnuti sa mernim organom u povratnoj sprezi jediniqneprenosne funkcije. To znaqi da slede�e linije Matlab koda dovode do ekvivalentne prenosnefunkcije SAR-a.

% PD regulatorKp = 300;Kd = 20;numR = [Kd Kp];denR = [0 1];% objektnumO = [1];denO = [1 10 20];


% prenosna funkcija glavne grane[numGG denGG] = series(numR, denR, numO, denO);Wgg = tf(numGG, denGG);% prenosna funkcija povratne granenumPG = [1];denPG = [1];Wpg = tf(numPG, denPG);% prenosna funkcija SAR-aSYS = feedback(Wgg, Wpg);Wsar = tf(SYS)

Izvrxeǌem ovog skripta u Matlabu dobija se:

Transfer function:20 s + 300----------------s^2 + 30 s + 320

Neka je KP = 300 kao u prethodnom odeǉku. Pogledajmo uticaj KD na kvalitet prelaznefunkcije upravǉanog objekta, korix�eǌem slede�eg skripta, KolicaPD.

clear, pack, close all, clct = 0:0.01:2;figure (1);korak = 100;broj = 20;Kp = 300;for n = 1:broj

Ki = (n-1)*korak + 1;num = [Kp Ki];den = [1 10 20+Kp Ki];y(1:length(t),n) = step(num, den, t);

endplot (t, y(:, 1), ’b’, ’LineWidth’, 1.4); grid onhold onplot (t, y(:, fix(end/2)), ’g’, ’LineWidth’, 1.6);plot (t, y(:, end), ’r’, ’LineWidth’, 1.8);


Ki = 1:korak:(broj-1)*korak+1;legend([’Ki=’ num2str(Ki(1))],...

[’Ki=’ num2str(Ki(fix(broj/2)))],...[’Ki=’ num2str(Ki(broj))]);

% trodimenzionalni dijagramfigure (2)mesh (t, Ki, y’)view ([1 -1 1])xlabel (’t [s]’)ylabel (’K_i’)zlabel (’g(t)’)

Kao rezultat se dobijaju slike 8.8 i 8.9. Dijagrami sa tih slika potvr�uju da jeuvo�eǌem diferencijalnog dejstva smaǌena vrednost preskoka i vremena smireǌa, a da jeuticaj na vreme uspona i statiqku grexku zanemariv.


0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

g(t)

[m]

Kd=1Kd=20Kd=40

Slika 8.8. Prelazna funkcija objekta upravǉanog PD regulatorom.

0

0.5

1

1.5

2 0

10

20

30

400

0.5

1

1.5

Kpt [s]

g(t)

Slika 8.9. Prelazna funkcija objekta upravǉanog PD regulatorom.

8.2.4 Objekt upravǉan PI regulatorom

Pre nego xto izvrximo simulaciju i izbor koeficijenta KI za PID regulator razmotrimojedan regulator koji se vrlo qesto koristi u praksi - PI regulator. Iz tabele 8.1 sevidi da integralno dejstvo predstavǉeno koeficijentom KI (pove�aǌe tog koeficijenta)smaǌuje vreme uspona, pove�ava preskok i vreme smireǌa i eliminixe statiqku grexku.Blok dijagram SAR-a qiji regulator ima PI dejstvo je oblika prikazanog na slici 8.10.

KP +KI

s� 1

s2 + 10s + 20�

��


Slika 8.10. SAR sa PI regulatorom.


Prenosna funkcija za razmatrani sistem automatskog upravǉaǌa objekta sa slike 8.2 je:

W (s) =

(KP +

KI

s

)1

s2 + 10s + 20

1 +(

KP +KI

s

)1

s2 + 10s + 20

=KP s + KI

s3 + 10s2 + (20 + KP )s + +KI. (8.14)

Simulacija rada tog sistema se vrxi slede�im Matlab programom, KolicaPI.m

clear, pack, close all, clct = 0:0.01:2;figure (1);korak = 100;broj = 20;Kp = 300;for n = 1:broj

Ki = (n-1)*korak + 1;num = [Kp Ki];den = [1 10 20+Kp Ki];y(1:length(t),n) = step(num, den, t);

endplot (t, y(:, 1), ’b’, ’LineWidth’, 1.4); grid onhold onplot (t, y(:, fix(end/2)), ’g’, ’LineWidth’, 1.6);plot (t, y(:, end), ’r’, ’LineWidth’, 1.8);


Ki = 1:korak:(broj-1)*korak+1;legend([’Ki=’ num2str(Ki(1))],...

[’Ki=’ num2str(Ki(fix(broj/2)))],...[’Ki=’ num2str(Ki(broj))]);

% trodimenzionalni dijagramfigure (2)mesh (t, Ki, y’)view ([1 -1 1])xlabel (’t [s]’)ylabel (’K_i’)zlabel (’g(t)’)

Slike 8.11 i 8.12 pokazuju da pove�aǌe koeficijenta KI integralnog dejstva br�e neu-tralixe statiqku grexku, ali do neke granice. Posle toga sistem postaje oscilatoran idaǉe pove�aǌe uticaja integralnog dejstva mo�e da odvede sistem u nestabilnost. Zatose umaǌuje vrednost KP na 30, a za KI se usvaja 70. Novi m-fajl koji ilustruje ponaxaǌesistema za te parametre je:

Kp = 30;Ki = 70;num = [Kp Ki];den = [1 10 20+Kp Ki];t = 0:0.01:2;step(num, den, t)grid

Rezultati proistekli iz prethodnog skripta su prikazani na slici 8.13. Vrednost ko-eficijenta KP je umaǌena iz razloga xto integralni regulator tako�e umaǌuje vrednostvremena uspona i pove�ava preskok kao i proporcionalni regulator (dupli efekat). Odzivsa slike 8.13 pokazuje da integralni regulator eliminixe statiqku grexku.

Mirko

Pencil


0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t [s]

g(t)

[m]

Ki=1Ki=901Ki=1901

Slika 8.11. Uticaj KI na prelaznu funkciju objekta.

0

0.5

1

1.5

2 0

500

1000

1500

20000

0.5

1

1.5

2

Kit [s]

g(t)

Slika 8.12. Prelazna funkcija objekta u funkciji parametra KI .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 8.13: Prelazna funkcija objekta upravǉanog PI regulatorom pri KP = 30 i KI = 70.


8.2.5 Objekt upravǉan PID regulatoromNa kraju, pogledajmo i PID regulator. Blok dijagram i prenosna funkcija zatvorenog kolatj. SAR-a su prikazani slikom 8.14 i izrazom (8.15), sledstveno. Blok dijagram sistemaautomatskog regulisaǌa je oblika

KP +KI

s+ KDs � 1

s2 + 10s + 20�

��


Slika 8.14. SAR sa PID regulatorom.

W (s) =

(KP +

KI

s+ KDs

)1

s2 + 10s + 20

1 +(

KP +KI

s+ KDs

)1

s2 + 10s + 20

=KDs2 + KP s + KI

s3 + (10 + KD)s2 + (20 + KP )s + KI. (8.15)

Imenilac prenosne funkcije je karakteristiqni polinom f(s) koji je oblika:

f(s) =3∑

k=0

cksk = s3 + (10 + KD)s2 + (20 + KP )s + KI . (8.16)

ǋegova tri korena su polovi prenosne funkcije i oni direktno odre�uju kako stabil-nost kao osnovnu dinamiqku osobinu sistema, tako i ostale zahtevane pokazateǉe kvalitetadinamiqkog ponaxaǌa sistema.

Prema tome sinteza SAR-a za dati objekt i izbor parametara PID regulatora je u direk-tnoj vezi sa korenovima karakteristiqnog polinoma f(s). U naxem sluqaju karakteristiqnipolinom je tre�eg reda xto znaqi da on mo�e da se faktorizovano prika�e u obliku

f(s) = s3 + c2s2 + c1s + c0 = (s − s∗1)(s − s∗2)(s − s∗3). (8.17)

Jedan od naqina da se definixu zahtevi za kvalitet �eǉenog dinamiqkog ponaxaǌasistema je da se definixe raspored korenova ǌegovog karakteristiqnog polinomaf(s).

To znaqi da se kriterijum za izbor parametara regulatora definixe vrednostima: s∗1,s∗2 i s∗3. Kada su definisane �eǉene pozicije sva tri korena onda mogu da se izraqunaju ikoeficijenti ci, ∀i = 0, 1, 2, (c3 = 1), pa se na osnovu (8.16) i (8.17) dobijaju tri jednaqinesa tri nepoznate (KP , KI i KD):

10 + KD = c2, (8.18a)

20 + KP = c1, (8.18b)

KI = c0. (8.18v)

Neka su polovi zatvorenog sistema - SAR-a prema usvojenom kriterijumu optimalnostislede�i (izabrani su tako da prelazna funkcija SAR-a ima oblik prikazan na slici 8.15):

s∗1 = −50 s∗2,3 = −3 ± j1, 0.

Direktnim ukucavaǌem �eǉenih vrednosti korenova u Matlabovom komandnom prozoru:

>> s = [-50 -3+i -3-i]

s =-50.0000 -3.0000 + 1.0000i -3.0000 - 1.0000i


jednostavno se dobijaju koeficijenti karakteristiqnog polinoma f(s) preko Matlabovefunkcije poly()

>> poly(s)

ans =1 56 310 500

tako da je karakteristiqni polinom oblika:

f(s) = s3 + 56s2 + 310s + 500,

a tra�eni koeficijenti karakteristiqnog polinoma:

c3 = 1 c2 = 56 c1 = 310 c0 = 500.

Sada se prema (8.18) dobija:

KP = c1 − 20 = 290 KI = c0 = 500 KD = c2 − 10 = 46.

koji obezbe�uju zahtevano dinamiqko ponaxaǌe upravǉanog objekta.

s = [-50 -3+i -3-i];c = poly(s);Kp = c(3) - 20;Ki = c(4);Kd = c(2) - 10;num = [Kd Kp Ki];den = [1 10+Kd 20+Kp Ki];t = 0:0.01:2;step(num, den, t);grid

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 8.15. Prelazna funkcija objekta upravǉanog PID regulatorom.

Rezultati pokazuju da sistem u ovom sluqaju nema preskoka, da je izuzetno brz, tj. da muje vreme uspona vrlo malo i da mu je statiqka grexka jednaka nuli, slika 8.15.

Raspored nula i polova prenosne funkcije sistema sys mo�e vrlo ilustrativno da sedobije komandom pzmap(sys), slika 8.16. Pri tome, ako se pokazivaqem mixa poka�e na nekiod polova ili nula i klikne levim tasterom, dobijaju se detaǉne informacije o ǌima, kaoxto je prikazano na istoj slici 8.16.

pzmap(num, den)axis equal


Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

−50 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0

−15

−10

−5

0

5

10

15

0.220.420.60.740.840.91

0.96

0.99

0.220.420.60.740.840.91

0.96

0.99

10203040

System: sysPole : −3 + 1i

Damping: 0.949Overshoot (%): 0.0081

Frequency (rad/sec): 3.16

System: sysZero : −3.15 − 0.966i

Damping: 0.956Overshoot (%): 0.0035

Frequency (rad/sec): 3.3

System: sysPole : −50Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 50

Slika 8.16. Raspored nula i polova prenosne funkcije SAR-a u s ravni.

Polovi i nule prenosne funkcije mogu da se odrede i na slede�e naqine:>> W = tf(num, den)

Transfer function:46 s^2 + 290 s + 500

--------------------------s^3 + 56 s^2 + 310 s + 500

>> polovi = pole(W)

polovi =-50.0000-3.0000 + 1.0000i-3.0000 - 1.0000i

>> polovi = roots(den)

polovi =-50.0000-3.0000 + 1.0000i-3.0000 - 1.0000i

>> nule = zero(W)

nule =-3.1522 + 0.9661i-3.1522 - 0.9661i

>> nule = roots(num)

nule =-3.1522 + 0.9661i-3.1522 - 0.9661i

Ovo pokazuje da je ispitivaǌe osobina stabilnosti sistema za koji se poseduje matemati-qki model izuzetno jednostavno. Odre�ivaǌem rasporeda polova prenosne funkcije sistemau s ravni nedvosmisleno se donosi zakǉuqak o ǌegovoj stabilnosti.

automatsko - predavanja

Documents