automatsko upravljanje - auditorne vjezbe

8/7/2019 Automatsko Upravljanje - Auditorne Vjezbe

http://slidepdf.com/reader/full/automatsko-upravljanje-auditorne-vjezbe 1/22

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

Fakultet elektrotehnike i računarstva

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić

A U T O M A T S K O U P R A V L J A N J E

Audi t orne v j ežbe

Zagreb , 1998 .



AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe

Zadatak A.2.1.: Matemati č ki model spremnika tekuć ine

Za spremnik tekućine prema slici postaviti matematički model. Matematički model prikazati i

pomoću strukturnog blokovskog prikaza.

qi(t )

qu(t )

h(t )

qu(t ) – ulazna veličina u proces (dotok), [m3/s]

qi(t ) – odtok, [m3/s]h(t ) – izlazna veličina procesa, [m].

Ovdje je:

A – poprečni presjek spremnika

a – poprečni presjek izlazne cijevi

Zadatak A.2.3.: Centrifugalno njihalo

Na slici je prikazana shema centrifugalnog njihala (J. Watt, regulacija brzine vrtnje parnih

strojeva)

r 0

l

Fc

Fd

α

ω

α

r

Fg

m

O

ω - mjerena brzina vrtnje pogonskog vratilaα - kut, izlazna veličina mjernog sustava

O – zglob




Za centrifugalno njihalo treba odrediti nelinearnu diferencijalnu jednadžbu:

0)'',',,( =α α α ω f .

Pri tome se zamišlja da je na kraju bezmasene šipke duljine l koncentrirana masa m.

d F – prigušna (kočna) sila

'α ⋅= k F d ,

Povratno djelovanje gibanja njihala na pogonsku osovinu zanemaruje se (ω (t ) smatra se “utisnutom”veličinom).

a) Kako glasi diferencijalna jednadžba za radijalno gibanje α (t ) njihala?

b) Koji se kut α 0 postavlja u stacionarnom stanju za ω = ω 0 = konst ? Dobivenu nelinearnu ovisnost

α 0(ω 0) riješiti numerički i grafički prikazati za r 0/l = 0.5.

c) Linearizirati diferencijalnu jednadžbu za mala odstupanja Δω , Δα od stacionarnog stanja ω 0, α 0.

d) Prikazati prijelaznu funkciju – odziv Δα (t ) uz skokovitu promjenu Δω (t ).

Zadatak A.2.4.: Element od ogrjevne žice

Na slici je prikazan element od ogrjevne žice koji se napaja promjenljivim naponom u(t ).

Električka nadomjesna shema sastoji se od serijski spojenih induktiviteta L i temperaturno ovisnog

otpornika R(ϑ ).

u

Li

)(ϑ Rϑ )(ϑ R

nadomjesna

shema

u

Temperaturna ovisnost otpora dana je relacijom:

)1()( ϑ α ϑ ⋅+⋅= R R , gdje je α temperaturni koeficijent.

Pretpostavimo da ogrjevna žica mase m i specifične topline c emitira toplinu u okolinu, koja se

sastoji od konvekcije i zračenja:

.4ϑ σ ϑ ⋅+⋅= k Pod

a) Kako glase diferencijalne jednadžbe za struju i(t ) i za temperaturu ϑ (t ) ogrjevne žice?

b) Koji odnosi vrijede za veličine u radnoj točki?

c) Odrediti linearne diferencijalne jednadžbe za normirana odstupanja od radne točke.

d) Eliminacijom Δi dobiti diferencijalnu jednadžbu 2. reda s obzirom na Δϑ .

e) Skicirati, bez računanja, tok Δϑ pri skokovitoj promjeni napona.




Zadatak A.4.1.: Prijenosna funkcija elektroni č kog pojač ala

Za pojačala prikazana na slici 4.1.

-

+

u

R1

U1 U

2

A0

I0

R2 /2 R

2 /2

R3

C2

a)

-

+

u

R1

U1

A0

I0

R3

R4

R5

C4

C3

0

α

1

Rp

Rp<<R

4b)

Sl. 4.1.

potrebno je odrediti:

a) Prijenosne funkcije G sU s

U s( )

( )

( )=

2

1

,

b) Skicirati Nyquistove dijagrame,

c) Izračunati i skicirati prijelaznu funkciju.

Pretpostavlja se da je operacijsko pojačalo idealno (U0 ≈ 0, I0 ≈ 0, A0 → ∞).

Zadatak A.4.2.: Sklop analognog rač unala

Slika 4.2. prikazuje sklop analognog računala koji se sastoji od triju idealnih operacijskih pojačala

i pridružene im pasivne mreže.

-

+

R

U1

U2

R

C

-

+

-

+

U3 U4

R

R

2R

S

R C1

Sl. 4.2.

a) Potrebno je odrediti prijenosne funkcije: G sU s

U s1

2

1

( )( )

( )= , G s

U s

U s2

3

2

( )( )

( )= , G s

U s

U s3

4

3

( )( )

( )=

uz otvorenu sklopku S. Nacrtani sklop prikazati blokovskom shemom.

b) Odrediti prijenosnu funkciju G sU s

U s z( )

( )

( )=

4

1

uz zatvorenu sklopku S.

c) Kako odabrati kondenzator C1 da se dobije prigušeni oscilatorni proces s relativnim koeficijentom

prigušenja ζ =2

2nakon skokovite pobude?

d) Odrediti geometrijsko mjesto polova u kompleksnoj ravnini za G uz promjenljivi Cs z( ) 1.




Zadatak A.6.1.: Primjena Nyquistovog kriterija za ispitivanje stabilnosti sustava s mrtvim

vremenom

Treba odrediti područ je vrijednosti K R za koje će zatvoreni regulacijski krug biti stabilan.

Poznato je:

Tt = 1 s

T = 0,1 sK s = 1

-

+G s K R R( ) = G s

K e

Tss

ssT t

( ) =+

−

1

XR

U Y

Zadatak A.6.2.: Nyquistov i Bodeov dijagram

Sustav s prijenosnom funkcijom G s G e j( ) = ϕ sastoji se od serijskog spoja triju elemenata (prema

slici):

G sT s

1

1

1( ) = ; G s ;K T s2 2 1( ) ( )= + 2 G s

K

T s3

3

31( ) =

+.

G1(s) G

2(s) G

3(s)

X Y1

Y2

Y

a) Skicirati Nyquistov dijagram pojedinačno za svaki element.

b) Odrediti Bodeov dijagram za prijenosnu funkciju G s G s G s G s( ) ( ) ( ) ( )= 1 2 3 uz sljedeće vrijednosti

parametara:

T1 = 1 s, T2 = 100 ms, T3 = 10 ms, K 2 = 2.5, K 3 = 2.

Pri tome se koristi aproksimacijom pravcima Bodeovog dijagrama.

c) Izračunati frekvenciju ωm uz koju fazno-frekvencijska karakteristika ima maksimalnu vrijednost.

Kolika je vrijednost ϕm = ϕ(ωm)?

d) Kako odabrati integralno vrijeme T1 = T10 da bi se postiglo G j m( )ω = 1, odnosno da Nyquistov

dijagram siječe jedinični krug kod ω = ωm.e) Skicirati Nyquistov dijagram G(jω) za T1 = T10 u kompleksnoj G - ravnini na temelju asimptota

G(jω) i poznavanja Bodeovog dijagrama.

Zadatak A.6.3.: Regulacija elektri č kog luka

Na slici je prikazana nadomjesna shema aparata za zavarivanje. Električki luk regulira se

upravljanjem istosmjernim naponom U0 preko otpora R i induktiviteta L. Električki luk se

pojednostavljeno opisuje pomoću nelinearne karakteristike

uU i

I B

B

= 1 , (1)




gdje su UB i IB fiksne bazne veličine.

R

u0

u

L

i

ii1

IB

UB

u1

u

u = f(i)

radna

točka

a) Kako glasi diferencijalna jednadžba za i(t) pri promjenjivom naponu napajanja u0(t)? Prikazati

diferencijalnu jednadžbu u normiranom obliku.

b) Nelinearnu diferencijalnu jednadžbu (dobivenu pod a) linearizirati za mala odstupanja Δi u okolišu

radne točke i1. Kako glasi pripadajuća normirana prijenosna funkcija G s L i I

L u U

B

B

( )( / )

( /=

Δ

Δ )?

c) Koji se uvjet mora ispuniti da bi aparat za zavarivanje radio stabilno u željenoj radnoj točki uz

konstantan napon napajanja u = U01 ? Koje konsekvence ima ovaj uvjet na stupanj korisnosti

aparata za zavarivanje?

d) Nacrtati Nyquistov dijagram G(jω) za tri vrijednosti predotpora R i to za slučaj granice stabilnosti

(R = R S), za stabilno stanje (R > R S) i za nestabilno stanje (R < R S).

e) Da bi se smanjili gubici u predotporu aparat za zavarivanje treba imati regulaciju po struji. U tu se

svrhu napon napajanja dobiva iz upravljivog pojačala snage. Nacrtajte blokovski prikaz

regulacijskog kruga te pokažite da se regulatorom P-djelovanja odgovarajućeg pojačanja može

postići stabilan rad aparata za zavarivanje.

Zadatak A.6.4.: Nyquistov kriterij i fazno osiguranje

Regulacijski krug je opisan pomoću prijenosne funkcije otvorenog kruga:

0

1 2 31 1G s

K

T s T s T s( )

( ) (=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ).

Identifikacijom su određeni parametri procesa:

K = 1, T 2 = 0.5 s, T 3 = 0.1 s.

Da bi zatvoreni regulacijski krug bio dovoljno prigušen potrebno je da podesivi parametar T 1 ima

određenu vrijednost.

a) Odrediti integralno vrijeme T 1= T 11 tako da se postigne fazno osiguranje γ=450. Nacrtati Bodeov i

Nyquistov dijagram za ovaj slučaj. Kako se odražava mijenjanje T 1 na Nyquistov dijagram?

b) Odrediti prijenosnu funkciju zatvorenog regulacijskog kruga G z(s). Za slučaj T 1= T 11 odrediti polove

od G z(s) i relativni koeficijent prigušenja ζ oscilatornog dijela.c) Za koju se vrijednost integralnog vremena T 1= T 10 dobije nestabilan regulacijski krug?




Zadatak A.8.1.: Regulacija primjenom P-regulatora

Na slici je prikazan regulacijski krug koji se sastoji od procesa (PT1-član) i P-regulator s

usporenjem prvog reda. Potrebno je odrediti pojačanje K R i vremensku konstantu T R člana za usporenje

regulatora.

XR

-

+

z

Regulator $= GR (s) Proces $= Gs(s)

+

+u

K R

T R

1

T 1

a) Prikazati izlaznu veličinu y(s) kao funkciju x R(s) i smetnje z(s).

b) Odrediti prirodnu frekvenciju neprigušenih oscilacija ω n i relativni koeficijent prigušenja ζ .

c) Odrediti K R i T R tako da se postigne ζ =0,707 . Izračunati i skicirati, za ζ =0,707, ovisnosti K R= f 1(T 1 /T R)

i ω n = f 2(T 1 /T R).

d) Skicirati za tako određeni regulator Bodeov dijagram prijenosne funkcije otvorenog kruga G0(jω).

e) Skicirati prijelazne funkcije h x(t) i h z(t).

Zadatak A.8.2.: Regulacija nestabilnog procesa

Nestabilni proces drugog reda (Sl.8.2.) treba stabilizirati pomoću regulatora proporcionalnog

djelovanja.

-

+ K R K s

(T 1s-1)(T 2s+1)Y

XR

Sl.8.2.

Poznato je: T1,T2 > 0, te K S.

a) Skicirati krivulju mjesta frekvencijske karakteristike otvorenog kruga G0(jω) te analizirati stabilnost

regulacijskog kruga promoću Nyquistovog kriterija za različite vrijednosti parametara K R , T1 i T2.

b) Gdje leže polovi prijenosne funkcije otvorenog sustava G0(s) i prijenosne funkcije zatvorenog sustava

GZ(s)? Koje je uvjete potrebno ispuniti da bi zatvoreni regulacijski krug s proporcionalnimregulatorom bio stabilan?

c) Za koje se vrijednosti K 0=K R ⋅ K S može očekivati prigušeno vladanje regulacijskog kruga? Izračunati

vrijednost pojačanja K 0 kojim se postiže relativni koeficijent prigušenja ζ =2

2. Skicirati krivulju

mjesta korjena za 0 < K 0 < ∝.

d) Izračunati i skicirati prijelaznu funkciju zatvorenog regulacijskog kruga hx(t).

Zadatak A.8.3.: Regulacija ‘elasti č nog’ mehani č kog sustava

Na slici 8.3. prikazan je pojednostavljeni mehanički model gdje motor pogoni, preko ‘elastične’

osovine, teret zamašne mase (momenta inercije) Jt. Zamašne mase motora i osovine zanemariti (u odnosu

na zamašnu masu tereta).




Jt

mf

ω2, ϕ

2ω

1, ϕ

1, m

Motor

Sl.8.3.

ω1 i ϕ1 su brzina vrtnje i kut zakreta osovine na pogonskoj strani, a ω2 i ϕ2 odgovarajuće veličine na

strani tereta. Pri tome je ϕ1-ϕ2 kut torzije. Konstanta krutosti osovine je cf =m/(ϕ1-ϕ2), gdje je m na teret

prenešen zakretni moment. Neka na teret djeluje moment trenja mf =k f ω2.

a) Kako glasi diferencijalna jednadžba gibanja tereta ako se ω1 promatra ‘utisnutom’ veličinom?

Jednadžbu prikazati u normiranom obliku.

b) Prikazati matematički model procesa pomoću blokovske sheme iz koje treba odrediti

GS(s)=L{ω2(t)}/L{ω1(t)}=Ω2(s)/Ω1(s).

c) Kako glasi uvjet za aperiodski prigušeno gibanje? Izračunati i skicirati hω2(t) za ζ>1 uz ω1=ω10S(t).

d) Brzina vrtnje ω2 regulira se preko brzine vrtnje ω1. Pokazati da je za regulator brzine vrtnje ω2

prikladan regulator PD1(T1) strukture. Odrediti parametre regulatora. Pri sintezi regulatora zanemariti

dinamiku pojačala snage kojim se napaja pogonski motor.

Zadatak A.8.4.: Regulacija stati č kog procesa pomoć u I-regulatora

Statički proces prikazan na slici 8.4. regulira se I-regulatorom.

-

+

Z

GR (s) +

U YGs(s)

+EX

R

Sl.8.4.

Dano je:GS(s)=1/(1+Ts)3 , GR (s)=1/TIs .

a) Odrediti TI=TI1 tako da se postigne fazno osiguranje γ = 450. Kolika ja pri tome presječna frekvencija

ωc?

b) Kvalitativno prikazati krivulju mjesta

G0(jω)=Y(jω)/E(jω) i GX(jω)=Y(jω)/XR (jω) za 0 < ω < ∝ .

c) Izračunati prijenosnu funkciju s obzirom na smetnju GZZ=Y(s)/Z(s) , te nacrtati pripadajuću krivulju

mjesta GZZ(jω). Koji se zaključci mogu izvući iz početne i konačne vrijedosti (ω→0, ω→∝) krivulje

mjesta?

d) Skicirati približni tok prijelazne funkcije s obzirom na referentnu i poremećajnu veličinu.




Zadatak A.8.5.: Regulacija napona upravljivog ispravljač a

Slika 8.5. prikazuje principnu shemu reguliranog ispravljača.

Pojačalo

snage

MrežaDvopol

Regulator

U2ref U

R

R 1

R 1

R

U1

L

C U2

i2

Sl.8.5.

Pojačalo snage radi u impulsnom režimu s impulsno-širinskim modulatorom (PWM) tako da su izlaznom

naponu U1

superponirani viši harmonici koji se filtriraju pomoću niskopropusnog LRC filtera. Pri visokoj

sklopnoj frekvenciji može se pojačalo snage promatrati kao upravljivi naponski izvor proporcionalnog

djelovanja (bez vremenskog zatezanja):

U1(s)/UR (s) = K S.

Stvarna vrijednost (povratna veza) reguliranog istosmjernog napona U2 dobije se na kondenzatoru C.

Referentna vrijednost je U2ref . Regulator napona realiziran je pomoću operacijskog pojačala (Sl.8.5.).

GR (s)=UR (s)/U2ref (s),

gdje je potrebno odrediti mrežu u povratnoj vezi operacijskog pojačala (dvopol).

a) Odrediti blokovsku shemu i pripadajuće prijenosne funkcije procesa. Struja tereta ima, pri tome,

značenje poremećajne veličine.

b) Regulator treba imati PI-vladanje. Odrediti shemu dvopola.

c) Jednostavnosti radi, pretpostavimo da LRC filter ima aperiodsko vladanje tako da njegova prijenosna

funkcija ima dva realna pola. Odrediti parametre regulatora na temelju prijenosne funkcije zatvorenog

sustava GZ(s) s obzirom na referentnu vrijednost tako da zatvoreni regulacijski krug ima relativni

koeficijent prigušenja ζ =2

2.

d) Odrediti prijenosnu funkciju zatvorenog sustava s obzirom na smetnju GZZ(s), odnosno utjecaj struje

opterećenja i2 na regulirani napon U2.

Zadatak A.8.6.: Regulacija procesa koji ima svojstva svepropusnog č lana

Proces opisan prijenosnom funkcijom:

G s G GT s

T s T ss s s( ) = ⋅ =

−+

⋅+1 2

1

1 2

1

1

1

1, T2=2T1 , (1)

sastoji se od svepropusnog člana 1.reda GS1(s) i PT1 člana GS2(s). Proces se regulira PI-regulatorom.

a) Skicirati polarni dijagram za GS1, GS2 i GS.




b) Prikladnim izborom integralne vremenske konstante dobiti jednostavni oblik prijenosne funkcije

otvorenog kruga G0(s). Skicirati polarni dijagram za tako dobivenu G0(jω).

c) Odrediti pojačanje regulatora K R tako da amplitudno osiguranje Ar poprimi unaprijed zadanu

vrijednost Ar ⋅⎪ G0(jωπ)⎪=1.

(2)

d) Kako glasi prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga GZ(s) s obzirom na referentnuvrijednost? Kolike su vrijednosti relativnog koeficijenta prigušenja i vlastite frekvencije uz zadano

amplitudno osiguranje prema c)?




Zadatak A.11.1.: Regulacija razine vode u parnom kotlu (primjer korištenja kaskadne regulacije

i unaprijedne regulacije)

Radi boljeg iskorištenja goriva u parnom kotlu potrebno je održavati razinu vode, koja se pretvara u

paru, konstantnom. Za regulaciju razine vode u parnom kotlu koristi se kaskadna regulacija. U unutarnjoj

regulacijskoj petlji regulira se protok vode, a u vanjskoj se petlji regulira razina vode u parnom kotlu.

Sustav upravljanja prikazan je na slici 11.1. Dinamička svojstva sustava upravljanja mogu se poboljšati

uključenjem sklopke S, koja uključuje mjereni izlazni protok pare kao poremećajnu veličinu.

M

AAA

Napojna pumpa smotornim prigonom

Regulator protokavode

Regulator razinevode

Mjerni članOsjetilo protoka

vode

--

Mjerni član

Mjerni članOsjetilo protoka

pare

Protok pare - q

p

Protok vode - q

v

S Sklopka za uključivanjeunaprijedne regulacije

Razinavode u

parnomkotlu - h

x Rh

x Rq

qv

q p

Parni kotao presjeka A

h

+ +

+

M

Sl.11.1.

Dinamička svojstva mjernih članova i napojne pumpe s motornim prigonom modeliraju se kao PT1

članovi. Parni kotao se pojednostavljeno modelira kao cilindar jednolikog presjeka, s diferencijalnom

jednadžbom:

A ⋅ dh/dt = qv-q p, (1)

gdje je A presjek parnog kotla.Za izvedbu regulacijskog sustava koristiti I (za protok ) i PI (za razinu) regulatore.

Potrebno je:

a) nacrtati blokovku shemu kaskadne regulacije, s uključenom sklopkom S; pri tome koristiti normirano

pojačanje (1);

b) odrediti integralnu vremensku konstantnu I regulatora unutarnje petlje (regulator protoka vode) da bi

se postigao koeficijent relativnog prigušenja2

2=ζ ;

c) odrediti parametre PI regulatora vanjske petlje (regulator razine vode) tako da se postigne aperiodsko

ponašanje; unutarnja petlja protoka vode može se radi pojednostavljenja nadomjestiti PT1 članom;

d) pojasniti kako djeluje uključivanje signala protoka pare u regulacijski sustav na prijelaznu funkciju s

obzirom na smetnju; objasniti kakav je utjecaj uključivanja signala protoka pare u regulacijski sustav

na stabilnost i prigušenje.




Zadatak A.11.2.: Regulacija rastojanja vozila

Na slici 11.2. je skicirana moguća prometna situacija u budućnosti. Prednje se vozilo (vozilo 1)

giba brzinom v1 , a drugo vozilo (vozilo 2) ga treba slijediti na zadanoj udaljanosti x2r , gibajući se

brzinom v2. Regulator razmaka daje referentnu vrijednost vučne sile vozila 2, koja ga ubrzava ili

usporava, osiguravajući željeni razmak između vozila. Vozilo 2 mjeri razmak između vozila pomoću

radara.

v2

x2

vozilo 2 vozilo 1v1

Sl.11.2.

Matematički model procesa je dan sa skupom diferencijalnih jednadžbi:

- promjena razmaka među vozilima jednaka je razlici brzina 1. i 2. vozila:

dx2 /dt = v1 - v2, (1)

gdje je v1 neovisna poremećajna veličina;- sila ubrzanja, odnosno kočenja, je usporena PT1 članom prema željenom djelovanju:

T 2⋅ df a /dt + f a = f 0 ⋅ u, (2)

gdje je f a - sila koja djeluje na vozilo 2 ( f a >0 - ubrzanje, f a <0 - kočenje ),

f 0 - maksimalna sila djelovanja ubrzanja ili kočenja,

T 2 - vremenska konstanta, u – upravljačka veličina;

- gibanje vozila 2. opisano je zbrojem sila koje djeluju:

m2 ⋅ dv2 /dt = f a - k R⋅ v2, (3)

gdje je m2 masa 2. vozila,

k R⋅ v2 član koji opisuje utjecaj trenja koji raste proporcionalno s brzinom,

k R koeficijent proporcionalnosti.

Potrebno je:

a) normirati diferencijalne jednadžbe (1)-(3) i nacrtati blokovsku shemu regulacijskog kruga uz parametre

normiranja:

v0 = 120 km/h = 33.3 m/s,

x0 = 100 m, x R = 50 m, f 0 = 1800 N, m2 = 1500 kg ,

k R = f 0 /v0 = 54 Ns/m, T 2 = 0.5 s.

b) odrediti koji je tip regulatora prikladan za osiguranje dobre i brze regulacije;

c) odrediti parametre regulatora uz fazno osiguranje γ =450;

d) uz pretpostavku da iz stacionarne brzine v10-1=120 km/h vozilo 1 linearno usporava u vremenu t 1 do

brzine v10-2=60 km/h i zatim nastavlja konstantnom brzinom, skicirati valni oblik brzine vozila 2 v2(t) irazmaka među vozilima x2(t);

e) kvalitativno objasniti funkcije koje obavlja vozač u regulacijskom krugu kada zamijeni regulator

vožnje vozila 2.

Zadatak A.11.3.: Regulacija temperature

Održavanje temperature plinske žarne peći na referentnoj vrijednosti regulira se regulacijskim sustavom

prikazanim na slici 11.3. Protokom plina, koji služi kao gorivo, upravlja se preko električnog

regulacijskog ventila.




Regulator Regulacijski

ventilŽarna peć

Mjerni pretvornik

-

u q θ y x R

Sl.11.3.

Pojedini dijelovi sustava upravljanja, nakon linearizacije, opisani su prijenosnim funkcijama:

- regulacijski ventil: sT

K

sU

sQ

1

1

1)(

)(

+= ,

gdje je: K 1 = 0.1 (m3/min)/V- koeficijent pojačanja, T 1 = 0.2 s - vremenska konstanta;

- plinska žarna peć: sT

e K

sQ

s sT t

2

2

1)(

)(

+

⋅=

Θ−

,

gdje je: K 2 = 600 K ⋅min/m3 - koeficijent pojačanja, T 2 = 3 min - vremenska konstanta,

T t = 30 s - mrtvo vrijeme;

- mjerni pretvornik temperature: sT

K

s

sY

3

3

1)(

)(

+=

Θ,

gdje je: K 3 = 10 V/ 600 K - koeficijent pojačanja, T 3 = 3 s - vremenska konstanta.

Potrebno je:

a) opisati dinamičko vladanje procesa nadomjesnim modelom s jednom dominantnom vremenskom

konstantom i jednom nadomjesnom vremenskom konstantom;

b) korištenjem pojednostavljenja pod a) odrediti parametre PI regulatora tako da se postigne fazno

osiguranje γ =600 te izračunati prirodnu frekvenciju neprigušenih oscilacija i nadomjesni koeficijent

relativnog prigušenja zatvorenog kruga.

Zadatak A.11.4.: Kaskadna regulacija izlaznog napona istosmjernog ispravljač a

Izlazni dio ispravljača napona prikazan je na slici 11.4.a. Regulacija se napona postiže PWM

upravljanjem izlaznog tranzistora. LRC filter iza tranzistora smanjuje pulzacije izlaznog napona. Struja i1

treba biti ograničena tako da spriječi preopterećenje tranzistora.

uU u1

u2

i1 i2

L R

C

Sl.11.4.a. Izlazni dio ispravljača s LRC filterom.

T

i1

u1

Sl.11.4.b. Pulzacija napona u1 i valni oblik struje i1.




Potrebno je:

a) napisati diferencijalne jednadžbe procesa i nacrtati blokovsku shemu;

b) odrediti prijenosnu funkciju G s1(s)=RI 1(s)/U U (s), uz pretpostavku da ispravljač nije opterećen (i2=0) te

nacrtati strukturnu shemu;

c) odrediti parametre PI regulatora struje i1 tako da faktor prigušenja bude2

2=ζ ;

d) odrediti parametre PI regulatora izlaznog napona u2.

Zadatak A.11.5.: Višepetljasta kaksadna regulacija

Na slici 11.5. prikazan je kaskadni n-petljasti sustav upravljanja gdje je proces razložen u n

statičkih potprocesa G s1(s) do G sn(s) upravljanih regulatorima G R1(s) do G Rn(s). Regulatori imaju PI i PID

strukturu, ovisno o tome da li su potprocesi PT1 ili PT2 vladanja. Izvršni član opisan je prijenosnom

funkcijom Gič (s)=1/(1 + T e s) .

G R1

Gič

G s1

y1G

s2G R2

-

x R,1 +

G sn

y2 y y

n-1

-+

G Rn

-+

-+ x R,n-1 x

R,n

PROCES

Sl.11.5.

Primjenom PI ili PID regulatora treba vrijediti

G Rν (s) ⋅ G sν (s) = 1 / T ν ⋅ s. (1)

Potrebno je:

a) transformirati blokovski prikaz sa slike 11.5. tako da se dobije pregledan izraz za prijenosnu funkciju s

obzirom na vodeću vrijednost G xn(s) =Y n(s)/X Rn(s) ;

b) izračunati za zadani relativni koeficijent prigušenja ζ ν kružno integralno vrijeme T ν prema (1) za svaku

petlju; pri tome se unutarnja petlja obuhvaćena prvim narednim regulacijskim krugom nadomješta PT1

članom s nadomjesnom vremenskom konstantom T e,ν -1 ;

c) pokazati da uz (1) vrijedi izraz za karakteristični polinom zatvorenog sustava G xn:

ν

ν

ν ν

α )()(1

0

2

)1(

1 sT s N n

n

⋅=∑+

=

−−

, (2)

pri tome je jednako prigušenje za sve petlje ζν =ζ , a

α =T ν / T ν -1 . (3)




Zadatak A.12.1:

1h

1u

2h

Slika 12.1. Sustav skladištenja fluida

Sustav skladištenja fluida u dva spojena bazena, prikazan na slici 12.1, opisan je u okolini radne točke

sljedećim modelom u prostoru stanja:

1 1

2 2

2

h h u

h h

y h

σ

hσ σ

Δ + Δ = Δ

Δ + Δ = Δ

Δ = Δ

&

&

[ ]

11

22

1

2

0 1

0

0 1

hhu

hh

h y

h

σ

σ σ

⎡ ⎤ Δ− ⎡ ⎤Δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ−Δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Δ⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

&

&

Potrebno je projektirati regulator po varijablama stanja uz pretpostavku da su sve varijable stanja

mjerljive, tako da polovi zatvorenog regulacijskog kruga budu 2 (1 ) jσ − ± .

Zadatak A.12.2.

Zadan je proces opisan u prostoru stanja sljedećim matricama:

1 0

0 2 A −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

1

1 B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ [ ]1 3C =

a) Odredit matricu pojačanja F tako da polovi zatvorenog kruga budu: .2 2 j− ±

b) Odrediti N tako da pogreška u stacionarnom stanju na skokovitu pobudu bude nula.

c) Dodati integrator u proces I R

x y x= −& , te odrediti pojačanja F i , tako da, ako je

, polovi zatvorenog regulacijskog kruga budu

I F

I I u F x F x= − ⋅ − ⋅ 2, 1 3 j− − ± .




Zadatak A.12.3:

1h

1u

2h

Slika 12.2.

Sustav skladištenja fluida u dva spojena bazena, prikazan na slici 12.2, opisan je u okolini radne

točke sljedećim modelom u prostoru stanja:

[ ]

11

22

1

2

0 1

0

0 1

hhu

hh

h y

h

σ

σ σ

⎡ ⎤ Δ− ⎡ ⎤Δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ−Δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Δ⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

&

&

Pretpostaviti da je mjerljiva samo razina fluida u drugom bazenu, te projektirati estimator stanja

punog reda za takav proces, tako da polovi dinamike pogreške estimacije budu 3 (1 ) jσ − ± .




Zadatak S.2.1.: Regulacija temperature u prostoriji

ventil

prigon

radijator

q

y

izvršni motor upravljač ki

uređ aj

r ϑ

vanjska temperatura )( Aϑ

ud

temperatura

prostorije)(ϑ

d u tvorbai)(mjerenje ϑ

ϑ r – referentna (željena) temperatura

q – protok tople vode kroz radijator

Odrediti strukturni blokovski prikaz regulacije temperature.

Uputa:

ϑ ϑ ⋅= M K u - napon temperaturnog osjetila ( K M – konstanta osjetila) pretpostavlja se da je dinamičko vladanje temperaturnog osjetila nebitno za proces regulacije

temperature

ϑ ⋅= M r K u - referentni napon

ϑ uuu r d −=

)()( 1 t K t J = , ϕ (t ) – zakret prigonskog vratila

d P u K ⋅=ω , ω - brzina vrtnje prigonskog vratila

pretpostavlja se da je dinamičko vladanje izvršnog motora nebitno za proces regulacije

temperature

)()(1 t S

T t y K t q −= - jednadžba koja opisuje transport topline (protekne vrijeme T t od trenutka otvaranja

ventila do dolaska tople vode u radijator → transportno kašnjenje)

Jednadžba toplinske bilance:

)]()([)()( 21 t t k t qk t mc Aϑ ϑ ϑ −−⋅=⋅⋅ & .

Uvesti oznake:

2k

mcT

⋅= , [s] – vremenska konstanta prostorije

2

1

2 k

k K

S =

Aϑ - smetnja na proces




Zadatak S.2.2.: Proces punjenja

U cilindrični spremnik s kružnim poprečnim presjekom (promjer d 1) dovodi se tekućina

(zanemaruje se trenje), vidi sliku 2.2.b. Visina punjenja tekućine h1 određuje se upravljivim dotokom qu i

odtokom qi. Iz Bernoullijeve jednadžbe slijedi ovisnost odtoka o razini:

0

1

0 hh

qqi = .

qi(t )

h1

d 1

A2

qu(t )

h2

spremnik 1

spremnik 2

h1 x

10

q0

qi

Sl. 2.2.a. Shema procesa punjenja s dva spremnika Sl. 2.2.b. Ovisnost odtoka o razini

a) Kako glasi diferencijalna jednadžba za visinu punjenja h1(t ) uz promjenljivi dotok qu(t )?

b) Diferncijalnu jednadžbu treba linearizirati u blizini radne točke h10, tj qu = q0 + Δqu ,

qi = q0 + Δqi

h1 = h10 + Δh1

c) Skicirati prijelaznu funkciju Δh1(t ) i Δqi(t ) za malu promjenu dotoka Δqu. Koliko iznosi Δqi(∞)?

d) Pretpostaviti da odtok tekućine qi iz spremnika 1 dotiče u spremnik 2 s konstantnim poprečnim

presjekom A2. Kako glasi diferencijalna jednadžba za visinu punjnja tekućine h2(t ) u spremniku 2?




Zadatak S.4.1.: RC - generator

Na slici 4.1. prikazan je sklop oscilatora koji se sastoji od dvaju idealnih operacijskih pojačala i

pridružene im pasivne mreže.

R

U1 U

2

R C

+

U3

U4

R3

SR

R1

R

-

-

+

C

Sl. 4.1.

a) Odrediti prijenosnu funkciju G sU s

U s( )

( )

( )=

4

1

uz otvorenu sklopku S; skicirati Nyquistov dijagram

G(jω).

b) Odrediti prijalaznu funkciju sklopa (u1 = U0⋅S(t)) uz S otvoreno.

c) Zatvaranjem sklopke S izlazni napon se vraća na ulazno pojačalo. Prikažite blokovski sklop u tom

stanju. O kakvoj se povratnoj vezi radi u tom slučaju? Odredite prijenosnu funkciju G s U sU s z ( ) ( )

( )=

4

1

uz zatvorenu sklopku S.

d) Kako odabrati otpornike da bi nastalo neprigušeno osciliranje? Kolika je pri tome frekvencija

osciliranja f n n=1

2π ω ?

Zadatak S.4.2.: Č lan s usporenjem i prethođ enjem

Proporcionalni član 2. reda s prethođenjem opisan je diferencijalnom jednadžbom:

1 22

2

2ω

ζ

ω n n

d y

dt

dy

dt y K T

dx

dt x+ + = +( )1 , (0 < ζ ≤ 1)

a) Odrediti i skicirati odziv na funkciju linearnog porasta za ζ = 1. Raspraviti utjecaj vremenske

konstante T1.

b) Odrediti pogrešku slijeđenja u stacionarnom stanju.




Zadatak S.6.1.: Sklop za diferenciranje

Na slici je prikazan paralelni spoj dvaju članova s usporenjem (PT1) s istim pojačanjem i različitim

vremenskim konstantama.

X

K

T1

K

T2

Y1

Y2

Y+

-

a) Odrediti nač

elni izgled odziva y(t) na skokovitu promjenu x(t), tj y(t) = hx(t).

b) Kako glasi prijenosna funkcija G sY s

X s( )

( )

( )= ? Gdje leže polovi i nule G(s)? O kakvom se tipu

prijenosne funkcije radi?

c) Skicirati Nyquistov dijagram za G(jω).

d) Skicirati Bodeov dijagram za G(jω).

Zadatak S.6.2.: Pozitivna povratna veza

Treba analizirati prijenosno vladanje sustava s pozitivnom povratnom vezom prikazanog na slici:

X

Y2

Y

K

Ts1+

a) Odrediti prijenosnu funkciju G sY s

X s( )

( )

( )= .

b) Analizirati prijenosno vladanje sustava za različito pojačanje 0 ≤ K ≤ ∞ na osnovi položaja polova u

kompleksnoj s-ravnini. kakvo je prijenosno vladanje za K = 1?

c) Izračunati i skicirati prijelazne funkcije za K = -1; 0; 0.5; 1; 2.




Zadatak S.8.1.

Za regulacijski krug prikazan na slici 8.1., te

-

+

Z'

GR (s) Gs(s)+

+

U YXR

Sl.8.1.

uz:

GS(s)=(1+T2s)/(1+T1s) ; T1>T2 ,

GR (s)=1/TIs ,

potrebno je:

a) skicirati prijelaznu funkciju procesa;

b) kako treba odabrati integralnu vremensku konstantu TI da bi zatvoreni regulacijski krug imao relativni

koeficijent prigušenja ζ =2

2;

c) odrediti Y(s) i skicirati y(t) i u(t) ako se regulacijski krug pobudi vodećom vrijednošću xR (t)=S(t), pri

tome neka je z’(t)=0;

d) odrediti Y(s) i skicirati y(t) i u(t) ako se regulacijski krug pobudi smetnjom z’(t)=S(t), pri tome neka je

xR (t)=0.

Zadatak S.8.2.: Regulacija stati č kog procesa pomoć u PI-regulatora

Proces s dva PT1 člana (Sl.8.2.) regulira se pomoću PI regulatora.

-

+

Z'

GR (s)+

U Y1

1+T2s

+EX

R K S1

1+T1s

GS2 GS1

Sl.8.2.

a) Analizirati vladanje PI regulatora na temelju prijenosne funkcije i prijelazne funkcije.

b) Preporučiti način izbora integralne vremenske konstante regulatora TI. Pri tome imati u vidu raspored

polova i nula regulatora i procesa, te Bodeov dijagram otvorenog regulacijskog kruga.

c) Nakon određivanja TI odrediti pojačanje K R tako da se postigne dobro prigušeno vladanje zatvorenog

regulacijskog kruga izborom ζ =2

2. Skicirati, bez računanja, hx(t) zatvorenog regulacijskog kruga

(pri tome je z’=0).




d) Kako glasi prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga s obzirom na smetnju

GZZ(s)=Y(s)/Z’(s) općenito, i uz izbor parametara regulatora prema b) i c)? Iz čega je evidentno da se

u cijelosti kompenzira utjecaj konstantnog poremećaja u stacionarnom stanju? Skicirati, bez računanja,

hz(t) zatvorenog regulacijskog kruga (pri tome je xR =0).

Zadatak S.8.3.: Regulacija astati č kog procesa s neminimalnom fazom

Potrebno je regulirati proces opisan prijenosnom funkcijom:

sG sT s

T s( ) =

−1 1

1

.

a) Nacrtati blokovsku shemu procesa korištenjem osnovnih prijenosnih elemenata. Skicirati i izračunati

prijelaznu hs(t) i težinsku g(t) funkciju toga procesa.

b) Uz regulaciju procesa pomoću PI regulatora R R

I

I

G s K T s

T s

( ) =+1

pokazati pomoću Bodeovog dijagrama

da se u načelu može postići stabilnost sustava. Koji je uvjet za to potrebno ispuniti?

c) Uz koju se frekvenciju ωm postiže maksimalno fazno osiguranje? Na koji se način treba odabrati

pojačanje K R da bi se postiglo ωc =ωm?

d) Odrediti prijenosnu funkciju zatvorenog regulacijskog kruga, uzimajući u obzir rezultate pod c).

Komentirati prijelaznu funkciju hx(t).

automatsko upravljanje - auditorne vjezbe

Documents