1

Automatyka

Wykład 25

Regulatory dyskretne

2

Regulator dyskretny P

Równanie regulatora analogowego typu P

)()( tektu p

Równanie regulatora dyskretnego P uzyskujemy z dyskretyzacji równania regulatora analogowego:

)()( ppp nTeknTu

t

e

0 Tp 2Tp 3Tp

e(0)e(Tp)

e(2Tp)e(3Tp)

e uRegulator dyskretny P

pr kzG )(

(1)

Tp

u(0)u(Tp)

u(2Tp)u(3Tp)

u

2Tp 3Tp0 t

(2)

3

Regulator dyskretny PI

Równanie regulatora analogowego typu PI

t

ip de

Ttektu

0

)(1

)()(

Przez dyskretyzację równania regulatora analogowego otrzymujemy równanie regulatora dyskretnego PI:

n

kp

i

pppp kTe

T

TnTeknTu

1

)()()(

0 Tp 2Tp 3Tp (n–1)Tp nTp t

e

t

de0

)( Obliczanie jako sumy pól prostokątów

(3)

4

)1(

)()()(

zT

zzETzEkzU

i

pp

Transmitancja dyskretna regulatora PI

)1(

1)(

)(

zT

zTk

zE

zU

i

pp

)1(

1)(zT

zTkzG

i

ppr

Transmitancja dyskretna (4) wynika również z transmitancji operatorowej regulatora analogowego PI po podstawieniu do wzoru

zT

zs

p

1

(4)

sTksG

ipr

11)(

5

1

0

)()()(n

kp

i

pppp kTe

T

TnTeknTu

Jeżeli równanie regulatora dyskretnego zapiszemy w postaci:

to transmitancję dyskretną regulatora PI określa wzór

)1(

1)(zT

TkzG

i

ppr

e

e

(5)

(6)

Tp 2Tp 3Tp (n-3)Tp (n-2)Tp (n-1)Tp nTp0

6

0 Tp 2Tp 3Tp (n–1)Tp nTp t

e

Obliczanie jako sumy pól trapezów t

de0

)(

n

kpp

pt

kTeTkeT

de10

)}(])1[({2

)(

n

kpp

i

pppp kTeTke

T

TnTeknTu

1

)}(])1[({2

)()( (7)

7

Transformata Z sygnału sterującego:

1

)(

1

)(

2)()(

z

zzE

z

zE

T

TzEkzU

i

pp

1

1

21

)(

)(

z

z

T

Tk

zE

zU

i

pp

Stąd

1

1

21)(

z

z

T

TkzG

i

ppr (8)

Wzór (8) otrzymamy również po zastosowaniu metody Tustina do regulatora analogowego o transmitancji operatorowej

sTksG

ipr

11)(

8

Regulator dyskretny PID

dt

tdeTde

Ttektu d

t

ip

)()(

1)()(

0

p

ppd

n

kp

i

pppp T

TnenTeTkTe

T

TnTeknTu

])1[()()()()(

1

Równanie regulatora analogowego PID

p

d

i

pp T

zEzT

zT

zzETzEkzU

)()1(

)1(

)()()(

1

Transmitancja dyskretna:

Przez dyskretyzację równania regulatora analogowego otrzymujemy równanie regulatora dyskretnego PI reprezentujące algorytm pozycyjny regulatora:

(9)

zT

zT

zT

zTk

zE

zU

p

d

i

pp

)1(

)1(1

)(

)(

zT

zT

zT

zTkzG

p

d

i

ppr

)1(

)1(1)( (10)

9

W przypadku regulatora dyskretnego do sterowania obiektem można również wykorzystać przyrost sygnału sterującego:

].)1[()( pp TnunTuu

p

ppd

n

kp

i

pppp T

TneTneTkTe

T

TTnekTnu

])2[(])1[()(])1[(])1[

1

1

p

pppdpp

i

pp T

TneTnenTeTTnenTe

T

Tku

])2[(])1[(2)(])1[()(1

p

ppdp

n

kp

i

pppp T

TnenTeTkTeTke

T

TnTeknTu

])1[()()}(])1[({

2)()(

1

Algorytm pozycyjny (metoda trapezów):

10

Regulator rozmytyProces regulacji w układzie z regulatorem rozmytym opiera się na bazie reguł,

której elementami są zmienne lingwistyczne, charakteryzowane na przykład słowami „ujemny”, „zerowy”, „dodatni” lub „mały ujemny”, „średni ujemny” , „duży ujemny”, „bliski zera”, „mały dodatni”, „średni dodatni”, „duży dodatni” itp. Każda wartość zmiennej lingwistycznej opisywana jest za pomocą zbioru rozmytego (ang. fuzzy set). Pojęcie zbioru rozmytego zostało wprowadzone w roku 1965 przez L. Zadeha i jest uogólnieniem matematycznego pojęcia zbioru. Uogólnienie to polega na przypisaniu elementowi zbioru pewnej liczby μ z przedziału [0, 1], będącej wartością tzw. funkcji przynależności. Wartość μ funkcji przynależności informuje w jakim stopniu dany element (zmienna lingwistyczna) przynależy do podanego zbioru. Funkcje przynależności mogą mieć różne kształty. Najbardziej rozpowszechnione są funkcje trójkątne, trapezowe i Gaussa (slajd 11 )

Na regulację rozmytą składają się trzy następujące procesy: proces rozmywania (fuzyfikacji) danych podawanych na wejście regulatora, określający stopień ich przynależności do danego zbioru rozmytego, proces wnioskowania, w którym na podstawie zbioru reguł i rozmytych danych wejściowych, obliczana jest wynikowa funkcja przynależności i proces wyostrzania (defuzyfikacji), w którym na podstawie wynikowej funkcji przynależności obliczana jest ostra wartość wyjściowa regulatora.

11

μ

e0

e

μ

0

e

μ

0

Funkcje przynależności: trójkątne (a), trapezowe (b), Gaussa (c)

a)

b)

c)

12

W regulatorze rozmytym przedstawionym na rysunku poniżej rozmywaniu podlega zbiór wartości błędu regulacji e, podawanych na wejście regulatora. Rozmywanie zbioru wartości błędu regulacji polega na przyporządkowaniu tych wartości do poszczególnych zbiorów rozmytych, których liczba zależy od liczby terminów lingwistycznych określających wartości błędu regulacji.

Baza reguł

Wnioskowanie WyostrzanieRozmywaniee μ(e) μ(u)

Na rysunku poniżej przedstawiono przykładowo rozmywanie zbioru wartości błędu regulacji w przypadku trzech zbiorów rozmytych odpowiadających terminom lingwistycznym: ujemny, zerowy i dodatni.

13

μ(e)

1

błąd regulacji e0

ujemny dodatnizerowy

Uzyskane w procesie rozmywania zbiory rozmyte wykorzystuje się w bazie reguł wnioskowania o postaci

JEŻELI e JEST ujemny, TO u JEST ujemnyJEŻELI e JEST zerowy, TO u JEST zerowyJEŻELI e JEST dodatni, TO u JEST dodatni.

W wyniku procesu wnioskowania dla każdej z reguł przypisana zostaje jedna wartość funkcji przynależności sygnału sterującego u do danego zbioru μ(u). Wyostrzanie prowadzi do uzyskania ściśle zdeterminowanej wartości sygnału sterującego u. Jedną z najpopularniejszych metod obliczeniowych jest metoda średniej ważonej z centrów odpowiedzi uzyskanych ze wszystkich reguł, gdzie wagami są wyznaczone stopnie przynależności μ(u) poszczególnych sygnałów sterujących u.