automi suoggettiinfiniti
TRANSCRIPT
Automata on infinite objects
Amedeo Leo1 Simone Romano1
1Università degli Studi di Salerno
Seminario Automi Linguaggi e Complessità - 2014/2015
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 1 / 40
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 2 / 40
Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 2 / 40
Perchè studiare la teoria degli automi?
È alla base di vari rami dell’informaticaOrigine della scienza dell’informazione
I Turing machine
Teoria dei compilatoriModel checking
I Büchi automata, Rabin tree automata
Elaborazione dei dati sul Web (XML document)Nota: Sebbene più astratta rispetto ai linguaggi di programmazione, la teoriadegli automi riflette l’essenza della computazione
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 3 / 40
Contesto storico
1930s: Turing machines (A. Turing)
1940s-1950s: Automi a stati finiti (W. McCulloch,W. Pitts, S. Kleene, etc.), Chomsky
hierarchy (N. Chomsky)
1960s-1970s: Pushdown automata (A.G. Oettinger, M.P. Schutzenberger), Büchi
automata over ω-words (J. R. Büchi ), Rabin tree automata over ω-trees (M. O. Rabin),
Tree automata (J. E. Doner, J. W. Thatcher, J. B. Wright, etc.)
1980s-1990s: ω-automata applied to formal verification (M. Vardi, P. Wolper, O.
Kupferman, etc.)
2000s-2010s: Automata over unranked trees applied to XML (A. Bruggemann-Klein,
M. Murata, D. Wood, F. Neven, etc.), Visibly pushdown automata (R. Alur, P. Madhusudan)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 4 / 40
Notazioni
A, A*, Aω: alfabeto finito, insieme di parole finite, insieme diω-sequenze su Aω-word: α(0)α(1)... con α(i) ∈ Asottostringa finita di ω: α(m,n) := α(m)...α(n − 1) for m ≤ nsottostringa infinita di ω: α(m, ω) := α(m)α(m + 1)...
Wω = α ∈ Aω | α = w0w1... con wi ∈W per i ≥ 0−→W = α ∈ Aω | ∃ωn α(0,n) ∈W In(σ) = s ∈ S | ∃ωn α(0,n) ∈ S
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 5 / 40
Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infiniteAutomi di BüchiAltri modelli di automiCalcolo delle sequenzeContext-free ω-languages
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 6 / 40
Definizione
Un automa di Büchi sull’alfabeto A è della forma:
A = (Q, q0, ∆, F )
Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Q∆ ⊆ QxAxQF ⊆ Q: insieme di stati finali
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 7 / 40
Definizione - 2
RunData una ω-word α(0)α(1)... sul Aω, una run di A è così definita:
sequenza di stati σ = σ(0)σ(1)... tale cheI σ(0) = q0I (σ(i), α(i), σ(i + 1)) ∈ ∆ for i ≥ 0
Successful runData una ω-word una successful run di A è così definita:
In(σ) ∩ F 6= ∅ - ’Qualche stato di F occorre infinite volte’
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 8 / 40
ω-linguaggio - Büchi riconoscibile
ω-linguaggio di AA accetta α se esiste una successful run di A su αL(A) = α ∈ Aω | A accetta α
Nota: Un ω-linguaggio regolare contiene una ω-word finale periodica
Büchi riconoscibileSe L = L(A) per qualche automa di Büchi A allora L è Büchi -riconoscibile
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 9 / 40
Esempio
Dato l’alfabeto A = a,b,c ed L1 ⊆ Aω:α ∈ L1 ⇔ dopo ogni occorrenza di a c’è qualche occorrenza di bAω − L1 è riconosciuto dall’automa in figura 2
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 10 / 40
Büchi riconoscibile - 2
Dato un automa di Büchi AData una parola finita w = a0...an−1
Se esiste una sequenza di stati s0, ..., sn tale ches0 = s(si ,ai , si+1) ∈ ∆ per i < nsn = s′
Allora scriviamo:
s −→w
s′
Definiamo:
Wss′= w ∈ A∗ | s −→w
s′
Wss′ è regolare.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 11 / 40
Büchi riconoscibile - 2
AccettazioneL’ω-linguaggio riconosciuto da un automa di Büchi A è della forma:
L(A) =⋃
s∈F Wq0s · (Wss)ω
TeoremaUn ω linguaggio L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile⇔ L è un’unione finita diinsiemi U · Vω, dove U,V ⊆ A∗ sono insiemi regolari di parole finite.
LemmaSe V ⊆ A∗ è regolare allora Vω è Büchi riconoscibileSe U ⊆ A∗ è regolare ed L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile allora U · L èBüchi riconoscibileSe L1,L2 ⊆ Aω sono Büchi riconoscibili allora L1
⋃L2 ed L1
⋂L2 sono
Büchi riconoscibili
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 12 / 40
ω - regular expression
Dato un ω-linguaggio L, la sua rappresentazione nella forma:
L =⋃n
i=1 Ui · Vωi
dove Ui e Vi sono definiti da espressioni regolari, è definitaespressione ω-regolare
È quindi possibile definire un automa di Büchi a partire da unaespressione ω-regolare e viceversaLinguaggio ω-regolare: ω-linguaggio riconosciuto da un automa diBüchi
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 13 / 40
Complemento
Problema del vuoto è decidibileIl complemento è un problema non banale
I Se L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile, allora lo è anche Aω-L. A partireda L si può costruire un automa di Büchi che riconosce Aω − L
(Caso non deterministico!)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 14 / 40
Complemento - dim
La relazione
u ∼A v ⇔ ∀s, s′ ∈ Q(s −→u
s′ ⇔ s −→v
s′ e s F−→u
s′ ⇔ s F−→v
s′)
ci consente di riscrivere L ed Aω-L con la stessa notazione.Nota: ∼ è di indice finito data la finitezza di Q.
∀ coppia di classi ∼A U,V: se U · Vω⋂
L(A) 6= ∅, alloraU · Vω ⊆ L(A)
I Vale anche per il complemento
Data ∼A, ∀ω-word α esistono delle ∼ classi U,V tali che α ∈ U ·Vω
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 15 / 40
Complemento - dim - 2
Una congruenza ∼ su A∗ satura L ⊆ Aω seU · Vω
⋂L 6= ∅ ⇒ U · Vω ⊆ L ∀ coppia di ∼ classi U,V
Se ∼ satura L ed è di indice finito, alloraL =
⋃U · Vω | U,V sono ∼-classi, U · Vω
⋂L 6= ∅
L’inclusione ⊇ deriva dalla notazione di saturazione, mentre la ⊆deriva dal punto 2 del teorema precedente.
Note:∼ ha indice finito; ∼ classi regolari la cui unione è finita⇒ L èregolarePoichè la congruenza satura il complemento, anche ilcomplemento è regolare.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 16 / 40
Automi di Büchi deterministici
ComplementoGli automi di Büchi deterministici non sono chiusi rispetto alcomplemento.
Dato il linguaggio W ⊆ A∗ riconosciuto da un automadeterministico, definiamo
I−→W = α ∈ Aω | ∃ωn α(0,n) ∈W
è riconosciuto da un automa di Büchi
Nota: Un ω-linguaggio L ⊆ Aω è riconosciuto da un automa diBüchi deterministico⇔ L =
−→W per un insieme regolare W ⊆ A∗
Non essendo tutti di questa forma la chiusura del complementofallisce.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 17 / 40
Automa di Muller
Un automa di Muller sull’alfabeto A è della forma
A = (Q,q0, δ,F )
Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Qδ : QxA→ QF ⊆ 2Q: insieme di stati finali
Successful run: un sottoinsieme di stati in F occorre infinitevolteAccettazione di α: la run dell’automa su α è successfulMuller-riconoscibile: ω-word accettate da un automa di Muller
Teorema di McNaughton’s: Un ω-lingugaggio è regolare (Büchiriconoscibile)⇔ è Muller riconoscibile.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 18 / 40
Automa di Rabin
Un automa di Rabin sull’alfabeto A è della forma
A = (Q,q0, δ,Ω)
(Q,q0, δ) come MullerΩ = (L1,U1), · · · , (Ln,Un) è una collezione di coppie accettanti
Successful run: In(σ)⋂
Li = ∅ e In(σ)⋂
Ui 6= ∅Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 19 / 40
Introduzione al calcolo delle sequenze
L’automa di Büchi può essere utilizzato per risolvere problemilegati al calcolo delle sequenzeBüchi ha mostrato che ogni condizione su una sequenza puòessere riformulata come un problema di accettazione di unasequenza da un automa
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 20 / 40
S1S
A: alfabeto finito di simboliS1SA:
I primo termine = 0I successori costruiti dalle variabili x, y,... applicando la funzione +1I funzioni atomiche: t1 = t2, t1 < t2, t1 ∈ X , t1 ∈ Qa
F t1, t2 sono terminiF X è una variabile al secondo ordineF Qa è un simbolo di predicato unario (uno per ogni a ∈ A)
I le formule di S1SA si ottengono dalle formule atomiche applicandogli operatori ¬,∧,∨ ed i quantificatori ∀,∃
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 21 / 40
Relazione Büchi - S1S
Possiamo rappresentare ogni ω-word α ∈ Aω come
α = ω,0,+1, <, Qaa∈A
doveω: insieme dei naturali0: naturale 0+1: funzione di successione<: relazione di ordinamentoQa = i ∈ ω | α(i) = a ∀a ∈ ALa verità di una formula S1S è decidibile.
Teorema di Büchiun ω-linguaggio è definibile in S1S sse è regolare.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 22 / 40
Context-free ω-languages
Grammatiche per ω-wordsUna grammatica context-free sull’alfabeto A con variabili (non terminali)x1, · · · , xn è data da una n-upla (G1, · · · ,Gn) di insiemi finitiGi ⊆ (A
⋃x1, · · · , xn)∗, dove w ∈ Gi se xi → w è una produzione di G.
EsempioG0 : x1 → x2x1, x2 → ax2b | ab.
Esempi di derivazioni:
x1 → x2x1 → abx1 → abx2x1 → ababx1 → ababx2x1 → · · ·
genera l’ ω-word (ab)ω.
x1 → x2x1 → abx1 → abx2x1 → abax2bx1 → abaax2bbx1 →abaaax2bbbx1 → · · · genera l’ ω-word abaω.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 23 / 40
A∞
Se la produzione x1 contiene variabili terminali:la grammatica può generare anche parole di lunghezza finita
Parliamo di A∞ quando, data una grammatica G, consideriamo le soleω-word generabili
scartiamo quelle di lunghezza finita (se generabili)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 24 / 40
Algebrico
Definizioni(a) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è algebrico se contiene tutte le
parole infinite generabili da una cfg G.(b) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è context-free se esiste una cfg G e
un insieme di variabili F di G tali che L consiste di tutte le paroleinfinite generate da x1 con una leftmost dove le variabili usateinfinitamente spesso formano un insieme in F.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 25 / 40
Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad alberoIntroduzioneEsempi
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 26 / 40
Tree automata - 1
A = f, g, c
A-valued treemap t : dom(t) → A
chiuso sotto la notazione di prefisso
soddisfa l’implicazione
wj ∈ dom(t), i < j ⇒ wi ∈ dom(t)
frontiera di t: fr(t) = w ∈ dom(t) | ¬∃i wi ∈ dom(t)frontiera esterna: fr+(t) = wi /∈ dom(t) | w ∈ dom(t) ed i < k (k = numero di figli)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 27 / 40
Tree automata - 2
Informalmente:prende un A-valued binary treeinizia la computazione alla radice partendo dallo stato inizialevisita parallelamente i vari cammini dell’albero percorrendo coppiedi statiun automa ad albero accetta un albero t se c’è una runsuccessfuluna run è successful se tutti i cammini dell’albero rispettano lacondizione di accettazione dell’automa
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 28 / 40
Tree automata - def. formale - 1
Un automa ad albero (non deterministico, top-down) su A è nellaforma:
A = (Q, q0, ∆, F )
Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Q∆ ⊆ QxAxQxQF ⊆ Q: insieme di stati finali
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 29 / 40
Tree automata - def. formale - 2
Run di A su un albero binario finito t :albero r :dom+(t)→ Q dove
I r(ε) ∈ Q0I (r(w), t(w), r(w0), r(w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ dom(t)
Una run è successful se:r(w) ∈ F ∀w ∈ fr+(t)
Il linguaggio dell’albero T(A) riconosciuto da A:insieme di alberi t che portano A a percorrere una successful run
T riconoscibile:T = T(A) per qualche A
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 30 / 40
Automi su alberi infiniti
Due esempi di Tree automata infiniti sono rappresentati da:Büchi Tree automataRabin Tree automata
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 31 / 40
Büchi tree automaton
Un automa di Büchi ad albero su A è nella forma:
A = (Q, q0, ∆, F )
Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Q∆ ⊆ QxAxQxQF ⊆ Q: insieme di stati finali
Run di A su un albero t ∈ TωA :
mappa r :0,1∗ → Q doveI r(ε) ∈ q0I (r(w), t(w), r(w0), r(w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ 0,1∗
Una run è successful se:∀ path π, In(r |π)
⋂F 6= ∅
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 32 / 40
Rabin tree automaton
Un automa di Rabin ad albero su A è nella forma:
A = (Q, q0, ∆, Ω)
Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ QF ⊆ Q: insieme di stati finaliΩ(L1,U1), · · · , (Ln,Un) è un insieme di coppie accettanti
Una run è successful se:∀ path π ∃i ∈ 1, · · · ,n con
I In(r |π)⋂
Li = ∅ e In(r |π)⋂
Ui 6= ∅
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 33 / 40
Accettazione
Un albero t ∈ TωA :
accettato da Büchi : "run successful" secondo Büchiaccettato da Rabin: "run successful" secondo Rabin
Un insieme T ⊆ TωA è:
Büchi riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa diBüchiRabin riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa diRabin
Nota:Automa di Büchi ⊆ Automa di Rabin (Ω = (∅,F ))⇒ Ogni Tω
A Büchi riconoscibile è anche Rabin riconoscibile.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 34 / 40
Varianti di Rabin
MullerΩ rimpiazzato dall’insieme di stati Faccettazione: ∃ una run r t.c. ∀π, In(r |π) ∈ F
Streett∀ path π ∃i ∈ 1, · · · ,n con
In(r |π)⋂
Ui 6= ∅ ⇒ In(r |π)⋂
Li 6= ∅
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 35 / 40
Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 36 / 40
Riepilogo
Argomenti trattati:ω-wordAutomi di Büchi
I ω-linguaggioI Espressioni ω-regolariI Problema del vuotoI Complemento
Automi di Muller - Rabinω-linguaggi Context-FreeAutomi ad albero
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 37 / 40
Argomenti non trattati
Condizioni di accettazione e gerarchia di BorelComplemento e determinazione dei giochiModelli di automi per sistemi temporizzati
I Timed automata
Automi su alfabeti infiniti
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 38 / 40
Riferimenti
Automata on Infinite Objects - http://ki-www.inferenzsysteme.informatik.tu-darmstadt.de/fgdi3/2007/Material/Paper/Thomas_Automata.pdf
Automata theory and its applications -http://lcs.ios.ac.cn/~wuzl/pub/lecture-01.pdf
Linguaggi formali, automi e logiche - https://users.dimi.uniud.it/~angelo.montanari/automi.pdf
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 39 / 40