Axiomas de los números reales

Para que todos los procedimientos matemáticos usadossean válidos se debe partir de una base que respalde cadaprocedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en conse-cuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estasdemostraciones los pilares fundamentales de toda ramade las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en du-da la veracidad de cualquier afirmación.Las afirmaciones a las que se hace referencia se llamanaxiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se acep-tan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo enocasiones ser demostradas cuando no lo son.El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referen-cia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas,que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas vecespoco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostra-das usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados.Una consecuencia inmediata de un teorema se llamarácorolario.Hay tres tipos de axiomas:

• Los axiomas algebraicos

• Los axiomas de orden

• El axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de suma, resta, mul-tiplicación y división; el segundo establece un orden paralos elementos de cada conjunto dado; el tercero trata so-bre la noción de continuidad.Existe un conjunto que tiene estas propiedades.

1 Axioma fundamental

El conjunto que cumple con estas propiedades se llamaconjunto de los Números Reales y serán los axiomasde este conjunto, las bases de una rama muy importantede la matemática: el Análisis matemático.Se puede observar que, usando el lenguaje lógico mate-mático, los teoremas que se demuestren, serán válidos silos axiomas son válidos, por lo que los teoremas serándel tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces laafirmación es cierta.

2 Axiomas Algebraicos

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como untodo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adi-ción y de la multiplicación.1. Axiomas de la adición2. Axiomas de la multiplicación3. Axioma de distribución Este axioma conecta la sumacon la multiplicación:

2.1 Análisis axiomático

• El axioma (1.2)conocido como “propiedad conmu-tativa” dice que el orden de los sumandos no alterael valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que estoes válido sólo para sumas finitas.

• El axioma (1.3) conocido como propiedad asocia-tiva de la suma dice que la asociacion de la sumano altera el valor de ésta.

• El axioma (1.4) dice que existe un elemento en losnúmeros reales que, al ser sumado con cualquier nú-mero real, sigue siendo ese mismo real. Este real sellama cero, y se conoce también como el elementoneutro aditivo de este conjunto.

• El axioma (1.5) dice que dado un número real cual-quiera existe otro (único) tal que la suma de amboses nula. Si este elemento es x , el número tal que lasuma de éste y el otro número sea cero es (−x) .Este elemento se llama inverso aditivo de x .

• El axioma (2.2) dice que el orden de los factores noaltera el producto.

• El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamoslos productos no afecta el producto. Esta propiedadse conoce como propiedad asociativa de la mul-tiplicación.

• El axioma (2.4) dice que existe un número real talque el producto de éste con otro real, sigue siendoeste último. Este elemento denotado por 1 se conocecomo neutro multiplicativo.

• El axioma (2.5) dice que para cualquier real x no nu-lo, existe otro, tal que el producto de ambos da co-mo resultado el neutro multiplicativo. Este elementodenotado por x−1 = 1/x = 1

x se conoce como in-verso multiplicativo de x .

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2 5 VÉASE TAMBIÉN

3 Axiomas de orden

Los axiomas de orden establecen una relación de “canti-dad” (véase construcción de los naturales). Esta relaciónes del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se constru-yen los naturales, se dice que un número es menor queotro si está contenido en éste, es decir, si su cardinalidades menor o igual que otra.Para establecer una relación de orden, es necesario intro-ducir el símbolo < que nos dirá si un número es mayor omenor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo= queya conocemos.Se dirá que x < y o y > x sólo si x es menor que y . Odicho de otra forma, si y es mayor que x .

De manera rigurosa, se puede decir que existe un con-junto O ⊂ R × R tal que x < y si y sólo si (x, y) ∈ O.Se dan a continuación los axiomas de orden

3.1 Análisis axiomático

• El axioma (1.2) dice geométrica mente que si x estáa la izquierda de y y éste a su vez a la izquierda de z, entonces debe estar pe2 x a la izquierda de z . Estainterpretación es bastante útil.

(R,+, ⋅ , ≤) es un cuerpo ordenado.

4 Axioma topológico

Claramente los racionales satisfacen los primeros axio-mas, pero no se puede con esto, demostrar la existenciade un número irracional, como raíz cuadrada de dos porejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico quedice lo siguiente, si se quiere.

4.1 Análisis axiomático

pongan resultados coherentesHay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muyimportante), que deben conocerse para entender el signi-ficado de este axioma. Éstos, son los de sucesión, cre-ciente, acotado superiormente y convergencia.

5 Véase también• Número real

• Principio de buena ordenación

• Teorema

• Cálculo

• Sucesión

• Convergencia (matemáticas)

• Acotado

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6.1 Text• Axiomas de los números reales Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas%20de%20los%20n%C3%BAmeros%20reales?oldid=80703719 Colaboradores: CEM-bot, Ggenellina, Rovnet, Technopat, BOTarate, Manwë, Camiloalcubo2, Nicop, Farisori, Raulshc, UA31,AVBOT, MarcoAurelio, Diegusjaimes, MystBot, Jkbw, Botarel, Jerowiki, Mister Roboto, Elio puma, Ileana n, Acratta, Érico Júnior Wou-ters, Addbot, Jarould y Anónimos: 40

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