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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Introducción al Cálculo
Los números reales, axiomas de campo y orden, desigualdades
CNM-107
Departamento de MatemáticasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft c© 2008. Reproducción permitida bajo los
términos de la licencia de documentación libre GNU.
http://ciencias.udea.edu.co/
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números naturales
Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los números naturaless son aquellos que sirven para designarel número de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números naturales
Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los números naturaless son aquellos que sirven para designarel número de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación (·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números naturales
Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los números naturaless son aquellos que sirven para designarel número de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación (·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N valex = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N valex = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N valex = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N valex + y = y + x;
x · y = y · x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N valex = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N valex + y = y + x;
x · y = y · x.
4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N valex = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N valex + y = y + x;
x · y = y · x.
4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
5 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N valex · (y + z) = x · y + x · z.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N valex = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N valex + y = y + x;
x · y = y · x.
4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
5 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N valex · (y + z) = x · y + x · z.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ Z
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ ZEn Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ ZEn Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ ZEn Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N)
1 Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal quex + y = y + x = 0.
El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ⊂ ZEn Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N)
1 Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal quex + y = y + x = 0.
El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ Q
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ QEn Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ QEn Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal quex + y = y + x = 0.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ QEn Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal quex + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un único y ∈ Q tal quex · y = y · x = 1.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ QEn Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal quex + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un único y ∈ Q tal quex · y = y · x = 1.
Cuando x 6= 0, el número racional y para el cual x · y = 1, se llama elinverso mutiplicativo de x y se denota por x−1 o por 1
x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q =nm
n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
o
Z ⊂ QEn Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal quex + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un único y ∈ Q tal quex · y = y · x = 1.
Cuando x 6= 0, el número racional y para el cual x · y = 1, se llama elinverso mutiplicativo de x y se denota por x−1 o por 1
x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados congeometŕıa dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotanpor
Q∗
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados congeometŕıa dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotanpor
Q∗
Ejemplos de números irracionales son
−√
2,√
2,−√
3,√
3,−π, π
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados congeometŕıa dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotanpor
Q∗
Ejemplos de números irracionales son
−√
2,√
2,−√
3,√
3,−π, π
+, · no son operaciones en Q∗
No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionaleses de nuevo un número irracional, por ejemplo
−√
2 +√
2 = 0,√
2 ·√
2 = 2.
Pero 0, 2 no son números irracionales.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados congeometŕıa dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotanpor
Q∗
Ejemplos de números irracionales son
−√
2,√
2,−√
3,√
3,−π, π
+, · no son operaciones en Q∗
No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionaleses de nuevo un número irracional, por ejemplo
−√
2 +√
2 = 0,√
2 ·√
2 = 2.
Pero 0, 2 no son números irracionales.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los númerosracionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjuntode los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los númerosracionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjuntode los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representación geométrica de R es la recta real
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los númerosracionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjuntode los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representación geométrica de R es la recta real
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los númerosracionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjuntode los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representación geométrica de R es la recta real
R0 1−1√
2 72
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los númerosracionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjuntode los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗.
Una representación geométrica de R es la recta real
R0 1−1√
2 72
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,x + y = y + x;
x · y = y · x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. Elreal 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,x = yw = z
o
=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. Elreal 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada número real x 6= 0, existe un único número real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 ó 1
x, tal que
x · x−1 = x · 1x
= 1.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada número real x 6= 0, existe un único número real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 ó 1
x, tal que
x · x−1 = x · 1x
= 1.
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R,
x · (y + z) = x · y + x · z.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada número real x 6= 0, existe un único número real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 ó 1
x, tal que
x · x−1 = x · 1x
= 1.
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R,
x · (y + z) = x · y + x · z.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Diferencia y División
Empleando la propiedad de invertividad PC5, se definen las operaciones deresta y división de números reales, en efecto para cada x, y ∈ R,
x − y = x + (−y);
Si y 6= 0,x
y= x · 1
y= x · y−1.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Diferencia y División
Empleando la propiedad de invertividad PC5, se definen las operaciones deresta y división de números reales, en efecto para cada x, y ∈ R,
x − y = x + (−y);
Si y 6= 0,x
y= x · 1
y= x · y−1.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x + y = x + z Hipótesis
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x + y = x + z Hipótesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x + y = x + z Hipótesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x + y = x + z Hipótesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x + y = x + z Hipótesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)y = z (AC4)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x + y = x + z Hipótesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)y = z (AC4)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipótesis
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipótesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipótesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipótesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipótesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)
y = z (AC4)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipótesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)
(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)
y = z (AC4)
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
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Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y−1.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ Rx · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y−1.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· zw
=x · zy · w
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· zw
=x · zy · w
−x = (−1) · x
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· zw
=x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· zw
=x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· zw
=x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
−xy
=−xy
=x
−y
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
x
y+
z
w=
x · w + y · zy · w
x
y· zw
=x · zy · w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
−xy
=−xy
=x
−y
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientesproposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R+.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientesproposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los númerosreales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R−.
R = R− ∪ R+ ∪ {0}.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientesproposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los númerosreales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R−.
R = R− ∪ R+ ∪ {0}.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que
x + y ∈ R+; x · y ∈ R+.
2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientesproposiciones
x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los númerosreales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R−.
R = R− ∪ R+ ∪ {0}.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene
0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+ (1)
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene
0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+ (1)
Reescribiendo PO1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo número real es positivo, es el cero o es negativo.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene
0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+ (1)
Reescribiendo PO1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo número real es positivo, es el cero o es negativo.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
Luego
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
LuegoR
+ = {x ∈ R : x > 0}.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
LuegoR
+ = {x ∈ R : x > 0}.Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene
R− = {x ∈ R : x < 0}.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.
LuegoR
+ = {x ∈ R : x > 0}.Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene
R− = {x ∈ R : x < 0}.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y
x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y
x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x = y; x > y.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el númerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el númerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R−;
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el númerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R−;
o de forma equivalente,
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el númerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R−;
o de forma equivalente,
x < y; x = y; x > y.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x = y; x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el númerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R−;
o de forma equivalente,
x < y; x = y; x > y.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotońıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotońıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Monotońıa de la multiplicación: Para cada x, y, z ∈ R.
z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z.
z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotońıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Monotońıa de la multiplicación: Para cada x, y, z ∈ R.
z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z.
z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Leyes de cuadrados
Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2, entonces x2 ≥ 0.Para cada x, y ∈ R+,
x < y ⇐⇒ x2 < y2.
-
Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Leyes de cuadrados
Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2, entonces x2 ≥ 0.Para cada x, y ∈ R+,
x < y ⇐⇒ x2 < y2.
Los números realesLos números naturalesLos números enterosLos números racionalesLos números irracionalesLos números reales
Axiomas de campoPropiedades de campoDiferencia y DivisiónConsecuencias axiomas de campo
Axiomas de ordenReales positivos
DesigualdadesConsecuencias de los axiomas de orden