b la funzione di trasferimento

Capitolo

2

La funzione di trasferimento

2.1 Funzione di trasferimento di un sistema.

2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C

2.2 Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici.

2.3 Risposta al gradino

L a f u n z i o n e d i t r a s f e r i me n t o

2.1 Funzione di trasferimento di un sistema 2.1.1 Definizione

La f .d. t . viene defini ta come rapporto della trasformata di Laplace del segnale d’uscita U(s) e quello d’ ingresso E(s) .

E(s)= L[e(t)] U(s)= L[u(t)]

E(s)U(s)G(s)f.d.t. ==

2.1.2 Utilità della f.d.t.

Dalla f.d.t. è possibile trarre informazioni: • sul comportamento del sistema nel dominio della frequenza (vedi diagramma di Bode e

Nyquist) • sulla sua stabilità (vedi metodo di Nyquist, Bode) • sulla risposta di una rete a segnali di tipo diversi, ad es.

E(s)G(s)U(s) ⋅= u(t) = L- 1[U(s)]

Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici

II-31


2.1.3 Caratteristiche della f.d.t.

• La f.d.t. o G(s) è indipendente dal segnale che si applica all’ingresso. • E’ una caratteristica del sistema (ogni sistema ha la sua f.d.t.) • Per i circuiti elettrici, essendo i segnali di ingresso e di uscita tensioni o correnti si ha che la

G(S) può essere: − un’impedenza se u(t) è una tensione ed e(t) una corrente − un’ammettenza se u(t) è una corrente ed e(t) una tensione; − un numero puro se rappresenta il rapporto tra tensioni o correnti.

• La f.d.t. essendo una funzione complessa è caratterizzata da un modulo e da una fase.

− il modulo corrisponde al guadagno o attenuazione del sistema − la fase corrisponde allo sfasamento dell’uscita rispetto all’ingresso

• la f.d.t. coincide con l’uscita U(s), nella variabile s, di un sistema quando all’ingresso è applicato un impulso unitario )(tδ (delta di Dirac).

G(s)1G(s)δ(s)U(s) =⋅==

u(t) = L-1 [U(s)]

• La f.d.t. in generale è data dal rapporto di due polinomi in s.

011

1

011

1)(bsbsbsbasasasa

sG nn

nn

mm

mm

++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++

= −−

−− con m ≤ n

2.1.4 Poli e Zeri

− Gli zeri sono i valori della variabile s che annullano il numeratore della G(s).

− I poli sono i valori della variabile s che annullano il denominatore. − I poli e zeri sono le singolarità della f.d.t.


II-32


2.1.5 Forme della f.d.t.

La f.d.t., oltre alla forma di funzione razionale (o rapporto tra due polinomi), può assumere le altre forme: • forma in cui compaiono poli e zeri

)p(s)p)(sp(s)z(s)z)(sz(sKG(s)

n21

m210 −⋅⋅⋅−−

−⋅⋅⋅−−= con

n

m

ba

K =0

• forma in cui compaiono le costanti di tempo (detta anche forma normale)

)τ(1)τ)(1τ(1s)τ(1)sτ)(1sτK(1G(s)

pnp2p1g

zmz2z1

ssss

+⋅⋅⋅++

+⋅⋅⋅++=

o iz

1τzi −= e ip

1τpi −= ; rappresentano le costanti di tempo della rete.

o K è detto guadagno statico e rappresenta il valore che assume la f.d.t. quando s=0 cioè per segnali d’ingresso costanti (in c.c.)

2.1.6 Ordine di un sistema

• Un sistema dicesi del primo ordine quando la sua f.d.t. presenta un solo polo

(il denominatore della f.d.t. è un polinomio di primo grado)

Es. ( ))s1(

KsGτ+

= τ

−=1p1

I poli della f.d.t. si ricavano annullando il denominatore della G(s) • Un sistema dicesi del secondo ordine quando quando la sua f.d.t. presenta due poli (il denominatore della f.d.t. è un polinomio di secondo grado)

Es. ( ) 22

2

2 nn

n

sssG

ω+ζω+

ω=

Parametri caratteristici: ζ è detto coefficiente di smorzamento (determina il tipo di risposta) ωn è chiamata pulsazione naturale Poli della f.d.t.

1221 −ζω±ζω−= nn,p

risulta inoltre che (il prodotto delle radici è uguale al termine noto) 221 npp ω=⋅

Le radici possono essere per: reali distinti (ζ >1); reali coincidenti (ζ =1); complessi coniugati (0 < ζ <1 )


II-33


Esercizi sulle forme della f.d.t.

Esercizio 1 Nota la f.d.t. come rapporto tra polinomi in s porla : a) nella forma in cui compaiono poli e zeri b) nella forma in cui compaiono le costanti di tempo

6116862

23

2

+++

−+=

sssss)s(G

Soluzione:

b) forma in cui compaiono i poli e gli zeri Per porre la G(s) nella forma in cui compaiono poli e zeri, occorre determinare i valori di s che annullano il denominatore (zeri) e i valori di s che annullano il denominatore (poli) Numeratore N(s) = 2s2+6s-8 = 0 ⇒ 2(s2+3s-4) = 0 le soluzioni sono s = -4 ; s = +1 quindi: N(s) = 2(s+4)(s-1) Denominatore D(s) = s3+6s2+11s+6 = 0 il polinomio si annulla per s = -1 quindi è divisibile per (s +1) con la regola di Ruffini troviamo il quoziente:

1 6 11 6 -1 -1 -5 -6 Q(s) = s2 +5s+6

1 5 +6 0 di conseguenza:

(s +1) (s2 +5s+6) = 0 le soluzioni dell’equazione sono: s = -1, s = -2, s = -3 pertanto : D(s) = (s+1)(s+2)(s+3) quindi:

3)2)(s1)(s(s

4)1)(s2(s611s6ss

86s2sG(s) 23

2

++++−

=+++

−+=

b) forma in cui compaiono le costanti di tempo

s)

31s)(1

211)(1(s

s)411)(1(s

34

)3

3s)3(2

2s1)2((s

)4

4s1)4(2(sG(s)

+++

+−=

+++

+−

=

in cui K (guadagno statico ) è uguale a 4/3


II-34


Esercizio 2 Nota la f.d.t. determinare il guadagno statico, i poli e gli zeri

3)1)(s(s2)12(s(s)++

+=G

Soluzione:

− il guadagno statico K è il valore che la f.d.t. assume quando s = 0

8(1)(3)12(2)G(0)K ===

− i poli sono: p1 = -1, p2 = -1 − gli zeri sono: z1 = -2


II-35


2.2 L-trasformazione dei componenti R, L, C RESISTENZA

dominio del tempo dominio complesso

)()( tiRtv ⋅=

=)(sV L [v(t)] )(sIR ⋅=

La resistenza non subisce trasformazioni. R è uguale al rapporto tra V(s), trasformata della tensione e la I(s), trasformata della corrente

CONDENSATORE


∫= dttiC

tv )(1)( + Vo

Vo è la carica iniziale

Considerando il condensatore inizialmente scarico (Vo=0)

=)(sV L [v(t)] s

)s(IC1

=

La capacità si trasforma in una impedenza capacitiva di valore:

Cs)s(I)s(V

⋅=

1

• Se invece il condensatore inizialmente è carico alla

tensione Vo:

=)(sV L [v(t)] = s

VossI

C+⋅

)(1

La capacità si trasforma in un

impedenza di valore Cs ⋅

1 , in serie

ad un generatore di tensione s

Vo


II-36


INDUTTORE


dt

tdiLtv )()( =

Se inizialmente l’induttanza non è percorsa da corrente

V(s) = L[v(t)] = I(s)sL ⋅

L’induttanza si trasforma in una impedenza induttiva di valore:

sLI(s)V(s) =

• Se invece inizialmente è percorsa da una corrente di valore

Io

V(s) = L[v(t)] = LIoI(s)sL −⋅

L’induttanza si trasforma in una impedenza induttiva di valore sL in serie ad un generatore di tensione di valore L Io


II-37


2.2 Determinazione della f.d.t. di un circuito 3.2.1 Generalità

Per la determinazione della funzione di trasferimento di un circuito elettrico, si procede nel seguente modo: Si determina il circuito L-trasformato operando le seguenti sostituzioni:

- il segnale d’ingresso e(t) (tensione o corrente) si trasforma in E(s) - il segnale d’uscita u(t) (tensione o corrente) si trasforma in U(s) - la resistenza R non subisce trasformazioni. - la capacità C si trasforma in una impedenza di valore 1/sC - l’induttanza L in una impedenza di valore sL

2) Si ricava la U(s) applicando le leggi viste in c.c. al circuito L-trasformato 3) si effettua il rapporto tra la U(s) e la E(s) e si trova così la f.d.t. cercata

)()()(...

sEsUsGtdf ==

2.2.2 Determinazione della f.d.t. del circuito RC (filtro passa basso passivo)

circuito RC circuito RC L -trasformato

Applicando la legge di Ohm si ha:

)(1)( sIsC

sVo ⋅= dove

sCR

sVisI1)()(

+=

sost i tuendo:

sRC

sVi

sCsRC

sVisC

sCR

tVisC

sVo+

=+

=+

⋅=1

1)(1

)(11)(1)(

quindi:


II-38


f .d. t . =sRCsVi +1)(

sVosG ==1)()(

Da notare:

Il sistema è del 1°ordine perché la f.d.t. ha un polo (il denominatore si annulla per s = - 1/RC) 3.2.3 Determinazione della f.d.t. del circuito CR (filtro passa alto passivo)

circuito CR circuito CR L -trasformato

Applicando la legge di Ohm si ha:

dove )s(IR)s(Vo ⋅=

sCR

sVisI1)()(

+=

sost i tuendo:

sRC

sRC)s(Vi

sCsRC

)s(ViR

sCR

)t(ViR)s(Vo+

=+

=+

⋅=111

quindi:

f .d. t . =sRC)s(Vi +1

sRC)s(Vo)s(G ==

Da notare:

Il sistema è del 1°ordine perché la f.d.t. ha un solo polo (il denominatore si annulla per s = - 1/RC).

La f.d.t. presenta anche uno zero nell’origine


II-39


2.2.4 Determinazione della f.d.t. del circuito RLC serie

Circuito RLC circuito RLC L -trasformato

)(1)( sisC

sVo ⋅= dove

sCsLR

sVisI1

)()(++

=

sost i tuendo si ha:

1

1)(1

)(11

)(1)( 22 ++⋅=

++⋅=

++⋅=

sRCLCssVi

sCLCssRC

tVisC

sCsLR

tVisC

sVo

quindi:

f .d. t .=1

1)()()( 2 ++

==sRCLCssVi

sVosG

Da notare:

Il sistema è del 2°ordine perché la f.d.t. ha due poli (il denominatore della f.d.t. è un trinomio di secondo grado.


II-40


2.2.5 Determinazione della f.d.t. del derivatore, realizzato con Amp-Op

Circuito derivatore Circuito derivatore L -trasformato

Per l’amplificatore invertente:

f .d. t . =1

2ZZ

)s(Vi)s(Vo)s(G −==

Nel nostro caso: sC

Z 11 = ; RZ =2

Sostituendo:

sRC

sC

R)s(Vi)s(Vo)s(G −=−==

1

Da notare:

− la f.d.t. ha uno zero nell’origine (il numeratore si annulla per s=0)

− Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come derivatore, infatti: )s(VisRC)s(Vo ⋅= anti trasformando si ha:

[ ] [ ]dt

)t(dvRC)s(sViLRC)s(VoL)t(v i

o −=⋅−== −− 11

(l’uscita vo(t) è la derivata del segnale d’ingresso vi(t) a meno di una costante)


II-41


2.2.6 Determinazione della f.d.t. dell’integratore, realizzato con Amp-Op

Circuito integratore Circuito integratore L -trasformato

Per l’amplificatore invertente:

f .d. t . =1

2ZZ

)s(Vi)s(Vo)s(G −==

nel nostro ; RZ =1 sCZ 1

2 = ;

Sostituendo:

sRCRsC

)s(Vi)s(Vo)s(G 1

1

−=−==

Da notare:

− la f.d.t. ha uno polo nell’origine (il denominatore si annulla per s=0)

− Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come integratore, infatti:

)s(VisRC

)s(Vo 1=

antitrasformando si ha:

[ ] ∫−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅−== −− vi(t)dt

RC1

sVi(s)L

RC1Vo(s)L(t)v 11

o

(l’uscita vo(t) è l’integrale del segnale d’ingresso vi(t) a meno di una costante)


II-42


2.3 Risposte nel domino del tempo dei sistemi del 1°ordine Esercizio1. Risposta di un circuito RC ad un gradino di tensione di ampiezza con l’ipotesi che il condensatore sia inizialmente scarico.

1) Si determina il circuito L-trasformato

circuito RC circuito RC L -trasformato

1) Si ricava la f.d.t.

)(1)( sIsC

sVo ⋅= dove

sCR

sVisI1)()(

+=

sost i tuendo:

sRC

sVi

sCsRC

sVisC

sCR

tVisC

sVo+

=+

=+

⋅=1

1)(1

)(11)(1)(

f .d. t . =sRCsVi

sVosG+

==1

1)()()(

Vo(s)=Vi(s) ⋅G(s)

Vi(s)=E/s

Vo(s)=sRC11

sE

+ =

)sRC1(sE

+


II-43


2) Si antitrasforma

Occorre riportare la Vo(s) a quella contenute nella colonna destra della tabella delle T.d.L

Moltiplicando e dividendo per RC si ha:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

RCsRC

E

RCsRCs

RCE

sVo1

11

)(

quindi antitrasformando si ha:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−RCt

eE)t(vo 1

v a l o r e a t r a n s i t o r i o r e g i me

Rappresentazione grafica della risposta del circuito RC al gradino di ampiezza E con C inizialmente scarico


II-44

b la funzione di trasferimento

Documents