Download - B la funzione di trasferimento
Capitolo
2
La funzione di trasferimento
2.1 Funzione di trasferimento di un sistema.
2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C
2.2 Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici.
2.3 Risposta al gradino
L a f u n z i o n e d i t r a s f e r i me n t o
2.1 Funzione di trasferimento di un sistema 2.1.1 Definizione
La f .d. t . viene defini ta come rapporto della trasformata di Laplace del segnale d’uscita U(s) e quello d’ ingresso E(s) .
E(s)= L[e(t)] U(s)= L[u(t)]
E(s)U(s)G(s)f.d.t. ==
2.1.2 Utilità della f.d.t.
Dalla f.d.t. è possibile trarre informazioni: • sul comportamento del sistema nel dominio della frequenza (vedi diagramma di Bode e
Nyquist) • sulla sua stabilità (vedi metodo di Nyquist, Bode) • sulla risposta di una rete a segnali di tipo diversi, ad es.
E(s)G(s)U(s) ⋅= u(t) = L- 1[U(s)]
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2.1.3 Caratteristiche della f.d.t.
• La f.d.t. o G(s) è indipendente dal segnale che si applica all’ingresso. • E’ una caratteristica del sistema (ogni sistema ha la sua f.d.t.) • Per i circuiti elettrici, essendo i segnali di ingresso e di uscita tensioni o correnti si ha che la
G(S) può essere: − un’impedenza se u(t) è una tensione ed e(t) una corrente − un’ammettenza se u(t) è una corrente ed e(t) una tensione; − un numero puro se rappresenta il rapporto tra tensioni o correnti.
• La f.d.t. essendo una funzione complessa è caratterizzata da un modulo e da una fase.
− il modulo corrisponde al guadagno o attenuazione del sistema − la fase corrisponde allo sfasamento dell’uscita rispetto all’ingresso
• la f.d.t. coincide con l’uscita U(s), nella variabile s, di un sistema quando all’ingresso è applicato un impulso unitario )(tδ (delta di Dirac).
G(s)1G(s)δ(s)U(s) =⋅==
u(t) = L-1 [U(s)]
• La f.d.t. in generale è data dal rapporto di due polinomi in s.
011
1
011
1)(bsbsbsbasasasa
sG nn
nn
mm
mm
++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
= −−
−− con m ≤ n
2.1.4 Poli e Zeri
− Gli zeri sono i valori della variabile s che annullano il numeratore della G(s).
− I poli sono i valori della variabile s che annullano il denominatore. − I poli e zeri sono le singolarità della f.d.t.
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2.1.5 Forme della f.d.t.
La f.d.t., oltre alla forma di funzione razionale (o rapporto tra due polinomi), può assumere le altre forme: • forma in cui compaiono poli e zeri
)p(s)p)(sp(s)z(s)z)(sz(sKG(s)
n21
m210 −⋅⋅⋅−−
−⋅⋅⋅−−= con
n
m
ba
K =0
• forma in cui compaiono le costanti di tempo (detta anche forma normale)
)τ(1)τ)(1τ(1s)τ(1)sτ)(1sτK(1G(s)
pnp2p1g
zmz2z1
ssss
+⋅⋅⋅++
+⋅⋅⋅++=
o iz
1τzi −= e ip
1τpi −= ; rappresentano le costanti di tempo della rete.
o K è detto guadagno statico e rappresenta il valore che assume la f.d.t. quando s=0 cioè per segnali d’ingresso costanti (in c.c.)
2.1.6 Ordine di un sistema
• Un sistema dicesi del primo ordine quando la sua f.d.t. presenta un solo polo
(il denominatore della f.d.t. è un polinomio di primo grado)
Es. ( ))s1(
KsGτ+
= τ
−=1p1
I poli della f.d.t. si ricavano annullando il denominatore della G(s) • Un sistema dicesi del secondo ordine quando quando la sua f.d.t. presenta due poli (il denominatore della f.d.t. è un polinomio di secondo grado)
Es. ( ) 22
2
2 nn
n
sssG
ω+ζω+
ω=
Parametri caratteristici: ζ è detto coefficiente di smorzamento (determina il tipo di risposta) ωn è chiamata pulsazione naturale Poli della f.d.t.
1221 −ζω±ζω−= nn,p
risulta inoltre che (il prodotto delle radici è uguale al termine noto) 221 npp ω=⋅
Le radici possono essere per: reali distinti (ζ >1); reali coincidenti (ζ =1); complessi coniugati (0 < ζ <1 )
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Esercizi sulle forme della f.d.t.
Esercizio 1 Nota la f.d.t. come rapporto tra polinomi in s porla : a) nella forma in cui compaiono poli e zeri b) nella forma in cui compaiono le costanti di tempo
6116862
23
2
+++
−+=
sssss)s(G
Soluzione:
b) forma in cui compaiono i poli e gli zeri Per porre la G(s) nella forma in cui compaiono poli e zeri, occorre determinare i valori di s che annullano il denominatore (zeri) e i valori di s che annullano il denominatore (poli) Numeratore N(s) = 2s2+6s-8 = 0 ⇒ 2(s2+3s-4) = 0 le soluzioni sono s = -4 ; s = +1 quindi: N(s) = 2(s+4)(s-1) Denominatore D(s) = s3+6s2+11s+6 = 0 il polinomio si annulla per s = -1 quindi è divisibile per (s +1) con la regola di Ruffini troviamo il quoziente:
1 6 11 6 -1 -1 -5 -6 Q(s) = s2 +5s+6
1 5 +6 0 di conseguenza:
(s +1) (s2 +5s+6) = 0 le soluzioni dell’equazione sono: s = -1, s = -2, s = -3 pertanto : D(s) = (s+1)(s+2)(s+3) quindi:
3)2)(s1)(s(s
4)1)(s2(s611s6ss
86s2sG(s) 23
2
++++−
=+++
−+=
b) forma in cui compaiono le costanti di tempo
s)
31s)(1
211)(1(s
s)411)(1(s
34
)3
3s)3(2
2s1)2((s
)4
4s1)4(2(sG(s)
+++
+−=
+++
+−
=
in cui K (guadagno statico ) è uguale a 4/3
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Esercizio 2 Nota la f.d.t. determinare il guadagno statico, i poli e gli zeri
3)1)(s(s2)12(s(s)++
+=G
Soluzione:
− il guadagno statico K è il valore che la f.d.t. assume quando s = 0
8(1)(3)12(2)G(0)K ===
− i poli sono: p1 = -1, p2 = -1 − gli zeri sono: z1 = -2
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2.2 L-trasformazione dei componenti R, L, C RESISTENZA
dominio del tempo dominio complesso
)()( tiRtv ⋅=
=)(sV L [v(t)] )(sIR ⋅=
La resistenza non subisce trasformazioni. R è uguale al rapporto tra V(s), trasformata della tensione e la I(s), trasformata della corrente
CONDENSATORE
dominio del tempo dominio complesso
∫= dttiC
tv )(1)( + Vo
Vo è la carica iniziale
Considerando il condensatore inizialmente scarico (Vo=0)
=)(sV L [v(t)] s
)s(IC1
=
La capacità si trasforma in una impedenza capacitiva di valore:
Cs)s(I)s(V
⋅=
1
• Se invece il condensatore inizialmente è carico alla
tensione Vo:
=)(sV L [v(t)] = s
VossI
C+⋅
)(1
La capacità si trasforma in un
impedenza di valore Cs ⋅
1 , in serie
ad un generatore di tensione s
Vo
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INDUTTORE
dominio del tempo dominio complesso
dt
tdiLtv )()( =
Se inizialmente l’induttanza non è percorsa da corrente
V(s) = L[v(t)] = I(s)sL ⋅
L’induttanza si trasforma in una impedenza induttiva di valore:
sLI(s)V(s) =
• Se invece inizialmente è percorsa da una corrente di valore
Io
V(s) = L[v(t)] = LIoI(s)sL −⋅
L’induttanza si trasforma in una impedenza induttiva di valore sL in serie ad un generatore di tensione di valore L Io
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2.2 Determinazione della f.d.t. di un circuito 3.2.1 Generalità
Per la determinazione della funzione di trasferimento di un circuito elettrico, si procede nel seguente modo: Si determina il circuito L-trasformato operando le seguenti sostituzioni:
- il segnale d’ingresso e(t) (tensione o corrente) si trasforma in E(s) - il segnale d’uscita u(t) (tensione o corrente) si trasforma in U(s) - la resistenza R non subisce trasformazioni. - la capacità C si trasforma in una impedenza di valore 1/sC - l’induttanza L in una impedenza di valore sL
2) Si ricava la U(s) applicando le leggi viste in c.c. al circuito L-trasformato 3) si effettua il rapporto tra la U(s) e la E(s) e si trova così la f.d.t. cercata
)()()(...
sEsUsGtdf ==
2.2.2 Determinazione della f.d.t. del circuito RC (filtro passa basso passivo)
circuito RC circuito RC L -trasformato
Applicando la legge di Ohm si ha:
)(1)( sIsC
sVo ⋅= dove
sCR
sVisI1)()(
+=
sost i tuendo:
sRC
sVi
sCsRC
sVisC
sCR
tVisC
sVo+
=+
=+
⋅=1
1)(1
)(11)(1)(
quindi:
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f .d. t . =sRCsVi +1)(
sVosG ==1)()(
Da notare:
Il sistema è del 1°ordine perché la f.d.t. ha un polo (il denominatore si annulla per s = - 1/RC) 3.2.3 Determinazione della f.d.t. del circuito CR (filtro passa alto passivo)
circuito CR circuito CR L -trasformato
Applicando la legge di Ohm si ha:
dove )s(IR)s(Vo ⋅=
sCR
sVisI1)()(
+=
sost i tuendo:
sRC
sRC)s(Vi
sCsRC
)s(ViR
sCR
)t(ViR)s(Vo+
=+
=+
⋅=111
quindi:
f .d. t . =sRC)s(Vi +1
sRC)s(Vo)s(G ==
Da notare:
Il sistema è del 1°ordine perché la f.d.t. ha un solo polo (il denominatore si annulla per s = - 1/RC).
La f.d.t. presenta anche uno zero nell’origine
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2.2.4 Determinazione della f.d.t. del circuito RLC serie
Circuito RLC circuito RLC L -trasformato
)(1)( sisC
sVo ⋅= dove
sCsLR
sVisI1
)()(++
=
sost i tuendo si ha:
1
1)(1
)(11
)(1)( 22 ++⋅=
++⋅=
++⋅=
sRCLCssVi
sCLCssRC
tVisC
sCsLR
tVisC
sVo
quindi:
f .d. t .=1
1)()()( 2 ++
==sRCLCssVi
sVosG
Da notare:
Il sistema è del 2°ordine perché la f.d.t. ha due poli (il denominatore della f.d.t. è un trinomio di secondo grado.
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2.2.5 Determinazione della f.d.t. del derivatore, realizzato con Amp-Op
Circuito derivatore Circuito derivatore L -trasformato
Per l’amplificatore invertente:
f .d. t . =1
2ZZ
)s(Vi)s(Vo)s(G −==
Nel nostro caso: sC
Z 11 = ; RZ =2
Sostituendo:
sRC
sC
R)s(Vi)s(Vo)s(G −=−==
1
Da notare:
− la f.d.t. ha uno zero nell’origine (il numeratore si annulla per s=0)
− Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come derivatore, infatti: )s(VisRC)s(Vo ⋅= anti trasformando si ha:
[ ] [ ]dt
)t(dvRC)s(sViLRC)s(VoL)t(v i
o −=⋅−== −− 11
(l’uscita vo(t) è la derivata del segnale d’ingresso vi(t) a meno di una costante)
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2.2.6 Determinazione della f.d.t. dell’integratore, realizzato con Amp-Op
Circuito integratore Circuito integratore L -trasformato
Per l’amplificatore invertente:
f .d. t . =1
2ZZ
)s(Vi)s(Vo)s(G −==
nel nostro ; RZ =1 sCZ 1
2 = ;
Sostituendo:
sRCRsC
)s(Vi)s(Vo)s(G 1
1
−=−==
Da notare:
− la f.d.t. ha uno polo nell’origine (il denominatore si annulla per s=0)
− Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come integratore, infatti:
)s(VisRC
)s(Vo 1=
antitrasformando si ha:
[ ] ∫−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅−== −− vi(t)dt
RC1
sVi(s)L
RC1Vo(s)L(t)v 11
o
(l’uscita vo(t) è l’integrale del segnale d’ingresso vi(t) a meno di una costante)
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2.3 Risposte nel domino del tempo dei sistemi del 1°ordine Esercizio1. Risposta di un circuito RC ad un gradino di tensione di ampiezza con l’ipotesi che il condensatore sia inizialmente scarico.
1) Si determina il circuito L-trasformato
circuito RC circuito RC L -trasformato
1) Si ricava la f.d.t.
)(1)( sIsC
sVo ⋅= dove
sCR
sVisI1)()(
+=
sost i tuendo:
sRC
sVi
sCsRC
sVisC
sCR
tVisC
sVo+
=+
=+
⋅=1
1)(1
)(11)(1)(
f .d. t . =sRCsVi
sVosG+
==1
1)()()(
Vo(s)=Vi(s) ⋅G(s)
Vi(s)=E/s
Vo(s)=sRC11
sE
+ =
)sRC1(sE
+
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2) Si antitrasforma
Occorre riportare la Vo(s) a quella contenute nella colonna destra della tabella delle T.d.L
Moltiplicando e dividendo per RC si ha:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
RCsRC
E
RCsRCs
RCE
sVo1
11
)(
quindi antitrasformando si ha:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−RCt
eE)t(vo 1
v a l o r e a t r a n s i t o r i o r e g i me
Rappresentazione grafica della risposta del circuito RC al gradino di ampiezza E con C inizialmente scarico
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