ba03 deskriptivní geometrie -...

Zborcené plochy

přednášková skupina P-BK1VS1

učebna Z240

Mgr. Jan Šafařík

Konzultace č. 3

2

Literatura

Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.

Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php

Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php

Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php

Základní literatura:

Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

3

Literatura

Doporučená literatura: Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie,

http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html

Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992.

Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.

Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008.

Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.


4

Literatura

Další zdroje: Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká

fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006

Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý, Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html.

Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html.

Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8, http://kag.upol.cz/juklova/index.html.

Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1958.

Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975.

Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006

Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006.


5

Zborcené plochy

Zborcená plocha je dána třemi různými (obecně prostorovými) řídícími křivkami 1, 2, 3, které neleží na téže rozvinutelné ploše

Značíme (1, 2, 3)

Přímka protínající všechny tři řídící přímky se nazývá tvořící přímka


6

Zborcené plochy

Konstrukce tvořící přímky:

Zvolme bod A 1. Tvořící přímku n procházející bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s vrcholem A a řídící křivkou 2 a kuželové plochy 3 s vrcholem A a řídící křivkou 3.


7

Zborcené plochy Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových

ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá kuspidální bod.

Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy , tzv. torzální rovina.

Křivka na zborcené ploše se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální).

Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem.

Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy se nazývá asymptotická.


8

Zborcené plochy

Stupeň plochy:

Buď zborcená plocha dána algebraickými křivkami 1 stupně 1n, 2 stupně 2n a 3 stupně 3n.

Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak je stupně 2·1n·2n·3n

Mají-li křivky i, j pro 1ij3 společný sij bodů, pak je stupně

2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·

2n – s23·1n


9

Zborcené plochy

Užití zborcených ploch

Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch

Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím provozním chodu bez zpevňujících zařízení

Ze statického hlediska jsou zborcené plochy samonosné


10

Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)

Jednodílný hyperboloid

Hyperbolický paraboloid


11


Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a, 3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu Φ(1a, 2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku

Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b, … jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby například 1b a 2b byly ruznoběžné, pak alespoň dvě z přímek 1a, 2a, 3a (1b, 2b), ale to je spor s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a.

Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy se nazývají např. přímky I. regulu plochy . Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například 1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky 1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří přímky II. regulu plochy .


12


Z konstrukce je patrné, že:

Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II. regulu a naopak

Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné

Tečná rovina plochy v bodě M je určena přímkami obou regulů, bodem M procházejících


13



14

Jednodílný hyperboloid Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s

rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný hyperboloid (obecně nerotační).

Základní vlastnosti

Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem).

Střed hrdlové kružnice nazýváme středem hyperboloidu.

Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly.

Plocha dvojí křivosti.

Nerozvinutelná plocha.


15


Asymptotická kuželová plocha

Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed hyperboloidu.

Každá tvořící přímka asymptotické kuželové plochy je rovnoběžná s některou tvořící přímkou hyperboloidu.

Má-li asymptotická kuželová plocha obrys, jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je hyperbola.


16

Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu

přímky kružnice, elipsa


17

Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu

parabola hyperbola


18

Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida)


19

Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.


20


Chladící věže jaderných elektráren


21



22

Hyperbolický paraboloid Jestliže existuje rovina (), se kterou jsou přímky

nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné, dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid.

Základní pojmy Zborcený čtyřúhelník Řídicí rovina Systém (regulus) přímek Sedlový bod, sedlová plocha Vrchol hyperbolického paraboloidu Osa hyperbolického paraboloidu Směr osy hyperbolického paraboloidu Zborcená přímková kvadratická plocha Plocha dvojí křivosti


23

Hyperbolický paraboloid Základní pojmy

Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v téže rovině

Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů

Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP.

Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu.


24


Základní pojmy

Řez hyperbolického paraboloidu rovinou:

Je-li rovina řezu rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2. regulu, je řezem jedna površka.

Je-li rovina řezu tečna hyperbolického paraboloidu v bodě dotyku T, jsou řezem dvě površky.

Je-li rovina řezu rovnoběžná resp. procházející osou hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími rovinami obou regulů, je řezem parabola

Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.


25

Proč hyperbolický paraboloid


26


Jan Šafařík: Zborcené plochy

Příklad:

V izometrii je dán průmět

dvou zdí stejné výšky, jejíž

lícní roviny , mají různý

spád. Proveďte spojení obou

zdí pomocí plochy

hyperbolického paraboloidu.

A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0,

80, 60], D[0, 0, 60].

Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03

27



Příklad: V pravoúhlé izometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte několik tvořících přímek plochy patřících do obou přímkových regulů. Je dáno A[40, 0, 0], B[0, 80, 50], C[-40, 0, 0], D[0, -80, 50]. Plochu omezte rovinami (x, y), , , je- li dáno: : y = 80, : y = - 80.

Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.


28



Příklad:

V Mongeově promítání je dána

plocha hyperbolického paraboloidu

pomocí zborceného čtyřúhelníku

ABCD, který se v půdorysně

zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62,

77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19,

9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte

tečnou rovinu τ. Sestrojte řez

rovinou , rovnoběžnou s nárysnou

, procházející vrcholem V

hyperbolického paraboloidu.


29

Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem


Střešní roviny stejného spádu hřeben není vodorovný

Požadujeme hřeben vodorovný


30



• Půlícím bodem střední příčky je veden vodorovný hřeben MN rovnoběžný s jednou okapovou hranou. • Část střešní plochy tvoří hyperbolický paraboloid určený zborceným čtyřúhelníkem ABMN. • Latě jsou vodorovné, ale krokve nejsou kolmé k hřebeni.


31



• Krokve jsou kolmé na hřeben. • Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Nároží se sousedními střešními rovinami jsou části kuželoseček.


32



• Užitá část hyperbolického paraboloidu je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Přechází v části rovin určených body ALM a BKN. • Tím docílíme, že všechna nároží jsou úsečky.


33

Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada


34


Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo


35


F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie


36

Zborcené plochy vyšších stupňů

Přímý kruhový konoid

Plückerův konoid

Küpperův konoid

Plocha Štramberské trúby

Plocha Montpellierského oblouku

Plocha Marseillského oblouku

Plocha Šikmého průchodu


37

Konoidy Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v

konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid.

Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně.

Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu: kruhový konoid

eliptický konoid

šroubový konoid

…

Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá přímka v konečnu s řídící s řídící rovinou = 90 – přímý konoid

≠ 90 – kosý konoid


38



39


zadání

řídící rovinou (c ∞ )

řídící přímkou d

řídící kružnicí k ; , d

stupeň křivky:

2·1·1·2=4


40



Příklad:

V kosoúhlém promítání (=135,

qx=2/3) je dán přímý kruhový

konoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35,

0], r=) v půdorysně, řídící rovinou

a řídící přímkou 2k . Přímka

2k prochází bodem M[0, 35, 80].

Sestrojte několik tvořících přímek

konoidu, určete stupeň plochy.


41

Přímý parabolický konoid


42


zadání

řídící rovinou (c ∞ )

řídící přímkou d

řídící parabolou p ; , d

stupeň křivky:

2·1·1·2=4


43



44



45


zadání

dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d

kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se středem na ose mimoběžek 1d a 2d.

stupeň křivky:

2·1·1·2=4


46



47



48


zadání

řídící kružnicí k

řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice k kolmo na rovinu kružnice

řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d

stupeň křivky:

2·2·1·1=4


49



50

Plocha Montpellierského oblouku Příklad: V Mongeově promítání sestrojte Montpelliérský oblouk daný řídící kružnicí 1k (S [0, 20, 0], r = 40), která leží v rovině ν' || ν (x, z), dále

řídící přímkou 2d || x1,2, Q 2d, Q [0, 60, 60] a přímkou 3d, 3d ν, S 3d. Plochu omezte řídící kružnicí 1k, řídící přímkou 2d a rovinami α

(20, -20, ) a β (-20, -20, ). Dále sestrojte řez rovinou ρ(, 80, 65).

Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03

51



52


zadání

řídící kružnicí 1k(1S, 1r) 1

řídící kružnicí 2k(2S, 2r) 2, 1 2

řídící přímkou d, 1Sd, 2Sd, d 1, 2

stupeň křivky:

2·2·2·1-2·1=6


53



54



Příklad: V kolmé axonometrii Δ(90, 110, 95) je dána plocha Marseillského oblouku určena řídícími kružnicemi 1k (1S[0, 47, 0], r=30) v bokorysně , 2k (2S[30, 47, -10], r=50) v ronině rovnoběžné s a řídící přímkou 3k procházející bodem 1S kolmo k rovině . Sestrojte část plochy nad půdorysnou , omezenou rovina v nichž leží řídící kružnice.


55

Plocha šikmého průchodu


56


zadání

řídícími kružnicemi 1k a 2k, ležících v rovnoběžných rovinách, o stejném poloměru a středech 1S a 2S

řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a procházejí středem úsečky 1S 2S

stupeň křivky:

2·2·2·1-2·1-2=4


57


Vyšehradský tunel


dále viz … Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt

VUT v Brně:

Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební

fakulty Vysokého učení technického v Brně,

Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v

Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.

Konec Děkuji za pozornost

ba03 deskriptivní geometrie -...

Documents