bab 1 anum
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
1/24
BAB 1
PERSAMAAN NON LINEAR
Persamaan non linear diaplikasikan untuk menentukan akar persamaan suatu
fungsi non linear sehingga f(x ! ". Volume gas riil dapat ditentukan dari persamaan
seperti BWR menggunakan metoda seperti meto#a Bise$tion% Regula &alsi % Ne'ton #an
Se$ant.
11 ME)O*A BISE+)ION
Metoda bisection dikenal juta sebagai metoda interval halving. Metoda ini
dipergunakan untuk mendapatkan akar dari suatu persamaan non linear, misalnya f!" # e !$
% ! # &. 'ilai akar yang baru dihitung sebagai nilai rata$rata dari dua nilai akar yang
diberikan. Metoda ini dapat digunakan apabila nilai dua fungsi yang dihitung pertama kali
memiliki tanda yang berla(anan dengan demikian akar yang dicari berada diantara nilai$
nilai akar yang ditetapkan pertama kali. Metoda bisection dimulai dengan menghitung f! )"
dan f!*" dengan harga a(al !) dan !* yang diberikan. +pabila harga f!)" dan f!*"
berla(anan tanda, maka akar persamaan tersebut akan terletak diantara !)dan !*, ini dapat
dilihat pada ambar ).). -elanjutnya perhitungan dilanjutkan untuk menentukan f!%"
dimana x, ! (x1-x./.. +pabila f!%" dan f!)" berla(anan tanda maka harga !% diset
menjadi !*, tetapi apabila f!%" dan f!*" berla(anan tanda maka harga !%menjadi !). terasi
perhitungan diulangi sampai harga 0x1 x.0/. 2 3 harga toleransi yang diberikan" atau harga
f(x, 2 4harga toleransi yang diberikan" dan akar persamaan r" didapat apabila salah satu
kriteria ini terpenuhi. /ari tabel ).) terlihat bah(a pada !%# ).0%&*1 f!%" # $&.&&&&&.
2arga !%ini merupakan akar persamaan yang dibutuhkan.
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
2/24
ambar ).). Metoda Bisection
+lgoritma metoda Bisection digunakan sebagai langkah komputasi sebagai berikut3
/4 5+ 6 5B 7 &,1 8 8 #stopping criteria"
59 # 5+ : 5B"7*
; f59" berla(anan tanda dengan f 5+"
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
3/24
9ontoh penentuan akar persamaan f(x ! x,- x. ,x , ! "dengan metoda bisection
ditunjukkan pada
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
4/24
9
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
5/24
9 P=RD-+ +P+D+2 ;5)" /+' ;5*" B=RB=/+
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
6/24
WR
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
7/24
dipergunakan untuk menentukan akar dari suatu fungsi dengan mengasumsi bah(a fungsi
tersebut linear pada interval !),!*" dimana f!)" dan f!*" berla(anan tanda seperti yang
diperlihatkan pada gambar ).*. 2arga !%dapat ditentukan dengan persamaan 3
( ))*)*
**% xx
)f(x)f(x
)f(xxx
= ).*.)"
-elanjutnya ditentukan harga f!%", dan bila f!%" berla(anan tanda terhadap f!)", maka
harga !%diset menjadi !*, dan apabila f!%" berla(anan tanda terhadap f!*", maka harga !%
diset menjadi !). terasi perhitungan diteruskan sampai harga J!)$ !*J 7 * K harga toleransi
atau Jf!%"J K harga toleransi yang ditetapkan.
f!"
f!*"
f!*" 6 f!)" !) !% !* !
!*6 !%
!*6 !)
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
8/24
ambar ).* Metoda Regula ;alsi
+lgoritma Metoda Regula ;alsi
/4 W2>= !* 6 !) tolerance value ), and
f!%" tolerance value *,
-et !% # !* 6 f!*" !* 6 !)"7 f!*" 6 f!)"
; f!%" of opposite sign to f !)"3
-et !* # !%.
=>-= -et !) # !%.
='/;.
='/4.
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
9/24
metoda bisection dijumpai setelah 5 iterasi. Decepatan konvergen pada metoda regula falsi
tergantung pada selisih fungsi terhadap garis lurus pada suatu interval.
Program Penentuan Akar Persamaan #engan Meto#a Regula &alsi
9 PR4R+M ?+ ;+>-99 94'
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
10/24
9 ; # 2+R+ =R+'- ?'
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
11/24
='/;
9 -=< 5 /+' ;5" B=RD?-= 5* # 5R ;* # ;R ='/; *& 94'
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
12/24
Metoda 'e(ton banyak digunakan dalam penyelesaian persamaan nonlinear.
ambaran secara grafik dari metoda ini diperlihatkan pada gambar ).%. =stimasi akar !
dimulai dengan suatu harga !) yang mendekati akar sebenarnya. +kar berikutnya !*
ditentukan dari titik yang berpotongan dengan sumbu ! yang diperoleh dengan ekstrapolasi
tangent kurva dari !). +kar !*dapat dihitung dengan persamaan
"F
"
)
))*
xf
xfxx = ).%.)"
-ecara umum dapat ditulis 3
"F
")
n
n
nn xf
xf
xx =
+ , n # ),*,%, ).%.*"
+lgoritma Metoda 'e(ton
/4 W2>= !* 6 !) tolerance value ), or
f!*" tolerance value *, or
fN!)" &,
-et !* # !) 6 f!)"7fN!)"
-et !) # !*.
='/4.
-ebagai contoh ingin ditentukan akar dari persamaan f!" # %! : sin ! $ e! # &.
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
13/24
f!"
f!)"
!* !) !
!)6 !*
ambar ).% Metoda 'e(ton
%C&)0.&1B@%B.*
&CAB)A.&%%%%%.&
"F
"
*
*
*% =
==
xf
xfxx
%C&B*)0.&1&*CC.*
)&!*[email protected]%C&)0.&
"F
" $B
%
%%B =
==
xf
xfxx
%C&B*)0&%.&1&)A)B.*
)&!B).0%C&B*)0.&
"F
" $@
B
BB1 =
==
xf
xfxx
Desalahan yang dijumpai pada iterasi ke empat adalah *.@!)&$@, jadi akar persamaan
tersebut adalah &.%C&*)0. /engan metoda 'e(ton, konvergensi lebih cepat tercapai
dibandingkan dengan metoda bisection dan metoda regula falsi, hal ini dapat dilihat pada
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
14/24
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
15/24
9 B?D+ ;>= ?'
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
16/24
R=+> ;5,/=>5
;5 # ;9'5" /4 *& E#),'>M /=>5 # ;57;/=R5"
5 # 5$/=>5 ;5#;9'5" ; .=I.&" 5".>=.5"
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
17/24
Output :asil Penentuan Akar f(x ! , x - sin x ex! " #engan Meto#a Regula &alsi
P+/+
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
18/24
ambar )..). Metoda -ecant
aris yang menghubungkan titik !), f!)"" dan !*,f!*"" memotong sumbu ! untuk
mendapatkan !%untuk aproksimasi nilai ! berikutnya. Proses iterasi dilanjutkan sampai
tercapai kriteria konvergensi f! i:)" .
Proses Iterasi #engan meto#a Se$ant3
a. /engan harga !)dan !*yang diberikan, tentukan f!)" dan f!*". -et i # *. 'ilai
diberikan.
b.
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
19/24
9arilah akar persamaan3
&")
C1,&"
)tanC1,&
")
1,)"
*
)
** =
++
+=
x
x
xx
xxf
unakan !)# &,& dan !*# &,1 sebagai apkroksimasi a(al dengan # )& $1.
Penyelesaian3
f!)" # f&,&" # $),&*)&
f!*" # f&,1" # &,&*&.
'ilai f! )" Q dan f! *" Q sehingga kriteria belum terpenuhi.
""
)*
)*"**%
xfxf
xxxfxx
= # &,@&* dan f!%" # f&,@&*" # &,&)&*.
Darena f! %" Q , dilanjutkan dengan perhitungan harga aproksimasi untuk ! .
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
20/24
i titik ix ( )ixf ( ) RJJ ixf )+ix
) &.& $).&*)&)0&0 tidak $
* &.1 &.&*&%1%) tidak &.@&**0C
% &.@&**0C &.&)&)1&)% tidak &.A1&**@
&.A1&**@ &.&&@C1&0 tidak &.A%&1%%@
1 &.A%&1%%@ &.&&*&C&& tidak &.A)@)00
C &.A)@)00 &.&&))C&AC tidak &.A)%0&C%
0 &.A)%0&C% &.&&11A&*& tidak &.A))&000
A &.A))&000 &.&&&*CA0C tidak &.A&@A)))
@ &.A&@A))) &.&&&)*A%% tidak &.A&@*&@
)& &.A&@*&@ &.&&&&C*0C tidak &.A&A@&A0
)) &.A&A@&A0 &.&&&&*AC) tidak &.A&A00&
)* &.A&A00& &.&&&&)C& tidak &.A&*0&A*
)% &.A&A0&0* &.&&&&&0*) ya $
17 Soalsoal
). Persamaan e!$ %!memiliki akar pada r # &.C)@&C)*@. unakan C iterasi untuk mencari
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
21/24
akar persamaan ini, mulai dengan interval S&,)T menggunakan metoda bisection.
*. 9arilah akar persamaan f!" # !*: ! 6 )* dengan metoda Bisection dengan ketelitian
&.&&1. unakan !)# *.1 dan !*# %.1.
%. unakan metoda bisection untuk mencari akar positif terkecil dari persamaan$
persamaan ini. unakan interval yang tepat untuk setiap persamaan, kemudian hitung
akar dengan ketelitian &.&&1.
a" e!$ ! $ * # & b" !%$ !*$ * ! : ) # &
c" *e$!$ sin ! # & d" % !%: !*$ A ! $ ) # &
.
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
22/24
( )%%*
)
)
y
yyyz
++
=
dimana 3vbyB
= , b # van der (aals correction, v adalah volume molar. Eika U #
&.A@*, berapakah harga y
)). /alam studi koleksi energi matahari dengan memfokuskan bidang kaca datar pada pusat
kolektor, >.>. Vant$2ull -olar =nergy, )A,%% )@0C" menurunkan persmaan untuk
faktor konsentrasi geometri, 9 3
( )AAD
FA
h
Ccos1.&sin)1.&
cos*
*
+
=
dimana + adalah sudut tepi dari bidang, ; adalah fraksi tertutup dari bidang oleh cermin,
/ adalah diameter kolektor, dan h adalah tinggi kolektor. 9arilah + jika h # %&&, 9 #
)*&&, ; # &.A, dan / # ).
)*. >ee dan /uffy +..9h.=. Eournal, Euly, )@0C" menghubungkan faktor friksi untuk aliran
suspensi partikel berserat terhadap bilangan Reynold melalui persamaan empiris 3
( )
+
=
f!"
f
C.1)Bln
))
dimana f adalah faktor friksi, R= bilangan Reynold, k adalah konstanta yang ditentukan
oleh konsentrasi dari suspensi. ?ntuk konsentrasi &.&A , k # &.*A. Berapa harga f jika
R= # %01&
)%. Persamaan Redlich$D(ong diberikan oleh
"
"
bvv
#A
bv
!#$
+
=
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
23/24
Eika P # A0.%, < # AC.@, v # *.&&1, +7g$mol
< # temperature, D
R # konstanta gas R # &,&A*&C atm. > 7 g$mol.D"
-
7/26/2019 BAB 1 ANUM
24/24
;aktor kompressibilitas3
!#
$%&=
a". 2itunglah V dan untuk gas ammonia pada P # 1C atm, < # 1& D menggunakan
persamaan van der Waals
b". ?langi perhitungan untuk Pr # ), *, , )& dan *&
c". Bagaimana variasi sebagai fungsi Pr.