BAB 2

BAB 2TEORI RADIASI

2.1 TEORI MAXWELL

a. Hukum Faraday

dengan

b. HUKUM AMPERE

dengan

c. HUKUM GAUSS untuk ELEKTRIK

dengan

Hubungan persamaan diatas dengan persamaan pada Hukum Ampere akan menghasilkan persamaan baru yang disebut dengan Kontinuitas

d. HUKUM GAUSS untuk MAGNET

Pada dasarnya muatan magnetic (m adalah muatan teoritik untuk mempermudah perhitungsn disamping untuk membuktikan bahwa kedua hukum Maxwel yang pertama adalah dua hukum yang simetrik dimana ruas kanan selalu mengandung turunan dari medan dan sumber (baik rapat arus J ataupun rapat arus magnetik M). Pada kenyataannya M tidak ada secara praktis, sehingga untuk hukum ke-4 Maxwell (m = 0 yang mengakibatkan Hukum kedua Maxwel hanya mengandung suku turunan medan saja.

2.2 HUBUNGAN D, B dengan E dan HHubungan antara kedua suku fluks magnetik dan elektrik dengan kedua suku medan magnetik dan elektrik dapat dituliskan sebagai berikut:

Dalam medium-medium yang tidak isotropik (tidak serba sama) suku dielektrik permitivity dan permeabilitas dalam persamaan diatas akan berbentuk Tensor (mempunyai besar dan fasa). Dalam ruang hampa kedua suku diatas ((, () akan bernilai konstan (ruang hampa) dan dalam media isotropik kedua suku tersebut dinyatakan sebagai: dan 2.3 TIME HARMONIC

Apabila medan magnetik maupun elektrik diasumsikan berbentuk fasor yang dapat dinyatakan sebagai:

dengan adanya asumsi ini maka hukum ke-1 dan ke-2 dari hukum Maxwell dapat dituliskan sebagai:

Persamaan Maxwell diatas adalah persamaan lengkap dari Hukum Maxwell yang memperhitungkan rugi-rugi media akibat bersifat tak isotropik. Untuk media yang bersifat isotropik, homogen dan tak merugi, maka persamaan Maxwell diatas menjadi bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut:

2.4 RAPAT DAYA dan POYNTINGa. POYNTING

Vektor POYNTING dapat dinyatakan sebagai:

Dalam teori EM vektor p adalah vektor yang menyatakan rapat daya dan arah energi EM mengalir. Sehingga total daya yang meninggalkan volume V dapat dinyatakan sebagai:

Karena

maka nilai poynting vektor untuk medan diatas dapat dinyatakan sebagai:

Suku ke-1 dalam persamaan Poynting adalah suku yang bukan fungsi waktu (nilai rata-rata). Suku ini adalah suku yang menyatakan besar daya EM yang mengalir.

Suku ke-2 dalam persamaan Poynting adalah suku daya yang merupakan fungsi waktu. Karena arahnya selalu berubah-ubah (dengan kecepatan 2(), maka suku ini tidak mengkontribusikan daya EM yang mengalir.

DEFINISI: POYNTING VEKTOR

b. DAYA yang DIRADIASIKANDaya yang diradiasikan oleh antena dapat dinyatakan sebagai:

2.5 PRINSIP DASAR RADIASIRadiasi disebabkan oleh akselerasi muatan (muatan sebagai fungsi waktu)

DEFINISI

Elemen Arus adalah nilai arus I sepanjang filamen Konsep elemen arus adalah konsep yang penting dalam teori gelombang EM, karena Elemen Arus tersebut adalah sumber elemen dari radiasi EM yang dapat disetarakan dengan muatan titik dalam teori EM statik. Dalam analisis antena, radiasi yang terjadi dapat disetarakan sebagai superposisi dari masing-masing elemen arus ini.

Asumsikan terdapat suatu kawat tipis yang dieksitasi dengan sebuah arus. Arus i tersebut akan mengalir menembus luasan sebesar (S, sehingga dapat dinyatakan sebagai:

dengan

Sedangkan suku (.( sendiri dapat dinyatakan sebagai rapat arus j atau:

Persamaan arus diatas dapat pula dinyakan sebagai berikut:

dengan

Jika persamaan arus tersebut berubah terhadap waktu secara tidak kontinyu maka akan berlaku:

dimana a dalah percepatan dari muatan.

Jika kedua ruas dari persamaan diatas dikalikan dengan maka akan didapatkan:

yang dapat diartyikan bahwa Sumber Arus sebagai fungsi waktu adalah sebanding dengan muatan (q) yang diselubungi oleh volume elemen arus dan sebanding pula dengan percepatan muatannya.

Gambar 2.1 Ilustrasi elemen arus

Walaupun dalam persamaan Maxwell tidak disebutkan bahwa arus sebagai fungsi waktu tersebut merupakan sumber yang menyebabkan medan EM mengalir, akan tetapi uraian berikut dapat digunakan sebagai acuan analogi dari prinsip radiasi diatas. Pandang kembali persamaan Maxwell sebelumnya:

Dengan melakukan operasi Kurl pada kedua sisi dari persamaan diatas akan didapatkan persamaan berikut ini:

Persamaan diatas dapat diartikan bahwa turunan arus listrik terhadap waktu merupakan sumber dari gelombang vektor e yang mengalir dalam media homogen dan isotropik. Demikian pula yang terjadi pada rumusan kedua dari hukum Maxwell diatas.

Untuk mendapatkan akselerasi pada muatan listrik sebagaimana persamaan sebelumnya, maka kondisi yang diperlukan adalah melakukan perubahan secara tiba-tiba pada pergerakan muatan. Perubahan tiba-tiba tersebut dapat dilakukan dengan cara menekuk atau membuka ujung kawat tersebut ataupun dengan mengubah karakteristik kelistrikan dari media tersebut. Berikut Ringkasan penyebab terjadinya radiasi:1. Jika tidak ada gerakan muatan maka arus = 0 sehingga tidak ada radiasi

2. Jika mutan bergerak dalam kecepatan yang seragam (misal dalam kabel) maka radiasi juga belum tercipta

3. Jika pergerakan uatan tersebut diganggu, misalnya kawat ditekuk atau dibuka pada ujungnya, maka radiasi tercipta.

2.6 POTENSIAL VEKTOR dan SKALARDalam analisis antena maka proses yang dilakukan adalah mendapatkan parameter Antena dari suatu bentukan antena dengan sumber yang diketahui pada suatu koordinat yang ditentukan.

Sedangkan proses sebaliknya (Desain) adalah proses mendapatkan kembali bentuk sumber radiasi dari medan yang diketahui dalam suatu koordinat (volum).Untuk mempermudah proses Analisis antena maka banyak ahli antena memaparkan konsep Potensial (baik Vektor maupun Skalar) sebagai berikut:

A. VEKTOR POTENSIAL MAGNETIK (A)

Asumsikan terdapat suatu sumber elektrik ( dan () maka dengan persamaan Maxwell akan didapatkan:

Karena maka dapat diasumsikan

sehingga subtitusi pada persamaan Maxwell diatas akan didapatkan persamaan sebagai berikut:

Dalam daerah Homogen dan Isotropik persamaan diatas dapat dituliskan sebagai:

Dimana ( menyatakan potensial skalar yang memainkan peran penting dalam medan statik. Karena maka tanda kurl kurl pada persamaan diatas dapat dihilangkan sehingga didapatkan persamaan berikut:

dan

Jika media yang digunakan mempunyai rugi-rugi, maka persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut:

dimana . ( adalah konstanta atenuasi dari media dan ( adalah beda fasa. Sebagai contoh apabila media yang digunakan mempunyai konduktivitas sebesar ( maka nilai ( dapat dituliskan sebagai:

B. VEKTOR POTENSIAL MAGNETIK (F)

Medan Magnetik umumnya berbentuk Solenoid dan nilai divergensinya 0 karena medan tersebut tidak mempunyai muatan magnetik. Akibatnya tidak memungkinkan terjadinya arus magnetik. Suku M dalam persamaan Maxwell adalah suku ciptaan untuk melengkapi bentuk persamaan Maxwel untuk elektrik sedemikian rupa sehingga nantinya J dapat di-analogi kan dengan M.

Dalam analisis untuk magnetik nilai J = 0 demikian juga nilai ( nya. Karena itu secara magnetik persamaan Maxwell dapat dituliskan sebagai:

Karena tidak adanya unsur J mapun ( maka atau dengan kata lain D akan berbentuk solenoidal, sehingga F (vektor potensial magnetik) dapat dituliskan sebagai:

Dengan manipulasi matematika sebagaimana penurunan vektor potensial untuk elektrik, maka vektor F dapat dituliskan sebagai berikut:

dimana ( adalah potensial skalar magnetik

RESUME

Berikut resume dari penurunan sebelumnya.

2.7 SOLUSI UNTUK POTENSIAL VEKTOR

Asumsikan terdapat suatu sumber arus Jz yang diletakkan pada pusat koordinat x,y,z. Karena asumsi awal arus hanya mempunyai komponen kearah z, maka potensial vektor A juga hanya mempunyai komponen ke-arah z. Sehingga kondisi ini dapat dituliskan sebagai (persamaan gelombang):

dengan sebagaimana persamaan dalam sub bab 2.6. Jika sumber dihilangkan atau J = 0 maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:

Dalam koordinat bola persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai:

Apabila persamaan tersebut diselesaikan (gunakan prinsip turunan atau diferensial), maka akan didapatkan persamaan sebagai berikut:

yang mempunyai bentuk penyelesaian

Karena asumsi awal adalah timbulnya medan kearah keluar dari pusat bola, maka penyelesaian persamaan Difrensial diatas dipilih suku Az1 saja (medan kearah keluar)

Kasus kedua, apabila Jz ( 0, dan k = 0 maka persamaan gelombang sebelumnya dapat dituliskan sebagai:

Persamaan ini umum disebut sebagai persamaan Poisson yang mempunyai penyelesaiaan sebagai berikut:

Persamaan penyelesaian diatas adalah penyelesaian bagi sistem statik, yaitu sistem yang tidak berubah terhadap waktu yang ditandai dengan nilai k = 0 (perhatikan bahwa k mempunyai suku (, sehingga apabila k = 0 berarti sistem tak mempunyai frekuensi atau dalam kondisi statik). Untuk sistem-sistem yang berubah terhadap waktu atau k ( 0, maka penyelesaian sistem diatas dapat dituliskan sebagai

Apabila sumber arus J berarah ke x, y ataupun ke arah z secara umum medan potensial vektor dapat dituliskan sebagai

dengan analogi yang sama maka medan potensial yang diakibatkan oleh sumber tiruan M dapat dinyatakan sebagai:

Persamaan-persamaan diatas akan menjadi sederhana apabila distribusi arus J dan M hanya mempunyai komponen tertentu saja (misal kearah panjang, atau tersebar dalam permukaan logam saja). Sebagai contoh, jika sumber arus tersebar dalam seutas kawat, maka sumber tersebut dapat dinyatakan sebagai Ie dan Im saja sedemikian rupa sehingga persamaan penyelesaian medan potensial vektor dapat dinyatakan sebagai:

_1337799114.unknown

_1337799831.unknown

_1337800364.unknown

_1337801103.unknown

_1337801267.unknown

_1337801282.unknown

_1337800555.unknown

_1337800045.unknown

_1337799363.unknown

_1337799581.unknown

_1337799170.unknown

_1337798847.unknown

_1337798950.unknown

_1332779268.unknown