bab 3 aliran boleh mampat satu dimensi

Bab 3

ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU

DIMENSI

3.1 Bendalir Tak Boleh Mampat dan Boleh Mampat

Bendalir tak boleh mampat tidak wujud dalam praktis. Sebutan ini sebenarnya digunakan

untuk merujuk kepada bendalir yang, apabila dikenakan tekanan, mengalami perubah-

an ketumpatan yang terlalu kecil sehingga boleh diabaikan. Ini berlaku dalam hampir

semua kes yang melibatkan cecair.

Gas juga boleh dianggap tidak boleh mampat sekiranya perubahan tekanan kecil diban-

dingkan dengan tekanan mutlak. Aliran udara di dalam sistem pengalihudaraan adalah

contoh kes gas yang dikira tak boleh mampat kerana perubahan tekanannya begitu kecil

untuk memberikan sebarang kesan ke atas ketumpatannya. Begitu juga dengan pesa-

wat udara yang terbang pada kelajuan 400 km/j; ketumpatan udara masih boleh dikira

malar. Tetapi bagi objek yang bergerak di dalam udara yang menghampiri laju bunyi

(1150 km/j), tekanan dan ketumpatan bendalir yang bersebelahan dengannya menga-

lami perubahan yang ketara dibandingkan dengan udara yang berada jauh dari objek;

dalam keadaan sebegini, udara mestilah dianggap sebagai bendalir boleh mampat.

3.1.1 Haba Tentu

Haba tentu ditakrif sebagai kuantiti haba yang diperlukan untuk meninggikan satu unit

suhu satu unit jisim bendalir,

c =dq

dT

dengan dq adalah haba yang ditambah ke satu unit jisim bendalir dan dT pula ialah

pertambahan suhu yang terhasil.

Nilai haba tentu bergantung kepada proses pertambahan haba; dua proses yang akan

50

BAB 3. ALIRAN BOLEHMAMPAT SATU DIMENSI 51

kita temui ialah pertambahan haba tentu pada isipadu malar dan tekanan malar. Jadi

cv =

(dq

dT

)

isipadu malar

(3.1a)

cp =

(dq

dT

)

tekanan malar

(3.1b)

Hubungan-hubungan di antara haba tentu, cp, cv, nisbah di antara kedua-duanya, γ, dan

pemalar gas, R, diberikan oleh

cp

cv= γ (3.2)

cp − cv = R (3.3)

cp =γ

γ − 1R (3.4)

cv =1

γ − 1R (3.5)

3.1.2 Persamaan Keadaan Gas Sempurna

Gas sempurna ditakrif sebagai bendalir yang mempunyai haba tentu yang malar dan

mematuhi hukum

p = ρRT (3.6)

dengan p dan Tmasing-masing adalah tekanan dan suhumutlak, ρ ketumpatan bendalir

dan R pula ialah pemalar gas. Persamaan (3.6) dikenali sebagai persamaan keadaan untuk

gas sempurna.

3.1.3 Proses-proses Termodinamik Gas Sempurna

Proses isotermal. Mampatan dan pengembangan gas boleh berlaku dengan mematuhi

berbagai hukum termodinamik. Jika suhu dikekal malar, proses ini dikenali seba-

gai isotermal dan hubungan tekanan-ketumpatan diberikan oleh hukum Boyle

p

ρ= pemalar (3.7)

Proses adiabatik. Jika proses berlaku tanpa haba ditambah atau dikeluarkan daripada

bendalir (iaitu pemindahan haba adalah sifar), proses ini dinamai adiabatik. Jika

proses adiabatik ini juga bolehbalik (iaitu tanpa geseran), ia disebut isentropik kera-

na proses tidak mengalami perubahan entropi.

Hubungan tekanan-ketumpatan bagi proses isentropik diberikan oleh

p

ργ= pemalar (3.8)

dengan γ = cp/cv; nisbah haba tentu.


Proses politropik. Kita boleh mengungkapkan satu hubungan umum di antara tekanan

dan ketumpatan untuk setiap proses di atas menerusi satu persamaan umum,

p

ρn= pemalar (3.9)

dengan indeks n berbeza untuk setiap proses. Jika

1. n = 0, p = pemalar, proses isobarik,

2. n = 1, T = pemalar, proses isotermal,

3. n = γ, s = pemalar, proses isentropik.

3.2 Kebolehmampatan

Kebolehmampatan adalah ukuran perubahan isipadu (atau ketumpatan) apabila tekan-

an bertindak ke atas sesuatu bahan. Ukuran ini diwakili oleh pekali kebolehmampatan, β.

Sementara itu, bendalir mungkin dimampatkan apabila tekanan bertindak ke atasnya

dan ini mengurangkan isipadu di samping menghasilkan terikan isipadu. Bendalir yang

termampat begini akan kembali kembang kepada isipadu asalnya sebaik sahaja tindak-

an tekanan dihilangkan. Sifat kebolehmampatan sesuatu bendalir ini dirumuskan oleh

modulus keanjalan pukal, κ, yang juga merupakan kebalikan pekali kebolehmampatan;

κ =1

β

Sekiranya tokokan tekanan dp menyebabkan berlaku kesusutan isipadu dV, maka mo-

dulus keanjalan pukal boleh ditulis sebagai

κ = − dp

dV/V(3.10)

dengan V sebagai isipadu asal bendalir. Modulus keanjalan pukal tidak malar tetapi

bertambah dengan bertambahnya tekanan.

Daripada takrif ketumpatan kita memperolehi

ρ =m

V

Oleh kerana jisim m bagi sesuatu isipadu V malar, ρ boleh dibezakan menjadi

dρ = d(m

V

)

= −mdV

V2= −ρ

dV

V

atau

−dV

V=

dρ

ρ(3.11)

Daripada persamaan (3.10) and (3.11),

κ = ρdp

dρ(3.12)


• Untuk proses isotermal,

p

ρ= pemalar

Oleh itu

dp

dρ= pemalar =

ρ

p

dan modulus keanjalan pukal

κ = p (3.13)

• Untuk proses isentropik,

p

ργ= pemalar

Bezakan, dp = pemalar

γργ−1dρ = γργ−1dρp

ργ= γ

dρ

ρp

Oleh itu

dp

dρ= γ

(p

ρ

)

dan modulus keanjalan pukal

κ = ργ

(p

ρ

)

= γp (3.14)

Halaju bunyi menerusi bendalir diungkapkan oleh

a =

√

dp

dρ(3.15)

Jadual 3.1: Modulus pukal air dan udara.

κ

Bendalir (×103 N/m2)

Udara (proses isotermal) 100

Udara (proses isentropik) 140

Air 2.11

Gangguan-gangguan tekanan kecil bergerak menerusi bendalir pada kelajuan yang ber-

gantung kepadamodulus keanjalan pukal dan ketumpatan bendalir. Menerusi persama-


an (3.12) dan (3.15),

a =

√κ

ρ(3.16)

dengan a adalah halaju bunyi di dalam bendalir. Nilai-nilai modulus pukal κ untuk

udara dan air pada keadaan-keadaan piawai dijadualkan di dalam Jadual 3.1.

3.3 Beberapa Konsep Asas Termodinamik

3.3.1 Proses Bolehbalik dan Tak Bolehbalik

Apabila sifat-sifat fizikal sesuatu bendalir (seperti tekanan, suhu dan ketumpatan) diu-

bah, sistem dikatakan telah mengalami satu proses. Proses ini dikatakan bolehbalik seki-

ranya bendalir dan persekitarannya dapat dikembalikan sepenuhnya kepada keadaan-

keadaan asal dengan menambah (atau mengeluarkan balik) jumlah haba dan kerja yang

telah dikeluarkan (atau ditambah) semasa proses tadi berlaku.

Proses bolehbalik adalah satu proses unggul yang sama sekali tidak mungkin dicapai da-

lam praktis. Kesan-kesan likat dan geseran melesapkan tenaga mekanikal sebagai haba

yang tidak boleh ditukar kembali kepada tenaga mekanikal tanpa perubahan-perubahan

lain turut berlaku. Oleh yang demikian, dalam praktis semua proses adalah tak bolehba-

lik.

3.3.2 Tenaga Dalaman dan Entalpi

Tenaga molekul bendalir boleh mampat terhasil disebabkan oleh aktiviti molekul yang

bertambah dengan bertambahnya suhu. Di dalam sesuatu gas aktiviti molekul ini juga

menghasilkan tekanan yang mewakili sebahagian daripada tenaga molekul yang bia-

sanya ditukarkan kepada kerja mekanikal. Dalam termodinamik, tenaga molekul ini

dikenali sebagai entalpi

h = u + pv = u +p

ρ(3.17)

dengan h adalah entalpi atau tenaga molekul seunit jisim, v ialah isipadu tentu (= V/m),

u ialah tenaga dalaman seunit unit jisim, iaitu sebahagian tenaga molekul yang bukan

terhasil daripada tenaga tekanan seunit jisim p/ρ. Tenaga dalaman adalah tenaga kinetik

molekul dan daya-daya di antara molekul yang bergantung kepada suhu; suhu rendah

atau tinggi memberikan tenaga dalaman sepadan yang rendah atau tinggi.

3.3.3 Hukum Pertama Termodinamik

Hukum ini mewakili prinsip keabadian tenaga. Ia menyatakan bahawa

tenaga tidak boleh dicipta atau dimusnahkan tanpa proses nuklear, tetapi boleh diubah

bentuknya.


Ujikaji telah menunjukkan bahawa haba adalah satu bentuk tenaga yang boleh diungkap

dalam unit-unit tenaga mekanikal menerusi tenaga mekanikal yang setara dengan haba.

Jika satu kuantiti kecil tenaga ditambah kepada satu sistem homogeneous mudah (iai-

tu satu sistem yang terdiri daripada satu bendalir yang sifat-sifat termodinamiknya se-

ragam), tenaga ini, menerusi hukum pertama termodinamik, boleh ditukarkan kepada

pelbagai bentuk tenaga seperti pertambahan tenaga kinetik molekul (iaitu tenaga dalam-

an), pertambahan tenaga kinetik sistem, dan kerja (mekanikal) terlaku luaran.

Sekiranya sistem bendalir ini statik, hukum pertama termodinamik menyatakan bahawa

kuantiti kecil haba yang ditambah ke dalam sesuatu sistem mudah adalah sama dengan

perubahan tenaga kinetik molekul campur kerja mekanikal yang dilakukan oleh sistem.

Jadi

dq = du + dw (3.18)

dengan dq adalah kuantiti tenaga yang ditambah ke dalam sistem, du ialah tenaga da-

laman se unit jisim bendalir, dan dw kerja mekanikal terlaku oleh sistem.

Jika p tekanan dan v isipadu per unit jisim, persamaan (3.18) boleh ditulis dalam bentuk

dq = du + p dv = du + p d

(1

ρ

)

(3.19)

3.3.4 Entropi

Entropi sesuatu gas boleh ditakrif sebagai ukuran kebolehsediaan tenaga haba untuk

ditukarkan kepada kerja mekanikal. Jika dq adalah kuantiti haba yang diberikan kepada

bendalir per unit jisim, dan s adalah entropi per unit jisim bendalir, maka perubahan

dalam entropi per unit jisim disebabkan oleh haba yang diserap oleh bendalir ialah

ds =dq

T(3.20)

dengan T adalah suhu mutlak bendalir.

Jika dqe adalah tenaga haba per unit jisim yang ditambah dari luar dan dqi pula ialah

tenaga haba per unit jisim yang terbentuk di dalam sistem bendalir, maka jumlah tenaga

yang diterima oleh bendalir ialah

dq = dqe + dqi (3.21)

Daripada persamaan (3.20) dan (3.21), kita memperolehi

ds =dqeT

+dqiT

(3.22)

Entropi yang malar (iaitu ds = 0) memerlukan dq = 0. Keadaan ini boleh dicapai seki-

ranya tiada haba menembusi di antara bendalir dan persekitarannya (iaitu dqe = 0), dan

tiada tenagamekanikal yang ditukarkan kepada tenaga haba oleh geseran (iaitu dqi = 0).


Dalam praktis proses tanpa geseran sukar didapati jadi dqi , 0 dan jika tenaga haba dari

sumber luar sama dengan sifar (iaitu dqe = 0), maka untuk proses adiabatik

ds =dqiT

> 0 (3.23)

3.3.5 Hukum Kedua Termodinamik

Hukum kedua termodinamik adalah hasil pemerhatian dan ujian ujikaji yang boleh di-

simpulkan dalam bentuk fakta-fakta berikut:

• Haba tidak boleh dipindahkan daripada jasad suhu rendah kepada jasad suhu tinggi

tanpa perubahan-perubahan lain di dalam kedua-dua sistem berlaku serentak.

• Haba daripada satu sumber tunggal tidak boleh ditukarkan kepada kerja meka-

nikal tanpa perubahan-perubahan lain di dalam sistem dan persekitaran berlaku

serentak.

• Pemindahan tenaga daripada kerja mekanikal kepada tenaga haba adalah tak bo-

lehbalik.

• Di dalam sesuatu sistem yang terasing (iaitu tiada pemindahan haba), entropi tidak

boleh susut. Entropi selalu bertambah jika proses tak bolehbalik.

3.4 Parameter yang Mengawal Aliran Boleh Mampat

Terdapat empat parameter yang mengawal fenomena aliran bendalir likat boleh mampat,

iaitu

1. nisbah haba tentu,

2. nombor Mach,

3. nombor Reynolds, dan

4. nombor Prandtl.

Nisbah haba, γ, ialah nisbah

haba tentu bendalir pada tekanan malar

haba tentu bendalir pada isipadu malar

atau

γ =cp

cv(3.24)

yang merupakan ukuran kekusutan zarah-zarah bendalir.


Nombor Mach, M, mewakili ukuran kesan kebolehmampatan dan ditakrif sebagai nis-

bah halaju arus bebas (atau halaju jasad menerusi bendalir) dan halaju bunyi di dalam

bendalir. Ia diungkapkan sebagai

M =v

a(3.25)

dengan v adalah halaju bendalir (atau halaju jasad yang bergerak) dan a pula ialah halaju

bunyi di dalam bendalir. Untuk aliran isentropik, persamaan (3.12) dan (3.13) mengha-

silkan

a =

√γp

ρ=√

γRT (3.26)

Nombor Reynolds, Re, adalah satu ukuran kesan likat bendalir, sementara nombor Pran-

dtl, Pr, pula adalah ukuran peri mustahaknya pengaliran haba dan kelikatan bendalir. Ia

adalah nisbah kelikatan kinematik dan kemeresapan haba1 bendalir,

Pr =µ/ρ

K/ρcp(3.27)

dengan K adalah keberaliran haba2.

Bagi pemodelan aliran boleh mampat di sekitar dua jasad yang serupa, kedua-dua jasad

mestilah serupa secara geometri dan keempat-empat paramater yang dihuraikan di atas

mestilah sama;

γmodel = γprototaip

Mmodel = Mprototaip

Prmodel = Prprototaip

Remodel = Reprototaip

Bagi aliran boleh mampat yang tak likat, faktor nombor Reynolds dan nombor Prandtl

boleh diabaikan; yang perlu diambilkira ialah nisbah haba tentu dan nombor Mach.

3.5 Regim-regim Aliran Boleh Mampat

Berdasarkan nilai nombor Mach, lima regim aliran biasanya dikelaskan seperti berikut

(Hodge & Koenig, 1995):

Aliran Tak Boleh Mampat: Nombor Mach kecil berbanding dengan satu, biasanya (0 <

M < 0.3) untuk gas sempurna. Dalam julat ini, kesan kebolehmampatan selalunya

abaikan.

Aliran Subsonik: Nombor Mach masih lagi kurang daripada satu tetapi berada di luar

julat aliran tak boleh mampat, julat (0.3 < M < 1.0).

1thermal diffusivity2thermal conductivity


Aliran Transonik: Nombor Mach adalah di sekitar satu, iaitu kurang sedikit atau lebih

sedikit, menurut julatnya (0.8 < M < 1.2).

Aliran Supersonik: Nombor Mach melebihi satu, (M > 1).

Aliran Hipersonik: Nombor Mach jauh melebihi satu, (M >> 1.0). Nilai nombor Ma-

ch yang memisahkan regim supersonik daripada regim hipersonik adalah dalam

sekitar 5.

3.6 Kon Mach, Garis Mach dan Gelombang Kejutan

Sesuatu gangguan tekanan (atau denyutan tekanan) di dalam bendalir boleh mampat

yang pegun diperambatkan pada kelajuan bunyi secara seragam dalam semua arah. De-

ngan itu kita boleh menyatakan bahawa gangguan tekanan diperambatkan sebagai satu

permukaan gelombang yang berbentuk sfera.

Pertimbangkan satu objek kecil (misalnya, projektil) yang bergerak dari kanan ke kiri di

dalam bendalir pegun dengan halaju yang lebih kecil dari halaju bunyi (0 < v < a). Ge-

rakan objek ini menghasilkan gangguan tekanan yang diperambatkan, secara sfera, me-

nuju keluar daripada objek dengan halaju bunyi a. Jika objek ini tidak bergerak (relatif ke

bendalir), muka gelombang akan tersebar secara sfera dan akan mempunyai kedudukan

yang ditunjukkan di dalam Rajah 3.1 bagi jedamasa berturutan dt = (t2 − t1) = (t3 − t2).

Kedudukanmuka gelombang untuk 0 < v < a ditunjukkan di dalam Rajah 3.1. Bahagian

gelombang di hadapan objek bergerak lebih perlahan dari bahagian belakang; halaju di

hadapan objek ialah (a− v).

Jika halaju objek bertambah sehingga nilai halaju bunyi, v = a, rujuk Rajah 3.1, muka

gelombang tidak bergerak terlebih ke hadapan daripada objek itu sendiri tetapi tampak

seolah-olah pegun. Muka-muka gelombang bergabung untuk membentuk satah muka

gelombang yang tangen ke bahagian hulu sementara gelombang hilir bergerak pada kela-

juan (v+ a). Dalam kes ini, gelombang tekanan tidak berupaya bergerak ke hulu melaw-

an aliran yang menghampiri objek, dan bendalir di hadapan satah muka gelombang ini

tidak terpengaruh oleh gerakan objek.

Apabila halaju objek melebihi halaju bunyi, v > a dan M > 1, setiap gelombang tekanan

bergabung untuk membentuk muka gelombang yang berbentuk kon. Bentuk kon muka

gelombang ini dikenali sebagai kon Mach, Rajah 3.1. Bendalir di hadapan kon ini tidak

terganggu tetapi secara mendadak mengalami perubahan tekanan, suhu dan ketumpatan

apabila ia melewati kon Mach. Garis pemisah di antara bendalir di hulu yang belum

terganggu dan bendalir yang mengalami perubahan mendadak ini membentuk satu ga-

risan maya yang dikenali sebagai garisan gelombang kejutan.

Sudut separuh-vertek kon Mach, dikenali juga sebagai sudut Mach, diberikan oleh hu-

bungan

sin α =a

v(3.28)


Rajah 3.1: Kon Mach, Fox & McDonald (1985).

Dalam dua dimensi, konMach menjadi sepasang garisan, setiap satu dipanggil garis Ma-

ch atau gelombang Mach, yang saling memintas. Daripada persamaan (3.28), jelas bahawa

nombor Mach,

M =v

a=

1

sin α(3.29)

3.7 Persamaan-persamaanMenakluk Aliran Boleh Mampat

Dalam kajian aliran tak boleh mampat kita hanya perlu mencari halaju dan tekanan di

setiap titik dalam ruang yang dikaji. Dalam aliran boleh mampat kita perlu menentukan

halaju, tekanan, ketumpatan dan suhu bendalir (satu kuantiti vektor dan tiga kuantiti

skalar). Untuk menentukan keempat-empat kuantiti ini kita memerlukan satu persama-

an vektor dan tiga persamaan skalar. Kesemua persamaan yang diperlukan ini dibekalk-

an oleh

1. persamaan keadaan untuk gas sempurna,

2. persamaan keterusan,


3. persamaan momentum, dan

4. persamaan tenaga.

3.7.1 Persamaan keadaan

Untuk gas sempurna, persamaan keadaan diberikan oleh persamaan (3.6)

p = ρRT

3.7.2 Persamaan keterusan

Persamaan keterusan umum di dalam koordinat kartesan bagi aliran bendalir boleh

mampat boleh ditulis sebagai

∂p

∂t+

∂(ρu)

∂x+

∂(ρv)

∂y+

∂(ρw)

∂z= 0 (3.30)

Kadar aliran jisim sepanjang satu tiub arus yang sempit boleh diungkapkan sebagai

ρAv = pemalar (3.31)

Dengan membezakan persamaan (3.31) dan membahagikannya dengan ρAv, kita men-

dapat

dρ

ρ+

dA

A+

dv

v= 0 (3.32)

3.7.3 Persamaan momentum (Persamaan Euler)

Persamaan Euler diperolehi menerusi hukum pengabadian momentum. Daya bersih ke

atas isipadu kawalan dalam arah-x ialah

Fx = pA− (p + dp)(A + dA) + 12 [p + (p + dp)][(A + dA) − A]− dFµ (3.33)

Sebutan 12 [p + (p + dp)][(A + dA) − A] mewakili komponen daya disebabkan tekanan

yang bertindak ke atas permukaan luar yang melengkung dalam arah-x. Susun semula

persamaan (3.33) sambil mengabaikan sebutan-sebutan order tinggi seperti (dp dA) bagi

mendapat

Fx = −A dp− dFµ (3.34)

Perbezaan di antara kadarmomentum yangmeninggalkan isipadu kawalan, Mkeluar, dan

kadar momentum yang memasuki isipadu kawalan, Mmasuk, diberikan oleh

Mkeluar − Mmasuk = ∆M = ρ v A[(v + dv) − v] = ρ v A dv (3.35)


Hukum pengabadian momentum memerlukan supaya daya bersih, Fx, yang bertindak

ke atas isipadu kawalan sama dengan kadar perubahan momentum ∆M, jadi

Fx = ∆M

atau

−A dp− dFµ = ρ v A dv (3.36)

Jika kesan geseran diabaikan, iaitu dFµ = 0, persamaan (3.36) menjadi

dp

ρ+ v dv = 0 (3.37)

3.7.4 Persamaan tenaga

Sungguh pun persamaan momentum bebas daripada kesan kebolehmampatan, persa-

maan tenaga amat bergantung kepada perubahan ketumpatan. Persamaan tenaga yang

umum untuk aliran mantap sebarang bendalir diberikan sebagai

q =

(p2ρ2

+v222

+ gz2

)

−(p1ρ1

+v212

+ gz1

)

+ (u2 − u1) + w (3.38)

dengan q adalah haba yang dibekalkan kepada sistem bendalir per unit jisim, w ialah

kerja terlaku oleh bendalir per unit jisim,

q =Q

ρ1A1v1

w =W

ρ1A1v1

dan Q ialah haba per saat yang dibekalkan kepada sistem danW adalah kerja terlaku per

saat.

Persamaan (3.38) boleh digunakan di sebarang dua titik sepanjang satu garisarus. Jika

tiada haba ditambah ke dalam (atau disari keluar) bendalir di antara dua titik ini, dan

tiada kerja mekanikal dilakukan, kita boleh meletak q = 0 dan w = 0 ke dalam persama-

an (3.38) dan mendapat

0 =

(p2ρ2

+v222

+ gz2

)

−(p1ρ1

+v212

+ gz1

)

+ (u2 − u1) (3.39)

Oleh kerana entalpi per unit jisim diberikan oleh persamaan (3.17) sebagai

h = u +p

ρ

persamaan (3.39) boleh dipermudahkan kepada

h +v2

2+ gz = pemalar (3.40)


Persamaan (3.40) mewakili bentuk am persamaan tenaga untuk sistem aliran adiabatik,

mantap yang bendalirnya (cecair, gas atau wap) tidak melakukan kerja ke atas perseki-

taran atau sebaliknya.

Jika bendalir adalah gas sempurna,

h = cpT

persamaan (3.40) menjadi

cpT +v2


Dari persamaan keadaan untuk gas sempurna,

p = ρRT atau T =p

ρR=

p

ρ(cp − cv)

Gantikan untuk T di dalam persamaan (3.41)

cp

cp − cv

p

ρ+

v2


Menerusi cp/cv = γ, persamaan (3.42) menjadi

γ

γ − 1

p

ρ+

v2


Tenaga upayawujud kerana ketinggian aras bendalir. Jika bendalir yangmengalir adalah

sejenis gas, sebutan tenaga upaya biasanya terlalu kecil dibandingkan dengan sebutan-

sebutan lain kerana berat tentu gas yang sangat kecil. Jadi sebutan tenaga upaya, gz, di

dalam persamaan (3.43) selalunya diabaikan, menjadikan

γ

γ − 1

p

ρ+

v2

2= pemalar (3.44)

dan persamaan (3.40) menjadi

h +v2

2= pemalar (3.45)

Persamaan (3.44) lebih bermakna apabila diungkapkan dalam sebutan suhu, menerusi

p = ρRT untuk menjadikannya

γ

γ − 1RT +

v2

2= pemalar (3.46)


3.8 Pembolehubah Aliran dalam Sebutan Nombor Mach

Dari rumus halaju bunyi kita tahu

a2 =dp

dρ

dan darinya

dρ =1

a2dp (3.47)

Jika kita hadkan analisis berikut kepada aliran isentropik gas sempurna dengan

p = pemalar× ργ dan p = ρRT

kita mendapat

T = pemalar× p(γ−1)/γ

Bezakan dan hapuskan pemalar,

dT

T=

γ − 1

γ

dp

p(3.48)

Perubahan-perubahan dalam halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan boleh dirumus da-

lam sebutan nombor Mach. Untuk mendapatkan hubungan-hubungan ini persamaan-

persamaan keterusan, keadaan untuk gas sempurna, aliran isentropik dan tenaga digu-

nakan.

Bagi perubahan tekanan, kita boleh menulis

dp

p=

−γM2

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.49)

dan perubahan suhu,

dT

T=

−(γ − 1)M2

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.50)

Perubahan ketumpatan diberikan oleh

dρ

ρ=

−M2

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.51)


sementara perubahan luas pula oleh

dA

A=

−(1− M2)

1+γ − 1

2M2

dM

M(3.52)

Persamaan (3.52) boleh dikamil bagi mendapatkan satu hubungan di antara luas leher

genting, A∗ (iaitu titik nombor Mach bernilai satu) dan luas A di sebarang keratan di

mana M <> 1.

A

A∗ =1

M

(2+ (γ − 1)M2

γ + 1

) γ+12(γ−1)

(3.53)

Persamaan (3.53) unik kerana nombor Mach ditentukan oleh nisbah luas dan γ sahaja.

3.9 Titik Genangan

Titik genangan adalah titik halaju sifar. Oleh kerana tekanan, suhu dan ketumpatan sa-

ling berkait di dalam aliran boleh mampat, sebarang perubahan tekanan akan memberi

kesan ke atas suhu. Tekanan di titik genangan dikenali sebagai tekanan genangan, p0.

Persamaan (3.44) dikenali sebagai persamaan tekanan untuk aliran nirputaran yang malar.

Jika p0 dan ρ0 adalah tekanan dan ketumpatan di titik yang bendalirnya pegun, persa-

maan (3.44) boleh diungkapkan sebagai

γ

γ − 1

p

ρ+

v2

2=

γ

γ − 1

p0ρ0

(3.54)

Persamaan (3.54) selalunya dirujuk sebagai persamaan tekanan atau persamaan Bernou-

lli bagi aliran adiabatik boleh mampat. Sementara itu persamaan (3.45) menghubungkan

entalpi dan halaju. Jika digantikan sebutan entalpi di dalam persamaan ini dengan se-

butan suhu (h = cpT), persamaan (3.45) menjadi

cpT +v2

2= pemalar (3.55)

Jika tekanan, suhu dan ketumpatan di titik genangan ini masing-masing ialah p0, T0, dan

ρ0, persamaan (3.55) boleh ditulis sebagai

cpT +v2

2= cpT0 (3.56)

Bahagikan persamaan (3.56) dengan cpT, kita memperolehi

1+v2

2cpT=

T0T

(3.57)


3.9.1 Aliran isentropik gas sempurna

Terdahulu, kita telah pun menerbitkan untuk aliran isentropik gas sempurna,

p = ρRT (3.6)

p

ργ= pemalar (3.8)

dan dengan menghilangkan ρ dari persamaan (3.6) dan (3.8), kita boleh menulis

T2T1

=

(p2p1

)γ−1γ

(3.58)

Juga

cp =γ

γ − 1R (3.4)

a =√

γRT (3.26)

dan dengan itu, persamaan (3.57) kini mengambil bentuk

1+γ − 1

2

v2

a2=

T0T

(3.59)

dan seterusnya, dari takrif nombor Mach, kita boleh menulis

T0T

= 1 +γ − 1

2M2 (3.60)

Menerusi persamaan (3.58), nisbah tekanan genangan p0 ke tekanan arus yang tidak ter-

ganggu p (disebut juga tekanan statik boleh dikaitkan dengan nisbah suhu, T0/T dalam

persamaan (3.60):

p0p

=

(T0T

) γγ−1

=

(

1 +γ − 1

2M2

) γγ−1

(3.61)

Akhir sekali, nisbah ketumpatan genangan ρ0 ke ketumpatan statik ρ bagi aliran isentro-

pik ialah

ρ0ρ

=

(p0p

) 1γ

=

(

1+γ − 1

2M2

) 1γ−1

(3.62)


3.9.2 Keadaan-keadaan genting

Sungguhpun keadaan genangan amat berguna sebagai keadaan rujukan bagi ciri-ciri ter-

modinamik, ia tidak begitu sesuai untuk situasi v = 0. Satu nilai rujukan yang sesuai

untuk halaju ialah laju genting—laju pada nombor Mach sama dengan satu. Walaupun

tidak ada sebarang titik di dalam aliran itu yang mengalami keadaan M = 1, keadaan

hipotesis ini amat baik dijadikan sebagai keadaan rujukan.

Jika kita gunakan bintang (*) sebagai mewakili keadaan-keadaan pada M = 1, kita boleh

mentakrif

v∗ = a∗ (3.63)

Bagi gas sempurna dengan γ = 1.4, persamaan-persamaan (3.60), (3.61) dan (3.62)

masing-masing menjadi

T0T∗ =

(

1+γ − 1

2

)

= 1.2 (3.64)

p0p∗

=

(

1+γ − 1

2

)γ/(γ−1)

= 1.893 (3.65)

dan

ρ0ρ∗

=

(

1+γ − 1

2

)1/(γ−1)

= 1.577 (3.66)

3.10 Aliran Menerusi Salur yang Berubah Luas

Dalam konsep aliran satu dimensi semua kuantiti aliran seperti halaju, tekanan, suhu

dan ketumpatan dianggap malar di sesuatu keratan rentas pembuluh aliran. Oleh yang

demikian aliran boleh dihurai dalam sebutan satu koordinat, iaitu jarak di sepanjang

paksi pembuluh, katalah x, dan masa t.

Tanpa geseran (iaitu aliran isentropik) halaju aliran tidak berubah. Kehadiran lapisan

sempadan membuatkan aliran bendalir yang sebenar bukan satu dimensi. Sungguh pun

demikian, bagi aliran yang tidak membentuk lapisan sempadan yang tebal, anggapan

aliran satu dimensi masih dapatmemberikan penyelesaian yang baik. Oleh kerana halaju

dan tekananmalar di sesuatu keratan rentas, suhu dan ketumpatan turutmalar menerusi

persamaaan (3.58)–(3.62).

Bagi keratan rentas yang luasnya A dan halaju v serta ketumpatan ρ malar, persamaan

keterusan aliran mantap

ρAv = pemalar

boleh dibezakan dan kemudiannya dibahagikannya dengan ρAv, untuk mendapat

dρ

ρ+

dA

A+

dv

v= 0


Jika perubahan luas keratan rentas yang ketara berlaku lalu mempengaruhi perubahan

dalam v dan ρ sepanjang jarak pembuluh yang pendek (seperti nozel), kesan geseran

boleh diabaikan. Persamaan gerakan Euler untuk aliran mantap tanpa geseran yang

mengabaikan graviti dan daya jasad, boleh ditulis sebagai

v dv +dp

ρ= 0 (3.67)

Darabkan persamaan (3.67) dengan dρ/dp, dan ambil halaju bunyi sebagai a2 = dp/dρ,

persamaan (3.67) menjadi

dρ

ρ+

v dv

a2= 0

Gantikan untuk dρ/ρ, dari persamaan (3.32),

dA

A+

dv

v=

v dv

a2atau

dA

A=

dv

v

(v2

a2− 1

)

yang boleh diungkap dalam sebutan nombor Mach

dA

A=

dv

v(M2 − 1) (3.68)

Satu persamaan yang serupa dengan persamaan (3.68) untuk perubahan tekanan dp bo-

leh ditentukan menerusi persamaan (3.32) dan (3.67). Dari persamaan (3.67)

dv

v= − dp

ρv2

Gantikan nilai dv/v ini ke dalam persamaan (3.32)

dρ

ρ− dp

ρv2+

dA

A= 0

yang menghasilkan

dA

A=

dp

ρv2− dρ

ρ=

dp

ρv2

(

1− v2dρ

dp

)

Oleh kerana

dp

dρ= a2

kita mendapat

dA

A=

dp

ρv2(1− M2

)

Selesaikan untuk dp

dp =1

1− M2

ρv2

AdA (3.69)


Dari analisis yang dibuat setakat ini kita dapat melihat perubahan halaju, tekanan, suhu

dan ketumpatan dengan perubahan luas aliran untuk keadaan-keadaan aliran subsonik

dan supersonik. Rajah 3.2 menunjukkan perubahan pembolehubah aliran dengan luas

bagi aliran isentropik gas sempurna.

Rajah 3.2: Perubahan halaju dan tekanan dengan luas bagi aliran subsonik dan superso-

nik, John (1969).

Dalam aliran subsonik, pembaur atau peresap adalah salur mencapah sedangkan untuk

aliran supersonik pula pembaur mempunyai laluan menumpu.

3.10.1 Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu

Pertimbangkan gas yang mengalir menerusi satu nozel, Rajah 3.3. Jet bendalir bergerak

kerana wujud perbezaan tekanan yang bertindak ke atas bendalir.

Apabila nilai p2 hampir dengan nilai p1, aliran adalah subsonik keseluruhannya. Seki-

ranya nilai p2 dikurangkan, halaju jet bertambah. Selagi aliran kekal subsonik, halaju

jet akan bertambah disebabkan oleh kesusutan tekanan p2. Apabila jet mencapai halaju

bunyi di leher (M = 1), sebarang kesusutan tekanan hilir p2 tidak boleh diperambatkan

ke hulu; aliran menerusi nozel ketika ini menjadi bebas dari dipengaruhi oleh tekanan

p2 dan keadaan ini dinamai aliran tercekik.

Bagi aliran adiabatik bolehbalik yang mengalir dari keadaan-keadaan takungan p1, ρ1dan v1 = 0, persamaan (3.44) membawa ke satu ungkapan bagi halaju v di keratan yang

nilai tekanannya p sebagai

v =

√√√√

[

2γ

γ − 1

p1ρ1

(

1−(

p

p1

)(γ−1)/γ)]

(3.70)

Persamaan (3.70) boleh diguna untuk menentukan halaju leher bagi keadaan-keadaan


subsonik. Kadar aliran jisim yang sepadan

m = ρAv

Rajah 3.3: Aliran gas menerusi nozel menumpu, John (1969).

Bagi aliran adiabatik bolehbalik

ρ = ρ1

(p

p1

)1/γ

dan dengan itu

m = ρ1

(p

p1

)1/γ

Av

= A

√√√√

[

2γ

γ − 1p1ρ1

(p

p1

)2/γ(

1−(

p

p1

)(γ−1)/γ)]

(3.71)

Dalam persamaan (3.71), tekanan di leher ialah p = p2 selama keadaan belum menca-

pai tahap genting. Apabila nombor Mach di leher mencapai nilai satu, halaju, tekanan

dan ketumpatan di leher masing-masing menjadi nilai genting vc, pc dan ρc bagi aliran

tercekik. Oleh itu

vc =

√√√√

[

2γ

γ − 1

pcρ1

(

1−(pcp1

)(γ−1)/γ)]

(3.72)


dan

mc = A

√√√√

[

2γ

γ − 1p1ρ1

(pcp1

)2/γ(

1−(pcp1

)(γ−1)/γ)]

(3.73)

Rajah 3.4: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu, John (1969).

Oleh kerana bagi aliran tercekik, nombor Mach tempatan mencapai nilai satu, dan p2 =

pc, persamaan (3.61) apabila digunakan untuk keadaan-keadaan ini menghasilkan

pcp1

=

(2

γ + 1

)γ/(γ−1)

(3.74)

Bagi udara dengan γ = 1.4, nisbah genting

pcp1

=

(2

1.4+ 1

)3.5

= 0.528

Dengan itu kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu diberikan oleh persamaan (3.71)

selama (p2 > 0.528 p1), dan oleh persamaan (3.73) apabila (p2 < 0.528 p1), Rajah 3.4.

3.10.2 Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu-Mencapah

Di dalam kebanyakan bahan rujukan aliran boleh mampat, nozel menumpu-mencapah

dinamai juga nozel de Laval sebagai mengambil sempena nama jurutera bangsa Sweden,

Carl de Laval, yang banyak membuat kajian ke atasnya.

Pertimbangkan satu nozel menumpu-mencapah, Rajah 3.5. Bendalir disimpan di dalam

takungan besar dan diluah keluar menerusi satu nozel menumpu-mencapah. Tekanan

p1 di dalam takungan adalah malar. Aliran di dalam nozel dianggap aliran isentropik

satu dimensi.


Rajah 3.5: Aliran gas menerusi nozel menumpu-mencapah, John (1969).

Untuk p2 = p1, rujuk lengkung 1 Rajah 3.5, tiada aliran di dalam nozel dan tekanan tidak

berubah dengan jarak x.

Untuk p2 < p1, rujuk lengkung 2 Rajah 3.5, aliran teraruh menerusi nozel dengan halaju

subsonik di dalam kedua-dua bahagian, menumpu dan mencapah, nozel. Rajah 3.5 me-

nerangkan kepada kita bahawa untuk aliran subsonik, tekanan susut di dalam bahagian

menumpu dan bertambah di dalam bahagian mencapah.

Rajah 3.6: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu-mencapah, John (1969).


Apabila tekanan p2 terus dikurangkan lagi, lengkung 3 Rajah 3.5, kadar aliran jisim me-

nerusi nozel bertambah sehingga aliran sonik berlaku di kerongkongan, lengkung 4 Ra-

jah 3.5. Selepas ini, sebarang pengurangan tekanan p2 tidak boleh dikesan di hulu da-

ripada kerongkongan; jadi bagi semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung

4, takungan akan terus menghantar bendalir pada kadar aliran jisim yang sama dengan

kadar aliran jisim lengkung 4, rujuk Rajah 3.6, dan taburan tekanan di dalam bahagian

menumpu tidak berubah.

Untuk semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung 4, aliran di dalam nozel

menumpu-mencapah menjadi tercekik. Bagi tekanan di dalam takungan yang sama nila-

inya, nozel menumpu-mencapah tercekik pada tekanan belakang, p2, yang lebih tinggi

dibandingkan dengan nozel menumpu.

Jelas kepada kita setakat ini bahawa aliran supersonik boleh dicapai dengan menyam-

bung satu nozel menumpu-mencapah ke takungan bendalir yang besar (agar keadaan

genangan terhasil di dalamnya). Bendalir dalam keadaan genangan ini memasuki ba-

hagian menumpu nozel secara subsonik lalu dipecut di dalam bahagian ini. Titik sonik

mestilah berada di titik luas minimum, iaitu di kerongkongan. Aliran seterusnya me-

masuki bahagian mencapah nozel pada M = 1 dan dipecut secara supersonik di dalam

bahagian mencapah. Hanya nozel menumpu-mencapah yang berkeupayaan memecut

aliran dari keadaan pegun kepada keadaan supersonik.

Terdapat dua penyelesaian untuk sesuatu nisbah luas A/Ac; satu subsonik dan satu lagi

supersonik. Bagi nombor Mach kerongkongan sama dengan 1, aliran isentropik boleh

direncatkan ke halaju keluaran subsonik atau terus dipecut ke halaju supersonik di ke-

luaran nozel. Lengkung 4 adalah bersepadan dengan aliran subsonik di satah keluaran

nozel. Lengkung 5 pula bersepadanan dengan aliran supersonik di satah keluaran, iai-

tu jika tekanan belakang, p2, direndahkan ke nilai tekanan keluaran lengkung 5, tekanan

menyusut di dalam kedua-dua bahagian, menumpu danmencapah, nozel dengan halaju

supersonik dikeluaran nozel.

Bagi tekanan belakang, p2, yang bernilai di antara tekanan keluaran lengkung 4 dan leng-

kung 5, penyelesaian isentropik satu dimensi kepada persamaan gerakan tidak mungkin

diperolehi kerana aliran dalam julat ini melibatkan gelombang kejutan yang merupakan

suatu proses tak boleh balik.

3.11 Kejutan Normal

Perubahan mendadak dari keadaan-keadaan supersonik ke keadaan-keadaan subsonik

berlaku menerusi suatu gelombang. Nombor Mach dan halaju susut merentasi sesuatu

kejutan, tetapi tekanan, ketumpatan, suhu dan entropi mengalami pertambahan menda-

dak.

Dua jenis kejutan:

1. kejutan normal yang serenjang ke arah aliran, dan


2. kejutan serong3 yang menyendeng ke arah aliran.

Kejutan-kejutan normal dan serong boleh berinteraksi bagimembentuk pola kejutan. Ge-

lombang yang terjadi juga mungkin melekat atau terpisah dari jasad. Kejutan normal

mungkin berlaku di dalam paip, nozel mencapah, pembaur terowong angin supersonik

atau di hadapan jasad yang berhidung tumpul seperti “space shuttle”.

Aliran di hulu adalah supersonik (M1 > 1) dengan halaju v1, tekanan p1, ketumpatan

ρ1 dan suhu T1. Setelah melepasi gelombang kejutan, aliran menjadi subsonik (M2 < 1)

dengan halaju v2, tekanan p2, ketumpatan ρ2 dan suhu T2.

Berikut diperkenalkan analisis kejutan normal menggunakan persamaan- persamaan ke-

terusan, momentum, tenaga serta persamaan keadaan gas sempurna. Gelombang kejut-

an melibatkan lesapan tenaga; oleh itu ia bukan proses isentropik. Untuk analisis kejutan

normal berikut, kita menganggap bendalir adalah gas sempurna yang mengalami aliran

adiabatik di dalam salur yang luasnya malar (iaitu A1 = A2 = A).

3.11.1 Persamaan keterusan

Bagi aliran mantap, persamaan keterusan memberikan

ρ1A1v1 = ρ2A2v2

Oleh kerana A1 = A2, kita memperolehi

ρ1v1 = ρ2v2 (3.75)

Dengan menggunakan persamaan keadaan untuk gas sempurna dan menggantikan ha-

laju dengan nombor Mach

v = aM = M√

γRT

persamaan (3.75) boleh ditulis semula sebagai

p1M1

√γRT1

RT1=

p2M2√

γRT2RT2

atau

p1M1√T1

=p2M2√

T2(3.76)

3.11.2 Persamaan momentum

Dengan mengabaikan kesan geseran sempadan, persamaan momentum memberikan

daya tekanan = kadar aliran jisim× perubahan halaju

(p1 − p2)A = ρ1Av1(v2 − v1)

(p1 − p2) = ρ2v22 − ρ1v

21

3oblique shock


atau

p1 + ρ1v21 = p2 + ρ2v

22

p1 +p1v

21

RT1= p2 +

p2v22

RT2

Gantikan v = aM, dengan a =√

γRT, kita mendapat

p1 + γM21p1 = p2 + γM2

2p2

atau

p2p1

=1+ γM2

1

1+ γM22

(3.77)

Persamaan (3.77) mewakili nisbah tekanan statik menerusi kejutan normal. Oleh kerana

M1 > 1 dan M2 < 1, jelas dari persamaan (3.77) bahawa p2 > p1, iaitu tekanan statik

aliran yang merentas kejutan normal bertambah.

3.11.3 Persamaan tenaga

Bagi keadaan adiabatik kita boleh menulis

cpT1 +v212

= cpT2 +v222

dan T01 = T02

yang menunjukkan bahawa suhu genangan kekal malar menerusi kejutan normal. Dari

persamaan (3.60)

T0T

= 1 +γ − 1

2M2

Samakan suhu genangan di hulu dan hilir kejutan

T1

(

1 +γ − 1

2M2

1

)

= T2

(

1+γ − 1

2M2

2

)

atau

T2T1

=1 +

γ − 1

2M2

1

1 +γ − 1

2M2

2

(3.78)

Oleh kerana M1 > 1 dan M2 < 1, persamaan (3.78) menunjukkan bahawa T2 > T1, iaitu

suhu statik aliran yang merentas kejutan normal bertambah.

Dari persamaan (3.76)

p2p1

=M1

M2

√

T2T1

=M1

M2

1+γ − 1

2M2

1

1+γ − 1

2M2

2

1/2

(3.79)


Jika disamakan persamaan (3.77) dan persamaan (3.79), kitamemperolehi satu hubungan

kuadratik di antara M1 dan M2. Dengan mengabaikan penyelesaian mudah yang jelas,

iaitu M1 = M2 bagi keadaan bebas kejutan, kita boleh menulis

M22 =

2+ (γ − 1)M21

2γM21 − (γ − 1)

(3.80)

iaitu apabila M1 bertambah, penyebut4 persamaan (3.80) membesar lalu menyebabkan

nilai M2 susut. Dengan menggantikan nilai M2, persamaan-persamaan berikut diperole-

hi

p2p1

=2γM2

1 − (γ − 1)

γ + 1(3.81)

T2T1

=[(γ − 1)M2

1 + 2][2γM21 − (γ − 1)]

(γ + 1)2M21

(3.82)

ρ2ρ1

=p2/p1T2/T1

=(γ + 1)M2

1

(γ − 1)M21 + 2

(3.83)

3.11.4 Kekuatan kejutan

Kekuatan kejutan ditakrif sebagai nisbah

pertambahan tekanan merentasi kejutan

tekanan hulu

iaitu

kekuatan kejutan =p2 − p1

p1=

p2p1

− 1

=2γ

γ + 1(M2

1 − 1) (3.84)

4denominator

bab 3 aliran boleh mampat satu dimensi

Documents