bab 7 fungsi transeden
TRANSCRIPT
BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN
7.1. Fungsi Logaritma Asli
Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
Dx(x3/3) = x2
Dx(x2/2) = x1
Dx(x) = 1 = x0
Dx(???) = x-1
Dx(-x-1) = x-2
Dx(-x-2/3) = x-3
Gambar 1. Jika x > 1, ln (x) = luas dari R
64
Definisi: Fungsi logaritma asli
Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai
ln (x) =
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif
y =1/t
Turunan fungsi logaritma asli adalah Dx , selanjutnya
Contoh 1:
Tentukanlah Dx ln(x)
Jawab:
Misalkan u = x = x1/2
Dx ln(x) =
Dengan Derive: Dif(ln(x), x) enter, lalu lkilk tanda sama dengan
65
Contoh 2:
Carilah
Jawab:
Misalkan u = 2x + 7 maka du = 2 dx
=
=
Dengan Derive: Int( , x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Soal-Soal Latihan
66
Dalam soal-soal 1-4, Carilah turunan yang ditunjukkan .
1. Dx ln(x2 + 3x + )
2. Dx ln(x – 4)2
3. dy/dx jika y = 3ln(x)
4. dz/dx jika z = x2 ln(x2) + (ln (x))3
5. g’(x) jika g(x) = ln( )
Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang ditunjukkan.
6.
7.
8.
9.
10.
11. Andaikan f(x) = ln(1,5 + sin(x))
a. Carilah titik ekstrim pada selang [0, 3]
b. Carilah titik balik pada selang [0, 3]
c. Hitunglah
12. Gambarlah grafik f(x) = x ln(1/x) dan g(x) = x2 ln(1/x) pada [0, 1]
a. Carilah luas daerah kurva ini pada selang (0, 1]
b. Carilah nilai maksimum pada selang (0, 1]
7.2. Fungsi Balikan dan Turunannya
67
7.2.1. Fungsi Balikan Polinom
Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D dan
memadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R. Jika beruntung, f
dapat dibalik, yakni untuk suatu y dalam R dapat dipadankan dengan x pada D
yang dinyatakan dengan f-1.
Misalkan y = f(x) = 2x dibalik menjadi x = f-1(x) =
Gambar 2.
Tidak semua fungsi dapat dibalik, misalkan y = f(x) = x2 untuk nilai y
tertentu terdapat dua nilai x yang berpadanan dengannya. Fungsi ini mempunyai
invers bila D dibatasi [0, ∞] atau [-∞, 0].
68
f
f-1
y = 2x
Gambar 3.
Teorema: Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memiliki balikan.
Contoh 3:
Perlihatkan bahwa f(x) = x5 + 2x +1 memiliki balikan.
Jawab:
F’(x) = 5x4 + 2x > 0, untuk semua x. Jadi f naik pada seluruh garis real, sehingga f
memiliki balikan.
Jika f memiliki balikan f-1 maka f-1 memiliki balikan, yakni f. Kedua fungsi
ini merupakan pasangan fungsi-fungsi balikan dan terdapat hubungan
f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y
Langkah-langkah mencari fungsi invers dari suatu fungsi:
1. Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y.
2. Gunakan f-1(y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.
3. Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus f-1(x)
69
y = x2
Contoh 4:
Carilah f-1(x) jika f(x) = dan tunjukkan bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y
Jawab:
Langkah 1: y(1- x) = x y - yx = x y = x + yx
y = x(1 + y)
Langkah 2:
Langkah 3:
f-1(f(x)) = f-1( ) = = = x dan
f(f-1(y)) = f-1( ) = = = y
Dengan Derive: Inverse(x/(1-x)) enter, lalu klik tanda sama dengan
70
Tugas Kelompok:
Misalkan f(x) = x3 + 1.
1. Bagaimanakah domain f(x) agar mempunyai invers?
2. Carilah invers dari f(x), apa domainnya?.
3. Gambarlah hasil 1 dan 2 dalam satu layar, apa yang anda simpulkan?
4. Carilah turunan f(x) dan inversnya.
5. Gambarlah fungsi turunan f(x) dan inversnya dalam satu layar, apa yang anda
simpulkan?
6. Isilah tabel berikut
71
Fungsi x y (f-1)’(y) f’(x)
f(x) = x^3 + 1
1/2
1
2
apa yang anda simpulkan terhadap hubungan (f-1)’(y) dan f’(x)?
7. Terapkanlah hasil pada 6, untuk contoh 1, carilah (f-1)(4).
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal 1-3, diperlihatkan grafik y = f(x), dalam setiap kasus apakah f
mempunyai balikan? Dan bila mempunyai balikan taksirlah f-1(2).
72
1.
2.
Dalan soal-soal 4-6, perlihatkan bahwa f memiliki balikan dengan menunjukkan
bahwa f monoton murni.
4. f(x) = -x5 – 3x3
5.
6.
Dalam soal-soal 7-10, Carilah rumus untuk f-1(x), kemudian periksalah
kebenarannya bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(x)) = x.
7. f(x) = x + 1
8.
9. f(x) = (x – 1)3
10.
73
3.
7.2.2. Fungsi Eksponen Asli dan balikannya
Turunan dari ex adalah Dx ex = ex
Contoh 5:
Tentukanlah Dx ex
Jawab:
Misalkan u = x = x1/2
Dx ex = ex.
Dengan Derive: Dif(ex), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
74
Definisi:
Balikan ln disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh exp.
Jadi x = exp y y = ln x
Selanjutnya
Contoh 6:
Tentukanlah
Jawab:
Misalkan u = -4x maka du = -4 dx atau -1/4 du = dx
Sehingga,
=
Dengan Derive: Int(e-4x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
75
Tugas Kelompok:
Gambarlah f(x) = x ex/2 dan turunannya menggunakan derive
Jelaskanlah berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan
cekung ke bawah.
76
Soal-Soal Latihan
Dalan soal-soal 1-5, carilah Dx
1.
2.
3.
4.
5.
Dalam soal-soal 6-7, Gambarlah f , f’, dan f” dalam satu jendela, berdasarkan
gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah?
6. f(x) = xex
7.
Dalam soal-soal 8-10, Carilah integral-integral berikut.
8.
9.
10.
11. Carilah volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh
y = ex, y = 0, x = 0, dan x = ln(3) diputar mengelilingi sumbu-x.
12. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e-x dan garis yang melalui
titik-titik (0, 1) dan (1, 1/e).
7.2.3. Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
77
Dx ax = ax ln a, dan
Contoh 7:
Carilah Dx (3x)
Jawab:
Misalkan u = x
Dx (3x) = 3x ln 3.
Dengan Derive: Dif(3x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
78
Definisi:
Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.
ax = ex ln a
Contoh 8:
Carilah
Jawab:
Misalkan u = x3 maka du = 3x2 dx atau 1/3 du = x2 dx
Sehingga,
= 1/3 =
Dengan Derive: Int( ) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Soal-Soal Latihan
79
Dalam soal-soal 1-5, Carilah turunan yang dibeikan
1. Dx(62x)
2.
3.
4.
5. f(x) = xsin(x)
Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.
6.
7.
8.
9.
10.
7.2.4. Fungsi Balikan Trigonometri
80
Dengan memperhatikan bahwa grafik fungsi balikan f-1 diperoleh dengan
mencerminkan f terhadap garis y = x maka pada fungsi trigonometri diperoleh
balikan sin(x), cos(x), tan(x), dan sec(x) adalah sebagai berikut.
Gambar 4. Sin(x) dan Inversnya
Gambar 5. Cos(x) dan Inversnya
81
y = sin(x); [ ]
y = cos(x); [ ]
y = sin-1(x); [-1, 1]
y = cos-1(x); [-1, 1]
Gambar. 6. Tan(x) dan Inversnya
Gambar 7. Sec(x) dan Inversnya
Tugas Kelompok:
82
y = tan(x); [ ]y = tan-1(x); [R]
y = sec-1(x); [R]
1. Buatlah definisi balikan dari sin(x), cos(x), tan(x), dan sekan(x).
2. Bagaimanakah hubungan grafik fungsi tersebut dengan fungsi inversnya?
3. Bagaimanakah hubungan grafik turunan fungsi tersebut dengan turunan fungsi
inversnya?
Turunan dari fungsi balikan trigonometri:
1. Dx sin-1(x) =
2. Dx cos-1(x) =
3. Dx tan-1(x) =
4. Dx sec-1(x) =
Selanjutnya,
1.
2.
3.
4.
Contoh 9:
Carilah Dx sin-1(3x-1)
83
Jawab:
Dx sin-1(3x-1) =
=
Dengan Derive: dif(Asin(3x-1),x) enter, lalu klik tanda sama dengan, hasilnya
adalah sebagai berikut.
Contoh 10:
Hitunglah
84
Jawab:
Dengan Derive: Int(1/(1-x2), x , 0, 1/2 ) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Soal-Soal latihan
Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx
1. y = ln(sec(x) + tan(x))
85
2. y = sin-1(2x2)
3. y = x3tan-1(ex)
4. y = (tan-1(x))3
5. f(x) = (1+ sin-1(x))3
Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.
6.
7.
8.
9.
10.
7.2.5. Fungsi Hiperbola dan Balikan
86
Definisi:
Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan empat fungsi terkait lainnya
didefinisikan oleh:
Turunan fungsi-fungsi hiperbolik:
Contoh 11:
Tentukanlah Dx tanh(sin(x))
Jawab:
Dx tanh(sin(x)) =
Atau
Misal u = sin(x) maka Dxsin(x) = cos(x)
Dx tanh(u) =
=
87
= , (dikalikan e2u)
=
Dengan Derive: Dif(tanh(sinx), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Contoh 12:
Tentukanlah
Jawab:
Misalkan u = cosh(x) maka du = sinh dx
88
=
Cara mencari fungsi balikan y = cosh(x), untuk x 0 adalah:
, (dikalikan dengan ex)
,
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat dalam ex yang memenuhi untuk x 0
adalah:
, (kedua ruas ditarik ln-nya)
Dengan Derive: Inverse(cosh(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.
89
Definisi:
Fungsi balikan fungsi hiperbolik didefinisikan oleh:
Tugas Kelompok:
Tunjukkan bahwa:
1.
2.
3.
4.
5. Carilah Dx dari masing-masing balikan fungsi hiperbolik tersebut
Soal-Soal Latihan:
90
Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx
1. y = sinh2(x)
2. y = cosh(3x +1)
3. y = ln(sinh(x))
4. y = tanh(x)sinh(2x)
5. y = tanh(cot(x))
Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.
6.
7.
8.
9.
10.
91