KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG

Disusun Oleh :

Fatria Anggita (06081181520005)Lorent Agustina Arissanti (06081181520004)

Putri Maya Sari (06081181520026)Robiatul Bangka Wiyah (06081281520069)

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sriwijaya

2016

KOMBINASIKombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek

tanpa memperhatikan urutan objek dari objek-objek tersebut ( Sudaryono :2014 ) ..

Kombinasi k objek dari n objek yang berbeda k ≤ n, dirumuskan :

nCk ¿n!

k ! (n−k )!

nCk juga dapat ditulis sebagai (nk).

dimana n! (dibaca: n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

Untuk kombinasi, jika n = r, banyaknya kombinasi selalu 1.

Contoh soal :

Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di

Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak

pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara

yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Pembahasan:

Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:

nCk   = n !

k ! (n−k )!

16C11 ¿16 !

11! (16−11 )!

¿16× 15 ×14×13 × 12×11!

11!5!  

¿524160

5x 4 x 3 x2 x1

¿524160

120

¿4368

Kombinasi k objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1 , sejumlah

n2 objek q2, …, dan sejumlah ne objek qe dengan n1 + n2 + …+ nk = n dan

beberapa objek sama, misalnya sejumlah m1 objek q1, sejumlah m2 objek q2, … ,

dan sejumlah me objek qe dengan m1 + m2 + …+ me = k dirumuskan :

n1Cm1 . n2Cm2 . … neCme atau ( n1

m1)( n2

m2)…( n3

me)

Contoh :

Dalam sebuah kotak berisi 5 buah bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola biru.

Banyaknya cara untuk mengambil tiga bola terdiri dari 1 bola merah, 1 bola putih, 1

bola biru adalah ?

Penyelesaian :

5C1 . 3C1 .2C1 ¿5!

1! (5−1 )!× 3 !

1! (3−1 ) !× 2 !

1 ! (2−1 ) !

¿5×3×2

¿30

PERMUTASI Permutasi adalah susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu

himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi

arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut (Sundaryono :2014).

Dengan demikian permutasi dapat diakatakan bahwa permutasi adalah suatu susunan

yang dibentuk dari keseluruhan atau sebagian kumpulan objek ( Sundaryono :2014 ) .

Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga AB≠ BA. Permutasi k unsur dari n unsur

k ≤ nadalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari

n unsur yang berbeda.

Banyak permutasi k unsur dari n unsur yang berbeda dirumuskan:

nPk ¿n!

(n−k )!

Dimana n! (dibaca: n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

jika n = r, rumus untuk nPr = n!.

Contoh soal:

Dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2

elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}.

Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain

{a,b} adalah berbeda dengan {b,a}. Banyaknya permutasi adalah ?

Penyelesian :

3P2 ¿ 3 !(3−2) !

¿ 3× 2× 11 !

¿ 61

¿6

Contoh soal:

Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku?

Penyelesaian :

Diketahui: n = 5 dan r = 5.

Jadi, 5P5 ¿5 !

(5−5 ) !

¿ 5!0 !

¿ 5× 4 × 3 ×2 ×11

¿120

Beberapa Jenis Permutasi:

1. Permutasi atas seluruh objek

Secara umum sejumlah n benda yang berbeda akan memberikan

susunan sebanyak jumlah objek faktorial (Sundaryono :2014).

Dengan demikian dapat dirumuskan dengan:

❑n Pn¿ n!(n !−n ! )

=n !

2. Permutasi atas sebagian dari seluruh objek

Bila seluruh objek n yang berbeda dipermutasikan sebagian r objek,

pemilihan sebagian objek tersebut akan memberikan susunan sebagai

alternatif sebanyak permutasi n faktorial dari seluruh objek dibagi

sebanyak sisa permutasi dari sisa banyaknya objek yang tidak terpilih,

yaitu (n−r ) faktorial ( Sundaryono :2014 ) . Permutasi atas sebagian

objek dari seluruh objek dapat dinyatakan dengan rumus:

❑n Pn= n!

( n−r )!

3. Permutasi dari objek dengan pemulihan

Suatu pemutasi sebanyak r objek dengan pengulangan, artinya objek

dapat digunakan beberapa kali ( Sundaryono :2014 ) .Dapat dinyatakan

dengan rumus berikut:

Pn−¿r=nr ¿

4. Permutasi atas sebagian objek dari seluruh objek yang tidak dapat dibedakan

Jika terdapat suatu kelompok n objek yang terdiri atas n1 , n2 ,… ,nr

permutasi dari kelompok n objek tersebut bisa dinyatakan dengan

rumus sebagai berikut (Sundaryono :2014):

(n1 , n2 , ….,nr )=( n !n1! . n2 ! !….nr !

)

5. Permutasi siklis

Permutasi siklis adalah banyaknya permutasi untuk n objek atau

elemen yang berbeda dalam suatu lingkaran, atau suatu permutasi

yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan

secara melingkar (Sundaryono :2014) .. Permutasi siklis dapat

dirumuskan :

Pn−1=(n−1 ) !

Contoh :

Dalam suatu rapat yang diikuti 5 orang peserta akan ditempatkan pada kursi yang

mengelilingi sebuah meja bundar. Banyak susunan yang terjadi jika 2 orang

selalu duduk berdampingan adalah ?

Penyelesaian :

Dua orang saling berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu.

Sehingga terdapat 4 objek yang akan di susun secara siklis.

Maka, nPsiklis= (n-1)!

4Psiklis= (4-1)!

= 3!

= 3.2.1

= 6 cara

Karena berdampingan maka ada 2 cara sehingga : 2 ×6=12 cara

PELUANG Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu

percobaan disebut ruang sampel. n(S) = banyak anggota ruang sampel. (Aksin,

Miyanto, & Astuti, 2015) Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel

atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

(Aksin, Miyanto, & Astuti, 2015)

Contoh:

Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-

masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua

angka, tentukan S, P (kejadian)!

Penyelesaian :

S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}

P = {AAG, AGA, GAA}

Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing

berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang

merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan

rumus : P ( A )= kn .

Contoh :

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian

muncul bilangan genap!

Penyelesaian :

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6

Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:

A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

P ( A )=n ( A )n (S )

¿ 36

¿ 12

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P

(A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :

Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya

mata dadu 1?

Penyelesaian :

Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.

Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:

A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : P( A)=n ( A )n (S )

=16

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

n× P ( A )=720× 16

¿120

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n(S) = n.A adalah kejadian pada

ruang sampel S, dengan n(A) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai

n(Ac) = n – k. Sehingga :

P ( Ac )=n−kn

=1−kn=1−P( A)

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak

terjadi adalah (1 – P(A)).

Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

Dua kejadian yang disebut saling lepas (mutually xclusive) atau saling

asing (disjoint) jika irisan kejadian tersebut merupakan himpunan kosong.

Misalkan E1 dan E2 adalah dua kejadian pada percobaan yang sama :

P ( E1∪E2 )=P ( E1 )+P ( E2 )−P(E1 ∩ E2)

Peluang dua kejadian E1 dan E2 saling lepas adalah :

P ( E1∪E2 )=P ( E1 )+P ( E2 )

Contoh :

Pada percobaan pelemparan dadu satu kali,

A : kejadian muncul mata dadu ganjil = (1,3,5), n=3

B : kejadian muncul mata dadu genap = (2,4,6), n=3

Kejadian muncul mata dadu ganjil atau genap adalah A∪B=(1,2,3,4,5,6 ) , n ( A∪B )=6

Kejadian Muncul mata dadu ganjil dan genap adalah A ∩ B=() , n ( A ∩B )=0

Jadi, P ( A∪B )=36=3

6=1

Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas

Dua kejadian A dan B yang terjadi secara berurutan dikatakan saling bebas

apabila kejadian A tidak memengaruhi peluang terjadinya kejadian B (Sulasmono,

2009). Apabila A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka peluang

terjadinya kejadian A dan B adalah sebagai berikut :

Dua kejadian A dan B saling bebas jika dan hanya jika :

P ( A ∩B )=P ( A )× P (B )

Contoh soal:

Peluang A untuk hidup 20 tahun lagi adalah 0,75 sedangan peluang B untuk hidup 20 tahun lagi adalah 0,82. Peluang A dan B untuk hidup 20 tahun lagi adalah ?

Penyelesaian :

P ( A ∩B )=P ( A )× P (B )

¿ (0,75 ) × (0,82 )

¿0,615

Contoh soal:

Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar undi sekali. Peluang munculnya angka

pada mata uangdan bilangan ganjil pada dadu adalah ?

Penyelesaian :

Peluang Angka pada mata uang P ( A )=12

Peluang bilangan ganjil pada dadu P (G )=36

Dua kejadian tersebut saling bebas maka

P ( A ∩B )=P ( A )× P (G )

¿ 12

× 36

¿ 14

Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian A dan B yang terjadi secara berurutan dikatakan tidak saling

bebas (saling bersyarat) jika kejadian A memengaruhi peluang kejadian B. Peluang

kejadian bersyarat dirumuskan sebagai berikut :

P ( A ∣B )=n ( A ∩ B )n ( B )

↔ P ( A ∩ B )=P (B ) × P ( B∣ A )

Contoh soal :

Sebuah kartu diambil dari delapan kartu identik yang dinomori 1,2,3, … , 8. Peluang

kartu terambil bernomor prima jika diketahui kartu yang terambil bernomor ganjil .

Penyelesaian :

Misal : A1 : Kejadian terambil kartu bernomor prima = (2,3,5,7), n(A1) = 4

A2 : Kejadian terambil kartu bernomor ganjil = (1,3,5,7), n(A2) = 4

Maka, A1 ∩ A2=(3,5,7 );n ( A1∩ A2 )=3

P ( A1∣ A2 )=n ( A1 ∩ A2 )

n ( A2 )=3

4

Daftar Pustaka

Aksin, N., Miyanto, & Astuti, A. Y. (2015). Detik-Detik Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 2014/2015. Klaten: Intan Pariwara.

https://www.idomaths.com/id/permutasi_kombinasi.php

http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/Penjelasan-Perbedaan-Permutasi-

dan-Kombinasi-Matematika-Contoh-Soal-dan-Pembahasan-Lengkap.html

Sulasmono, B. (2009). Contekan Rumus Matematika. Jakarta: Hikmah.

Sundaryono.(2014).Teori dan Aplikasi dalam Statistik.Yogyakarta:Andi.