bab 9 deret tak hingga -...
TRANSCRIPT
Calculus Purcell
ð > 0: limðââ
1
ðð= â¯
limðââ 7ð2
2ð2+1= â¯
Apakah {(ln ð)/ðð} konvergen?
Buktikan bahwa limðââ
sin5 ð
2ð= 0.
Buktikan bahwa limðââ ðð = 0 untuk â1 < ð < 1.
Barisan tak Hingga:
ð ð = ðð , ð â â, ððâ â
Notasi:
ð1, ð2, ð3, âŠ
ðð ð=1â
ðð
pola suku-suku awal
1, 4, 7, 10,âŠ
formula eksplisit
ðð = 3ð â 2, ð ⥠1
formula rekursi
ð1 = 1, ðð = ððâ1 + 3, ð ⥠2
Untuk ð ⥠1:
ðð = 1 â1
ð
ðð = 1 + â1ð 1
ð
ðð = â1ð +1
ð
ðð = 0.999
Jika
âð > 0, â 0 < ð ð < â: ð ⥠ð â ðð â ð¿ < ð
Maka
limðââðð = ð¿
( barisan ðð konvergen ke ð¿).
Otherwise, ðð divergen.
Misal {ðð} dan ðð barisan yang konvergen, dan ð kontanta. Maka berlaku:
a) limðââð = ð
b) limðââððð = ð lim
ðââðð
c) limðââðð ± ðð = lim
ðââðð ± lim
ðââðð
d) limðââðð â ðð = lim
ðââðð â limðââðð
e) limðââ
ðð
ðð=limðââðð
limðââðð
, jika limðââðð â 0
limð¥ââð ð¥ = ð¿ â lim
ðââð ð = ð¿
Contoh:
limðââ
ln ð
ðð ?
Karena limð¥ââln ð¥/ðð¥ = lim
ð¥ââ
1/ð¥
ðð¥= 0, maka
limðââ
ln ð
ðð= 0.
Misal barisan {ðð} dan ðð konvergen ke ð¿, dan
ðð †ðð †ðð untuk ð ⥠ðŸ,ðŸ â â.
Maka ðð juga konvergen ke ð¿.
⢠limðââðð = lim
ðââðð = ð¿
⢠ðð †ðð †ðð, ð ⥠ðŸ, ðŸ â â limðââðð = ð¿
limðââ|ðð| = 0 lim
ðââðð = 0
Contoh:
limðâââ1 ð
2ð
ð2 + 1
limðââðð = lim
ðââ
2ð
ð2 + 1= 0
Maka, menurut teorema C
limðâââ1 ð
2ð
ð2 + 1= 0
Jika ð batas atas dari barisan tak turun ðð , maka barisan tsb konvergen ke limit ðŽ †ð.
⢠Jika ð¿ batas bawah dari barisan tak naik ðð , maka
barisan tsb konvergen ke limit ðµ ⥠ð¿.
Infinite Series (Deret tak Hingga):
ðð
â
ð=1
= ð1 + ð2 + ð3 +â¯
ðth Partial Sum:
ðð = ð1 + ð2 + ð3 +â¯+ ðð = ðð
ð
ð=1
limðââðð = ð ðð
âð=1 = ð, (ðððð£ððððð)
( ðð konvergen )
{ðð} divergen deretnya ( ððâð=1 ) divergen
ðððâ1â
ð=1
= ð + ðð + ðð2 + ðð3 +⯠, ð â 0
ðth partial sum:
ðð â ððð = ð + ðð +â¯+ ðððâ1 â ðð + ðð2 +â¯+ ððð = ð â ððð
Maka
ðð =ð â ððð
1 â ð=ð
1 â ðâð
1 â ððð
Jika ð < 1 Maka lim
ðââðð = 0, sehingga
limðââðð =
ð
1 â ð= ð
Jadi deret geometri konvergen. Jika ð > 1 atau ð = â1 Maka deretnya divergen karena barisan {ðð} divergen. Jika ð = 1 Maka ðð = ðð, sehingga deretnya divergen karena limðââðð =â.
ðð
â
ð=1
konvergen â limðââðð = 0
limðââðð â 0 atau tidak ada â ðð
â
ð=1
divergen
Proof:
Karena deret konvergen maka: ð = limðââðð. Fakta bahwa ðð = ðð â
ððâ1. Maka
limðââðð = lim
ðââðð â lim
ðââððâ1 = ð â ð = 0
Apakah 2ð4
4ð4+ð2âð=1 konvergen?
Karena
limðââðð = lim
ðââ
2ð4
4ð4 + ð2= limðââ
2
4 + 1/ð2=1
2
maka, dengan uji suku ke-n, deretnya divergen.
1
ð
â
ð=1
= 1 +1
2+1
3+â¯+
1
ð+â¯
limðââðð = lim
ðââ
1
ð= 0
Apakah limðââðð = ð (deretnya konvergen) ?
ðð = 1 +1
2+1
3+1
4+1
5+â¯+
1
8+â¯+
1
ð
> 1 +1
2+2
4+4
8+â¯+
1
ð
Jadi ðð divergen, sehingga deret harmonik divergen.
Please read it by yourself. See 9.2 example 7 page
458. Contoh:
1
(ð + 2)(ð + 3)
â
ð=`1
= 1
(ð + 2) â1
(ð + 3)
â
ð=1
Sn =1
3â1
4+1
4â1
5+1
5â1
6+â¯
1
ð + 2â1
ð + 3
=1
3â1
ð + 3
limðââðð = lim
ðââ
1
3â1
ð + 3=1
3
Jika ððâð=1 dan ðð
âð=1 keduanya konvergen,
dan ð adalah suatu konstanta, maka
ðððâð=1 dan ðð + ðð
âð=1 konvergen.
ðððâð=1 = ð ðð
âð=1
ðð + ððâð=1 = ðð
âð=1 + ðð
âð=1
ððâð=1 divergen ððð
âð=1 divergen
dan ð â 0
Contoh:
1
3ð
â
ð=1
= 1
3â 1
ð
â
ð=1
Suku-suku dari sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokan secara bebas.
Deret yang baru akan konvergen ke nilai yang sama.
ð1, ð2, ð3, ⊠; ðð = ð ð ; ðð = ð(ððâ1) ðð konvergen ke ð¿ jika lim
ðââðð = ð¿
limð¥ââð ð¥ = ð¿ â lim
ðââð ð = ð¿
Teorema Apit: ð¿ = lim
ðââðð †ðð †lim
ðââðð = ð¿
limðââ|ðð| = 0 â¹ lim
ðââðð = 0
Jika ð batas atas dari barisan tak turun ðð ,
maka barisan tsb konvergen ke limit ðŽ †ð.
ððâð=1 = ð1 + ð2 + ð3 +⯠; (deret)
ð1, ð2 , ð3 , ⊠; (barisan)
limðââðð = ð ðð
âð=1 = ð, (konvergen)
ðððâ1âð=1 = ð + ðð + ðð2 +⯠, ð â 0
(deret geometri)
limðââðð â 0 atau tidak ada â ðð
âð=1 divergen
(Uji suku ke-n)
1
ðâð=1 = 1 +
1
2+1
3+â¯+
1
ð+⯠, (Deret Harmonik)
ðð ⥠0 dan ðð †ð â ððâð=1 = ð †ð
Buktinya silahkan baca sendiri di buku.
Bertanyalah kalau ada yg tidak dipahami.
Misal, pada interval [1,â), ð suatu fungsi yang kontinu,
positif,
tidak naik dan
ðð = ð(ð), utk setiap bilangan bulat ð. Maka
ð(ð¥)
â
1
ðð¥ konvergen ⺠ðð
â
ð=1
konvergen
1
ðð
â
ð=1
= 1 +1
2ð+1
3ð+⯠, ð â â
Jika ð > 1, maka deret-ð konvergen
Jika ð †1, maka deret-ð divergen
Buktikan!
ðžð = ð â ðð = ðð+1 + ðð+2 +â¯
Jika, pada interval [1,â), ð suatu fungsi yang kontinu,
positif,
tidak naik dan
ðð = ð(ð), utk setiap bilangan bulat ð. Maka
ðžð = ðð+1 + ðð+2 +⯠= ðð
â
ð=ð+1
< ð(ð¥)
â
ð
ðð¥
Deret Geometri
ððâ
ð=1
konvergen jika â 1 < ð < 1
Deret-ð
1
ðð
â
ð=1
konvergen jika ð > 1
ð
5ð2 â 4
â
ð=1
ðððð£ððððð atau ððð£ððððð?
ð
2ð(ð + 1)
â
ð=1
ðððð£ððððð atau ððð£ððððð?
Misal 0 †ðð †ðð untuk ð ⥠ð.
ðð konvergen ðð konvergen
ðð divergen ðð divergen
Proof ? Please refer to the book of Purcell..
Misal ðð ⥠0, ðð> 0, dan
limðââ
ðððð= ð¿.
0 < ð¿ < â ðð dan ðð konvergen/divergen
ð¿ = 0 & ðð konvergen ðð konvergen
Misal ðð suatu deret positif, dan
limðââ
ðð+1ðð= ð.
ð < 1 deretnya konvergen
ð > 1 atau â deretnya divergen
ð = 1 tidak ada kesimpulan
Untuk menguji kekonvergenan suatu deret positif ðð, maka
perhatikan suku ðð nya.
1. Jika limðââðð â 0, maka deret divergen. (Uji Suku ke-n)
2. Jika ðð mengandung bentuk ð!, ðð, ðð, coba uji rasio.
3. Jika ðð hanya melibatkan pangkat konstan ð, coba Uji Banding Limit.
Khususnya jika ðð berupa ekspresi rasional dalam ð, gunakan uji ini
dengan ðð sbg rasio suku2 awal dr pembilang&penyebut.
4. Jika uji2 diatas tidak berhasil, coba Uji Banding Biasa, Uji Integral, atau
Uji Jumlah Terbatas.
5. Beberapa deret memerlukan manipulasi cerdik untuk menentukan
konvergensi atau divergensinya.
Deret ganti tanda
ð1 â ð2 + ð3 â ð4 +â¯
Deret harmonik ganti tanda
1 â1
2+1
3â1
4+1
5ââ¯
Misal sebuah deret ganti tanda
ð1 â ð2 + ð3 â ð4 +â¯
Dengan kondisi
ðð > ðð+1 > 0.
limðââðð = 0 â¹ deret ganti tanda konvergen
Error = |ð â ðð| †ðð+1
Misal kita punya suatu deret ð¢ð.
ð¢ð konvergen â¹ ð¢ð konvergen
Deret ð¢ð disebut konvergen mutlak jika
|ð¢ð| konvergen. Dengan demikian:
ð¢ð konvergen mutlak â¹ ð¢ð konvergen
Deret ð¢ð disebut konvergen bersyarat jika
ð¢ð konvergen tetapi |ð¢ð| divergen.
Jadi
ð¢ð konvergen mutlak â ð¢ð konvergen
Misal ð¢ð dengan ð¢ð â 0, dan
limðââ
|ð¢ð+1|
ð¢ð= ð
ð < 1 â¹ deretnya konvergen mutlak
ð > 1 â¹ deretnya divergen
ð = 1 â¹ tidak ada kesimpulan
Suku-suku dari suatu deret konvergen mutlak
dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi
kekonvergenan dan jumlah deretnya.
Ingat! Anda harus bisa membedakan apa yang ditulis
dibuku pada subbab ini:
ð¢ð
â
ð=1
= â1 ðâ
ð=1
ðð = ð1 â ð2 + ð3 â ð4 +â¯
Yakni ð¢ð = â1ð ðð. Bedakan dengan di subbab
sebelumnya yang selalu ditulis ððâð=1 atau ðð
âð=1
yang selalu positif.
Langkah mengecek kekonvergenan untuk suatu deret ganti tanda ð¢ðâð=1 .
1. Cek dengan Uji Rasio Mutlak (teorema C 9.5)
a. Jika ð â 1, jelas ð¢ðâð=1 divergen (ð > 1) atau konvergen mutlak (ð < 1).
b. Jika ð = 1, lihat langkah 2.
2. Ubah ð¢ðâð=1 ke deret positif |ð¢ð|
âð=1 .
a. Kemudian cek dengan semua uji yang kita punya untuk deret positif (subbab 9.2-9.4, lihat
rangkuman di 9.4). Termasuk uji rasio (mutlak), teorema C di 9.5.
b. Jika konvergen ( ð¢ðâð=1 konvergen), maka deret ð¢ð
âð=1 konvergen mutlak menurut teorema B
di 9.5.
c. Jika divergen ( ð¢ðâð=1 divergen), maka harus dicek deret ð¢ð
âð=1 (lihat langkah 3).
3. Cek deret ganti tanda ð¢ðâð=1 .
a. Gunakan satu2nya uji kekonvergenan deret ganti tanda yaitu Uji Deret Ganti Tanda, teorema A
9.5, jika kondisinya dipenuhi. Jika tidak,
b. Gunakan Uji Suku ke-n di 9.2 untuk menunjukkan deret tsb divergen. Jika tidak,
c. Gunakan definisi di 9.2: limðââ ðð = ð konvergen. Jika tidak, maka divergen.