bab 9 rl-ii.ppt - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/.../tke_221_handout_bab_9_-_deret_fourier.pdf · suatu...
TRANSCRIPT
BAB 9DERET FOURIER
Oleh :Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST
9.1 Pendahuluan
Gambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin t
Gambar 9.2 Gelombang gigi gergaji
Gelombang gergaji ini dapat dinyatakan sebagai f(t) = (V/T)t dalaminterval 0 < t < T dan oleh f(t) = (V/T)(t – T) dalam interval T < t < 2T.
9.2 Deret Fourier Trigonometri
Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik apabila :
f(t) = f(t + nT)
dimana n adalah bilangan bulat/integer dan T adalah periode dari f (t),
Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi o dapat di
ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus atau :
ac
)tnsinbtncosa(
dc
a f(t)1n
onono
o = 2/T disebut sebagai frekuensi dasar sin not atau cos not merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila n merupakan bilangan ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap disebut harmonisa genap
Suatu fungsi f(t) dapat dinyatakan dengan sebuah deret Fourier apabila : 1. f(t) memiliki nilai tunggal untuk setiap t. 2. Jika f(t) tidak kontinyu maka hanya terdapat jumlah diskontinuitas
terbatas pada periode T.3. Memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas dalam periode.
4. Untuk setiap t0.
syarat-syarat ini disebut sebagai syarat Dirichlet
Tt
t0
0dt|)t(f
T
0 o2
T
0 o2
T
0 oo
T
0 oo
T
0 oo
T
0 o
T
0 o
)g(.................msemua2/Tdttmcos
)f(....................nsemua2/Tdtncos
)e(................mn0dttmcosncos
)d(...................mn0dttnsinnsin
)c(....m,nsemua0dttnncostnsin
)b(......................0nsemua0dtncos
)a(............................nsemua0dtnsin
Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bndisebut sebagai analisa. Fourier, dimana dalam analisa Fourierini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangatmembantu diantaranya :
T
0o dt)t(fT1a
T
0 on dttncos)t(fT2a
T
0 on dttnsin)t(fT2b
Dari analisa Fourir, didapat :
1nnono )tncos(Aa)t(f
1nonnonno
1nono tnsin)sinA(tncos)cosA(a)ntncos(Aa
nnn cosAa )sinA(b nnn 2n
2nn baA
n
n1n a
btan
dalam bentuk kompleks : nnnn jbaA
; dan
Maka :
Sehingga :
; ; ;
Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan gambarkan juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari gelombang tersebut.
Adapun deret Fourier :
1nonono )tnsinbtncosa(a f(t)
Contoh :
Jawab :
Adapun bentuk persamaan gelombang diatas :
2t101t01
)t(f
21t
21dt0dt1
21dt)t(f
T1a
0
12
0
1
0
T
0o
0
0
dttncos0
1
0tsin
n1
dttncos122dttncos)t(f
T2a
2
1
1
0
T
0 on
)1n(cosn1
0
dttnsin0
1
0tncos
n1
dttnsin122dttnsin)t(f
T2b
2
1
1
0
T
0 on
genapnhargauntuk0
ganjilnhargauntukn2
)1(1n1b n
n
Harga-harga a0, an dan bn yang telah diperoleh disubstitusikan ke persamaan umum deret fourier, maka deret Fourier dari bentuk gelombang diatas adalah :
...t5sin52t3sin
32tsin2
21)t(f
1k2n:inihaldalamtnsinn12
21)t(f
1k
untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa :
genapn0
ganjilnn2
b
ganjilnn2
nb
b
0
aAn n2
n2
n
ganjiln0genapn90
ab
tann
n1n
Telah diketahui didepan bahwa 0 = dan harga An dan n untukbeberapa harga n maka hasilnya seperti pada tabel dibawah ini.
maka spektrum amplitudo :
o 2 3 4 5 6
2
32
52
o 2 3 4 5 6
n
9.3 Kesimetrisan9.3.1 Simetris Genap
f(t) = f(-t) → untuk semua harga t
2T
2T
Gambar 9.3 Fungsi Genap
)2/T(f)2/T(f:makaT/2 thargauntuk A - f(t)
T/2 thargauntuk A - f(t)
Adapun sifat yang utama dari fungsi genap ini adalah :
2/T
0e
2/T
2/Te dt)t(f2dt)t(f
dimana notasi e pada fe(t) untuk melambangkan fungsi genap (even).
2/T
00 dt)t(f
T2a
2/T
00n dttncos)t(f
T4a
bn = 0
didapat koefisien-koefisien Fourier-nya :
9.3.2 Simetris Ganjil
f(-t) = -f(t) → untuk semua harga t
4T
4T
Gambar 9.4 Fungsi Ganjil
)4T(f)
4T(f:maka
4T thargauntuk A - f(t)
4T thargauntuk A f(t)
Adapun bentuk umum fungsi ini adalah :
0dt)t(f2/T
2/To
dimana fo(t) hanya berupa simbol dari fungsi ganjil (Odd).
Untuk fungsi ganjil ini harga-harga :A0 = 0 an = 0
2/T
00n dttnsin)t(f
T4b
Setiap fungsi periodik f(t) dapat merupakan gabungan fungsi-fungsi genap atau ganjil saja ataupun gabungan fungsi genap atau ganjil
)t(f)t(f
ganjil
tnsinb
genap
tnsinaa)t(f oe1n
0n1n
0n0
9.3.3 Simetris Gelombang Setengah
Suatu fungsi dikatakan simetris gelombang setengah apabila :
)ganjil()t(f)2Tt(f
Gambar 9.5 Contoh gelombang setengah simetris (ganjil)
Koefisien Fourier nya :
2/T
0
0
2/T
2/T
2/T0 dt)t(fdt)t(f
T1dt)t(f
T1a 0dt)t(fdx)x(f
T1a
2/T
0
2/T
00
2/T
00
0
2/T0n dttncos)t(fdttncos)t(f
T2a
genapnuntuk.........................................0
ganjilnuntuk...........dttncos)t(fT4
dttncos)t(f)1(1T2a
2/T
00
2/T
00
nn
genapnuntuk.........................................0
ganjilnuntuk...........dttnsin)t(fT4
b
2/T
00
n
Contoh :Carilah deret Fourir dari f(t) yang tergambar di bawah ini :
Jawab :Fungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana
periodenya T = 4 sehingga24
2T2
0
, maka :
2/T
00n dttnsin)t(f
T4b
2
1
1
0n dtt
2nsin0dtt
2nsin1
44b
2
ncos1n2
2tncos
n2b
1
0n
1n 2nsin
2ncos1
n12)t(f
maka terlihat bahwa deret merupakan deret Fourir sinus.
Contoh :Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :
Jawab :Fungsi adalah gelombang ganjil setengah simetris, sehingga a0 = 0 = an
dengan periode T = 4 dan24
2T2
0
f(t) = 1 → -1 < t < 1
. Maka :
2/T
00n dttnsin)t(f
T4b
Maka :
2ncos
n4
2nsin
n8b 22n
karena sin (-x) = - sin x pada fungsi ganjil dan cos (-x) = cos x padafungsi genap, maka :
...,6,4,2genapnuntuk)1(n4
...,5,3,1ganjilnuntuk)1(n
8
b2/)2n(
2/)1n(22
n
sehingga :
1nn t
2nsinb)t(f
9.4 Pemakaian Pada Rangkaian Listrik
Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya :
1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier.
2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu menjadi
wawasan frekuensi.
3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier.
4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.
Untuk mendapatkan respons steady state rangkaian terhadap eksitasi
non-sinusoidal periodik ini diperlukan pemakaian deret Fourier,
analisis fasor ac dan prinsip superposisi.
)t1cos(v 101
)t2cos(v 202
)tncos(v n0n
0v
Gambar 9.6 a) Rangkaian linier dengan sumber tegangan periodikb) Merepresentasekan deret Fourier (wawasaan waktu)
adapun pernyataan deret Fourier-nya :
1nn0n0 )tn(cosVV)t(v
0v
11v
nnv
22v
Gambar 9.7 a) Respons steady state komponen dcb) Respons steady state komponen ac (wawasan frekuensi)
1nn00 )tn(cosIni)t(i
Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :
Bilamana sumber tegangan vs(t) pada rangkaian berbentuk :
1k2ntnsinn12
21)t(v
1ks
Carilah v0(t).
(*)
Jawab :
ssn
n0 V
n2j5n2jV
LjRLjV
n2jn2j5
1V1V:atau
n2j5n2j
VV
s0
s
0
)902(n1)2j(
n1
2j1
n1
n2j1V:ataun2j
V1
ss
90n2Vs
90
n2
n2j5n2jV0
22
1
0n425
5n2tan4
V
dan dalam wawasan waktu :
1k2n:untuk5n2tantncos
n425
4)t(V 1
1k 220
maka dengan mensubstitusikan harga ( k = 1, 2, 3, … atau
n = 1, 3, 5,…) untuk harmonisa ganjil akan diperoleh :
Volt...)96,80t5(cos1257,0)14,75t3(cos2051,0)49,51t1(cos4981,0)t(0V
dan kalau digambarkan spektrum amplitudo-nya :
2 3 4 5 6 7
0V
9.5 Daya Rata-rata dan RMS
Untuk mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh suatu
rangkaian dengan sumber suatu fungsi periodik , yaitu :
1nn0ndc )-tn(cosVV)t(v
1mm0mdc )-tm(cosVI)t(i
sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :
T0
dtviT1P
1nnnnndcdc )-(cosIV
21IVP
harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah :
T0
2rms dt)t(f
T1F
1n
2n
2n
20rms ba
21aF
Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :
Carilah daya rata-rata yang diberikan oleh sumber ke rangkaian bilamana :
A)35t3cos(6)10tcos(102)t(i
dan cari pula Vrms.
Jawab :Impedansi rangkaian :
20j1
10
2j120j
2j10
2j110
2j110
XRX.R
ZC
C
maka :
20tan4001
I.10
120tan)20(1
I.1020j1I.10
20j110.IZ.IV
12122
untuk komponen dc (ω = 0) :
I = 2 A v20)0(20tan)0(4001
)2(10V12
untuk ω = 1 rad/det, maka :
14,775
14,872010100
)1(20tan)1(4001
)1010(10Vdan1010I12
untuk ω = 3 rad/det, maka :
04,541
04,89603560
)3(20tan)3(4001
)356(10Vdan356I12
sehingga dalam wawasan waktu :
V)04,54t3cos(1)14,77tcos(520)t(v
Adapun daya rata-rata dapat dihitung dengan :
1nnnnndcdc )-(cosIV
21IVP
)35(04,54cos)6)(1(21)10(14,77cos)10)(5(
21)2(20P
P = 40 + 1,247 + 0,05 = 41,297 W
cara lain :
W30,4106,025,140101
21
105
21
1020
RV
21
RV
P222
1n
2n
2dc
Contoh :Suatu tegangan diekspresikan dengan :
...)7,78t4cos(4851,0)56,71t3cos(6345,0)45,63t2cos(8944,0)45tcos(414,11)t(v
carilah harga rms dari tegangan ini.
Jawab :
Dengan menggunakan :
1n
2n
20rms A
21aF
maka :
V649,1)4851,0()6345,0()8944,0()414,1(211V 22222
rms
9.6 Bentuk Eksponensial Deret Fourier
n
tjnn oec)t(f
Untuk mendapatkan harga rms
1n
2n
2n2
0rms 2baaF
2ba
c2
n2
nn
20
20 ac
1n
2n
20rms c2cF
Karena :
Maka :
dan
T0
tjnn dte)t(f
T1c o
Contoh :Carilah bentuk eksponensial deret Fourier dari :
)t(f)2t(f:dengan2t0;e)t(f t
Jawab :1
T2maka2TKarena 0
maka :
20
jnttT0
tjnn dtee
21dte)t(f
T1c o
2
0
t)jn1(n e
jn11
21c
1ee)jn1(2
1c n2j2n
10j1n2sinjn2cose n2j
)jn1(
51,851e)jn1(2
1c 2n
sehingga deret Fourier-nya : jnte)jn1(
51,85)t(f