bab - uhaisnaini.files.wordpress.com filert a e a r i denisi misal a r n maka vektor disebut eigen...
TRANSCRIPT
BAB �
Konsep Dasar
�
BAB �
PDB Linier Order Satu
�
BAB �
Aplikasi PDB Order Satu
�
BAB �
PDB Linier Order Dua
�
BAB �
Aplikasi PDB Order Dua
�
BAB �
Sistem PDB
�
BAB �
PDB Nonlinier dan
Kesetimbangan
Dalam fenomena riel sedikit sekali model PDB muncul dalam bentuk linier� Se�
baliknya persamaan itu muncul dengan model nonlinier yang sulit diselesaikan
secara analitik� Suatu metoda yang terus berkembang pesat adalah metoda nu�
merik� Namun demikian secara teoritis maupun praktis metoda ini memerlukan
pemahaman khusus terutama menyangkut pembuatan komputer programming�
Metoda sederhana namun cukup berarti adalah menghampiri persamaan non�
linier dengan persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koe�
sien dan syarat awalnya� Teknik ini dikenal dengan analisa kualitatif yaitu
mencoba menganalisa solusi PDB nonlinier secara gras� Beberapa aspek pen�
ting untuk memahami teknik penyelesaian dengan cara ini dapat dijelaskan dalam
bahasan berikut�
��
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
��� Sistem Linier
Suatu sistem PDB order satu dengan n persamaan yang disajikan sebagai
dx�
dt� a��x� � a��x� � � � � � a�nxn
dx�
dt� a��x� � a��x� � � � � � a�nxn
���
dx�
dt� a��x� � a��x� � � � � � a�nxn
dapat ditulis dalam bentuk
dx
dt� Ax� �����
Misal solusi persamaan ini adalah x � �ert dan x� � �rert maka
�rert � A�ert
�A� rI�� � �
De�nisi ����� Misal A � Rn�n maka vektor � � Rn disebut vektor eigen bila
A� � r� dimana r adalah nilai eigen�
Untuk memperoleh nilai eigen dapat dipakai formulasi det�A � rI� � � yang
sekaligus merupakan persamaan karakteristik dari sistem PDB linier diatas� Se�
lanjutnya bila persamaan ����� sama dengan nol yaitu dxdt
� Ax � � maka solusi
sistem PDB linier akan mencapai titik kritis �titik kesetimbangan�� Suatu con�
toh diberikan sistem PDB x�� � �x� � x�� x�� � �x� � x�� Titik kritis dapat
diperoleh dengan menyelesaikan sistem
�x� � x� � �
�x�� x� � �
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
dimana titik yang memenuhi adalah ��� �� sehingga titik kesetimbangannya adalah
��� ���
��� Sistem Otonomus dan Trayektori
Dalam hal ini akan dibahas sistem PDB dengan dua variabel terikat x�� x��
De�nisi ����� Suatu PDB yang berbentuk
dx�
dt� f��x�� x�� �����
dx�
dt� f��x�� x�� �����
adalah merupakan sistem otonomus karena f��x�� x�� dan f��x�� x�� bebas dari t�
Dengan demikian bila sarat Lipschitz dipenuhi oleh persamaan diatas maka
x� � x��t�� x� � x��t� �����
merupakan solusinya dan memenuhi sarat awal x��t�� � �x���� x��t�� � �x����
Jelas penyelesaian ����� menentukan sebuah kurva diruang tiga�dimensi t� x�� x��
Jika kita pandang t sebagai parameter maka bila t berubah dalam selang interval
tertentu a � t � b titik �x��t�� x��t�� akan menelusuri sebuah kurva yang disebut
trayektori atau orbit dari penyelesaian ����� di bidang x�x�� Dalam kajian dari
sistem sis pasangan �x�� x�� disebut fase dari sistem oleh karena itu bidang
x�x� pada umumnya disebut bidang fase �phase plan� sedangkan gambar semua
trayektori yang berpautan dalam bidang fase disebut potret fase�
Untuk menentukan trayektori dari persamaan ��������� dapat digunakan atu�
ran rantai sebagai berikut�
dx�
dx��
dx�
dt� dt
dx��
f��x�� x��
f��x�� x�������
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
Kemudian dengan menyelesaikan PDB ini akan diperoleh persamaan trayektori
yang melalui titik�titik pada domain D� Misal f��x�� x�� �� � maka persamaan
trayektori yang melalui titik�titik lain misal S adalah
dx�
dx��
f��x�� x��
f��x�� x��
Titik�titik ��x���� �x���� dalam bidang fase yang membuat f� dan f� sama de�
ngan nol merupakan titik setimbang dari sistem ��������� dan x��t� � �x���� x��t� �
�x��� adalah penyelesaian untuk semua t�
Contoh ����� Tentukan titik kritis sistem PDB
dx
dt�
�B�
� ��
� �
�CAx�
dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi
syarat awal x���� � �� x���� �p��
Contoh ����� Tentukan titik kritis sistem PDB
dx
dt�
�B�
� ��
� �
�CAx�
dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi
syarat awal x���� � �� x���� �p��
Penyelesaian ����� Titik kritis ditentukan dengan�B�
� ��
� �
�CAx � ��
sehingga ��� �� adalah satu�satunya titik kritis� Kemudian dengan menggunakan
persamaan ����� maka persamaan trayektori didapat dari menyelesaikan PDB
dx�
dx�� �x�
x�� x� �� �
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
dimana penyelesaian umumnya adalah x���x�
�� c� suatu lingkaran yang berpusat
di ��� ��� Dengan menerapkan sarat awal maka solusi khusus didapat sebagai
x��� x�
�� �� Trayektori dari solusi ini adalah berupa lingkaran yang berpusat di
��� �� dimana gerakannya dapat dianalisis dari solusi x��� ��x�
�� Semakin besar
nilai x� semakin kecil nilai x��nya dengan demikian gerakan titik berlawanan
dengan arah jarum jam lihat Gambar ������
x2
x12
Gambar ���� Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal�
��� Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otono�
mus
Persamaan otonomus yang ditulis dalam sistem berikut
dx�
dt� f��x�� x�� �����
dx�
dt� f��x�� x�� �����
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
akan mempunyai ��x���� �x���� sebagai titik kritis �atau kesetimbangan� dari sis�
tem ��������� apabila f���x���� �x���� � � dan f���x���� �x���� � �� Karena tu�
runan suatu konstanta sama dengan nol akibatnya jika titik ��x���� �x���� meru�
pakan titik kritis dari sistem ini maka sepasang fungsi konstan
x��t� � �x���� x��t� � �x��� �����
merupakan penyelesaian dari sistem ��������� untuk semua nilai t�
Dalam banyak keadaan sangat penting mengetahui apakah setiap penyele�
saian dari sistem ��������� yang memulai cukup dekat dengan penyelesaian �����
pada t � � akan tetap dekat dengan ����� untuk seluruh t � � berikutnya� Jika
demikian halnya penyelesaian ����� atau titik kritis ��x���� �x���� disebut stabil�
Untuk lebih jelasnya diberikan denisi berikut�
De�nisi ����� Titik kritis ��x���� �x���� atau penyelesaian konstan ����� dari sis�
tem ��������� disebut stabil jika untuk setiap bilangan e � � terdapat suatui bi�
langan � � � sedemikian hingga setiap penyelesaian �x��t�� x��t�� yang pada t � �
memenuhi
�x����� �x����� � �x����� �x����
� � � ��� �
ujud dan memenuhi
�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����
� � � ������
untuk semua t � ��
De�nisi ����� Titik kritis ��x���� �x���� atau penyelesaian konstan ����� disebut
stabil asimtotik jika titik itu stabil dan sebagai tambahan terdapat �� sedemikian
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
hingga setiap penyelesaian �x��t�� x��t�� yang pada t � � memenuhi
�x����� �x����� � �x����� �x����
� � �� ������
ujud untuk semua t � � dan memenuhi
limt��
x��t� � �� limt��
x��t� � � ������
De�nisi ����� Sebuah titik yang tidak stabil disebut tak stabil�
Secara singkat dikatakan stabilitas berarti perubahan kecil dalam syarat awal
hanya menyebabkan pengaruh kecil pada penyelesaian stabil asimtotik berarti
pengaruh dari perubahan kecil cendrung menghilang sama sekali �tidak berpe�
ngaruh� sedangkan ketakstabilan berarti suatu perubahan kecil pada syarat awal�
nya akan berakibat perubahan besar pada penyelesaian�
Konsep mengenai titik stabil stabil asimtotik dan tak stabil masing�masing
digambarkan dalam Gambar ����
Gambar ���� Potret fase sistem PDB dengan MAPLE
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
Contoh ����� Buktikan titik kritis ��� �� sistem PDB
dx
dt�
�B�
� ��
� �
�CAx�
adalah stabil�
Penyelesaian ����� Misal diberikan � � �� Pilih � � �� Solusi sistem ini adalah
x��t� � c� cos t� c� sin t ������
x��t� � c� cos t� c� sin t ������
dimana c�� c� adalah sebarang konstan� Karena titik kritis ��� �� maka �x��� �
�x��� � � dan x���� � c�� x���� � �c� dan jelas
�x����� �x����� � �x����� �x����
� � �
�c� � ��� � �c� � ��� � �
c��� c�
�� ��
Selanjutnya apakah
�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����
� � ��
Substitusikan penyelesaian diatas didapat
�c� cos t� c� sin t�� � �c� cos t� c� sin t�
� � �
c��cos� t� �c� cos tc� sin t� c�
�sin� t� c�
�cos� t� �c� cos tc� sin t� c�
�sin� t � �
c��� c�
�� �
� ��
Lengkaplah pembuktian bahwa titik kritis ��� �� adalah stabil� Kita tahu bahwa
trayektori sistem PDB ini merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
��� �� dengan demikian lingkaran itu tidak menghampiri titik kritis pada saat
t � �� Ini berarti persamaan ������ tidak berlaku oleh karena itu titik kritis
��� �� bukan stabil asimtotik�
Contoh ����� Buktikan titik kritis ��� �� sistem PDB
dx
dt�
�B��� �
� ��
�CAx�
adalah stabil asimtotik�
Penyelesaian ����� Mula�mula harus dibuktikan bahwa ��� �� adalah stabil�
Misal diberikan � � �� Pilih � � �� Solusi umum sistem pada soal ini adalah
x��t� � c�e�t ������
x��t� � c�e�t ������
dimana c�� c� adalah sebarang konstan� Disini �x��� � �x��� � � dan x���� �
c�� x���� � c� dan jelas
�x����� �x����� � �x����� �x����
� � �
�c� � ��� � �c� � ��� � �
c��� c�
�� ��
Selanjutnya apakah
�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����
� � ��
Substitusikan penyelesaian diatas didapat
�c�e�t�� � �c�e
�t�� � �
�c��� c�
��e��t � �
� c��� c�
�� � � �
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
dengan demikian titik ��� �� adalah stabil� Karena untuk sebarang c�� c� berlaku
limt��
x��t� � limt��
c�e�t � �� lim
t��x��t� � lim
t��c�e
�t � �
maka titik ��� �� adalah stabil asimtotik�
Contoh ����� Buktikan titik kritis ��� �� sistem PDB
dx
dt�
�B��� �
�� �
�CAx�
adalah takstabil�
Penyelesaian ����� Misal titik ��� �� adalah stabil maka untuk � � � terdapat
� � � sedemikian hingga memenuhi persamaan ��� ������� Perhatikan bentuk
penyelesaian sistem ini
x��t� �
p�
�et ������
x��t� �
p�
�et ������
Disini �x��� � �x��� � � dan x���� � x���� �p�� dan
�
p�
��� � �
p�
��� � �
�
�� ��
Selanjutnya apakah
�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����
� � ��
Substitusikan penyelesaian diatas didapat
�
p�
�et�� � �
p�
�et�� � �
�
�e�t � ��
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��
Jelas ini tidak akan berlaku untuk semua nilai t � � sehingga titik kristis ��� ��
adalah takstabil�
Selanjutnya sifat�sifat kestabilan secara umum dari sistem otonomus linier
dx
dt�
�B�
a b
c d
�CAx�
dapat dianalisa dari nilai eigen matriknya� Bila ad � bc �� � maka titik kritis
��� �� adalah satu�satunya titik kristis sistem ini dan solusinya akan berbentuk
x��t� � Ae�t� x��t� � Be�t�
dan sifat�sat kestabilan dapat dilihat dalam teorema berikut�
Teorema ����� Titik kritis ��� �� dari sistem PDB otonomus
akan stabil jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau
mempunyai bagian riel yang takpositif�
akan stabil asimtotik jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan
negatif atau mempunyai bagian riel yang negatif�
akan takstabil jika dan hanya jika salah satu atau kedua nilai eigennya riel
dan positif atau paling sedikit satu nilai eigen mempunyai bagian riel yang
positif�
Ketiga contoh yang diberikan semuanya adalah sistem otonomus linier� Dalam
contoh ������� persamaan kuadratik nilai eigen �persamaan karakteristik� ���� �
�� Akar�akarnya adalah � i jelas mempunyai bagin riel yang tak positif �yaitu
�� maka menurut teorema titik kritis ini ��� �� adalah stabil� Dalam contoh
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
������� persamaan karakteristiknya berbentuk �� � �� � � � �� Akar�akarnya
�� � �� � ��� Karena akar�akarnya riel dan negatif maka titik kritis ��� �� adalah
stabil asimtotik� Terakhir contoh ������� persamaan karakteristiknya �� � � � �
akar�akarnya � � � dan � � �� sehingga titik kritisnya takstabil�
Sekarang perhatikan kembali sistem otonomus ���������� Misal titik kritis itu
��x���� �x���� mengalami transformasi karena pemetaan yang berbentuk X� �
x� � �x��� � dan X� � x� � �x��� � dan memetakan sistem otonomus kedalam
sistem sepadan dengan ��� �� sebagai titik kritis tanpa mengurangi perumuman
dimana ��� �� juga merupakan titik kritis sistem ��������� maka inilah suatu teknik
untuk menghampiri bentuk sistem non linier dengan sistem linier�
Sistem hampiran ini akan menjadi sistem yang hampir linier dengan bentuk
umum sebagai berikut
dx
dt�
�B�
a b
c d
�CAx� F �x�� x���
dengan ad � bc �� � dan F ��� �� � �� Jadi ��� �� tetap merupakan titik kritis
sistem ini� Kemudian bila fungsi�fungsi F � C��I� didekat titik kritis asal dan
juga terjadi bahwa
limx���
x���
F �x�� x��px��� x�
�
� � ���� �
dikatakan bahwa sistem linier
dx
dt�
�B�
a b
c d
�CAx�
merupakan hampiran yang baik terhadap sistem PDB hampir linier diatas� Selan�
jutnya berkenaan dengan kestabilan titik kritis akan mengikuti teorema berikut�
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
Teorema ����� Titik kritis ��� �� dari sistem PDB hampir linier
akan stabil asimtutik jika titik kritis ��� �� dari sistem PDB linier adalah
stabil asimtutik�
akan takstabil jika titik kritis ��� �� dari sistem PDB linier adalah takstabil�
Contoh ����� Buktikan bahwa titik kritis ��� �� sistem PDB hampir linier
x��
� �x� � x� � �x��� x�
��
x��
� ��x� � �x��� x�
�����
adalah stabil asimtutik�
Penyelesaian ����� Di sini a � ��� b � �� c � �� d � �� dan ad � bc � � �� �
sedang F��x�� x�� � �x��� x�
��� F��x�� x�� � �x�
�� x�
���� Juga F���� �� � F���� �� �
� sehingga syarat ���� � terpenuhi� Dengan demikian sistem liniernya sekarang
adalah
x��
� �x� � x�
x��
� ��x�
Persamaan karakteristik persamaan ini adalah �� � �� � � � � dimana akar�
akarnya adalah �� � �� dan �� � ��� Karena kedua akarnya bernilai riel dan
negatif maka titik kritis sistem linier ini adalah adalah stabil asimtutik yang
berakibat bahwa sistem yang hampir linier itu juga stabil asimtutik�
Contoh ����� Buktikan bahwa titik kritis ��� �� sistem PDB hampir linier
x��
� ��x� � �x� � �x��� x�
��
x��
� ��x� � �x� � x�x�
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
adalah stabil asimtutik�
Penyelesaian ����� Di sini a � ��� b � �� c � ��� d � � dan ad � bc � � �� �
sedang F��x�� x�� � �x��� x�
��� F��x�� x�� � �x�x� juga F���� �� � F���� �� � ��
Kita nyatakan x� dan x� dalam koordinat polar� x� � r cos � x� � r sin maka
�syarat x� � dan x� � sepadan dengan r � ��� Maka
limr��
F��x�� x��px��� x�
�
� limr��
r��cos� � sin� �
r� lim
r��
r cos � � �
limr��
F��x�� x��px��� x�
�
� limr��
�r��cos sin �
r� lim
r��
�r cos sin � ��
Jadi syarat ���� � terpenuhi sehingga kajian difokuskan pada bagian sistem linier
x��
� ��x� � �x�
x��
� ��x� � �x�
dimana nilai eigennya adalah �� � � dan �� � ��� Karena salah satu akarnya
adalah positif dan titik ��� �� adalah titik kritis dari sistem linier ini sehingga men�
jadi takstabil maka sistem hampir linier diatas merupakan sistem PDB dengan
titik keritis takstabil�
��� Potret Fase Sistem Otonomus
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya gambar semua trayektori yang berpautan
dari suatu sistem PDB disebut potret fase� Bila sistem PDB itu adalah otonomus
linier
dx
dt�
�B�
a b
c d
�CAx�
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
maka solusi umumnya adalah x��t� � Aert� x��t� � Bert dimana r adalah nilai
eigen dari matrik
�B�
a b
c d
�CA �
yaitu r merupakan akar dari persamaan karakteristik
det�A� rI� � �� ������
Potret fase dari sistem otonomus linier diatas hampir seluruhnya tergantung pada
akar�akar r�� r� dari persamaan ������� Tabel ����� merupakan rangkuman potret
fase sistem PDB dengan sifat�sifat stabilitasnya� Sedangkan tipe�tipe titik kritis
x� � Ax det�A� rI� � � detA �� �Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas
r� � r� � � Simpul Tidak stabilr� � r� � � Simpul Stabil asimtotikr� � � � r� Titik plana Tidak stabilr� � r� � � Simpul sempurna atau tak sempurna Tidak stabilr� � r� � � Simpul sempurna atau tak sempurna Stabil asimtotikr�� r� � � i Titik spiral �Fokus�� � � Tidak stabil� � � Stabil asimtotikr� � i� r� � �i Pusat Stabil
Tabel ���� Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier
pada kolom dua dapat dijelaskan melalui Gambar ����
Contoh ����� Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier
x��
� ��x� � x� ������
x��
� x� � �x� ������
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
x2
x1(a)
(( ) , ( ) )x x1 0 2 0
x1
x2
(b) x1(c)
x2
Gambar ���� Ringkasan potret fase
Penyelesaian ����� Akar�akar karakteristik sistem ini adalah r� � �� dan r� �
�� sehingga penyelesaian umumnya adalah
x��t� � c�e�t � c�e
��t ������
x��t� � c�e�t � c�e
��t� ������
Akan ditentukan trayektori dari semua penyelesaian yang diberikan oleh penye�
lesaian umum ini untuk semua nilai c�� c� yang berbeda� Bila c� � c� � � maka
didapat penyelesaian x� � x� � � dimana trayektorinya merupakan titik asal
��� ��� Bila c� �� � dan c� � � didapat penyelesaian
x��t� � c�e�t ������
x��t� � c�e�t� ������
dan bila c� � � dan c� �� � didapat penyelesaian
x��t� � c�e��t ������
x��t� � �c�e��t� ������
Untuk c� � � semua penyelesaian ����������� mempunyai trayektori yang sama
y � x � �� Demikian pula untuk c� � � trayektorinya adalah y � x � �� Pada
persamaan ����������� bila c� � � dan c� � � berturut�turut akan diperoleh
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
trayektori y � �x � � dan y � �x � �� Keempat trayektori ini akan berupa
setengah garis�garis lurus sebagaimana terlihat dalam Gambar ���� Panah�panah
pada setengah garis itu menunjukkan arah gerakan pada trayektori bila t bertam�
bah� Untuk mendapatkan trayektori lainnya secara eksplisit kita harus mengeli�
minasi t pada persamaan ����������� dan menyelidiki semua kurva yang diperoleh
untuk nilai konstanta c�� c� yang tidak nol� Bila ini sulit dilakukan maka dapat
dianalisa dari ����������� jelas bahwa bila t � � setiap trayektori dari sistem
PDB pada soal ini akan menuju ��� ��� Selanjutnya untuk c� �� � dan c� �� �
kita punyai
limt��
x
y� lim
t��
y
x�
c�e�t � c�e
��t
c�e�t � c�e��t� lim
t��
c� � c�e��t
c� � c�e��t� ��� y � x�
Jadi semua trayektori ini menuju titik asal dan menyinggung garis y � x� Gam�
bar ��� menunjukkan beberapa potret fase sistem ������������
y
x
y x= > 0
y x= < 0
y x= − >0
y x= − <0
Gambar ���� Potret fase untuk nilai awal tertentu
Selanjutnya dengan MAPLE potret fase ini dapat digambar dengan mudah
melalui fungsi DEplot�
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
�Menggunakan fungsi DEplot with�DEtools�� ode���di��x��t�t�����x��t��x��t�� ode���di��x��t�t��x��t����x��t�� DEplot�ode�ode��x��t�x��t��t������x�������x���������
Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini�
Gambar ���� Potret fase sistem secara umum
Contoh ����� Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier
x��
� �x� � �x� ���� �
x��
� �x� � �x� ������
Penyelesaian ����� Akar�akar karakteristik sistem ini adalah r� � �� dan r� �
� sehingga penyelesaian umumnya adalah
x��t� � c�e�t � c�e
�t ������
x��t� � �c�e�t �
�
�c�e
�t� ������
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
Bila c� � c� � � maka didapat penyelesaian x� � x� � � dimana trayektorinya
merupakan titik asal ��� ��� Bila c� �� � dan c� � � didapat penyelesaian
x��t� � c�e�t ������
x��t� � �c�e�t� ������
dan bila c� � � dan c� �� � didapat penyelesaian
x��t� � c�e�t ������
x��t� � �c�e�t� ������
Untuk c� � � trayektori sistem persamaan ����������� berupa setengah garis
lurus x� � �x� � � sedangkan untuk c� � � trayektorinya adalah setengah garis
x� � �x� � �� Kemudian untuk c� � � dan c� � � berturut�turut akan diperoleh
trayektori setengah garis x� ��
�x� � � dan x� �
�
�x� � �� Arah gerakan titiknya
menuju ke titik asal sebagaimana terlihat dalam Gambar ���� Untuk c� �� � dan
c� �� � kita peroleh
limt��
x�
x�� lim
t��
�c�e�t � �
�c�e
�t
c�e�t � c�e�t� lim
t��
�c�e��t � �
�c�
c�e��t � c��
�
��� x� �
�
�x��
dan untuk
limt���
x�
x�� lim
t���
�c�e�t � �
�c�e
�t
c�e�t � c�e�t� lim
t���
�c� ��
�c�e
�t
c� � c�e�t� ��� x� � �x��
Hal ini menyatakan bahwa untuk t � � semua trayektori asimtotis ke garis
x� ��
�x� sedangkan untuk t� �� semua trayektori asimtotis ke garis x� � �x��
Gambar ��� menggambarkan beberapa trayektori dari potret fase sistem ������
����� dan menunjukkan bahwa hanya ada dua trayektori yang menuju titik asal
selebihnya menjauhi yaitu menuju � bila t���
Selanjutnya melalui penerapan fungsiDEplot didapat potret fase umum berikut�
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
y
x
y x= >1
20
y x= >2 0
y x= <1
20
y x= <2 0
Gambar ���� Potret fase untuk nilai awal tertentu
Gambar ���� Potret fase sistem secara umum
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �
Latihan Tutorial �
�� Tentukan titik kritis dan persamaan trayektori dari penyelesaian sistem
berikut�
�a� x��� �x�� x�
�� �x�
�b� x��� �x�� x�
�� �� sin x�
�c� x��� �x�� x�
�� �x�
�d� x��� �x� � x�� x�
�� �x� � x�
�e� x��� x�� x�
�� � sin x�
�f� x��� x� � x�x�� x�
�� �x� � x�x�
�� Transformasikan PDB berikut kedalam sistem PDB order satu dan hitung
persamaan trayektorinya
�a� x�� � x � �
�b� x�� � sin x � �
�c� x�� � x� x� � �
�� Tentukan apakah titik kritis ��� �� merupakan titik stabil stabil asimtutik
atau tak stabil�
�a� x��� x�� x�
�� �x�
�b� x��� �x� � x�� x�
�� ��x�
�c� x��� �x� � x�� x�
�� �x� � x�
�d� x��� �x� � �x�� x�
�� �x� � �x�
BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
�e� x��� ��x� � �x�� x�
�� ��x� � �x�
�f� x��� �x� � �x� � x�x�� x�
�� �x� � �x� � x�x�
�g� x��� x� � x�
�� x�x�� x�
�� ��x� � �x� � x�
�
�h� x��� �x� � �x� � �x�
�� x�
���� x�
�� �x� � x� � �x�
�� x�
���
�� Misal sistem x��� �x� � �x� � �� x�
�� �x� � �x� � � menunjukkan dua
populasi yang berlomba dimana x� adalah populasi yang diperlukan dan
x� adalah populasi parasit� Buktikan bahwa titik kritis ��� �� dari sistem
ini adalah stabil asimtotik dan karena itu kedua populasi ini akan menuju
kepunahan�