bab - uhaisnaini.files.wordpress.com filert a e a r i denisi misal a r n maka vektor disebut eigen...

28

Upload: others

Post on 04-Oct-2019

21 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �

Konsep Dasar

Page 2: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �

PDB Linier Order Satu

Page 3: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �

Aplikasi PDB Order Satu

Page 4: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �

PDB Linier Order Dua

Page 5: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �

Aplikasi PDB Order Dua

Page 6: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �

Sistem PDB

Page 7: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �

PDB Nonlinier dan

Kesetimbangan

Dalam fenomena riel sedikit sekali model PDB muncul dalam bentuk linier� Se�

baliknya persamaan itu muncul dengan model nonlinier yang sulit diselesaikan

secara analitik� Suatu metoda yang terus berkembang pesat adalah metoda nu�

merik� Namun demikian secara teoritis maupun praktis metoda ini memerlukan

pemahaman khusus terutama menyangkut pembuatan komputer programming�

Metoda sederhana namun cukup berarti adalah menghampiri persamaan non�

linier dengan persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koe�

sien dan syarat awalnya� Teknik ini dikenal dengan analisa kualitatif yaitu

mencoba menganalisa solusi PDB nonlinier secara gras� Beberapa aspek pen�

ting untuk memahami teknik penyelesaian dengan cara ini dapat dijelaskan dalam

bahasan berikut�

��

Page 8: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

��� Sistem Linier

Suatu sistem PDB order satu dengan n persamaan yang disajikan sebagai

dx�

dt� a��x� � a��x� � � � � � a�nxn

dx�

dt� a��x� � a��x� � � � � � a�nxn

���

dx�

dt� a��x� � a��x� � � � � � a�nxn

dapat ditulis dalam bentuk

dx

dt� Ax� �����

Misal solusi persamaan ini adalah x � �ert dan x� � �rert maka

�rert � A�ert

�A� rI�� � �

De�nisi ����� Misal A � Rn�n maka vektor � � Rn disebut vektor eigen bila

A� � r� dimana r adalah nilai eigen�

Untuk memperoleh nilai eigen dapat dipakai formulasi det�A � rI� � � yang

sekaligus merupakan persamaan karakteristik dari sistem PDB linier diatas� Se�

lanjutnya bila persamaan ����� sama dengan nol yaitu dxdt

� Ax � � maka solusi

sistem PDB linier akan mencapai titik kritis �titik kesetimbangan�� Suatu con�

toh diberikan sistem PDB x�� � �x� � x�� x�� � �x� � x�� Titik kritis dapat

diperoleh dengan menyelesaikan sistem

�x� � x� � �

�x�� x� � �

Page 9: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

dimana titik yang memenuhi adalah ��� �� sehingga titik kesetimbangannya adalah

��� ���

��� Sistem Otonomus dan Trayektori

Dalam hal ini akan dibahas sistem PDB dengan dua variabel terikat x�� x��

De�nisi ����� Suatu PDB yang berbentuk

dx�

dt� f��x�� x�� �����

dx�

dt� f��x�� x�� �����

adalah merupakan sistem otonomus karena f��x�� x�� dan f��x�� x�� bebas dari t�

Dengan demikian bila sarat Lipschitz dipenuhi oleh persamaan diatas maka

x� � x��t�� x� � x��t� �����

merupakan solusinya dan memenuhi sarat awal x��t�� � �x���� x��t�� � �x����

Jelas penyelesaian ����� menentukan sebuah kurva diruang tiga�dimensi t� x�� x��

Jika kita pandang t sebagai parameter maka bila t berubah dalam selang interval

tertentu a � t � b titik �x��t�� x��t�� akan menelusuri sebuah kurva yang disebut

trayektori atau orbit dari penyelesaian ����� di bidang x�x�� Dalam kajian dari

sistem sis pasangan �x�� x�� disebut fase dari sistem oleh karena itu bidang

x�x� pada umumnya disebut bidang fase �phase plan� sedangkan gambar semua

trayektori yang berpautan dalam bidang fase disebut potret fase�

Untuk menentukan trayektori dari persamaan ��������� dapat digunakan atu�

ran rantai sebagai berikut�

dx�

dx��

dx�

dt� dt

dx��

f��x�� x��

f��x�� x�������

Page 10: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

Kemudian dengan menyelesaikan PDB ini akan diperoleh persamaan trayektori

yang melalui titik�titik pada domain D� Misal f��x�� x�� �� � maka persamaan

trayektori yang melalui titik�titik lain misal S adalah

dx�

dx��

f��x�� x��

f��x�� x��

Titik�titik ��x���� �x���� dalam bidang fase yang membuat f� dan f� sama de�

ngan nol merupakan titik setimbang dari sistem ��������� dan x��t� � �x���� x��t� �

�x��� adalah penyelesaian untuk semua t�

Contoh ����� Tentukan titik kritis sistem PDB

dx

dt�

�B�

� ��

� �

�CAx�

dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi

syarat awal x���� � �� x���� �p��

Contoh ����� Tentukan titik kritis sistem PDB

dx

dt�

�B�

� ��

� �

�CAx�

dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi

syarat awal x���� � �� x���� �p��

Penyelesaian ����� Titik kritis ditentukan dengan�B�

� ��

� �

�CAx � ��

sehingga ��� �� adalah satu�satunya titik kritis� Kemudian dengan menggunakan

persamaan ����� maka persamaan trayektori didapat dari menyelesaikan PDB

dx�

dx�� �x�

x�� x� �� �

Page 11: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

dimana penyelesaian umumnya adalah x���x�

�� c� suatu lingkaran yang berpusat

di ��� ��� Dengan menerapkan sarat awal maka solusi khusus didapat sebagai

x��� x�

�� �� Trayektori dari solusi ini adalah berupa lingkaran yang berpusat di

��� �� dimana gerakannya dapat dianalisis dari solusi x��� ��x�

�� Semakin besar

nilai x� semakin kecil nilai x��nya dengan demikian gerakan titik berlawanan

dengan arah jarum jam lihat Gambar ������

x2

x12

Gambar ���� Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal�

��� Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otono�

mus

Persamaan otonomus yang ditulis dalam sistem berikut

dx�

dt� f��x�� x�� �����

dx�

dt� f��x�� x�� �����

Page 12: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

akan mempunyai ��x���� �x���� sebagai titik kritis �atau kesetimbangan� dari sis�

tem ��������� apabila f���x���� �x���� � � dan f���x���� �x���� � �� Karena tu�

runan suatu konstanta sama dengan nol akibatnya jika titik ��x���� �x���� meru�

pakan titik kritis dari sistem ini maka sepasang fungsi konstan

x��t� � �x���� x��t� � �x��� �����

merupakan penyelesaian dari sistem ��������� untuk semua nilai t�

Dalam banyak keadaan sangat penting mengetahui apakah setiap penyele�

saian dari sistem ��������� yang memulai cukup dekat dengan penyelesaian �����

pada t � � akan tetap dekat dengan ����� untuk seluruh t � � berikutnya� Jika

demikian halnya penyelesaian ����� atau titik kritis ��x���� �x���� disebut stabil�

Untuk lebih jelasnya diberikan denisi berikut�

De�nisi ����� Titik kritis ��x���� �x���� atau penyelesaian konstan ����� dari sis�

tem ��������� disebut stabil jika untuk setiap bilangan e � � terdapat suatui bi�

langan � � � sedemikian hingga setiap penyelesaian �x��t�� x��t�� yang pada t � �

memenuhi

�x����� �x����� � �x����� �x����

� � � ��� �

ujud dan memenuhi

�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����

� � � ������

untuk semua t � ��

De�nisi ����� Titik kritis ��x���� �x���� atau penyelesaian konstan ����� disebut

stabil asimtotik jika titik itu stabil dan sebagai tambahan terdapat �� sedemikian

Page 13: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

hingga setiap penyelesaian �x��t�� x��t�� yang pada t � � memenuhi

�x����� �x����� � �x����� �x����

� � �� ������

ujud untuk semua t � � dan memenuhi

limt��

x��t� � �� limt��

x��t� � � ������

De�nisi ����� Sebuah titik yang tidak stabil disebut tak stabil�

Secara singkat dikatakan stabilitas berarti perubahan kecil dalam syarat awal

hanya menyebabkan pengaruh kecil pada penyelesaian stabil asimtotik berarti

pengaruh dari perubahan kecil cendrung menghilang sama sekali �tidak berpe�

ngaruh� sedangkan ketakstabilan berarti suatu perubahan kecil pada syarat awal�

nya akan berakibat perubahan besar pada penyelesaian�

Konsep mengenai titik stabil stabil asimtotik dan tak stabil masing�masing

digambarkan dalam Gambar ����

Gambar ���� Potret fase sistem PDB dengan MAPLE

Page 14: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

Contoh ����� Buktikan titik kritis ��� �� sistem PDB

dx

dt�

�B�

� ��

� �

�CAx�

adalah stabil�

Penyelesaian ����� Misal diberikan � � �� Pilih � � �� Solusi sistem ini adalah

x��t� � c� cos t� c� sin t ������

x��t� � c� cos t� c� sin t ������

dimana c�� c� adalah sebarang konstan� Karena titik kritis ��� �� maka �x��� �

�x��� � � dan x���� � c�� x���� � �c� dan jelas

�x����� �x����� � �x����� �x����

� � �

�c� � ��� � �c� � ��� � �

c��� c�

�� ��

Selanjutnya apakah

�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����

� � ��

Substitusikan penyelesaian diatas didapat

�c� cos t� c� sin t�� � �c� cos t� c� sin t�

� � �

c��cos� t� �c� cos tc� sin t� c�

�sin� t� c�

�cos� t� �c� cos tc� sin t� c�

�sin� t � �

c��� c�

�� �

� ��

Lengkaplah pembuktian bahwa titik kritis ��� �� adalah stabil� Kita tahu bahwa

trayektori sistem PDB ini merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di

Page 15: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

��� �� dengan demikian lingkaran itu tidak menghampiri titik kritis pada saat

t � �� Ini berarti persamaan ������ tidak berlaku oleh karena itu titik kritis

��� �� bukan stabil asimtotik�

Contoh ����� Buktikan titik kritis ��� �� sistem PDB

dx

dt�

�B��� �

� ��

�CAx�

adalah stabil asimtotik�

Penyelesaian ����� Mula�mula harus dibuktikan bahwa ��� �� adalah stabil�

Misal diberikan � � �� Pilih � � �� Solusi umum sistem pada soal ini adalah

x��t� � c�e�t ������

x��t� � c�e�t ������

dimana c�� c� adalah sebarang konstan� Disini �x��� � �x��� � � dan x���� �

c�� x���� � c� dan jelas

�x����� �x����� � �x����� �x����

� � �

�c� � ��� � �c� � ��� � �

c��� c�

�� ��

Selanjutnya apakah

�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����

� � ��

Substitusikan penyelesaian diatas didapat

�c�e�t�� � �c�e

�t�� � �

�c��� c�

��e��t � �

� c��� c�

�� � � �

Page 16: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

dengan demikian titik ��� �� adalah stabil� Karena untuk sebarang c�� c� berlaku

limt��

x��t� � limt��

c�e�t � �� lim

t��x��t� � lim

t��c�e

�t � �

maka titik ��� �� adalah stabil asimtotik�

Contoh ����� Buktikan titik kritis ��� �� sistem PDB

dx

dt�

�B��� �

�� �

�CAx�

adalah takstabil�

Penyelesaian ����� Misal titik ��� �� adalah stabil maka untuk � � � terdapat

� � � sedemikian hingga memenuhi persamaan ��� ������� Perhatikan bentuk

penyelesaian sistem ini

x��t� �

p�

�et ������

x��t� �

p�

�et ������

Disini �x��� � �x��� � � dan x���� � x���� �p�� dan

p�

��� � �

p�

��� � �

�� ��

Selanjutnya apakah

�x��t�� �x����� � �x��t�� �x����

� � ��

Substitusikan penyelesaian diatas didapat

p�

�et�� � �

p�

�et�� � �

�e�t � ��

Page 17: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN ��

Jelas ini tidak akan berlaku untuk semua nilai t � � sehingga titik kristis ��� ��

adalah takstabil�

Selanjutnya sifat�sifat kestabilan secara umum dari sistem otonomus linier

dx

dt�

�B�

a b

c d

�CAx�

dapat dianalisa dari nilai eigen matriknya� Bila ad � bc �� � maka titik kritis

��� �� adalah satu�satunya titik kristis sistem ini dan solusinya akan berbentuk

x��t� � Ae�t� x��t� � Be�t�

dan sifat�sat kestabilan dapat dilihat dalam teorema berikut�

Teorema ����� Titik kritis ��� �� dari sistem PDB otonomus

akan stabil jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau

mempunyai bagian riel yang takpositif�

akan stabil asimtotik jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan

negatif atau mempunyai bagian riel yang negatif�

akan takstabil jika dan hanya jika salah satu atau kedua nilai eigennya riel

dan positif atau paling sedikit satu nilai eigen mempunyai bagian riel yang

positif�

Ketiga contoh yang diberikan semuanya adalah sistem otonomus linier� Dalam

contoh ������� persamaan kuadratik nilai eigen �persamaan karakteristik� ���� �

�� Akar�akarnya adalah � i jelas mempunyai bagin riel yang tak positif �yaitu

�� maka menurut teorema titik kritis ini ��� �� adalah stabil� Dalam contoh

Page 18: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

������� persamaan karakteristiknya berbentuk �� � �� � � � �� Akar�akarnya

�� � �� � ��� Karena akar�akarnya riel dan negatif maka titik kritis ��� �� adalah

stabil asimtotik� Terakhir contoh ������� persamaan karakteristiknya �� � � � �

akar�akarnya � � � dan � � �� sehingga titik kritisnya takstabil�

Sekarang perhatikan kembali sistem otonomus ���������� Misal titik kritis itu

��x���� �x���� mengalami transformasi karena pemetaan yang berbentuk X� �

x� � �x��� � dan X� � x� � �x��� � dan memetakan sistem otonomus kedalam

sistem sepadan dengan ��� �� sebagai titik kritis tanpa mengurangi perumuman

dimana ��� �� juga merupakan titik kritis sistem ��������� maka inilah suatu teknik

untuk menghampiri bentuk sistem non linier dengan sistem linier�

Sistem hampiran ini akan menjadi sistem yang hampir linier dengan bentuk

umum sebagai berikut

dx

dt�

�B�

a b

c d

�CAx� F �x�� x���

dengan ad � bc �� � dan F ��� �� � �� Jadi ��� �� tetap merupakan titik kritis

sistem ini� Kemudian bila fungsi�fungsi F � C��I� didekat titik kritis asal dan

juga terjadi bahwa

limx���

x���

F �x�� x��px��� x�

� � ���� �

dikatakan bahwa sistem linier

dx

dt�

�B�

a b

c d

�CAx�

merupakan hampiran yang baik terhadap sistem PDB hampir linier diatas� Selan�

jutnya berkenaan dengan kestabilan titik kritis akan mengikuti teorema berikut�

Page 19: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

Teorema ����� Titik kritis ��� �� dari sistem PDB hampir linier

akan stabil asimtutik jika titik kritis ��� �� dari sistem PDB linier adalah

stabil asimtutik�

akan takstabil jika titik kritis ��� �� dari sistem PDB linier adalah takstabil�

Contoh ����� Buktikan bahwa titik kritis ��� �� sistem PDB hampir linier

x��

� �x� � x� � �x��� x�

��

x��

� ��x� � �x��� x�

�����

adalah stabil asimtutik�

Penyelesaian ����� Di sini a � ��� b � �� c � �� d � �� dan ad � bc � � �� �

sedang F��x�� x�� � �x��� x�

��� F��x�� x�� � �x�

�� x�

���� Juga F���� �� � F���� �� �

� sehingga syarat ���� � terpenuhi� Dengan demikian sistem liniernya sekarang

adalah

x��

� �x� � x�

x��

� ��x�

Persamaan karakteristik persamaan ini adalah �� � �� � � � � dimana akar�

akarnya adalah �� � �� dan �� � ��� Karena kedua akarnya bernilai riel dan

negatif maka titik kritis sistem linier ini adalah adalah stabil asimtutik yang

berakibat bahwa sistem yang hampir linier itu juga stabil asimtutik�

Contoh ����� Buktikan bahwa titik kritis ��� �� sistem PDB hampir linier

x��

� ��x� � �x� � �x��� x�

��

x��

� ��x� � �x� � x�x�

Page 20: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

adalah stabil asimtutik�

Penyelesaian ����� Di sini a � ��� b � �� c � ��� d � � dan ad � bc � � �� �

sedang F��x�� x�� � �x��� x�

��� F��x�� x�� � �x�x� juga F���� �� � F���� �� � ��

Kita nyatakan x� dan x� dalam koordinat polar� x� � r cos � x� � r sin maka

�syarat x� � dan x� � sepadan dengan r � ��� Maka

limr��

F��x�� x��px��� x�

� limr��

r��cos� � sin� �

r� lim

r��

r cos � � �

limr��

F��x�� x��px��� x�

� limr��

�r��cos sin �

r� lim

r��

�r cos sin � ��

Jadi syarat ���� � terpenuhi sehingga kajian difokuskan pada bagian sistem linier

x��

� ��x� � �x�

x��

� ��x� � �x�

dimana nilai eigennya adalah �� � � dan �� � ��� Karena salah satu akarnya

adalah positif dan titik ��� �� adalah titik kritis dari sistem linier ini sehingga men�

jadi takstabil maka sistem hampir linier diatas merupakan sistem PDB dengan

titik keritis takstabil�

��� Potret Fase Sistem Otonomus

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya gambar semua trayektori yang berpautan

dari suatu sistem PDB disebut potret fase� Bila sistem PDB itu adalah otonomus

linier

dx

dt�

�B�

a b

c d

�CAx�

Page 21: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

maka solusi umumnya adalah x��t� � Aert� x��t� � Bert dimana r adalah nilai

eigen dari matrik

�B�

a b

c d

�CA �

yaitu r merupakan akar dari persamaan karakteristik

det�A� rI� � �� ������

Potret fase dari sistem otonomus linier diatas hampir seluruhnya tergantung pada

akar�akar r�� r� dari persamaan ������� Tabel ����� merupakan rangkuman potret

fase sistem PDB dengan sifat�sifat stabilitasnya� Sedangkan tipe�tipe titik kritis

x� � Ax det�A� rI� � � detA �� �Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas

r� � r� � � Simpul Tidak stabilr� � r� � � Simpul Stabil asimtotikr� � � � r� Titik plana Tidak stabilr� � r� � � Simpul sempurna atau tak sempurna Tidak stabilr� � r� � � Simpul sempurna atau tak sempurna Stabil asimtotikr�� r� � � i Titik spiral �Fokus�� � � Tidak stabil� � � Stabil asimtotikr� � i� r� � �i Pusat Stabil

Tabel ���� Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier

pada kolom dua dapat dijelaskan melalui Gambar ����

Contoh ����� Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier

x��

� ��x� � x� ������

x��

� x� � �x� ������

Page 22: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

x2

x1(a)

(( ) , ( ) )x x1 0 2 0

x1

x2

(b) x1(c)

x2

Gambar ���� Ringkasan potret fase

Penyelesaian ����� Akar�akar karakteristik sistem ini adalah r� � �� dan r� �

�� sehingga penyelesaian umumnya adalah

x��t� � c�e�t � c�e

��t ������

x��t� � c�e�t � c�e

��t� ������

Akan ditentukan trayektori dari semua penyelesaian yang diberikan oleh penye�

lesaian umum ini untuk semua nilai c�� c� yang berbeda� Bila c� � c� � � maka

didapat penyelesaian x� � x� � � dimana trayektorinya merupakan titik asal

��� ��� Bila c� �� � dan c� � � didapat penyelesaian

x��t� � c�e�t ������

x��t� � c�e�t� ������

dan bila c� � � dan c� �� � didapat penyelesaian

x��t� � c�e��t ������

x��t� � �c�e��t� ������

Untuk c� � � semua penyelesaian ����������� mempunyai trayektori yang sama

y � x � �� Demikian pula untuk c� � � trayektorinya adalah y � x � �� Pada

persamaan ����������� bila c� � � dan c� � � berturut�turut akan diperoleh

Page 23: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

trayektori y � �x � � dan y � �x � �� Keempat trayektori ini akan berupa

setengah garis�garis lurus sebagaimana terlihat dalam Gambar ���� Panah�panah

pada setengah garis itu menunjukkan arah gerakan pada trayektori bila t bertam�

bah� Untuk mendapatkan trayektori lainnya secara eksplisit kita harus mengeli�

minasi t pada persamaan ����������� dan menyelidiki semua kurva yang diperoleh

untuk nilai konstanta c�� c� yang tidak nol� Bila ini sulit dilakukan maka dapat

dianalisa dari ����������� jelas bahwa bila t � � setiap trayektori dari sistem

PDB pada soal ini akan menuju ��� ��� Selanjutnya untuk c� �� � dan c� �� �

kita punyai

limt��

x

y� lim

t��

y

x�

c�e�t � c�e

��t

c�e�t � c�e��t� lim

t��

c� � c�e��t

c� � c�e��t� ��� y � x�

Jadi semua trayektori ini menuju titik asal dan menyinggung garis y � x� Gam�

bar ��� menunjukkan beberapa potret fase sistem ������������

y

x

y x= > 0

y x= < 0

y x= − >0

y x= − <0

Gambar ���� Potret fase untuk nilai awal tertentu

Selanjutnya dengan MAPLE potret fase ini dapat digambar dengan mudah

melalui fungsi DEplot�

Page 24: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

�Menggunakan fungsi DEplot with�DEtools�� ode���di��x��t�t�����x��t��x��t�� ode���di��x��t�t��x��t����x��t�� DEplot�ode�ode��x��t�x��t��t������x�������x���������

Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini�

Gambar ���� Potret fase sistem secara umum

Contoh ����� Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier

x��

� �x� � �x� ���� �

x��

� �x� � �x� ������

Penyelesaian ����� Akar�akar karakteristik sistem ini adalah r� � �� dan r� �

� sehingga penyelesaian umumnya adalah

x��t� � c�e�t � c�e

�t ������

x��t� � �c�e�t �

�c�e

�t� ������

Page 25: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

Bila c� � c� � � maka didapat penyelesaian x� � x� � � dimana trayektorinya

merupakan titik asal ��� ��� Bila c� �� � dan c� � � didapat penyelesaian

x��t� � c�e�t ������

x��t� � �c�e�t� ������

dan bila c� � � dan c� �� � didapat penyelesaian

x��t� � c�e�t ������

x��t� � �c�e�t� ������

Untuk c� � � trayektori sistem persamaan ����������� berupa setengah garis

lurus x� � �x� � � sedangkan untuk c� � � trayektorinya adalah setengah garis

x� � �x� � �� Kemudian untuk c� � � dan c� � � berturut�turut akan diperoleh

trayektori setengah garis x� ��

�x� � � dan x� �

�x� � �� Arah gerakan titiknya

menuju ke titik asal sebagaimana terlihat dalam Gambar ���� Untuk c� �� � dan

c� �� � kita peroleh

limt��

x�

x�� lim

t��

�c�e�t � �

�c�e

�t

c�e�t � c�e�t� lim

t��

�c�e��t � �

�c�

c�e��t � c��

��� x� �

�x��

dan untuk

limt���

x�

x�� lim

t���

�c�e�t � �

�c�e

�t

c�e�t � c�e�t� lim

t���

�c� ��

�c�e

�t

c� � c�e�t� ��� x� � �x��

Hal ini menyatakan bahwa untuk t � � semua trayektori asimtotis ke garis

x� ��

�x� sedangkan untuk t� �� semua trayektori asimtotis ke garis x� � �x��

Gambar ��� menggambarkan beberapa trayektori dari potret fase sistem ������

����� dan menunjukkan bahwa hanya ada dua trayektori yang menuju titik asal

selebihnya menjauhi yaitu menuju � bila t���

Selanjutnya melalui penerapan fungsiDEplot didapat potret fase umum berikut�

Page 26: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

y

x

y x= >1

20

y x= >2 0

y x= <1

20

y x= <2 0

Gambar ���� Potret fase untuk nilai awal tertentu

Gambar ���� Potret fase sistem secara umum

Page 27: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN �

Latihan Tutorial �

�� Tentukan titik kritis dan persamaan trayektori dari penyelesaian sistem

berikut�

�a� x��� �x�� x�

�� �x�

�b� x��� �x�� x�

�� �� sin x�

�c� x��� �x�� x�

�� �x�

�d� x��� �x� � x�� x�

�� �x� � x�

�e� x��� x�� x�

�� � sin x�

�f� x��� x� � x�x�� x�

�� �x� � x�x�

�� Transformasikan PDB berikut kedalam sistem PDB order satu dan hitung

persamaan trayektorinya

�a� x�� � x � �

�b� x�� � sin x � �

�c� x�� � x� x� � �

�� Tentukan apakah titik kritis ��� �� merupakan titik stabil stabil asimtutik

atau tak stabil�

�a� x��� x�� x�

�� �x�

�b� x��� �x� � x�� x�

�� ��x�

�c� x��� �x� � x�� x�

�� �x� � x�

�d� x��� �x� � �x�� x�

�� �x� � �x�

Page 28: BAB - uhaisnaini.files.wordpress.com filert A e A r I Denisi Misal A R n maka vektor disebut eigen bila A r dimana adalah nilai eigen Un tuk memp eroleh nilai eigen dapat dipak ai

BAB �� PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN

�e� x��� ��x� � �x�� x�

�� ��x� � �x�

�f� x��� �x� � �x� � x�x�� x�

�� �x� � �x� � x�x�

�g� x��� x� � x�

�� x�x�� x�

�� ��x� � �x� � x�

�h� x��� �x� � �x� � �x�

�� x�

���� x�

�� �x� � x� � �x�

�� x�

���

�� Misal sistem x��� �x� � �x� � �� x�

�� �x� � �x� � � menunjukkan dua

populasi yang berlomba dimana x� adalah populasi yang diperlukan dan

x� adalah populasi parasit� Buktikan bahwa titik kritis ��� �� dari sistem

ini adalah stabil asimtotik dan karena itu kedua populasi ini akan menuju

kepunahan�