1

BAB I

PENDAHULUAN

1. 1 Latar Belakang

Dalam kehidupan nyata sedikit sekali model persamaan diferensial biasa

yang muncul dalam bentuk linier. Sebaliknya persamaan itu muncul dengan

model nonlinier yang sulit diselesaikan. Metode yang berkembang pesat adalah

metode numerik yang secara teoritis menghampiri persamaan tak linier dengan

persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koefisien dan

syarat awalnya. Kemudian menganalisis secara kualitatif yaitu menganalisa solusi

persamaan diferensial biasa tak linier melalui potret fase.

Menurut O. Knill (tanpa tahun) sistem persamaan Lorenz merupakan

sistem tak linier tiga dimensi yang mempunyai tiga parameter. Pada tahun 1963

Lorenz menemukan penarik periodik yang menarik. Tiga titik kesetimbangan

yang diperoleh dianalisis kestabilannya untuk mengetahui perilaku dinamik dari

sistem persamaan Lorenz. Untuk menganalisis kestabilannya digunakan akar-akar

karakteristik yang diperoleh dengan mensubstitusikan titik kesetimbangan

persamaan ke dalam matriks Jacobian hasil linierisasi dari sistem persamaan

modelnya. Hingga potret fase yang terbentuk dapat dianalisis kestabilannya dan

merupakan kestabilan lokal dari sistem persamaan.

Metode lain yang digunakan untuk menganalisa kestabilan suatu sistem

persamaan diferensial tak linier adalah melalui metode Lyapunov. Diperkenalkan

2

pertama kali oleh matematikawan Rusia yang bernama Alexandr Mikhailovich

Lyapunov pada tahun 1892.

Pemikiran Lyapunov didalam menyelidiki kelakuan sistem dinamik

bertitik tolak pada hukum kekekalan energi, dimana jumlah energi kinetis dan

energi potensial suatu sistem yang bergerak adalah konstan. Menurut Sediono

(tanpa tahun) metode Lyapunov adalah salah satu jenis metode yang dapat

digunakan untuk menyelidiki kestabilan linier maupun tak linier. Metode

Lyapunov kedua atau lebih dikenal sebagai metode Lyapunov langsung adalah

metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem tanpa menyelesaikan

sistem persamaan tak linier. Hasil yang diperoleh dari penggunaan metode

Lyapunov ini hanya bersifat kualitatif saja, yaitu hanya dapat menentukan sistem

stabil atau tidak stabil dan penentuan derajat kestabilannya yang merupakan

kestabilan global dari sistem persamaan.

1. 2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, maka permasalahan yang akan dibahas adalah

bagaimana menentukan kestabilan sistem persamaan Lorenz melalui kestabilan

lokal dan kestabilan global dengan menggunakan metode linierisasi dan metode

Lyapunov kedua?

3

1. 3 Tujuan

Adapun tujuan penulisan dari skripsi ini adalah:

1. Menentukan kestabilan sistem persamaan Lorenz melalui kestabilan lokal

dengan menggunakan metode linierisasi.

2. Menentukan kestabilan sistem persamaan Lorenz melalui kestabilan global

menggunakan metode Lyapunov kedua.

3. Membandingkan hasil analisa kestabilan sistem persamaan Lorenz melalui

kestabilan lokal dan kestabilan global.

1. 4 Batasan Masalah

Skripsi ini akan menjelaskan tentang penentuan kestabilan dari sistem

persamaan Lorenz menggunakan metode linierisasi dan metode Lyapunov kedua

yang merupakan pengembangan dari analisis kestabilan sistem persamaan

diferensial tak linier.

1. 5 Manfaat

Manfaat adanya penulisan skripsi ini adalah:

1. Bagi penulis, meningkatkan pengetahuan tentang kestabilan dari sistem

persamaan diferensial tak linier dan ciri-ciri potret fasenya dengan

menggunakan metode linierisasi dan metode Lyapunov kedua.

2. Bagi pembaca, sebagai bahan tambahan untuk memahami tentang kestabilan

dari sistem persamaan diferensial tak linier dan ciri-ciri potret fasenya dengan

menggunakan metode linierisasi dan metode Lyapunov kedua.

4

1. 6 Metode

Urutan langkah yang dilakukan dalam penyusunan skripsi ini adalah

sebagai berikut:

1. Menganalisis kestabilan lokal sistem persamaan Lorenz

a. Menentukan titik setimbang sistem

b. Melakukan linierisasi sistem

c. Menentukan akar-akar persamaan karakteristik

2. Menentukan bifurkasi Hopf melalui jenis akar-akar persamaan karakteristik

dari sistem persamaan Lorenz

3. Menganalisan kestabilan global dari sistem persamaan Lorenz menggunakan

fungsi Lyapunov

4. Membandingkan hasil analisa kestabilan sistem persamaan Lorenz pada

kestabilan lokal dan global

1. 7 Simbol

Simbol-simbol yang digunakan adalah sebagai berikut :

: Menyatakan nilai bifurkasi

: Bagian real dari nilai eigen bilangan kompleks

: Bagian imajiner dari nilai eigen bilangan kompleks

x

: Menyatakan dx

dt

V

: Menyatakan dV

dt