II-1

Bab II Dasar Teori Analitik Shell

II.1 Konsep Dasar

II.1.1 Persamaan Differensial Shell

Perbedaan yang utama antara struktur cangkang (shell) dan struktur pelat adalah

pada kelengkungannya. Dengan adanya kelengkungan awal mempengaruhi

perilaku gaya membran secara signifikan. Aksi membran pada permukaan

disebabkan oleh gaya bidang akibat deformasi pada tumpuan atau gaya sekunder

yang diakibatkan deformasi akibat lentur. Dalam teori pelat perilaku membran

akibat gaya sekunder dapat diabaikan. Dalam penurunan persamaan diferensial

shell didasarkan atas asumsi-asumsi berikut :

1. Ketebalan pelat shell adalah kecil dibandingkan dengan dimensi lain

2. Lendutan adalah kecil dibandingkan dengan ketebalan shell

3. Material adalah homogen, isotropis dan mengikuti hukum Hooke

4. Garis normal terhadap bidang tengah permukaan sebelum lentur akan tetap

normal dan lurus setelah lentur.

5. Struktur shell dianggap silindris sempurna

II.1.2 Persamaan Differensial Donnell untuk Shell

Dengan meninjau suatu elemen shell yang sangat kecil dengan ketebalan t dan

radius kurva R. Koordinat sistem dipilih pada titik tengah permukaan shell, untuk

sumbu x sejajar sumbu silinder, sumbu y menurut garis singgung (tangensial)

busur lingkaran dan sumbu z adalah tegak lurus (normal) terhadap titik tengah

permukaan.

II.1.2.1 Kesetimbangan

Persamaan kesetimbangan untuk arah x dan y

0xyx NNx y

∂∂+ =

∂ ∂ (II-1a)

0y xyN Ny x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (II-1b)

II-2

Gambar II.1 Gaya–gaya dan perpindahan pada shell

II.1.3 Penurunan persamaan

II.1.3.1 Keseimbangan

Persamaan kesetimbangan untuk arah x dan y

0=∂

∂+

∂∂

yN

xN xyx

0=∂

∂+

∂

∂

xN

yN xyy (II-2)

Akibat adanya kurvatur maka komponen gaya Ny dalam arah sumbu z adalah

dydxR

Ny ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1 (II-3)

Komponen sumbu z akibat gaya bidang adalah : 2 2 2

2 2

12x xy yw w wN N N dx dy

x x y R y⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

ydyNR

yN

Gambar II.2 Komponen radial gaya bidang

II-3

Komponen gaya arah z dengan tambahan gaya geser :

0=∂

∂+

∂∂

yQ

xQ yx

Diketahui hubungan

0y xyy

M MQ

y x∂ ∂

− − =∂ ∂

0yxxx

MM Qx y

∂∂− − =

∂ ∂

Maka diperoleh : 2 22

2 22 xy yx M MM dx dyx x y y

⎛ ⎞∂ ∂∂− +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Kombinasi untuk persamaan kesetimbangan arah z 2 22 2 2 2

2 2 2 2

12 2 0xy yxx xy y

M MM w w wN N Nx x y y x x y R y

∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(II-4)

II.1.3.2 Hubungan gaya dan perpindahan

Untuk perpindahan dan regangan dipisahkan dalam dua bentuk yaitu gaya pada

titik tengah dan akibat lentur

o b

o b

x xo xb

y yo yb

xy xyo xyb

u u uv v v= += +

ε = ε + εε = ε + ε

γ = γ + γ

Dimana subskrips o menunjukan gaya pada titik tengah dan subskrips b adalah

pengaruh lentur.

II.1.3.3 Hubungan Momen dan Kelengkungan 2 2

2 2xw wM D

x y

⎛ ⎞∂ ∂= − + μ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2

2 2yw wM D

y x

⎛ ⎞∂ ∂= − + μ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

II-4

( )2

1xy yxwM M D

y x∂

= = − + μ∂ ∂

Untuk μ adalah rasio Poisson dan D adalah kekakuan shell.

II.1.3.4 Hubungan gaya (titik tengah permukaan) dan perpindahan

Untuk shell dengan deformasi kecil :

oxo

ux

∂ε =

∂

Perpindahan elemen AB ke A’B’ akibat deformasi radial w, maka regangan

elemen :

( )' ' R d R w dAB A B wAB R d R

θ− − θ−ε = − = − = −

θ

Total regangan dalam arah y

oyo

v wy R

∂ε = −

∂

Regangan geser

o oxyo

u vy x

∂ ∂γ = +

∂ ∂

Gambar II.3 Regangan tangensial akibat perpindahan radial

Untuk u, v, w perpindahan pada titik tengah shell dalam arah x, y, z. Dengan

menggunakan hubungan tegangan–regangan dua dimensi

( )

( )

( )

2

2

1

1

2 1

xo xo yo

yo yo xo

xyo xyo

E

E

E

σ = ε +με−μ

σ = ε +με−μ

τ = γ+μ

II-5

II.2 Persamaan Differensial

Persamaan keseimbangan dinyatakan dalam bentuk perpindahan 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 1 1 02 2

1 1 1 02 2

o o o

o o o

u u v wx y x y R xv v u wy x x y R y

∂ ∂ ∂−μ +μ ∂− + − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂−μ +μ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

( ) ( )

4 4 4 2'

4 2 2 4 2

2 2' '

2

2

1 2 0

x x

y y xy xy

w w w wD N Px x y y x

w wN P N SR y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Dimana ' ' ', ,x y xyN N N adalah gaya–gaya sekunder pada titik tengah. Dari

persamaan terakhir, dengan kelengkungan akibat lentur dan gaya sekunder sangat

kecil sekali (infinitesimal) maka dengan menghilangkan bagian-bagian yang

sangat kecil, maka persamaan dapat direduksi menjadi : 4 4 4 2

4 2 2 4 2

2 2

2 2

2

1 12 01

x

o oy xy

w w w wD Px x y y x

v uw w Et wP SR y x y R y R x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂+ + + + − +μ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ −μ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

Persamaan–persamaan tersebut membentuk tiga persamaan yang dapat digunakan

untuk mencari beban kritis pada shell silindris. Berdasarkan Donnel persamaan

tersebut direduksi kedalam satu persamaan dalam w. Transformasi dari bentuk 2 / x y∂ ∂ ∂ dari 2 2/ x∂ ∂ dan 2 2/ x∂ ∂ maka dapat direduksi dengan menggunakan

3 34

3 2

1w wuR x R y xμ ∂ ∂

∇ = −∂ ∂ ∂

Analog dengan 2 / x y∂ ∂ ∂ dari 2 2/ x∂ ∂ dan 2 2/ x∂ ∂ dari dapat direduksi dengan

menggunakan : 3 3

42 3

2 1w wvR x y R y

μ + ∂ ∂∇ = +

∂ ∂ ∂

Untuk ∇2 adalah operator Laplace untuk dua dimensi 2 2

22 2x y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂

Untuk besaran ∇4, dan ∇8 :

II-6

( )

( )

4 4 424 24 2 2 4

8 8 8 8 828 48 6 2 4 4 2 6 8

2

4 6 4

x x y y

x x y x y x y y

∂ ∂ ∂∇ = ∇ = + +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = ∇ = + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Untuk operator ∇4 diaplikasikan kepersamaan dibawah diperoleh :

2 2 28 4

2 2

4 4 42

2

1 1 01

x y xyw w wD w P P S

x yx y

E t v u wR y x R

⎛ ⎞∂ ∂ ∂− ∇ +∇ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂+ ∇ + μ∇ − ∇ =⎜ ⎟∂ ∂−μ ⎝ ⎠

apabila digunakan operator / x∂ ∂ dengan / x∂ ∂ , maka hasil persamaannya akan

menghasilkan persamaan

2 2 2 4

8 42 2 42 0x y xyw w w E t wD w P P S

x y Rx y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∇ −∇ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Persamaan diatas berbentuk persamaan differensial linier orde delapan dalam

variabel w yang dikenal sebagai persamaan Donnell (Donnell equation). Dengan

subtitusi nilai Px , Py = Sxy = 0, maka dapat digunakan mencari beban kritis pada

silinder akibat gaya aksial. Dengan hal yang sama apabila diberikan gaya Sxy maka

identik dengan gaya geser, serta gaya Py adalah tekanan pada silinder.

Dalam koordinat angular (x, θ, r)

2 2 2 48 4 0 0 0

2 2 2 2 41 2 0x x

w w w E t wD w N N NR xx R R xθ θ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∇ −∇ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

(II-5)

II.3 Rumus-rumus Matematik yang berhubungan dengan Analisa shell

Silindris (Cylindrical shell)

II.3.1 Pemecahan Persamaan Polinomial Pangkat Delapan

Maksud bagian ini adalah mengemukakan teknik penyelesaian persamaan aljabar

pangkat delapan yang diperlukan untuk memecahkan persamaan yang timbul dari

analisa tegangan shell silindris. Sebagai dasar penyelesaian tersebut, maka perlu

diulangi tentang sifat dan operasi bilangan kompleks.

II-7

II.3.1.1 Bilangan Kompleks

Sebuah bilangan yang mempunyai bentuk iyxz += dimana 1−=i (bilangan

imaginer), disebut bilangan kompleks. x dan y adalah bilangan-bilangan nyata,

sedangkan i adalah bilangan imaginer. Oleh karena x dan y adalah sama-sama

bilangan nyata, maka untuk selanjutnya dipakai istilah :

x = disebut bagian nyata dari bilangan kompleks

y = disebut koefisien dari bilangan imaginer i

iy = bagian imaginer bilangan kompleks

Setiap bilangan kompleks dapat digambar dalam suatu grafik sebagai berikut :

22 yxr += selamanya positif

/z/ = r = harga mutlak dari bilangan kompleks.

Gambar II.4 Grafik bilangan kompleks

Dari gambar diatas didapat :

θcosrx =

θsinry =

kxyarctg πθ 2)/( += , dimana k adalah bilangan bulat.

Cara lain untuk menulis bilangan kompleks adalah sebagai berikut : θθθ ireirz =+= )sin(cos

θθθ sincos iei +=

Jika dua bilangan kompleks yang dinyatakan oleh :

yixz +=1

yixz −=2

Maka dua bilangan kompleks ini dinyatakan berhubungan simetris satu sama lain,

atau dalam istilah matematika disebut ber - “Conjugates”

II-8

II.3.2 Penyelesaian numerik

II.3.2.1 Metode Iterasi

Dalam pemecahan persamaan lentur shell silindris teori D-K-J ditemui persamaan

Polynomial derajat delapan. Persamaan ini terdiri dari variable berpangkat genap.

Akar-akar persamaan ini terdiri dari pasangan-pasangan yang ber conjugates.

Persamaan-persamaan derajat delapan ini pertama-tama ditransformir kedalam

bentuk persamaan derajat empat (biquadratic equations) dengan menggunakan

suatu subtitusi. Dari persamaan biquadratic ini ditransformir lagi kedalam bentuk

persamaan derajat tiga dengan melalui suatu subtitusi, persamaan derajat tiga ini

ketiga akar-akarnya mendekati +2, -2, 0. Dengan pendekatan mula-mula ini, akar-

akar sebenarnya dapat disempurnakan dengan memakai salah satu cara dari

berbagai macam cara pendekatan. Selanjutnya akar-akar biquadratic dapat

diselesaikan dan akhirnya akar-akar persamaan derajat delapan didapat pula.

II.3.2.2 Metode Newton.

Metode Newton sangat praktis untuk mendapatkan akar-akar dari suatu

persamaan polynomial tingkat tinggi 0)( =xf

Prosedurnya adalah :

a. Diambil suatu harga pendekatan pertama 1x

b. Untuk pendekatan selanjutnya digunakan rumus :

( )n

nnn xf

xfxx'

)(1 −=+ (II-6)

demikian seterusnya secara berulang sehingga didapat kondisi nn xx =+1 . Untuk

jelasnya diambil satu contoh yang berhubungan dengan persamaan teori lenturan

shell.

Contoh 1

Suatu shell silindris circular dengan data-data sebagai berikut :

• Bentangan Longitudinal ( l ) = 25 m’

• Jari-jari ( a ) = 7,5 m’

• Tebal Shell ( d ) = 7,5 cm’

Persamaan dari teori lenturan shell silindris berbentuk :

II-9

( ) ( )424268 4112 nnn λλmλmm +−+−+ ( ) 0122 2

24242 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

daλλλm n

nn

(II-6a)

dimana :

laπλn =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

248 12

daλρ n pada persamaan (a) disubtitusi ( )

ρmm = , hingga didapat :

( ) ( )( ) ( )44

426

2

28 112 m

ρλλm

ρλm nnn +−

+−

+ ( ) 012 2

6

24

=+−

+ mρλλ nn (II-6b)

Dari data-data soal didapat :

9424777,0)00,25/()50,7( == xn πλ

319,681.94)005625,0/()25,567890111,012(8 == xxρ

dengan nilai-nilai diatas dimasukkan pada persamaan (b), hingga persamaan

menjadi :

( ) ( ) ( )4680057344,00127397,0 mmm −+ ( ) 010001829,0

2=+− m (II-6c)

diambil subtitusi ( )2my = , hingga persamaan (c) menjadi: 234 .0057344,0.0127397,0 yyy −+ 01.0001829,0 =+− y (II-6d)

Jika suatu persamaan mempunyai bentuk :

y4 + py3 + qy2 + ry + 1 = 0, diambil subtitusi y = (x – p/4), maka persamaan diatas

menjadi :

( ) ( )xrpqpxqpx +−++−+ 2/8/8/3 3224

( ) 014/34/ 442 =+−−+ pprqp

Untuk persamaan (d), maka :

0127397,0=p

0057344,0−=q

00018299,0−=r

00000052,1+=s

sehingga persamaan pangkat empat menjadi :

000000052,10001467,00057952,0 24 =+−− xxx (II-6e)

II-10

Persamaan ini mempunyai bentuk umum :

024 =+++ cbxaxx (II-6f)

dengan memakai subtitusi :

bxaxzazzb 4)2(/)2( 22232 ++=−− , maka persamaan (II-6f) menjadi :

0)4(2 2223 =−−++ bzcaazz

Untuk persamaan (II-6e)

a = -0,0057952

b = -0,0001467

c = 1,00000052

sehingga persamaan (f) menjadi :

020000000215,09999875,30115904,0 23 =−−− zzz (II-6g)

dengan metode Newton, persamaan (II-6 g ) dapat ditulis sebagai berikut :

020000000215,09999875,30115904,0)( 23 =−−−= zzzzf

dengan akar-akar (z)1, (z)2, (z)3.

Pendekatan Newton :

( )n

nnn zf

zfzz'

)(1 −=+

Mencari (z)1 :

Diambil pendekatan pertama 20 +=z , dengan nilai ini didapat :

04633666,0)2( −=+f

95365230,7)2( +=+f

Jadi 0058258,2)2('/)2((21 +=++−+= ffz

Mencari 2)(z :

Pendekatan kedua ini diambil 20 −=z , dengan nilai ini didapat :

0463866,0)2( −=−f

0463744,8)2(' +=−f

Hingga )046374,8/0463866,0(21 −−=z

= -1,9942351

Dengan z1 ini diadakan pendekatan lagi didapat z2 = -1,9942116, dianggap teliti,

jadi (z)2 = 1,9942116.

II-11

Untuk akar ketiga, z3 = 0

Kesimpulan :

(z)1 = + 2,0058258

(z)2 = -1,9942116

(z)3 = 0,0000000

Selanjutnya akar-akar persamaan pangkat empat (II-6e) dapat dicari akar-akarnya

dengan bantuan rumus dari Descartes.

( ){ }3211 .21 zzizx +++=

( ){ }3212 .21 zzizx +−+=

( ){ }3213 .21 zzizx ++−=

( ){ }3214 .21 zzizx −−−=

Pada subtitusi )4/( pxy −=

= 0031842,0−x

sehingga y didapat :

( )4121655,1.4130875,121

1 ix ++=

( )4121655,1.4130875,121

2 ix −+=

( )4121655,1.4194559,121

3 ix +−=

( )4121655,1.4194559,121

4 ix −−=

dari subtitusi ( ) ( ) ymym ±=→=

Untuk mendapatkan akar-akar dari :

8;......;4;3;2;1m , maka digunakan rumus :

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −++++±=+

2/122

2/122

21 abaiabaiba

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+−++±=−

2/122

2/122

21 abaiabaiba

II-12

Hingga didapat :

( )3823177,0.9234223,04;3;2;1 im ±±=

( )9248944,0.3817092,08;7;6;5 im ±±=

II.3.3 Rumus - rumus matriks

Dalam analisa shell silindris (cylindrical shell), matriks diperlukan untuk

membantu pemecahan beberapa analisa dalam perhitungan shell.

II.3.4 Sifat – sifat lengkungan

Untuk menganalisa tegangan dari shell silindris, maka perlu diketahui sifat-sifat

lengkungan dari potongan melintang suatu shell silindris. Sifat-sifat lengkungan

ini sangat mempengaruhi sifat-sifat shell dalam mengimbangi gaya-gaya luar.

Adapun sifat-sifat yang penting dari lengkungan shell silindris adalah :

• Persamaan trigonometrinya dari lengkungan tersebut

• Hubungan jari-jari kelengkungan di suatu titik di permukaan shell silindris

(R) dengan jari-jari kelengkungan dipuncak shell silindris (R0).

Dengan mempelajari dan menganalisa persamaan lengkungan shell silindris, maka

sifat-sifat khusus dapat diketahui.

Lengkungan-lengkungan yang biasa membentuk potongan melintang shell

silindris adalah :

a. Busur lingkaran

b. Lengkungan parabola

c. Lengkungan cycloid

d. Lengkungan garis rantai (catenary)

e. Lengkungan ellips.

Untuk lengkungan-lengkungan dari a sampai d mempunyai persamaan

lengkungan yang bentuk umumnya sama. Sedangkan lengkungan ellips bentuk

tersendiri. Dalam hal ini kami hanya membahas bentuk lengkungan yang berupa

busur lingkaran.

II-13

II.3.5 Jari-jari lengkungan

Dari y = f(x), jari-jari kelengkungan dapat dihitung dengan rumus :

Gambar II.6 Jari–jari kelengkungan

2

2

2/32

1

dxyd

dxdy

R⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= (II-22)

θddsR = , dimana θ dinyatakan seperti pada gambar II.3

Untuk lengkungan lingkaran, parabola, cycloid, catenary, mempunyai bentuk

umum persamaan trigonometris yang sama :

θnRR cos.0= (II-23)

dimana :

R = Jari-jari kelengkungan disembarang titik pada lengkungan

R0 = Jari-jari lengkungan dipuncak lengkungan shell silindris

N = Suatu angka yang tergantung dari macamnya lengkungan

N = 0 untuk persamaan lingkaran

N = 1 untuk persamaan cycloid

N = -2 untuk persamaan catenary

N = -3 untuk persamaan parabola

θ = Besar sudut antara garis singgung pada titik tersebut dengan garis

horizontal

II.3.6 Persamaan lengkungan

Persamaan-persamaan lengkungan lingkaran dapat dinyatakan dalam koordinat

kartesian dan dalam bentuk trigonometris.

II-14

a. Persamaan lengkungan lingkaran dalam koordinat kartesian x dan y 222 ayx =+ (II-24)

a = jari-jari lingkaran

b. Persamaan lengkungan lingkaran dalam bentuk trigonometris .

R = a = c (II-25)

II.3.7 Istilah atau bagian-bagian shell silindris.

Suatu shell silindris terdiri dari bagian-bagian :

a. Garis bidang pembentuk (generator), yaitu garis sejajar yang membentuk

bidang muka suatu shell silindris

b. Directrix, yaitu garis lengkung dari bidang tengah potongan melintang shell

silindris. Direktrix ini dapat berupa bagian busur lingkaran, lengkungan

parabola, lengkungan ellips, lengkungan catenary, atau garis lengkung

lainnya.

c. Balok pinggir (edge beam), yaitu konstruksi balok yang mendukung pinggir

shell silindris. Suatu shell silindris dapat dibatasi dengan balok pinggir

maupun tidak.

d. Bentangan (span) melintang ( B ) adalah panjang proyeksi horizontal dari

directrix shell silindris.

e. Bentangan longitudinal ( L ) adalah panjang pingir tegak lurus penyanggah

lengkung (traverse) dari shell silindris, atau jarak dua penyanggah lengkung

dari shell silindris.

f. Tebal shell silindris ( d ) yaitu tebal dari konstruksi shell silindris

Gambar II.7 Bagian-bagian shell silindris

II-15

II.4 Teori Selaput

Bagian ini bertujuan untuk mendapatkan tegangan geseran selaput dari shell

silindris, dimana konstruksi ini merupakan suatu pelat tipis yang melengkung.

Dalam teori ini shell silindris dianggap bersifat sebagai selaput dan beban luar

ditransformir menjadi tegangan-tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang

singgung dari bidang tengah shell silindris. Pada dasarnya tegangan-tegangan

selaput hanya merupakan tegangan-tegangan normal, bebas dari momen lentur

dan ditentukan berdasarkan syarat keseimbangan statis dalam keadaan selaput dari

elemen yang ditinjau. Untuk penggunaan teori selaput agar menghasilkan

tegangan yang mendekati tegangan selaput, maka shell silindris harus memenuhi

suatu syarat :

Menurut Novozhilöv, syarat tersebut adalah : (d/R) < (1/20)

dimana :

d = tebal shell silindirs

R = jari-jari directrix shell silindris

II.4.1 Beban-beban

Gambar II.8 Beban-beban shell silindris

Beban yang biasanya diperhitungkan dalam desain atap beton shell silindris

meliputi :

• Beban sebagai akibat berat sendiri = dg

• Beban hidup yang diperhitungkan = lg

• Pengaruh angin = wg

Semua beban-beban diatas dinyatakan dalam berat persatuan luas. Berat sendiri

dan dan beban hidup dalam berat persatuan luas permukaan shell silindris.

Pengaruh angin hanya menyebabkan isapan pada shell silindris selama setengah

sudut pusat directrix tidak melebihi 40o.

II-16

II.4.2 Persamaan keseimbangan

Sistem sumbu untuk analisa tegangan dan geseran selaput (gambar II.9). Untuk

menentukan letak suatu titik pada shell silindris serta besar tegangan geseran

selaput pada titik tersebut, maka ditentukan suatu sistim sumbu sebagai berikut :

Gambar II.9 Sistem sumbu analisa tegangan dan geseran selaput

dimana :

o = Puncak directrix yang melalui tengah bentang longitudinal, diambil sebagai

pusat sumbu.

y = Garis singgung titik pada directrix yang melalui tengah bentang longitudinal,

diambil sebagai sumbu y

r = Jari-jari kelengkungan

θ = Sudut pusat directrix untuk suatu titik sebagaimana ditunjukkan pada gambar

II.6

x = Garis melalui O dan tegak lurus pada directrix yang melalui tengah bentang

longitudinal, diambil sebagai sumbu x

Besaran-besaran yang perlu diketahui untuk mengetahui letak titik pada shell

silindris adalah :

x = Jarak titik tersebut terhadap directrix BOA

θ = Sudut pusat directrix yang dihitung dari O kearah directrix dan dari sini

ditarik garis lurus sejajar sumbu x memotong directrix yang berjarak x dari

tengah bentang longitudinal, maka perpotongan ini menentukan titik tersebut.

II-17

dxδNδN

x

xx +

Rd

dx

dxδNδ

Nx

θxθx +

θRdδNδ

RN

θ

θθx ..1+

θRdδNδ

RN

θ

xθθx ..1+

y x

z

θN

xθN

θxNxN

Gambar II.10 gaya-gaya elemen shell silindris

Gambar II.10 menunjukkan suatu elemen dari shell dengan gaya-gaya yang

bekerja adalah xN , θN , dan θxN , xNθ persatuan panjang, sedang X , Y , Z

menunjukkan komponen gaya-gaya luar persatuan luas permukaan shell pada arah

x, y dan z (longitudinal, melintang dan normal). Dari gambar nampak bahwa

θRddy = , ditinjau keseimbangan-keseimbangan sebagai berikut :

Keseimbangan statis dalam arah x

Σ gaya-gaya xF = 0

++−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− dxNθRddxXθRddxδNδ

NN θxx

xxx ..

0..1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + dxθRd

δθNδ

RN θx

θx

disederhanakan :

0.1=++ X

δθNδ

RxδNδ θxx (II-26)

dengan jalan yang sama kita ambil :

• Keseimbangan statis dalam arah y :

0.1=++ Y

xδNδ

δθNδ

Rθxθ (II-27)

• Keseimbangan gaya-gaya arah normal permukaan shell silindris

0..2

.2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dxθRdZθddxNθ , selanjutnya didapat :

0. =+ RZθN (II-28)

II-18

22

θddx

N θ

dxN θ

dxNθ

Gambar II.11a Keseimbangan gaya shell silindris

Persamaan (II-26), (II-27), (II-28) disebut persamaan keseimbangan statis elemen

selaput, perlu dicatat bahwa R adalah fungsi dari θ,R = f(θ). Dari persamaan (II-

28) didapat θN , Z dan R diketahui, selanjutnya didapat θxN dan xN dengan

mengintegral :

( )∫ ∫ +−−= θFdxYdxδθNδ

RN θ

θx 1...1 (II-29)

dimana )(1 θF adalah fungsi dari θ konstanta, selanjutnya dengan jalan yang sama

didapat :

( )∫ ∫ +−−= θFdxXdxδθNδ

RN θx

x 2...1 (II-30)

dimana )(2 θF merupakan fungsi dari θ saja. Fungsi konstanta )(1 θF dan )(2 θF

didapat dari syarat batas tertentu. Dalam praktek, X , Y , Z hanya fungsi dari θ

dan tidak banyak berubah dalam arah x. Berdasarkan ini didapat bahwa θN hanya

fungsi dari θ saja sehingga :

( )θFxYδθNδ

RN θ

θx 11

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

( )θFKxN θx 1+−= (II-31)

dimana YδθNδ

RK θ +=

1 , disubtitusi pada xN dari persamaan (II-30) dan

diintegrasi.

Dari persamaan (II-31) didapat :

( )δθθFδx

δθKδ

δθNδ θx 1+−=

II-19

hingga :

( ) ( )∫ ∫ +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= θFdxXdxx

δθKδ

δθθFδ

RN x 2

1 .1

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−= θFxXx

θdθdF

RθddK

RxN x 2

12 1.

2 (II-32)

II.5 Rumus umum tegangan selaput shell silindris

Persamaan umum directrix shell silindris adalah :

( )θθRnδθRδθRR nn sin.cos..cos. 1

00 −=→= − (II-37)

dimana :

R = jari-jari kelengkungan pada titik tertentu

R0 = jari-jari kelengkungan dipuncak directrix shell silindris

N = suatu bilangan tergantung dari jenis directrix shell silindris

Tegangan-tegangan selaput.

θgRθgRN nθ

610 cos.cos. −=−= (II-38)

dengan menggunakan persamaan (II-36), (II-37), maka didapat K :

xθnRθR

gθgK nn ⋅⋅⋅−= −1

00

cos{cos.

sin.2

( ) θgnθgθθ sin.sin.2}cos.sin +=−

hingga didapat :

( ) θgnK sin.2+= (II-39)

dan, ( ) θgxnKxN θx sin.2+−=−= (II-40)

dan dari persamaan (II-35) dan (II-39) didapat :

θRxLgnN nx 1

0

22

cos.1

422

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅

+−= (II-41)

dengan mengambil :

n = 0, maka didapat tegangan selaput shell silindris untuk directrix lingkaran

n = 1, untuk directrix cycloid

n = -2, untuk directrix catenary

n = -3, untuk directrix parabola

II-20

II.5.1 Rumus khusus tegangan selaput shell silindris

Tegangan selaput shell silindris yang directrixnya terdiri dari lingkaran (circular

cylindrical shell).

Edge member

Nxo = 2gx.sinØc

Øc

Øc

O

R = 25 ft

Gambar II.11b Tegangan selaput shell silindris

Rumus :

θgaNθ cos.−= (II-42)a

θgxN θx sin.2−= (II-42)b

θcos.4

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= xL

agN x (II-42)c

II.5.2 Rumus Pergeseran Selaput

Rumus pergeseran titik pada shell silindris sangat diperlukan dalam persamaan

syarat batas. Dibawah ini diberikan rumus tersebut :

( ) kxθθakπg

Edu c sincos81

3 ⋅−⋅⋅−=

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅⋅−⋅−= 422

12cossin8kak

kxEdgv c θθ

π

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−⋅= 422

12coscos8kak

kxEdgw c θθ

π

dimana :

k =lπ

II-21

a = jari-jari directrix lingkaran

E = modulus elastisitas material shell silindris

θc = setengah sudut pusat directrix

θ = sudut yang menyatakan letak atau posisi titik yang ditinjau dengan θ dihitung

dari pinggir kiri shell silindris.

d = tebal shell silindris

u = pergeseran atau peralihan tempat arah longitudinal

v = pergeseran dalam arah tangensial

w = pergeseran dalam arah radial

II.6 Analisa Lenturan Shell Silindris

Dalam praktek, shell silindris secara mekanika bukanlah menyerupai keadaan

selaput sempurna. Hal ini antara lain disebabkan dalam teori selaput terutama

belum diperhatikan pengaruh adanya konstruksi pinggir. Oleh karenanya harus

diadakan koreksi terhadap tegangan selaput guna penyesuaiannya, misalnya pada

bagian konstruksi sepanjang pinggir shell silindris, ternyata bahwa tegangan shell

silindris berbeda dengan tegangan selaput seperti apa yang diuraikan pada teori

selaput. Jadi ditarik kesimpulan bahwa prosedur yang ditempuh untuk

mendapatkan tegangan shell silindris adalah :

a. Analisa tegangan keadaan selaput

b. Analisa tegangan lentur shell (tegangan koreksi)

c. Analisa syarat batas

II.6.1 Hubungan tegangan-regangan shell silindris

Secara kolektif dapat ditulis regangan dalam tiap arah sebagai berikut :

xδuδε x = (II-43)a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

aw

δθvδ

aεθ

1 (II-43)b

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

uδvδ

δθuδ

aγxy

1 (II-43)c

dimana :

II-22

=θu εε , regangan dalam arah u, θ

γxy = regangan geser xy

a = jari-jari lingkaran dari directrix shell silindris

Dengan hukum Hooke regangan xε dan yε yang dinyatakan oleh tegangan normal

xσ dan yσ yang bekerja pada suatu elemen secara umum dapat ditulis sebagai

berikut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Eνσ

Eσ

ε yxx ; (II-44)a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Eνσ

Eσ

ε xyy ; (II-44)b

dimana :

E = modulus elastisitas dari bahan

ν = angka poison

εx dan εy = regangan dalam arah x dan y

Bila dihubungkan dengan shell silindris pada persamaan diatas, maka :

dN

σ xx .1=

dN

y .1θ

θσσ ==

dan selanjutnya diisikan pada persamaan diatas, maka :

xδuδ

EdN

EdN

ε θxx =−= (II-45)

EdNν

EdN

ε xθθ −= (II-46)

dan selanjutnya :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= w

a δθδνεθ

1

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

+=

xvδ

δθuδ

aγ

EdNν

GdN

θxθxθx 112

(II-46)a

dimana :

d = tebal shell silindris

II-23

g = modulus geser (γτ ); γ = sudut geseran.

ϕ = rotasi total garis singgung

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

δθwδv

a1 (II-46)b

xθ = perubahan kelengkungan

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

2

1δθ

wδwa

(II-46)c

II.7 Teori Lenturan shell silindris

Sejak tahun 1932 beberapa teori lenturan shell telah mengawali analisa shell

silindris diantaranya adalah teori dari Flüger, Dischinger, Finsterwalder, D-K-J

dan Schorer. Dari sekian banyak teori tersebut diatas dalam analisa tegangan

lentur, maka masing-masing mengadakan anggapan atau pendekatan untuk

memecahkan persamaan dari keseimbangan elemen shell silindris. Dalam tulisan

ini hanya disajikan dasar-dasar persamaan lenturan shell silindris dari

Finsterwalder dan dengan dasar ini digunakan untuk pemecahan atau penunjang

dalam analisa teori D-K-J dan Schorer. Kedua teori yang tersebut terakhir ini

sudah cukup untuk mendapatkan tegangan-tegangan lentur shell silindris yang

diperlukan dalam perencanaan, selain itu dengan mudah ditulis dalam bentuk

matriks sehingga penggunaannya menjadi sederhana dan mudah pengontrolannya.

Teori D-K-J digunakan pada shell silindris yang bendek, sedangkan teori Schorer

untuk shell silindris yang panjang.

1. Teori Finsterwalder

Asumsi-asumsi pada teori shell silindris dan tambahan asumsi dari

Finsterwalder dapat dikemukakan sebagai berikut :

a. Material adalah homogen dan isotropic dan tetap menuruti hukum Hooke

b. Suatu garis lurus yang tegak lurus pada bidang tengah dari shell silindris

sebelum pembebanan tetap tegak lurus setelah ada perubahan (deformasi) dari

shell silindris.

c. Semua perpindahan atau pergeseran suatu bagian dari shell silindris adalah

kecil.

II-24

d. Momen Mx, Mxθ dan gaya geser radial Qx diabaikan dalam analisa ini.

Asumsi-asumsi dari point a sampai c adalah asumsi umum dari teori shell,

sedangkan asumsi point d adalah asumsi dari Finsterwalder untuk memecahkan

atau menyederhanakan teorinya.

2. Persamaan keseimbangan shell silindris

Untuk menurunkan rumus keseimbangan dalam analisa lenturan shell

silindris, Mx, Qx dan Mxθ diabaikan :

a. Persamaan keseimbangan dalam arah x, ΣFx = 0

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅++− dxNθaddx

xδNδ

NN θxx

xx 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + dxθad

δθaNδ

N xθx

0. =⋅+ dxθadδθa

Nδθaddx

xδNδ θxx

hingga didapat :

0=+δθa

Nδxδ

Nδ θxx (II-47)a

b. Jumlah tegangan dalam arah θ = 0, (ditengah elemen)

02

21=⋅−⋅⋅+⋅⋅

θddxQθaddxxδ

Nδdxθad

δθNδ

a θxθ

Jika disederhanakan didapat :

0=−+ θθxθ Q

xδNδ

aδθNδ

(II-47)b

Persamaan keseimbangan selanjutnya diambil :

Σ gaya Fn = 0 (arah kepusat lengkungan melalui tengah-tengah elemen)

02

2 =⋅⋅+ dxθadδθaQδθddxN θ

θ (II-47)c

c. Persamaan keseimbangan keseimbangan lainnya didapat dari Σ momen = 0

pada AD

( ) 0=⋅−⋅⋅ dxθadQdxθadδθaMδ

θθ ,

hingga :

01=−⋅ θ

θ QδθMδ

a (II-47)d