II-1
Bab II Dasar Teori Analitik Shell
II.1 Konsep Dasar
II.1.1 Persamaan Differensial Shell
Perbedaan yang utama antara struktur cangkang (shell) dan struktur pelat adalah
pada kelengkungannya. Dengan adanya kelengkungan awal mempengaruhi
perilaku gaya membran secara signifikan. Aksi membran pada permukaan
disebabkan oleh gaya bidang akibat deformasi pada tumpuan atau gaya sekunder
yang diakibatkan deformasi akibat lentur. Dalam teori pelat perilaku membran
akibat gaya sekunder dapat diabaikan. Dalam penurunan persamaan diferensial
shell didasarkan atas asumsi-asumsi berikut :
1. Ketebalan pelat shell adalah kecil dibandingkan dengan dimensi lain
2. Lendutan adalah kecil dibandingkan dengan ketebalan shell
3. Material adalah homogen, isotropis dan mengikuti hukum Hooke
4. Garis normal terhadap bidang tengah permukaan sebelum lentur akan tetap
normal dan lurus setelah lentur.
5. Struktur shell dianggap silindris sempurna
II.1.2 Persamaan Differensial Donnell untuk Shell
Dengan meninjau suatu elemen shell yang sangat kecil dengan ketebalan t dan
radius kurva R. Koordinat sistem dipilih pada titik tengah permukaan shell, untuk
sumbu x sejajar sumbu silinder, sumbu y menurut garis singgung (tangensial)
busur lingkaran dan sumbu z adalah tegak lurus (normal) terhadap titik tengah
permukaan.
II.1.2.1 Kesetimbangan
Persamaan kesetimbangan untuk arah x dan y
0xyx NNx y
∂∂+ =
∂ ∂ (II-1a)
0y xyN Ny x
∂ ∂+ =
∂ ∂ (II-1b)
II-2
Gambar II.1 Gaya–gaya dan perpindahan pada shell
II.1.3 Penurunan persamaan
II.1.3.1 Keseimbangan
Persamaan kesetimbangan untuk arah x dan y
0=∂
∂+
∂∂
yN
xN xyx
0=∂
∂+
∂
∂
xN
yN xyy (II-2)
Akibat adanya kurvatur maka komponen gaya Ny dalam arah sumbu z adalah
dydxR
Ny ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 (II-3)
Komponen sumbu z akibat gaya bidang adalah : 2 2 2
2 2
12x xy yw w wN N N dx dy
x x y R y⎛ ⎞∂ ∂ ∂
+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
ydyNR
yN
Gambar II.2 Komponen radial gaya bidang
II-3
Komponen gaya arah z dengan tambahan gaya geser :
0=∂
∂+
∂∂
yQ
xQ yx
Diketahui hubungan
0y xyy
M MQ
y x∂ ∂
− − =∂ ∂
0yxxx
MM Qx y
∂∂− − =
∂ ∂
Maka diperoleh : 2 22
2 22 xy yx M MM dx dyx x y y
⎛ ⎞∂ ∂∂− +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Kombinasi untuk persamaan kesetimbangan arah z 2 22 2 2 2
2 2 2 2
12 2 0xy yxx xy y
M MM w w wN N Nx x y y x x y R y
∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(II-4)
II.1.3.2 Hubungan gaya dan perpindahan
Untuk perpindahan dan regangan dipisahkan dalam dua bentuk yaitu gaya pada
titik tengah dan akibat lentur
o b
o b
x xo xb
y yo yb
xy xyo xyb
u u uv v v= += +
ε = ε + εε = ε + ε
γ = γ + γ
Dimana subskrips o menunjukan gaya pada titik tengah dan subskrips b adalah
pengaruh lentur.
II.1.3.3 Hubungan Momen dan Kelengkungan 2 2
2 2xw wM D
x y
⎛ ⎞∂ ∂= − + μ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
2 2
2 2yw wM D
y x
⎛ ⎞∂ ∂= − + μ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
II-4
( )2
1xy yxwM M D
y x∂
= = − + μ∂ ∂
Untuk μ adalah rasio Poisson dan D adalah kekakuan shell.
II.1.3.4 Hubungan gaya (titik tengah permukaan) dan perpindahan
Untuk shell dengan deformasi kecil :
oxo
ux
∂ε =
∂
Perpindahan elemen AB ke A’B’ akibat deformasi radial w, maka regangan
elemen :
( )' ' R d R w dAB A B wAB R d R
θ− − θ−ε = − = − = −
θ
Total regangan dalam arah y
oyo
v wy R
∂ε = −
∂
Regangan geser
o oxyo
u vy x
∂ ∂γ = +
∂ ∂
Gambar II.3 Regangan tangensial akibat perpindahan radial
Untuk u, v, w perpindahan pada titik tengah shell dalam arah x, y, z. Dengan
menggunakan hubungan tegangan–regangan dua dimensi
( )
( )
( )
2
2
1
1
2 1
xo xo yo
yo yo xo
xyo xyo
E
E
E
σ = ε +με−μ
σ = ε +με−μ
τ = γ+μ
II-5
II.2 Persamaan Differensial
Persamaan keseimbangan dinyatakan dalam bentuk perpindahan 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1 1 02 2
1 1 1 02 2
o o o
o o o
u u v wx y x y R xv v u wy x x y R y
∂ ∂ ∂−μ +μ ∂− + − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂−μ +μ ∂+ + − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )
( ) ( )
4 4 4 2'
4 2 2 4 2
2 2' '
2
2
1 2 0
x x
y y xy xy
w w w wD N Px x y y x
w wN P N SR y x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Dimana ' ' ', ,x y xyN N N adalah gaya–gaya sekunder pada titik tengah. Dari
persamaan terakhir, dengan kelengkungan akibat lentur dan gaya sekunder sangat
kecil sekali (infinitesimal) maka dengan menghilangkan bagian-bagian yang
sangat kecil, maka persamaan dapat direduksi menjadi : 4 4 4 2
4 2 2 4 2
2 2
2 2
2
1 12 01
x
o oy xy
w w w wD Px x y y x
v uw w Et wP SR y x y R y R x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂+ + + + − +μ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ −μ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
Persamaan–persamaan tersebut membentuk tiga persamaan yang dapat digunakan
untuk mencari beban kritis pada shell silindris. Berdasarkan Donnel persamaan
tersebut direduksi kedalam satu persamaan dalam w. Transformasi dari bentuk 2 / x y∂ ∂ ∂ dari 2 2/ x∂ ∂ dan 2 2/ x∂ ∂ maka dapat direduksi dengan menggunakan
3 34
3 2
1w wuR x R y xμ ∂ ∂
∇ = −∂ ∂ ∂
Analog dengan 2 / x y∂ ∂ ∂ dari 2 2/ x∂ ∂ dan 2 2/ x∂ ∂ dari dapat direduksi dengan
menggunakan : 3 3
42 3
2 1w wvR x y R y
μ + ∂ ∂∇ = +
∂ ∂ ∂
Untuk ∇2 adalah operator Laplace untuk dua dimensi 2 2
22 2x y
∂ ∂∇ = +
∂ ∂
Untuk besaran ∇4, dan ∇8 :
II-6
( )
( )
4 4 424 24 2 2 4
8 8 8 8 828 48 6 2 4 4 2 6 8
2
4 6 4
x x y y
x x y x y x y y
∂ ∂ ∂∇ = ∇ = + +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = ∇ = + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Untuk operator ∇4 diaplikasikan kepersamaan dibawah diperoleh :
2 2 28 4
2 2
4 4 42
2
1 1 01
x y xyw w wD w P P S
x yx y
E t v u wR y x R
⎛ ⎞∂ ∂ ∂− ∇ +∇ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂+ ∇ + μ∇ − ∇ =⎜ ⎟∂ ∂−μ ⎝ ⎠
apabila digunakan operator / x∂ ∂ dengan / x∂ ∂ , maka hasil persamaannya akan
menghasilkan persamaan
2 2 2 4
8 42 2 42 0x y xyw w w E t wD w P P S
x y Rx y x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∇ −∇ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Persamaan diatas berbentuk persamaan differensial linier orde delapan dalam
variabel w yang dikenal sebagai persamaan Donnell (Donnell equation). Dengan
subtitusi nilai Px , Py = Sxy = 0, maka dapat digunakan mencari beban kritis pada
silinder akibat gaya aksial. Dengan hal yang sama apabila diberikan gaya Sxy maka
identik dengan gaya geser, serta gaya Py adalah tekanan pada silinder.
Dalam koordinat angular (x, θ, r)
2 2 2 48 4 0 0 0
2 2 2 2 41 2 0x x
w w w E t wD w N N NR xx R R xθ θ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∇ −∇ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠
(II-5)
II.3 Rumus-rumus Matematik yang berhubungan dengan Analisa shell
Silindris (Cylindrical shell)
II.3.1 Pemecahan Persamaan Polinomial Pangkat Delapan
Maksud bagian ini adalah mengemukakan teknik penyelesaian persamaan aljabar
pangkat delapan yang diperlukan untuk memecahkan persamaan yang timbul dari
analisa tegangan shell silindris. Sebagai dasar penyelesaian tersebut, maka perlu
diulangi tentang sifat dan operasi bilangan kompleks.
II-7
II.3.1.1 Bilangan Kompleks
Sebuah bilangan yang mempunyai bentuk iyxz += dimana 1−=i (bilangan
imaginer), disebut bilangan kompleks. x dan y adalah bilangan-bilangan nyata,
sedangkan i adalah bilangan imaginer. Oleh karena x dan y adalah sama-sama
bilangan nyata, maka untuk selanjutnya dipakai istilah :
x = disebut bagian nyata dari bilangan kompleks
y = disebut koefisien dari bilangan imaginer i
iy = bagian imaginer bilangan kompleks
Setiap bilangan kompleks dapat digambar dalam suatu grafik sebagai berikut :
22 yxr += selamanya positif
/z/ = r = harga mutlak dari bilangan kompleks.
Gambar II.4 Grafik bilangan kompleks
Dari gambar diatas didapat :
θcosrx =
θsinry =
kxyarctg πθ 2)/( += , dimana k adalah bilangan bulat.
Cara lain untuk menulis bilangan kompleks adalah sebagai berikut : θθθ ireirz =+= )sin(cos
θθθ sincos iei +=
Jika dua bilangan kompleks yang dinyatakan oleh :
yixz +=1
yixz −=2
Maka dua bilangan kompleks ini dinyatakan berhubungan simetris satu sama lain,
atau dalam istilah matematika disebut ber - “Conjugates”
II-8
II.3.2 Penyelesaian numerik
II.3.2.1 Metode Iterasi
Dalam pemecahan persamaan lentur shell silindris teori D-K-J ditemui persamaan
Polynomial derajat delapan. Persamaan ini terdiri dari variable berpangkat genap.
Akar-akar persamaan ini terdiri dari pasangan-pasangan yang ber conjugates.
Persamaan-persamaan derajat delapan ini pertama-tama ditransformir kedalam
bentuk persamaan derajat empat (biquadratic equations) dengan menggunakan
suatu subtitusi. Dari persamaan biquadratic ini ditransformir lagi kedalam bentuk
persamaan derajat tiga dengan melalui suatu subtitusi, persamaan derajat tiga ini
ketiga akar-akarnya mendekati +2, -2, 0. Dengan pendekatan mula-mula ini, akar-
akar sebenarnya dapat disempurnakan dengan memakai salah satu cara dari
berbagai macam cara pendekatan. Selanjutnya akar-akar biquadratic dapat
diselesaikan dan akhirnya akar-akar persamaan derajat delapan didapat pula.
II.3.2.2 Metode Newton.
Metode Newton sangat praktis untuk mendapatkan akar-akar dari suatu
persamaan polynomial tingkat tinggi 0)( =xf
Prosedurnya adalah :
a. Diambil suatu harga pendekatan pertama 1x
b. Untuk pendekatan selanjutnya digunakan rumus :
( )n
nnn xf
xfxx'
)(1 −=+ (II-6)
demikian seterusnya secara berulang sehingga didapat kondisi nn xx =+1 . Untuk
jelasnya diambil satu contoh yang berhubungan dengan persamaan teori lenturan
shell.
Contoh 1
Suatu shell silindris circular dengan data-data sebagai berikut :
• Bentangan Longitudinal ( l ) = 25 m’
• Jari-jari ( a ) = 7,5 m’
• Tebal Shell ( d ) = 7,5 cm’
Persamaan dari teori lenturan shell silindris berbentuk :
II-9
( ) ( )424268 4112 nnn λλmλmm +−+−+ ( ) 0122 2
24242 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
daλλλm n
nn
(II-6a)
dimana :
laπλn =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
248 12
daλρ n pada persamaan (a) disubtitusi ( )
ρmm = , hingga didapat :
( ) ( )( ) ( )44
426
2
28 112 m
ρλλm
ρλm nnn +−
+−
+ ( ) 012 2
6
24
=+−
+ mρλλ nn (II-6b)
Dari data-data soal didapat :
9424777,0)00,25/()50,7( == xn πλ
319,681.94)005625,0/()25,567890111,012(8 == xxρ
dengan nilai-nilai diatas dimasukkan pada persamaan (b), hingga persamaan
menjadi :
( ) ( ) ( )4680057344,00127397,0 mmm −+ ( ) 010001829,0
2=+− m (II-6c)
diambil subtitusi ( )2my = , hingga persamaan (c) menjadi: 234 .0057344,0.0127397,0 yyy −+ 01.0001829,0 =+− y (II-6d)
Jika suatu persamaan mempunyai bentuk :
y4 + py3 + qy2 + ry + 1 = 0, diambil subtitusi y = (x – p/4), maka persamaan diatas
menjadi :
( ) ( )xrpqpxqpx +−++−+ 2/8/8/3 3224
( ) 014/34/ 442 =+−−+ pprqp
Untuk persamaan (d), maka :
0127397,0=p
0057344,0−=q
00018299,0−=r
00000052,1+=s
sehingga persamaan pangkat empat menjadi :
000000052,10001467,00057952,0 24 =+−− xxx (II-6e)
II-10
Persamaan ini mempunyai bentuk umum :
024 =+++ cbxaxx (II-6f)
dengan memakai subtitusi :
bxaxzazzb 4)2(/)2( 22232 ++=−− , maka persamaan (II-6f) menjadi :
0)4(2 2223 =−−++ bzcaazz
Untuk persamaan (II-6e)
a = -0,0057952
b = -0,0001467
c = 1,00000052
sehingga persamaan (f) menjadi :
020000000215,09999875,30115904,0 23 =−−− zzz (II-6g)
dengan metode Newton, persamaan (II-6 g ) dapat ditulis sebagai berikut :
020000000215,09999875,30115904,0)( 23 =−−−= zzzzf
dengan akar-akar (z)1, (z)2, (z)3.
Pendekatan Newton :
( )n
nnn zf
zfzz'
)(1 −=+
Mencari (z)1 :
Diambil pendekatan pertama 20 +=z , dengan nilai ini didapat :
04633666,0)2( −=+f
95365230,7)2( +=+f
Jadi 0058258,2)2('/)2((21 +=++−+= ffz
Mencari 2)(z :
Pendekatan kedua ini diambil 20 −=z , dengan nilai ini didapat :
0463866,0)2( −=−f
0463744,8)2(' +=−f
Hingga )046374,8/0463866,0(21 −−=z
= -1,9942351
Dengan z1 ini diadakan pendekatan lagi didapat z2 = -1,9942116, dianggap teliti,
jadi (z)2 = 1,9942116.
II-11
Untuk akar ketiga, z3 = 0
Kesimpulan :
(z)1 = + 2,0058258
(z)2 = -1,9942116
(z)3 = 0,0000000
Selanjutnya akar-akar persamaan pangkat empat (II-6e) dapat dicari akar-akarnya
dengan bantuan rumus dari Descartes.
( ){ }3211 .21 zzizx +++=
( ){ }3212 .21 zzizx +−+=
( ){ }3213 .21 zzizx ++−=
( ){ }3214 .21 zzizx −−−=
Pada subtitusi )4/( pxy −=
= 0031842,0−x
sehingga y didapat :
( )4121655,1.4130875,121
1 ix ++=
( )4121655,1.4130875,121
2 ix −+=
( )4121655,1.4194559,121
3 ix +−=
( )4121655,1.4194559,121
4 ix −−=
dari subtitusi ( ) ( ) ymym ±=→=
Untuk mendapatkan akar-akar dari :
8;......;4;3;2;1m , maka digunakan rumus :
( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −++++±=+
2/122
2/122
21 abaiabaiba
( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −+−++±=−
2/122
2/122
21 abaiabaiba
II-12
Hingga didapat :
( )3823177,0.9234223,04;3;2;1 im ±±=
( )9248944,0.3817092,08;7;6;5 im ±±=
II.3.3 Rumus - rumus matriks
Dalam analisa shell silindris (cylindrical shell), matriks diperlukan untuk
membantu pemecahan beberapa analisa dalam perhitungan shell.
II.3.4 Sifat – sifat lengkungan
Untuk menganalisa tegangan dari shell silindris, maka perlu diketahui sifat-sifat
lengkungan dari potongan melintang suatu shell silindris. Sifat-sifat lengkungan
ini sangat mempengaruhi sifat-sifat shell dalam mengimbangi gaya-gaya luar.
Adapun sifat-sifat yang penting dari lengkungan shell silindris adalah :
• Persamaan trigonometrinya dari lengkungan tersebut
• Hubungan jari-jari kelengkungan di suatu titik di permukaan shell silindris
(R) dengan jari-jari kelengkungan dipuncak shell silindris (R0).
Dengan mempelajari dan menganalisa persamaan lengkungan shell silindris, maka
sifat-sifat khusus dapat diketahui.
Lengkungan-lengkungan yang biasa membentuk potongan melintang shell
silindris adalah :
a. Busur lingkaran
b. Lengkungan parabola
c. Lengkungan cycloid
d. Lengkungan garis rantai (catenary)
e. Lengkungan ellips.
Untuk lengkungan-lengkungan dari a sampai d mempunyai persamaan
lengkungan yang bentuk umumnya sama. Sedangkan lengkungan ellips bentuk
tersendiri. Dalam hal ini kami hanya membahas bentuk lengkungan yang berupa
busur lingkaran.
II-13
II.3.5 Jari-jari lengkungan
Dari y = f(x), jari-jari kelengkungan dapat dihitung dengan rumus :
Gambar II.6 Jari–jari kelengkungan
2
2
2/32
1
dxyd
dxdy
R⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
= (II-22)
θddsR = , dimana θ dinyatakan seperti pada gambar II.3
Untuk lengkungan lingkaran, parabola, cycloid, catenary, mempunyai bentuk
umum persamaan trigonometris yang sama :
θnRR cos.0= (II-23)
dimana :
R = Jari-jari kelengkungan disembarang titik pada lengkungan
R0 = Jari-jari lengkungan dipuncak lengkungan shell silindris
N = Suatu angka yang tergantung dari macamnya lengkungan
N = 0 untuk persamaan lingkaran
N = 1 untuk persamaan cycloid
N = -2 untuk persamaan catenary
N = -3 untuk persamaan parabola
θ = Besar sudut antara garis singgung pada titik tersebut dengan garis
horizontal
II.3.6 Persamaan lengkungan
Persamaan-persamaan lengkungan lingkaran dapat dinyatakan dalam koordinat
kartesian dan dalam bentuk trigonometris.
II-14
a. Persamaan lengkungan lingkaran dalam koordinat kartesian x dan y 222 ayx =+ (II-24)
a = jari-jari lingkaran
b. Persamaan lengkungan lingkaran dalam bentuk trigonometris .
R = a = c (II-25)
II.3.7 Istilah atau bagian-bagian shell silindris.
Suatu shell silindris terdiri dari bagian-bagian :
a. Garis bidang pembentuk (generator), yaitu garis sejajar yang membentuk
bidang muka suatu shell silindris
b. Directrix, yaitu garis lengkung dari bidang tengah potongan melintang shell
silindris. Direktrix ini dapat berupa bagian busur lingkaran, lengkungan
parabola, lengkungan ellips, lengkungan catenary, atau garis lengkung
lainnya.
c. Balok pinggir (edge beam), yaitu konstruksi balok yang mendukung pinggir
shell silindris. Suatu shell silindris dapat dibatasi dengan balok pinggir
maupun tidak.
d. Bentangan (span) melintang ( B ) adalah panjang proyeksi horizontal dari
directrix shell silindris.
e. Bentangan longitudinal ( L ) adalah panjang pingir tegak lurus penyanggah
lengkung (traverse) dari shell silindris, atau jarak dua penyanggah lengkung
dari shell silindris.
f. Tebal shell silindris ( d ) yaitu tebal dari konstruksi shell silindris
Gambar II.7 Bagian-bagian shell silindris
II-15
II.4 Teori Selaput
Bagian ini bertujuan untuk mendapatkan tegangan geseran selaput dari shell
silindris, dimana konstruksi ini merupakan suatu pelat tipis yang melengkung.
Dalam teori ini shell silindris dianggap bersifat sebagai selaput dan beban luar
ditransformir menjadi tegangan-tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang
singgung dari bidang tengah shell silindris. Pada dasarnya tegangan-tegangan
selaput hanya merupakan tegangan-tegangan normal, bebas dari momen lentur
dan ditentukan berdasarkan syarat keseimbangan statis dalam keadaan selaput dari
elemen yang ditinjau. Untuk penggunaan teori selaput agar menghasilkan
tegangan yang mendekati tegangan selaput, maka shell silindris harus memenuhi
suatu syarat :
Menurut Novozhilöv, syarat tersebut adalah : (d/R) < (1/20)
dimana :
d = tebal shell silindirs
R = jari-jari directrix shell silindris
II.4.1 Beban-beban
Gambar II.8 Beban-beban shell silindris
Beban yang biasanya diperhitungkan dalam desain atap beton shell silindris
meliputi :
• Beban sebagai akibat berat sendiri = dg
• Beban hidup yang diperhitungkan = lg
• Pengaruh angin = wg
Semua beban-beban diatas dinyatakan dalam berat persatuan luas. Berat sendiri
dan dan beban hidup dalam berat persatuan luas permukaan shell silindris.
Pengaruh angin hanya menyebabkan isapan pada shell silindris selama setengah
sudut pusat directrix tidak melebihi 40o.
II-16
II.4.2 Persamaan keseimbangan
Sistem sumbu untuk analisa tegangan dan geseran selaput (gambar II.9). Untuk
menentukan letak suatu titik pada shell silindris serta besar tegangan geseran
selaput pada titik tersebut, maka ditentukan suatu sistim sumbu sebagai berikut :
Gambar II.9 Sistem sumbu analisa tegangan dan geseran selaput
dimana :
o = Puncak directrix yang melalui tengah bentang longitudinal, diambil sebagai
pusat sumbu.
y = Garis singgung titik pada directrix yang melalui tengah bentang longitudinal,
diambil sebagai sumbu y
r = Jari-jari kelengkungan
θ = Sudut pusat directrix untuk suatu titik sebagaimana ditunjukkan pada gambar
II.6
x = Garis melalui O dan tegak lurus pada directrix yang melalui tengah bentang
longitudinal, diambil sebagai sumbu x
Besaran-besaran yang perlu diketahui untuk mengetahui letak titik pada shell
silindris adalah :
x = Jarak titik tersebut terhadap directrix BOA
θ = Sudut pusat directrix yang dihitung dari O kearah directrix dan dari sini
ditarik garis lurus sejajar sumbu x memotong directrix yang berjarak x dari
tengah bentang longitudinal, maka perpotongan ini menentukan titik tersebut.
II-17
dxδNδN
x
xx +
Rd
dx
dxδNδ
Nx
θxθx +
θRdδNδ
RN
θ
θθx ..1+
θRdδNδ
RN
θ
xθθx ..1+
y x
z
θN
xθN
θxNxN
Gambar II.10 gaya-gaya elemen shell silindris
Gambar II.10 menunjukkan suatu elemen dari shell dengan gaya-gaya yang
bekerja adalah xN , θN , dan θxN , xNθ persatuan panjang, sedang X , Y , Z
menunjukkan komponen gaya-gaya luar persatuan luas permukaan shell pada arah
x, y dan z (longitudinal, melintang dan normal). Dari gambar nampak bahwa
θRddy = , ditinjau keseimbangan-keseimbangan sebagai berikut :
Keseimbangan statis dalam arah x
Σ gaya-gaya xF = 0
++−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− dxNθRddxXθRddxδNδ
NN θxx
xxx ..
0..1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + dxθRd
δθNδ
RN θx
θx
disederhanakan :
0.1=++ X
δθNδ
RxδNδ θxx (II-26)
dengan jalan yang sama kita ambil :
• Keseimbangan statis dalam arah y :
0.1=++ Y
xδNδ
δθNδ
Rθxθ (II-27)
• Keseimbangan gaya-gaya arah normal permukaan shell silindris
0..2
.2 =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ dxθRdZθddxNθ , selanjutnya didapat :
0. =+ RZθN (II-28)
II-18
22
θddx
N θ
dxN θ
dxNθ
Gambar II.11a Keseimbangan gaya shell silindris
Persamaan (II-26), (II-27), (II-28) disebut persamaan keseimbangan statis elemen
selaput, perlu dicatat bahwa R adalah fungsi dari θ,R = f(θ). Dari persamaan (II-
28) didapat θN , Z dan R diketahui, selanjutnya didapat θxN dan xN dengan
mengintegral :
( )∫ ∫ +−−= θFdxYdxδθNδ
RN θ
θx 1...1 (II-29)
dimana )(1 θF adalah fungsi dari θ konstanta, selanjutnya dengan jalan yang sama
didapat :
( )∫ ∫ +−−= θFdxXdxδθNδ
RN θx
x 2...1 (II-30)
dimana )(2 θF merupakan fungsi dari θ saja. Fungsi konstanta )(1 θF dan )(2 θF
didapat dari syarat batas tertentu. Dalam praktek, X , Y , Z hanya fungsi dari θ
dan tidak banyak berubah dalam arah x. Berdasarkan ini didapat bahwa θN hanya
fungsi dari θ saja sehingga :
( )θFxYδθNδ
RN θ
θx 11
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
( )θFKxN θx 1+−= (II-31)
dimana YδθNδ
RK θ +=
1 , disubtitusi pada xN dari persamaan (II-30) dan
diintegrasi.
Dari persamaan (II-31) didapat :
( )δθθFδx
δθKδ
δθNδ θx 1+−=
II-19
hingga :
( ) ( )∫ ∫ +−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= θFdxXdxx
δθKδ
δθθFδ
RN x 2
1 .1
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−= θFxXx
θdθdF
RθddK
RxN x 2
12 1.
2 (II-32)
II.5 Rumus umum tegangan selaput shell silindris
Persamaan umum directrix shell silindris adalah :
( )θθRnδθRδθRR nn sin.cos..cos. 1
00 −=→= − (II-37)
dimana :
R = jari-jari kelengkungan pada titik tertentu
R0 = jari-jari kelengkungan dipuncak directrix shell silindris
N = suatu bilangan tergantung dari jenis directrix shell silindris
Tegangan-tegangan selaput.
θgRθgRN nθ
610 cos.cos. −=−= (II-38)
dengan menggunakan persamaan (II-36), (II-37), maka didapat K :
xθnRθR
gθgK nn ⋅⋅⋅−= −1
00
cos{cos.
sin.2
( ) θgnθgθθ sin.sin.2}cos.sin +=−
hingga didapat :
( ) θgnK sin.2+= (II-39)
dan, ( ) θgxnKxN θx sin.2+−=−= (II-40)
dan dari persamaan (II-35) dan (II-39) didapat :
θRxLgnN nx 1
0
22
cos.1
422
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅
+−= (II-41)
dengan mengambil :
n = 0, maka didapat tegangan selaput shell silindris untuk directrix lingkaran
n = 1, untuk directrix cycloid
n = -2, untuk directrix catenary
n = -3, untuk directrix parabola
II-20
II.5.1 Rumus khusus tegangan selaput shell silindris
Tegangan selaput shell silindris yang directrixnya terdiri dari lingkaran (circular
cylindrical shell).
Edge member
Nxo = 2gx.sinØc
Øc
Øc
O
R = 25 ft
Gambar II.11b Tegangan selaput shell silindris
Rumus :
θgaNθ cos.−= (II-42)a
θgxN θx sin.2−= (II-42)b
θcos.4
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= xL
agN x (II-42)c
II.5.2 Rumus Pergeseran Selaput
Rumus pergeseran titik pada shell silindris sangat diperlukan dalam persamaan
syarat batas. Dibawah ini diberikan rumus tersebut :
( ) kxθθakπg
Edu c sincos81
3 ⋅−⋅⋅−=
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +⋅⋅−⋅−= 422
12cossin8kak
kxEdgv c θθ
π
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅−⋅= 422
12coscos8kak
kxEdgw c θθ
π
dimana :
k =lπ
II-21
a = jari-jari directrix lingkaran
E = modulus elastisitas material shell silindris
θc = setengah sudut pusat directrix
θ = sudut yang menyatakan letak atau posisi titik yang ditinjau dengan θ dihitung
dari pinggir kiri shell silindris.
d = tebal shell silindris
u = pergeseran atau peralihan tempat arah longitudinal
v = pergeseran dalam arah tangensial
w = pergeseran dalam arah radial
II.6 Analisa Lenturan Shell Silindris
Dalam praktek, shell silindris secara mekanika bukanlah menyerupai keadaan
selaput sempurna. Hal ini antara lain disebabkan dalam teori selaput terutama
belum diperhatikan pengaruh adanya konstruksi pinggir. Oleh karenanya harus
diadakan koreksi terhadap tegangan selaput guna penyesuaiannya, misalnya pada
bagian konstruksi sepanjang pinggir shell silindris, ternyata bahwa tegangan shell
silindris berbeda dengan tegangan selaput seperti apa yang diuraikan pada teori
selaput. Jadi ditarik kesimpulan bahwa prosedur yang ditempuh untuk
mendapatkan tegangan shell silindris adalah :
a. Analisa tegangan keadaan selaput
b. Analisa tegangan lentur shell (tegangan koreksi)
c. Analisa syarat batas
II.6.1 Hubungan tegangan-regangan shell silindris
Secara kolektif dapat ditulis regangan dalam tiap arah sebagai berikut :
xδuδε x = (II-43)a
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
aw
δθvδ
aεθ
1 (II-43)b
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
uδvδ
δθuδ
aγxy
1 (II-43)c
dimana :
II-22
=θu εε , regangan dalam arah u, θ
γxy = regangan geser xy
a = jari-jari lingkaran dari directrix shell silindris
Dengan hukum Hooke regangan xε dan yε yang dinyatakan oleh tegangan normal
xσ dan yσ yang bekerja pada suatu elemen secara umum dapat ditulis sebagai
berikut :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Eνσ
Eσ
ε yxx ; (II-44)a
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Eνσ
Eσ
ε xyy ; (II-44)b
dimana :
E = modulus elastisitas dari bahan
ν = angka poison
εx dan εy = regangan dalam arah x dan y
Bila dihubungkan dengan shell silindris pada persamaan diatas, maka :
dN
σ xx .1=
dN
y .1θ
θσσ ==
dan selanjutnya diisikan pada persamaan diatas, maka :
xδuδ
EdN
EdN
ε θxx =−= (II-45)
EdNν
EdN
ε xθθ −= (II-46)
dan selanjutnya :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅= w
a δθδνεθ
1
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +==
+=
xvδ
δθuδ
aγ
EdNν
GdN
θxθxθx 112
(II-46)a
dimana :
d = tebal shell silindris
II-23
g = modulus geser (γτ ); γ = sudut geseran.
ϕ = rotasi total garis singgung
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
δθwδv
a1 (II-46)b
xθ = perubahan kelengkungan
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 2
2
2
1δθ
wδwa
(II-46)c
II.7 Teori Lenturan shell silindris
Sejak tahun 1932 beberapa teori lenturan shell telah mengawali analisa shell
silindris diantaranya adalah teori dari Flüger, Dischinger, Finsterwalder, D-K-J
dan Schorer. Dari sekian banyak teori tersebut diatas dalam analisa tegangan
lentur, maka masing-masing mengadakan anggapan atau pendekatan untuk
memecahkan persamaan dari keseimbangan elemen shell silindris. Dalam tulisan
ini hanya disajikan dasar-dasar persamaan lenturan shell silindris dari
Finsterwalder dan dengan dasar ini digunakan untuk pemecahan atau penunjang
dalam analisa teori D-K-J dan Schorer. Kedua teori yang tersebut terakhir ini
sudah cukup untuk mendapatkan tegangan-tegangan lentur shell silindris yang
diperlukan dalam perencanaan, selain itu dengan mudah ditulis dalam bentuk
matriks sehingga penggunaannya menjadi sederhana dan mudah pengontrolannya.
Teori D-K-J digunakan pada shell silindris yang bendek, sedangkan teori Schorer
untuk shell silindris yang panjang.
1. Teori Finsterwalder
Asumsi-asumsi pada teori shell silindris dan tambahan asumsi dari
Finsterwalder dapat dikemukakan sebagai berikut :
a. Material adalah homogen dan isotropic dan tetap menuruti hukum Hooke
b. Suatu garis lurus yang tegak lurus pada bidang tengah dari shell silindris
sebelum pembebanan tetap tegak lurus setelah ada perubahan (deformasi) dari
shell silindris.
c. Semua perpindahan atau pergeseran suatu bagian dari shell silindris adalah
kecil.
II-24
d. Momen Mx, Mxθ dan gaya geser radial Qx diabaikan dalam analisa ini.
Asumsi-asumsi dari point a sampai c adalah asumsi umum dari teori shell,
sedangkan asumsi point d adalah asumsi dari Finsterwalder untuk memecahkan
atau menyederhanakan teorinya.
2. Persamaan keseimbangan shell silindris
Untuk menurunkan rumus keseimbangan dalam analisa lenturan shell
silindris, Mx, Qx dan Mxθ diabaikan :
a. Persamaan keseimbangan dalam arah x, ΣFx = 0
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅++− dxNθaddx
xδNδ
NN θxx
xx 0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + dxθad
δθaNδ
N xθx
0. =⋅+ dxθadδθa
Nδθaddx
xδNδ θxx
hingga didapat :
0=+δθa
Nδxδ
Nδ θxx (II-47)a
b. Jumlah tegangan dalam arah θ = 0, (ditengah elemen)
02
21=⋅−⋅⋅+⋅⋅
θddxQθaddxxδ
Nδdxθad
δθNδ
a θxθ
Jika disederhanakan didapat :
0=−+ θθxθ Q
xδNδ
aδθNδ
(II-47)b
Persamaan keseimbangan selanjutnya diambil :
Σ gaya Fn = 0 (arah kepusat lengkungan melalui tengah-tengah elemen)
02
2 =⋅⋅+ dxθadδθaQδθddxN θ
θ (II-47)c
c. Persamaan keseimbangan keseimbangan lainnya didapat dari Σ momen = 0
pada AD
( ) 0=⋅−⋅⋅ dxθadQdxθadδθaMδ
θθ ,
hingga :
01=−⋅ θ
θ QδθMδ
a (II-47)d