bab ii landasan teori -...
TRANSCRIPT
11
BAB II
LANDASAN TEORI
Antrian terdapat di mana mana, misalnya pembeli yang menunggu giliran,
para penonton film yang antri untuk membeli karcis, para mahasiswa yang
menunggu giliran pendaftaran dan lain sebagainya.
Sebuah problem antrian terjadi, apabila orang-orang atau obyek-obyek
datang pada suatu tempat untuk dilayani tetapi kemudian menghadapi
keterlambatan di sebabkan oleh karena mekanisme pelayanan mengalami
kesibukan (Winardi, 1999).
Problem antrian terdapat pada seluruh sistem “managerial” pada sebuah
konsepsi arus (flow) dan sistem managerial pada dasarnya merupakan suatu
sistem arus bertahap (sequential flow system ) yang mencakupi input, proses,
output, di mana setiap fase merupakan output dari fase yang mendahului dan
input dari fase yang lain (Winardi, 1999).
2.1. Pengertian Antrian (Queue)
Kata antrian dalam bahasa inggris ialah queueing atau waiting line.
Dalam kehidupan manusia terutama mereka yang hidup di kota tak akan terlepas
dari kegiatan antrian. Kegiatan antrian timbul karena jumlah fasilitas pelayanan
jasa lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah orang yang memerlukan
pelayanan bersangkutan (Taha, 1996). Orang terpaksa melakukan antian untuk
memnuhi kebutuhan. Misalnya mobil antri membeli bahan bakar minyak (BBM),
orang antri untuk membeli tiket pesawat, orang antri membeli karcis kereta api,
dan sebagainya. Jadi, kegiatan antrian merupakan bagian dari berbagai aspek
kehidupan manusia yang bertujuan memenuhi kebutuhannya.
12
Masalah yang berkaitan dengan antri adalah waktu menunggu dan
panjang antrian. Khususnya masalah waktu menunggu tentunya harus jangan
sampai terlalu lama, agar tidak boros waktu dan melelahkan. Sedangkan
masalah panjang antrian berkaitan dengan tempat (space) untuk menunggu.
Masalah ini hanya dapat di pecahkan dengan model antrian (Taha, 2001).
Teori antrian di kenal dalam dunia ilmiah sebagai queueing theory atau
waiting line theory, yaitu teori yang membahas tentang seluk beluk antri yang
dilakukan oleh orang atau benda atas kehendak manusia. Di sadari atau tidak
nampaknya masalah antrian merupakan bagian yang tidak dapat di hindari dari
kehidupan manusia masa kini. Mendengar kata antri, berarti akan terbayang
orang berdiri berderet dalam satu barisan. Atau mobil berderet dalam satu
barisan dan memanjang. Lalu kita berfikir alangkah kita lelah atau kesalnya
menunggu. Dikarenakan factor kelelahah menunggu itulah maka para pakar
mencoba mengutak-atik masalah antrian dengan matematika. Untuk apa? Tentu
saja untuk “kesejahteraan” kita semua, dalam arti bagaimana cara agar factor
kelelahan menunggu dapat dikurangi (Taha,2001).
Sebagai ilustrasi mari kita Perhatikan antrian calon pembeli di sebuah
warung. Pada jam jam tertentu pembeli yang datang sangat sedikit dan dapat
langsung di layani. Namun pada jam jam makan, calon calon pembeli akan
berdatangan dan akan membentuk antrian. Setiap kali ada calon pembeli yang
dating (menambah elemen), maka ia harus menempati posisi palingbelakang
dalam barisan antrian yang ada. Petugas warung hanya akan melayani calon
pembeli yang paling depan dari antrian. Jika sudah di layani, maka pembli tadi
akan meninggalkan antrian (mengurangi elemen), dan orang-orang di
belakangnya akan bergerak maju. Yang berada paling depan dalam antrian itu.
13
Pada kasus di atas penambahan elemen hanya dapat di lakukan di ujung
belakang antrian, sedangkan penghapusan elemenhanya dapat di lakukan di
ujung depan antrian. Keadaan tersebut biasa di sebut Queue (antrian) atau FIFO
– First In First Out (Iskandar, 2005)
Perhatikan beberapa situasi berikut ini:
Kendaraan berhenti berderet deret menunggu di traffic light
Pesawat menunggu lepas landas di bandara
Mesin rusak antri untuk di perbaiki di sebuah bengkel
Surat antri untuk di ketik oleh sekertaris
Program menunggu di proses oleh computer digital
Apa yang ada dalam situasi tersebut adalah fenomena menunggu. Suka
atau tidak suka, menunggu adalah bagian dari kehidupan kita sehari hari.
Fenomena menunggu merupakan hasil dari keacakan dalam operasional
pelayanan fasilitas. Secara umum, kedatangan customer dan waktu pelayanan
tidak di ketahui untuk waktu selanjutnya. Sebaiknya fasilitas operasional dapat di
atur sehingga dapat mengurangi antrian (Purwirosentono, 2003).
2.2. Disiplin Antrian
Antrian adalah berdiri berderet dalam suatu barisan memanjang dari
depan ke belakang (Purnomo, 2003). Dalam hal ini disiplin yang harus di taati
oleh para peserta antri tersebut adalah bahwa orang yang datang lebih dulu akan
memperoleh pelayanan lebih dahulu. Artinya, yang belakangan datang tidak
boleh menyerobot dan mendahului yang didepannya. Itulah sebabnya di dalam
teori antrian berlaku suatu disiplin first come, first served, artinya yang dating
lebih dahulu, harus lebih dahulu menerima pelayanan. Pelanggaran terhadap
disiplin dapat merusak sistem yang disepakati. Artinya teori antrian hanya
14
berjalan baik apabila disiplin tersebut dilaksanakan oleh seluruh peserta dalam
sistem.
2.3. Tujuan Dasar Teori Antrian
Tujuan kita mempelajari bab ini adalah untuk mengetahui beberapa
parameter yang mempengaruhi kinerja dari sistem antrian. Sebagai contoh,
ukuran kinerja adalah beberapa lama kostumer harus menunggu sebelum di
layani. Ukuran yang lain adalah persentase waktu fasilitas pelayanan tidak di
gunakan atau menganggur karena tidak ada kostumer. Ukuran ini menyatakan
tingkat kegunaan fasilitas layanan. Secara intuitif kita dapat melihat bahwa
semakin lama waktu tunggu costumer maka semakin kecil pula waktu
menganggur fasilitas pelayanan yang tersis, begitu juga sebaliknya (Winardi,
1999).
Pelopor penyusun teori antrian adalah A.K. Erlang, seorang insinyur
Denmark pada tahun 1909. Ia bekerja di sebuah perusahaan telepon dan
melakukan percobaan yang melibatkan flukuasi permintaan sambungan telepon
serta pengaruhnya pada peralatan telepon switching. Sebelum perang dunia II
studi awal sdah berkembang di lingkungan antrian yang lebih umum
Pada bab ini akan di pelajari model model antrian yang pada dasarnya
merupakan aplikasi dari teori probabilitas dan proses stokastik. Tujuan utama
pemecahan model adalah untuk menentukan karakteristik karakteristik yang
mengukur kinerja sistem sehingga sistem pelayanan dapat bekerja secara
optimal.
15
2.4. Sifat Dasar Antrian
Dalam teori antrian selain mengikuti disiplin “yang dating lebih dahulu,
memperoleh pelayanan lebih dahulpu” dengan pola atau bentuk antrean seperti
diterangkan di atas (Prawirosentono, 2003), secara umum antrian di pengaruhi
beberapa sifat dasar berikut:
1. Pola kedatangan (the arrival patern)
2. Pola pelayanan (the service pattern)
3. Intensitas lalu lintas atau kegunaan (the traffic intensity or utilization)
4. Jumlah jalur pelayanan (the number of service channel )
5. Disiplin antrian (the queue discipline)
2.4.1. Pola Kedatangan
Orang , kapal, atau pesawat terbang harus antri untuk menerima suatu
pelayanan, datangnya bias dengan berbagai cara dan bentuk. Mereka datang
secara berkelompok dalam jumlah besar atau kecil bahkan sendiri-sendiri.
Demikian pula, keadaan datangnya bisa teratur atau tidak teratur, dalam arti
interval waktu kedatangannya secara sembarang ataupun tetap. Dalam hal ini
pola kedatangan (arivvalarrival patern atau arrival rate) dalam suatu antrian
sangat bervariasi dan berbeda satu sama lain (Taha, 1996).
Untuk pola kedatangan random maka bentuk distribusi poisson. Tingkat
kedatangan dalam satuan waktu dinyatakan dalam lamda ( ), dan menurut
statistik dapat dibuktikan bahwa tingkat kedatangan mengikuti distribusi poisson
rata-rata jarak antara (interval kedatangan ) yaitu 1/
2.4.2. Pola Pelayanan
Simbol abjad Yunani lain yang digunakan untuk rata-rata tingkat
pelayanan dalam model antrian adalah µ (myu) yang merupakan lamanya
16
pelayanan dalam satuan waktu (Stalling, 1998). Tingkat pelayanan mengikuti
suatu distribusi eksponensial. Jika rata-rata pelayanan µ maka penyebaran
(distribusi) waktu pelayanan mengikuti suatu distribusi eksponensial yang negatif,
dengan waktu pelayanan adalah 1/µ (satu per myu). Mengingat pola kedatangan
mengikuti distribusi poisson, namun distribusi pola pelayanan tidak jelas
sehingga untuk menyederhanakan pemecahan masalah dianggap saja pola
pelayanan mengikuti distribusi eksponensial.
Secara umum, kondisi atau asaumsi yang berlaku untuk model antrian adalah:
a. Tingkat kedatangan menurut distribusi poisson (poisson arrival rate)
b. Waktu pelayanan diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial
(eksponential service time)
c. Disiplin, yang dating lebih dahulu harus memperoleh pelayanan lebih
dahulu.
d. Tingkat rata-rata pelayanan µ lebih besar daripada rata-rata tingkat
kedatangan atau µ > .
2.5. Sitem Antrian
Suatu antrean merupakan formasi baris baris penungguan dari pelanggan
(satuan) yang memerlukan pelayanan dari satu atau lebih pelayanan dari satu
atau lebih fasilitas pelayanan (Aminudin, 2005). Peristiwa antrian merupakan
fenomena yang bias terjadi bila kebutuhan akan pelayanan melebihi kemampuan
(fasilitas) pelayanan, sehingga pelanggan yang tiba tidak dapat segera
mendapatkan pelayanan dan membentuk suatu formasi baris baris penungguan.
Untuk mengurangi antrian dan mencegah timbulnya antrian, maka sering
kali di lakukan penambahan fasilitas pelayanan, yang menjadi permasalahan
dengan melakukan penambahan fasilitas maka di perlukan biaya yang lebih
17
besar, dan hal itu akan mengurangi keuntungan. Sebaliknya atrian yang panjang
juga akan menimbulkan biaya, baik berupah biaya sosial, kehilangan pelanggan
ataupun pengangguran pekerja. Dengan demikian, yang menjadi tujuan utama
teori antrian adalah mengusahakan keseimbangannya antara pelayanan dengan
ongkos yang di sebabkan oleh adanya waktu menunggu tersebut. Proses yang
terjadi pada model antrean dapat di gambarkan sebagai berikut.
Proses kedatangan
masukFasilitaspelayanan keluar
populasi
Gambar 2. Komponen Utama dalam Sistem Antrian
Sumber : Aminudin, 2005.
Pada gambar di atas, unit-unit (langganan) dari sumber input memerlukan
Pelayanan yang terlibat dalam suatu antrian. Dalam waktu waktu tertentu antrin
ini ini di pilih untuk mendapatkan pelayanan. Pemilihan di dasarkan pada aturan
yang di sebut dengan disiplin pelayanan. Untuk melakukan pelayanan ini di
perlukan suatu mekanisme pelayanan tertentu. Setelah mendapatkan pelayanan,
unit unit (langgan) meninggalkan sistem antrian.
Dari uraian di atas terdapat tiga faktor dalam sebuah sistem antrian, yaitu
1. Kedatangan/masukan sistem
2. Proses Antrian
3. fasilitas pelayanan
18
2.5.1. Kedatangan/Masukan Sistem
Ukuran populasi kedatangan (calling population) dapat terbatas (finite)
atau tak terbatas (infinite). Banyak kasus antrian mengasumsikan adanya ukuran
populasi yang tak terbatas jumlahnya, sebagai contoh, mobil yang memasuki
gerbang tol, orang yang belanja di suatu pasar, atau nasabah yang datang
melakukan transaksi di suatu bank. Baik mobil, orang yang belanja, maupun
nasabah bank, tidak terbatas jumlahnya, siapapun pengendara mobil bis masuk
ke tol tersebut, setiap orang juga dapat berbelanja di pasar, maupun menjadi
nasabah di suatu bank (Aminudin, 2005).
Di sisi lain, populasi bisa terbatas jumlahnya, misalnya jumlah kendaraan
yang di miliki suatu kantor yang secara periodik mendapat perawatan, atau
mesin-mesin dalam suatu pabrik yang di jadwalkan secara berkala mendapat
perawatan anggota. Atau kelas yang sudah tertentu jumlah mahasiswanya
merupakan contoh lain dari calling population yang terbatas (Stalling, 1998).
Subyek populasi kedatangan bisa tiba pada fasilitas pelayanan dalam
beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak, kita harus tahu probabilitas
melalui waktu antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa
kedatangan acak paling cocok di uraikan menurut distribusi poisson. tentu saja
tidak semua kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih
dahulu sebelum kita menggunakannya (Stalling, 1988).
Bagaimana mengetahui kedatangan berdistribusi poisson dalam
kehidupan sehari hari. Berikut ini syarat syarat kedatangan berdistribusi poisson:
1. Pastikan bahwa proses kedatangan bersifat acak, jika hal ini terpenuhi
maka kemunkinan besar pola kedatangan mengikuti distribusi
kedatangan poisson.
19
2. Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah di ketahui dari
pengamatan sebelumnya.
3. Bila kita bagi interval waktu ke dalam interval yang lebih kecil, maka
pernyataan-pernyataan ini harus di penuhi:
Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan
konstan
Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval waktu
tersebut angkanya sangat kecil sekali, sehingga bias di katakana
sama dengan nol
Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak tergantung
pada kedatangan di interval waktu sebelum dan sesudahnya
Pernyataan pernyataan tersebut menggeneralisir kondisi kondisi itu dan
menggunakannya dalam proses lain yang di perlukan pihak manajemen. Bila
proses tersebut pada kondisi yang sama, maka distribusi poisson bisa di
terapkan untuk menggambarkannya.
Probabilitas tepat terjadinya x kedatangan dalam distribusi poisson dapat
diketahui dengan menggunakan rumus :
Di mana:
= rata-rata jumlah terjadinya x per interval waktu
x = variable acak diskrit yang menyatakan banyaknya kedatangan per interval
waktu.
P ( X ) = ! .....( 1 )
20
Jika pola kedatangan mengikuti distribusi poisson maka waktu antar
kedatangan atau intervarrival time adalah acak dan mengikuti distribusi
eksponensial.
Ada tiga hal istilah yang bisa digunakan dalam antrian untuk
menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi
Tidak mengikuti (range), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian
dan kemudian meninggalkannya
Menolafk (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung
Merebut (bulk), menunjukan kondisi di mana kedatangan terjadi secara
bersama sama ketika memasuki sistem seorang berebut menyerobot ke
depen
Terlepas dari apakah anda setuju atau tidak, banyak model antrian
mengamsumsikan bahwa subyek pemanggilan atau kedatangan cenderung
sabar dan bersedia menunggu.
2.5.1.1. Distribusi Poisson
Kita dapat menghitung distribusi probabilitas binomial untuk percobaan
dengan probabilitas sukses (p) kurang dari 0,05. Namun perhitungan tersebut
akan sangat tidak efektif dan akurat (khususnya untuk niliai n yang sangat besar,
misalnya 100 atau lebih). Oleh sebab itu, dikembangkan satu bentuk distribusi
binomal yang mampu mengkalkulasikan distribusi probabilitas dengan
kemungkinan sukses (p) sangat kecildan jumlah eksperimen (n) sangat besar,
yang disebut distribusi poisson ( Supianto. J, 2001).
Karena distribusi poisson biasanya melibatkan jumlah n yang besar,
dengan p kecil, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai
probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu.
21
Misalnya banyaknya dering telpon dalam satu jam di suatu kantor, banyaknya
kesalahan ketik dalam suatu halaman laporan dan sebagainya..
Rumus untuk menyelesaikan distribusi poisson adalah sebagai berikut.
2.5.1.2. Karakteristik dan Proses Distribusi Poisson
Untuk lebih jelasnya, marilah kita lihat pada contoh distribusi kendaraan
yang melalui jalan bebas hambatan jagorawi pada waktu jam-jam sibuk seperti:
1. Rata-rata hitung kendaraan yang lewat pada jam-jam sibuk dapat
diketahui dari data lalu lintas terdahulu.
2. Kalau jam-jam sibuk bagi dalam detik, maka kita akan peroleh:
a. Kemungkinan secara tepat sebuah kendaraan akan lewat setiap
satu detik, dan begitu seterusnya selang satu detik.
b. Kemungkinan dua atau lebih kendaraan akan lewat setiap satu
detik (jumlah ini kecil sekali) sehingga kita anggap sebagai nilai
nol.
c. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tertentu tidak
ada hubungannya dengan banyaknya kendaraan yang lewat pada
setiap detik saat jam jam sibuk.
d. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tidak
tergantung terhadap banyaknya kendaraan yang lewat pada detik
yang lain.
( ) = !Dimana = rata-rata distribusi .....(2)
= 0, 1, 2, 3, . . . (menuju tak hingga)e = konstanta 2,71828
22
Apabila = rata-rata distribusi = E(X) = np = .. = 2 (secara
rata-rata dapat diharapkan dua orang pembaca yang menanyakan keadaan
mobil), maka setelah dilakukan perhitungan, kita akan memperoleh tabel berikut
Tabel 2. distribusi poisson
X ( ) = !0 p(0) = 0, 1352
1 p(1) = 0,2707
2 p(2) = 0,2707
3 p(3) = 0,1804
4 p(4) = 0,0902
5 p(5) = 0,0361
6 p(6) = 0,0120
7 p(7) = 0,0034
8 p(8) = 0,0009
9 p(9)= 0,0002
Sumber : Supianto. J, 2001.
Distribusi poisson juga dapat digunakan untuk menghitung probabilitas
dari x “sukses” dan n eksperimen, yang terjadi dalam satuan luas tertentu, satuan
isi tertentu, satuan interval waktu tertentu, atau satuan panjang tertentu, misalnya
sebagai berikut.
a) Banyaknya bakteri dalam satu tetes air
b) Banyaknya rumah terbakar dari 10.000 rumah yang asuransikaan
selama bulan januari.
c) Banyaknya kecelakaan mobil yang terjadi di depan istana
merdeka selama minggu pertama bulan agustus
d) Banyaknya pengguna telepon per menit
23
e) Banyaknya kesalahan ketik per halaman laporan tahunan, dan
f) Banyaknya pesanan yang masuk per minggu.
2.5.1.3. Distribusi Poisson pada Fasilitas Pelayanan
Berdasarkan contoh di atas, ternyata distribusi poisson sangat erat
kaitannya dengan variable acak/sembarang (random variable) apabila X (huruf
besar) dianggap mewakili suatu variable sembarang dan merupakan bilangan
bulat, maka kejadian x (huruf kecil) dalam distribusi poisson dapat dihitung
sebagai berikut.
= rata-rata hitung suatu kejadian dengan selang waktu tertentu,
e = bilangan napier = 2,7182
P(X = x) = ( ) = probabilitas terjadinya suatu kejadian (peristiwa)
x! = x factorial = x(x – 1)(x – 2) . . . .1.
Pola kedatangan pada suatu fasilitas pelayanan dapat teratur maupun
tidak teratur (acak). Mesin yang di-overhaul (diperiksa secara teliti) bias di
jadwalkan secara teratur bergantian setiap 3 jam, atau mahasiswa dapat
menggunakan fasilitas computer secara bergantian setiap 1 jam. Pola
kedatangan di sebut acak jika mereka tidak tergantung satu sama lain, misalnya
orang yang masuk ke kantor pos untuk suatu urusan, atau pelanggan yang
memasuki suatu restaurant (Suprianto. J, 2001).
Dalam masalah antrian, jumlah kedatangan perunit waktu dapat
diestimasi dengan suatu distribusi probabilitas yang di sebut distribusi poisson.
Untuk setiap tingkat rata-rata kedatangan
P(X = x) = ( ) = ! , = 0, 1, 2, … .....( 3 )
24
Distribusi poisson dengan = 2 dan = 4. Dapat dilihat bila rata-rata
tingkat kedatangan pelanggan 2 orang per jam, probabilitas tidak adanya
pelanggan yang datang setiap jam acak ialah 14% probabilitas 1 pelanggan yang
dating 27%, 2 pelanggan datang 27%, dan kemungkinan terdapat lebih dari 9
pelanggan yang datang adalah nol. Sementara, dengan = 4, probabilitas tidak
ada pelanggan yang datang ialah 2%.satu pelanggan datang ialah 2%, 1
pelanggan datang 15%, dan seterusnya.
2.5.1.4. Distribusi Poisson pada Kedatangan Saluran Tunggal
Distribusi poisson untuk kedatangan n buah( mobil) selama interval waktu
T, di mana adalah kemungkinan satu kedatangan dinyatakan sebagai berikut
Bila interval waktu T adalah 1, maka bentuk distribusi poisson menjadi
Sebaliknya kalau ditinjau persoalan pelayanan, bila µ adalah kemungkinan
selesainya satu pelayanan (mobil) maka rumus poisson untuk pelayanan adalah
sebagai berikut:
Dalam hal ini, kemungkinan pelayanan pada satu satuan yang dilayani pada
waktu T untuk distribusi eksponal adalah:
f ( , , ) = ( ) . ( )! .....( 4 )
f( , ) =. ! .....( 5 )
g( , μ, ) = ( ) . ( )! .....( 6 )
25
Distribusi waktu pelayanan yang berbentuk fungsi eksponsial dapat di buktikan
dengan pemakaiannya pada tes statistik dari data yang dikumpulkan.
2..5.1.5. Kedatangan pada Saluran Tunggal dengan Pelayanan Eksponsial
Dalam masalah ini, unit pelayanan adalah tunggal dan dengan input yang
mempunyai kedatangan poisson.
Di sini masih ada juga asumsi, bahwa laju kecepatan pelayanan yang
eksponsial tidak terpengaruh oleh banyaknya yang akan dilayani mempunyai
rata-rata , laju kecepatan pelayanan dinyatakan dengan µ di mana notasi notasi
yang akan digunakan ditetapkan sebagai berikut:
n = jumlah yang perlu dilayani pada saat T( ) = kemungkinana adanya n satuan yang perlu dilayani dalam sistem pada
saat t.∆t = kemungkinan adanya satu satuan yang memasuki sistem untuk dilayani
pada saat t.
1- ∆ t = kemungkinan tidak adanya yang memasuki sistem pada saat t.
Kemungkinan adanya n satuan dalam sistem pada saat + ∆t dapat diturunkan
sebagai berikut:
1. Ada n satuan dalam sistem, tidak ada yang datang antara interval t dan t
+ ∆t, tidak ada yang selesai diservis pada interval yang bersangkutan.
2. Ada n + 1 satuan dalam sistem pada saat t, tidak ada yang datang tetapi
selesai satu dilayani antara interval t + ∆t
3. Ada n – 1 satuan dalam sistem pada saat t, tiba satu satuan dan tidak
ada yang selesai pada interval t + ∆t.
g ( , μ) = μ .....( 7 )
26
4. Ada n satuan dalam sistem pada saat t, tiba satu satuan tapi selesai pula
satu satuan antara interval t + ∆t.
2.5.2. Proses Antrian
Proses antrian merupakan kombinasi dari sifat sifat sistem antrian, di
mana tingkah laku dari sistem dapat di jelaskan sebagai berikut.
Sumber input adalah jumlah total unit yang akan melakukan pelayanan, di
mana sumber ini bersifat terbatas atau tidak terbatas. Proses masukan adalah
proses pembentukan suatu antrian sebagai akibat kedatangan jumlah unit h
Proses antrian secara umum di kategorikan menjadi empat struktur dasar
menurut fasilitas pelayanan (Winardi, 1999).
Single channel single phase
Single channel multiple phase
Multiple channel single phase
Multiple channel multiple phase
Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas
pelayanan (server) secara paralel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain
pihak jumlah tahapan (phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang
harus dilalui sampai pelayanan selesai atau lengkap. Contoh untuk single
channel single phase adalah sebuah kantor pos yang hanya mepunyai satu loket
pelayanan dengan satu jalur antrian. Kantor pos yang mempunyai beberapa loket
dengan satu jalur antrian merupakan contoh dari multiple channel single phase
(Taha, 2001).
27
Single Channel, Single Phase
Jalur antrian server
Gambar 3. antrian tunggal pelayanan tunggal (single channel single phase)
Sumber : Taha, 2001.
Fasilitas layanan tunggal (single-channel facility), yaitu hanya terdapat
satu server. Contoh sistem ini ialah anjungan tunai mandiri (ATM) bank, yang
hanya bisa di operasikan secara bergantian. Contoh lain ialah kantor pos keliling
yang dilayani oleh seorang petugas, atau loket karcis tunggal dalam suatu
bioskop.
Single Channel, Multiple Phase
Jalur antrian server
Gambar 4. antrian tunggal, pelayanan ganda sejajar
(single channel multiple phase)
Sumber : Taha, 2001.
Fasilitas layanan lebih dari satu (multi-channel facility), terdapat
beberapa server, parallel, dan identik, baik dalam satu jalur (seperti di bank) atau
dalam beberapa jalur (seperti di stasiun pompa bensin atau pasar swalayan).
28
Multiple Channel, Singel Phase
Jalur antrian
Server
Gambar 5. antrian tunggal, pelayanan ganda
(multiple channel single phase)
Sumber : Taha, 2001.
Fasilitas pelayanan ganda (multiple chanel-fasility), pelayanan ganda
menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurut
(dalam fase-fase) contoh : tempat pencuncian, tukang cat mobil dan proses
produksi manufacture seperti perakitan kendaraan.
Multiple Channel, Multiple Phase
Jalur antrian
server
Gambar 6.. antrian ganda, pelayanan ganda
(multiple channel, multiple phase)
Sumber : Taha, 2001.
Fasilitas antrian ganda dan pelayanan ganda (multiple phase chnnel-
fasility), sistem ini memiliki beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap,
29
sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada waktu yang bersamaan.
Pada umumnya jaringan ini terlalu kompleks, sehingga lebih mudah dianalisis
dengan model simulasi. Contoh registrasi para mahasiswa di universitas,
pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pembayaran, diagnosa
penyembuhan sampai pembayaran.
2.5.2.1. Model Antrian
Antrian Server Tunggal
Sistem antrian yang paling sederhana pada gambar 3. elemen utama
sistem tersebut adalah sebuah server, yang menyediakan beberapa layanan
kepada item item dari populasi tiba di sistem untuk di layani. Bila server sedang
idle, maka item akan di layani dengan segera. Sedangkan bila sedang tidak idle,
maka item yang tiba akan bergabung dengan antrian tunggu. Bila server telah
selesai melayani sebuah item, maka item akan segera meninggalkan server.
Sedangkan bila terdapat item yang sedan menunggu di dalam antrian, maka satu
item akan segera di kirim ke server.
Bila kita mengamsumsi bahwa kapasitas antrian tidak terbatas, maka
tidak ada item yang hilang dari sistem. Item-item itu hanya akan di delay kan saja
sampai dapat di layani. Di bawah kondisi seperti ini, laju keberangkatan akan
sama dengan laju kedatangan. Dengan semakin bertambahnya laju kedatangan,
yang merupakan laju lalu lintas yang melintasi sistem, maka utilitaspun akan
meningkat dan akan terjadi kemacetan antrian akan menjadi semakin panjang.
Maka yang akan memperlama waktu tunggu (Iskandar, 2005).
Akan tetapi, antrian akan semakin membesar di saat sistem mendekati
jenuh, membesar tanpa batas pada saat = 1. Peritmbangan-pertimbangan
praktis, misalnya persyaratan waktu respons atau ukuran buffer, biasanya akan
30
membatasi laju input server tunggal sebesar 70-90% dari nilai teoritas
maksimum.
Untuk melanjutkannya, kita perlu membuat beberapa asumsi terhadap model
Populasi Item
Umumnya, kita mengumsikan populasi tak terhingga. Ini artinya bahwa
laju kedatangan tidak di pengaruhi oleh hilangnya populasi. Bila populasi
terhingga, maka populasi yang tersedia untuk kedatangan akan
berkurang sebesar jumlah item yang saat itu berada di dalam sistem, hal
ini umumnuya akan mengurangi laju kedatangan secara proporsional.
Ukuran Antrian
Umumnya, kita mengamsumsi ukuran antrian yang tak terhingga. Jadi
antrian tunggu dapat membesar dapat membesar tanpa batas. Di dalam
antrian terhingga. Umumnya hal ini tidak akan menimbulkan perbedaan
terhadap analisis.
Disiplin Pengiriman
Pada saat server berada dalam keadaan bebas, dan bila terdapat dari
satuitem yang sedang menunggu, maka harus di buat keputusan tentang
item mana yang berikutnya akan di kirim. Pendekatan yang paling
sederhana adalah first-in-first-out, disiplin ini adalah sebuah disiplin yang
biasanya di implikasikan bila istilah antrian digunakan. Kemungkinan
lainnya adalah last-in-last-out.
Untuk memudahkan pembedaan antara model antrian satu dengan yang
lain, DG kendall telah mengembangkan suatu sistem notasi seperti yang di
tunjukan dalam tabel 3.
31
Tabel 3. Notasi yang di gunakan dalam sistem antrian
Item Nilai Notasi
Proses kedatangan Poisson M
Konstan D
Proses pelayanan Eksponensial M
Konstan D
Jumlah server Satu atau lebih S
Aturan antrian Sesuai urutan
kedatangan
FCFS
Ada aturan prioritas PRI
Panjang antrian Tidak terbatas ∞
Terbatas N
Ukuran popolasi kedatangan Tidak terbatas ∞
Terbatas N
Jumlah kedatangan Rata-rata per periode
waktu
Jumlah item Rata-rata per periode
waktu
µ
Sumber: Supianto, J, 2001.
Notasi model antrian biasanya terdiri dari dua set di pisahkan dengan
spasi, dengan urutan:
Di mana:
a = proses kedatangan
b = proses pelayanan
a/b/c d/e/f
32
c = jumlah server
d = aturan antrian
e = panjang antrian
f = ukuran populasi kedatangan.
Asumsi yang di pergunakan :
1) Kedatangan di asumsikan mengikuti distribusi probabilitas poisson dan
berasal dari populasi yang tak terbatas
2) Kedatangan pelanggan satu dan lain tidak saling tergantung, tetapi rata-
rata kedatangan tidak mengalami perubahan dengan waktu
3) Waktu layanan mengikuti distribusi probabilitas eksponensial negative
4) Waktu layanan bervariasi antara satu dengan yang lain, tetapi tidak saling
tergantung
5) Rata-rata tingkat pelayanan lebih besar daripada rata-rata tingkat
kedatangan
6) Pelayanan di dasarkan pada aturan FIFO
Tidak ada balking maupun reneging
Persamaan antrian:
Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam sistem, yaitu jumlah dalam
antrian di tambah jumlah yang sedang di layani
Rata-rata waktu yang digunakan oleh pelanggan dalam sistem, yaitu
waktu yang di habiskan selama menunggu di tambah waktu pelayanan
= .....( 8 )
= ......( 9 )
33
Rata-rata jumlah pelanggan antrian
Rata-rata yang dihabiskan pelanggan menunggu dalam antrian
Faktor utilisasi yang dihabiskan pelanggan menunggu dalam antrian
Persentase waktu kosong, yaitu probabilitas tidak ada orang dalam
system
Probabilitas jumlah orang dalam sistem lebih besar dari k
Model Antrian Jalur Ganda
Model antrian ini menunjukan suatu generalisai model sederhana, yang
semuanya berbagi – pakai sebuah antrian. Bila sebuah item tiba dan sedikitnya
ada sebuah server tersebut. Diasumsikan semua server identik. Jadi, jika
terdapat lebih dari satu server dapat digunakan, maka tidak aka nada perbedaan
= ( ) .....( 10 )
= ( ) ....( 11 )
= .....( 12 )
P 1 − .....( 13 )
= .....( 14 )
34
bila sever manapun yang di pilih untuk item tersebut. Bila semua server sibuk,
maka antrian akan mulai terbentuk. Begitu satu server bebas, maka sebuah item
akan segera dikirimkan dari antrian yang menggunakan disiplin pengiriman dan
kitadapat mengambil Np sebagai utilitas sistem secara keseluruhan, suku
terakhir ini sering disebut sebagai intensitas lalulintas µ. Jadi utilitas teoritis
maksimum adalah N X 100%.
Karakteristik penting yang umumnya di pilih antrian ganda berkaitan
dengan karakteristik untuk antrian server tunggal. Yaitu, kita mengamsumsikan
suatu populasi tak terhingga, dengan sebuah antrian tak terhingga yang dibagi –
pakai oleh semua sever. Bila tidak di tentukan sebelumnya, maka disiplin
pengiriman yang digunakan adalah FIFO. Bagi kasus multiserver, bila server di
asumsikan sebagai identik, maka pemilihan server tertentu untuk penantian
sebuah item tidak memiliki efek terhadap waktu pelayanan (Dimiyati, 1999).
Berikut adalah rumus rumus untuk model antrian jalur ganda.
Persamaan antrian:
Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem (untuk Sµ > )
Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam sistem
= 1λn! λμ + 1S! = λμ SμSμ − λ … . . ( 15)
= ( )!( ) + ......(16 )
35
Rata-rata waktu yang di habiskan dalam antrian atau di layani (dalam
sistem)
Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam antrian menunggu untuk
dilayani
Rata-rata waktu pelanggan atau unit di habiskan dalam antrian menunggu
untuk di layani
Model Antrian Pelayanan Konstan
Beberapa sistem layanan memiliki waktu layanan yang tetap ( konstan),
seperti misalnya cuci mobil otomatis atau komedi putar. Karena tingkat layanan
yang konstan maka nilai , , dan W selalu lebih kecil di bandingkan model-
model sebelumnya yang memiliki waktu layanan bervariasi. Dalam
kenyataannya, rata-rata panjang antrian dan waktu tunggu menjadi separuhnya.
Rumus-rumus untuk model waktu layanan yang konstan.
Rata-rata panjang antrian
W = ( )!( ) + = .....( 17 )
= − .....( 18 )
= − = .....( 19 )
= ( ) .....( 20 )
36
Rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian
2.5.3. Fasilitas Pelayanan
Karakteristik lain dalam sistem antrian ialah aturan pelayanan. Pada
umumnya dalam suatu antrian berlaku sistem first-in-first-out (FIFO). Pelanggan
yang lebin dulu mengantri akan mendapat layana lebih dulu. Namun bisa saja hal
ini tidak berlaku, misalnya dalam suatu pasar swalayan terdapat jalur khusus
untuk mereka yang berbelanja kurang dari 10 item, atau dalam rumah sakit,
pertolongan prioritas dapat di berikan kepada pasien yang berada dalam suatu
situasi darurat (Purnomo, 2003).
2.5.3.1. Karakteristik Fasilitas Pelayanan
Fasilitas pelayanan dapat di bedakan dalam dua karakteristik yaitu
konfigurasi fasilitas layanan dan pola waktu layanan. Sistem layanan biasanya
dikelompokan dalam jumlah jalur (channel ). Atau jumlah pemberi pemberi
layanan (server), dan jumlah tahapan (phase, jumlah pelanggan berhenti untuk
menerima suatu layanan) yang harus di lakukan (Purnomo, 2003).
= ( ) .....( 21 )
L = + .....( 22)
37
2.5.3.2. Disiplin PelayananKebiasaan ataupun kebijakan dalam suatu sistem antrian dimana para
pelanggan dipilih untuk dapat dilayani oleh server, disebut disiplin pelayanan.
Ada 3 (tiga) bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek, yaitu
First Come First-served (FCFS)
Disiplin pelayanan FCFS yang biasa juga disebut FIFO adalah
pelayanan yang mengutamakan pelayanan pada pelanggan yang tiba
terlebih dahulu. Pelayanan ini paling banyak digunakan sebab asumsi ini
digunakan bila pada disiplin pelayanan tanpa keterangan dan dapat
digunakan baik itu pada pelayanan dengan single server maupun multi
server.
Last Come First-served (LCFS)
Disiplin pelayanan LCFS yang biasa juga disebut LIFO adalah
pelayanan yang melayani pelanggan yang tiba terakhir pertama dilayani
server. Pelayanan ini sangat jarang digunakan karenan pelayanan ini
diberlakukan pada barang yang sangat sensitif dan utama misalnya
bahan pangan, ikan segar dan lain sebagainya.
Service In Random Order (SIRO)
Disiplin pelayanan SIRO biasa juga disebut disiplin pelayanan
random atau pelayanan secara acak. Pelayanan ini sangat jarang
digunakan karena sistem yang diberikan tidak menjanjikan bahwa
pelayanan dapat dilakukan tepat waktu.
Ketiga disiplin pelayanan ini adalah paling kita kenal dalam model antrian
dan paling sering digunakan, tapi tidak menutup kemungkinan dalam suatu
sistem pelayanan disiplin pelayanan tidak digunakan, contoh paling jelas yaitu
38
pada sistem antrian pada ruang operasi rumah sakit, mereka selalu
mendahulukan yang gawat artinya ketiga disiplin tersebut tidak dapat diterapkan,
disiplin pelayanan itu biasa disebut Priority Service artinya pelayanan diutamakan
kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi.
Rumus teori antrian memberikan informasi yang berguna untuk memdesain
dan menganalisa sistem tempat tunggu. Distribusi dari waktu menunggu dan
waktu menunggu rata-rata dari pelanggan yang datang, penting untuk
memperkirakan cukup atau tidak keseluruhan dari sistem dalam fungsinya untuk
dapat melayani pelanggan (Purnomo, 2003).
Ada beberapa kriteria antrian yang harus ditentukan untuk memperkirakan
kinerja, yaitu :
1. Distribusi jarak antara kedatangan pelanggan yang mungkin saja
merata (dengan jarak kedatangan kostan) atau dengan mengikuti
pola kedatangan poisson atau acak atau pola lainnya.
2. Distribusi waktu pelayanan
3. Jumlak server pelayanan
4. Disiplin antrian yang akan menentukan urutan dimana satuan
pelanggan yang tiba akan dilayani. Dalam model transportasi
biasanya berlaku First Come First Served (FCFS).
39
2.5.3.3. Hubungan Pelayanan dengan Tingkah Laku Biaya
Hubungan antara elemen yang terlibat dalam persoalan antian
gambarkan kita tunjukan hubungan antara tngkat pelayanan yang di berikan dan
biaya waktu menunggu. Nampak bahwa tingkat pelayanan yang di berikan dan
biaya waktu menunggu akan berkurang (Dimiyati, 1999).
hubungan antara tingkat pelayanan dan biaya pengadaan pelayanan
meningkat maka biaya pengadaan pelayanan juga meningkat. Penggabungan
dua biaya input dalam keputusan antrian. Di sini biaya waktu yang di butuhkan
untuk menunggu telah di tambahkan pada biaya pengadaan pelayanan sehingga
membentuk total biaya yang di harapkan untuk operasi fasilitas yang
bersangkutan. Tujuannya adalah hendak meminimumkan total biaya pengadaan
fasilitas dan waktu tunggu pelayanan tersebut. Meskipun secara konseptual
Nampak sederhana, kemungkinan pola kedatangan dan pelayanan ternyata
begitu banyak sehingga sebenarnya persoalan ini cukup rumit.
Misalkan kita mengetahui biaya tunggu (waiting cost) yang melekat pada
seorang individu menganggur dalam sistem pelayanan sebesar Cw dan rata-rata
individu yang menunggu dalam suatu sistem sebesar n1 maka total biaya tunggu
yang diharapkan per periode waktu adalah :
Diketahui biaya menunggu (mencakupi biaya menganggurnya para
karyawan, kehilangan penjualan, kehilangan kepercayaan dalam manajemen)
adalah $2 per jam. Bila jumlah rata-rata individu dalam sistem ada lima orang,
maka total biaya tunggu yang di harapkan sebesar:
E(Cw) = n1 x Cw .....( 23 )
40
E( ) =
= 5(2)
= $10 /jam
Walaupun biaya menunggu bisa dikurangi dengan menambahkan fasilitas
pelayanan, tetapi di sisi lain biaya penyediaan pelayanan akan naik juga.
Dengan asumsi biaya penambahan fasilitas pelayanan adalah linier ( ) dan
jumlah fasilitas pelayanan adalah “s” maka dapat dihitung total biaya pelayanan
yang di harapkan per periode adalah
Bila biaya per periode waktu per fasilitas pelayanan adalah $12 per jam
dan jumlah fasilitas pelayanan adalah 3 unit, maka total biaya pelayanan yang di
harapkan adalah sebesar:
E( ) = s x
= 3(12)
= $36/jam
Jika kedua biaya di atas digabungkan maka akan di peroleh total biaya
yang di harapkan per periode waktu yaitu:
Sehingga untuk kasus di atas total biaya yang diharapkan adalah sebesar
$36 per jam. Parameter hanya valid untuk sistem dengan 3 fasilitas saja, bila
ada penambahan atau pengurangan maka perlu dihitung kembali yang baru.
E( ) .....( 24 )
E( ) = E( ) + E(C) .....( 25 )
41