BAB II

LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

Pembahasan bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama

dibahas limit fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai limit

suatu fungsi. Pada bagian kedua dibahas pengertian kekontinuan fungsi dan sifat-

sifatnya.

TIK: Setelah mempelajari pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat

1. menghitung nilai limit fungsi yang diberikan.

2. menentukan kontinuitas suatu fungsi yang diberikan

2.1. Pengertian limit

Pengertian limit fungsi dapat disajikan secara aljabar dan secara

geometri/grafis.

Pengertian Secara Aljabar

Misalkan . Dengan mengambil beberapa nilai x untuk x

mendekati 1 dari kanan atau kiri, diperoleh tabel nilai berikut.

x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1

f(x) 1,9 1,99 1,999 1,999 2,0001 2,001 2,01 2,1

Dari tabel di atas terlihat jika x mendekati 1 (ditulis x→1), maka nilai f(x) akan

mendekati 2. Hal ini dapat ditulis .

35

Pengertian Secara Grafis

Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik-titik

pada sistem koordinat kemudian dihubungkan, akan diperoleh gambar berikut

2

1

Definisi Limit

Jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka tertentu yang

memuat bilangan a kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa

limit f(x) untuk x mendekati a adalah L , dan ditulis

jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang berpadanan yaitu > 0

sehingga bilamana 0 < < .

Contoh :

Tunjukkan bahwa = 7.

Penyelesaian :

a. Secara Aljabar

36

1. Analisis awal masalah (menebak nilai untuk ). Misalkan sebuah

bilangan positif yang diberikan. Akan dicari sebuah bilangan positif sehingga

< bilamana 0 < < .

Perhatikan = = =4 . Selanjutnya diinginkan

4 < bilamana 0 < < yakni

< bilamana 0 < < .

Ini menyarankan bahwa seharusnya dipilih = .

2. Pembuktian (menunjukkan bahwa yang dipilih berlaku). Diberikan

>0, pilihlah = . Jika 0 < < , maka

= = 4 < 4 = 4( ) = .

Jadi < bilamana 0 < < .

Dengan demikian menurut definisi limit, terbukti bahwa

= 7

b. Secara grafis contoh di atas diilustrasikan sebagai berikut

37

Limit kiri dan limit kanan

Definisi limit kiri

Jika nilai x mendekati a dari sebelah kiri menyebabkan f(x) mendekati L,

dituliskan ,

mempunyai arti jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang

berpadanan > 0 sehingga bilamana

Definisi Limit Kanan

Jika nilai x mendekati a dari sebelah kanan menyebabkan f(x) mendekati

L, dituliskan ,

mempunyai arti jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang

berpadanan > 0 sehingga bilamana

7+

7

7-

y= 4x-5

3- 3 3+ 0 x

y

38

Teorema : Nilai ada dan sama dengan L jika dan hanya jika

dan keduanya ada dan sama dengan L.

Contoh.

1. Buktikan bahwa = 0.

Penyelesaian :

a. Menebak nilai . Diketahui a = 0 dan L = 0. Misalkan sebuah bilangan

positif yang diketahui, akan dicari bilangan positif sehingga

bilamana 0 < x < .

yakni bilamana 0 < x < .

Dengan mengkuadratkan kedua sisi ketidaksamaan diperoleh x< . Hal

ini mengisyaratkan untuk memilih = .

b. Menunjukkan bahwa nilai ini berlaku. Diberikan > 0 , misalkan

= . Jika 0 < x < , maka < = = .

sehingga . Hal ini menunjukkan bahwa

= 0.

2. Misalkan fungsi g didefinisikan oleh

g(x) =

a. Gambarkan sketsa grafik fungsi g.

b. Hitunglah bila ada.

Penyelesaian :

39

a. Sketsa grafik fungsi g disajikan di bawah ini.

b. = = 0.

= = 0.

Karena dan keduanya ada dan bernilai sama yaitu nol,

maka ada dan nilainya sama dengan nol. Nilai g(0) = 2 tidak

memberikan pengaruh pada , demikian juga grafik fungsi g yang terputus

di x = 0.

3. Misalkan fungsi h didefinisikan sebagai

h(x) =

a. Gambarkan sketsa grafik h.

b. Tentukan bila ada.

Penyelesaian :

a. Sketsa grafik h diberikan berikut ini.

40

x

y

b. = = 3

= = 3

Karena = = 3, maka = 3.

2.2. Operasi limit

Operasi limit yang dimaksud di sini adalah operasi aljabar yang meliputi

penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian, dan penarikan akar. Misalkan n

bilangan bulat positif, k konstanta, dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai

limit di x = c, maka

1. = k

2. = c

3. = k. f(x)

4. [ f(x) + g(x) ] = f(x) + g(x)

1

3

x

y

41

5. [ f(x) - g(x) ] = f(x) - g(x)

6. [ f(x)g(x) ] = f(x). g(x)

7. , asalkan g (x) 0

8. [ f(x) ]n = [ f(x)]n

9. , asalkan f (x) > 0 bilamana n genap.

2.3. Menghitung nilai limit

Contoh :

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai limit berikut

1.

2.

3. , jika diketahui = 3 dan =8.

Penyelesaian :

1. = - = 3 - 2 = 3 -2 (4)= 40.

2. = = =

= = = .

42

3. = =

= = 18.

2.4. Limit hasil e dan limit ke tak hingga

Limit hasil e didasarkan pada rumus berikut ini

= e

Contoh.

Hitunglah

1.

2.

Penyelesaian :

1. Misalkan x = 4y maka = . Untuk x , maka y sehingga

= = = .

2. =

43

= = 002003

limx

= .

Limit fungsi trigonometri

Untuk mendapatkan rumus limit fungsi trigonometri, perhatikan gambar berikut

Fakta : AC < busur AD < AB

r sin x < r x < r tan x

diperoleh :

a). r sin x < r x < r tan x , dibagi r sin x

untuk x 0 maka cos x 1

x

r

CC

D B

A

Y

X

44

dan

b). r sin x < r x < r tan x , dibagi r tan x

untuk x 0, maka nilai 1

dan

Contoh. Hitunglah

1.

2.

Penyelesaian:

1. = = = 3.1 = 3.

2. Misalkan arcsin x = y, maka x = sin y

Untuk x 0, maka y 0.

=

Dengan cara serupa (berdasarkan contoh no.2) diperoleh rumus :

, , ,

2.5. Kontinuitas Fungsi

45

Limit sebuah fungsi ketika x mendekati c seringkali dapat ditemukan

secara sederhana dengan menghitung nilai fungsi tersebut di x=c. Definisi

matematika untuk kontinuitas sangat dekat dengan arti kata kontinuitas dalam

kehidupan sehari-hari, yaitu istilah yang digunakan untuk menjelaskan suatu

proses yang berjalan terus menerus tanpa terputus oleh gangguan.

Definisi (kontinu di satu titik)

Suatu fungsi f dikatakan kontinu di x = c, jika

1. f(c) ada

2. ada

3.

Jika f tidak kontinu di x=c, dikatakan f diskontinu di x=c.

Contoh .

1. Gambar 1 memperlihatkan grafik suatu fungsi f. Di bilangan manakah f

diskontinu dan mengapa?

Gambar 1

Penyelesaian:

46

Akan diselidiki apakah fungsi f kontinu di x = -1, x = 1, dan x = 2.

Karena f(2) tidak ada, maka f diskontinu di x = 2.

Grafik terputus di x = 1, tetapi alasan diskontinuitas untuk titik ini berbeda. Di sini

f(1) ada, tetapi tidak ada (karena limit kiri dan limit kanannya

berbeda). Oleh karena itu f diskontinu di x=1.

Bagaimana dengan x=-1? Walaupun f(-1)=1 (ada) dan = 3 (ada), akan

tetapi , sehingga f diskontinu di x = -1.

2. Di bilangan manakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?

a. b. c.

Penyelesaian :

a. Perhatikan bahwa f(2) tidak ada, maka f diskontinu di x = 2.

b. Perhatikan bahwa f(2) tidak ada dan juga tidak ada, maka f

diskontinu di x = 2.

c. Di sini f(2) = 1 (ada), dan = 4 (ada), tetapi . Jadi f

diskontinu di x = 2.

Gambar 2 di bawah ini memperlihatkan grafik tiga fungsi di atas.

47

a b c

Gambar 2

Jenis diskontinuitas yang digambarkan pada bagian a dan c disebut

diskontinuitas dapat dihapuskan, karena diskontinuitasnya dapat dihapuskan

dengan cara mendefinisikan ulang fungsi f di x = 2 sehingga menjadi fungsi

kontinu, yakni

Sementara untuk jenis diskontinuitas yang digambarkan pada bagian b disebut

diskontinuitas yang tidak dapat dihapuskan.

Kontinu kanan dan kiri

Suatu fungsi f dikatakan kontinu dari kanan pada sebuah bilangan c jika

dan dikatakan kontinu dari kiri pada sebuah bilangan c jika

.

48

Kontinu pada suatu selang

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik

dalam selang terbuka tersebut. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup

[a,b], jika f kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

Sifat

Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real c.

Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya,

kecuali pada pembuat nol dari penyebutnya.

Fungsi nilai mutlak kontinu di setiap bilangan real c.

Fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c jika n gasal, dan kontinu

di setiap bilangan real positif c jika n genap.

Teorema

Jika k suatu konstanta dan fungsi f, g keduanya kontinu di c, maka demikian

juga kf, f + g, f – g, fg, f / g (asalkan g(c) ≠ 0), fn, dan (asalkan f(c) > 0 jika n

genap).

Teorema (limit komposit)

Jika g(x) = L dan jika f kontinu di L, maka f(g(x)) = f = f (L).

49

Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka fungsi komposit f◦g

kontinu di c.

Latihan 3.

Buktikan limit berikut dengan menggunakan definisi limit secara aljabar,

kemudian ilustrasikan secara grafis.

1. 3.

2. 4.

Hitunglah nilai limit di bawah ini, jika ada

5. 12.

6. 13.

7. 14.

8. 15.

9. 16.

10. 17.

11. 18.

12. 19. x cot x

50

13. 20.

14. 21.

15. 22.

23. Misalkan .

Sketsalah grafik f dan tentukan

a. b. c. f(1) d. f(0)

24. Misalkan .

Sketsalah grafik f dan tentukan

a. b. c. d. f(2)

25. Selidiki kontinuitas fungsi di x = 0.

26. Selidiki kontinuitas fungsi di x = 2.

Hitunglah nilai limit berikut:

51

27. 29.

28. 30.

Tentukan apakah fungsi di bawah ini kontinu pada nilai x yang diberikan :

31.

di x = 0 dan x = 1.

32.

di x = 1 dan x = 2

33.

di x = 1

34.

di x = 1

35.

52

di x = 0.

36.

di x =

37.

di x = 0.

38.

di x = 0.

Selidiki apakah diskontinuitas fungsi f berikut pada x = a dapat dihapuskan. Jika

diskontinuitasnya dapat dihapuskan, definisikan kembali fungsi tersebut sehingga

menjadi fungsi kontinu.

39. , a = -2.

40. , a = 7.

@@@

53

54