75

BAB IV

METODA TAKABEYA

4.1 PENDAHULUAN

Salah satu metoda yang sering digunakan dalam perhitungan konstruksi statis

tak tentu, khususnya pada konstruksi portal yang cukup dikenal adalah perhitungan

konstruksi dengan metoda TAKABEYA. Dibandingkan dengan metoda yang lain,

seperti metoda Cross dan metoda Kani, untuk penggunaan metoda ini terutama pada

struktur portal bertingkat banyak merupakan perhitungan yang paling sederhana dan

lebih cepat serta lebih mudah untuk dipelajari dan dimengerti dalam waktu yang

relatif singkat.

Metoda perhitungan dengan cara Takabeya yang disajikan dalam bagian ini

adalah menyangkut materi perhitungan untuk portal dengan titik hubung yang tetap

dan portal dengan titik hubung yang bergerak ( pergoyangan). Mengenai hal tersebut,

teks ini hanya memberikan dasar-dasar pemahaman tentang metoda Takabeya yang

berhubungan dengan portal-portal yang sederhana dengan atau tanpa mengalami

suatu pergoyangan. Diharapkan dari dasar-dasar ini, kita sudah dapat menghitung

besarnya gaya-gaya dalam berupa momen-momen ujung (momen akhir) dari suatu

batang yang menyusun konstruksi portal yang bentuknya sederhana.

Persamaan - persamaan yang digunakan dalam metoda perhitungan ini hanya

merupakan persamaan dasar dari Takabeya sendiri, dimana persamaan-persamaan

tersebut hanya dapat digunakan khusus untuk portal yang sederhana dan hal-hal yang

berhubungan dengan pergoyangan dalam satu arah saja yaitu pergoyangan dalam

arah horizontal. Mengenai pergoyangan dalam dua arah ( harizontal dan vertikal)

persamaan-persamaan dasar yang digunakan dalam teks ini masih perlu diturunkan

lebih lanjut.

Untuk menganalisa struktur portal yang sederhana, bab ini memberikan

contoh-contoh perhitungan yang sudah disesuaikan dengan langkah-langkah

76

perhitungan yang sesuai dengan prosedur perhitungan dalam metoda Takabeya.

Perhitungan-perhitungan yang dimaksudkan di sini adalah hanya sampai pada

bagaimana menentukan momen-momen ujung ( momen akhir ) dari suatu konstruksi.

Mengenai reaksi perletakan tumpuan dan atau gaya-gaya lintang dan normal yang

terjadi dalam suatu penampang batang serta penggambaran diagram dari gaya-gaya

dalam tersebut, sudah dibahas dalam materi perkuliahan pada Mekanika Rekayasa I

dan Mekanika Rekayasa II semester sebelumnya.

PERSAMAAN DASAR METODA TAKABEYA

Dalam perhitungan konstruksi portal dengan metoda Takabeya, didasarkan

pada asumsi-asumsi Bahwa :

a. Deformasi akibat gaya aksial (Tarik dan Tekan) dan gaya geser dalam

diabaikan (= 0 ).

b. Hubungan antara balok-balok dan kolom pada satu titik kumpul adalah kaku

sempurna.

Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka pada titik kumpul akan terjadi

perputaran dan pergeseran sudut pada masing-masing batang yang bertemu yang

besarannya sebanding dengan momen-momen lentur dari masing-masing ujung

batang tersebut. Gambar 4.1 berikut ini, memperlihatkan dimana ujung batang (titik

b) pada batang ab bergeser sejauh '' relatif terhadap titik a. Besarnya momen-

momen akhir pada kedua ujung batang ( M ab dan M ba) dapat dinyatakan sebagai

fungsi dari perputaran dan pergeseran sudut.

77

Gambar 4.1

Kemudian keadaan pada gambar 4.1 tersebut, selanjutnya diuraikan menjadi dua

keadaan seperti terlihat pada gambar 4.2 di bawah ini :

Gambar 4.2

Sehingga menghasilkan suatu persamaan :

M ab = m ab + M ab

M ba = m ba + M ba

Dari prinsip persamaan Slope Deplection secara umum telah diketahui bahwa :

a = a + ab

b = b + ab dan

a = EI3L.abm

- EI6L.bam

+ ab x 2

b = EI6

L.abm - EI3

L.bam + ab x 1

2a + 2b EI2

L.abm+ 3ab

Sehingga :

m ab = 2 EI/L ( 2a + b - 3ab ) m ba = 2 EI/L ( 2b + a - 3ab )

Jika I/L = K untuk batang ab, maka :

Persamaan 4.1

+

78

m ab = 2 E Kab ( 2a + b - 3ab ) m ba = 2 E Kab ( 2b + a - 3ab )

Masukkan Persamaan 4. 2 ke dalam persamaan 4. 1 , diperoleh :

M ab = 2 E Kab ( 2a + b - 3ab ) + abMM ba = 2 E Kab ( 2b + a - 3ab ) + baMOleh Takabeya, dari persamaan slope deplection ini disederhanakan menjadi :

M ab = kab (2ma + mb + abm ) + abMM ba = kba (2mb + ma + bam ) + baMDimana :

ma = 2EKa abm = -6 EK abmb = 2EKb kab = Kab/K

Keterangan :

M ab, M ba = Momen akhir batang ab dan batang ba (ton m).

M ab, M ba = Momen Primer batang ab dan batang ba (ton m).

mab, mba = Koreksi momen akibat adanya pergeseran pada titik b sejauh a, b = Putaran sudut pada titik a dan titik bkab = Angka kekakuan batang ab = K ab / K (m3)kab = Faktor kekauan batang ab = I/L (m3)K = Konstantama, mb = Momen parsiil masing-masing titik a dan b akibat putaran sudut

a dan b disebut momen rotasi di titik a dan titik b (ton m). m ab = Momen parsiil akibat pergeseran titik b relatif terhadap titik a

sejauh disebut momen dispalcement dari batang ab (ton m ).

Perjanjian Tanda

Momen ditinjau terhadap ujung batang dinyatakan positif ( + ) apabila

berputar ke kanan dan sebaliknya negatif (- ) apabila berputar ke kiri

Arah momen selalu dimisalkan berputar ke kanan pada tiap-tiap ujung batang

dari masing-masing free body. Apabila ternyata pada keadaan yang sebenarnya

Pers. 4.3

Persamaan 4.4

Persamaan 4.2

79

berlawanan (berputar ke kiri), diberikan tanda negatif ( - ) sesuai dengan perjanjian

tanda.

4. 2 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG TETAP

Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang tetap adalah suatu

portal dimana pada tiap-tiap titik kumpulnya ( titik hubungnya ) hanya terjadi

perputaran sudut, tanpa mengalami pergeseran titik kumpul. Sebagai contoh :

Portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris

Portal dimana baik pada struktur balok maupun kolom-kolomnya disokong

oleh suatu perletakan.

Oleh karena portal dengan titik hubung yang tetap tidak terjadi pergeseran

pada titik-titik hubungnya, maka besarnya nilai momen parsiil akibat pergeseran titik

( ..m ) adalah = 0. Sehingga rumus dasar dari Takabeya (persamaan 4.4 ) akan

menjadi :

M ab = kab (2ma + mb) + M ab M ba = kba (2mb + ma) + M ba

Sebagai contoh, penerapan persamaan untuk Takabeya, perhatikan gambar berikut ini

:

Berdasarkan rumus dasar dari Takabeya, maka untuk struktur di atas, diperoleh

persamaan :

M 12 = k 12 (2ml + m2) + M 12

Persamaan. 2.5

Persamaan 4.6

80

M 1A = k 1A (2m1 + mA) + M 1AM 1C = k 1C (2ml + mC) + M 1CM 1E = k 1E (2m1 + mE) + M 1E

Keseimbangan di titik 1 = 0 == M1 = 0, sehingga :

M12 + M1A + M1C + M1E = 0 Persamaan 4. 7

Dari persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan :

2m1

E1

C1

A1

12

kkkk

+

EE1

CC1

AA1

212

m.km.km.km.k

+

E1

C1

A1

12

M

M

M

M

= 0 Pers. 4.8dimana :

2

E1

C1

A1

12

kkkk

= 1 dan

E1

C1

A1

12

M

M

M

M

= 1 dan 1E1E11C1C1

1A1A1

11212

/k/k/k

/k

===

=

Persamaan 4. 8 di atas dpt ditulis sebagai pers. momen rotasi pada titik kumpul 1

persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan :

1.m1 = - 1 +

EE1

CC1

AA1

212

m.km.km.km.k

m1 = - (1/1) +

EE1

CC1

AA1

212

m.m.m.m.

Persamaan 4.9

Untuk persamaan momen rotasi pada titik kumpul yang lainnya dapat dicari/

ditentukan seperti pada persamaan 4.9 di atas, dimana indeks/angka pertama diganti

dengan titik kumpul yang akan dicari dan angka kedua diganti dengan titik kumpul

yang berada di seberangnya. Perlu diingat, bahwa pada suatu perletakan jepit tidak

terjadi putaran sudut sehingga besarnya mA = mB = mC = mD = mE = mF = 0

81

Untuk langkah awal pada suatu perhitungan momen rotasi titik kumpul, maka

titik kumpul yang lain yang berseberangan dengan titik kumpul yang dihitung,

dianggap belum terjadi rotasi. Sehingga :

m1 = m1(0) = -(1 / 1)

m2 = m2(0) = -(2 / 2)

m1(1) = -(1/1) +

)0(EE1

)0(CC1

)0(AA1

)0(212

m.

m.

m.

m.

m1(1) = m1(0) +

)0(EE1

)0(CC1

)0(AA1

)0(212

m.

m.

m.

m.

dan seterusnya dilakukan pada titik 2 sampai hasil yang konvergen (hasil-hasil yang

sama secara berurutan pada masing-masing titik kumpul) yang berarti pada masing-

masing titik kumpul sudah terjadi putaran sudut.

Setelah pemberesan momen-momen parsiil mencapai konvergen, maka untuk

mendapatkan momen akhir (design moment), hasil momen parsiil selanjutnya

disubtitusikan dalam persamaan 2. 6 sebagai persamaan dasar. Sebagai contoh :

pemberesan momen parsiil dicapai pada langkah ke-7 maka pada titik kumpul 1

adalah :

M12 = M12(7) = k12 (2m1(7) + m2(7)) + 12MM1A = M1A(7) = k1A (2m1(7) + ma(7)) + A1M

M1C = M1C(7) = k1C (2m1(7) + m2(7)) + C1MM1D = M1E(7) = k1E (2m1(7) + ma(7)) + E1M

Keseimbangan di titik kumpul 1 = 0 == M1 = 0M12 + M1A + M1C + M1E = 0

Apabila M1 0, maka momen-momen perlu dikoreksi.

82

Koreksi momen akhir :

M12 = M12 [( k12 / ( k12 + k1A + k1C + k1E )) x M]

Berikut ini diberikan beberapa contoh/kasus pada suatu konstruksi portal dengan

titik kumpul yang tetap.

Contoh 1 : Hitung momen akhir dan reaksi perletakan dengan metode Takabeya

Penyelesaian:A.Menghitung Momen-momen Parsiil.

1. Hitung Angka Kekakuan Batang (k)

K1A = I/H = 1/4 = 0,2500 m3

K12 = I/L = 1/6 = 0,1667 m3

K2B = I/H = 1/4 = 0,2500 m3

==Konstanta K diambil =1 m3

Jadi :

k1A = K1A/K = 0,2500, k12 = K12/K = 0,1667, k2B = K2B/K = 0,2500

2. Hitung Nilai p tiap titik hubung :

1 = 2 (k1A+ k12 ) = 2 ( 0,2500 + 0,1667) = 0,8333

2 = 2 ( k12 + k2B ) = 2 ( 0,1667 + 0,2500 ) = 0,8333

3. Hitung Nilai (Koefisien Rotasi) batang :

83

1A = k1A / 1 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3

12 = k12 / 1 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2

21 = k21 / 2 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2

2B = k2B / 2 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3

4. Hitung Momen Primer ( M ) :

12M = - (1/12.q .L2 + /8 . P.L) = -(1/12.3.62+1/8.4.6) = -12 tm

21M = 12 tm

5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung () :

1 = 12M + A1M = -12 + 0 = -12 tm

2 = 21M + B2M = 12 + 0 = 12 tm

6. Hitung Momen rotasi Awal (m0)

m10 = - (1 / 1) = - (- 12 / 0,8333 ) = 14,40 tm

m20 = - (2 / 2) = - (12 / 0,8333) = -14,40 tm

B. Pemberesan Momen-momen Parsiil

Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik

1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara beraturan.

Langkah 1 m11 = m10 + (- 12 . m20) = 14,40 + (-0,2 . 14,400) = 11,520 m21 = m20 + (- 21 . m21) = -14,40 + (-0,2 . 11,520) = -16,704Langkah 2 m12 = m10 + (- 12 . m21) = 14,40 + (-0,2 . -16,704) = 17,741 m22 = m20 + (- 21 . m12) = -14,40 +(- 0,2 . 17,741 ) = -17,948Langkah 3 m13 = m10 + (- 12 . m22) = 14,40 + (-0,2 . -17,948) = 17,990 m23 = m20 + (- 21 . m13) = -14,40 + (-0,2 . 17,990) = -17,998Langkah 4 m14 = m10 + (- 12 . m23) = 14,40 + (-0,2 . - 17,998)= 18,000 m24 = m20 + (- 21 . m14) = -14,40 + (-0,2 . - 17,998)= -18,000Langkah 5 m15 = m10 + (- 12 . m24) = 14,40 + (-0,2 . -18,000) = 18,000 m25 = m20 + (- 21 . m15) = -14,40 + (- 0,2 . 18,000 )= - 18,000

C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).

84

M12 = M12(5) = k12 (2m1(5) + m2(5)) + 12M

= 0,16667 (2. 18,000 + -18,000) + (-12) = -9,000 tm

M1A = M1A(5) = k1A (2m1(5) + mA(5)) + A1M

= 0,2500 (2. 18,000 + 0 ) + 0 = 9,000 tm

M21 = M21(5) = k21 (2m2(5) + m1(5)) + 21M

= 0,16667 (2.-18,000 + 18,000) + (12) = 9,000 tm

M2B = M2B(5) = k2B (2m2(5) + mB(5)) + B2M

= 0,2500 (2.-18,000 + 0 ) + 0 = -9,000 tm

MA1 = MA1(5) = kA1 (2mA(5) + m1(5)) + 1AM

= 0,2500 ( 2.0 + 18,000) + ( 0 ) = 4,5000 tm

MB2 = M B2(5) = kB2 (2mB(5) + m2(5) ) + 2BM

= 0,2500 ( 2.0 + -18,000) + (0) = -4,5000 tm

Catatan : Oleh karena pada suatu perletakan jepit tidak terjadi perputaran

sudut, maka besarnya nilai mA = mB = 0.

Diagram Fase Body Momen Struktur.

Reaksi Perletakan :

85

M1 = 0 ( tinjau batang 1 A )HA = HA1 = (MA1 + M1A) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah ==)

M2 = 0 ( tinjau batang 2 B )HB =HB2 = (MB2 + M2B) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah == )

M2 = 0 ( tinjau batang 1 2 )V12 . 6 - P . 3 q L2 + M21 M12 = 0

V12 = (P . 3 + q L2 - M21 M12) / 6

V12 = (4 . 3 + . 3 . 62 - 9,000 + 9,000 ) / 6 = 11,000 ton

VA = VA1 = V12 = 11,000 ton

M1 = 0 ( tinjau batang 1 2 )-V21 . 6 + P . 3 + q L2 + M21 M12 = 0

V21 = ( P . 3 + l/2 q L2 + M21 M12 ) / 6

V21 = ( 4 . 3 + . 3 . 62 + 9,000 - 9,000 ) / 6 = 11,000 ton

VB = VB2 = V21 = 11,000 ton

Catatan : Arah momen pada diagram freebody di atas sudah merupakan arah

yang sebenarnya, sehingga nilai momen yang digunakan dalam perhitungan sudah

merupakan nilai positif (+).

Contoh 2 :

Suatu portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris, seperti gambar disamping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan ( setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )

k1A = k16 = k3C = k34 = 1k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75k2B = k25 = 1,5

Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya.

Penyelesaian :

86

A. Menghitung momen-momen parsiil.

1. Angka kekakuan batang

(diketahui)

2. Nilai tiap titik hubung

1 = 2 ( 1+0,75+ 1) = 5,5 2 = 2 (1,5 + 0,75 + 1,5 + 0,75) = 93 = 2 (l + 0,75 + l) = 5,5 4 = 2 (l+0,75) = 3,55 = 2 (1,5 + 0,75 + 0,75 ) = 6

6 = 2 (l+0,75) = 3,5

3. Nilai (koefisien rotasi) batang pada titik hubung

1A =1/5,5 = 0,1818 2B= 1,5/9 = 0,1667 3C = 1/5,5 = 0,1818 12 = 0,75/5,5 = 0,1364 21 = 0,75 / 9 = 0,0833 32 = 0,75/5,5 = 0,1364 23 = 0,75 / 9 = 0,0833 16 = 1/5,5 = 0,1818 61 = 1/3,5 = 0,2857 43 = 1/3,5 = 0,2857 34 = 1/5,5 = 0,1818 52 = 1,5 /6 = 0,2500 25 = 1,5 / 9 = 0,1667 45 = 0,75/3,5 = 0,2143 54 = 0,75 /6 = 0,1250 65 = 0,75/3,5 = 0,2143 56 = 0,75 /6 = 0,1250 4. Momen primer batang (

...M )12M = -l/12 .6 .52 = -12,5 tm 23M = -l/12 . 6.52 = -12,5 tm21M = 12,5 tm 32M = 12,5 tm65M = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm 54M = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm56M = 6,25 tm 45M = 6,25 tm

5. Jumlah momen primer tiap titik hubung ()

1 = 0 + (-12,5) + 0 = -12,5 4 = 0 +6,25 = 6,252 = 0 + 12,5 + (-12,5) + 0 = 0 5 = 0 +(-6,25) +6,25 = 03 = 0 + 12,5 + 0 = 12,5

6. Momen rotasi awal (m m10 = -(-12,5/5,5) = 2,2727 m40 = -(6,25/3,5) = -1,7857m20 = - (0 / 9 ) = 0 m50 = - ( 0 / 5,5) = 0m30 = -(12,5/5,5) = -2,2727 m60 = -(-6,25/3,5) =1,7857

87

B. Pemberesan Momen Parsiil.

Pemberesan momen parsiil dimulai secara berurutan mulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6) dan kembali ke titik (1), (2), (3), (4), (5) dan seterusnya.

m11 = + m10 = 2,2727= + (- 12) (m20) (-0,1364) ( 0 ) = 0= + (- 16) (m60) (-0,1818) ( 1,7857 ) = -0,3246

m11 = 1,9481

m21 = + m20 = 0= + (- 21) (m11) (-0,0833) ( 1,9481 ) = -0,1623= + (- 23) (m30) (-0,0833) ( -2,2727 ) = 0,1893= + (- 25) (m50) (-0,1667) ( 0 ) = 0

m21 = 0,027

m31 = + m30 = -2,2727 = + (- 32) (m21) (-0,1364) ( 0,027 ) = -0,0037= + (- 34) (m40) (-0,1818) ( -1,7857 ) = 0,3246

m31 = -1,9517

m41 = + m40 = -1,7857 = + (- 43) (m31) (-0,2857) ( -1,9517 ) = 0,5576= + (- 45) (m50) (-0,2143) ( 0 ) = 0

m41 = -1,2281

m51 = + m50 = 0 = + (- 54) (m41) (-0,1250) ( -1,2281 ) = 0,1535= + (- 52) (m21) (-0,2500) ( 0,0270 ) = -0,0068= + (- 56) (m60) (-0,1250) ( 1,7857 ) = -0,2232

m51 = -0,0765

m61 = + m60 = 1,7857 = + (- 65) (m51) (-0,2143) ( -0,0765 ) = 0,0164= + (- 61) (m11) (-0,2857) ( 1,9481 ) = -0,5566

m61 = 1,2455

Untuk selanjutnya berikut ini diperlihatkan perhitungan secara skematis:

88

m60 = 1.7857 m50 = 0.0000 m40 = -1.7857m61 = 1.2455 m51 = -0.0765 m41 = -1.2281m62 = 1.2041 m52 = -0.0090 m42 = -1.1836m63 = 1.1994 m53 = -0.0013 m43 = -1.1959m64 = 1.1988 m54 = -0.0003 m44 = -1.1982m65 = 1.1987 m55 = -0.0001 m45 = -1.1986m66 = 1.1987 m56 = 0.0000 m46 = -1.1986m67 = 1.1986 m57 = 0.0000 m47 = -1.1986m68 = 1.1986 m58 = 0.0000 m48 = -1.1986

m10 = 2.2727 m20 = 0.0000 m30 = -2.2727m11 = 1.9481 m21 = 0.0270 m31 = -1.9517m12 = 2.0426 m22 = 0.0052 m32 = -2.0501m13 = 2.0531 m23 = 0.0013 m33 = -2.0577m14 = 2.0545 m24 = 0.0005 m34 = -2.0554m15 = 2.0547 m25 = 0.0001 m35 = -2.0549m16 = 2.0548 m26 = 0.0000 m36 = -2.0548m17 = 2.0548 m27 = 0.0000 m37 = -2.0548m18 = 2.0548 m28 = 0.0000 m38 = -2.0548

C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).

Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil secara skematis pada

halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 8 , dengan nilai-nilai

sebagai berikut:

-0.21436

-0.2

857

-0.12505

-0.2

500

-0.1250 4

-0.2

857

-0.2143

1 2 3-0.1364

-0.1

818

-0.0833

-0.1

667

-0.0833

-0.1

818

-0.1364

-0.1

818

-0.1

667

-0.1

818

A B C

89

m18 = 2,0548 m28 = 0,0000 m38 = -2,0548m48 = -1,1986 m58 = 0,0000 m68 = 1,1986

Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya

dilakukan sebagai berikut:

Titik. 1

M1A = k1A (2m1(8) + mA(8)) + A1M = 1 (2 . 2,0548 + 0 ) + 0 = 4,1096 tm M12 = k12 (2m1(8) + m2(8)) + 12M = 0,75 (2 . 2,0548 + 0 ) + (-12,50) = -9,4178 tm M16 = k16 (2m1(8) + m6(8)) + 16M = 1 (2 . 2,0548 + 1,1986 ) + 0 = 5,3082 tm

M = 0 tmTitik. 2

M2B = k2B (2m2(8) + mB(8)) + B2M = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm M21 = k21 (2m2(8) + m1(8)) + 21M = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + 12,50 = 14,0411 tm M23 = k23 (2m2(8) + m3(8)) + 23M = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + (-12,50) =-14,0411 tm M25 = k25 (2m2(8) + m5(8)) + 25M = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm

M = 0 tmTitik. 3M3C = k3C (2m3(8) + mC(8)) + C3M = 1 (2 .(-2,0548) + 0)) + 0 = -4,1096 tm M32 = k32 (2m3(8) + m2(8)) + 32M = 0,75 (2 .(-2,0548) + 0) + 12,50 = 9,4178 tm M34 = k34 (2m3(8) + m4(8)) + 34M = 1 (2 .(-2,0548) + (-1,1986)) + 0 =-5,3082 tm

M = 0 tmTitik. 4M43 = k43 (2m4(8) + m3(8)) + 43M = 1 (2 .(-1,1986) + (-2,0548)) + 0 = -4,4520 tm M45 = k45 (2m4(8) + m5(8)) + 45M = 0,75 (2 .(-1,1986) + 0) + 6,25 = 4,4520 tm

M = 0 tmTitik. 5M52 = k52 (2m5(8) + m2(8)) + 52M = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm M54 = k54 (2m5(8) + m4(8)) + 54M = 0,75 (2 .0 + (-1,1986)) + (-6,250) = -7,1490 tm M56 = k56 (2m5(8) + m6(8)) + 56M = 0,75 (2 .0 + 1,1986) + 6,250 = 7,1490 tm

M = 0 tmTitik. 6M61 = k61 (2m6(8) + m1(8)) + 61M = 1 (2 . 1,1986 + 2,0548) + 0 = 4,4520 tm M65 = k65 (2m6(8) + m5(8)) + 65M = 0,75 (2 . 1,1986 + 0) + (-6,25) = -4,4520 tm

M = 0 tmTitik. AMA1 = kA1 (2mA(8) + m1(8)) + 1AM = 1 (2 . 0 + 2,0548 ) + 0 = 2,0548 tm

Titik. BMB2 = kB2 (2mB(8) + m2(8)) + 2BM = 1,5 (2 . 0 + 0 ) + 0 = 0 tm

90

Titik. CMC3 = kC3 (2mC(8) + m3(8)) + 3CM = 1 (2 . 0 + (-2,0548)) + 0 = -2,0548 tm Gambar diagram freebody moment

Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya

Analisa sumbu simetri dari suatu struktur dan pembebanan yang simetris.

Suatu struktur dengan pembebanan yang simetris dapat dianalisa sebagian

dari struktur tersebut berdasarkan sumbu simetrinya. Untuk analisa seperti ini,

tergantung apakah sumbu simetri dari struktur tersebut tepat berada pada tumpuan /

kolom tengah (bentangan genap) atau sumbu simetri berada pada bentangan tengah

(bentangan ganjil).

91

Untuk struktur dengan bentang genap, persamaan-persamaan yang ada pada

halaman depan dapat digunakan sedangkan untuk struktur dengan bentangan ganjil,

persamaan yang ada tersebut, haruslah dikoreksi terutama pada hal-hal yang

berhubungan dengan bentangan tengah tersebut.

Berikut ini diperlihatkan satu contoh struktur dengan bentangan ganjil, angka-

angka kekakuan batang langsung pada masing-masing batang pada gambar di bawah

ini. Untuk dapat memahami analisa seperti ini, coba perhatikan langkah-langkah

penyelesaian yang akan diuraikan sebagai berikut :

Contoh. 3 :

A. Menghitung Momen Parsiil.1. Angka Kekakuan (k) = diketahui (lihat gambar)

2. Hitung Nilai tiap titik hubung.1 = 2 (k1A + k12) = 2 (1 + 1,5) = 52 = 2(k21+k2B+k23) = 2(1,5 +1+1,5) = 8 p2 = 2 k23 = 6,5

3. Hitung Nilai (Koefisien rotasi) batang. 1A = k1A/1 = 1/5 = 0,200 12 = kl2/1 = 1,5/5 = 0,300

92

21 = k21/2 = 1,5/6,5 = 0,231 2B = k2B/2 = 1/6,5 = 0,154 23 = k23/2 = 1,5/6,5 = 0,231

4. Hitung Momen Primer ( M )

12M = -1/12 . q . L2 = -1/12 . 3 . 42 = -4 tm 21M = 4 tm

23M = -1/8 P. L = -1/8 . 4 . 3 = -1,5 tm 321M =1,5 tm

5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung ( )

1 = 12M + A1M = -4 + 0 = -4 tm

2 = 21M + B2M + 23M = 4 + 0+ (-1,5) = 2,5 tm

6. Hitung Momen rotasi Awal ( m0)

m10 = -(1 / 1) = - (-4 / 5) = 0,8000 tmm20 = -(2 / 2) = - (2,5 / 6,50) = -0,3846 tm

B. Pemberesan Momen-momen Parsiil

Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik 1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara berurutan.

Langkah 1

m11 = m10 + (- 12 . m20) = 0,800 + (-0,3 .(-0,3846)) = 0,91538 m21 = m20 + (- 21 . m11) =-0,3846 + (-0,231 .0,91538) = -0,59605

Langkah 2

m12 = m10 + (- 12 . m21) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,59605)) = 0,97882 m22 = m20 + (-21 . m12) =-0,3846 + (-0,231 . 0,97882) = -0,61071

Langkah 3

m13 = m10 + (- 12 . m22) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321 m23 = m20 + (-21 . m13) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98321) = -0,61172

Langkah 4m14 = m10 + (- 12 . m23) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321 m24 = m20 + (-21 . m14) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98351) = -0,61179

Langkah 5m15 = m10 + (- 12 . m24) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61179)) = 0,98354m25 = m20 + (-21 . m15) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180

Langkah 6

93

m16 = m10 + (- 12 . m25) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354m26 = m20 + (-21 . m16) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180

Langkah 7m17 = m10 + (- 12 . m26) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354m27 = m20 + (-21 . m17) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180

C. Perhitungan Momen Akhir (design moment)

Titik. 1M1A = k1A (2m1(7) + mA(7) + A1M = 1 (2 . 0,98354 + 0) + 0 = 1,96708tm M12 = k12(2m1(7)+ m2(7)+ 12M =1,5(2 .0,98354+(-0,61180)+(-4) = -1,96708 tm

M = 0 tmTitik. 2M21 = k21(2m2(7) + m1(7) + 21M = 1,5 (2 .(0,6118)+ 098354) + 4 = 3,63991 tm M2B = k2B (2m2(7) + mB(7) + B2M = 1 (2 . (-0,6118) + 0) + 0 = -1,22360 tm M23 = k23 (m2(7) + 23M = 1,5 (-0,6118) + (-1,5) = -2,41770 tm

M = -0,00139 tm

Pada titik 2 perlu koreksi momen sebagai berikut:

M21 = 3,63991 (1,5 / 4) . (-0,00139) = 3,64043M2B =-1,22360 (1 / 4) . (-0,00139) = -1,22325 M = 0 tmM23 =-2,41770 (1,5 / 4) . (-0,00139) = -2,41718

MA1 = kA1 (2mA(7) + m1(7) + 1AM = 1 (2 . 0 + 0,98354) + 0 = 0,98354tm MB2 = kB2 (2mB(7) + m2(7) + 2BM = 1 (2 . 0 + (-0,61180)) + 0 = -0,61180 tm

Catatan:Harga-harga momen akhir ( design moment ) pada bagian kanan sumbu simetri hasilnya sama simetris dengan sebelah kiri sumbu simetri ( sama besar tetapi mempunyai arah yang berlawanan).

Perhatikan diagram free body pada halaman berikut ini:

94

Gambar diagram freebody moment

Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya

95

4.3 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG BERGERAK

Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang bergerak adalah

portal dimana pada masing-masing titik hubungnya terjadi perputaran sudut dan

pergeseran (pergoyangan). Umumnya suatu konstruksi portal bertingkat mempunyai

pergoyangan dalam arah horizontal saja. Beban-beban horizontal yang bekerja pada

konstruksi, dianggap bekerja pada regel-regel (pertemuan balok dengan kolom tepi)

yang ada pada konstruksi tersebut. Untuk menganalisa konstruksi portal dengan titik

hubung yang bergerak, persamaan-persamaan 4.1 sampai dengan persamaan 4.4 pada

halaman depan tetap digunakan. Disamping persamaan-persamaan tersebut,

persamaan-persamaan yang berhubungan dengan pengaruh pergoyangan berikut ini

juga akan sangat membantu dalam penyelesaian dari struktur portal bergoyang

tersebut.

Momen Displacement ( ..m ).

Besarnya nilai ..m dipengaruhi oleh jumlah tingkat yang ada pada struktur

portal. Coba perhatikan portal (gambar 4.4), dengan freebody tingkat atas dan bawah

pada gambar 4.4a dan 4.4b berikut ini :

Gambar 4.4

96

Dari freebody pada gbr 4.4a dan 4.4b, diperoleh persamaan sebagai berikut :

Freebody 4-5-6 H=0 W1 = H4+ H5+ H6 ----- Pers. 4.11

Freebody 1-6 M6 = 0

16

61

MM

+ h1 . H6 = 0 ----- Pers. 4.12

Freebody 2-5 M5 = 0

25

52

MM

+ h1 . H5 = 0 ----- Pers. 4.13

Freebody 3-4 M4 = 0

34

43

MM

+ h1 . H4 = 0 ----- Pers. 4.14

Dari persamaan 4.11 s/d 4.14, diperoleh :

16

61

MM

+

25

52

MM

+

34

43

MM

+ h1 . (W1) = 0 ----- Pers. 4.15

Bila dimasukkan harga-harga pada persamaan 4.4, maka : M61 = k16 (2m6 + m1 + 61m )M16 = k16 (2m1 + m6 + 16m )

16

61

MM

= 3 k16 { m1 + m6 } + 2 k16. Im -------- Persamaan 4.16a

25

52

MM

= 3 k25 { m2 + m5 } + 2 k25. Im -------- Persamaan 4.16b

34

43

MM

= 3 k34 { m3 + m4 } + 2 k34. Im -------- Persamaan 4.16c

Catatan : Im = m16 = m25 = m34

Dari persamaan 2.16a, 2.16b, 2.16c, maka persamaan 2.15 dapat dituliskan menjadi:

2 Im

34

25

16

kkk

= -h1 (W1) +

+

+

+

43{)343(52{)253(

61{)163(

mmk

mmk

mmk

---- Pers. 2.17

97

Jika :I

16

Tk3

= t16

2

34

25

16

kkk

= TI dan I

25

Tk3

= t25 ------- Pers. 4.18

I

34

Tk3

= t34

Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:

Im = - I

11

T}W{h

}mm{)t(}mm{)t(}mm{)t(

4334

5225

6116

++

++

++

------- Persamaan 4.19

Persamaan 4. 19 disebut persamaan momen displacement pada tingkat atas.

Langkah perhitungan untuk momen displacement dilakukan pertama-tama dengan

anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m4 = m5 =

m6 = 0) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.19 ) menjadi :

)0(Im

= - I

11

T}W{h

-------- Persamaan 4.20

Dengan cara yang sama ( lihat gambar 2.4c ), maka persamaan momen displacement

untuk tingkat bawah akan diperoleh :

2 I Im

C3

B2

A1

kkk

= -h2 (W1 +W2)+

+

+

+

C3C3

B2B2

A1A1

mm{)k3(mm{)k3(mm{)k3(

----- Pers. 4.21

Jika :

II

A1

Tk3

= t1A

98

2

C3

B2

A1

kkk

= TII dan II

B2

Tk3

= t2B -------- Pers. 4.22

II

C3

Tk3 = t3C

Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:

IIm = -

II

212

T}WW{h +

}mm{)t(}mm{)t(}mm{)t(

C3C3

B2B2

A1A1

++

++

++

------ Persamaan 4.23

Persamaan 4. 23 tersebut di atas disebut persamaan momen displacement pada

tingkat bawah. Langkah perhitungan untuk momen displacement ini dilakukan

pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi

perputaran sudut (m1= m2 = m3 = 0) dan pada titik A, B, C dengan mA, mB dan mC sama dengan 0 ( nol ) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.23 ) menjadi:

)0(IIm = -

II

212

T}WW{h +

-------- Persamaan 4.24

Berikut ini diperlihatkan contoh penerapan persamaan-persamaan dari takabeya serta

analisa / penyelesaian contoh soal yang ada.

Contoh. 4 :

Suatu portal dengan struktur dan pembebanan seperti gambar di samping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan (setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )

k1A= k16 = k30 = k34 = 1k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75k2B = k25 = 1,5

Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya.

Penyelesaian:

99

A. Menghitung momen-momen parsiil.

1. Angka kekakuan batang (diketahui pada gambar struktur)

2. Nilai , , M primer, dan momen rotasi awal (m0)

perhitungan dapat anda lihat pada contoh. 2 sebelumnya :

1 = 5,5 3 = 5,5 5 = 62 = 9 4 = 3,5 6 = 3,5

1A = 0,1818 2B = 0,1667 23 = 0,0833 3C = 0,1818 12 = 0,1364 21 = 0,0833 25 = 0,1667 32 = 0,1364 16 = 0,1818 34 = 0,1818

12M = -12,5 tm 23M = -12,5 tm 65M = -6,25 tm 54M = -6,25 tm21M = 12,5 tm 32M = 12,5 tm 56M = 6,25 tm 45M = 6,25 tm

1 = -12,5 3 = 12,5 5 = 02 = 0 4 = 6,25 6 = -6,25

m10 = 2,2727 m30 = -2,2727 m50 = 0m20 = 0 m40 = -1,7857 m60 = 1,7857

B. Momen Displacement.

Tingkat atas TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7t16 = 3 k16 / TI = 3.1/7 = 0,4286 t25 = 3 k25 / TI = 3.1,5/7 = 0,6429 t34 = 3 k34 / TI = 3.1/7 = 0,4286

0IIm = -(W1 . h1) / TI = -(1,2 . 4) / 7 = -0,6857

Tingkat atas TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7t1A = 3 k1A / TII = 3.1/7 = 0,4286 t2B = 3 k2B / TII = 3.1,5/7 = 0,6429 t3C = 3 k3C / TII = 3.1/7 = 0,4286

0IIm = -{h2 (W1 + W2)} / TII = -{4 (1,2 + 2)} / 7 = -1,8286

100

C. Pemberesan momen parsiil, Momen displacement Perbesaran momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4),

(5), (6)dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. m11 = + m10 = 2,27270

= + (- 1A) ( 0IIm ) (-0,1818) (-1,8286) = 0,33244= + (- 12) ( 02m ) (-0,1364) (0) = 0= + (- 16) ( 06m + 0Im ) (-0,1818) {1,7857 +(-0,6857)} = -0,19998

m11 = 2,40516

m21 = + m20 = 0= + (- 21) ( 11m ) (-0,0833) (2,40516) = -0,20035= + (- 2B) ( 0IIm ) (-0,1667) (-1,8286) = 0,30482= + (- 23) ( 03m (-0,0833) (-2,2727) = 0,18932= + (- 25) ( 05m + 0Im ) (-0,1667) {0 +(-0,6857)} = -0,11431

m21 = 0,40810

m31 = + m30 = 2,27270= + (- 32) ( 12m ) (-0,1364) (0,40810) = -0,05566= + (- 3C) ( 0IIm ) (-0,1818) (-1,8286) = 0,33244= + (- 34) ( 04m + 0Im ) (-0,1818) {(-1,7857) +(-0,6857)} = 0,44930

m31 = -1,54662

m41 = + m40 = -1,78570= + (- 43) ( 13m + 0Im ) (-0,2857) {(-1,54662) +(-0,6857)} = 0,63777= + (- 45) ( 05m ) (-0,2143) (0) = 0

m41 = -1,14792

m51 = + m50 = 0= + (- 54) ( 14m ) (-0,1250) (-1,14792) = -0,14349= + (- 52) ( 12m + 0Im ) (-0,2500) {(0,40810) + (-0,6857)} = 0,06940= + (- 56) ( 06m ) (-0,1250) (1,7857) = -0,22321

m51 = -0,01032

m61 = + m60 = 1,78570= + (- 65) ( 15m ) (-0,2143) (-0,01032) = 0,00221= + (- 61) ( 11m + 0Im ) (-0,2857) {(2,40516) + (-0,6857)} = -0,49125

m61 = 1,29666Untuk pemberesan momen displacement langkah 1, sebaiknya digunakan

nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil langkah 1. Seperti yang dilakukan

sebagai berikut :

Tingkat atas : Langkah. 1

101

1Im = + 0Im = -0,68570

+(-t16) ( 11m +1

6m ) = (-0,4286)(2,40516 +1,29666) = -1,58660

+(-t25) ( 12m +1

5m ) = (-0,6429)(0,40810 - 0,01032) = -0,25573

+(-t34) ( 13m +1

4m ) = (-0,4286) -1,54662 - 1,14792) = 1,15488= -1,37315

Tingkat bawah : Langkah 1

1IIm = + 0IIm = -0,82860

+ (-t1A) ( 11m ) = (-0,4286) (2,40516) = -1,03085 + (-t2B) ( 12m ) = (-0,6429) (0,40810) = -0,26237 + (-t3C) ( 13m ) = (-0,4286) (-1,54662) = 0,66288

= -2,45894

Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-l selesai, maka

dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada

langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3, 4, 5 dan titik 6 kemudian pemberesan

momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya

sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema

perhitungan pada halaman berikut ini.

Catatan :

Sebenarnya, pemberesan rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen

tingkat, tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi

apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat

dihentikan. Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu

titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-

batang bersangkutan.

102

Perhitungan secara skematis dilakukan sesuai dengan rumusan yang telah dijelaskan/

diuraikan sebelumnya, seperti berikut ini:

0Im = -0.68570 m60 = 1.78570 m50 = 0.00000 m40 =-1.785701

Im = -1.37315 m61 = 1.29666 m51 =-0.01032 m41 =-1.147922

Im = -1.84463 m62 = 1.37711 m52 = 0.16704 m42 = -0.979243

Im = -2.09335 m63 = 1.46663 m53 = 0.24751 m43 = -0.908424

Im = -2.21999 m64 = 1.51782 m54 = 0.28398 m44 = -0.869015

Im = -2.28394 m65 = 1.54446 m55 = 0.30162 m45 = -0.847746

Im = -2.31610 m66 = 1.55802 m56 = 0.31036 m46 = -0.836747

Im = -2.33225 m67 = 1.56488 m57 = 0.31472 m47 = -0.831158

Im = -2.34034 m68 = 1.56832 m58 = 0.31689 m48 = -0.828349

Im = -2.34439 m69 = 1.57005 m59 = 0.31799 m49 = -0.8269210

Im = -2.34642 m610 = 1.57092 m510 = 0.31853 m410 = -0.8262111

Im = -2.34744 m611 = 1.57136 m511 = 0.31880 m411 = -0.8258612

Im = -2.34795 m612 = 1.57157 m512 = 0.31894 m412 = -0.8256813

Im = -2.34821 m613 = 1.57168 m513 = 0.31901 m413 = -0.8255914

Im = -2.34833 m614 = 1.57174 m514 = 0.31904 m414 = -0.8255515

Im = -2.34840 m615 = 1.57176 m515 = 0.31906 m415 = -0.8255316

Im = -2.34843 m616 = 1.57178 m516 = 0.31907 m416 = -0.8255117

Im = -2.34845 m617 = 1.57179 m517 = 0.31907 m417 = -0.8255118

Im = -2.34845 m618 = 1.57179 m518 = 0.31908 m418 = -0.8255119

Im = -2.34846 m619 = 1.57179 m519 = 0.31908 m419 = -0.8255020

Im = -2.34846 m620 = 1.57179 m520 = 0.31908 m420 = -0.82550

0IIm = -1.82860 m10 = 2.27270 m20 = 0.00000 m30 = -2.27270

1IIm = -2.45894 m11 = 2.40516 m21 = 0.40810 m31 = -1.54662

2IIm = -2.70961 m12 = 2.67797 m22 = 0.54629 m32 = -1.44185

3IIm = -2.83788 m13 = 2.77579 m23 = 0.62023 m33 = -1.35131

4IIm = -2.90224 m14 = 2.81797 m24 = 0.65860 m34 = -1.30089

5IIm = -2.93432 m15 = 2.83815 m25 = 0.67848 m35 = -1.27604

6IIm = -2.95033 m16 = 2.84805 m26 = 0.68865 m36 = -1.26383

7IIm = -2.95834 m17 = 2.85296 m27 = 0.69380 m37 = -1.25778

8IIm = -2.96235 m18 = 2.85540 m28 = 0.69640 m38 = -1.25476

9IIm = -2.96435 m19 = 2.85662 m29 = 0.67770 m39 = -1.25325

10IIm = -2.96536 m110 = 2.85723 m210 = 0.69835 m310 = -1.25249

11IIm = -2.96586 m111 = 2.85753 m211 = 0.69867 m311 = -1.25211

12IIm = -2.96611 m112 = 2.85769 m212 = 0.69884 m312 = -1.25192

13IIm = -2.96624 m113 = 2.85776 m213 = 0.69892 m313 = -1.25183

14IIm = -2.96630 m114 = 2.85780 m214 = 0.69896 m314 = -1.25178

15IIm = -2.99634 m115 = 2.85782 m215 = 0.69898 m315 = -1.25176

16IIm = -2.96635 m116 = 2.85783 m216 = 0.69899 m316 = -1.25174

17IIm = -2.96636 m117 = 2.85784 m217 = 0.69900 m317 = -1.25174

18IIm = -2.96636 m118 = 2.85784 m218 = 0.69900 m318 = -1.25173

A B C

-0.21436-0

.285

75 4

1 2 3

-0.1250 -0.1250 -0.214

-0.2

500

-0.2

857

-0.6

429

-0.4

286

-0.4

286

-0.6

429

-0.4

286

-0.4

286

-0.1364 -0.136-0.0833 -0.0833

-0.1

667

-0.1

667

-0.1

818

-0.1

818

-0.1

818

-0.1

818

103

19IIm = -2.96637 m119 = 2.85784 m219 = 0.69900 m319 = -1.25173

20IIm = -2.96637 m120 = 2.85784 m220 = 0.69900 m320 = -1.25173

104

D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).

Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 20, dengan nilai-nilai sebagai berikut:m120 = 2,85784 m220 = 0,69900 m320 = -1,25173 1Im = -2,34846 m420 = -0,82550 m520 = 0,31908 m620 = 1,57179 1IIm = -2,96637

Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 2. 4 pada halaman depan)Titik. 1

M1A = k1A (2m1(20) + )20(IIm ) + A1M = 1 {(2 . 2,85784 + (-2,96637)} + 0 = 2,74931 tm M12 = k12 (2m1(20) + m2(20)) + 12M = 0,75 (2 . 2,85784 +0,699) + (12,50) = -7,68899 tm M16 = k16 (2m1(20) + m6(20)) + )20(Im + 16M = 1 {(2 .+ 2,85784 + 1,57179+(-2,348646)}0 = 4,93901 tm M = 0,00067 tmTitik. 2M21 = k21 (2m2(20) + )20(1m ) + 21M = 0,75 {2 . 0,699+2,85784}+ 12,50 = 15,69188 tm M2B = k2B (2m2(20) + )20(IIm ) + B2M = 1,5 {2 . 0,699+(-2,96637)} + 0 = -2,35256 tm M23 = k23 (2m2(20) + m3(20)) + 23M = 0,75 {2 . 0,699+(-1,25173)}+(-12,50) = -12,39030 tmM25 = k25 (2m2(20) + m5(20)) + )20(1m )+ 25M = 1,5 {2 . 0,699+0,31908+(-2,34846)}+0 = -0,94707 tm M = 0,00195 tmTitik. 3M3C = k3C (2m3(20) + )20(IIm ) + C3M = 1 {2(-1,25173)+(- 2,96637)} + 0 = -5,46983 tm M32 = k32 (2m3(20)+m2(20) + 32M = 0,75 {2 (-1,25173)+0,699} + 12,50 = 11,14666 tm M34 = k34 (2m3(20) + m4(20) + )20(Im )+ 34M = 1{2(-1,25173)+(-0,82550)+(-2,34846)}+0 = -5,67742 tm M = -0,00059 tmTitik. 4M43 = k43 (2m4(20) + m3(20) + )20(1m )+ 43M = 1 {2(-0,8255)+(- 1,25173) +(-2,34846)}+0 = -5,25119 tm M45 = k45 (2m4(20)+m5(20) + 45M = 0,75 {2 (-0,8255)+0,31908} + 6,25 = 5,25106 tm M = -0,00013 tm

105

Titik. 5M52 = k52(2m5(20) + m2(20) + )20(Im )+ 52M = 1,5{2.0,31908+0,699+(-2,34846)}+ 0 = -1,51695 tm M54 = k54 (2m5(20)+m4(20) + 54M = 0,75 {2 .0,31908)+(-0,8255)}+(-6,25) = -6,39051 tmM56 = k56 (2m5(20)+m6(20) + 56M = 0,75 {2 .0,31908)+1,57179) + 6,25 = 7,90746 tm M = 0,00000 tmTitik. 6M61 = k61(2m6(20) + m1(20) + )20(Im )+ 61M = 1{2.1,57179+2,85784+(-2,34846)}+ 0 = 3,65296 tm M65 = k65 (2m6(20)+m5(20) + 65M = 0,75 {2 .1,57179 +0,31908)+(-6,25) = -3,65300 tm M = -0,00004 tmDengan M yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen-momen ujung

tersebut di atas tidak perlu dikoreksi ======= M 0

Titik. A

MA1 = kA1 (2mA(20) + m1(20) + )20(IIm + 1AM = 1{2.0 + 2,85784+(-2,96637)}+0 = -0,10853 tm

Titik. B

MB2 = kB2 (2mB(20) + m2(20) + )20(IIm + 2BM = 1,5 (2.0 + 0,699 +(-2,96637)}+0 = -3,40106 tm

Titik. C

MC3 = kC3 (2mC(20) +m3(20) + )20(IIm + 3CM =1{2.0 +(-1,25173)+(-2,96637)}+0 = -4,21810 tm

Gambar diagram freebody moment

106

Kontrol H = 0

-1/h2

+

+

3C

C3

2B

B2

1A

A1

MM

MM

MM

- (W1 + W2) = 0

-1/4

+

+

21810,4

46983,540106,335256,2

10853,074931,2

- (1,2 + 2) = 0

-0,25 { 2,64078 + (-5,75362 + (-9,68793)} - (3,2) = 0

0,00019 0 Ok

Konstruksi dengan sokongan sendi.

Untuk konstruksi dengan sokongan sendi pada salah satu titik perletakannya, maka

batang-batang yang berkumpul atau bertemu pada salah satu titik kumpul yang

berhubungan dengan perletakan sendi tersebut, maka nilai p digunakan adalah dimana :

= - 1/2 k batang yang ujungnya sendi.

Dan batang yang ujungnya sendi = k batang yang ujungnya sendi / Disamping itu, untuk batang yang ujungnya berupa sendi, dimana ada momen

primer, maka pada perletakan sendi tersebut dianggap sebagai perletakan jepit dan

momen-momen primernya disebut 'M

Sebagai contoh:

Sehingga 1AM = -1/12 . q . L2 A1M = 1/12 . q . L2

A1'M = A1M - 1AM

dan yang digunakan adalah , dimana 1 = A1'M + X1M + Y1M + Z1M

107

sehingga Momen rotasi awal m(0) = -1/1

dan design moment adalah M1A = k1A (3/2 m1(X)) + A1'M untuk balok 1A dan sendi di

titik A serta M1A= k1A(3/2m1(X)+ + )X(Im ) + A1'M utk kolom1A sendi di titik A. jika

diperlukan koreksi momen akibat adanya M, maka

M1A=M1A(X)-(3/4 k1A / 1)M dititik 1 : faktor sendi.Sebagai contoh analisa, pada halaman berikut ini diberikan suatu contoh struktur

portal dengan sokongan sendi dengan penyelesaiannya.

Contoh. 5

diketahui :

W1 = W2 = 1,2 t

kA1 = k14 = kB2 = k23 = 1

k12 = k34 = 0,75

h1 = h2 = 4 m

L = 5 m

Penyelesaian:

A. Menghitung momen-momen parsiil.

1. Angka kekakuan batang

( diketahui )

2. Nilai , , M primer, dan momen rotasi awal (m0)

1 = 2(k1A + k12 + k14) = 5,5 2 = 2(k21+k2B+k23) = 5,5 2 = 2 k2B = 5,5 .1 = 53 = 2(k23 + k34) = 3,54 = 2(k43 + k41) = 3,5

1A = k1A/1 = 1/5,5 = 0,1818 2B= k2B/2= .1/5=0,1 12 = k12/1 = 0,75/5,5 = 0,1364 21=k21/2= 0,75/5 = 0,15 14 = k14/1 = 1/5,5 = 0,1818 23= k23/2 = 1/5 = 0,2

108

32 = k32/3 = 1/3,5 = 0,2857 43=k43/4 0,751/3,5=0,2143 12 = k12/1 = 0,75/5,5 = 0,1364 41= k41/4 = 1/3,5 = 0,2857

12M = -1/12 q L2 = -1/12 . 6 . 52 = -12,5 tm 21M = 12,5 tm43M = -1/12 q L2 = -1/12 . 3 . 52 = -6,25 tm 34M = 6,25 tm

1 = 12M + A1M + 14M = -12,5 tm 2 = 21M + B2M + 23M = 12,5 tm 3 = 32M + 34M = 6,25 tm 4 = 41M + 43M = -6,25 tm m10 = - (1/1) = -(-12,5 / 5,5) = 2,2727m20 = - (2/2) = -(12,5 / 5) = -2,5000m30 = - (3/3) = -(6,25 / 3,5) = -1,7857m40 = - (4/4) = -(-6,25 / 3,5) = 1,7857

B. Momen Displacement.

Tingkat atas TI = 2 (k14 + k23) = 2 (1+1) = 4t14 = 3 k14 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 0Im = -(W1.h1) / TI t23 = 3 k23 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 = -(1,2 . 4) / 4 = -1,2

Tingkat bawah TII = 2 (k1A + k2B) = 2 (1 + 1) = 4 TII = TII 3/2 . k2B = 4 3/2 . 1 = 2,5

t'1A = 3 k1A / TII = 3.1 / 2,5 = 1,2 0IIm = -{h2 (W1+W2)} / TII

t'2B = 3/2 k2B / TII = 3/2 . 1 / 2,5 = 0,6 = -{4 (1,2 + 1,2)} / 2,5 = -3,84C. Pemberesan momen parsiil Momen displacement

Pemberesan momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4)

dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. Berikut

ini pemberesan momen parsiil langkah 1.

m11 = + m10 = 2,2727= + (- 1A) (mII0) (-0,1818) (-3,84) = 0,6981= + (- 12) (m20) (-0,1364) (-2,5) = 0,3410= + (- 14) (m40 +mI0) (-0,1818) {1,7857 + (-1,2)} = -0,1065

m11 = 3,2053

m21 = + m20 = -2,5000= + (-21) (m11) (-0,15) (3,2053) = -0,4808= + (-2B) (mII0) (-0,10) (-3,84) = 0,3840= + (-23) (m30 +mI0) (-0,20) (-1,7857 + (-1,2)) = 0,5971

m21 = -1,9997

m31 = + m30 = -1,7857

109

= + (- 32) (m21 + mI0) (-0,2857) (-1,9997 + (-1,2)) = 0,9142= + (- 34) (m40) (-0,2143) (1,7857) = -0,3827

m31 = -1,2542

m31 = + m40 = 1,7857= + (- 43) (m31) (-0,2143) (-1,2542) = 0,2688= + (- 41) (m11) + (mI0) (-0,2857) (3,2053 + (-1,2)) = -0,5729

m41 = 1,4816

Setelah pemberesan momen parsiil langkah 1 selesai, selanjutnya pemberesan

momen displacement langkah 1 dilaksanakan. Sebaiknya digunakan nilai-nilai dari

hasil pemberesan momen parsiil pada langkah 1.

Untuk tingkat atas: Langkah. 1 1

Im = + 0Im = -1,2

+ (-t14) (m11 + m41) (-0,75) (3,2053 + 1,4816) = -3,5151

+ (-t23) (m21 + m31) (-0,75) (-1,9997 + (-1,2542)) = 2,4404

mI1 = -2,2747

Untuk tingkat bawah: Langkah. 1 1

IIm = + 0IIm = -3,84

+ (-t1A) (m11) (-1,2) (3,2053) = -3,8464

+ (-t2B) (m21) (-0,6) (-1,9997) = 1,1998

mI1 = -6,4866

Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-1 selesai, maka

dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada

langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3 dan 4 kemudian pemberesan momen

displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai

dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan

pada halaman berikut ini.

Catatan:

Sebenarnya, rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat

tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila

sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan.

110

Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul,

kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-batang

bersangkutan sebanding dengan kekakuannya.

0Im = -1.2000 m40 = 1.7857 m30 = -1.78571

Im = -2.2747 m41 = 1.4816 m31 = -1.25422

Im = -3.2391 m42 = 1.5360 m32 = -0.96023

Im = -3.8709 m43 = 1.6798 m33 = -0.74914

Im = -4.2381 m44 = 1.7921 m34 = -0.63065

Im = -4.4417 m45 = 1.8619 m35 = -0.56786

Im = -4.5522 m46 = 1.9017 m36 = -0.53467

Im = -4.6116 m47 = 1.9237 m37 = -0.51708

Im = -4.6434 m48 = 1.9356 m38 = -0.50779

Im = -4.6603 m49 = 1.9420 m39 = -0.502810

Im = -4.6692 m410 = 1.9454 m310 = -0.500211

Im = -4.6740 m411 = 1.9472 m311 = -0.498812

Im = -4.6765 m412 = 1.9482 m312 = -0.498113

Im = -4.6779 m413 = 1.9487 m313 = -0.497714

Im = -4.6786 m414 = 1.9490 m314 = -0.497515

Im = -4.6790 m415 = 1.9491 m315 = -0.497316

Im = -4.6792 m416 = 1.9492 m316 = -0.497317

Im = -4.6793 m417 = 1.9492 m317 = -0.497318

Im = -4.6793 m418 = 1.9493 m318 = -0.497219

Im = -4.6794 m419 = 1.9493 m319 = -0.497220

Im = -4.6794 m420 = 1.9493 m320 = -0.497221

Im = -4.6794 m421 = 1.9493 m321 = -0.4972

0IIm = -3.8400 m10 = 2.2727 m20 = -2.5000

1IIm = -6.4866 m11 = 3.2053 m21 = -1.9997

2IIm = -7.4472 m12 = 3.8689 m22 = -1.7259

3IIm = -7.9213 m13 = 4.1716 m23 = -1.5412

4IIm = -8.1664 m14 = 4.3213 m24 = -1.4321

5IIm = -8.2953 m15 = 4.3973 m25 = -1.3692

6IIm = -8.3634 m16 = 4.4366 m26 = -1.3341

7IIm = -8.3995 m17 = 4.4570 m27 = -1.3148

8IIm = -8.4186 m18 = 4.4677 m28 = -1.3045

9IIm = -8.4287 m19 = 4.4734 m29 = -1.2989

10IIm = -8.4341 m110 = 4.4764 m210 = -1.2960

11IIm = -8.4369 m111 = 4.4780 m211 = -1.2944

12IIm = -8.4384 m112 = 4.4788 m212 = -1.2936

A B

-0.21434

-0.2

857

3

1 2

-0.214

-0.2

857

-0.7

5

-0.7

5

-1.2

-0.6

-0.1364 -0.15

-0.2

-0.1

-0.1

818

-0.1

818

111

13IIm = -8.4392 m113 = 4.4793 m213 = -1.2931

14IIm = -8.4397 m114 = 4.4795 m214 = -1.2929

15IIm = -8.4399 m115 = 4.4796 m215 = -1.2928

16IIm = -8.4400 m116 = 4.4797 m216 = -1.2927

17IIm = -8.4401 m117 = 4.4797 m217 = -1.2927

18IIm = -8.4401 m118 = 4.4797 m218 = -1.2926

19IIm = -8.4401 m119 = 4.4798 m219 = -1.2926

20IIm = -8.4401 m120 = 4.4798 m220 = -1.2926

21IIm = -8.4401 m121 = 4.4798 m221 = -1.2926

112

D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).

Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 20 , dengan nilai-nilai sebagai berikut:m120 = 4,4798 m220 = -1,2926 mI20 = -4,6794m320 = -0,4972 m420 = 1,9493 mII20 = -8,4401

Untuk perhitungan besarnya momen momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 4. 4 pada halaman depan )Titik. 1M1A= k1A (2m1(20)) + )20(IIm = 1{2.4,4798+(-8,4401)} = 0,5195 tm M12 = k12 (2m1(20)) + )20(2m ) + 12M = 0,75 {2. 4,4798+(-l,2926)}+(-12,50) = -6,7498 tmM14 = k14 (2m1(20)) + )20(4m ) +

)20(IM

= 1{2. 4,4798+l,9493+(-4,6794)} = 6,2295 tm M = -0,0008 tm

Titik. 2M2B= k2B (3/2m2(20)) + )20(IIm = 1 {3/2(-1,2926) + (1/2.-8,4401)} = -6,1590 tm M21= k21 (2m2(20)) + )20(1m ) + 21M = 0,75 {2.(-1,2926) + 4,4798} + 12,50 = -6,7498 tmM23 = k23 (2m2(20)) + )20(3m ) + )20(IM = 1{2.(-1,2926) +(-0,4972)+(-4,6794)} = -7,7618 tm

M = 0,0002 tmTitik. 3M32 = k3 (2m3(20)) + m2(20) + )20(Im = 1 (2.-0,4972 + -1,2926 + -4,6794 = -6,9664 tm M3 4= k3 (2m2(20)) + )20(4m ) + 34M = 0,75 {2.-0,4972 + 1,9493) + 6,25 = 6,9662 tm M = -0,0002 tmTitik. 4M41 = k41 (2m4(20)) + m1(20) + )20(Im = 1 (2.1,9493 + 4,4798 + -4,6794 = 3,6990 tm M43 = k43 (2m4(20)) + )20(3m ) + 43M = 0,75 {2. 1,9493 + -0,4972) + -6,25 = -3,6990 tm

M = 0,0000 tmDengan AM yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen momen ujung

tersebut di atas tidak perlu dikoreksi =======M 0

Titik AMA1 = kA1 (m1(20)+ )20(IIm ) = 1{4,4798+(-8,4401)}= -3,9604 tm

113

MB2 = 0 ( perletakan sendi)

Kontrol H = 0

-1/h2

+

2B

B2

1A

A1

MM

MM

- (-W1 + W2) = 0

-1/4

+

0

1590,69604,3

5195,0 - (1,2 + 1,2) = 0

-0,25{(-3,4409+(-6,1590}- (2,4) = 0 0,00019 0 Ok

Gambar diagram freebody

4.4 RANGKUMAN

Dari pembahasan rumusan - rumusan dasar berikut contoh - contoh soal dan

penyelesaiannya, baik untuk konstruksi portal dengan titik hubung yang tetap

maupun konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan), dapat

diambil suatu kesimpulan mengenai langkah-langkah perhitungan penyelesaian suatu

portal sebagai berikut:

114

4.4.1 Portal dengan titik hubung yang tetap

Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian

A. Menentukan Momen Parsiil.

1. Menghitung angka

kekakuan batang (k).

2. Menghitung nilai p

masing - masing titik hubung.

3. Menghitung nilai

koefisien untuk rotasi momen parsiil () masing - masing batang.4. Menghitung momen-

momen primer ( M ) masing - masing batang.

5. Menghitung jumlah

momen primer () pada masing - masing titik hubung.

6. Menghitung momen

rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung.

B. Pemberesan Momen Parsiil.

Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi

langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen.

C. Menghitung Momen Akhir (Design Moment).

4. 4. 2 Portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan)

Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian

A. Menentukan Momen parsiil.

1. Menghitung angka

kekakuan batang (k).

2. Menghitung nilai p

masing - masing titik hubung.

3. Menghitung nilai

koefisien untuk rotasi momen parsiil ( ) masing - masing batang.

115

4. Menghitung momen-

momen primer ( M ) masing - masing batang.

5. Menghitung jumlah

momen primer () pada masing - masing titik hubung.

6. Menghitung momen rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung.

B. Menghitung Momen Displacement ( m ..).

1. Menghitung kekakuan tingkat (T...).

2. Menghitung koefisien rotasi tingkat (t...) pada masing - masing kolom.

3. Menghitung Momen Displacement awal tingkat ( m ...0).

C. Pemberesan Momen Parsiil dan Momen Displacement.

Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi

langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen.

Pemberesan momen displacement dilakukan setiap selesai satu langkah

pemberesan momen parsiil.

D. Menghitung Momen Akhir (Design Moment).

E. Kontrol gaya - gaya horizontal ======H = 0

2.5 SOAL-SOAL LATIHAN

Soal-soal berikut ini (lihat gambar), dapat anda kerjakan di rumah sebagai

latihan. Besarnya nilai dari ukuran yang ada, beban terpusat P dan W maupun beban

terbagi rata q dapat ditentukan sendiri.

116

DAFTAR PUSTAKA

Chu-Kia Wang, Ph.D, Mekanika Teknik Statically Indeterminate Structure Terjemahan

_________________, Analisa Struktur Lanjutan, Jilid 1, Jakarta, Erlangga, 1992.

Heinz Frick, Ir, Mekanika Teknik 2 (Statika dan Kegunaannya), Jilid II, Yogyakarta, Kanisius, 1979.

Soetomo. HM, Ir, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid I. Jakarta, Soetomo HM, 1981

_______, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid II. Jakarta, Soetomo HM, 1981

V. Sunggono. KH, Ir, Buku Teknik Sipil. Bandung, Nova, 1984.