bab iv takabeya
TRANSCRIPT
75
BAB IV
METODA TAKABEYA
4.1 PENDAHULUAN
Salah satu metoda yang sering digunakan dalam perhitungan konstruksi
statis tak tentu, khususnya pada konstruksi portal yang cukup dikenal adalah
perhitungan konstruksi dengan metoda TAKABEYA. Dibandingkan dengan
metoda yang lain, seperti metoda Cross dan metoda Kani, untuk penggunaan
metoda ini terutama pada struktur portal bertingkat banyak merupakan perhitungan
yang paling sederhana dan lebih cepat serta lebih mudah untuk dipelajari dan
dimengerti dalam waktu yang relatif singkat.
Metoda perhitungan dengan cara Takabeya yang disajikan dalam bagian ini
adalah menyangkut materi perhitungan untuk portal dengan titik hubung yang tetap
dan portal dengan titik hubung yang bergerak ( pergoyangan). Mengenai hal
tersebut, teks ini hanya memberikan dasar-dasar pemahaman tentang metoda
Takabeya yang berhubungan dengan portal-portal yang sederhana dengan atau
tanpa mengalami suatu pergoyangan. Diharapkan dari dasar-dasar ini, kita sudah
dapat menghitung besarnya gaya-gaya dalam berupa momen-momen ujung
(momen akhir) dari suatu batang yang menyusun konstruksi portal yang bentuknya
sederhana.
Persamaan - persamaan yang digunakan dalam metoda perhitungan ini
hanya merupakan persamaan dasar dari Takabeya sendiri, dimana persamaan-
persamaan tersebut hanya dapat digunakan khusus untuk portal yang sederhana dan
hal-hal yang berhubungan dengan pergoyangan dalam satu arah saja yaitu
pergoyangan dalam arah horizontal. Mengenai pergoyangan dalam dua arah
( harizontal dan vertikal) persamaan-persamaan dasar yang digunakan dalam teks
ini masih perlu diturunkan lebih lanjut.
76
Untuk menganalisa struktur portal yang sederhana, bab ini memberikan
contoh-contoh perhitungan yang sudah disesuaikan dengan langkah-langkah
perhitungan yang sesuai dengan prosedur perhitungan dalam metoda Takabeya.
Perhitungan-perhitungan yang dimaksudkan di sini adalah hanya sampai pada
bagaimana menentukan momen-momen ujung ( momen akhir ) dari suatu
konstruksi. Mengenai reaksi perletakan tumpuan dan atau gaya-gaya lintang dan
normal yang terjadi dalam suatu penampang batang serta penggambaran diagram
dari gaya-gaya dalam tersebut, sudah dibahas dalam materi perkuliahan pada
Mekanika Rekayasa I dan Mekanika Rekayasa II semester sebelumnya.
PERSAMAAN DASAR METODA TAKABEYA
Dalam perhitungan konstruksi portal dengan metoda Takabeya, didasarkan
pada asumsi-asumsi Bahwa :
a. Deformasi akibat gaya aksial (Tarik dan Tekan) dan gaya geser dalam
diabaikan (= 0 ).
b. Hubungan antara balok-balok dan kolom pada satu titik kumpul adalah kaku
sempurna.
Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka pada titik kumpul akan terjadi
perputaran dan pergeseran sudut pada masing-masing batang yang bertemu yang
besarannya sebanding dengan momen-momen lentur dari masing-masing ujung
batang tersebut. Gambar 4.1 berikut ini, memperlihatkan dimana ujung batang (titik
b) pada batang ab bergeser sejauh '' relatif terhadap titik a. Besarnya momen-
momen akhir pada kedua ujung batang ( M ab dan M ba) dapat dinyatakan sebagai
fungsi dari perputaran dan pergeseran sudut.
77
Gambar 4.1
Kemudian keadaan pada gambar 4.1 tersebut, selanjutnya diuraikan menjadi dua
keadaan seperti terlihat pada gambar 4.2 di bawah ini :
Gambar 4.2
Sehingga menghasilkan suatu persamaan :
M ab = m ab + ab
M ba = m ba + ba
Dari prinsip persamaan Slope Deplection secara umum telah diketahui bahwa :
a = a + ab
b = b + ab dan
a = - + ab x 2
b = - + ab x 1
2a + 2b + 3ab
Sehingga :
m ab = 2 EI/L ( 2a + b - 3ab ) m ba = 2 EI/L ( 2b + a - 3ab )
Jika I/L = K untuk batang ab, maka :
Persamaan 4.1
+
78
m ab = 2 E Kab ( 2a + b - 3ab ) m ba = 2 E Kab ( 2b + a - 3ab )
Masukkan Persamaan 4. 2 ke dalam persamaan 4. 1 , diperoleh :
M ab = 2 E Kab ( 2a + b - 3ab ) + M ba = 2 E Kab ( 2b + a - 3ab ) + Oleh Takabeya, dari persamaan slope deplection ini disederhanakan menjadi :
M ab = kab (2ma + mb + ) + M ba = kba (2mb + ma + ) + Dimana :
ma = 2EKa = -6 EK abmb = 2EKb kab = Kab/K
Keterangan :
M ab, M ba = Momen akhir batang ab dan batang ba (ton m).
ab, ba = Momen Primer batang ab dan batang ba (ton m).
mab, mba = Koreksi momen akibat adanya pergeseran pada titik b sejauh a, b = Putaran sudut pada titik a dan titik b
kab = Angka kekakuan batang ab = K ab / K (m3)
kab = Faktor kekauan batang ab = I/L (m3)
K = Konstanta
ma, mb = Momen parsiil masing-masing titik a dan b akibat putaran sudut
a dan b disebut momen rotasi di titik a dan titik b (ton m).
ab = Momen parsiil akibat pergeseran titik b relatif terhadap titik a
sejauh disebut momen dispalcement dari batang ab (ton m ).
Perjanjian Tanda
Momen ditinjau terhadap ujung batang dinyatakan positif ( + ) apabila
berputar ke kanan dan sebaliknya negatif (- ) apabila berputar ke kiri
Arah momen selalu dimisalkan berputar ke kanan pada tiap-tiap ujung
batang dari masing-masing free body. Apabila ternyata pada keadaan yang
sebenarnya berlawanan (berputar ke kiri), diberikan tanda negatif ( - ) sesuai
dengan perjanjian tanda.
Pers. 4.3
Persamaan 4.4
Persamaan 4.2
79
4. 2 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG TETAP
Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang tetap adalah suatu
portal dimana pada tiap-tiap titik kumpulnya ( titik hubungnya ) hanya terjadi
perputaran sudut, tanpa mengalami pergeseran titik kumpul. Sebagai contoh :
Portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris
Portal dimana baik pada struktur balok maupun kolom-kolomnya disokong oleh
suatu perletakan.
Oleh karena portal dengan titik hubung yang tetap tidak terjadi pergeseran
pada titik-titik hubungnya, maka besarnya nilai momen parsiil akibat pergeseran
titik ( ) adalah = 0. Sehingga rumus dasar dari Takabeya (persamaan 4.4 ) akan
menjadi :
M ab = kab (2ma + mb) + ab M ba = kba (2mb + ma) + ba
Sebagai contoh, penerapan persamaan untuk Takabeya, perhatikan gambar berikut
ini :
Berdasarkan rumus dasar dari Takabeya, maka untuk struktur di atas, diperoleh
persamaan :
M 12 = k 12 (2ml + m2) + 12
M 1A = k 1A (2m1 + mA) + 1A
M 1C = k 1C (2ml + mC) + 1C
M 1E = k 1E (2m1 + mE) + 1E
Keseimbangan di titik 1 = 0 == M1 = 0, sehingga :
Persamaan. 2.5
Persamaan 4.6
80
M12 + M1A + M1C + M1E = 0 Persamaan 4. 7
Dari persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan :
2m1 + +
= 0 Pers. 4.8dimana :
2 = 1 dan = 1
dan
Persamaan 4. 8 di atas dpt ditulis sebagai pers. momen rotasi pada titik kumpul 1
persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan :
1.m1 = - 1 +
m1 = - (1/1) + Persamaan
4.9
Untuk persamaan momen rotasi pada titik kumpul yang lainnya dapat
dicari/ ditentukan seperti pada persamaan 4.9 di atas, dimana indeks/angka pertama
diganti dengan titik kumpul yang akan dicari dan angka kedua diganti dengan titik
kumpul yang berada di seberangnya. Perlu diingat, bahwa pada suatu perletakan
jepit tidak terjadi putaran sudut sehingga besarnya mA = mB = mC = mD = mE = mF =
0
Untuk langkah awal pada suatu perhitungan momen rotasi titik kumpul,
maka titik kumpul yang lain yang berseberangan dengan titik kumpul yang
dihitung, dianggap belum terjadi rotasi. Sehingga :
m1 = m1(0) = -(1 / 1)
m2 = m2(0) = -(2 / 2)
81
m1(1) = -(1/1) +
m1(1) = m1
(0) +
dan seterusnya dilakukan pada titik 2 sampai hasil yang konvergen (hasil-hasil yang
sama secara berurutan pada masing-masing titik kumpul) yang berarti pada masing-
masing titik kumpul sudah terjadi putaran sudut.
Setelah pemberesan momen-momen parsiil mencapai konvergen, maka
untuk mendapatkan momen akhir (design moment), hasil momen parsiil
selanjutnya disubtitusikan dalam persamaan 2. 6 sebagai persamaan dasar. Sebagai
contoh : pemberesan momen parsiil dicapai pada langkah ke-7 maka pada titik
kumpul 1 adalah :
M12 = M12(7) = k12 (2m1
(7) + m2(7)) +
M1A = M1A(7) = k1A (2m1
(7) + ma(7)) +
M1C = M1C(7) = k1C (2m1
(7) + m2(7)) +
M1D = M1E(7) = k1E (2m1
(7) + ma(7)) +
Keseimbangan di titik kumpul 1 = 0 == M1 = 0
M12 + M1A + M1C + M1E = 0
Apabila M1 ≠ 0, maka momen-momen perlu dikoreksi.
Koreksi momen akhir :
M12 = M12 ± [( k12 / ( k12 + k1A + k1C + k1E )) x M]
Berikut ini diberikan beberapa contoh/kasus pada suatu konstruksi portal dengan
titik kumpul yang tetap.
Contoh 1 : Hitung momen akhir dan reaksi perletakan dengan metode Takabeya
82
Penyelesaian:
A.Menghitung Momen-momen Parsiil.
1. Hitung Angka Kekakuan Batang (k)
K1A = I/H = 1/4 = 0,2500 m3
K12 = I/L = 1/6 = 0,1667 m3
K2B = I/H = 1/4 = 0,2500 m3
==Konstanta K diambil =1 m3
Jadi :
k1A = K1A/K = 0,2500, k12 = K12/K = 0,1667, k2B = K2B/K = 0,2500
2. Hitung Nilai p tiap titik hubung :
1 = 2 (k1A+ k12 ) = 2 ( 0,2500 + 0,1667) = 0,8333
2 = 2 ( k12 + k2B ) = 2 ( 0,1667 + 0,2500 ) = 0,8333
3. Hitung Nilai (Koefisien Rotasi) batang :
1A = k1A / 1 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3
12 = k12 / 1 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2
21 = k21 / 2 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2
2B = k2B / 2 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3
4. Hitung Momen Primer ( ) :
= - (1/12.q .L2 + /8 . P.L) = -(1/12.3.62+1/8.4.6) = -12 tm
= 12 tm
5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung () :
1 = + = -12 + 0 = -12 tm
83
2 = + = 12 + 0 = 12 tm
6. Hitung Momen rotasi Awal (m0)
m10 = - (1 / 1) = - (- 12 / 0,8333 ) = 14,40 tm
m20 = - (2 / 2) = - (12 / 0,8333) = -14,40 tm
B. Pemberesan Momen-momen Parsiil
Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik
1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara beraturan.
Langkah 1 m1
1 = m10 + (-12 . m2
0) = 14,40 + (-0,2 . 14,400) = 11,520 m2
1 = m20 + (-21 . m2
1) = -14,40 + (-0,2 . 11,520) = -16,704
Langkah 2 m1
2 = m10 + (-12 . m2
1) = 14,40 + (-0,2 . -16,704) = 17,741 m2
2 = m20 + (-21 . m1
2) = -14,40 +(- 0,2 . 17,741 ) = -17,948
Langkah 3 m1
3 = m10 + (-12 . m2
2) = 14,40 + (-0,2 . -17,948) = 17,990 m2
3 = m20 + (-21 . m1
3) = -14,40 + (-0,2 . 17,990) = -17,998
Langkah 4 m1
4 = m10 + (-12 . m2
3) = 14,40 + (-0,2 . - 17,998)= 18,000 m2
4 = m20 + (-21 . m1
4) = -14,40 + (-0,2 . - 17,998)= -18,000
Langkah 5 m1
5 = m10 + (-12 . m2
4) = 14,40 + (-0,2 . -18,000) = 18,000 m2
5 = m20 + (-21 . m1
5) = -14,40 + (- 0,2 . 18,000 )= - 18,000
C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
M12 = M12(5) = k12 (2m1
(5) + m2(5)) +
= 0,16667 (2. 18,000 + -18,000) + (-12) = -9,000 tm
M1A = M1A(5) = k1A (2m1
(5) + mA(5)) +
= 0,2500 (2. 18,000 + 0 ) + 0 = 9,000 tm
M21 = M21(5) = k21 (2m2
(5) + m1(5)) +
= 0,16667 (2.-18,000 + 18,000) + (12) = 9,000 tm
M2B = M2B(5) = k2B (2m2
(5) + mB(5)) +
= 0,2500 (2.-18,000 + 0 ) + 0 = -9,000 tm
MA1 = MA1(5) = kA1 (2mA
(5) + m1(5)) +
= 0,2500 ( 2.0 + 18,000) + ( 0 ) = 4,5000 tm
84
MB2 = M B2(5) = kB2 (2mB
(5) + m2(5) ) +
= 0,2500 ( 2.0 + -18,000) + (0) = -4,5000 tm
Catatan : Oleh karena pada suatu perletakan jepit tidak terjadi perputaran
sudut, maka besarnya nilai mA = mB = 0.
Diagram Fase Body Momen Struktur.
Reaksi Perletakan :
M1 = 0 ( tinjau batang 1 A )
HA = HA1 = (MA1 + M1A) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah ==)
M2 = 0 ( tinjau batang 2 B )
HB =HB2 = (MB2 + M2B) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah == )
M2 = 0 ( tinjau batang 1 2 )
V12 . 6 - P . 3 – ½ q L2 + M21 – M12 = 0
V12 = (P . 3 + ½ q L2 - M21 – M12) / 6
V12 = (4 . 3 + ½ . 3 . 62 - 9,000 + 9,000 ) / 6 = 11,000 ton
VA = VA1 = V12 = 11,000 ton
85
M1 = 0 ( tinjau batang 1 2 )
-V21 . 6 + P . 3 + ½ q L2 + M21 – M12 = 0
V21 = ( P . 3 + l/2 q L2 + M21 – M12 ) / 6
V21 = ( 4 . 3 + ½ . 3 . 62 + 9,000 - 9,000 ) / 6 = 11,000 ton
VB = VB2 = V21 = 11,000 ton
Catatan : Arah momen pada diagram freebody di atas sudah merupakan arah
yang sebenarnya, sehingga nilai momen yang digunakan dalam perhitungan sudah
merupakan nilai positif (+).
Contoh 2 :
Suatu portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris, seperti gambar disamping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan ( setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )
k1A = k16 = k3C = k34 = 1k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75k2B = k25 = 1,5
Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya.
Penyelesaian :
A. Menghitung momen-momen parsiil.
1. Angka kekakuan batang (diketahui)
2. Nilai tiap titik hubung
1 = 2 ( 1+0,75+ 1) = 5,5 2 = 2 (1,5 + 0,75 + 1,5 + 0,75) = 93 = 2 (l + 0,75 + l) = 5,5 4 = 2 (l+0,75) = 3,55 = 2 (1,5 + 0,75 + 0,75 ) = 6
6 = 2 (l+0,75) = 3,5
3. Nilai (koefisien rotasi) batang pada titik hubung
1A =1/5,5 = 0,1818 2B= 1,5/9 = 0,16673C = 1/5,5 = 0,1818 12 = 0,75/5,5 = 0,1364 21 = 0,75 / 9 = 0,0833
86
32 = 0,75/5,5 = 0,1364 23 = 0,75 / 9 = 0,083316 = 1/5,5 = 0,1818 61 = 1/3,5 = 0,285743 = 1/3,5 = 0,2857 34 = 1/5,5 = 0,181852 = 1,5 /6 = 0,2500 25 = 1,5 / 9 = 0,166745 = 0,75/3,5 = 0,2143 54 = 0,75 /6 = 0,125065 = 0,75/3,5 = 0,2143 56 = 0,75 /6 = 0,1250
4. Momen primer batang ( ) = -l/12 .6 .52 = -12,5 tm = -l/12 . 6.52 = -12,5 tm = 12,5 tm = 12,5 tm = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm = 6,25 tm = 6,25 tm
5. Jumlah momen primer tiap titik hubung ()1 = 0 + (-12,5) + 0 = -12,5 4 = 0 +6,25 = 6,252 = 0 + 12,5 + (-12,5) + 0 = 0 5 = 0 +(-6,25) +6,25 = 03 = 0 + 12,5 + 0 = 12,5
6. Momen rotasi awal (m m1
0 = -(-12,5/5,5) = 2,2727 m40 = -(6,25/3,5) = -1,7857
m20 = - (0 / 9 ) = 0 m5
0 = - ( 0 / 5,5) = 0m3
0 = -(12,5/5,5) = -2,2727 m60 = -(-6,25/3,5) =1,7857
B. Pemberesan Momen Parsiil.
Pemberesan momen parsiil dimulai secara berurutan mulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6) dan kembali ke titik (1), (2), (3), (4), (5) dan seterusnya.
m11 = + m1
0 = 2,2727= + (-12) (m2
0) (-0,1364) ( 0 ) = 0= + (-16) (m6
0) (-0,1818) ( 1,7857 ) = -0,3246m1
1 = 1,9481
m21 = + m2
0 = 0= + (-21) (m1
1) (-0,0833) ( 1,9481 ) = -0,1623= + (-23) (m3
0) (-0,0833) ( -2,2727 ) = 0,1893= + (-25) (m5
0) (-0,1667) ( 0 ) = 0m2
1 = 0,027
m31 = + m3
0 = -2,2727 = + (-32) (m2
1) (-0,1364) ( 0,027 ) = -0,0037
87
= + (-34) (m40) (-0,1818) ( -1,7857 ) = 0,3246
m31 = -1,9517
m41 = + m4
0 = -1,7857 = + (-43) (m3
1) (-0,2857) ( -1,9517 ) = 0,5576= + (-45) (m5
0) (-0,2143) ( 0 ) = 0m4
1 = -1,2281
m51 = + m5
0 = 0 = + (-54) (m4
1) (-0,1250) ( -1,2281 ) = 0,1535= + (-52) (m2
1) (-0,2500) ( 0,0270 ) = -0,0068= + (-56) (m6
0) (-0,1250) ( 1,7857 ) = -0,2232m5
1 = -0,0765
m61 = + m6
0 = 1,7857 = + (-65) (m5
1) (-0,2143) ( -0,0765 ) = 0,0164= + (-61) (m1
1) (-0,2857) ( 1,9481 ) = -0,5566m6
1 = 1,2455
Untuk selanjutnya berikut ini diperlihatkan perhitungan secara skematis:
m60 = 1.7857 m5
0 = 0.0000 m40 = -1.7857
m61 = 1.2455 m5
1 = -0.0765 m41 = -1.2281
m62 = 1.2041 m5
2 = -0.0090 m42 = -1.1836
m63 = 1.1994 m5
3 = -0.0013 m43 = -1.1959
m64 = 1.1988 m5
4 = -0.0003 m44 = -1.1982
m65 = 1.1987 m5
5 = -0.0001 m45 = -1.1986
m66 = 1.1987 m5
6 = 0.0000 m46 = -1.1986
m67 = 1.1986 m5
7 = 0.0000 m47 = -1.1986
m68 = 1.1986 m5
8 = 0.0000 m48 = -1.1986
-0.21436
-0.2
857
-0.12505
-0.2
500
-0.1250 4
-0.2
857
-0.2143
1 2 3-0.1364
-0.1
818
-0.0833
-0.1
667
-0.0833
-0.1
818
-0.1364
-0.1
818
-0.1
667
-0.1
818
A B C
88
m10 = 2.2727 m2
0 = 0.0000 m30 = -2.2727
m11 = 1.9481 m2
1 = 0.0270 m31 = -1.9517
m12 = 2.0426 m2
2 = 0.0052 m32 = -2.0501
m13 = 2.0531 m2
3 = 0.0013 m33 = -2.0577
m14 = 2.0545 m2
4 = 0.0005 m34 = -2.0554
m15 = 2.0547 m2
5 = 0.0001 m35 = -2.0549
m16 = 2.0548 m2
6 = 0.0000 m36 = -2.0548
m17 = 2.0548 m2
7 = 0.0000 m37 = -2.0548
m18 = 2.0548 m2
8 = 0.0000 m38 = -2.0548
C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil secara skematis pada
halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 8 , dengan nilai-nilai
sebagai berikut:
m18 = 2,0548 m2
8 = 0,0000 m38 = -2,0548
m48 = -1,1986 m5
8 = 0,0000 m68 = 1,1986
Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya
dilakukan sebagai berikut:
Titik. 1
M1A = k1A (2m1(8) + mA
(8)) + = 1 (2 . 2,0548 + 0 ) + 0 = 4,1096 tm M12 = k12 (2m1
(8) + m2(8)) + = 0,75 (2 . 2,0548 + 0 ) + (-12,50) = -9,4178 tm
M16 = k16 (2m1(8) + m6
(8)) + = 1 (2 . 2,0548 + 1,1986 ) + 0 = 5,3082 tm M = 0 tm
Titik. 2
M2B = k2B (2m2(8) + mB
(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm M21 = k21 (2m2
(8) + m1(8)) + = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + 12,50 = 14,0411 tm
M23 = k23 (2m2(8) + m3
(8)) + = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + (-12,50) =-14,0411 tm M25 = k25 (2m2
(8) + m5(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm
M = 0 tmTitik. 3M3C = k3C (2m3
(8) + mC(8)) + = 1 (2 .(-2,0548) + 0)) + 0 = -4,1096 tm
M32 = k32 (2m3(8) + m2
(8)) + = 0,75 (2 .(-2,0548) + 0) + 12,50 = 9,4178 tm M34 = k34 (2m3
(8) + m4(8)) + = 1 (2 .(-2,0548) + (-1,1986)) + 0 =-5,3082 tm
89
M = 0 tmTitik. 4M43 = k43 (2m4
(8) + m3(8)) + = 1 (2 .(-1,1986) + (-2,0548)) + 0 = -4,4520 tm
M45 = k45 (2m4(8) + m5
(8)) + = 0,75 (2 .(-1,1986) + 0) + 6,25 = 4,4520 tm M = 0 tm
Titik. 5M52 = k52 (2m5
(8) + m2(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm
M54 = k54 (2m5(8) + m4
(8)) + = 0,75 (2 .0 + (-1,1986)) + (-6,250) = -7,1490 tm M56 = k56 (2m5
(8) + m6(8)) + = 0,75 (2 .0 + 1,1986) + 6,250 = 7,1490 tm
M = 0 tmTitik. 6M61 = k61 (2m6
(8) + m1(8)) + = 1 (2 . 1,1986 + 2,0548) + 0 = 4,4520 tm
M65 = k65 (2m6(8) + m5
(8)) + = 0,75 (2 . 1,1986 + 0) + (-6,25) = -4,4520 tm M = 0 tm
Titik. AMA1 = kA1 (2mA
(8) + m1(8)) + = 1 (2 . 0 + 2,0548 ) + 0 = 2,0548 tm
Titik. BMB2 = kB2 (2mB
(8) + m2(8)) + = 1,5 (2 . 0 + 0 ) + 0 = 0
tm
Titik. CMC3 = kC3 (2mC
(8) + m3(8)) + = 1 (2 . 0 + (-2,0548)) + 0 = -2,0548 tm
Gambar diagram freebody moment
90
Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya
Analisa sumbu simetri dari suatu struktur dan pembebanan yang simetris.
Suatu struktur dengan pembebanan yang simetris dapat dianalisa sebagian
dari struktur tersebut berdasarkan sumbu simetrinya. Untuk analisa seperti ini,
tergantung apakah sumbu simetri dari struktur tersebut tepat berada pada tumpuan /
kolom tengah (bentangan genap) atau sumbu simetri berada pada bentangan tengah
(bentangan ganjil).
Untuk struktur dengan bentang genap, persamaan-persamaan yang ada pada
halaman depan dapat digunakan sedangkan untuk struktur dengan bentangan ganjil,
persamaan yang ada tersebut, haruslah dikoreksi terutama pada hal-hal yang
berhubungan dengan bentangan tengah tersebut.
Berikut ini diperlihatkan satu contoh struktur dengan bentangan ganjil,
angka- angka kekakuan batang langsung pada masing-masing batang pada gambar
di bawah ini. Untuk dapat memahami analisa seperti ini, coba perhatikan langkah-
langkah penyelesaian yang akan diuraikan sebagai berikut :
Contoh. 3 :
91
A. Menghitung Momen Parsiil.
1. Angka Kekakuan (k) = diketahui (lihat gambar)
2. Hitung Nilai tiap titik hubung.
1 = 2 (k1A + k12) = 2 (1 + 1,5) = 5
2 = 2(k21+k2B+k23) = 2(1,5 +1+1,5) = 8 p’2 = 2 – k23 = 6,5
3. Hitung Nilai (Koefisien rotasi) batang.
1A = k1A/1 = 1/5 = 0,200
12 = kl2/1 = 1,5/5 = 0,300
’21 = k21/’2 = 1,5/6,5 = 0,231
’2B = k2B/’2 = 1/6,5 = 0,154
’23 = k23/’2 = 1,5/6,5 = 0,231
4. Hitung Momen Primer ( )
= -1/12 . q . L2 = -1/12 . 3 . 42 = -4 tm = 4 tm
= -1/8 P. L = -1/8 . 4 . 3 = -1,5 tm =1,5 tm
5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung ( )
1 = + = -4 + 0 = -4 tm
2 = + + = 4 + 0+ (-1,5) = 2,5 tm
6. Hitung Momen rotasi Awal ( m0)
m10 = -(1 / 1) = - (-4 / 5) = 0,8000 tm
m20 = -(2 / ’2) = - (2,5 / 6,50) = -0,3846 tm
B. Pemberesan Momen-momen Parsiil
Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik
1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara berurutan.
Langkah 1
m11 = m1
0 + (-12 . m20) = 0,800 + (-0,3 .(-0,3846)) = 0,91538
92
m21 = m2
0 + (-21 . m11) =-0,3846 + (-0,231 .0,91538) = -0,59605
Langkah 2
m12 = m1
0 + (-12 . m21) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,59605)) = 0,97882
m22 = m2
0 + (-’21 . m12) =-0,3846 + (-0,231 . 0,97882) = -0,61071
Langkah 3
m13 = m1
0 + (-12 . m22) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321
m23 = m2
0 + (-’21 . m13) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98321) = -0,61172
Langkah 4m1
4 = m10 + (-12 . m2
3) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321 m2
4 = m20 + (-’21 . m1
4) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98351) = -0,61179Langkah 5
m15 = m1
0 + (-12 . m24) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61179)) = 0,98354
m25 = m2
0 + (-’21 . m15) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180
Langkah 6m1
6 = m10 + (-12 . m2
5) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354m2
6 = m20 + (-’21 . m1
6) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180Langkah 7
m17 = m1
0 + (-12 . m26) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354
m27 = m2
0 + (-’21 . m17) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180
C. Perhitungan Momen Akhir (design moment)
Titik. 1M1A = k1A (2m1
(7) + mA(7) + = 1 (2 . 0,98354 + 0) + 0 = 1,96708tm
M12 = k12(2m1(7)+ m2
(7)+ =1,5(2 .0,98354+(-0,61180)+(-4) = -1,96708 tm M = 0 tm
Titik. 2M21 = k21(2m2
(7) + m1(7) + = 1,5 (2 .(0,6118)+ 098354) + 4 = 3,63991 tm
M2B = k2B (2m2(7) + mB
(7) + = 1 (2 . (-0,6118) + 0) + 0 = -1,22360 tm M23 = k23 (m2
(7) + = 1,5 (-0,6118) + (-1,5) = -2,41770 tm M = -0,00139 tm
Pada titik 2 perlu koreksi momen sebagai berikut:
M21 = 3,63991 – (1,5 / 4) . (-0,00139) = 3,64043M2B =-1,22360 – (1 / 4) . (-0,00139) = -1,22325 M = 0 tmM23 =-2,41770 – (1,5 / 4) . (-0,00139) = -2,41718
MA1 = kA1 (2mA(7) + m1
(7) + = 1 (2 . 0 + 0,98354) + 0 = 0,98354tm
93
MB2 = kB2 (2mB(7) + m2
(7) + = 1 (2 . 0 + (-0,61180)) + 0 = -0,61180 tm
Catatan:Harga-harga momen akhir ( design moment ) pada bagian kanan sumbu simetri hasilnya sama simetris dengan sebelah kiri sumbu simetri ( sama besar tetapi mempunyai arah yang berlawanan).
Perhatikan diagram free body pada halaman berikut ini:
Gambar diagram freebody moment
94
Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya
95
4.3 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG BERGERAK
Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang bergerak adalah
portal dimana pada masing-masing titik hubungnya terjadi perputaran sudut dan
pergeseran (pergoyangan). Umumnya suatu konstruksi portal bertingkat
mempunyai pergoyangan dalam arah horizontal saja. Beban-beban horizontal yang
bekerja pada konstruksi, dianggap bekerja pada regel-regel (pertemuan balok
dengan kolom tepi) yang ada pada konstruksi tersebut. Untuk menganalisa
konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak, persamaan-persamaan 4.1
sampai dengan persamaan 4.4 pada halaman depan tetap digunakan. Disamping
persamaan-persamaan tersebut, persamaan-persamaan yang berhubungan dengan
pengaruh pergoyangan berikut ini juga akan sangat membantu dalam penyelesaian
dari struktur portal bergoyang tersebut.
Momen Displacement ( ).
Besarnya nilai dipengaruhi oleh jumlah tingkat yang ada pada struktur
portal. Coba perhatikan portal (gambar 4.4), dengan freebody tingkat atas dan
bawah pada gambar 4.4a dan 4.4b berikut ini :
Gambar 4.4
96
Dari freebody pada gbr 4.4a dan 4.4b, diperoleh persamaan sebagai berikut :
Freebody 4-5-6 H=0 W1 = H4+ H5+ H6 ----- Pers. 4.11
Freebody 1-6 M6 = 0 + h1 . H6 = 0 ----- Pers. 4.12
Freebody 2-5 M5 = 0 + h1 . H5 = 0 ----- Pers. 4.13
Freebody 3-4 M4 = 0 + h1 . H4 = 0 ----- Pers. 4.14
Dari persamaan 4.11 s/d 4.14, diperoleh :
+ + + h1 . (W1) = 0 ----- Pers. 4.15
Bila dimasukkan harga-harga pada persamaan 4.4, maka : M61 = k16 (2m6 + m1 + )M16 = k16 (2m1 + m6 + )
= 3 k16 { m1 + m6 } + 2 k16. -------- Persamaan 4.16a
= 3 k25 { m2 + m5 } + 2 k25. -------- Persamaan 4.16b
= 3 k34 { m3 + m4 } + 2 k34. -------- Persamaan 4.16c
Catatan : = m16 = m25 = m34
Dari persamaan 2.16a, 2.16b, 2.16c, maka persamaan 2.15 dapat dituliskan menjadi:
2 = -h1 (W1) + ---- Pers. 2.17
Jika : = t16
2 = TI dan = t25 ------- Pers. 4.18
= t34
Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:
= - ------- Persamaan 4.19
Persamaan 4. 19 disebut persamaan momen displacement pada tingkat atas.
97
Langkah perhitungan untuk momen displacement dilakukan pertama-tama dengan
anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m4 = m5 =
m6 = 0) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.19 ) menjadi :
= - -------- Persamaan 4.20
Dengan cara yang sama ( lihat gambar 2.4c ), maka persamaan momen
displacement untuk tingkat bawah akan diperoleh :
2 = -h2 (W1 +W2)+ ----- Pers. 4.21
Jika :
= t1A
2 = TII dan = t2B -------- Pers. 4.22
= t3C
Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:
= - ------ Persamaan 4.23
Persamaan 4. 23 tersebut di atas disebut persamaan momen displacement pada
tingkat bawah. Langkah perhitungan untuk momen displacement ini dilakukan
pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi
perputaran sudut (m1= m2 = m3 = 0) dan pada titik A, B, C dengan mA, mB dan mC
sama dengan 0 ( nol ) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.23 ) menjadi:
= - -------- Persamaan 4.24
Berikut ini diperlihatkan contoh penerapan persamaan-persamaan dari takabeya
serta analisa / penyelesaian contoh soal yang ada.
Contoh. 4 :
98
Suatu portal dengan struktur dan pembebanan seperti gambar di samping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan (setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )
k1A= k16 = k30 = k34 = 1k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75k2B = k25 = 1,5
Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya.
Penyelesaian:
A. Menghitung momen-momen parsiil.
1. Angka kekakuan batang (diketahui pada gambar struktur)
2. Nilai , , M primer, dan momen rotasi awal (m0)
perhitungan dapat anda lihat pada contoh. 2 sebelumnya :
1 = 5,5 3 = 5,5 5 = 62 = 9 4 = 3,5 6 = 3,5
1A = 0,1818 2B = 0,1667 23 = 0,0833 3C = 0,181812 = 0,1364 21 = 0,0833 25 = 0,1667 32 = 0,136416 = 0,1818 34 = 0,1818
= -12,5 tm = -12,5 tm = -6,25 tm = -6,25 tm= 12,5 tm = 12,5 tm = 6,25 tm = 6,25 tm
1 = -12,5 3 = 12,5 5 = 02 = 0 4 = 6,25 6 = -6,25
m10 = 2,2727 m3
0 = -2,2727 m50 = 0
m20 = 0 m4
0 = -1,7857 m60 = 1,7857
B. Momen Displacement.
Tingkat atas TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7t16 = 3 k16 / TI = 3.1/7 = 0,4286 t25 = 3 k25 / TI = 3.1,5/7 = 0,6429 t34 = 3 k34 / TI = 3.1/7 = 0,4286
99
= -(W1 . h1) / TI = -(1,2 . 4) / 7 = -0,6857
Tingkat atas TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7t1A = 3 k1A / TII = 3.1/7 = 0,4286 t2B = 3 k2B / TII = 3.1,5/7 = 0,6429 t3C = 3 k3C / TII = 3.1/7 = 0,4286
= -{h2 (W1 + W2)} / TII = -{4 (1,2 + 2)} / 7 = -1,8286
C. Pemberesan momen parsiil, Momen displacement Perbesaran momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3),
(4), (5), (6)dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. m1
1 = + m10 = 2,27270
= + (-1A) ( ) (-0,1818) (-1,8286) = 0,33244
= + (-12) ( ) (-0,1364) (0) = 0
= + (-16) ( + ) (-0,1818) {1,7857 +(-0,6857)} = -0,19998m1
1 = 2,40516
m21 = + m2
0 = 0
= + (-21) ( ) (-0,0833) (2,40516) = -0,20035
= + (-2B) ( ) (-0,1667) (-1,8286) = 0,30482
= + (-23) ( (-0,0833) (-2,2727) = 0,18932
= + (-25) ( + ) (-0,1667) {0 +(-0,6857)} = -0,11431m2
1 = 0,40810
m31 = + m3
0 = 2,27270
= + (-32) ( ) (-0,1364) (0,40810) = -0,05566
= + (-3C) ( ) (-0,1818) (-1,8286) = 0,33244
= + (-34) ( + ) (-0,1818) {(-1,7857) +(-0,6857)} = 0,44930
m31 = -1,54662
m41 = + m4
0 = -1,78570
= + (-43) ( + ) (-0,2857) {(-1,54662) +(-0,6857)} = 0,63777
= + (-45) ( ) (-0,2143) (0) = 0m4
1 = -1,14792
m51 = + m5
0 = 0
= + (-54) ( ) (-0,1250) (-1,14792) = -0,14349
100
= + (-52) ( + ) (-0,2500) {(0,40810) + (-0,6857)} = 0,06940
= + (-56) ( ) (-0,1250) (1,7857) = -0,22321
m51 = -0,01032
m61 = + m6
0 = 1,78570
= + (-65) ( ) (-0,2143) (-0,01032) = 0,00221
= + (-61) ( + ) (-0,2857) {(2,40516) + (-0,6857)} = -0,49125
m61 = 1,29666
Untuk pemberesan momen displacement langkah 1, sebaiknya digunakan
nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil langkah 1. Seperti yang dilakukan
sebagai berikut :
Tingkat atas : Langkah. 1
= + = -0,68570
+(-t16) ( + ) = (-0,4286)(2,40516 +1,29666) = -1,58660
+(-t25) ( + ) = (-0,6429)(0,40810 - 0,01032) = -0,25573
+(-t34) ( + ) = (-0,4286) -1,54662 - 1,14792) = 1,15488
= -1,37315
Tingkat bawah : Langkah 1
= + = -0,82860
+ (-t1A) ( ) = (-0,4286) (2,40516) = -1,03085
+ (-t2B) ( ) = (-0,6429) (0,40810) = -0,26237
+ (-t3C) ( ) = (-0,4286) (-1,54662) = 0,66288
= -2,45894
Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-l selesai, maka
dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada
langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3, 4, 5 dan titik 6 kemudian
pemberesan momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 .
Demikian seterusnya sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang
diperlihatkan pada skema perhitungan pada halaman berikut ini.
Catatan :
101
Sebenarnya, pemberesan rotasi momen parsiil dan rotasi momen
displacemen tingkat, tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul
konvergen, akan tetapi apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi
momen sudah dapat dihentikan. Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan
momen pada suatu titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan
mendistribusikannya ke batang-batang bersangkutan.
102
Perhitungan secara skematis dilakukan sesuai dengan rumusan yang telah dijelaskan/
diuraikan sebelumnya, seperti berikut ini:
= -0.68570 m60 = 1.78570 m5
0 = 0.00000 m40 =-1.78570
= -1.37315 m61 = 1.29666 m5
1 =-0.01032 m41 =-1.14792
= -1.84463 m62 = 1.37711 m5
2 = 0.16704 m42 = -0.97924
= -2.09335 m63 = 1.46663 m5
3 = 0.24751 m43 = -0.90842
= -2.21999 m64 = 1.51782 m5
4 = 0.28398 m44 = -0.86901
= -2.28394 m65 = 1.54446 m5
5 = 0.30162 m45 = -0.84774
= -2.31610 m66 = 1.55802 m5
6 = 0.31036 m46 = -0.83674
= -2.33225 m67 = 1.56488 m5
7 = 0.31472 m47 = -0.83115
= -2.34034 m68 = 1.56832 m5
8 = 0.31689 m48 = -0.82834
= -2.34439 m69 = 1.57005 m5
9 = 0.31799 m49 = -0.82692
= -2.34642 m610 = 1.57092 m5
10 = 0.31853 m410 = -0.82621
= -2.34744 m611 = 1.57136 m5
11 = 0.31880 m411 = -0.82586
= -2.34795 m612 = 1.57157 m5
12 = 0.31894 m412 = -0.82568
= -2.34821 m613 = 1.57168 m5
13 = 0.31901 m413 = -0.82559
= -2.34833 m614 = 1.57174 m5
14 = 0.31904 m414 = -0.82555
= -2.34840 m615 = 1.57176 m5
15 = 0.31906 m415 = -0.82553
= -2.34843 m616 = 1.57178 m5
16 = 0.31907 m416 = -0.82551
= -2.34845 m617 = 1.57179 m5
17 = 0.31907 m417 = -0.82551
= -2.34845 m618 = 1.57179 m5
18 = 0.31908 m418 = -0.82551
= -2.34846 m619 = 1.57179 m5
19 = 0.31908 m419 = -0.82550
= -2.34846 m620 = 1.57179 m5
20 = 0.31908 m420 = -0.82550
= -1.82860 m10 = 2.27270 m2
0 = 0.00000 m30 = -2.27270
= -2.45894 m11 = 2.40516 m2
1 = 0.40810 m31 = -1.54662
= -2.70961 m12 = 2.67797 m2
2 = 0.54629 m32 = -1.44185
= -2.83788 m13 = 2.77579 m2
3 = 0.62023 m33 = -1.35131
= -2.90224 m14 = 2.81797 m2
4 = 0.65860 m34 = -1.30089
= -2.93432 m15 = 2.83815 m2
5 = 0.67848 m35 = -1.27604
= -2.95033 m16 = 2.84805 m2
6 = 0.68865 m36 = -1.26383
= -2.95834 m17 = 2.85296 m2
7 = 0.69380 m37 = -1.25778
= -2.96235 m18 = 2.85540 m2
8 = 0.69640 m38 = -1.25476
= -2.96435 m19 = 2.85662 m2
9 = 0.67770 m39 = -1.25325
= -2.96536 m110 = 2.85723 m2
10 = 0.69835 m310 = -1.25249
= -2.96586 m111 = 2.85753 m2
11 = 0.69867 m311 = -1.25211
A B C
-0.21436-0
.285
75 4
1 2 3
-0.1250 -0.1250 -0.214
-0.2
500
-0.2
857
-0.6
429
-0.4
286
-0.4
286
-0.6
429
-0.4
286
-0.4
286
-0.1364 -0.136-0.0833 -0.0833
-0.1
667
-0.1
667
-0.1
818
-0.1
818
-0.1
818
-0.1
818
103
= -2.96611 m112 = 2.85769 m2
12 = 0.69884 m312 = -1.25192
= -2.96624 m113 = 2.85776 m2
13 = 0.69892 m313 = -1.25183
= -2.96630 m114 = 2.85780 m2
14 = 0.69896 m314 = -1.25178
= -2.99634 m115 = 2.85782 m2
15 = 0.69898 m315 = -1.25176
= -2.96635 m116 = 2.85783 m2
16 = 0.69899 m316 = -1.25174
= -2.96636 m117 = 2.85784 m2
17 = 0.69900 m317 = -1.25174
= -2.96636 m118 = 2.85784 m2
18 = 0.69900 m318 = -1.25173
= -2.96637 m119 = 2.85784 m2
19 = 0.69900 m319 = -1.25173
= -2.96637 m120 = 2.85784 m2
20 = 0.69900 m320 = -1.25173
104
D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement
secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke -
20, dengan nilai-nilai sebagai berikut:
m120 = 2,85784 m2
20 = 0,69900 m320 = -1,25173 = -2,34846
m420 = -0,82550 m5
20 = 0,31908 m620 = 1,57179 = -2,96637
Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya
dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 2. 4 pada halaman depan)
Titik. 1
M1A = k1A (2m1(20) + ) +
= 1 {(2 . 2,85784 + (-2,96637)} + 0 = 2,74931 tm M12 = k12 (2m1
(20) + m2(20)) +
= 0,75 (2 . 2,85784 +0,699) + (12,50) = -7,68899 tm
M16 = k16 (2m1(20) + m6
(20)) + + = 1 {(2 .+ 2,85784 + 1,57179+(-2,348646)}0 = 4,93901 tm M = 0,00067 tmTitik. 2
M21 = k21 (2m2(20) + ) +
= 0,75 {2 . 0,699+2,85784}+ 12,50 = 15,69188 tm
M2B = k2B (2m2(20) + ) +
= 1,5 {2 . 0,699+(-2,96637)} + 0 = -2,35256 tm M23 = k23 (2m2
(20) + m3(20)) +
= 0,75 {2 . 0,699+(-1,25173)}+(-12,50) = -12,39030 tm
M25 = k25 (2m2(20) + m5
(20)) + )+ = 1,5 {2 . 0,699+0,31908+(-2,34846)}+0 = -0,94707 tm M = 0,00195 tmTitik. 3
M3C = k3C (2m3(20) + ) +
= 1 {2(-1,25173)+(- 2,96637)} + 0 = -5,46983 tm M32 = k32 (2m3
(20)+m2(20) +
= 0,75 {2 (-1,25173)+0,699} + 12,50 = 11,14666 tm
M34 = k34 (2m3(20) + m4(20) + )+
= 1{2(-1,25173)+(-0,82550)+(-2,34846)}+0 = -5,67742 tm M = -0,00059 tmTitik. 4
M43 = k43 (2m4(20) + m3
(20) + )+ = 1 {2(-0,8255)+(- 1,25173) +(-2,34846)}+0 = -5,25119 tm M45 = k45 (2m4
(20)+m5(20) +
= 0,75 {2 (-0,8255)+0,31908} + 6,25 = 5,25106 tm M = -0,00013 tm
105
Titik. 5
M52 = k52(2m5(20) + m2
(20) + )+ = 1,5{2.0,31908+0,699+(-2,34846)}+ 0 = -1,51695 tm M54 = k54 (2m5
(20)+m4(20) +
= 0,75 {2 .0,31908)+(-0,8255)}+(-6,25) = -6,39051 tmM56 = k56 (2m5
(20)+m6(20) +
= 0,75 {2 .0,31908)+1,57179) + 6,25 = 7,90746 tm M = 0,00000 tmTitik. 6
M61 = k61(2m6(20) + m1
(20) + )+ = 1{2.1,57179+2,85784+(-2,34846)}+ 0 = 3,65296 tm M65 = k65 (2m6
(20)+m5(20) +
= 0,75 {2 .1,57179 +0,31908)+(-6,25) = -3,65300 tm M = -0,00004 tmDengan M yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen-momen ujung
tersebut di atas tidak perlu dikoreksi ======= M 0
Titik. A
MA1 = kA1 (2mA(20) + m1
(20) + + = 1{2.0 + 2,85784+(-2,96637)}+0 = -0,10853 tm
Titik. B
MB2 = kB2 (2mB(20) + m2
(20) + + = 1,5 (2.0 + 0,699 +(-2,96637)}+0 = -3,40106 tm
Titik. C
MC3 = kC3 (2mC(20) +m3
(20) + + =1{2.0 +(-1,25173)+(-2,96637)}+0 = -4,21810 tm
Gambar diagram freebody moment
106
Kontrol H = 0
-1/h2 - (W1 + W2) = 0
-1/4 - (1,2 + 2) = 0
-0,25 { 2,64078 + (-5,75362 + (-9,68793)} - (3,2) = 0
0,00019 0 Ok
Konstruksi dengan sokongan sendi.
Untuk konstruksi dengan sokongan sendi pada salah satu titik perletakannya, maka
batang-batang yang berkumpul atau bertemu pada salah satu titik kumpul yang
berhubungan dengan perletakan sendi tersebut, maka nilai p digunakan adalah ’
dimana :
’ = - 1/2 k batang yang ujungnya sendi.
Dan batang yang ujungnya sendi = ½ k batang yang ujungnya sendi / ’
Disamping itu, untuk batang yang ujungnya berupa sendi, dimana ada momen
primer, maka pada perletakan sendi tersebut dianggap sebagai perletakan jepit dan
momen-momen primernya disebut
Sebagai contoh:
Sehingga = -1/12 . q . L2 = 1/12 . q . L2
= - ½
dan yang digunakan adalah ’, dimana ’1 = + + +
sehingga Momen rotasi awal m(0) = -’1/’1
dan design moment adalah M1A = k1A (3/2 m1(X)) + untuk balok 1A dan sendi
di titik A serta M1A= k1A(3/2m1(X)+½ + ) + utk kolom1A sendi di titik A.
jika diperlukan koreksi momen akibat adanya M, maka
107
M1A=M1A(X)-(3/4 k1A / ½ ’1)M dititik 1 ¾ : faktor sendi.
Sebagai contoh analisa, pada halaman berikut ini diberikan suatu contoh struktur
portal dengan sokongan sendi dengan penyelesaiannya.
Contoh. 5
diketahui :
W1 = W2 = 1,2 t
kA1 = k14 = kB2 = k23 = 1
k12 = k34 = 0,75
h1 = h2 = 4 m
L = 5 m
Penyelesaian:
A. Menghitung momen-momen parsiil.
1. Angka kekakuan batang ( diketahui )
2. Nilai , , M primer, dan momen rotasi awal (m0)
1 = 2(k1A + k12 + k14) = 5,5 2 = 2(k21+k2B+k23) = 5,5 ’2 = 2 – ½ k2B = 5,5 – ½ .1 = 53 = 2(k23 + k34) = 3,54 = 2(k43 + k41) = 3,5
1A = k1A/1 = 1/5,5 = 0,1818 ’2B= ½ k2B/’2= ½.1/5=0,112 = k12/1 = 0,75/5,5 = 0,1364 ’21=k21/’2= 0,75/5 = 0,1514 = k14/1 = 1/5,5 = 0,1818 ’23= k23/’2 = 1/5 = 0,2
32 = k32/3 = 1/3,5 = 0,2857 43=k43/4 0,751/3,5=0,214312 = k12/1 = 0,75/5,5 = 0,1364 41= k41/4 = 1/3,5 = 0,2857
= -1/12 q L2 = -1/12 . 6 . 52 = -12,5 tm = 12,5 tm= -1/12 q L2 = -1/12 . 3 . 52 = -6,25 tm = 6,25 tm
1 = + + = -12,5 tm 2 = + + = 12,5 tm 3 = + = 6,25 tm 4 = + = -6,25 tm m1
0 = - (1/1) = -(-12,5 / 5,5) = 2,2727m2
0 = - (2/’2) = -(12,5 / 5) = -2,5000
108
m30 = - (3/3) = -(6,25 / 3,5) = -1,7857
m40 = - (4/4) = -(-6,25 / 3,5) = 1,7857
B. Momen Displacement.
Tingkat atas TI = 2 (k14 + k23) = 2 (1+1) = 4
t14 = 3 k14 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 = -(W1.h1) / TI
t23 = 3 k23 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 = -(1,2 . 4) / 4 = -1,2
Tingkat bawah TII = 2 (k1A + k2B) = 2 (1 + 1) = 4 T’II = TII – 3/2 . k2B = 4 – 3/2 . 1 = 2,5
t'1A = 3 k1A / T’II = 3.1 / 2,5 = 1,2 = -{h2 (W1+W2)} / T’II
t'2B = 3/2 k2B / T’II = 3/2 . 1 / 2,5 = 0,6 = -{4 (1,2 + 1,2)} / 2,5 = -3,84C. Pemberesan momen parsiil Momen displacement
Pemberesan momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3),
(4) dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1.
Berikut ini pemberesan momen parsiil langkah 1.
m11 = + m1
0 = 2,2727= + (-1A) (mII
0) (-0,1818) (-3,84) = 0,6981= + (-12) (m2
0) (-0,1364) (-2,5) = 0,3410= + (-14) (m4
0 +mI
0) (-0,1818) {1,7857 + (-1,2)} = -0,1065m1
1 = 3,2053
m21 = + m2
0 = -2,5000= + (-’21) (m1
1) (-0,15) (3,2053) = -0,4808= + (-’2B) (mII
0) (-0,10) (-3,84) = 0,3840= + (-’23) (m3
0 +mI
0) (-0,20) (-1,7857 + (-1,2)) = 0,5971m2
1 = -1,9997
m31 = + m3
0 = -1,7857= + (-32) (m2
1 + mI0) (-0,2857) (-1,9997 + (-1,2)) = 0,9142
= + (-34) (m40) (-0,2143) (1,7857) = -0,3827
m31 = -1,2542
m31 = + m4
0 = 1,7857= + (-43) (m3
1) (-0,2143) (-1,2542) = 0,2688= + (-41) (m1
1) + (mI0) (-0,2857) (3,2053 + (-1,2)) = -0,5729
m41 = 1,4816
109
Setelah pemberesan momen parsiil langkah 1 selesai, selanjutnya
pemberesan momen displacement langkah 1 dilaksanakan. Sebaiknya digunakan
nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil pada langkah 1.
Untuk tingkat atas: Langkah. 1
= + = -1,2
+ (-t14) (m11 + m4
1) (-0,75) (3,2053 + 1,4816) = -3,5151
+ (-t23) (m21 + m3
1) (-0,75) (-1,9997 + (-1,2542)) = 2,4404
mI1 = -2,2747
Untuk tingkat bawah: Langkah. 1
= + = -3,84
+ (-t1A) (m11) (-1,2) (3,2053) = -3,8464
+ (-t2B) (m21) (-0,6) (-1,9997) = 1,1998
mI1 = -6,4866
Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-1 selesai, maka
dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada
langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3 dan 4 kemudian pemberesan momen
displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai
dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan
pada halaman berikut ini.
Catatan:
Sebenarnya, rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat
tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila
sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan.
Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul,
kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-batang
bersangkutan sebanding dengan kekakuannya.
= -1.2000 m40 = 1.7857 m3
0 = -1.7857
= -2.2747 m41 = 1.4816 m3
1 = -1.2542
= -3.2391 m42 = 1.5360 m3
2 = -0.9602
A B
-0.21434
-0.2
857
3
1 2
-0.214
-0.2
857
-0.7
5
-0.7
5
-1.2
-0.6
-0.1364 -0.15
-0.2
-0.1
-0.1
818
-0.1
818
110
= -3.8709 m43 = 1.6798 m3
3 = -0.7491
= -4.2381 m44 = 1.7921 m3
4 = -0.6306
= -4.4417 m45 = 1.8619 m3
5 = -0.5678
= -4.5522 m46 = 1.9017 m3
6 = -0.5346
= -4.6116 m47 = 1.9237 m3
7 = -0.5170
= -4.6434 m48 = 1.9356 m3
8 = -0.5077
= -4.6603 m49 = 1.9420 m3
9 = -0.5028
= -4.6692 m410 = 1.9454 m3
10 = -0.5002
= -4.6740 m411 = 1.9472 m3
11 = -0.4988
= -4.6765 m412 = 1.9482 m3
12 = -0.4981
= -4.6779 m413 = 1.9487 m3
13 = -0.4977
= -4.6786 m414 = 1.9490 m3
14 = -0.4975
= -4.6790 m415 = 1.9491 m3
15 = -0.4973
= -4.6792 m416 = 1.9492 m3
16 = -0.4973
= -4.6793 m417 = 1.9492 m3
17 = -0.4973
= -4.6793 m418 = 1.9493 m3
18 = -0.4972
= -4.6794 m419 = 1.9493 m3
19 = -0.4972
= -4.6794 m420 = 1.9493 m3
20 = -0.4972
= -4.6794 m421 = 1.9493 m3
21 = -0.4972
= -3.8400 m10 = 2.2727 m2
0 = -2.5000
= -6.4866 m11 = 3.2053 m2
1 = -1.9997
= -7.4472 m12 = 3.8689 m2
2 = -1.7259
= -7.9213 m13 = 4.1716 m2
3 = -1.5412
= -8.1664 m14 = 4.3213 m2
4 = -1.4321
= -8.2953 m15 = 4.3973 m2
5 = -1.3692
= -8.3634 m16 = 4.4366 m2
6 = -1.3341
= -8.3995 m17 = 4.4570 m2
7 = -1.3148
= -8.4186 m18 = 4.4677 m2
8 = -1.3045
= -8.4287 m19 = 4.4734 m2
9 = -1.2989
= -8.4341 m110 = 4.4764 m2
10 = -1.2960
= -8.4369 m111 = 4.4780 m2
11 = -1.2944
= -8.4384 m112 = 4.4788 m2
12 = -1.2936
= -8.4392 m113 = 4.4793 m2
13 = -1.2931
= -8.4397 m114 = 4.4795 m2
14 = -1.2929
= -8.4399 m115 = 4.4796 m2
15 = -1.2928
= -8.4400 m116 = 4.4797 m2
16 = -1.2927
= -8.4401 m117 = 4.4797 m2
17 = -1.2927
= -8.4401 m118 = 4.4797 m2
18 = -1.2926
111
= -8.4401 m119 = 4.4798 m2
19 = -1.2926
= -8.4401 m120 = 4.4798 m2
20 = -1.2926
= -8.4401 m121 = 4.4798 m2
21 = -1.2926
112
D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement
secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke -
20 , dengan nilai-nilai sebagai berikut:
m120 = 4,4798 m2
20 = -1,2926 mI20 = -4,6794
m320 = -0,4972 m4
20 = 1,9493 mII20 = -8,4401
Untuk perhitungan besarnya momen momen akhir dari struktur, selanjutnya
dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 4. 4 pada halaman depan )
Titik. 1
M1A= k1A (2m1(20)) + = 1{2.4,4798+(-8,4401)} = 0,5195 tm
M12 = k12 (2m1(20)) + ) +
= 0,75 {2. 4,4798+(-l,2926)}+(-12,50) = -6,7498 tm
M14 = k14 (2m1(20)) + ) +
= 1{2. 4,4798+l,9493+(-4,6794)} = 6,2295 tm M = -0,0008 tm
Titik. 2
M2B= k2B (3/2m2(20)) + ½ = 1 {3/2(-1,2926) + (1/2.-8,4401)}
= -6,1590 tm
M21= k21 (2m2(20)) + ) +
= 0,75 {2.(-1,2926) + 4,4798} + 12,50 = -6,7498 tm
M23 = k23 (2m2(20)) + ) +
= 1{2.(-1,2926) +(-0,4972)+(-4,6794)} = -7,7618 tm M = 0,0002 tm
Titik. 3
M32 = k3 (2m3(20)) + m2
(20) + = 1 (2.-0,4972 + -1,2926 + -4,6794 = -6,9664 tm
M3 4= k3 (2m2(20)) + ) +
= 0,75 {2.-0,4972 + 1,9493) + 6,25 = 6,9662 tm M = -0,0002 tmTitik. 4
M41 = k41 (2m4(20)) + m1
(20) + = 1 (2.1,9493 + 4,4798 + -4,6794 = 3,6990 tm
M43 = k43 (2m4(20)) + ) +
= 0,75 {2. 1,9493 + -0,4972) + -6,25 = -3,6990 tm M = 0,0000 tm
Dengan AM yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen momen ujung
tersebut di atas tidak perlu dikoreksi =======M 0
Titik A
MA1 = kA1 (m1(20)+ ) = 1{4,4798+(-8,4401)}= -3,9604 tm
113
MB2 = 0 ( perletakan sendi)
Kontrol H = 0
-1/h2 - (-W1 + W2) = 0 -1/4 - (1,2 + 1,2) = 0
-0,25{(-3,4409+(-6,1590}- (2,4) = 0 0,00019 0 Ok
Gambar diagram freebody
4.4 RANGKUMAN
Dari pembahasan rumusan - rumusan dasar berikut contoh - contoh soal dan
penyelesaiannya, baik untuk konstruksi portal dengan titik hubung yang tetap
maupun konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan), dapat
diambil suatu kesimpulan mengenai langkah-langkah perhitungan penyelesaian
suatu portal sebagai berikut:
4.4.1 Portal dengan titik hubung yang tetap
Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian
114
A. Menentukan Momen Parsiil.
1. Menghitung angka kekakuan batang (k).
2. Menghitung nilai p masing - masing titik hubung.
3. Menghitung nilai koefisien untuk rotasi momen parsiil () masing - masing
batang.
4. Menghitung momen-momen primer ( ) masing - masing batang.
5. Menghitung jumlah momen primer () pada masing - masing titik hubung.
6. Menghitung momen rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung.
B. Pemberesan Momen Parsiil.
Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi
langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen.
C. Menghitung Momen Akhir (Design Moment).
4. 4. 2 Portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan)
Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian
A. Menentukan Momen parsiil.
1. Menghitung angka kekakuan batang (k).
2. Menghitung nilai p masing - masing titik hubung.
3. Menghitung nilai koefisien untuk rotasi momen parsiil ( ) masing - masing
batang.
4. Menghitung momen-momen primer ( ) masing - masing batang.
5. Menghitung jumlah momen primer () pada masing - masing titik hubung.
6. Menghitung momen rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung.
B. Menghitung Momen Displacement ( ..).
1. Menghitung kekakuan tingkat (T...).
2. Menghitung koefisien rotasi tingkat (t...) pada masing - masing kolom.
3. Menghitung Momen Displacement awal tingkat ( ...0).
C. Pemberesan Momen Parsiil dan Momen Displacement.
115
Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi
langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen.
Pemberesan momen displacement dilakukan setiap selesai satu langkah
pemberesan momen parsiil.
D. Menghitung Momen Akhir (Design Moment).
E. Kontrol gaya - gaya horizontal ======H = 0
2.5 SOAL-SOAL LATIHAN
Soal-soal berikut ini (lihat gambar), dapat anda kerjakan di rumah sebagai
latihan. Besarnya nilai dari ukuran yang ada, beban terpusat P dan W maupun
beban terbagi rata q dapat ditentukan sendiri.
116
DAFTAR PUSTAKA
Chu-Kia Wang, Ph.D, Mekanika Teknik “Statically Indeterminate Structure” Terjemahan
_________________, Analisa Struktur Lanjutan, Jilid 1, Jakarta, Erlangga, 1992.
Heinz Frick, Ir, Mekanika Teknik 2 (Statika dan Kegunaannya), Jilid II, Yogyakarta, Kanisius, 1979.
Soetomo. HM, Ir, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid I. Jakarta, Soetomo HM, 1981
_______, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid II. Jakarta, Soetomo HM, 1981
V. Sunggono. KH, Ir, Buku Teknik Sipil. Bandung, Nova, 1984.