bab v intergral
TRANSCRIPT
-
8/22/2019 Bab v Intergral
1/7
BAB V
INTEGRAL TAK TENTU
5.1 PENGERTIAN INTEGRAL TAK TENTU
Jika )(xf ditentukan, maka setiap fungsi )(xF sedemikian hingga
)()(' xfxF = disebut Integral Tak Tentu (ITT) dari )(xf . Integral tak
tentu dari suatu fungsi yang ditentukan adalah tidak tunggal, misalnya:
1,2, 333 + xxx adalah integral tak tentu dari 23)( xxf = karena
2333 3)1()2()( xdx
xddx
xddxxd =+==
Semua integral tak tentu dari 23)( xxf = adalah termasuk dalam cx +3 ,
dimana c adalah konstanta sebarang yang disebut konstanta integrasi. Jelaslah
bahwa jika )(xF suatu integral tak tentu dari )(xf , maka cxF +)( juga
merupakan integral tak tentu dari )(xf dan ditulis secara umum sebagai berikut:
+= cxFdxxf )()(
5.2 SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU
Sifat-sifat Integral Tak Tentu:
1. = dxxfkdxxkf )()(
2. { } = dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
5.3 RUMUS-RUMUS INTEGRAL TAK TENTU
Beberapa rumus Integral Tak Tentu:
1. 1;1
1 1 ++
= + ncxndxxnn
2. += cxdx
3. =cdx0 (konstanta sebarang)
22
-
8/22/2019 Bab v Intergral
2/7
4. += cxdxx ||ln1
5. += cedxexx
6. += caa
dxax
x
ln; a >0, 1a
7. += cxxdx cossin
8. += cxxdx sincos
9. += cxxdx tansec2
10. += cxxdxx sectansec
Contoh:
1. cxcxdxx +=++
= +4133
4
1
13
1
2. cxcxdxx +=++
=+
23
1
2
13
2
1
12
1
2
1
3. dxxx cossin3
misalkan: xy sin= dxxdy cos=
maka cxcydyydxxx +=+== 4433 sin
41
41cossin
5.4 INTEGRASI PARSIAL
Jika )(xfu = dan )(xgv = adalah fungsi-fungsi yang differensiabel,
maka
Rumus Integrasi Parsial
Rumus ini sangat berguna terutama jika integral terdiri dari fungsi-fungsi
transcendent, misalnya: xxx tanarc,sinarc,ln atau hasil kali seperti
.ln,cos,sin,2
xxxxxexexx
Cara memakai rumus ini adalah sebagai berikut:
23
= vduuvudv
-
8/22/2019 Bab v Intergral
3/7
(1) dv dipilih sehingga v mudah dicari
(2) vdu harus menjadi lebih mudah daripada udv
Contoh:
Selesaikan dxexx
!
Penyelesaian:
Rumus Integrasi Parsial: = vduuvudv
Misalkan:
dxduxu ==
=== xxx edxevdxedv
Maka:
cexedxexedxex xxxxx +==
Soal-soal Latihan
1. Selesaikan dxxx cos
!
2. Selesaikan dxxx sin !
3. Selesaikan dxxex cos !
4. Selesaikan dxxln !
5. Selesaikan + dxxx 1 !
6. Selesaikan 259 2x
dx!
7. Selesaikan 241 xdx
!
8. Selesaikan 102xdx
!
6.1 INTEGRAL TERTENTU
24
-
8/22/2019 Bab v Intergral
4/7
Yang dimaksud dengan Integral Tertentu dari f(x) dengan batas bawah
ax = dan batas atas bx = a(
-
8/22/2019 Bab v Intergral
5/7
[ ]
3
13
1)9(6
1 3
2
14
23
23
21
9
14
1
9
1
41
2
0
=
=
=
=+
u
duudxx
2. Selesaikan =22
22ln
ln
ln
e
e
e
ex
xd
xx
dx!
Penyelesaian:
Substitusi xu ln=
Perubahan batas:
2
1
2 ==
==
uex
uex
Jadi ( ) ======2
1
21
21
2
1
2221
1
ln
ln
ln
22
uu
du
x
xd
xx
dxe
e
e
e
6.3 INTEGRAL TAK WAJAR
Integral tak wajar adalah integral suatu fungsi yang berbentuk:
(1)
a
dxxf )( atau
b
dxxf )( atau
dxxf )( ,
integral pada selang-selang tak hingga.
(2) b
a
dxxf ,)(
integral yang integrannya menjadi tak hingga dalam selang integrasi.
Integral Pada Selang Tak Hingga:
a
dxxf )( atau
b
dxxf )( atau
dxxf )(
Pada definisi b
a
dxxf ,)( diasumsikan bahwa selang [a, b] berhingga.
Jika f kontinu pada selang [ )+,a , maka didefinisikan integral tak wajar
+
a
dxxf )(sebagai sebuah limit dengan cara:
26
-
8/22/2019 Bab v Intergral
6/7
+
=b
ab
a
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit ini ada, integral tak wajar disebut konvergen dan nilai limit
adalah nilai integral itu.. Jika limitnya tidak ada, maka integral tak wajar disebut
divergen, dalam kasus ini tidak mempunyai nilai.
Contoh:
Hitung +
1x
dx!
Penyelesaian:
[ ] +====+++
+
||lnlim||lnlimlim 111
lxx
dx
x
dx
l
l
l
l
l
Jadi, integral divergen.
Integral Yang Integrannya Menjadi Tak Hingga: b
a
dxxf )(
Jika fkontinu pada selang [ )ba, tetapi gagal mempunyai sebuah limit
bilax mendekati b dari kiri [misalnya, jika +)(xf atau )(xf ], maka
didefinisikan integral tak wajar b
a
dxxf )( sebagai sebuah limit dengan cara:
=l
abl
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Contoh:
Hitung
1
0 1 x
dx!
Penyelesaian:
Integral tersebut adalah tak wajar sebab integran mendekati + jika x
mendekati limit pada 1 dari kiri. Sehingga:
27
-
8/22/2019 Bab v Intergral
7/7
[ ] ll
l
lx
x
dx
x
dx0
10
1
1
0
12lim1
lim1
=
=
2212lim1
=+=
ll
Soal-soal Latihan
9. =
0
....sin. xdxx
10.
=+
2
1
0
.....sin2 dxxx
11. =+1
0
2....dx13.3 xx
12. =
0
....dxcos.2sin xx
13. =1
0
6....)1(5 dxxx
28