bab1 metoda matriks opt geometri
DESCRIPTION
Optika Geometri Mata Kuliah Fisika OptikTRANSCRIPT
-
I-1
I. METODA MATRIKS DALAM OPTIKA GEOMETRI
1.1. Sistem Optik
Sistem optik terdiri dari sejumlah elemen yang berfungsi optik secara khusus
(elemen fungsional), seperti; lensa, cermin, dst. Sebelum melangkah lebih jauh, akan
diperkenalkan pengertian sumbu optik. Sumbu optik adalah suatu garis lurus utama
dalam suatu sistem optik yang menjadi acuan utama bagi arah penjalaran sinar (lintasan
sinar).
1.1.1. Optika Gaussian
Dalam optika gaussian kita meninjau arah lintasan optik yang hampir sejajar
dengan sumbu optik dari sistem yang bersangkutan (berkas yang bersifat paraksial).
Perhatikan Gb. 1.1 di bawah ini.
Arah sinar
sumbu optik Gb. 1.1
Dengan kata lain, bagi berkas sinar Gaussian berlaku aproksimasi sin . Dalam sistem ini, berkas sinar yang berasal dari suatu titik objek tidak akan menghasilkan lebih
dari satu titik citra. Berarti masalah aberasi dapat diabaikan dalam sistem ini. Sistem ini
dapat dipandang sebagai suatu black box dan dikaji dengan analisis secara linear
berdasarkan metoda matriks, seperti dijelaskan oleh gambar dibawah:
Input output
Gb. 1.2
Penerapannya pada sistem optik dalam dua dimensi ditunjukkan oleh Gb. 1.3:
dcba
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-2
Gb. 1.3
Koordinat yang kita pakai untuk menspesifikasikan atau merepresentasikan keadaan
berkas sinar adalah posisi (titik sinar masuk dan keluar, x) dan arah (sinar masuk dan
keluar, ). Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai:
n
xatau
x
=
Jadi hubungan antara keadaan sinar masuk dan sinar keluar dapat dituangkan dalam
persamaan matriks:
=
=
1
1
1
1
2
2
x
Tx
DCBAx
dengan T = merepresentasikan fungsi sistem optik tersebut, dan A, B, C dan D
merupakan perangkat parameter tetap bagi sistem optik tertentu.
Jelas atas dasar empiris bahwa fungsi optik tersebut harus bersifat bolak-balik.
Artinya hubungan antara keadaan sinar masuk dan sinar keluar tetap sama bila peranan/
status masukan dan keluaran ditukar. Secara matematik ini berarti adanya matriks
inversi dari T , yaitu 1T yang memenuhi syarat:
112
21
1
1
=
=
TT
xT
x
Ini berarti selanjutnya bahwa
[ ] 0det T dan
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-3
[ ] 1det 1 = TT atau
[ ] [ ] 1detdet 1 = TT yang menghasilkan kesimpulan bahwa
[ ] [ ] 1detdet 1 == TT Matriks yang memenuhi persyaratan ini dan transformasi yang bersangkutan dikenal
dengan sebutan unimodular. Perhatikan bahwa hasil kali 2 matriks unimodular tetap
unimodular.
1.2. Karakterisasi Sistem Optik dengan Matriks Transfer
Ciri-ciri dari fungsi sistem optik dapat diungkapkan melalui matriks transfer
tersebut.
1. D = 0
Untuk kasus ini akan diperoleh hubungan:
12
112
CxBAxx
=+=
.
Tafsiran fisis dari persamaan ini dapat dilihat dari Gb. 1.4 di bawah:
bidang masuk bidang keluar
(bidang fokal depan)
Gb. 1.4
Semua sinar masuk melalui 1 titik pada bidang masuk dengan sembarang sudut
masuk, akan diolah oleh sistem sehingga keluarannya berupa sinar-sinar yang
paralel (sudut keluarannya konstan tapi titik keluarannya banyak)
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-4
2. B = 0
Untuk kasus ini berlaku :
112
12
DCxAxx
+==
dimana 1
2
xxA = = faktor magnifikasi posisi. Kembali perhatikan Gb. 1.5
dibawah:
Gb. 1.5
Semua sinar masuk melalui satu titik pada bidang fokal depan dengan
sembarang sudut masuk, akan diolah oleh sistem sehingga keluaranya berupa
sinar-sinar yang keluar pada satu titik pada bidang keluar (sudut keluaran bebas).
3. C = 0
Persamaan matriksnya:
=
1
1
2
2
0 x
DBAx
atau 22
212
DBAxx
=+=
Untuk kasus ini perhatikan Gb. 1.6 di bawah:
Gb. 1.6
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-5
Apabila pada suatu sistem optik diberikan sinar yang masuknya sejajar dan
sembarang posisi pada bidang masukan, maka sistem itu akan mengolah sinar
tersebut sehingga keluarannya di bidang keluaran berupa sinar-sinar yang
sejajar pula. Walaupun sejajar, besar sudut masuk tidak sama dengan besar sudut
keluar dengan faktor maknifikasi sudut 1
2
=D .
4. A = 0
Persamaan matriksnya:
=
1
1
2
2 0x
DCBx
atau 112
12
DCxBx
+==
Perhatikan Gb. 1.7 di bawah:
Gb. 1.7
Artinya, apabila sinar datang dengan sudut tertentu pada bidang masukan maka
sistem optik akan mengolah sinar tersebut sehingga pada bidang keluaran sinar
tersebut keluar di satu titik dengan sembarang sudut keluaran.
1.3. Deskripsi Proses Penjalaran Sinar dalam Sistem Optik
Dalam suatu sistem optok Gaussian, berkas sinar akan mengalami 2 macam
proses:
1. Pergeseran kedudukan sepanjang garis lurus (translasi) yang terjadi dalam suatu
medium homogen.
2. Proses pembiasan (refraksi) yang terjadi pada batas dua medium yang berbeda.
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-6
1.3.1. Translasi ( )
Perhatikan Gb. 1.8 di bawah:
Gb. 1.8
Sepanjang perambatan sinar, dari bidang masukan sampai bidang keluaran, dalam
medium yang berindeks bias n, terjadi perubahan koordinat berkas, yaitu dari
1
1
x
menjadi
2
2
x
. Karena kita meninjau sinar-sinar paraksian maka dapat dilakukan
aproksimasi: == 21 .
Persamaan matriks untuk perubahan ini adalah:
=
2
2
x
1
1
x
Dari Gb. 1.13 diperoleh persamaan : 112 tandxx += . Sesuai dengan pembatasan yang kita berikan ( hanya meninjau sinar-sinar paraksial ), maka:
112 dxx += atau
+=ndxx 112 ,
karena n
11
= dan 12 = . Sehingga dengan demikian, persamaan matriks yang berkenaan dengan keadaan ini:
=
1
1
2
2
10
1x
ndx
dengan matriks translasi:
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-7
=
10
1nd
1.5.2. Matriks Pembiasan ( )
Tinjau batas permukaan antara dua media, masing-masimg berindeks bias n1 dan
n2, yang berupa permukaan bola berjari-jari R dan berpusat di titik C. Perhatikan Gb.
1.9 di bawah ini.
Gb. 1.9
Dari gambar dapat dibaca bahwa:
+= 1m , dan 2 +=b
dan untuk sinar-sinar paraksial dapat dilakukan aproksimasi (ingat bahwa xxx == 21 ):
Rxi m 11...........).........( += , dan
Rxii b 22.................).........( +=
Kalikan persamaan (i) dengan n1 dan persamaan (ii) dengan n2, sehingga diperoleh:
Rxnnn
Rxnnn
b
m
22222
11111
+=
+=
karena iiin = (dengan i = 1, 2), maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai:
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-8
22
22
11
11
.......).........(
......).........(
xRnniv
xRnniii
b
m
+=
+=
Berdasarkan Hukum Snell: bm nn 21 = , maka dari persamaan (iii) dan (iv) diperoleh hubungan:
( ) 02121 =+ Rxnn , atau
( )Rxnn 2112 +=
Karena xxx == 21 , maka persamaan di atas dapat dituliskan dengan lebih baik sebagai
( )Rxnn 12112 +=
Akhirnya kita mendapatkan persamaan matriks:
=
1
121
2
2
101
x
Rnnx
Kemudian didefinisikan daya pembiasan sebagai:
=R
nnp 21
Jadi matriks pembiasan:
=
1
01p
Apabila R dinyatakan dalam meter, maka p memiliki satuan dioptri.
1.4. Penerapan Matrik Translasi dan Mariks Pembiasan
1.4.1. Sistem planar berlapis majemuk (multilayer system)
Perhatikan Gb. 1.10 untuk sinar yang menjalar di lapisan satu, yaitu dari
1
1
x
ke
2
2
x
. Persamaan matriksnya dapat ditulis sebagai:
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-9
=
1
11
1
2
2
10
1x
ndx
= 1
1
1
x
Untuk sinar yang menjalar di lapisan kedua, yaitu dari
2
2
x
ke
3
3
x
, persamaan
matriksnya dapat ditulis sebagai:
=
2
22
2
3
3
10
1x
ndx
= 2
2
2
x
Dengan mensubsitusi matriks untuk
2
2
x
ke persamaan di atas, diperoleh persamaan
matriks yang menghubungkan
1
1
x
dan
3
3
x
dan diungkapkan sebagai berikut:
=
1
11
1
2
2
3
3
10
1
10
1x
nd
ndx
= 1 2
1
1
x
Gb. 1.10
Jadi secara keseluruhan, kita dapat mencari hubungan antara lapiasan pertama
dengan lapisan ke N+1 dan dinyatakan dalam persamaan matriks:
=
+
+
1
11
1
2
2
1
1
1
1
10
1
10
1.....10
1
10
1x
nd
nd
nd
ndx
N
N
N
N
N
N
=
+
+
1
1
N
Nx N N-1 2 1
1
1
x
, atau
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-10
=+
+ =
N
iN
Nx
11
1
i
1
1
x
Apabila kita definisikan; total = =
N
i 1
i, maka persamaan matriks di atas ditulis dalam
bentuk:
=
+
+
1
1
N
Nx total
1
1
x
, dengan
total =
=
10
11
N
i i
i
nd
1.4.2. Lensa Tunggal
Perhatikan Gb. 1.11 di bawah:
Gb. 1.11
Ada tiga macam proses yang dialami oleh berkas sinar tersebut:
1. Refraksi 1, dengan matriks refraksi 1, yang terjadi pada permukaan pertama
(R1).
2. Translasi, dengan matriks translasi , yang terjadi sepanjang jarak d, yaitu
antara permukaan pertama (R1) dan (R2).
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-11
3. Refraksi 2, dengan matriks refraksi 2, yang terjadi pada permukaan kedua (R2).
Sehingga martiks transfer bagi sistem optik ini dapat dituliskan dalam bentuk:
= 1 2
= 1
01
10
1101
22
1 pnd
p
dengan
1
121 R
nnp = dan 2
212 R
nnp = .
Untuk kasus lensa tipis, kita berikan asumsi tambahan pada sistem optik di atas
yaitu:
0d , 11 =n , dan nn =2 Sehingga matriks transfer tersebut ditulis sebagai:
( )
=
=
=
1101
1111
01
1101
1001
1101
21
21
f
RRn
Rn
Rn
dengan
( )
=
21
1111RR
nf
.
Contohnya untuk lensa cembung-cembung kita memiliki f (+), R1 (+) dan R2 (-), untuk
lensa cekung-cekung kita memiliki f(-), R1(-) dan R2 (+).
1.5. Aplikasi matriks transfer untuk berbagai sistem optik
Akan dibahas sifat-sifat dari lensa dengan menggunakan matriks transfer:
1. Untuk kasus 0d dan f(+).
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-12
Perhatikan Gb. 1.12 di bawah:
Gb.1.12
Persamaan matrik untuk sistem ini dapat ditulis sebagai:
=
1
1
2
21101
x
f
x
atau 112
12
1 +===
xf
xxx
Ingat kembali hubungan antara dan untuk sinar-sinar yang paraksial, yaitu:
iii n dengan =i 1, 2 Apabila hubungan ini kita subsitusikan ke persamaan matriks di atas akan
diperoleh:
0112 =+= , dengan 1 f
x .
Jadi telah kita buktikan sifat dari lensa cembung-cembung yang pertama, yaitu
apabila berkas sinar datang seolah-olah berasal dari titik fokus lensa maka lensa
cembung-cembung akan membiaskan berkas sinar itu sejajar dengan sumbu
utama ( 02 = ).
PR: buktikan sifat lensa cembung-cembung yang lain.
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-13
2. Untuk kasus 0d dan f(-). Perhatikan Gb. 1.13 di bawah:
Gb. 1.13
Persamaan matriks untuk sistem optik ini dapat ditulis sebagai:
=
1
1
2
21101
x
f
x
atau 112
12
1 +===
xf
xxx.
Dapat ditulis juga sebagai:
fx
xxx
12
12
2===
Jadi apabila berkas sinar datang pada sistem lensa cekung-cekung melalui titik
fokusnya, maka berkas sinar itu akan dibiaskna oleh sistem lensa ini menjauhi
dari sumbu utama lensa.
PR buktikan sifat lensa cekung-cekung yang lain.
1.6. Pembentukan Bayangan
Bayangan dibentuk oleh sinar yang berasal dari titik yang sama pada objek.
Khususnya, semua berkas sinar dari suatu titik objek akan diolah oleh sistem optik
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-14
sehingga berpotongan pada suatu titik lain. Perhatikan Gb. 1.14 di bawah:
Gb. 1.14
Persamaan matriks untuk sistem di atas adalah:
=
b
bx o b
o
ox , atau
=
o
obo
b
b xd
f
dx 10
11101
101
+
++
=
o
o
b
bobo
b
b x
dff
df
dddfx
1111111
Andaikan titik objek diambil pada sumbu lensa (xo = 0) maka bayangan akan
ditentukan oleh titik potong dari dua berkas sinar yang berasal dari suatu titik objek
setelah melalui lensa. Salah satu dari berkas tersebut menjalar sepanjang sumbu optik
lensa sehingga tidak dibiaskan oleh sistem optik tersebut. Maka bayangan yang
terbentuk pasti berada di sumbu lensa pula (xb = 0). Sehingga persamaan matrik di atas
dapat diubah kedalam bentuk
+
++
=
ob
bobo
b dff
df
dddf
0
111
11110
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia
-
I-15
Hubungan persamaan matriks di atas dapat dipenuhi dengan syarat:
011 =
++ bob dfdd , atau
fdd bo111 =+
Apabila hasil di atas disubsitusikan kembali ke persamaan matriks, akan diperoleh:
=
1
1
2
2
11
01
x
fd
f
fd
xb
o
, dan
12 1 xfdx o
=
Sehingga kita bisa mendefinisikan faktor magnifikasi, yaitu:
fd
xxM o== 1
1
2
PR. Kerjakan dengan langkah yang sama untuk sistem dua lensa.
DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia