bab2- matriks-intimatlab
DESCRIPTION
Matriks dalam MatlabTRANSCRIPT
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
1
MATRIKS INTI BAHASA MATLAB
I. PENDAHULUAN
§ Dalam bahasa MATLAB matriks diartikan sebagai array atau larik, yaitu sejumlah
bilangan yang disusun dalam bentuk persegi. Demikian juga pengertian secara
umum matriks adalah susunan bilangan sebagai berikut:
=
mnm2m1
2n2221
1n1211
aaa
aaaaaa
A
LMMM
LL
ukurannya ( m x n )
Secara singkat :
A = (aij) ; 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n
§ Bila banyaknya baris dan kolom sebuah matriks adalah sama, matriks tersebut
disebut matriks bujur sangkar; misalnya berukuran n x n atau berorde n.
§ Matriks yang hanya terdiri dari satu baris, berukuran (1 x n) disebut matriks baris;
sedangkan yang terdiri dari hanya satu kolom berukuran (n x 1) disebut matriks
kolom.
§ Matriks bujur sangkar yang semua elemen tak diagonalnya nol, jadi aij = 0 untuk i
≠ j, disebut matriks diagonal.
II. MENYUSUN MATRIKS
Dalam MATLAB matriks dapat digunakan dan dibuat dengan melalui empat cara
berikut ini, yaitu:
II.1 Membuat matriks langsung dari command window atau jendela interaktif
Tiga metode untuk membuat matriks berorde m x n melalui jendela interaktif
MATLAB dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Metode 1:
>>A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
2
Hasilnya:
A =
2 1 -1
1 -1 1
2 2 1
Metode 2:
>> A=[2 1 -1
1 -1 1
2 2 1];
Hasilnya:
A =
2 1 -1
1 -1 1
2 2 1
Metode 3:
>> A1=[2 1 -1];
>> A2=[1 -1 1];
>> A3=[2 2 1];
>>A=[A1;A2;A3]
Hasilnya:
A =
2 1 -1
1 -1 1
2 2 1
II.2. Membuat/menyusun Matriks dengan File-M
Matriks disusun atau dibuat dengan script MATLAB. Berikut ini contoh script
File-M untuk menyusun matriks berordo3x3.
Contoh 2.2.1
%Program menyusun Matriks ordo 3x3 clear; clc;
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
3
A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %Akhir program
Program ini disimpan sebagai file-M, dengan nama(misal) Matrik1a. Kemudian pindah
ke layar perintah MATLAB untuk memangil file Matrik1a, dilanjutkan dengan
mengetikkan ’A’ untuk menampilkan matriks yang telah dibuat.
Contoh 2.2.2.
%Program menyusun Matriks ordo 3x3 clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] %Akhir program
Simpanlah program ini dengan nama Matrik2a. Selanjutnya berpindah ke layar perintah
Matlab, ketikkan matrik2a, maka hasilnya(matriks A) akan langsung terlihat di layar.
II.3. Membuat Matriks dengan fungsi bawaan MATLAB
MATLAB menyediakan beberapa fungsi bawaan yang dapat menghasilkan
matriks, yaitu:
• zeros : semua elemen matriks bernilai nol
• ones : semua elemen matriks bernilai satu
• rand : matriks dengan elemen bilangan random berdistribusi uniform dari
nol sampai dengan satau
• randn. : matriks dengan elemen bilangan random berdistribusi normal
dengan rata-rata nol dan varian unit.
Berikut ini disajikan contoh-contoh penggunaan fungsi di atas.
Contoh 2.3.1.
>> Z=zeros(3,3) Z = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
4
Contoh 2.3.2.
>> S=ones(3,3) S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Contoh 2.3.3.
>> R=rand(3,3) R = 0.9649 0.9572 0.1419 0.1576 0.4854 0.4218 0.9706 0.8003 0.9157
Contoh 2.3.4.
>> N=randn(3,3) N = -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273
II.4. Membuat/menyusun Matriks dari data eksternal
MATLAB dapat membuat atau meload data dari file eksternal. Data eksternal
yang akan dibaca oleh MATLAB harus dalam bentuk numerik. Aturan penulisannya
adalah: data tersebut harus disusun dalam bentuk persegi(bujur sangkar atau persegi
panjang) antar elemen harus dipisahkan dengan spasi(kosong) dan jumlah elemen setiap
barisnya harus sama. Fungsi MATLAB yang digunakan untuk meload data tersebut
adalah ’load’
Berikut ini disajikan contoh data yang disusun dalam bentuk persegi yang
jumlah barisnya empat dan kolomnya empat.
16.0 3.0 2.0 13.0 5.0 10.0 11.0 8.0 9.0 6.0 7.0 12.0 4.0 15.0 14.0 1.0
Simpan data ini dengan nama magik.dat
Selanjutnya baca file ini dengan cara:
>> load magik.dat
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
5
>> B=magik
B =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
III. ALJABAR MATRIKS
a. Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika ukurannya sama dan
elemen yang seletak bernilai sama.
b. Penjumlahan dan pengurangan Matriks
Jika matriks A = (aij) dan matriks B = (bij), berukuran sama, maka: A ± B = C,
dengan matriks C = (cij), dimana cij = aij ± bij
Contoh 3.1
Misalkan matriks A = [2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] dan Matriks B = [2 -1 1;1 2 3;2 1 2].
Hitunglah matriks C yang merupakan penjumlahan matriks A dan matriks B.
Solusi 1.
>> A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1];
>> B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2];
>> C=A+B
C =
4 0 0
2 1 4
4 3 3
Solusi 2. Penyelesaian menggunakan file-M:
%Program penjumlahan 2 buah matriks berordo sama clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2];
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
6
C=A+B; %menampilkan matriks A, B, dan C A B C %Akhir program
c. Perkalian Matriks
Jika matriks A = (aij) berukuran (m x n), dan matriks B = (bij) berukuran (n x
k), maka: A B = C. Dengan matriks C = (cij) berukuran (m x k), dimana
∑=
=n
1kkjikij ba c . Syarat yang harus dipenuhi: jumlah kolom pada matriks A harus
sama dengan jumlah baris pada matriks B.
Contoh 3.2: Tentukanlah matriks C yang merupakan perkalian matriks A dan matriks
B, dan matriks D yang merupakan perkalian matriks B dan matriks A. Apakah matriks
C sama dengan matriks D ?
Solusi 1:
>> C=A*B
C =
3 -1 3
3 -2 0
8 3 10
>> D=B*A
D =
5 5 -2
10 5 4
9 5 1
Solusi 2: Penyelesaian menggunakan file-M:
%Program peerkalian 2 buah matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2]; %proses perkalian matriks C=A*B;
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
7
D=B*A; %menampilkan matriks A, B, C dan D A B C D %Akhir program
Catatan:
Pada MATLAB perkalian matriks dengan pola elemen ke elemen juga dapat dilakukan
dengan notasi yang sedikit berbeda yaitu: ” .* ”
Hitunglah perkalian elemen ke elemen matriks A dan B pada contoh 3.1.
>> E=A.*B
E =
4 -1 -1
1 -2 3
4 2 2
d. Transpos Matriks
Jika matriks A = (aij) berukuran (m x n), maka transpos dari matriks A yaitu AT
= (aji) berukuran (n x m).
Untuk mentrasposkan matrik A(yang telah didefinisikan di atas), lakukan langkah
berikut:
>> F=A' F = 2 1 2 1 -1 2 -1 1 1
e. Trace (Spur) Matriks
Jika matriks A = (aij) berukuran (n x n), maka Trace dari matriks A:
∑=
=n
1iiia A Tr
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
8
Pada MATLAB:
>> trace(A)
ans = 2
f. DETERMINAN
Untuk setiap matriks bujur sangkar A berukuran (n x n) atau dikatakan berorde
n, terdapat sebuah bilangan det (A) atau det (aij) yang disebut determinan A.
Contoh 3.f.1:
Hitung determinan matriks A berikut:
−
−=
122111112
A
Solusi 1: dikerjakan langsung pada command windows
>> A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] A = 2 1 -1 1 -1 1 2 2 1 >> det(A) ans = -9
Solusi 2: Diselesaikan dengan membuat script pada file-M. %Program menghitung determinat matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %pernyataan determinan B = det(A); %menampilkan matriks A, dan determinannya A %matriks A B %determinan dari matriks A %Akhir progran
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
9
Keluaran program:
A =
2 1 -1
1 -1 1
2 2 1
B = -9
Latihan f.1:
Hitunglah determinan dari matriks berikut ini. Petunjuk (a)kerjakan langsung pada
jendela perintah (b) buat script pada file-M.
=
2241330412102301
A
g. MATRIKS INVERS
Jika matriks A = (aij) berukuran (n x n), maka invers dari matriks A
( dituliskan A-1) secara formal dirumuskan sebagai berikut:
(A)det
(A)adjoint A 1- =
dimana
adjoint (A) =
T
mnmm
n
akofakofakof
akofakofakof
)()()(
)()()(
21
11211
LMMMMMM
L
= kof (A)T
Sifat berikut haruslah dipenuhi oleh A-1, yaitu:
AA-1 = A-1A = I
dengan I adalah matriks identitas. Hal khusus berikut juga haruslah dipenuhi oleh A-1,
yaitu:
1. Jika matriks A orthogonal, maka:
A-1 = AT
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
10
2. Jika matriks A uniter, maka:
A-1 = A+
Dalam MATLAB®7, matriks invers dari matriks A diperoleh dengan
menggunakan perintah inv(A).
Contoh g.1: Hitunglah matriks invers dari:
−
−=
122111112
A
Solusi 1:
>> A
A =
2 1 -1
1 -1 1
2 2 1
>> B=inv(A)
B =
0.3333 0.3333 0
-0.1111 -0.4444 0.3333
-0.4444 0.2222 0.3333
Solusi 2: %Program mencari invers matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %menghitung invers matriks A B = inv(A); %menampilkan matriks A, dan invers dari A, yaitu matriks B A B %Akhir program
Fiber, Fisika FMIPA UNSRI
11
Keluaran program:
A =
2 1 -1
1 -1 1
2 2 1
B =
0.3333 0.3333 0
-0.1111 -0.4444 0.3333
-0.4444 0.2222 0.3333