1

Objectifs spécifiques

Comparer les oscillations libres et les oscillations forcées d’un système mécanique.

Mise en évidence de la résonance d’élongation d’un pendule élastique.

Etablir l’expression de l’amplitude xMax des oscillations d’un pendule élastique

en fonction de la pulsation de l’excitateur.

Etudier l’influence de l’amortissement sur l’acuité de la résonance d’élongation

d’un pendule

Élastique. Distinguer une résonance aiguë d’une résonance floue.

Établir l’expression du déphasage entre la force excitatrice F(t) et l’élongation

x(t) d’un solide en oscillations forcées.

- Exprimer la puissance mécanique moyenne d’un pendule élastique.

Utiliser l’analogie formelle électrique - mécanique pour :

- déterminer l’expression de l’amplitude de la charge et mettre en évidence

la résonance de charge dans un circuit RLC série.

- déterminer l’expression de l’amplitude de la vitesse et mettre en évidence

la résonance de vitesse d’un pendule élastique.

2

Plan du cours

Oscillations mécanique libre, non amorties

Expérience

Dispositif expérimental

Etude théorique

Equation différentielle

Solution de l’équation différentielle

Bilan énergétique

Oscillations mécanique libre, amorties

Etude théorique

Bilan énergétique

Oscillations mécaniques forcées

Etude théorique

Equation différentielle

Expression de l’amplitude xMax en fonction de ωe. Résonance d’élongation.

Expression du déphasage

Puissance moyenne.

Tableau des analogies formelles électromécaniques

3

Oscillations mécaniques

A-Oscillations mécanique libre, non amorties

I-Expérience

1-Dispositif expérimental

2-Constatations

- Si on déplace le solide S de sa position d’équilibre pis on le lâche sans vitesse

initiale.

Une étude cinématique montre que le mouvement du solide S est rectiligne

et sinusoïdal d’équation horaire x(t)=xMaxsin( ω0t + φ).

- La période propre T0 liée à la pulsation ω0=2π/T0, peut être est mesurée à l’aide

d’un chronomètre.

- Cette période propre dépend de la valeur de la masse (m) du solide S

et de la constante de raideur (k) du ressort.

II-Etude théorique

- Soit le système S{ Solide }

- Bilan des forces RP,R,T� � �

,

Rails de

guidage

Solide S Ressort

O i X X’

G

4

1-Equation différentielle

a-Schéma

b- Etude dynamique

Si on choisit comme système le solide S

Ce système est soumis au cours de ses oscillations à un ensemble

de forces

Le référentiel terrestre est supposé galiléen

Appliquons la deuxième loi de newton au solide S

Projetons cette relation sur l’axe X’X On obtient :

Px + TRx + Rx = m. ax = m.a

Or Px=0 ; TRx= -k.x(t) ; Rx=0

ce qui donne -k. x(t)= m. a(t) ,

a(t) étant l’accélération du solide S qui s’écrit en fonction de x(t) ; 2

2

d xa=

dt

On établit ainsi l’équation différentielle 2

2

d x k+ x(t)=0

dt m

c-Solution de l’équation différentielle

Cette équation différentielle admet pour solution la fonction x(t) =xMaxsin( ωt + φ) ,

ce qui justifie l’allure de la courbe obtenue par enregistrement graphique.

Vérifions que cette équation est bien une solution de l’équation différentielle.

5

x(t) =xMaxsin( ωt + φ) , xMax et φ sont déterminés à partir des conditions

initiales.

dx(t)=v(t)

dt= ω.xMaxcos( ωt + φ).

2

2

d x

dt= - ω2.xMaxsin( ωt + φ)= - ω2.x(t).

Remplaçons dans l’équation différentielle on trouve : - ω2.x(t) + kx(t)

m=0

en mettant x(t) en facteur x(t).[ - ω2+ ]=0

k/m= ω2 , La pulsation propre des oscillations est donc donnée par la relation

est exprimée en rd.s-1. K en N.m-1. et m en kg.

0 T0/4 T0/2

3.T0/4

T0

2.T0 t

0

XMax

x(t) x(t)= XMax.sin( ωt + π/2)

6

0 T0/4 T0/2

3. T0/4

T0

2 T0

t(s)

-VMax

0

VMax

V(t) v(t)=dx/dt= VMaxcos(ωt+π/2)

2-Bilan énergétique

a-Energie cinétique du solide S

L’énergie cinétique du solide S est donnée par la relation Ec = ½.mv2.

où v est la vitesse du solide

Ec= Ec = ½.mv2= ½.m (ω.xMax.cos( ωt + φ))2= ½.m.ω2.x2Maxcos2 ( ωt + φ).

Comme ω2=k/m , en simplifiant par m on obtient .

Ec= ½.k....x2Maxcos2 ( ωωωωt + φφφφ).

0 T0 2T0 t(s) 0

½.mvMax2

Ec(J)

7

b-Energie potentielle du système { Solide, terre, ressort)

Ep = Epp + Epel , avec

- Epp l’énergie potentielle de pesanteur du système qui reste constante au cours

des oscillations , que l’on suppose nulle et égale à la référence des énergies

potentielle de pesanteur.

- Epel est l’énergie potentielle élastique donnée par la relation

Epel= ½.kx2. avec x la déformation ∆l du ressort et qui dans ce cas est égale

à l’abscisse x(t) du solide S au cours du mouvement.

Epel= ½.k (x(t) =xMaxsin( ωt + φ)2 = ½.k. x2Maxsin2( ωt + φ).

Epel=½.k. x2Maxsin2( ωωωωt + φφφφ)

0 T0/2 T0 t 0

½.kxMax2

Ep(J)

8

c-Energie mécanique du système { Solide ,terre, ressort)

L’énergie mécanique du système s’écrit EM= Ec +Epp + Eel.

EM= ½.k....x2Maxcos2 ( ωωωωt + φφφφ) + ½.k. x2

Maxsin2( ωωωωt + φφφφ)

EM= ½.k. x2Max .[cos2 ( ωωωωt + φφφφ)+ sin2( ωωωωt + φφφφ)]=½.k. x2

Max=constante indépendante

du temps

On conclut que l’énergie mécanique du système se conserve et elle est égale

à une constante que l’on peut calculer en utilisant la relation :

EM =½.k. x2Max.

EM est exprimée en joules(J), k en N.m-1,et x en m

0 T0/2 T0 t 0

EC(t) Ep(t) EM

9

B-Oscillations mécanique libre, amorties

I- Expérience

1-Dispositif expérimental

2-Constatations

- Le solide est maintenant lié une tige qui plonge dans un liquide dont on peut

modifier la viscosité - On décale le solide de sa position initiale puis on le lâche

sans vitesse initiale.

- Une étude cinématique permet de tracer la courbe de variation de l’abscisse x

du solide au cours du temps.

- On obtient les différentes courbes pour différents liquides de plus en plus visqueux.

Rails de

guidage

Solide S Ressort

O i X X’

G

10

0 T0 2T0 t

0

x(t)

Régime pseudo périodique h assez faible

0 t

0

x(t)

Régime apériodique RTot trés grande

11

II-Etude théorique :

1- Equation différentielle

- Si on choisit comme système S le solide (S + Tige + Plaque ) mais on choisit

une tige et une plaque de masses négligeables devant la masse de la tige

- Bilan de forces { RP, ,R,FT� � ��

} Avec P m.g=�

�

; R k.x.iT = −�

�

; f h.v= −�

�

h : facteur d’amortissement qui augmente avec la viscosité du liquide et la grandeur

de la partie de la plaque immergée dans le liquide.

V : vitesse instantanée du solide S.

- Référentiel terrestre supposé galiléen.

- Appliquons la deuxième loi de Newton

R G GP R T F m.a .a+ + + =� � � �

� �

: Accélération du solide S dans le repère x’ox

Projetons sur l’axe x’x Px + Rx + TRx + fx = max = ma

Px =0 ; Rx=0 ; TRx = - k.x ; fx = -h.v

Avec v= dx/dt et a = d2x/dt2.

En replaçant chaque terme par son expression on trouve - k.x -h.v = m.a

- k.x -h.dx/dt = m.d2x/dt2

2

2

d x dxm. + h. + k.x = 0

dt dtEquation différentielle dont la solution dépend

de m, k et h .

12

SIMULATION RESOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE INFLUENCE DE h , m et k

2- Les différents régimes des d’oscillations

3- Bilan énergétique

L’énergie mécanique ME du système {(solide + accessoire), Ressort, Terre}

M el

pp 0

2el

2c

2 2M

E = Ec + Epp + Ep

E = La reference des energies potentielles Epp =0

Ep = ½.kx .

E = ½. Mv .

E = ½.kx + ½. Mv

Dérivons cette expression par rapport au temps

dEM/dt= k.x dx/dt + M.v dv/dt = v. ( kx + dv/dt) = v( k.x + d2x/dt2)

Or d’après l’équation différentielle k.x + d2x/dt2 = -h.v ; alors

dEM/dt= v(-h.v)=-h.v2

On conclut que dEM/dt <0 Ce qui permet de dire que l’énergie mécanique diminue

et que sa diminution est égale aux travaux des forces de frottements qui dissipent

de l’energie sous forme de chaleur.

13

C-Oscillations mécaniques forcées

I-Pendule élastique en oscillation mécanique entretenues par un excitateur

Expérience

1-Schéma

a-Un chariot de masse m= accroché à l’extrémité d’un ressort de constante

de raideur k roule sur deux rails horizontaux sur lequel on peut fixer une tige,

liée à une plaque qui plonge dans un fluide visqueux .Le liquide visqueux exerce

par l’intermédiaire de la tige et de la plaque sur le solide S au cours de son

mouvement, une force de frottement f= -h.v.

Avec h une constante positive et v la vitesse du solide.

L’autre extrémité du ressort est liée à l’excentrique d’un moteur par l’intermédiaire

d’un fil inextensible qui passe dans la gorge d’une poulie à axe fixe et de masse

négligeable. Voir le schéma ci-dessous.

L’ensemble (moteur + excentrique + fil + ressort) sert a transmettre au solide S

une force excitatrice F F.i=��

Avec F= FMaxsin( ωet).

Rails de

guidage

Solide S Ressort Poulie à axe fixe

O i X X’

A B Moteur avec

son

Excentrique

14

b-Constatations

- On remarque que l’amplitude des oscillations du solide S dépend de la fréquence

de l’excitateur

- L’amplitude des oscillations est maximale pour une fréquence particulière ωR

de l’excitateur

- Quand on change la valeur de l’amortissement la fréquence ω R pour laquelle

l’amplitude est maximale n’est plus la même.

- La valeur de la pulsation R pour laquelle l’amplitude est maximale est inferieur

à la valeur de la pulsation propre ω0.

Courbe xMax en fonction de ωe

Une étude expérimentale permet de mesurer la valeur de l’amplitude xMax

pour différentes valeurs de la pulsation ωe de l’excitateur. Puis on refait la même

expérience avec des facteurs d’amortissements différents. On obtient les courbes

suivantes :

15

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0 ω ω ω ωR2 ωωωωR1 ωe 0

XMax

Avec un amortissement

h2>h1

Avec un amortissement h1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

16

Etude théorique

1- Schéma

Soit G le centre d’inertie du solide S, représentons les forces qui s’exercent

sur ce solide.

Equation différentielle

Soit le système formé par le solide S

Soumis au bilan des forces { RP , R , T� � �

, Fe

�

, f�

}

Le référentiel terrestre est supposé galiléen

On applique la deuxième loi de Newton au solide S. RP+T R+f+F = m.ae+�� � � �

� ,

avec a� le vecteur accélération du centre d’inertie du solide S et f= -h.v�

�

maxF .sin( . ).ie e eF tω ϕ= +��

et RT = -k.x. i��

.

Projetons les vecteurs de cette équation sur l’axe X’X ;

Fex+Px + TRx + Rx + fx= m.ax= m.a.

Px=0 , Rx=0 , TRx= -k.x , fx= -h.v , Fex=Fe= max.sin( . )e eF tω ϕ+ et a= 2

2

d x

dt

O i�

X X’

eF (t)�

RT�

P�

f�

R�

G

M

x

17

Remplaçons dans l’équation des projections on trouve :

-k.x -h.v + Fe = m.a

max e e-k.x - hv + .sin(ω .t+ )=m.aF ϕ

2

max e e 2

dx d x-k.x - h + .sin(ω .t+ )=m.

dt dtF ϕ

2

max e e2

d x dxm + h +k.x = .sin(ω .t+ ).

dt dtF ϕ

Equation différentielle qui admet pour solution ax e ex(t) = X .sin(ω .t+ )M ϕ fonction

sinusoïdale de pulsation ωe égale à la pulsation imposée par l’excitateur

dont l’amplitude Xmax dépend de la valeur de la pulsation ωe de l’excitateur.

2- Construction de Fresnel.

Si on fait correspondre à chaque terme de cette équation différentielle une fonction

sinusoïdale pour laquelle on attribue un vecteur de fresnel défini par ces coordonnées

polaire à la date t=0s.

Pour axax e e

e

Xx(t) = X .sin(ω .t+ ) M

M

u

uuϕ

ϕ ϕ =

→ =

�

�

• 1

1 ax

ax e e 1

e

.Xk.x(t) = k.X .sin(ω .t+ )

M

M

V

V kVϕ

ϕ ϕ

= → =

�

�

�

e ax e e e ax e e

dx(t)=v(t)=ω X .cos(ω .t+ )=ω X .sin(ω .t+ + )

dt 2M M

πϕ ϕ

e Max e e e ax e ev(t)=ω X .cos(ω .t+ )=ω X .sin(ω .t+ + )2M

πϕ ϕ

Max e v Max e Max v ev(t)=V .sin(ω .t+ ) avec V ω X et + 2

πϕ ϕ ϕ= =

18

• e ax e e e ax e e

dx(t)h.v=h. =h.v(t)=h.ω X .cos(ω .t+ )=h.ω X .sin(ω .t+ + )

dt 2M M

πϕ ϕ

2

2 e ax

e ax e e 2

e

h.ω Xh.v=h.ω X .sin(ω .t+ + )

2 2

M

M

V

VV

πϕ πϕ ϕ

= →

= +

�

�

�

• 2

2 2e ax e e e ax e e2

d xm m.ω X .sin(ω .t+ )=m.ω X .sin(ω .t+ + )

dt M Mϕ ϕ π= −

3

23 ax2

e ax e e 32e

.Xd xm m.ω X .sin(ω .t+ + )

dt

M

M

V

V kVϕ π

ϕ ϕ π

= = → = +

�

�

�

• max

e max

e

F (t)= .sin( . )

e e

V

V FF t Vω ϕ

ϕ ϕ

= + → =

�

�

�

FMax

k XMax

hωωωωe XMax

xϕ + π+ π+ π+ π

xϕ + π/2 + π/2 + π/2 + π/2 ==== vϕ

eϕ

mωωωωe2 XMax< k XMax

ωωωωe2<k/m

xϕ

e xϕ ϕ−

O

A

H

mωωωωe2 XMax

19

3- Expression de l’amplitude xMax en fonction de ωωωωe. Résonance

d’élongation.

D’après la construction de Fresnel et dans le triangle OAH on peut écrire

que OA2 = AH2+OH2

2 2 2 2 2F ( ) ( ) .Max e e Maxh k m xω ω = + −

Cette expression de xMax montre bien que l’amplitude des oscillations dépend

bien de la pulsation ωe de l’excitateur.

Montrons que cette amplitude atteint une valeur maximale pour une valeur

particulière de la pulsation de l’excitateur notée ωR.

En effet cette fonction xMax= f(ωe)est maximale quand le dénominateur

D= 2 2 2 2e eh ω +(k-mω ) est minimal , or ce dénominateur D(ωe) est minimal quand

sa dérivée R

e ω

0ω

dD

d

=

s’annule pour ωe= ωR

Dérivons la fonction D(ωe) par rapport à ωe.

2 2 2 22 2 2 2 2 2e e

e e e e ee e

(h ω +(k-mω ) )[h ω +(k-mω ) ] ' 2h ω 2(k-mω )(-2mω )

ω ω

ddD

d d= = = +

eω

dD

d= 2 2

e e e2h ω 2(k-mω )(-2mω )+ , cette fonction dérivée s’annule pour ωe= ωR

MaxMax 2 2 2 2

e e

Fx =

h ω +(k-mω )

20

R

2 2R R R

e ω

2 h ω 2(k-mω )(-2mω ) 0ω

dD

d

= + =

2 2 2 2 2

R Rh 2(k-mω )(-m) h 2mk +2mω 0+ = − =

2 2 2 22 2

R 02 2 2 22

2mk h 2 mk h k h hω ω

2m 2m m 2m 2m2m

−= = − = − = −

22 2

R 0 2

hω =ω

2m−

22

R 0 2

hω = ω

2m−

On remarque bien que cette pulsation ωR pour laquelle l’amplitude tend vers

sa valeur maximale est toujours inferieure à la pulsation propre du résonateur.

4- Expression du déphasage.

D’après la construction de Fresnel le déphasage e xϕ ϕ ϕ∆ = − est déterminé

dans le triangle OAH telque :

2( ) e

e xe

htg

k m

ωϕ ϕ ϕω

∆ = − =−

5- Puissance moyenne.

On définit la puissance moyenne par la relation :k

m

Pmoy = FMax . VMax . cos( e vϕ ϕ− ) Avec 2v x

πϕ ϕ= +

21

Tableau des analogies formelles électromécaniques :

Grandeurs mécaniques Grandeurs électriques

Abscisse x(t)

Vitesse v(t)= dx/dt

Masse m (Inertie)

Amortissement h

Constante de rappel k

Excitateur Fe(t)

Pulsation propre ω0=k

m

Pulsation à la résonance d’élongation

22

R 0 2

hω = ω

2m−

Pulsation à la résonance de vitesse

ωe=ω0= k

m

Charge q(t)

i(t)= dq/dt

Inductance propre L

Resistance Rtot

Capacité du condensateur C

uG(t)

ω0=1

L.C

Pulsation à la résonance de charge

22

R 0 2ω = ω

2LtotR−

Pulsation à la résonance d’intensité

ωe=ω0= 1

L.C