LOGO

Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau thì có phép

dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Từ kết quả của định lý trên, ta có thể phát biểu: “Hai

tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến

tam giác này thành tam giác kia”.

Nhận xét:

Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình

này thành hình kia.

Định nghĩa

Ví dụ

Cho hình bình hành ABCD, khi đó một

đường thẳng bất kỳ đi qua tâm O của

ABCD, luôn chia hình bình hành

ABCD ra thành hai hình bằng nhau. A

B C

D

.O

Nếu hình (H1) bằng hình (H2) và hình (H2) bằng hình

(H3) thì hình (H1) bằng hình (H3).

Định lý

Ví dụ

Cho hai parabol (P) và (P’) có pt: y = f(x) = -x2 – 2x + 3

và Y = g(X) = -X2 + 4. CM hai parabol đó bằng nhau.

Giải: ta viết lại phương trình y = f(x) = -x2 – 2x + 3 như

sau: y = -x2 – 2x + 3 = -(x + 1)2 + 4 Như vậy, tồn tại phép tịnh tiến theo vectơ u = (1;0) để

(P’) = Tu(P).

Vậy, hai parabol (P) và (P’) bằng nhau.

LOGO

Phép vị tự tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là: V(O,k)

Cho một điểm O cố định và một số K không đổi, k ≠ 0.

phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

OM’ = kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

O

M

M’

M’’.I

Ví dụ 1: Hình bên là kết quả của

hai phép vị tự:

V(O; 2)

V(I; -1/2)

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và O là tâm đường

tròn ngoại tiếp .

hãy vẽ ảnh của ∆ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k = ½

Hãy vẽ ảnh của ∆ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2

Ví dụ 3

Ta nhận thấy:

Phép đối xứng tâm là phép vị tự.

Phép đối xứng trục không là phép vị tự.

Phép tịnh tiến theo vectơ khác 0 không là phép vị tự.

Ví dụ 2

Định lý 2

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt

thành hai điểm M’ và N’ thì: M’N’ = kMN; M’N’ = |k|MN

Định lý 1

Hệ quả

Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng

song song (hoặc trùng) với nó, biến tia thành tia, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên

với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số

đồng dạng là |k|, biến góc thành góc bằng nó.

Trong mặt phẳng Oxy, Nếu

phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số

k biến điểm M(x; y) thành

điểm M’(x’; y’) thì:

x’ = kx + (1- k)a

y’ = ky + (1- k)b

Biểu thức tọa độ

Nếu I ≡ O(0;0) thì:x’ = kxy’ = ky

Tìm pt (d’) là ảnh của (d): 5x

– 2y – 1 = 0 qua phép vị tự

tâm I(2; 3) và tỉ số k = 4.

Ví dụ

Giải: Giả sử M’ = V(I;4)(M),

với M(1; 2) ∊ (d). Từ đó ta

suy ra: M’(-2; -1) ∊ (d’).

Do (d’) = V(I;4)(d) nên d//d’

⇒ d’: 5x – 2y + m = 0.

Vì M’(-2;-1) ∊ (d’) ⇒ m = 8

Vậy pt (d’): 5x – 2y + 8 = 0.

Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành

đường tròn có bán kính |k|R.

Định lý 3

Giải: Ta viết lại phương trình đường tròn (C) như sau:

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 4 ⇒ tâm I(3; -4) và bán kính R = 2.

Tìm pt (C’) là ảnh của (C): x2 + y2 – 6x + 8y + 21 = 0

qua phép vị tự tâm A(2; 1) và tỉ số k = 2.

Ví dụ

Do (C’) = V(A;2)(C), nên (C’) có bán kính R’ = |2|.2 = 4.

Gọi I’ là tâm của (C’), ta có: I’ = V(A;2)(I), với I(3; -4). Từ

đó ta suy ra: I’(4; -10). Vậy phương trình (C’) là:

(x – 4)2 + (y + 10)2 = 16

Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến

đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép

vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Định lý

Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương, thì tâm vị tự đó là

tâm vị tự ngoài.

Nếu phép vị tự đó có tỉ số âm, thì tâm vị tự đó là tâm

vị tự trong.

Nhận xét

TH1: Nếu I ≡ I’ và R ≠ R’ thì I là tâm vị tự và |k| = R’/R

Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’)

TH2: Nếu I ≠ I’ và R = R’ thì k ≠ ± 1; khi đó tâm vị tự O

phải thỏa: OI’ = k.OI ⇒ k = -1, vì I ≠ I’ ⇒ O là trung điểm II’.

TH3: Nếu I ≠ I’ và R ≠ R’ thì k = ±R’/R và OI’ = k.OI

Khi k > 0, thì tâm O1 là điểm nằm ngoài đoạn II’ sao cho:

O1I’ = R’.O1I/R

Khi k < 0, thì tâm O2 là điểm nằm trong đoạn II’ sao cho:

O2I’ = -R’.O2I/R