c6-phep bien hinh trong mp

8/9/2019 c6-Phep Bien Hinh Trong Mp

1/15

Phn 6: Php bin hnh trong mt phng

Phn 6: Php bin hnh trong mt phng Php di hnh phng 1: Php i xng trc

I/ nh ngha:Cho trc ng thng d. Php bin i bin X d thnh chnh n v bin im M (M d) thnh im M sao cho d l trung trc ca on MM. Khi ta ni php i xngtrc d bin im M thnh im M v k hiu: (d): M M.

II/ Tnh cht:1/ (d) c mt ng thng bt ng duy nht l d.2/ (d) c php bin i l (d).3/ Nu A, B l nh ca A, B trong php bin i (d) th AB = AB.* Ch : cc php i xng tm, tnh tin, php quay u biu din c di

dng tch ca hai hay nhiu php i xng trc (s ni trong nhng phn sau).Bi 1: Hai ng thng bng nhau (O 1 ) v (O 2 ) cng tip xc trong vi ng trn

(O) cc im A 1 , A 2 . Mt im M ty ca (O) c ni vi A 1 v A 2 . Cc on

thng MAi ct (Oi) cc im Bi tng ng (i=1,2 ). Cmr A1 A 2 // A1 A 2 .

2: Php tnh tinI/ nh ngha:

Cho trc vect u 0 vi mi im M trong mt phng ta dng im M sao cho'MM u= . Khi ta ni M l nh ca M trong php tnh tin theo vectu v k hiu T

( ): '

uM Mr .

u c gi l vect tnh tin.II/ Tnh cht:

1/ uTr

khng c im bt ng.2/ uTr c php bin i ngc l ( )uT

r

3/ Nu A, B l nh ca A, B trong php bin i th ' ' A B AB=4/ Tch hai php tnh tin l mt php tnh tin voi vect tnh tin bng tng hai vect

tnh tin ban u tc l: ( ') ( ) ( ')u u u uT T T+ = +r uur r uur

5/ Tch hai php i xng tm vi hai tm phn bit l mt php tnh tin.

(2OO')T =uuuur (O) . (O)6/ Tch hai php i xng trc vi hai trc song song l mt php tnh tin.

(2 )hT =r (d) . (d) trong :

h l vect php tuyn ca d v d| h | bng khong cch gia d v d

7/ Cho V(O 1 , K1 ) vf V(O 2 , K2 ) lg hai php v t tm O 1 , O 2 t s v t ln lt l k1 , k2 v

k1 .k2 = 1. Khi V(O 2 ,K2 ) . V(O 1 ,K1 ) l mt php tnh tin:

2 2 1 1( , ) ( , )( ).

O K O K uT V V=r vi

1 21 2

1 2

1.

O Ou O O

O O

=

r uuuuur

108


2/15


Bi tp:Bi 1: Trong hnh thang ABCD (BC // AD), tng ahi y ln bng tng hai canh bn.

Gi M l giao im ca cc ng phn gic trong ca cc gc A v B, gi N l giaoim ca cc phn gic trong gc C v D. Cmr: 2MN = BC + AD (AB + CD ).

Bi 2: Cho (O), dy cung AB c nh C l im chuyn ng trn (O). Dng hnh

bnh hnh ABCD. Cmr tm ng trn (BDC) c nh.* Ch : Php tnh tin c dng nhiu cc bi ton l hnh bnh hnh, hai ngtrn ct nhau, hai ng thng song song c khi c c hnh thang.

3: Php i xng tmI/ nh ngha:

Cho trc im O. Php bin i bin O thnh O v bin mi im M O thnh imM sao cho O l trung im ca MM. Khi ta ni php i xng tm Obin im Mthnh M k hiu:(o): M M.

II/ Tnh cht:

1/ (o) c duy nht mt im bt ng.2/ (o) c php bin i ngc l (o).3/ A, B l nh ca A, B qua php bin i (o) th ' ' A B AB= .

4/ Q(O,1800

) l php i xng tm O.5/ Cho (d) v (d) l hai php i xng trc vi hai trc i xng l d v d sao

cho 'd d .(o) = (d) . (d) ( 'd d )

6/ ((), 1)V l php i xng tm O.7/ Tch 3 php i xng tm vi 3 tm phn bit cng l mt php i xng tm.

(o) = 3( )O . 2( )O . 1( )O

8/ Cho ( )uTr l php tnh tin vect u . Khi ( )uTr . (O) hay (O) . ( )uTr l mt php

i xng tm vi tm i xng nht c xc nh nh sao1

2OI u= uur r

(I) = T ( )ur . (O) hay (I) = (O) . T ( )ur .

Bi tp:Bi1: T gic ABCD ni tip ng trn (O). Chng minh rng cc ng thng i

qua trung im ca mt cnh (hoc mt ng cho) v vung gc vi cnh i din(hoc ng cho kia) th ng quy.

Bi 2:(bi ton con bm) Cho (O) v dy cung AB. I l trung im AB. CD v EFln lt l 2 dy cung khc ca (O) v cng i qua I. CE v DF ct AB ln lt ti P,

Q.Cmr IP = IQ.Bi 3: Cho tam gic ABC. Trn cc cnh BC, CA, AB ta ly ln lt cc cp A 1 v A

2 , B 1 v B 2 , C 1 v C 2 sao cho 6 im nm trn cng mt ng trn. Cmr nu cc

ng thng i qua A 1 vung gc vi BC, i qua B 1 vung gc vi CA, i qua C 1 vung

gc vi AB ng quy th cc ng thng i qua A 2 vung gc vi BC, i qua B 2

vung gc vi CA , i qua C 2 vung gc vi AB cng ng quy.

109


3/15


Bi 4: Cho A 0 , B 0 v C 0 ln lt l trng im cc cnh BC, CA v AB ca ABC chotrc trong mt phng. Vi mi im M ca mt phng ta ly ln lt cc im A, B,C i xng ca M qua A 0 , B 0 , C 0 . Chng t rng: cc on thng ni AA, BB,CCng quy ti im M no .

4: Php quayI/ nh ngha:Cho trc im O v gc nh hng php bin i bin O thnh O v bin im Mthnh im M (M khc O) sao cho cc iu kin sau ay ng thi tha mn.

1/ OM = OM

2/ ( , ')OM OM =uuuur uuuuur

Khi ta ni php quay tm O, gc quay bin M thnh M v k hiu ( , ) 'OQ M M .II/ Tnh cht:

1/ Php quay ( , )OQ c mt im bt ng duy nht l O ( 0 )

2/ ( , )OQ . ( , )OQ v ( , )O OQ l mt php ng nht.

3/ A, B l nh ca A, B qua php bin i ( , )OQ th AB = AB v0( , ' ') (mod360 ) AB A B

4/ Tch hai php quay2 1( , ) ( , ) 1 2

. ( )O OQ Q Q O O = l mt php quay = + v

tm quay O c xc nh nh sau:1

1 2( , )

2

:O

Q O O x

,2

1 2( , )

2

:O

Q O O y . O l giao

im ca x v y.K hiu: ( , )OQ + hay 2 1( , ) ( , ).O OQ Q . c bit

0360 = + = th2 1( , ) ( , )

.O OQ Q l mtphp tnh tin.

5/ Tch hai php i xng trc vi hai trc ct nhau l mt php quay tm O vi

O l giao im ca hai trc i xng; ( ,2 )OQ = (d) . (d) l gc to bi d v d.Cc bi ton:Bi 1: (im Toriselli) Cho tam gic nhn ABC, M l mt im min trong tram

gic. Xc nh v tr ca M tng MA + MB + MC nh nht.Bi gii:

Thc hin php quay tm O gc 060 0

( , 60 )'

'B

Q C A

M M

BMM v BCA u MB = MM v MC = MA.Ta c: T = MA + MB + MC

= MA + MM + MA AAt ti A, M, M, A thng hng tc l 0 0' 120 , 120 AM B BMC AMB= = = hay M nhn 3 cnh ca

di gc 1200.im M c dng nh th c gi l im Toricelli catam gic nhn ABC.

110

C B

A

A

M

M'


4/15


T bi ton trn ta c mt s kt qu. Gi A, B, C l cc im sao cho BCA, ACB, ABC u. A, A nm khc phaBC; B, B nm khc pha i vi AC; C, C nm khc pha i vi AB. Khi : AA =BB = CC = min T = min ( MA + MB + MC) AA, BB, CC ng quy ti im Toricenlli ca ABC. Hai im Toricelli ca hai ABC, ABC trng nhau.Ta hay tip tc khai thc cc tnh cht ca hai ABC v ABC .

Bi 2: (Bi ton Napoleng) Cho ABC v ABC c xc nh nh bi ton 1.Gi O 1 , O 2 , O 3 ln lt l tm cc u ABC, ABC, ABC. Khi O 1 O 2 O 3 u.

Bi gii:Bi ton ny ta c th dng lng gic, dng im Toricelli, dng php v t quay

gii nhng y xin gii thiu vi bn c cch chng minh bng php quay v dnglng gic chng minh.

* Cch chng minh bng php quay:0 3( ,30 )

1

:B

Q O K

O H

O1 O 3 = KH v 03 1( , ) 30O O KH =

Li c 31 AA'

AA' 3 3

BO KH KBKH

AB AB= = = =

O1 O 3 = KH =AA'

3

Tng t: O 2 O 1 ='

3

BB

O 2 O 3 = '3CC

Theo bi ton 1 ta c AA = BB = CC O 1 O 2 O 3 u (pcm)

* Cch chng minh bng cng c lng gic:Theo nh l hm s cos ta c:

2 2 2 0

2 3 3 2 2 32 . . os(A+60 )O O O A O A O A O A c= +

2 2 0

2

2 3

2 os(A+60 )

3

b c bccO O

+ =

Tng t:2 2 02

1 22 os(C+60 )

3a b abcO O + =

Ta cn chng minh:O 2 O 3 = O 1 O 2

2 2 2 22 osA+ 3 sin 2 osC+ 3 sin

3 3

b c bcc bc A a b abc ab C + + =

111

O2

O1

O3

B

A

C

A'

C'

B'

K

H

O3

O2

B C

A

B'

C'


5/15


2 2 2 2 2 2

2 3 2 32 2 ABC ABC

a b c a b cS S

+ + + + + = + (ng)

Tng t ta cng c: O 1 O 2 = O 2 O 3 O 1 O 2 O 3 u (pcm)Cc cch chng minh bi ton ny u mang phong v ring. Ring cch chng minh

bng lng gic cho ta nhiu hng m th v.Ngay t gi thit cc ABC, ABC, ABC c dng khc pha vi ABC vi cc

cnh chung. Bng h thc:2 2 0

2

2 3

2 2 2

2 os(A+60 )

3

2 36 ABC

b c bccO O

a b cS

+ =

+ += +

Ta c cu hi liu nu cc ABC, ABC, ABC c dng cng pha vi ABC thtnh cht ca O1 O 2 O 3 c thay i khng? Cng bi h thc trn nu ta tinh mt t tas c:

2 2 0

22 3

2 2 2

2 os(A-60 )

3

2 36 ABC

b c bccO O

a b cS

+ =

+ +=

(trng hp dng cng pha)

Tng t ta c O 1 O 2 2 = O 1 O 3 2 =2 2 2

2 36 ABC

a b cS

+ +

mi O 1 O 2 O 3 vn l tam gic u. Nhng khng dng li y. Ta gi din tchtam gic u c dng sao cho 3 nh ca n l tm 3 u dng khc pha vi ABC trn 3 cnh ca ABC l S 2 . Gi din tch u c dng sao cho 3 nh ca

n l 3 tm ca 3 u dng cung pha vi ABC trn 3 cnh ca ABC l S1 khi ta c h thc: SABC = S 2 -S1

Chng minh:Ta c:

2 2 2

2

2 2 2

1

3 2 3( )

4 6 3

3 2 3( )

4 6 3

ABC

ABC

a b cS S

a b cS S

+ += +

+ +=

1 2

3 4 3

4 3 ABC ABC S S S S

= =

(pcm)

ng l mt h thc tht p.Nu ta tip tc khai thc, trong trng hp u ABC, ABC c dng khc pha

vi ABC v O 3 , O 2 l tm hai tam gic y v gi N l trung im ca BC. Th khi yta c CNO 2 v BNO 3 l hai na u (bn c t c/m).

Ta i tip mt s bi ton khc.

112


6/15


Php bin i ng dng Php v t v php v t quay

A- Php v t:I/ nh ngha: Cho trc mt im O v mt s thc k 0. Php bin i bin mi

im M thnh im Msao cho 'OM kOM = c gi l php v t tm O h s k vc k hiu V(O,k). im M c gi l nh ca im M, M l to nh ca M, Ol tmca php v t, k l h s v t. II/ Tnh cht:

T/c1: Php v t V(O,k) (k 1) c mt im bt ng duy nht l O. T/c2: Nu M l nh ca M qua php v t th O, M, M thng hng.

T/c3: 1( , )Ok

V l php bin i ngc ca V(O,k).

T/c4: V(O,k) bin s3 im thng hng thnh 3 im thng hng.

T/c5: Cho hai php v t V(O 1 ,k1 ) v V(O 2 ,k2 ) vi cc tm v t phn bit l mt

php v t t s k = k1 k2 c tm thng hng vi tm ca hai php v t hoc mt php

tnh tin ty theo k1 k2 1 hoc k1 k2 = 1. T/c6: Tch hai php bin i ( , ) ( ).O k uV Tr hoc ( , )( ) . O KuT Vr l mt php v t trong

( )uTr l php tnh tin theo vect u .

Cc bi ton m u: Bi 1: Gi D l im tip xc cu ng trn tm I nij tip ABC vi cnh BC. E,M ln lt l trung im ca AC v BC. Chng minh rng M, I, E thng hng.

Bi gii:B : ng trn ngoi tip ca

i qua trung im ca on thng

ni tm ng trn ni tip v bngtip ( b n gin dnh chocc bn c)

Gi d l tip tuyn ca I song songvi BC vi S l tip im, d ct AB,AC ln lt ti P, Q.

D thy D, I, S thng hng.

( , ) 'ACAAQ

S K PQ BC V

I I

I l

tm ng trn bng tip ABC.Do IS PQ IK BC.

Theo b trn T l trung im caIIDo D, M, K l hnh chiu ca I, T, Iln BC M l trung im DK

I l trung im DSE l trung im DA

M A, S, K htng hng. M, I, E thng hng ( pcm).

113

d

I

S

A

B C

I'

D M K

E


7/15


Bi 2: (ng thng Euler) Trong ABC c H, G, O ln lt l trc tm trong tmv tm ng trn ngoi tip ca . Chng minh rng H, G, O thng hng (ng thng gi l ng thng Euler ca ).

Bi gi:Gi A, B, C ln lt l trung im ca BC, AC,

AB. D thy O l trc tm ABC1

( , )2

' ' 'G

ABC A B C V

H O

hay 1

2GO GH = uuur uuur

hay

G, ,O, H thng hng (pcm)Ch : Gi O l tm ng trn ngoi tip ABC

ta c 1( , )2

'G

V O O

hay1

'2

GO GO= uuuur uuur

hay G, O, O

thng hng.Nh vy ta c mt khng nh mnh hn l Bnim H, O, G, O thng hng v theo th t y lp

thnh hng im iu ha.' 1

2'

O G OG

OHO H= =

Bi 3: (ng trn Euler ng trong 9 im). Cho ABC vi H l trc tm.Gi A 1 , B 1 , C 1 ln lt l trung im ca BC, AC, AB. A 2 , B 2 ,C 2 ln lt l trung

im ca HA, HB, HC. A 3 , B 3 , C 3 ln lt l chn ng cao ca H xung BC, AC,

AB. Chng minh rng 9 im Ai ( 1,3i = ) Bi ( 1,3i = ) Ci ( 1,3i = ) ng vin (ng trn gi l ng trn Euler ca ).

Bi gii:V(H, 2) : Ai ( 1,3i = ) 'iA ( 1, 3i = )

Bi ( 1,3i = ) 'iB ( 1,3i = )Ci ( 1,3i = ) 'iC ( 1, 3i = )

A 3 H = A 3'

3A '3 BA C BHC =

' 03

180 BA C BAC BHC BAC + = + =

'3

A (O) tng t B '3, C '

3(O)

Li c : A '2 A, B'

2 B, C'

2 C A '2 , B

'

2 ,C'

2 (O)

Mt khc A 1 A'

1 = A 1 hay ' 0

1

180 BAC BAC+ =

(do

'

1 BAC BHC= )

A '1 (O) tng t B'

1 , C'

1 (O) A '1 , B

'

1 , C'

1 , A'

2 , B'

2 , C'

2 , A'

3 ,B'

3 , C'

3 cng nm trn mt ng trn

Hay A 1 , B 1 , C 1 , A 2 ,B 2 ,C 2 ,A 3 ,B 3 C 3 cng nm trn mt ng trn (pcm).Bi 4: (nh l Melelauyts) Cn v A, B, C nm trn cc cnh BC, AC, AB

ca ABC thng hng l:

114

HG

O

B

A

C

A'

B'C'

B2C2

A2B3

C1

A3

B1H

O

O'

B C

A'3

B'3A

C'3

B'1

A1

C3

A'1


8/15


' ' '1

' ' '

A B B C C A

A C B A C B=

Bi gii:Trc ht ta k hiu: V 1 = V(C,k1 ), V

2 = V(B, k2 ), V 3 =V(A, k3 ) vi

1 2 3

' ' '

' ' '

C A B C A C k k k

C B B A A B= = = ta c V 1

: B A, V 2 : A C, V 3 : B CMt khc: V 2 .V 1 : B C. theo tnh cht 5v tch hai php v t th V 1 .V 2 l mt

php v t c tm thng hng vi C v B v c t s v t k = k1 .k2 1 (BC khngsong song vi BC).Li c 2 1 :V V B C o tm v t ca 2 1V Vo phi l giao im A ca hai ng thng

BC v B C. Ni cch khc 2 1 3V V V=oVy ta c k1 . k2 = k3 hay k1 k2 k3 -1 = 1 (pcm).

Bi 5: Cho ba ng trn (O 1 ) (O 2 ) (O 3 ) ngoi nhau. A, B, C ln lt l giao

im ca cc tip tuyn chung ngoi ca (O 2 ) v (O 3 ), (O 1 ) v (O 3 ), (O 1 ) v (O 2 ).Chng minh rng A, B, C thng hng.

Bi gii:Gi R1 , R2 , R3 ln lt l bn knh

ca ba ng trn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 )

1

3

3 1( , )

: ( ) ( )RB

R

V o O , 21

1 2( , )

: ( ) ( )RC

R

V o O ,

2

3

3 2( , )

: ( ) ( )RA

R

V O O

Ta c: 2 11 3

3 2( , ) ( , )

: ( ) ( )R RC B

R R

V V O Ootheo

tnh cht 5 v hai tch php v t

2 1

1 3

( , ) ( , )R R

C BR R

V Vo l mt php v t c tm

thng hng vi B, C (do

2 2 2

1 3 3

. 1 R R R

R R R= )

L c: 2 11 3

3 2( , ) ( , )

: ( ) ( )R RC B

R R

V V O Oo tm v t ca 2 11 3

( , ) ( , )R R

C BR R

V Vo l giao im A ca hai

ng thng BC v O 2 O 3 hay A, B, c thng hng (pcm).

Bi 6: Cho hai ng thng d 1 d 2 ct nhau ti O. C 2007 ng trn tip xc ngoinhau v tip xc vi hai ng thng . ng trn th nht c bn knh l 1, ngtrn th 2007 c bn knh 2007. Tnh ng trn th 2006.

115

C'

B'

B

A

C A'

A

O3

O2

C

O1

B


9/15


Bi gii: Gi l gc to bi d 1 , d 2 ;

( 1, 2007)iR i = l bn knh ng trn th i.

Ta c:

2 2 1 1 2 2 1

1 1 1 1

OO1 sin

2 2 OO

R OO R R R Rk

R OO OO

+ += = = = + + 1 sin sin

2 2k

= + +

1 sin2

1 sin2

k

+ =

Tng t:3

2

Rk

R

= hay 2 23 1

R Rk

R R

= =

R1 ,R2 , R3 lp thnh cp s nhn cng bi k

1

1

1

( 1.2007)i i

R

R kR i+

=

= =R2007 = k2006 R1 k = 2006 2007 R2006 = k2005 R1 = 2006 20052007

n y th bi ton kt thc ta d dng tng qut ha bi ton. Thc cht bi tonny l s dng php v t tm O t s k: ( , ) 3 2 1: ( ) ( ) ( )O kV O O O .

Bi7: Trong ABC ta v cc trung tuyn AA 1 , BB 1 , CC 1 . O l tm vng trn ngoitip ABC. Chng minh rng cc ng trn ngoi tip cc AOA 1 , BOB 1 , COC 1 cim trung th hai khc O.

Bi gii:Gi O 1 , O 2 , O 3 ln lt l tm

ng trn ngoi tip cc AOA1 , BOB 1 ,COC 1 .

Ta chng minh: O 1 , O 2 , O 3 thnghng.

Theo gi thit ta c:O 1 trung trc OA

O 1 trung trc OA 1 {O 1 } = d BC (d l trung trc OA)

1( , )

2

: ( , ) ( , )2

' ' '

O

RV O R O

ABC A B C

d l tip tuyn ca (ABC)

116

O

O1

O2

O3

A'

B' C'

O

BCA1

A

O1


10/15


Chng minh tng t O 2 , O 3 l giao im ca tip tuyn tiB, C vi AC, ABca ABC.Theo nh l Pascal O 1 , O 2 ,O 3 thng hng hay (O 1 ) (O 2 ) (O 3 ) i qua im i xngca O qua ng thng (O 1 O 2 O 3 ) (pcm)

Ch : nh l PascalCho lc gic ABCDEF ni tip ng trn tm O. P, Q, R thng hng khi P, Q, R lnlt l giao im ca:

a) AB & DE, BC &EF, CD & AFb) CE & BF, CD &AF, BD & AEc) AB & EF, BC & DE, CF & AD

B Php v t quay:nh ngha: Cho trc im O gc nh hng v s thc dng k 0. Php bin

i bin O thnh O bin im M khc O thnh M sao cho tha ng thi cc iu kinsau.

a) OM = k .OM

b)

( ', )OM OM =

uuuuur uuuur

khi ta ni php v t qauy tm O gc quay h s v t k bin im M thnh imM. K hiu: ( , ) ( , ).O k O k V Q hay ( , ) ( , ).O O kQ V .

Bi tp: Cho im D nm trong nhn ABC sao cho 090 ADB ACB= + & . . AC BD AD BC= .

a) Tnh t s.

.

AB CD

AC BD.

b) Chng minh rng hai tip tuyn ti im C ca ng trong ngoi tip cc ACD v BCD vung gc nhau.

Bi gii:

a) ( , )( , ). :

'AC A BADAAD

D CV QB B

+ ,

0' ' 90 BCB ACB ACB ADB ACB= = =

ABD ABC '

AD BD BD

AC B C BC = = BC = BC

Ta cng c:

ADC ABB '

'

AC AB

CD BB=

ABD ABC '

'

BD B C

AB AB=

Nhn v vi v:. ' 1

. ' 2

AC BD B C

CD AB BB= = hay

.2

.

CD AD

AC BD=

b) Gc to bi hai tip tuyn ti hai ng trn ti C cng l gc to bi hai tip tuynca hai ng trn ti D.

Gi Dx, Dy l tip tuyn ca (ADC), (BDC) ti D.

117

y

x

B C

B'

A

D


11/15


, xDA ACD yDB DCB

xDy ADB xDA yDB

= =

=

0( ) 90 ADB ACD DCB ADB ACB= + = =Ch : Php v t c s dng gii cc bi ton thng hng, ng dng.

Ta s dng php v t khi trong bi ton c.+ Hai ng trng c quan h no .+ Hai hnh ng dng v c cng c im chung (cng trng tm, cng tm

ngoi tip)

Php nghch oI/ nh ngha: Cho trc mt im O v s thc k O vi mi im M khc O ta

dng im M sao cho . 'OM OM k = , khi ta ni im M l nh ca im M trong

php nghch o tm (cc) O phng tch k. K hiu: ( , ) : 'O k N M M

* ng trn tm O bn knh R k= c gi l ng trn nghch o.

k > 0: (O, R) c gi l ng trn nghch o thc.k < 0: (O, R) c gi l ng trn nghch o o.

II/ Tnh cht:1/ Php N ( , )O k c php bin i ngc l chnh n.

2/ Nu A, B l nh ca A, B trong php bin i N ( , )O k th ' ' ..

k A B AB

OAOB=

3/ Php bin i N ( , )O k bin mi im M bn trong ng trn nghch o thnhM nm bn ngoi ng trn nghch o v ngc li.4/ Php bin i N ( , )O k bin ng thng d thnh

ng thng d khi v ch khi O d. ng trn O khi v ch khi Od.5/ Php bin i N ( , )O k bin ng trn I thnh.

ng thng d khi v ch khi O (I). ng trn I khi v ch khi O (I) v khi (I) cng l nh ca (I) qua

php v t tm O t sk

p, trong O l phng tch ca O i vi (I).

/( )

( , ): ( ) ( ')

O I

kO

P

V I I.

6/ Nu ng thng d v ng trn (I) cng i qua hoc khng cng i qua O thgc to bi nh ca d & (I) qua N ( , )O k cng chnh l gc to bi chng.7/Nu hai ng trn (I) v (I) cng i qua hoc khng i qua O th gc to binh ca d v (I) qua N ( , )O k cng chnh l gc to bi chng.

Ch : Gc to bi ng thng v ng trn c im chung l gc to bi ngthng vi tip tuyn ca ng trn ti im chung .

118


12/15


Gc to bi hai ng trn c im chung l gc to bi hai tip tuyn cahai ng trn ny ti cc im chung.

* Cc tnh cht ca php nghch o nu trn ch ni v ng thng v ng trn.Nh th qua php nghich o th elip, hybelbon, parbol s bin thnh hnh g? Cu tr liny xin dnh cho bn c.

* Qua nh ngha ca php nghch o ta thy php t tng ng M M l mtsong nh t tp ngun n tp ch. Nh th gia ng trn v ng thng ta lun tmc mt php nghch o bin ng trn thnh ng thng v ngc li (CM dnhcho bn c). Tc l tp hp im ca ng trn bng tp hp im ca ngthng !!!?

Bi tp m:Hy xy dng mt song nh t tp (O,1) n tp R v ngc li.

Bi gii:nh x t hnh v l song nh cn tm.

Php nghch o gi ra nhiu iu l th.T tp (O,1) R ta c th xy dng songnh t (O,1) R. Qua ta cng hiu lng thn lf ng trn c bn knh v

cng ln.Cc bi ton m u:

1/ Hy dng nh ca im M qua php bin i N ( , )O k . Khi bit tm (cc) O vng trn nghch o.

2/ Cho (O,R) v ng thng d nm ngoi (O,R), M l mt im nm trn d. Qua Mk hai tip tuyn n (O,R) vi A, B l tip im. Chng minh rng khi M di ng trn dth AB lun i qua im c nh.

3/ Cho M nm ngoi ng trn (O). T M k ti (O)f mt tip im MT (T l tip

im). Chng minh rng php nghch o 2( )MTN bin O thnh chn n.

Bi 1: Cho mt ng thng d v hai ng trn (O 1) (O2) tip xc ngoi vi nhau vcng tip xc vi d. Hy dng mtt ng trn tip xc ng thi vi hai ng trn cho v tip xc vi ng thng d.

Bi gii:1/ Trng hp cc tip tuyn ca hai ng trn trn d khc nhau .

119

O


13/15


* Phn tch: Gi s (O) l ng phi dng ta k hiu A, B l tip im ln ltca (O 1 ), (O 2 ) ln d.

2 2 2( , ): ( ) ( )

A AB N O O

1( ) 'O d (O) (O)d d

* Cch dng: Dng nh d ca (O 1 ) qua php nghch o 2( , ) A ABN (tc l ng

thng dsong song vi d v tip xc vi (O 2 ). Dng ng trong (O) tip xc vi d, dv (O 2 ). Dng nh ca (O) qua php nghch o 2( , ) A ABN ta c (O) cn dng.

* Chng minh dnh cho bn c.* Bin lun: R1 R2 Bi ton c hai nghim hnh

R1 = R2 Bi ton c hai nghim duy nht

R1 , R2 l bn knh ca (O 1 ) v (O 2 )2/ A B bi ton lun c nghim v v s nghim.Ta xt tip bi ton tng t.Cho 3 ng trn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) i mt tip xc ngoi nhau dng ng trn (O)

tip xc vi c 3 ng trn va nu.Bi gii:

Gi A, B, C ln lt l tipim ca cc ng trn (O 1 ) (O

2 ),(O 2 ) (O 3 ), (O 3 ) (O 1 ). R1 , R2 ,

R 3 ln lt l bn knh ca (O 1 ),

(O 2 ), (O 3 ).* Phn tch gi (O) l ng

trn cn dng.

2 23 3( , ) A AO R

N

: (O3) (O

3)

(O1 ) d1 (d 1 , d 2 cng tip xc vi (O 3 ),

(O 2 ) d 2 d 1 // d 2 , d

1 O 1 O 2 , d 2 O1 O 2 )(O) (O)

120

d'

d

O1

O2

O

A B

d1

d2

O1

O2

O3O O'

B

C


14/15


* Cch dng: dng nh d 1 , d 2 ca (O 1 ) (O 2 ) qua php nghch o cc A phng

tch (AO 3 2 R3 2). Dng ng trn (O) tip xc vi (O 3 ), d1 , d 2 .

Dng nh ca (O) qua php nghch o A phng tch (AO 3 2 R3 2) ta c (O) cndng.

* Chng minh dnh cho bn c.* Bin lun: Bi ton c hai nghim hnh.Ta th tm hiu thm v bi ton dng hnh trn.Bi ton: Cho hai ng trn (O 1 ) (O 2 ) khng cha nhau. Tm qu tch tm O

ng trn tip xc vi c hai ng trn trn (cng tip xc trong hay tip xc ngoinhau).

Gii:Gi R1 , R2 ln lt l bn

knh ca hai ng trn (O 1 )

(O 2 ).

Phn thun:Ta c: OO 1 - OO 2 = R1 - R2 = const. qu tch tm O l hai nhnhhybelbol vi hai tiu im l O

1v O

2.

Phn o: dnh cho bn c.T bi ton ny ta c th suy

ra vi 3 ng bt k sao cho khng c hai ng trn no trong chng cha nhau thlun lun tm c ng trn (O 1 ), (O 2 ) tip xc vi c 3 ng trn trn. Trong O

1 , O 2 ln lt l giao ca 3 nhnh hybelbol ca 3 ng trn trn.

Nh th vi 3 ng trn tip xc ngoi tng i ta c th dng c ng trn tip

xc vi 3 ng trn trn bng thc v compa. Cn nu 3 ng trn ngoi nhau th sao? m ta chng minh lun lun tn tai hai ng trn nh th.

121

O

O2

O1

O

O2

O1


15/15


?

Bi 2: Cho M nm trong ABC. t x = MA, y = MB, z = MC v p, q, r ln lt lkhong cch t M n BC, CA, AB. Chng minh rng:

1 1 1 1 1 1 1( )( )( )

pqr x y y z z x + + +

Bi gii:+ Trc ht ta chng minh xyz (p + q) (p + r) (q+ r) (*)Tht vy ta c t gic MRCQ ni tip nn PQ2 =AM2 sin2A (1).Li c:RQ2 =q2 +r2 2prcos(B + C)

2 2

2 2

( sin sin )

( sin sin )

RQ q B r C

RQ q C r B

+

+(2)

T (1) v (2) 2AM sinA qsinB + rsinC +qsinC + rsinB 2ax (q + r) (b + c) tng t

2by (p + r) (a + c)2cz (p + q) (a + b)

xyz (p + q) (p + r) (q + r) (*)+ Thc hin php nghch o tm M t s k = 1

N(M,1) : A, B, C, P, Q, R A 1 , B 1 , C 1 , P1 , Q 1 , R1 ng trn (MRAQ) ng thng (R1 A 1 Q 1 )Theo tnh cht php nghch o MA Q 1 R1 tng t MC R1 Q 1 , MB P 1 R1 .p dng h thc (*) i vi im M trng P1 Q 1 R1 ta c:

1 1 1 1 1 1 1( )( )( )

pqr x y y z z x + + + (pcm).

122

zy

M

x

P

QR

A1

R1

Q1

B

A

C

P1

c6-phep bien hinh trong mp

Documents