bai tap chon loc on tap toan 9

BAI TAP PHAN RUT GON

Chuyn I: Cn thc bc hai Bi 1 :

1) n gin biu thc : P = .

2) Cho biu thc : Q =

a) Rt gn biu thc Q.

b) Tm x > - Q.

c) Tm s nguyn x Q c gi tr nguyn.

Hng dn :

1. P = 62. a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : Q = .

b) > - Q x > 1.

c) x = th Q ZBi 2 : Cho biu thc P =

a) Rt gn biu thc sau P.

b) Tnh gi tr ca biu thc P khi x = .

Hng dn :

a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : P = .

b) Vi x = th P = - 3 2.Bi 3 : Cho biu thc : A =

a) Rt gn biu thc sau A.

b) Tnh gi tr ca biu thc A khi x =

c) Tm x A < 0.

d) Tm x = A.

Hng dn :

a) KX : x 0, x 1. Biu thc rt gn : A = .

b) Vi x = th A = - 1.

c) Vi 0 x < 1 th A < 0.

d) Vi x > 1 th = A.Bi 4 : Cho biu thc : A =

a) Rt gn biu thc sau A.

b) Xc nh a biu thc A > .

Hng dn :

a) KX : a > 0 v a9. Biu thc rt gn : A = .b) Vi 0 < a < 1 th biu thc A > .

Bi 5 : Cho biu thc: A = .1) Tm iu kin i vi x biu thc c ngha.

2) Rt gn A.

3) Vi x Z? A Z?

Hng dn :

a) KX : x 0 ; x 1.

b) Biu thc rt gn : A = vi x 0 ; x 1.c) x = - 2003 ; 2003 th A Z.Bi 6 : Cho biu thc: A = .a) Rt gn A.b) Tm x A < 0.

c) Tm x nguyn A c gi tr nguyn.

Hng dn :

a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : A = .b) Vi 0 < x < 1 th A < 0.c) x = th A Z.Bi 7 : Cho biu thc: A =

a) Rt gn biu thc A.

b) Chng minh rng: 0 < A < 2.

Hng dn :

a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : A =

b) Ta xt hai trng hp :

+) A > 0 > 0 lun ng vi x > 0 ; x 1 (1)

+) A < 2 < 2 2() > 2 > 0 ng v theo gt th x > 0. (2)T (1) v (2) suy ra 0 < A < 2(pcm).Bi 8 : Cho biu thc: P = (a 0; a 4)a) Rt gn P.

b) Tnh gi tr ca P vi a = 9.

Hng dn :

a) KX : a 0, a 4. Biu thc rt gn : P =

b) Ta thy a = 9 KX . Suy ra P = 4Bi 9 : Cho biu thc: N = 1) Rt gn biu thc N.

2) Tm gi tr ca a N = -2004.

Hng dn :

a) KX : a 0, a 1. Biu thc rt gn : N = 1 a .

b) Ta thy a = - 2004 KX . Suy ra N = 2005.Bi 10 : Cho biu thc

a. Rt gn P.

b. Tnh gi tr ca P khi

c. Vi gi tr no ca x th P t gi tr nh nht v tnh gi tr nh nht .

Hng dn :

a ) KX : x 0, x 1. Biu thc rt gn :

b) Ta thy KX . Suy ra

c) Pmin=4 khi x=4.

Bi 11 : Cho biu thc

a. Rt gn P. b. Tm x c. Tm gi tr nh nht ca P.

Hng dn :

a. ) KX : x 0, x 9. Biu thc rt gn :

b. Vi th

c. Pmin= -1 khi x = 0

Bi 12: Cho A= vi x>0 ,x1

a. Rt gn A

b. Tnh A vi a =

( KQ : A= 4a )

Bi 13: Cho A= vi x0 , x9, x4 .

a. Rt gn A.

b. x= ? Th A < 1.

c. Tm

(KQ : A= )

Bi 14: Cho A = vi x0 , x1.

a. Rt gn A.

b. Tm GTLN ca A.

c. Tm x A =

d. CMR : A . (KQ: A = )

Bi 15: Cho A = vi x0 , x1.

a . Rt gn A.

b. Tm GTLN ca A . ( KQ : A =

)

Bi 16: Cho A = vi x0 , x1.

a . Rt gn A.

b. CMR :

( KQ : A =

)

Bi 17: Cho A =

a. Rt gn A.

b. Tm

( KQ : A =

)

Bi 18: Cho A = vi a 0 , a9 , a4.

a. Rt gn A.

b. Tm a A < 1

c. Tm ( KQ : A =

)

Bi 19: Cho A= vi x > 0 , x4.

a. Rt gn A.

b. So snh A vi ( KQ : A = )

Bi20: Cho A = vi x0 , y0,

a. Rt gn A.

b. CMR : A 0 ( KQ : A = ) Bi 21 : Cho A = Vi x > 0 , x1. a. Rt gn A.

b. Tm x A = 6 ( KQ : A = )

Bi 22 : Cho A = vi x > 0 , x4.

a. Rt gn A

b. Tnh A vi x = (KQ: A = )

Bi 23 : Cho A= vi x > 0 , x1.

a. Rt gn A


Bi 24 : Cho A= vi x0 , x1.

a. Rt gn A.

b. Tm (KQ: A = )

Bi 25: Cho A= vi x0 , x1.

a. Rt gn A.

b. Tm

c. Tm x A t GTNN . (KQ: A = )

Bi 26 : Cho A = vi x0 , x9. a. Rt gn A.

b. Tm x A < -

( KQ : A =

)

Bi 27 : Cho A = vi x0 , x1.

a. Rt gn A


c . CMR : A

Bi 28 : Cho A = vi x > 0 , x1.

a. Rt gn A (KQ: A = )

b.So snh A vi 1

Bi 29 : Cho A = Vi

a. Rt gn A.

b. Tm x A =

c. Tm x A < 1.

( KQ : A =

)

Bi30 : Cho A = vi x0 , x1.

a. Rt gn A.

b. CMR nu 0 < x < 1 th A > 0

c. Tnh A khi x =3+2

d. Tm GTLN ca A (KQ: A = )

Bi 31 : Cho A = vi x0 , x1. a. Rt gn A.

b. CMR nu x0 , x1 th A > 0 , (KQ: A = )

Bi 32 : Cho A = vi x > 0 , x1, x4.

a. Rt gn

b. Tm x A =

Bi 33 : Cho A = vi x0 , x1.

a. Rt gn A.

b. Tnh A khi x= 0,36

c. Tm

Bi 34 : Cho A= vi x 0 , x9 , x4.

a. Rt gn A.

b. Tm

c. Tm x A < 0 (KQ: A = )

Chuyn II: hm s bc nhtBi 1 :

1) Vit phng trnh ng thng i qua hai im (1 ; 2) v (-1 ; -4).

2) Tm to giao im ca ng thng trn vi trc tung v trc honh.

Hng dn :

1) Gi pt ng thng cn tm c dng : y = ax + b.

Do ng thng i qua hai im (1 ; 2) v (-1 ; -4) ta c h pt :

Vy pt ng thng cn tm l y = 3x 12) th ct trc tung ti im c tung bng -1 ; th ct trc honh ti im c honh bng .

Bi 2 : Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.

1) Tm iu kin ca m hm s lun nghch bin.

2) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh bng 3.

3) Tm m th ca hm s trn v cc th ca cc hm s y = -x + 2; y = 2x 1 ng quy.

Hng dn :

1) Hm s y = (m 2)x + m + 3 m 2 < 0 m < 2.2) Do th ca hm s ct trc honh ti im c honh bng 3. Suy ra: x= 3; y = 0

Thay x= 3; y = 0 vo hm s y = (m 2)x + m + 3, ta c m = .

3) Giao im ca hai th y = -x + 2; y = 2x 1 l nghim ca h pt:

(x;y) = (1;1). 3 th y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2v y = 2x 1 ng quy cn:

(x;y) = (1;1) l nghim ca pt : y = (m 2)x + m + 3.

Vi (x;y) = (1;1) m =

B i 3 : Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.

1) Tm gi tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.

2) Tm gi tr ca m th ca hm s i qua im (1; -4).

3) Tm im c nh m th ca hm s lun i qua vi mi m.

Hng dn :

1) hai th ca hm s song song vi nhau cn: m 1 = - 2 m = -1.

Vy vi m = -1 th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.2) Thay (x;y) = (1; -4) vo pt: y = (m 1)x + m + 3. Ta c: m = -3.

Vy vi m = -3 th th ca hm s i qua im (1; -4).

3) Gi im c nh m th lun i qua l M(x0;y0). Ta c

y0 = (m 1)x0 + m + 3 (x0 1)m - x0 - y0 + 3 = 0

Vy vi mi m th th lun i qua im c nh (1;2).Bi 4 : Cho hai im A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Vit phng trnh ng thng AB.

2) Tm cc gi tr ca m ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2).

Hng dn :

1) Gi pt ng thng AB c dng : y = ax + b.

Do ng thng i qua hai im (1 ; 1) v (2 ;-1) ta c h pt :

EMBED Equation.3 Vy pt ng thng cn tm l y = - 2x + 3.

2) ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2) ta cn :

EMBED Equation.3 m = 2.

Vy m = 2 th ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2)Bi 5 : Cho hm s y = (2m 1)x + m 3.

1) Tm m th ca hm s i qua im (2; 5)

2) Chng minh rng th ca hm s lun i qua mt im c nh vi mi m. Tm im c nh y.

3) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh x = .

Hng dn :

1) m = 2.

2) Gi im c nh m th lun i qua l M(x0;y0). Ta c

y0 = (2m 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0

Vy vi mi m th th lun i qua im c nh ().Bai 6 : Tm gi tr ca k cc ng thng sau:

y = ; y = v y = kx + k + 1 ct nhau ti mt im.

Bi 7 : Gi s ng thng (d) c phng trnh y = ax + b. Xc nh a, b (d) i qua hai im A(1; 3) v B(-3; -1).Bi 8 : Cho hm s: y = x + m (D).

Tm cc gi tr ca m ng thng (D):1) i qua im A(1; 2003).

2) Song song vi ng thng x y + 3 = 0.

Chuyn III:

Phng trnh bt phng trnh bc nht mt n

H phng trnh bc nht 2 n .

A. kin thc cn nh :1. Phng trnh bc nht : ax + b = 0.

Phng php gii :

+ Nu a 0 phng trnh c nghim duy nht : x = .

+ Nu a = 0 v b 0 phng trnh v nghim.

+ Nu a = 0 v b = 0 phng trnh c v s nghim.

2. H phng trnh bc nht hai n :

Phng php gii :

S dng mt trong cc cch sau :

+) Phng php th : T mt trong hai phng trnh rt ra mt n theo n kia , th vo phng trnh th 2 ta c phng trnh bc nht 1 n.

+) Phng php cng i s :

- Quy ng h s mt n no (lm cho mt n no ca h c h s bng nhau hoc i nhau).

- Tr hoc cng v vi v kh n .- Gii ra mt n, suy ra n th hai.

B. V d minh ha :V d 1 : Gii cc phng trnh sau y :

a) S : KX : x 1 ; x - 2. S = .

b) = 2

Gii : KX : 0. (*)

Khi : = 2 2x = - 3 x =

Vi x = thay vo (* ) ta c ()3 + + 1 0

Vy x = l nghim.

V d 2 : Gii v bin lun phng trnh theo m : (m 2)x + m2 4 = 0 (1)

+ Nu m 2 th (1) x = - (m + 2).

+ Nu m = 2 th (1) v nghim.

V d 3 : Tm m Z phng trnh sau y c nghim nguyn .

(2m 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.

Gii :

Ta c : vi m Z th 2m 3 0 , vy phng trnh c nghim : x = - (m + 2) - .

pt c nghim nguyn th 4 2m 3 .

Gii ra ta c m = 2, m = 1.V d 3 : Tm nghim nguyn dng ca phng trnh : 7x + 4y = 23.

Gii :

a) Ta c : 7x + 4y = 23 y = = 6 2x +

V y Z x 1 4.

Gii ra ta c x = 1 v y = 4

bi tp phn h ptBi 1 : Gii h phng trnh:

a) b) c) d)

e) f)

Bi 2 : Cho h phng trnh:

1) Gii h phng trnh theo tham s m.

2) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm cc gi tr ca m x + y = -1.

3) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo m.


1) Gii h phng trnh khi thay m = -1.

2) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm m x2 + y2 t gi tr nh nht.


c nghim duy nht l (x; y).

1) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo a.

2) Tm cc gi tr ca a tho mn 6x2 17y = 5.

3) Tm cc gi tr nguyn ca a biu thc nhn gi tr nguyn.

B i5 : Cho h phng trnh:

1) Gii h (1) khi a = 2.

2) Vi gi tr no ca a th h c nghim duy nht.

Bi 6 : Xc nh cc h s m v n, bit rng h phng trnh

c nghim l .

Bi 7 : Cho h phng trnh (a l tham s).

1) Gii h khi a = 1.

2) Chng minh rng vi mi a h lun c nghim duy nht (x ; y) tho mn x + y 2.Bi 8 (trang 22): Cho h phng trnh : (m l tham s).a) Gii h khi m = -1.

b) Gii v bin lun pt theo m.

Bi 9 : (trang 24): Cho h phng trnh : (m l tham s).a) Gii h khi m = -1.

b) Tm gia tr nguyen cua m e he co hai nghiem nguyen.

c) Xac nh moi he co nghiem x > 0, y > 0.Bi 10 (trang 23): Mot oto va mot xe ap chuyen ong i t 2 au mot oan ng sau 3 gi th gap nhau. Neu i cung chieu va xuat phat tai mot iem th sau 1 gi hai xe cach nhau 28 km. Tnh van toc cua moi xe.

HD : Van toc xe ap : 12 km/h . Van toc oto : 40 km/h.

Bi 11 : (trang 24): Mot oto i t A d nh en B luc 12 gi tra. Neu xe chay vi van toc 35 km/h th se en B luc 2 gi chieu. Neu xe chay vi van toc 50 km/h th se en B luc 11 gi tra. Tnh o quang ng AB va thi diem xuat phat tai A.ap so : AB = 350 km, xuat phat tai A luc 4gi sang.

Bi 12 : (trang 24): Hai voi nc cung chay vao mot cai be nc can, sau gi th ay be. Neu luc au ch m voi th nhat, sau 9 gi m voi th hai th sau gi na mi nay be . Neu mot mnh voi th hai chay bao lau se nay be.

ap so : 8 gi.

Bi 13 : (trang 24): Biet rang m gam kg nc giam t0C th toa nhiet lng Q = mt (kcal). Hoi phai dung bao nhieu lt 1000C va bao nhieu lt 200C e c hon hp 10 lt 400C.Hng dan :Ta co he pt :

Vay can 2,5 lt nc soi va 75 lt nc 200C.

Bi 14 : Khi them 200g axt vao dung dch axt th dung dch mi co nong o 50%. Lai them 300g nc vao dung dch mi c dung dch axt co nong o 40%. Tnh nong o axt trong dung dch ban au.

Hng dan :Goi x khoi axit ban au, y la khoi lng dung dch ban au.Theo bai ra ta co he pt : Vay nong o phan tram cua dung dch axt ban au la 40%.Chuyn iV: Phng trnh bc hai

nh l viet v ng dng

A.Kin thc cn ghi nh

1. bin lun s c nghim ca phng trnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong a,b ,c ph thuc tham s m,ta xt 2 trng hp

a)Nu a= 0 khi ta tm c mt vi gi tr no ca m ,thay gi tr vo (1).Phng trnh (1) tr thnh phng trnh bc nht nn c th : - C mt nghim duy nht

- hoc v nghim

- hoc v s nghim

b)Nu a 0

Lp bit s = b2 4ac hoc / = b/2 ac

* < 0 (/ < 0 ) th phng trnh (1) v nghim

* = 0 (/ = 0 ) : phng trnh (1) c nghim kp x1,2 = -

(hoc x1,2 = -)

* > 0 (/ > 0 ) : phng trnh (1) c 2 nghim phn bit:

x1 = ; x2 =

(hoc x1 = ; x2 = )

2. nh l Vit. Nu x1 , x2 l nghim ca phng trnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) th

S = x1 + x2 = -

p = x1x2 =

o li: Nu c hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p th hai s l nghim (nu c ) ca phng trnh bc 2: x2 S x + p = 0

3. Du ca nghim s ca phng trnh bc hai.Cho phng trnh bc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gi x1 ,x2 l cc nghim ca phng trnh .Ta c cc kt qu sau:

x1 v x2 tri du( x1 < 0 < x2 ) p < 0

Hai nghim cng dng( x1 > 0 v x2 > 0 )

EMBED Equation.3 Hai nghim cng m (x1 < 0 v x2 < 0)

Mt nghim bng 0 v 1 nghim dng( x2 > x1 = 0)

EMBED Equation.3 Mt nghim bng 0 v 1 nghim m (x1 < x2 = 0)

EMBED Equation.3 4. Vi bi ton ng dng nh l Vit

a)Tnh nhm nghim.Xt phng trnh bc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

Nu a + b + c = 0 th phng trnh c hai nghim x1 = 1 , x2 =

Nu a b + c = 0 th phng trnh c hai nghim x1 = -1 , x2 = -

Nu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn v th phng trnh c nghim

x1 = m , x2 = n hoc x1 = n , x2 = m

b) Lp phng trnh bc hai khi bit hai nghim x1 ,x2 ca n

Cch lm : - Lp tng S = x1 + x2

- Lp tch p = x1x2 - Phng trnh cn tm l : x2 S x + p = 0

c)Tm iu kin ca tham s phng trnh bc 2 c nghm x1 , x2 tho mn iu kin cho trc.(Cc iu kin cho trc thng gp v cch bin i):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p

*) (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22*) =

*) =

*) (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2*)

(Ch : cc gi tr ca tham s rt ra t iu kin cho trc phi tho mn iu kin )

d)Tm iu kin ca tham s phng trnh bc hai c mt nghim x = x1 cho trc .Tm nghim th 2

Cch gii:

Tm iu kin phng trnh c nghim x= x1 cho trc c hai cch lm

+) Cch 1:- Lp iu kin phng trnh bc 2 cho c 2 nghim:

(hoc ) (*)

- Thay x = x1 vo phng trnh cho ,tm c gi tr ca

tham s

i chiu gi tr va tm c ca tham s vi iu kin(*)

kt lun

+) Cch 2: - Khng cn lp iu kin (hoc ) m ta thay lun

x = x1 vo phng trnh cho, tm c gi tr ca tham s

- Sau thay gi tr tm c ca tham s vo phng trnh v

gii phng trnh

Ch : Nu sau khi thay gi tr ca tham s vo phng trnh cho m phng trnh bc hai ny c < 0 th kt lun khng c gi tr no ca tham s phng trnh c nghim x1 cho trc.

tm nghim th 2 ta c 3 cch lm

+) Cch 1: Thay gi tr ca tham s tm c vo phng trnh ri gii phng trnh (nh cch 2 trnh by trn)

+) Cch 2 :Thay gi tr ca tham s tm c vo cng thc tng 2 nghim s tm c nghim th 2

+) Cch 3: thay gi tr ca tham s tm c vo cng thc tch hai nghim ,t tm c nghim th 2

B . Bi tp p dng Bi 1: Gii v bin lun phng trnh : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0

Gii.

Ta c = (m + 1)2 2m + 10 = m2 9

+ Nu > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoc m > 3 .Phng trnh cho c 2 nghim phn bit:

x1 = m + 1 - x2 = m + 1 +

+ Nu = 0 m = 3

Vi m =3 th phng trnh c nghim l x1.2 = 4

Vi m = -3 th phng trnh c nghim l x1.2 = -2

+ Nu < 0 -3 < m < 3 th phng trnh v nghim

Kt kun:

Vi m = 3 th phng trnh c nghim x = 4

Vi m = - 3 th phng trnh c nghim x = -2

Vi m < - 3 hoc m > 3 th phng trnh c 2 nghim phn bit

x1 = m + 1 - x2 = m + 1 +

Vi -3< m < 3 th phng trnh v nghim

Bi 2: Gii v bin lun phng trnh: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0

Hng dn

Nu m 3 = 0 m = 3 th phng trnh cho c dng

- 6x 3 = 0 x = -

* Nu m 3 0 m 3 .Phng trnh cho l phng trnh bc hai c bit s = m2 (m 3)(m 6) = 9m 18

- Nu = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phng trnh c nghim kp

x1 = x2 = - = - 2

- Nu > 0 m >2 .Phng trnh c hai nghim phn bit

x1,2 =

- Nu < 0 m < 2 .Phng trnh v nghim

Kt lun:Vi m = 3 phng trnh c nghim x = -

Vi m = 2 phng trnh c nghim x1 = x2 = -2

Vi m > 2 v m 3 phng trnh c nghim x1,2 =

Vi m < 2 phng trnh v nghim

Bi 3: Gii cc phng trnh sau bng cch nhm nhanh nht

a) 2x2 + 2007x 2009 = 0

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ()x - = 0

d) x2 (3 - 2)x - 6 = 0

Gii

a) 2x2 + 2007x 2009 = 0 c a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0

Vy phng trnh c hai nghim phn bit: x1 = 1 , x2 =

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c a b + c = 17 221 + 204 = 0

Vy phng trnh c hai nghim phn bit: x1 = -1 ,

x2 = - = - 12

c) x2 + ()x - = 0 c: ac = - < 0 .

Do phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .p dng h thc Viet ta c :

x1 + x2 = -() = - +

x1x2 = - = (- )

Vy phng trnh c 2 nghim l x1 = - , x2=

(hoc x1 = , x2 = - )

d ) x2 (3 - 2)x - 6 = 0 c : ac = - 6 < 0

Do phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .p dng h thc Vit ,ta c

Vy phng trnh c 2 nghim x1 = 3 , x2 = - 2

Bi 4 : Gii cc phng trnh sau bng cnh nhm nhanh nht (m l tham s)

a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0

b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0Hng dn :

a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 c a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0

Suy ra : x1 = 2

Hoc x2 =

b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)

* m- 3 = 0 m = 3 (*) tr thnh 4x 4 = 0 x = - 1

* m 3 0 m 3 (*)

Bi 5: Gi x1 , x2 l cc nghm ca phng trnh : x2 3x 7 = 0

a) Tnh:

A = x12 + x22 B =

C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lp phng trnh bc 2 c cc nghim l v

Gii ;

Phng trnh bc hai x2 3x 7 = 0 c tch ac = - 7 < 0 , suy ra phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .

Theo h thc Vit ,ta c : S = x1 + x2 = 3 v p = x1x2 = -7

a)Ta c

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23

+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = =

+ C = =

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta c :

S = (theo cu a)

p =

Vy v l nghim ca hng trnh :

X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0

Bi 6 : Cho phng trnh :

x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k l tham s)

1. Chng minh phng trnh (1 ) lun c hai nghim phn bit vi mi gi tr ca k

2. Tm nhng gi tr ca k phng trnh (1) c 2 nghim phn bit tri du

3. Gi x1 , x2 l nghm ca phng trnh (1) .Tm k : x13 + x23 > 0

Gii.

1. Phng trnh (1) l phng trnh bc hai c:

= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 - k + )

= 5(k2 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 vi mi gi tr ca k. Vy phng trnh (1) lun c hai nghim phn bit

2. Phng trnh (1) c hai nghim phn bit tri du p < 0

- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2.k + + ) < 0

-(k - )2 - < 0 lun ng vi mi k.Vy phng trnh (1) c hai nghim phn bit tri du vi mi k

3. Ta c x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

V phng trnh c nghim vi mi k .Theo h thc vit ta c

x1 + x2 = k 1 v x1x2 = - k2 + k 2

x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)

= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]

= (k 1) (4k2 5k + 7)

= (k 1)[(2k - )2 + ]

Do x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 + ] > 0

k 1 > 0 ( v (2k - )2 + > 0 vi mi k) k > 1

Vy k > 1 l gi tr cn tm

Bi 7: Cho phng trnh : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m l tham s)

1. Gii phng trnh (1) vi m = -5

2. Chng minh rng phng trnh (1) lun c hai nghim x1 , x2 phn bit vi mi m3. Tm m t gi tr nh nht (x1 , x2 l hao nghim ca phng trnh (1) ni trong phn 2.)Gii

1. Vi m = - 5 phng trnh (1) tr thnh x2 + 8x 9 = 0 v c 2 nghim l x1 = 1 , x2 = - 9

2. C = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5

= m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 vi mi m

Vy phng trnh (1) lun c 2 nghim phn bit x1 , x23. V phng trnh c nghim vi mi m ,theo h thc Vit ta c:

x1 + x2 = 2( m + 1) v x1x2 = m 4

Ta c (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]

=> = 2 = khi m + = 0 m = -

Vy t gi tr nh nht bng khi m = -

Bi 8 : Cho phng trnh (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m l tham s)

1) Gii phng trnh khi m = -

2) Chng minh rng phng trnh cho c nghim vi mi m3) Tm tt c cc gi tr ca m sao cho phng trnh c hai nghim phn bit v nghim ny gp ba ln nghim kia.Gii:

1) Thay m = - vo phng trnh cho v thu gn ta c

5x2 - 20 x + 15 = 0

phng trnh c hai nghim x1 = 1 , x2= 3

2) + Nu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi phng trnh cho tr thnh;

5x 5 = 0 x = 1 + Nu : m + 2 0 => m - 2 .Khi phng trnh cho l phng trnh bc hai c bit s :

= (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0

Do phng trnh c hai nghim phn bit

x1 = = x2 =

Tm li phng trnh cho lun c nghim vi mi m

3)Theo cu 2 ta c m - 2 th phng trnh cho c hai nghim phn bit. nghim ny gp 3 ln nghim kia ta st 2 trng hp

Trng hp 1 : 3x1 = x2 3 = gii ra ta c m = - ( gii cu 1)

Trng hp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m 9 m = (tho mn iu kin m - 2)

Kim tra li: Thay m = vo phng trnh cho ta c phng trnh :

15x2 20x + 5 = 0 phng trnh ny c hai nghim

x1 = 1 , x2 = = (tho mn u bi)

Bi 9: Cho phng trnh : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) vi m l tham s .

1. Bin lun theo m s c nghim ca phng trnh (1)

2. Tm m (1) c 2 nghim tri du.

3. Tm m (1) c mt nghim bng 3. Tm nghim th hai.

Gii

1.+ Nu m = 0 thay vo (1) ta c : 4x 3 = 0 x =

+ Nu m 0 .Lp bit s = (m 2)2 m(m-3)

= m2- 4m + 4 m2 + 3m

= - m + 4

< 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) v nghim

= 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) c nghim kp

x1 = x2 = -

> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) c 2 nghim phn bit

x1 = ; x2 =

Vy : m > 4 : phng trnh (1) v nghim

m = 4 : phng trnh (1) C nghim kp x =

0 m < 4 : phng trnh (1) c hai nghim phn bit:

x1 = ; x2 =

m = 0 : Phng trnh (1) c nghim n x =

2. (1) c nghim tri du < 0 < 0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Trng hp khng tho mn

Trng hp 0 < m < 3

3. *)Cch 1: Lp iu kin phng trnh (1) c hai nghim

0 0 m 4 (*) ( cu a c)

- Thay x = 3 vo phng trnh (1) ta c :

9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = -

- i chiu vi iu kin (*), gi tr m = - tho mn

*) Cch 2: Khng cn lp iu kin 0 m thay x = 3 vo (1) tm c m = -.Sau thay m = - vo phng trnh (1) :

-x2 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0

c = 289 189 = 100 > 0 =>

Vy vi m = - th phng trnh (1) c mt nghim x= 3

*) tm nghim th 2 ,ta c 3 cch lm

Cch 1: Thay m = - vo phng trnh cho ri gii phng trnh tm c x2 = (Nh phn trn lm)

Cch 2: Thay m = - vo cng thc tnh tng 2 nghim:

x1 + x2 =

x2 = - x1 = - 3 =

Cch 3: Thay m = - vo cng trc tnh tch hai nghim

x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 =

Bi 10: Cho phng trnh : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) vi k l tham s

1.Tm k phng trnh (1) c nghim kp

2. Tim k phng trnh (1) c 2 nghim x1 , x2 tho mn iu kin :

x12 + x22 = 10

Gii.

1.Phng trnh (1) c nghim kp = 0 k2 (2 5k) = 0

k2 + 5k 2 = 0 ( c = 25 + 8 = 33 > 0 )

k1 = ; k2 =

Vy c 2 gi tr k1 = hoc k2 = th phng trnh (1) C nghim kp.

2.C 2 cch gii.

Cch 1: Lp iu kin phng trnh (1) c nghim:

0 k2 + 5k 2 0 (*)

Ta c x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2

Theo bi ra ta c (x1 + x2)2 2x1x2 = 10

Vi iu kin(*) , p dng h trc vi t: x1 + x2 = - - 2k v x1x2 = 2 5k

Vy (-2k)2 2(2 5k) = 10 2k2 + 5k 7 = 0

(C a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

i chiu vi iu kin (*) ta thay ln lt k1 , k2 vo = k2 + 5k 2

+ k1 = 1 => = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; tho mn

+ k2 = - => = khng tho mn

Vy k = 1 l gi tr cn tm

Cch 2 : Khng cn lp iu kin 0 .Cch gii l:

T iu kin x12 + x22 = 10 ta tm c k1 = 1 ; k2 = - (cch tm nh trn)

Thay ln lt k1 , k2 vo phng trnh (1)

+ Vi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 c x1 = 1 , x2 = 3

+ Vi k2 = - (1) => x2- 7x + = 0 (c = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phng trnh v nghim

Vy k = 1 l gi tr cn tm

Bi tp v pt bc haiBi 1 : Cho phng trnh : x2 6x + 1 = 0, gi x1 v x2 l hai nghim ca phng trnh. Khng gii phng trnh, hy tnh:

1) x12 + x22 ;2) ; 3) .

Bi 2 : Cho phng trnh: 2x2 5x + 1 = 0.

Tnh (vi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh).

Bi 3 : Cho phng trnh bc hai:

x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tm cc gi tr ca m phng trnh lun c hai nghim phn bit.

2) Tm gi tr ca m tho mn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 l hai nghim ca phng trnh).Bi 4 : Cho phng trnh:

x2 2mx + 2m 5 = 0.

1) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim phn bit vi mi m.

2) Tm iu kin ca m phng trnh c hai nghim tri du.

3) Gi hai nghim ca phng trnh l x1 v x2, tm cc gi tr ca m :

x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.

Bi 5 : Cho phng trnh:

x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.

1) Gii phng trnh vi m = 0.

2) Gi hai nghim ca phng trnh l x1 v x2. Tm cc gi tr ca m tho mn 5x1 + x2 = 4.

Bai 6 : Cho phng trnh: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

1) Gii phng trnh (1).

2) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh (1). Tnh B = x13 + x23.

Bi 7 : Cho phng trnh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m l tham s).

a) Xc nh m phng trnh c mt nghim l bng 2. Tm nghim cn li.

b) Xc nh m phng trnh c hai nghim x1, x2 tho mn x13 + x23 0.

Bi 8 : Cho phng trnh:

(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)

1) Gii phng trnh khi m = 1.

2) Tm m phng trnh (*) c 2 nghim phn bit.Bi 9. Cho phng trnh (2m-1)x2-2mx+1=0

Xc nh m phng trnh trn c nghim thuc khong (-1,0)

Bi 10: Phng trnh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

Xt 2m-1=0=> m=1/2 pt tr thnh x+1=0=> x=1

Xt 2m-1(0=> m( 1/2 khi ta c

= m2-2m+1= (m-1)2(0 mi m=> pt c nghim vi mi m

ta thy nghim x=1 khng thuc (-1,0)

vi m( 1/2 pt cn c nghim x==

pt c nghim trong khong (-1,0)=> -1m

bai tap chon loc on tap toan 9

Documents