1

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

Nguyễn Xuân Viên

Chương I. VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1. Tìm giới hạn

1.1. lim→→

( + )

0; ≠ 0, ≠ 0

1.2. lim→→

0

1.3. lim→→

2

1.4. lim→→

1.5. lim→→

2. Nghiên cứu tính liên tục của hàm số

2.1. (,)= 1 − − nếu + ≤ 1

0 nếu + > 1 ê ụ (441)

2.2. (,)= + nếu + > 0

0 nếu = = 0 ℎô ê ụ ạ (0,0)

2.3. (,)=

() nếu ≠

0 nếu =

ℎô ê ụ ê đ =

2.4. (,)=

. 1 + ( + ) ế (, )≠ (0,0)

0 ế = = 0

ê ụ ê ℝ,455

2.5. (,)=

. 1 + ( + ) ế (, )≠ (0,0)

0 ế = = 0

ℎô ê ụ ạ (0,0): lim(,)→(,)(, ) = = 1 ≠ (0,0),V455

3. Chứng minh rằng hàm số = (,)

3.1. = ( + + ) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

+

= 2

2

3.2. = + thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

+

=1

3.3. =

− + thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

+

= 0 425.1

3.4. =

+ + thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

+

+ ( + )

+ ( − )

= 2 425.1

3.5. =

thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

+

= (ê) .10

3.6. =

thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

+

= (ê) .22

3.7. = ()+

thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

−

+

−

= 0; (), () là các hàm khả vi

422

4. Tìm hàm = (, ) nếu

4.1.

=

=

+ (); () là hàm tùy ý theo

4.2.

=

(1, )=

+ ||. + − 433

4.3.

= 1

(, 0)= (, 0)=

+ +

4.4.

= + 2

(, )= 1

1 + + − 2

4.5.

=

=

+ + + (433)

3

5. Đưa phương trình đạo hàm riêng theo các biến x, y về phương trình đạo

hàm riêng theo các biến u, v biết rằng

5.1. Phương trình 2( + )

+

= 0 và

= + =

+

= 0 (V337)

5.2. Phương trình

−

=

và

= − 2

= + 2 , từ đó tìm

hàm (, ).

= 0; = − 2 + + 2;, − ℎả (439)

5.3. Phương trình

− 2

= 0 và

= + =

2( − )

=

(V342)

5.4. Phương trình

+ 2

+

= 0 và

= − = +

, từ đó tìm

hàm (, )

= 0; = ( + )( − )+ ( + ) (626)

6. Chứng tỏ rằng hàm số xác định bởi

(, )=

2

+ ế + ≠ 0

0 ế = = 0

a) có các đạo hàm riêng (0,0) =

(0,0) nhưng vẫn gián đoạn tại (0,0);

từ đó suy ra hàm số này không khả vi tại (0,0); (0,0)=

(0,0)= 0

b) ,

có liên tục tại (0,0) không? ℎô, 456

7. Cho hàm số

(,)=

+ ế + ≠ 0

0 ế = = 0

a) Chứng minh (, ) khả vi trên toàn mặt phẳng;

,

ê ụ ạ (, )≠ (0,0); ℎả ạ (0,0)ℎ đ

b) có (0,0)= 0;

(0,0)= 1;

c) Hàm này không thỏa mãn điều kiện nào của định lý Schwarz

4

,

ℎô ê ụ ạ (0,0),457

8. Xét tính khả vi của hàm số (, )= + tại (0,0).

ℎả ; ℎứ ℎ ℎ đ (0,0)= 0,459

9. Cho hàm số

(, )=

+ ế + > 0

0 ế = = 0

Chứng minh rằng

a) (,) liên tục tại (0,0); ợ ý:

2+ 2 ≤

= ||

b) (,) không khả vi tại (0,0).

ℎả ℎì (0,0)= 0 ⇒ â ℎẫ, 459

10. Cho hàm số

(,)= ( + )

1

+ ế + > 0

0 ế = = 0

Chứng minh rằng

a) (,) có các đạo hàm riêng

,

gián đoạn tại (0,0);

b) (,) khả vi tại (0,0). ℎứ ℎ ℎ đ (0,0)= 0,460

11. Cho hàm số

(, )=

−

+ ế + > 0

0 ế = = 0

a) Bằng định nghĩa chứng minh (, ) khả vi tại (0,0).

b) Chứng minh các đạo hàm riêng cấp một

,

liên tục.

ợ ý:

(0,0)=

(0,0)= 0, ℎ = +

, = +

= 1 + ; đó , , → 0 ℎ , → 0 (438)

12. Ứng dụng vi phân hàm hai biến , tính gần đúng giá trị

12.1. 32. 59 0,2726;đú:0,2729

12.2. (4,05) + (3,13) 5,11800,đú:5,118535

5

13. Tính đạo hàm

= +

tại (1,1) theo hướng phân giác góc vuông thứ nhất √

14. Tìm góc giữa các gradient của hàm số =

tại các điểm (

,

) và

(1,1). =

√

15. Tìm độ dốc lớn nhất của mặt = + 4 tại điểm (2,1,8) (trên mặt

cong). = = 8,944 ≈ 8337′′

Chú ý: là góc giữa tiếp tuyến của đường cong giao tuyến của mặt cong với mặt

phẳng đí qua M song song với trục Oz và vectơ .

16. Tìm

nếu = ; trong đó = + 1, = , =

2. +

+

, 623

17. Tìm

,

nếu = (), = +

= () 1 −

,

= () +

,623

18. Hàm số = () xác định từ phương trình

.

= + ( ≠ 0)

Tìm

,

.

=

,

=

() ,623

19. Các hàm số = (, ), = (, ), = (,) xác định từ phương

trình (, , )= 0. Chứng minh rằng 624

.

.

= −1

20. Hàm số = () xác định từ phương trình

1 + − ( + )= 0

Tính , . = −

, =

, 624

21. Chứng minh rằng, nếu = (, ) là hàm số xác định từ phương trình

6

( − , − )= 0

trong đó (, ) là hàm khả vi thì

+

= 1

434

22. Hệ phương trình

+ = + + = 1

Xác định u, v như các hàm của x, y. Tìm

,

,

,

= −

,

= −

,

=

,

=

(435)

Chỉ dẫn: Lấy vi phân toàn phần hệ

(, ,,)= 0

(, ,, )= 0

Tìm du, dv theo dx, dy có dạng = + ⇒

= ,

= .

23. Hàm = (,) xác định từ phương trình tham số

= + = +

= +

( ≠ 0). Tìm

,

.

= −3,

=

( + ) (436)

24. Tìm phương trình của mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến của mặt cong

3 − = tại điểm có (, )= (0, ).

+ + = 0,

=

=

25. Qua điểm M(3,4,12) của mặt cầu + + = 169 vẽ hai mặt

phẳng vuông góc với các trục Ox, Oy tương ứng. Hãy viết phương trình

mặt phẳng đi qua hai tiếp tuyến với hai thiết nói trên với mặt cầu tại

điểm chung.

3 + 4 + 12 − 169 = 0: là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại

26. Chứng minh rằng mặt nón

+

=

và mặt cầu + +

−

=

( + ) tiếp xúc với nhau tại các điểm (0, ±, ).

7

27. Chứng minh rằng pháp tuyến với mặt (tròn xoay)

= + ; ≠ 0, tại điểm bất kỳ đều cắt trục qoay (0z).

28. Tìm bán kính cong R của đường cong (độ cong k =1/R)

28.1. = − 4 − 18 tại gốc tọa độ (Бер. 1529) =

; = 36

28.2. Axtroit: = , = tại =

. (Бер. 1544) =

3

2

28.3. Cardioid: = (1 + )

=

; =

()/

28.4. 2 − 2 + 2 = 1

2 − 2 + = 0 tại điểm (1,1,1). = √6

29. Lập phương trình túc bế của đường

29.1. Xicloit: = − , = 1 − (ОЛ.2, 7.4)

29.2. Elip: = , = ( > > 0)

: = −

, = −

−

30. Đối với đường xoáy ốc: = , = , = viết phương trình

các đường thẳng là các cạnh của tam diện Frene ở điểm bất kỳ trên

đường cong (2093). Hãy xác định các cosin chỉ phương của tiếp tuyến

và pháp tuyến chính.

:

=

=

; ù :

=

=

;

ℎíℎ:

=

=

31. Hàm = (,) xác định từ phương trình (, ,)= 0 . Tính vi phân

hàm ẩn dz và tính gần đúng hàm ẩn bằng vi phân

31.1. Phương trình +√

= − ( ≥ 0).

a) Tính dz tại (, )= (0,1) với = = 0,1; = 0,1567,456

b) Tính gần đúng bằng vi phân giá trị (0,1;1,1). (0,1;1,1)= 0,6567

31.2. (Viên) Phương trình + − − 2 = 0 ( ≥ 0)

a) Tính dz tại (, )= (0,1) với = = 0,01; = 0,005

b) Tính gần đúng bằng vi phân giá trị (0,01;1,01).

(0,01;1,01)= 1,005 ; 168

31.3. (Viên) Phương trình − 4 + − 9 = 0

a) Tính dz tại (,)= (0,1) với = = 0,1; = 0,05

8

b) Tính gần đúng bằng vi phân giá trị (0,1;1,1). (0,1;1,1)= 2,05

(456)

32. Tìm cực trị hàm

32.1. = + 3 − 15 − 12

(1,2);(−1,−2); (−2,−1)= 28 ; (2,1)= −28,449

32.2. = ( − 4 + 2 ) (1,2)= −2, 96

32.3. = ( − 2 ) (0,0); (−4,−2)= 8,97

32.4. = + + 3 − 18 ( + )+ 1

(−3,−3)= 82 ; (2,2)= −43; ±√

,∓√

, 96

32.5. = 2 + 2 − 3 +

−

, −

=

; (0,0) − ó − = 0,133

32.6. = + − +

−

, −

=

; (0,0) − ó − = 0; 0,−

,97

32.7. = + − 2 − 2 + 4

√2, −√2 = −√2,√2 = 8;(0,0) ó −2 = 0,454

32.8. (Viên) =1

44 + 24 − 2 − 2 + 2

−√3,√

= √3,−

√

= −

; (0,0) ó − = 0,625

32.9. = 1 −

−

trong = (, ):

+

< 1

(

√,

√),(

√,

√) =

√, (

√,

√),(

√,

√) =

√; , (0,0)− ; (441)

32.10. =

+ + −

trong hình tròn = (, ):( − 1) + ( − 1) < 1 (1,1)− (20)

32.11. = + + − + − 2 −

, −

, 1 = −

,421

32.12. = +

+

+

( > 0, > 0, > 0)

9

, 1,1 = 4, 423

32.13. = 2 + + − − 6 − 2 + 2

(2,2,−1)= −9, 423

32.14. = 2 + − − + 2 (2,1,7), 424

32.15. = 3 + 2 + 5 + ln (22 − − − )

(6,4,10)= 82 + 33 + 510, 425

33. Cực trị có điều kiện

33.1. Hàm = + trong điều kiện

+

= 1

,

=

33.2. Hàm = + 2 trong điều kiện + = 5

(−1,−2)= −5, (1,2)= 5 ,133

33.3. Hàm = trong điều kiện + − 3 = 0

(−1,2)= −2, (1,2)= 2 ,98

33.4. (Viên) Hàm = trong điều kiện

+

= 1 ( > > 0)

−

√,

√ =

√, −

√ = −

ớ =

,

−

√, −

√ =

√,

√ =

ớ = −

, 98

33.5. (Viên) Hàm =

+

trong điều kiện

+

= 1 ( > > 0)

−

√, −

√ = − √2 ớ =

√,

√,

√ = √2 ớ = −

√ , 99

33.6. Hàm = + trong điều kiện

+

= 1( > > 0)

(±,0)= 2, (0,±)= 2; 450

33.7. Hàm = + trong điều kiện − +

= 0.

−

8+ ,

8+ =

√

,

3

8+ ,

5

8+ =

√

,20075

33.8. Hàm = + + trong điều kiện

+

+

= 1 ( > > > 0)

(±,0,0)= , (0,0,±)=

,(0,±,0),447

10

33.9. (Viên) Hàm = trong điều kiện

+

+

= 1 ( > > > 0 ); ( > 0, > 0, > 0).

√,

√,

√ =

√, (484)

33.10. (Viên) Hàm = trong điều kiện 2 + 3 + 4 = 18 ;

( > 0, > 0, > 0). (2,2,2)= 2 ;ThiGT2 − 08

33.11. Hàm = . . trong điều kiện + + =

;

( > 0, > 0, > 0)

,

,

=

;ThiGT2 − 08

33.12. Hàm = trong điều kiện

+ + = 5

+ + = 8

,

,

=

,

,

=

,

,

=

,

(2,2,1)= (2,1,2)= (1,2,2)= 4,417

33.13. Hàm = + trong điều kiện

+ = 2 + = 2

( > 0, > 0, > 0)

(1,1,1)= 2, 421

Gợi ý: Đưa về cực trị có điều kiện hàm hai biến: = − + 2 trong điều

kiện + = 2 hoặc thành lập hàm Lagrange cho hệ điều kiện = +

+( + − 2)+ ( + − 2 )

34. Tìm tam giác có chu vi 2p khi quay xung quanh một cạnh nào đó tạo

thành vật tròn xoay có thể tích lớn nhất.

= =

, = =

, 463

Gợi ý: trục quay cạnh y thì ~

=

()()()

. Có thể giải ngắn bằng PP

sử dụng2 lần bđt Cauchy cho 2 số: thoạt đầu cho ( − ) và ( + − ).

35. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập compact

35.1. = + − 12 + 16 trên bao đóng = + ≤ 25

(−3,4)= 125,(3,−4)= −75,99

35.2. = + + 2 − 4 trong

giới hạn bởi các đường = , = 1

11

(±1,1)= 0,(0,0)= −4,100

35.3. = ( + 2)+ 4(2 − )

trong hình chữ nhật đóng = 0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 3

(1,3)= 27,(1,0)= −3,452

35.4. = + 4 − 2 − 2 − 4 trong điều kiện

2 + 3 + 6 = 1

= 0, ±

, ∓

= 1; = −1; = ±

, ±

, ±

= −

; =

;

= −

ó = ±

, ∓

, ∓

=

;452

36. Tìm trên elip − + = 1 các điểm có khoảng cách ngắn nhất

đến đường thẳng + − 3 = 0. (1,1), =

√,134

37. Tìm trên elip − 2 + 2 = 1 các điểm có khoảng cách ngắn nhất

đến đường thẳng + − 3 = 0.

√,

√, =

√

√,461

38. Tìm trên elip 3 + 4 + 3 = 1 các điểm có khoảng cách ngắn

nhất đến đường thẳng + − 5 = 0.

√,

√, =

√−

√,462

01/3-2011

Chương II. TÍCH PHÂN BỘI

39. Hãy đổi thứ tự trong các tích phân sau:

a) ∫

∫ (,)

∫

∫ (,)

+ ∫

∫ (,)

b) ∫

∫ (, )√

∫ √

∫ (, )

+ ∫ √

∫ (, )

,627

40. (Viên) Tính các tích phân sau bằng cách đổi thứ tự lấy tích phân:

a) ∫

∫

√

√ + ∫

∫

√ 1

b) ∫

∫

√+ ∫

∫

√ − 2,628

12

Gợi ý: ) =∫

∫

; ) =∫

∫

41. Không tính tích phân hãy chứng tỏ các tích phân sau đều bằng 0:

a) ∬

;

trong đó = ( − 1) + ≤ 1, + ≥ 1

b) ∬ .; trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đường cong

có phương trình ( + ) = .

Gợi ý: Đổi biến 628

42. Tính = ∬ ;

trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng

AB với A(0,2), B(1,1) và cung tròn tâm (0,1) bán kính 1. 1/6,628

43. (Viên)Tính = ∬

;

trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi các

đường = 2, = , = . −

(468)

44. Chứng minh rằng, nếu hình thang cong có phương trình

= (), = (); ≤ ≤ , ≤ ≤

thì ∬ (, )

= ∫ ()

∫ ((), )()

. 629

45. Tính ∬

; trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi vòng đầu của

đường Xicloid = ( − )

= (1 − ), 0 ≤ ≤ 2 và trục Ox

,630

Gợi ý: Sử dụng bài 44.

Tính các tích phân sau: (46 - 56)

46. ∬ 1 −

−

;

trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi Elip

+

= 1.

,630

47. ∬ (12 − 3 + 8);

trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi Elip

+ 4 = 4. 18,631

48. ∬

;

trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi Elip

+

= 1. 2,631

49. (Viên) ∬

;

trong đó D là miền phẳng xác định bởi

( − 1) + ≤ 1, + ≥ 1, ≥ 0

−

2,631

13

50. (Viên) ∬ ; trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đường

cong có phương trình

+

=

. 2√6 (468)

51. (Viên) ∬ √ ; trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đường

cong có phương trình

+

=

. √6 (468)

52. ∫

∫ +

√ (469)

53. ∬ ;

trong đó D là miền phẳng xác định bởi

− 1 ≤ ≤ + 2,−2 − 2 ≤ ≤ −2 + 3

(469)

Gợi ý: đổi biến − = + 2 =

54. ∬ | − |;

trong đó D là hình vuông cạnh [0,1].

,632

55. ∬ ( − );

trong đó D là hình vuông cạnh [0,1].

,633

56. ∬ ||;

trong đó = ||+ ||≤ 1.

,633

Hãy xác định cận tích phân của ∭ (,, )Ω

(57-60)

57. Ω là hình chóp giới hạn bởi các mặt

+ + = 1, = 0, = 0, = 0.

0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 1 − ,0 ≤ ≤ 1 − −

58. Ω là hình trụ giới hạn bởi các mặt + = , = 0, = ℎ.

− ≤ ≤ , − 2 − 2 ≤ ≤ 2 − 2,0 ≤ ≤ ℎ

59. Ω là hình nón giới hạn bởi các mặt

+

=

, = .

− ≤ ≤ ,−

1 −

2

2≤ ≤

1 −

2

2, 0 ≤ ≤

60. Ω là miền giới hạn bởi = 1 − − , = 0

−1 ≤ ≤ 1,−1 − 2 ≤ ≤ 1 − 2,0 ≤ ≤ 1 − 2 − 2

61. (Viên) Tính tích phân suy rộng = ∬

;

trong đó D là miền

phẳng giới hạn bởi các đường = 1, = , = 0.

14

62. (Viên) Tính tích phân suy rộng ∬

;

trong đó D là miền phẳng

xác định bởi ( − 1) + ≤ 1, + ≤ 1, ≥ 0.

+

2

Tính các tích phân sau: (63 - 72)

63. ∫

∫

∫

31 + 12√2 − 27√3

64. ∫

∫ √

∫

22

65. ∭

()Ω; trong đó Ω là hình chóp giới hạn bởi các mặt

+ + = 1, = 0, = 0, = 0.

2 −

(472)

66. ∫

∫ √

∫ +

2

(472)

67. ∭ Ω

; Ω: + + ≤ , + + ≤ 2

68. ∭ + Ω

; Ω là hình trụ cong giới hạn bởi các mặt

+ − 2 = 0, = 0, = 0, = . 2

, à 66

69. ∭ ( + + )Ω

; Ω là phần chung của paraboloit

2 ≥ + và hình cầu + + ≤ 3

18√3 −

, 490

70. ∭ Ω

; Ω =

+

+

≤ 1

3, 492

71. ∫

∫ √

√ ∫ (2 + 2)

.

5ọ độ ầ, 491

72. ∫

∫ √

∫ + + 2

ọ độ ầ,491

Tìm diện tích các miền phẳng giới hạn bởi đường cong: (73-78)

73. + ( − ) = 1 ,41

74.

+

=

−

6, 489

75. ( + ) = 2

,488

76. + = ( + ) √2(479)

15

77. ( + ) = 2 ( − ), + ≥ ( > 0)

√

,489

78. Cardioid = (1 + ) và đường tròn = .

,488

79. Tính thể tích phần hình trụ + ≤ 2 nằm giữa mặt paraboloit

+ ≤ 2 và mặt phẳng xOy.

,486

80. Tính thể tích phần hình trụ + ≤ 1 nằm trong mặt cầu

+ + = 2.

2√2 − 1, 486

81. Tính thể tích vật trong không gian giới hạn bởi các mặt = 2 ,

= 3 , = 1, = + , = + 2 .

, 480

82. Tính thể tích vật trong không gian giới hạn bởi mặt cầu

+ + = và phía ngoài của mặt nón = + .

√2,487

83. Tính thể tích vật trong không gian giới hạn bởi mặt cong có phương

trình

+

+

=

+

−

( > 0, > 0, > 0)

√

, 485

84. Tìm diện tích phần mặt nón = − nằm trong mặt trụ

+ = 2 3 (482)

85. Tìm diện tích phần mặt trụ + = 2 nằm trong mặt nón

= − . 22√2, (483)

86. Tìm diện tích phần mặt trụ = 4 bị cắt ra bởi mặt cầu

+ + = 5 . , (480)

87. Tìm moment quán tính của miền phẳng D giới hạn bởi Hypebol = 4

và đường thẳng + − 5 = 0 đối với đường thẳng ∆: = .

162 −

,492

Gợi ý: Moment quán tính của D đối với đường thẳng ∆ là

∆ = ∬ ∆(, )

; trong đó ∆(, ) là khoảng cách từ điểm (, )∈

đến ∆.

88. Tìm moment quán tính của miền phẳng D giới hạn bởi Parabol =

và đường thẳng − = 0 đối với đường thẳng ∆: = −.

,493

16

89. Tìm tọa độ trọng tâm của hình phẳng giới hạn bởi các trục tọa độ và

cung Axtroid = , = ; 0 ≤ ≤

.

,

,494

90. Tìm tọa độ trọng tâm của hình phẳng giới hạn bởi một cánh Xicloid

= ( − )

= (1 − ), 0 ≤ ≤ 2 và trục Ox. ,

,481

Ứng dụng đạo hàm tích phân suy rộng phụ thuộc tham số tính tích phân

(91-98)

91. = ∫

( > 0, > 0)

1 +

(BG54)

92. = ∫

( > 0, > 0)

(BG55)

93. = ∫

( > 0, > 0

94. = ∫

( > 0, > 0 √ − √(BG56)

95. = ∫

()

( > 0)

|1 + |

96. = ∫

( > 0, > 0)

ℎ

−

97. = ∫

√

(||< 1) 1− 2 − 1

98. = ∫ ( + )/

99. Tìm () nếu ()= ∫

( > 0) − ∫ 2−

2

∞

− −

3

100. Chứng minh rằng hàm số = ∫()

()

thỏa mãn phương

trình Laplace

+

= 0.

Chương III. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

101. Tính ∫ 2

; cánh thứ nhất của Xicloid

= ( − )

= (1 − ), 0 ≤ ≤ 2

,635

102. Tính ∫

; vòng đầu của đường xoáy ốc

17

= , = , = 2+2

,495

103. Tính ∫

; biên của hình vuông ||+ ||= ( > 0)

0,634

104. ∫ 2 +

; là đường tròn + + = , = .

2,634

105. Chứng minh rằng, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, đáy

là đường cong C: AB, chiều cao = (, ), (, ) ∈ có diện tích tính

được theo công thức

(,)

:

496

106. Tìm diện tích mặt trụ parabol =

hạn chế bởi các mặt phẳng

= 0, = 6, = 0, = .

10√10 − 1,496(AD bài 105)

107. Áp dụng bài 105, tìm diện tích các mặt trụ trong các bài tập số 85,86.

(496)

108. (Viên) Cho =

2+ 2, =

2+ 2.

a) Trong miền nào trên mặt phẳng thì tích phân đường

= ∫ + :

không phụ thuộc đường cong L nối A, B?

ℝ\(0,0)

b) Hãy kiểm tra các hàm =

, = −

đều thỏa mãn

= + ( ∈ 1,2)

c) Trong các miền nào trên mặt phẳng thì (ℎặ ) là các hàm thế

năng của trường vectơ = (,), tức là tính được tích phân I theo

công thức

= ()− () ( = 1 ℎặ = 2) (1). Áp dụng tính I với

(−1,2), (1,2) và L là đường cong = 1 + theo hai cách: tích

phân không phụ thuộc đường cong ( theo đường thẳng AB) và công

thức (1)

18

∶ ≠ 0; ∶ ≠ 0

= −2

= 22 − = ()− ()

ℎ đó ()− ()= 22 , tức là không phải hàm thế

năng của trong bài toán này. (V500)

109. Tính tích phân đường loại hai

a) = ∮()()

; : + = theo chiều kđh 2

b) = ∮()()

; là đường cong tùy ý (trơn hoặc trơn từng

khúc) bao quanh gốc tọa độ O ngược kđh. −2

c) = ∫()()

:;(−1,1), (1,1),: =

+

(hoặc

L là đường cong nào đó không cắt trục Ox) /2,501

Gợi ý c): Chứng minh tích phân không phụ thuộc đường cong sau đó có thể

tính trực tiếp trên đường thẳng nối A, B hoặc tìm hàm thế năng trong miền

đơn liên chứa L:AB là =

( + )+

( ≠ 0)

110. Tính ∫ ( + − 2 ):

+

− 4 + 1 trong đó C là

đường Elip − + = 1 nối (−1,−1), (1,1). −1/3,505

111. Tính ∫ + − :

; là đường nối (1,0, −3),(6,4,8).

−2

Gợi ý:(,, )= ∫ (, , )

+ ∫ (, , )

+ ∫ (,, )

= ()− ().

112. Tính công của lực hút trái đất nếu chất điểm có khối lượng m dịch

chuyển từ điểm (, , ) đến điểm (,, ). −

Gợi ý: lực hút (,, )= (0,0,)

113. Chứng minh rằng, nếu () là hàm liên tục và C là đường cong kín

trơn từng khúc thì ∮ ( + )( + )

= 0. 507

Chú ý không sử dụng được công thức Green vì thiếu điều kiện f khả vi.

114. Chứng minh rằng, nếu C là đường cong kín, s là độ dài cung, là

vectơ pháp tuyến ngoài của C thì

19

(,)

= 0

507

115. Chứng minh rằng, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

kín C tính được theo công thức: =

∮

508

116. Áp dụng bài 115 tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường

cong kín : ( + ) = ( > 0).

,508

117. Tính = ∫()

() trong đó

a) C là đường cong nối AB không cắt đường thẳng = −.

(1,1), (3,1)

+ 2

b) C là đường cong = + 1 nối (1,1), (3,2).

+

,509

118. Tính

∫ + − + + + + +

trong các trường hợp sau:

a) C là biên của miền phẳng giới hạn bởi hai đường tròn + = 1 và

+ = 2 theo chiều dương;

b) C là nửa đường tròn ( − 2) + = 1, ≥ 0 theo chiều tăng của x.

4 −

,505

119. (Viên)Tính ∫ ( + 2 − ) + ( − −:

2) trong đó C là nửa đường tròn ( − 1) + = 1, ≥ 0 nối

(0,0), (2,0)

− 2,510

120. (Viên)Tìm các hằng số , để tích phân sau không phụ thuộc vào

đường cong lấy tích phân = ∫(+2 )+

(+ )2:. Trong trường hợp

đó tính I khi (1,1),(2,8). 5 −

,511

121. Tìm hàm ℎ(); = + thỏa mãn điều kiện ℎ(1)= 1 sao cho

tích phân = ∫ ℎ()[( − ) + ( + )]:

không phụ thuộc vào

20

đường cong lấy tích phân C. Từ đó tính tích phân I trong các trường hợp

sau: ℎ()=

a) (1,1), 1,√3;

+

2

b) (1,1), 2,2√3.

+

2 ,505

122. Tính ∫ 1 −

+

+

; AB là đoạn thẳng

nối 1,

2 , (6, ).

5,499(ℎà ℎế ă: = +

)

123. (Viên)Tìm hàm ℎ(); = + thỏa mãn điều kiện ℎ(1)= 1 sao

cho tích phân = ∫ ℎ()( − ):

không phụ thuộc vào đường

cong lấy tích phân C. Từ đó tính tích phân I trong trường hợp sau:

(1,1), √3, 3; −

(ℎà ℎế ă: = −

( ≠ 0),512

124. ∫ ( + 2 − ) + ( − + + ):

trong đó C là nửa đường tròn + = 1, ≥ 0 nối (1,0), (−1,0)

,511

125. Tính ∬ + ()

;() là mặt bên của hình nón

+

−

= 0 , 0 ≤ ≤ .

√ + ,519

126. Tìm khối lượng mặt của của hình lập phương 0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 1 ,

0 ≤ ≤ 1 . Nếu mật độ mặt tại điểm (, , ) là = .

, 73

127. Tính ∬ + + ()

; trong đó () là 1/8 mặt cầu

+ + = ( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0).

,517

128. Tính ∬ + + ()

; trong đó () là phía ngoài

của nửa mặt cầu + + = ( ≥ 0).

,518

129. Sử dụng công thức Stox, tính

= ( − ) + ( − ) + ( − )

21

Trong đó là Elip + = 1 + = 1

lấy theo chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc

tọa độ. Hãy so sánh kết quả bằng cách tính trực tiếp. −4,523

Gợi ý: phương trình tham số = , = , = 1 − , 0 ≤ ≤ 2.

130. Tính

= ( − ) + ( − ) + ( − )

Trong đó là Elip + =

+ + = lấy theo chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc

tọa độ. 6,80

131. Tính ∬ + + ()

; trong đó ()

a) là phía ngoài của mặt nón toàn phần

+

−

= 0 , 0 ≤ ≤ .

b) là phía ngoài của mặt nón

+

−

= 0 , 0 ≤ ≤ .

−

, 79

132. Tính

a) b) 0

c) () . + d) () ⋀+ (V524)

133. Chứng minh rằng, nếu (S) là mặt cong kín (trơn hoặc trơn từng mảng),

là một hướng cố định bất kỳ, là vectơ pháp ngoài của (S) thì

,

()

= 0

(525)

134. Chứng minh rằng thông lượng của dòng chảy vận tốc

= = (,, ) qua mặt kín giới hạn vật thể tích bằng ba lần thể

tích đó. (525)

22

Chương IV. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải các phương trình phân ly biến số hoặc phương trình đưa về phân ly

(135-146)

135. − = = − ,539

136. + 1 + = 0 = ,,539

137. 1 − + √1 − = 0 1 − = + ,539

138. ( − ) + (2 + + 2 + 1 ) = 0

( + 1)( − 1)( + 1)= ,,540

139. =

3 + + 2 | + − 1 |= (đặ + = ),,540

140. =

2 − 3 + = | − − 1 | (đặ − = ),540

141. =

3 − 6 + = 4 |6 − 3 + 5 |,6 − 3 + 5 = 0 (đặt 2 − = ),541

142. =

2 − − | + |= (đặ + = ),541

143. =

, (0)= 1 =

1+

1−, 142

144. = 1 − + = (),542

145. (1 − + ) = =1

; đặ = , 542

HD: Đổi biến =

146. Tìm đường cong đi qua điểm (2,0) mà đoạn thẳng tiếp tuyến nằm

giữa tiếp điểm và trục Oy có độ dài không đổi bằng 2.

= √4 − + 2 √

; : =

√

,543

Giải các phương trình thuần nhất hoặc phương trình đưa về thuần nhất

(147-157)

147. =

+ = , 543

148. =

( + 2 )( − )= à = , = −2,544

149. =

+ = ,545

150. ( − )

=

(1)= 0 + =

, 545

151. ( − 2 + 5 ) + (2 − + 4 ) = 0

23

( − − 3 )= ( + − 1 )à = + 3, = − + 1;đặ = −

1, = + 2,546

152. (2 − 4 + 6 ) + ( + − 3 ) = 0

( − − 1 ) = ( − 2 ) à = + 1;đặ = + 1, = + 2,547

153. ( − ) + ( + ) = 0 (2 + 2)= − 2

, 548

154. 2 = (2 − ) = ± √ à = 0, 548

155. ( + ) = 2 − = , = 0,549

156. − =

= , 550

157. =

=

1

2

, = ,550

Giải các phương trình tuyến tính cấp 1 (158-167)

158. ( + 1) − 2 = ( + 1) = ( + )(1 + 2), 555

159. + 2 = 4 = −2 + 2 − 1, 555

160. (2 + 1) = 4 + 2 = (2 + 1)( + |2 + 1|),556

161. + + 1 = 0 = − ||,556

162. = ( − ) = ( + ),556

163. ( − 1) = 2 = − , 556

164. 2( + ) = = − − 1,557

165. =

= +

2 +

−

, 557

166. =

= − 2 + 1 + ,557

167. Tìm đường cong mà tung độ của điểm cắt trục tung của tiếp tuyến bất

kỳ nhỏ hơn 2 đơn vị so với hoành độ tiếp điểm.

= − ||− 2;: − = 2 − ,558

Giải các phương trình Becnuli (168-178)

168. − 4 − = 0 =

(), = 0, 559

169. 2 −

=

= − 1 + | − 1|,560

170. =

() = ( + 1)

+ ,560

171. − 2 = − =

(),561

172. +

=

=

√

,561

24

173. +

=

=

, 562

174. +

=

=

,562

175. +

=

= (2 + ),563

176. =

− = ( − ),563

177. 2( + 1) + ( − ) = 0 = ( + 1)

− 1,564

178. =

=

+

, = 0,,564

Giải các phương trình vi phân toàn phần hoặc thừa số tích phân chỉ phụ thuộc

x hoặc y (179-193)

179. =

2 − + 2 + − = ,565

180.

− 1 =

+

= , 565

181. =

( + − 1 ) = ( − − 3 ),566

182. − − 1 + ( − + 2 ) = 0 ( − + 2 ) + 2 = ,566

183. − (2 + ) = 0 − = ,566

184.

−

= 0 +

3

+

= ,567

185. 21 + − − − = 0 2 +2

3( − )3/2 = ,

186. 3(1 + ) = 2 −

3 + 3 − = ,567

187.

+ 2 +

()

= 0 + 1 = 2 ( − 2 ),568

188. ( + ) + ( − ) = 0

( + − = ); = ,569

189.

=

2 −

+ + = , =

1

2, 569

190. ( − ) + ( + ) = 0

3 + + 3 − = 0, =

,570

191. (2 + ) + ( + + + ) = 0

( + + − 1 )= ; = ,,570

192. ( + ) + (2 + ) = 0

3 + 33 = ; = ,571

25

193. (1 − ) + ( − ) = 0 2

2−

1

− = , =

1

2, 571

Giải các phương trình vi phân giảm cấp được (194-199)

194. = =

( − 1)−

( + 1)+ + ,597

195. =

+ =

+

+ ,597

196. = ′ = + ,598

197. ′ + 2 = 0 = ( + )/,598

198. =

√ =

(/ − 2)

/ + + ,598

199. (1 − ) + (1 + )′ = 0 ( + ) = + ,599

200. Giải bài toán Cauchy

= ( − )

(1)= 1

(1)= 1

bằng đổi biến = = , 584

Gợi ý:Sử dụng định lý tồn tại duy nhất nghiệm, nghiệm đặc biệt

201. − ( − ) = 0 bằng đổi biến

= . =

,584

Định lý về cấu trúc nghiệm của phương trình tuyến tính cấp hai (202-209)

202. Các hàm , thỏa mãn phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất.

Lập pt đó và tìm NTQ. − 6 + 12 = 0,585

203. Các hàm , thỏa mãn phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất.

Tìm nghiệm của pt thỏa mãn (1)= 1, (1)= 0. = 3 − 23

204. Giải pt +

+ = 0 biết một nghiệm =

.

=

+

205. Tìm điều kiện cần để pt + ()− ()= 0 có hai nghiệm

độc lập tuyến tính , sao cho . = 1. Chứng tỏ rằng điều kiện đó

là không đủ. Xét ví dụ + = 0. + 2 = 0,585

206. Giải −

+

= 0 bằng cách nhẩm 1 nghiệm.

= + ( − 1)

207. Giải + = 3′ bằng đổi biến ′ = .

26

= + ,586

208. Giải = ′( − 1) bằng đổi biến ′ = . =

, 587

209. ( − 1) − + = 0 bằng cách nhẩm 1 nghiệm.

= + ,587

Giải bằng phương pháp biến thiên hằng số (210-219)

210. + + = 0

= 2 + + +

, 595

211. − 2 + = ()

a) ()=

=

+ + −

(1 + ),591

b) ()=

=

+ + (||− 1),,592

c) ()=

=

+ +

− + 1,,592

212. − = () trong đó

a) ()=

= ( + )

− ( + 1)( + 1)+ ,593

b) ()= 2√1 − 2

=

+ √1 − + +

(1 − ) + ,593

c) ()= 2 = − + ,594

213. − = 3 = + + ,595

214. + − = = +

+

,596

215. + =

= + + + | + |+ ||− ,596

216. − 2 + 2 = ()

a) ()= ( + 1)

= + + (||− 1)− ,,590

b) ()= ( + 1)

= + + (||− 1)− ,, 590

biết rằng phương trình thuần nhất có nghiệm là các đa thức

27

217. ( + 1) − 2 + 2 = ( + 1) biết rằng phương trình

thuần nhất có nghiệm là các đa thức

= + 2 − 1 + 2 − ( + 1),,591

218. − 4 + 4 =

= 2 +

2 + 2 1 − +

,,588

219. + = ()

a) ()=

= + +

−

+

,588

b) ()=

= + −√

−

−

√

−

+

√

−

√

, 588

Giải bằng phương pháp vế phải đặc biệt (220-228)

220. − 2 + = () (V603)

a) ()= = +

+

b) ()= = +

+

221. − 7 + 6 = () (V604)

a) ()= = +

6 +

b) ()= = +

6 +

+

c) ()= = +

6 +

−

222. − 4 + 4 = () (V606)

a) ()= 3 = +

+

b) ()= 2( + 2 ) = +

+

+ 1 +

2

c) ()= 2

= +

−

+

63 −

3

d) ()=

= +

+

(4 + 3)+

(53 − 123)

e) ()= 2 + = +

+

+

2

28

f) ()= 8( + + 2 )

= +

+ 2 + 4 + 3 + 4 + 2

223. − 2 + 2 = () (V609)

a) ()= = ( + )+

b) ()= + + 1

= ( + )−

+

+ +

c) ()=

+ 2

= ( + )+ (||+ )+

(22 − 2)

d) ()= (1 + 2) = ( + )+ −

2

224. + = () (V611)

a) ()= = + −

b) ()= + 1 +

= + + − 1 +

+

c) = + +

3 −

225. + − 4 = () bằng phép thế =

a) ()= =

+

+ −

−

, 575

b) ()= =

+

+

−

,574

226. − 2 = bằng phép thế = .

=

+

+

( − 3 ),581

227. − 3 + 5 = 3 bằng phép thế =

= (||+ ||+ 3), 581

228. − 2 = 6 bằng phép thế =

=

+

−

−

,581

Giải hệ phương trình vi phân đưa về phương trình vi phân cấp cao (228-232)

29

229.

+ 2 + =

− 4 − 2 =

= + + 2

= −2 − (2 + 1)− 3 − 2,582

230.

= +

= + +

= +

−

( + )

= − +

( − − 1 )

, 582

231.

=

=

+ =

+

=

, 583

232.

=

=

+ + =

+ + = , 584

Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số (233-250)

233. = 2 + = 3 + 4

=

+

= − + 3

, 612

234. = − = − 4

=

+

= 2 − 2

613

235. = 8 − = +

= 2

− 4

= +

,613

236. = 2 + = 4 −

= ( + )

= ( + + ) , 514

237. = 3 − = 4 −

= ( + )

= (2 − + 2) , 614

238. = 2 − 3 = − 2

= ( + 2)

= ( + + 2) , 615

239. = + = 3 − 2

= ( + )

= [( + ) + ( − )],616

240. = − 3 = 3 +

= (3 + 3)

= (3 − 3) , 616

30

241. + + 5 = 0 − − = 0

= [(2 − )2 − (2 + )2]

= 2 + 2,617

242. = − 2 − = − + +

= −

= + 3

= −2 +

= + − 2

, 617

243.

= − + = + − = 2 −

=

+ +

= − 3

= +

− 5

, 618

244.

= 2 − + = + 2 − = − + 2

=

+

= +

= +

+

,618

245.

= − + 3 − = −3 + 5 − = −3 + 3 +

=

+ +

= +

= − 3

,579

246.

= 4 − 2 + 2 = 2 + 2

= − + +

= 2

+ +

= 2 +

= − −

,580

247.

= − + = + − = − + 2

= ( + )

+

= ( − 2 + )

= ( − + ) +

, 619

248.

= − + − 2 = 4 +

= 2 + −

= ( + )

= 2 − (2 + + 2)

= − ( + + )

, 620

249.

= 2 + = + 3 −

= − + 2 + 3

=

+ ( + )

= [( + ) + ( − )]

= + [(2 − ) + (2 + )]

, 621

250.

= 2 − + 2 = + 2

= −2 + −

= + ( + 2)

= 2 + + ( + 2)

= + − ( + )

, 621

Hà Nội 8/5-2011