1

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG

TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

- Cơ sở khoa học của đề tài:

+ Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý luận và phương pháp luận

của chủ nghĩa Mác-Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh về giáo dục, các văn kiện Đại hội

Đảng.Vai trò và nhiệm vụ của giáo dục và đào tạo đã được thể hiện trong các văn

kiện của Đại hội Đảng: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu” phát triển giáo

dục là nhằm “nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài”.

+ Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình Vật lí chuyên phần điện từ học thường

được dạy vào đầu lớp 11, trước đó là từ trường, dòng điện không đổi, tĩnh điện, và

phần cơ học. Ở phần này, các bài toán thường xuất hiện trong các kì thi học sinh

giỏi vòng 2, chọn đội tuyển quốc gia, các kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia và

thường có sử dụng đến tích phân, phương trình vi phân – một công cụ toán học rất

mạnh giúp giải các bài tập vật lí một cách ngắn gọn.

Nhưng trong thực tế, giáo viên khi dạy cho các em học sinh còn gặp rất nhiều

khó khăn, phần vì kiến thức toán học của học sinh lớp 11 về tích phân và phương

trình vi phân còn hạn chế, phần vì nguồn tài liệu viết một cách căn bản cho vấn đề

nêu trên không nhiều.

Trước thực tế đó tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải

bài tập cảm ứng điện từ sử dụng tích phân và phương trình vi phân”

Với phương pháp dùng tích phân, phương trình vi phân, kết hợp với các định

luật điện từ và các kiến thức nền tảng của cơ học, sẽ giúp các em học sinh, nắm bắt

được các dạng bài tập khó trong phần cảm ứng điện từ và quan trọng hơn là nắm

bắt tốt và hiểu sâu sắc hơn về tích phân và phương trình vi phân, từ đó có thể vận

dụng sang các phần khác của Vật lí, và hy vọng rằng sẽ có ích đối với các đồng

nghiệp trong quá trình dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi.

- Mục đích của đề tài: Nhằm đề xuất một số phương pháp hướng dẫn học

sinh giải bài tập về cảm ứng điện từ, có sử dụng các phép tính tích phân và giải

phương trình vi phân, đồng thời trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ

bản trong công tác ôn luyện và bồi dưỡng học sinh giỏi

2

Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến việc vận dụng toán cao cấp để

giải các bài tập vật lí nói chung và giải các bài tập về cảm ứng điện từ nói riêng,

giải thích được nguyên nhân của thực trạng và đề xuất một số phương pháp dạy ôn

luyện học sinh giỏi.

- Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các bài tập vật lí đại cương, các tài

liệu ôn thi học sinh giỏi, phần cảm ứng điện từ, các phép toán cao cấp

được áp dụng vào vật lí, thực hiện ở lớp chuyên lí 11.

3

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Thực trạng việc áp dụng tích phân và phương trình vi phân trong giải

bài tập Vật lí nói chung và giải các bài tập điện từ nói riêng của học sinh lớp

10 trường THPT

1.1 Thuận lợi

Để học tốt chương trình Vật lí chuyên thì việc học sinh phải biết các phép

toán đạo hàm, tích phân và giải phương trình vi phân là một việc bắt buộc. Chính

vì thế, các em khi mới bước vào lớp 10 thì đã bắt đầu được trang bị những kiến

thức toán học đầu tiên ( thời lượng khoảng 10 tiết ), đây là điều cực kì quan trọng

và cần thiết để các em có thể áp dụng các kiến thức toán vào giải các bài tập Vật lí

sau này.

Một số phần kiến thức toán học khó các em học sinh còn được các thầy cô

dạy môn chuyên toán hướng dẫn trong suốt quá trình 3 năm học chuyên lí. Đây

quả thực là một thuận lợi lớn đối với học sinh chuyên lí.

Với các kiến thức toán học về đạo hàm, vi, tích phân thì học sinh luôn gặp

phải nhiều bài toán như chuyển động của vật chịu tác dụng của lực biến thiên,

chuyển động của vật có khối lượng thay đổi, giải các bài toán chu trình biến đổi

của khí lí tưởng, giải bài toán về phân bố mật độ phân tử khí, sự truyền của ánh

sáng trong môi trường có chiết suất biến thiên… khi đó, trước khi dạy mỗi chuyên

đề các thầy cô lại nhắc lại các kiến thức toán học có liên quan.

1.2. Khó khăn

Thực chất việc trang bị kiến thức toán học cho các em học sinh ngay từ lớp 10

là điều hết sức cần thiết và quan trọng, tuy nhiên chỉ có số ít các em có thể nắm bắt

được các kiến thức đó một các có hệ thống và bài bản. Phần lớn các em vẫn chưa

biết được sau này các kiến thức đó sẽ được vận dụng vào đâu và vận dụng như thế

nào. Vì thế việc nhắc lại kiến thức toán liên quan trước khi dạy một chuyên đề mới

là cần thiết.

Phần toán học về đạo hàm, vi phân, tích phân nằm trong chương trình giải

tích cuối lớp 11 và lớp 12, nhưng ý nghĩa của các phép vi tích phân lại nằm trong

các hiện tượng Vật lí, vì vậy việc kết hợp toán học và Vật lí để dạy cho học sinh

hiểu được phần này cũng có nhiều hạn chế.

4

Riêng với các bài toán về cảm ứng điện từ, các quá trình xảy ra như sự xuất

hiện suất điện động, chiều của dòng điện cảm ứng, sự đổi chiều của lực từ khi dòng

điện đổi chiều, sự biến thiên tuần hoàn của các đại lượng… không thể quan sát

thấy được bằng mắt thường mà học sinh phải hình dung trong đầu thông qua các

kết quả toán học. Phần này gần giống như tư duy của một nhà vật lí lí thuyết, nên

các em vẫn còn lúng túng và gặp nhiều khó khăn.

2. Cơ sở lí thuyết

2.1. Kiến thức toán

Bảng tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp

0C , C là hằng số

1x

1.x x

2

1 1

x x

với 0x

1

2x

x

với 0x

sin cosx x

cos sinx x

2

2

1tan 1 tan

cosx x

x

2x k

2

2

1cot (1 cot )

sinx x

x ;

x k

x xe e

.lnx xa a a

Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến

x

(k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)

1. . 'u u u

2

1 1. 'u

u u

;

2. '

C Cu

u u

1. '

2u u

u

; . '

2

CC u u

u

sin cos . 'u u u

cos sin . 'u u u

2

2

'tan 1 tan . '

cos

uu u u

u

2

2

'cot 1 cot . '

sin

uu u u

u

. 'u ue e u

.ln . 'u ua a a u

5

1ln x

x

1log

.lna x

x a

'ln

uu

u

1log . '

.lna u u

u a

Bảng tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

0dx C

dx x C

1

, ( 1)1

xx dx C

1

lndx x Cx

x xe dx e C

(0 1)ln

xx a

a dx C aa

cos sinxdx x C

sin cosxdx x C

2

1tan

cosdx x C

x

2

1cot

sindx x C

x

Một số phương trình vi phân thường gặp

Khái niệm chung về phương trình vi phân

- Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp n, thì phương trình vi phân là

một phương trình trong đó có thể chứa biến x, hàm số y và bắt buộc chứa đạo hàm

của hàm số theo biến x.

Dạng tổng quát , , ', y'',...., y 0n

F x y y

- Giải phương trình vi phân là tìm dạng tường minh của hàm số y f x

- Trong Vật lí các phương trình vi phân thường gặp là các hàm số của tọa độ

phụ thuộc thời gian ví dụ như phương trình dao động điều hòa..., các hàm số của

dòng điện, hiệu điện thế, điện tích phụ thuộc thời gian ...

Một số dạng phương trình vi phân thường gặp

- Phương trình vi phân cấp 1 với biến số phân li

+ Dạng tổng quát: 1 2f x dx f y dy

Chú ý rằng ở vế trái chỉ chứa biến x và vi phân của nó, ở vế phải chỉ chứa

biến y và vi phân của nó

+ Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế theo hai biến độc lập x và y

- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, khuyết y’

6

+ Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

'' ' qy p x y x y f x

+ Trong Vật lí ta thường gặp những phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

thuần nhất khuyết y’ ( 0, ' 0f x y )

'' 0y q x y

+ Cách giải: Việc giải PT dạng này khá phức tạp nên học sinh chỉ cần nhớ

dạng nghiệm tổng quát, tùy từng bài toán sẽ xác định được dạng nghiệm tường

minh

Nghiệm tổng quát: cosy A x

2.2 Kiến thức vật lí

* Từ thông

- Một khung dây dẫn phẳng diện tích S được đặt trong từ trường đều có cảm

ứng từ B, khung gồm N vòng dây thì từ thông gửi qua khung được định nghĩa như

sau

cosNBS ; ,B n

- Trong trường hợp khung được đặt trong từ trường không đều ( B biến thiên )

hoặc quay trong từ trường ( góc biến thiên ) thì từ thông cũng biến thiên theo

thời gian.

* Hiện tượng cảm ứng điện từ - Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm

ứng - Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ

- Hiện tượng cảm ứng điện từ: Là hiện tượng xuất hiện một dòng điện cảm

ứng trong một mạch điện kín khi có sự biến thiên từ thông qua mạch.

Chú ý rằng nếu mạch điện không kín thì trong mạch có xuất hiện một suất

điện động nhưng không có dòng điện

- Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng: Dòng điện cảm ứng có

chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thông

qua mạch ( hoặc chống lại nguyên nhân sinh ra nó )

- Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ: Suất điện động cảm ứng xuất

hiện trong một mạch điện kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên từ thông qua mạch

7

c

de

dt

* Lực từ tác dụng lên một đoạn dây dẫn mang dòng điện đặt trong từ

trường đều

- Phương : Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện có phương vuông góc với

mặt phẳng chứa đoạn dòng điện và cảm ứng tại điểm khảo sát .

- Chiều lực từ : Tuân the quy tắc bàn tay trái

Quy tắc bàn tay trái : Đặt bàn tay trái duỗi thẳng để các đường cảm ứng từ

xuyên vào lòng bàn tay và chiều từ cổ tay đến ngón tay trùng với chiều dòng điện.

Khi đó ngón tay cái choãi ra 90o sẽ chỉ chiều của lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn.

- Độ lớn (Định luật Am-pe). Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện cường độ I,

có chiều dài l hợp với từ trường đều B

một góc

F = BIl sin

B là độ lớn của cảm ứng từ . Trong hệ SI, đơn vị của cảm ứng từ là Tesla,

kí hiệu là T.

* Suất điện động cảm ứng trong một đoạn dây dẫn chuyển động

since Blv

* Hiện tượng tự cảm – Năng lượng từ trường của ống dây

Độ tự cảm: Li ( L là hệ số tự cảm của mạch – đơn vị là Henri (H) )

Suất điện động tự cảm: tc

die L

dt

Năng lượng từ trường của ống dây: 21W

2Li

3. Hệ thống bài tập

Phần này tác giả phân loại các bài tập thường gặp thành ba dạng bài toán,

trong mỗi dạng bài toán đều có phần lời giải chi tiết và phân tích tỉ mỉ cách làm

nhằm giúp các em có thể hình dung một cách tổng quát cách làm của mỗi dạng bài

toán và áp dụng được thành thạo các phép tính vi tích phân và phương trình vi

phân

Phần cuối cùng là một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp đã học

được vào tự giải

8

Bài toán 1: Khung dây siêu dẫn chuyển động trong từ trường

Bài toán 2: Khung dây có điện trở chuyển động trong từ trường

Bài toán 3: Suất điện động trong mạch kín trong trường hợp một phần

của mạch điện chuyển động trong từ trường

BÀI TOÁN 1: KHUNG DÂY SIÊU DẪN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ

TRƯỜNG

BÀI 1

Một khung dây dẫn hình vuông siêu dẫn, có khối lượng m và cạnh a nằm

trong mặt phẳng ngang trong một từ trường không đều, có giá trị cảm ứng từ biến

thiên theo quy luật:

0

.

0

.

x

y

z

B x

B

B z B

( Xem hình vẽ 1 )

O

x

y

z

a

Hình 1

Cho độ tự cảm của khung dây là L. Tại thời điểm t = 0 thì tâm của khung dây

trùng với gốc tọa độ, và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ Ox, Oy,

dòng điện trong khung bằng không và nó được thả ra không vận tốc đầu.

Hỏi khung sẽ chuyển động như thế nào và ở đâu sau thời gian t kể từ lúc thả.

LỜI GIẢI

Sử dụng tính chất bảo toàn từ thông đối với mạch điện siêu dẫn

* Ta đi chứng minh rằng đối với mạch điện siêu dẫn thì từ thông tổng cộng đi

qua diện tích của mạch được bảo toàn:

Xét một vòng dây siêu dẫn đặt trong từ trường ngoài biến thiên trong vòng

dây có một dòng điện cảm ứng, dòng điện này lại sinh ra một từ trường riêng. Vậy

từ thông qua diện tích vòng dây là do hai từ trường tạo ra: từ trường ngoài và từ

trường của dòng điện cảm ứng.

9

Suất điện động cảm ứng trong vòng dây là: c

de

dt

(1)

Mặt khác áp dụng ĐL Ôm cho toàn mạch ta có: . 0ce i R (2) ( Vì vòng dây

siêu dẫn nên R = 0 ).

Từ (1) và (2) 0d

constdt

Kết luận: Từ thông qua diện tích vòng dây siêu dẫn được bảo toàn

* Xét trường hợp của bài toán: Tại một thời điểm t, từ thông qua diện tích

khung dây được cho bởi từ thông của từ trường ngoài và từ thông do chính dòng

điện cảm ứng sinh ra:

2za B Li const (Các thành phần Bx và By luôn song song với mặt

phẳng của khung dây nên từ thông ứng với các thành phần này bằng không ). Xét

tại thời điêm ban đầu z = 0 và i = 0. Do vậy ta có 20 ot B a

Vậy theo tính chất bảo toàn từ thông ta có: 2 2 20 0.a B a z Li a B hay:

22 .

. 0a z

a z Li iL

(3)

* Sau khi thiết lập được biểu thức của i, ta đi khảo sát chuyển động của khung

dây theo phương pháp động lực học, hoặc theo phương pháp năng lượng:

a) Xét theo phương pháp động lực học

* Các lực tác dụng lên các cạnh của khung: Hãy chú ý đến các thành phần của

từ trường

0

.

0

.

x

y

z

B x

B

B z B

Dễ thấy rằng thành phần Bz gây ra lực từ tác dụng lên các cạnh của khung dây

sẽ cân bằng nhau. Chỉ có thành phần Bx gây ra các lực từ tác dụng lên các cạnh

song song với trục Oy và lực từ này có phương thẳng đứng, lực tác dụng lên hai

cạnh này luôn cùng chiều.

Lực từ tổng hợp tác dụng lên khung dây có độ lớn 22 . . .F a x i a i ( Vì

2 x a và i > 0 )

PT chuyển động của vòng là: 2''mz mg a i (4)

10

Thế (3) vào (4) ta được: 4 2

4 2'' 0

a mgLz z

mL a

Phương trình này chứng tỏ chuyển động của khung là một dao động điều hòa

với tần số góc 2a

mL

Nghiệm của pt này có dạng:

4 2cos

mgLz A t

a

Tại t = 0 thì z = 0 và i = 0 từ đó ta thu được: 0 và 4 2

mgLA

a

Vậy pt dao động của khung là: 4 2cos 1

mgLz t

a

với 2a

mL

b) Xét theo phương pháp năng lượng

Xét thanh dịch chuyển xuống dưới một đoạn dz ( dz < 0 ). Chú ý rằng lực từ

tác dụng lên khung là 4 2

22 . . . 0a z

F a x i a iL

hướng lên trên. Ta có độ

biến thiên cơ năng của khung bằng công của lực từ tác dụng

.F dz mgdz mvdv , chia hai vế của phương trình trên cho dt ta được:

''F mg mz

4 2

''a z

mg mzL

từ đó ta cũng đi tới phương trình vi phân:

4 2

4 2'' 0

a mgLz z

mL a

BÀI 2

Một khung dây hình chữ nhật siêu dẫn, có các cạnh là a và b, khối lượng m và

hệ số tự cảm L, chuyển động với vận tốc ban đầu 0v trong mặt phẳng của nó

hướng dọc theo chiều dài khung từ vùng không có từ trường vào một vùng có từ

trường đều B0 vuông góc với mặt phẳng khung dây. Hãy mô tả chuyển động của

khung như là hàm số của thời gian

11

LỜI GIẢI

Chọn gốc tọa độ tại điểm tiếp xúc giữa vùng có từ trường và vùng không có

từ trường, chiều dương hướng theo chiều chuyển động của khung. Chọn gốc thời

gian là lúc khung bắt đầu chuyển động vào vùng có từ trường.

Giả sử b > a Khung hình chữ nhật sẽ chuyển động dọc theo cạnh b và

phương trình chuyển động của khung là:

0

dvm B aI

dt (1)

( Chú ý rằng ta bỏ qua tác dụng của trọng lực )

Trong đó I là dòng điện trong khung dây. Dòng điện I được cho bởi công thức

tính suất điện động trong khung:

0

dIL B av

dt (2)

Chú ý rằng pt ( 2 ) cũng có thể được rút ra từ tính chất bảo toàn từ thông với

khung dây siêu dẫn. Thật vậy: Từ thông ban đầu qua khung dây bằng không, do

vậy tại một thời điểm t, độ tăng từ thông do từ trường ngoài gây ra phải bằng độ

tăng từ thông do dòng điện cảm ứng trong khung gây ra. Nghĩa là:

0 0.dI

B a vdt LdI L B avdt

Từ (1) ta rút ra: 0

.m dv

IB a dt

. Đạo hàm hai vế theo thời gian ta được:

2

20

.dI m d v

dt B a dt

. Thế biểu thức này vào pt (2) ta thu được pt vi phân với hàm

vận tốc phụ thuộc thời gian:

22

0

20

B ad vv

dt mL

Phương trình này chứng tỏ chuyên động của khung là một dao động điều hòa

với tần số góc 0B a

mL .

Phương trình vận tốc là: cosv A t

12

Giải điều kiện ban đầu: 0

0 0

v v

dvI

dt

ta thu được: 0A v và 0

00 cos

B av v t

mL

Ta có: 00 cos

B adx vdt v t dt

mL

Lấy tích phân hai vế ta được phương trình chuyển động:

00

0 0

00

0

cos

sin

x tB at

dx v dtmL

mL B ax v t

B a mL

BÀI 3

Một vòng nhẫn mỏng, siêu dẫn được

giữ ở phía trên một thanh nam châm đặt

thẳng đứng như hình vẽ 2. Trục của vòng

dây trùng với trục của thanh nam châm.

Từ trường xung quanh chiếc vòng có tính

đối xứng trụ và được mô tả bởi hệ thức:

Hình 2

0

0

1z

r

B B z

B B r

Trong đó B0, , là những hằng số; z và r là tọa độ theo phương thăng đứng

và phương bán kính. Ở thời điểm ban đầu không có dòng điện trong chiếc vòng.

Khi được thả ra nó bắt đầu di chuyển xuống dưới và trục vẫn thẳng đứng. Từ các

dữ kiện bên dưới, hãy xác định xem sau đó vòng nhẫn chuyển động thế nào. Tính

cường độ dòng điện trong chiếc vòng

Dữ kiện:

13

- Đặc điêm của vòng: Khối lượng 50m mg ; bán kính: 0 0,5r cm ; độ tự cảm

81,3.10L H

- Tọa độ ban đầu của tâm vòng nhẫn 0; 0z r

- Các thông số của từ trường:

0

1

1

0,01

2

32

B T

m

m

LỜI GIẢI

Từ thông tổng cộng qua vòng nhẫn được gây bởi từ trường ngoài và từ trường

của dòng điện cảm ứng

2 20 0 01zB r LI B z r LI

Theo tính chất bảo toàn từ thông đối với vòng dây siêu dẫn ta có: const

Tại thời điểm ban đầu: z = 0 và I = 0 20 0B r

Từ đó ta rút ra biểu thức của dòng điện: 2

0 0B rI z

L

Ta đi phân tích lực tác dụng và viết phương trình động lực học cho chuyển

động của vòng nhẫn:

Lực tác dụng lên vòng nhẫn bao gồm lực từ và trọng lực, thành phần zB gây

ra lực từ theo phương nằm ngang nhưng tổng lực từ do thành phần này gây ra luôn

bằng không ở mọi vị trí của vòng, thành phần rB gây ra lực từ tác dụng theo

phương thẳng đứng.

Nếu chọn trục Oz hướng lên thì biểu thức đại số của lực từ là

02rF B I r (Chú ý rằng I < 0 theo cách ta chọn trục Oz 0. Thay các biểu

thức của I và Br vào ta nhận được:

2 4 20 02

.B r

F z kzL

Phương trình động lực học cho chuyển động của vòng:

''mg kz mz

Biến đổi pt này về dạng: '' 0k mg

z zm k

14

Thực hiện phép đổi biến số: '' 0mg k mg

z zk m k

Phương trình vi phân này chứng tỏ chuyển động của vòng là một dao động

điều hòa với tần số góc k

m

Phương trình dao động có dạng: cosmg

z A tk

Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được: 0 và mg

Ak

Vậy phương trình dao động của vòng là: cos t 1mg

zk

Nhận xét: Tọa độ z luôn không dương, và lực từ luôn hướng lên, tại điểm cao

nhất của quỹ đạo z = 0 thì lực từ bằng không, và dòng điện I chỉ chạy theo một

chiều trong vòng nhẫn

Từ những dữ kiện đề cho ta xác định được: 31,2 rad/s và A = 1 cm

Dòng điện trong mạch có biểu thức

2

0 0 cos 1B r mg

I tL k

Dòng điện cực đại khi vòng ở vị trí thấp nhất và Imax = 39A

BÀI TOÁN 2: KHUNG DÂY CÓ ĐIỆN TRỞ CHUYỂN ĐỘNG TRONG

TỪ TRƯỜNG

BÀI 4

Một lực F không đổi tác dụng vào một thanh kim loại khối lượng m, có thể

trượt trên hai thanh ray, đầu của các thanh ray được nối với điện trở R. Toàn bộ hệ

thống đặt nằm ngang, trong một vùng có từ trường đều, các đường sức hướng

thẳng đứng. Thanh được kéo từ trạng thái nghỉ. Giả thiết rằng thanh trượt không

ma sát và bỏ qua hệ số tự cảm của khung, điện trở của thanh và các thanh ray.

a) Xác định vận tốc của thanh là hàm số của thời gian.

b) Xác định dòng điện chạy qua điện trở R là hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

a) Kết quả thanh chuyển động trong vùng có từ trường đều là có một suất điện

động cảm ứng xuất hiện trong thanh ce Blv trong đó l là chiều dài của thanh và

15

v là vận tốc của nó. Do vậy một dòng điên chạy trong thanh có độ lớn Blv

IR

. Vì

vậy lực từ tác dụng lên thanh có độ lớn F BIl lực này ngược hướng với hướng

chuyển động của thanh

Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh là

2 2dv B lm F v

dt R

Giải pt vi phân bằng phương pháp phân li biến số. Biến đổi thành

2 2 2 2

2 2

mR d F B l F B lv v

B l dt m mR m mR

Tương đương:

2 2

2 2

2 2

F B l vd

m mR B ldt

F B l v mR

m mR

Lấy tích phân hai vế ta được: 2 2

2 21 exp

FR B l tv

B l mR

b) Dòng điện chạy trong thanh dẫn là Blv

IR

2 2

1 expF B l t

vBl mR

BÀI 5

Một khung dây thép hình chữ nhật

có kích thước là l và w được thả ra từ

trạng thái nghỉ từ thời điểm t = 0 ở ngay

phía trên có từ trường B0 được cho như

hình vẽ 3.

Vòng dây có điện trở R, hệ số tự

cảm L và khối lượng m. Xét khung dây

trong suốt khoảng thời gian mà cạnh

trên của khung ở trong vùng không có

từ trường.

B

g

w

l

B=0

Hình 3

16

a) Giả sử rằng độ tự cảm của vòng có thể bỏ qua nhưng điện trở của vòng thì

không. Tìm biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian

b) Giả sử rằng điện trở của vòng có thể bỏ qua nhưng độ tự cảm thì không.

Tìm biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

Nếu khung dây có điện trở R và độ tự cảm L thì trong khung có hai suất điện

động. Suất điện động sinh ra do cạnh dưới của khung chuyển động cắt các đường

sức từ, và suất điện động tự cảm trong khung do dòng điện biến thiên

Trong trường hợp này ta viết ĐL Ôm cho toàn mạch như sau:

IRdI

Blv Ldt

(1)

Phương trình động lực học: dv

mg BIl mdt

(2)

a) Xét trường hợp bỏ qua độ từ cảm của vòng dây còn điện trở của vòng

thì không thể bỏ qua

Ta viết lại pt (1): IR I=Blv

BlvR

thế vào (2) ta được: 2 2B l dv

mg v mR dt

Biến đổi PT trên về dạng: 2 2 2 2

2 2

Rm d B l B lg v g v

B l dt Rm Rm

Giải PT vi phân trên bằng phương pháp phân li biến số ta được:

2 2

2 2

2 2

B ld g v

Rm B ldt

B l Rmg v

Rm

Lấy tích phân hai vế ta được kết quả: 2 2

2 21 exp

mgR B l tv

B l Rm

Cường độ dòng điện trong khung cho bởi: 2 2

I= 1 expBlv mg B l t

R Bl Rm

b) Xét trường hợp bỏ qua điện trở của vòng dây còn độ tự cảm của vòng

thì không thể bỏ qua

17

Nếu khung không có điện trở thì vế phải của pt (1) bằng không. Do vậy ta thu

được: dI

Blv Ldt

Đạo hàm hai vế pt (2) ta được: 2

2

dI d vBl m

dt dt

Kết hợp hai phương trình trên ta có: 2 2 2

20

d v B lv

dt mL

PT này cho thấy vận tốc khung biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số

góc 2 2B l

mL

Biểu thức của vận tốc có dạng cosv A t

Ta giải điều kiện ban đầu. Tại t = 0 thì I = 0 và v = 0. Vì I = 0 nên từ (2) suy

ra dv

gdt

;2

gA

Vậy biểu thức của vận tốc và dòng điện trong khung dây là:

cos2

gv t

2sin 1 sin 1

2 2

Bl g mgI t t

L Bl

BÀI 6

Một vành tròn kim loại bán kính r và tiết diện ngang S ( S << r2 ) có khối

lượng riêng D và điện trở suất . Ban đầu vành nằm ngang rơi vào một từ trường

có tính đối xứng trục như hình vẽ 4 ( Trục của vành trùng với trục đối xứng của từ

trường ). Tại một thời điểm náo đó vận tốc của vành là v

Hình 4

18

a) Hãy tìm biểu thức của dòng điện cảm ứng trong vành

b) Tìm biểu thức của gia tốc a và vận tốc v của vành. Nêu nhận xét về độ lớn

của v, giả thiết độ cao của miền từ trường là đủ lớn

LỜI GIẢI

a) Kí hiệu B là độ lớn của cảm ứng từ của của từ trường tại điểm cách trục đối

xứng của tư trường một khoảng r. Tại mỗi điểm của vành kim loại, cảm ứng từ đề

có trị số bằng B. Xét một phầ tử chiều dài ∆l của vành. Tại thời điểm t mà vận tốc

của vành là v thì suất điện động xuất hiện ở ∆l có độ lớn bằng: Bv l E

Suy ra suất điện động xuất hiện trong toàn bộ vành là: .2Bv r E E

Dòng điện cảm ứng xuất hiện trong vành là:

.2Bv rI

R R

E

với 2l r

RS S

Từ đó ta tìm được BSv

I

b) Do có dòng điện cảm ứng xuất hiện trong thanh nên phân tử l của thanh

sẽ chịu tác dụng của lực từ F BI l lực này hướng vuông góc với mặt phẳng

của thanh lên trên ( Theo ĐL Len-xơ thì lực từ phải hướng lên trên để chống lại

chuyển động rơi của vòng )

Lực điện tổng hợp tác dụng lên thanh có độ lớn:

22

2rB Sv

F F BI r

Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh:

22 rB Sv dvmg m

dt

; với .2m D rS

Biến đổi pt trên về dạng: 2dv B

g vdt D

Giải pt bằng cách phân li biến số rồi lấy tích phân hai vế và chú ý rằng khi t =

0 thì v = 0 ta thu được

2

21 exp

D g B tv

B D

19

Gia tốc của vòng là: 2

expB t

a gD

Từ các biểu thức của vận tốc và gia tốc ta có nhận xét: vận tốc tăng dần theo

thời gian, trong khi đó gia tốc giảm dần.

Sau một khoảng thời gian đủ dài thì a = 0 nên vòng rơi đều, vận tốc của vòng

khi đó là: 2

D gv

B

BÀI 7

1) Chứng tỏ rằng không thể có từ trường tăng theo trục z, nếu từ trường này

chỉ có thành phần theo z. Xét một ống trụ có chứa các đường cảm ứng từ. Hãy

chứng tỏ rằng: 2

r

r dBB

dz

2) Một vòng dây tròn điện trở R bán kính r và khối lượng m rơi vào một vùng

có từ trường không đều có các đường sức đối xứng xung quanh trục của hình trụ

tâm của vòng tròn nằm trên trục hình trụ còn mặt phẳng vòng tròn vuông góc với

các đường sức từ, cảm ứng từ biến thiên dọc theo trục z 0zdB

dz

.

Viết phương trình biểu thị chuyển động rơi của vòng trong từ trường. Vẽ đồ

thị biểu thị sự biến thiên của vận tốc theo thời gian. Tìm vận tốc cuối của vòng dây

LỜI GIẢI

1)

B

rB

zB

Hình 5

20

Nếu cảm ứng từ tăng theo trục z thì mật độ đường sức càng mau hơn khi từ

trường mạnh. Khi đó ngoài thành phần cảm ứng từ theo trục z còn thành phần cảm

ứng từ xuyên tâm rB ( như hình vẽ 5 )

Ta đi chứng minh 2

r

r dBB

dz

Xét mặt trụ có bán kính tiết diện là r, chiều

cao z ( Xem hình 6 )

Từ thông qua hai đáy bằng

2 21 zr B z z B z r dB

Từ thông qua mặt bên là: 2 2 . . rr z B

Theo định lí Gau-xơ từ thông qua mặt kín bất

kì bằng không do vậy ta có:

Hình 6

1 2 0 hay 2. 2 . .z rr dB r z B Vậy 2

zr

r dBB

dz

2) Xét vòng dây tại một thời điểm t, khi đó nó đang có vận tốc là v. Chọn

chiều dương hướng lên

Suất điện động gây ra bởi vòng dây là: 2 .z zc

d dB dB dze S r

dt dt dz dt

Chú ý rằng: 0dz

vdt

, khi đi theo chiều âm trục z thì cảm ứng từ giảm. Do

vậy 0ce

Ta viết lại biểu thức của suất điện động: 2 zc

dBe r v

dz

Cường độ dòng điện trong vòng dây là: 2

0c ze r v dBI

R R dt

Phương trình động lực học cho chuyển động của khung

.2r

dvmg B I r m

dt thay biểu thức của I từ trên xuống ta thu được:

22 4zdv r dB

g vdt mR dt

21

Các pt trên cho thấy ban đầu tốc độ của vòng dây (độ lớn vận tốc) sẽ tăng dần.

Cho đến khi lực từ tác dụng cân bằng với trọng lực thì tốc độ của vật sẽ đạt giá trị

lớn nhất. Ta tìm được max 2

2 4 z

mgRv

dBr

dt

Đồ thị v(t) được biểu diễn như hình vẽ 7:

v

t

Hình 7

BÀI TOÁN 3: SUẤT ĐIỆN ĐỘNG TRONG MẠCH ĐIỆN KÍN TRONG

TRƯỜNG HỢP MỘT PHẦN CỦA MẠCH ĐIỆN CHUYỂN ĐỘNG TRONG

TỪ TRƯỜNG

BÀI 8

Một từ trường đều có cảm ứng từ B, vuông góc với hai thanh ray, với khoảng

cách giữa hai thanh ray là l được đặt nghiêng một góc so với phương nằm

ngang. Một thanh dẫn có khối lượng m, được đặt nằm trên hai thanh ray, và có thể

trượt không ma sát trên hai thanh như hình vẽ.

Hình 8

22

Thanh sẽ chuyển động như thế nào sau khi được thả ra từ trạng thái nghỉ nếu

mạch điện tạo bởi thanh và các thanh ray được khép kín bởi.

a) Một điện trở R

b) Một tụ điện có điện dung C

c) Một cuộn dây có độ tự cảm L

LỜI GIẢI

Xét thanh đang trượt xuống với vận tốc v và gia tốc a dọc theo mặt phẳng

nghiêng, trong khi đó dòng điện chạy trong mạch là I. Phương trình chuyển động

của thanh là:

sinma mg BlI

Phương trình này là giống nhau cho cả ba trường hợp. Kết quả khác nhau là

do mối quan hệ giữa suất điện động và dòng điện trong mạch khác nhau ở mỗi

trường hợp.

a) Mạch điện được khép kín bởi một điện trở thuần R. Dòng điện I và suất

điện động cảm ứng ce Blv tuân theo ĐL Ôm cho toàn mạch:

BlvI

R

Và điều này chỉ ra rằng lực cản tăng dần tỉ lệ thuận với vận tốc. Vậy thanh sẽ

chuyển động với gia tốc giảm dần xuống bằng không, và sau cùng nó chuyển động

thẳng đều.

Ta dễ tính được: max 2 2

sinmgRv

B l

b) Nếu mạch được khép kín bởi một tụ điện có điện dung C thì quan hệ giữa

suất điện động và dòng điện trong mạch sẽ khác đi.

Điện tích của tụ điện được xác định bởi: Q CBlv

Chú ý rằng dòng điện chạy trong thanh bằng đạo hàm của điện tích Q

dQI CBla

dt

Thế PT này vào phương trình chuyển động của thanh ta thu được kết quả

thanh chuyển động với gia tốc không đổi:

2 2

sinmga

m B l C

23

c) Nếu mạch được khép kín bởi một cuộn dây có độ tự cảm L thì quan hệ giữa

suất điện động và dòng điện là:

dI dI dxL Blv L Bl

dt dt dt

(Chọn gốc tọa độ là vị trí ban đầu của thanh và chiều dương hướng xuống

dưới)

Tại thời điểm ban đầu thì x = 0 và I = 0

Giản ước dt ở hai vế của pt trên và thực hiện lấy tích phân 2 vế ta được:

LI Blx

Thế vào pt chuyển động của thanh ta được: 2 2

sinB l

ma mg xL

Phương trình này chứng tỏ thanh dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng có

tọa độ: 0 2 2

sinmgLx

B l

và tần số góc

Bl

mL

Phương trình chuyển động của thanh là

2 2

sin1 cos

mgLx t

B l

BÀI 9

Một đầu của

thanh ray nằm ngang

với khoảng cách giữa

hai thanh là l và các

thanh khôn có điện trở

được nối với một tụ

điện có điện dung C

được tích điện nhờ

một nguồn điện có

suất điện động là E .

E

CR

m

S

Hình 9

Độ tự cảm của toàn bộ hệ thống có thể bỏ qua. Hệ thống được đặt trong một

từ trường đều hướng thẳng đứng, có cảm ứng từ B như hình vẽ. Một thanh dẫn

trơn, nhẵn có khối lượng m và điện trở R được đặt vuông góc với các thanh ray.

24

Các bản cực của tụ điện được bố trí sao cho thanh bị đẩy ra xa từ phía tụ điện khi

đóng mạch. Tính vận tốc cực đại của thanh

LỜI GIẢI

Ở thời điểm ban đầu khi tụ được nối vào mạch thì có một dòng điện chạy

trong thanh 0IR

E

chạy trong thanh, thanh chịu tác dụng của một lực

BlF BIl

R

E , và một gia tốc ban đầu:

Bla

mR

E

Theo ĐL Len-xơ suất điện động cảm ứng xuất hiện trong thanh dẫn chuyển

động là nguyên nhân làm dòng điện trong mạch giảm. Điện tích của tụ điện giảm

và do đó hiệu điện thế giữa hai bản tụ cũng giảm, trong khi đó suất điện động cảm

ứng trong thanh tăng lên, cho đến khi hai suất điện động triệt tiêu nhau. Thanh tiếp

tục chuyển động với vận tốc lớn nhất.

Khi đó ta có: minmax

QBlv

C (1)

Phương trình chuyển động của thanh là:

dv dv dQm BIl m Bl

dt dt dt (Vì điện tích của tụ điện giảm )

Giản ước dt hai vế, ta viết lại pt trên như sau: mdv BldQ

Tốc độ của thanh tăng từ 0 đến giá trị vmax trong khi đó điện tích của tụ điện

giảm từ max .Q C E đến minQ . Lấy tích phân hai vế PT trên ta được:

max min max0m v Bl Q Q (2)

Giải hệ (1) và (2) ta thu được max 2 2

BlCv

m B l C

E và

2 2 2

min 2 2

B l CQ

m B l C

E

BÀI 10

Một vòng bằng kim loại bán kính 10 cm có thể lăn không trượt bên trong một

vòng tròn bằng kim loại đồng chất có bán kính 20 cm. Ngay chính giữa quỹ đạo có

một trục nhỏ, giữa trục quay và điểm P của quỹ đạo có mắc điện trở 0 314R .

Quỹ đạo nằm trong một từ trường đều vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo có

cảm ứng từ 34.10B T . Giả sử trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10

25

vòng bên trong vòng kim loại lớn, cả hai vòng đều có điện trở tính theo đơn vị dài

là 0,4 / m ngoài ra các điện trở khác đều không đáng kể.

a) Trong mỗi giây vòng kim loại

quay quanh trục của nó bao nhiêu vòng

?

b) Dòng điện qua điện trở R0 có

chiều như thế nào?

c) Khi vòng tiếp xúc với điểm nào

trên quỹ đạo thì dòng điện qua R0 có

giá trị cực đại, giá trị đó bằng bao

nhiêu?

d) Khi vòng tiếp xúc với điểm nào

trên quỹ đạo thì dòng điện qua R0 có

giá trị cực tiểu, giá trị đó bằng bao

nhiêu?

Hình 10

LỜI GIẢI

a) Theo giả thiết trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10 vòng xung

quanh vòng kim loại lớn Trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ cũng lăn được 10

vòng quanh trục của nó. Tốc độ góc trong chuyển động quay xung quanh trục là

20 rad/s

b) Xác định chiều dòng điện qua điện trở R0

Khi vòng kim loại nhỏ lăn trong

vòng kim loại lớn thì trong vòng nhỏ sẽ

xuất hiện hai suất điện động cảm ứng

trên hai nửa vòng tròn giới hạn bởi hai

điểm M và O. Hai suất điện động này tạo

thành bộ nguồn song song. Mạch điện có

thể vẽ lại như sau:

0R

1R 2R

Hình 11

Từ hình vẽ 11 ta thấy dòng điện chạy qua điện trở R0 có chiều từ dưới lên trên

Ta đi thiết lập biểu thức của dòng điện qua điện trở R0

26

c) và d)

Hai suất điện động trên hai nửa vòng có độ lớn bằng nhau c

Se B

t t

Ta dễ chứng minh được bán kính OM = r = 20cm cũng quay xung quanh O

với tốc độ góc 10 vòng/s.

S là diện tích mà hai nửa cung tròn giới hạn bởi hai điểm tiếp xúc quét được

trong thời gian t

Vậy có thể viết: 2

4.16 .10

0,1c

S B re B V

t t

Điện trở trong của bộ nguồn: . .

0,022.2

b

rr

Điện trở tổng cộng của vòng dây lớn: 2 . 2 . 0,16R r

Đặt điện trở của cung MP ( đi theo chiều kim đồng hồ ) là 1R

Điện trở của cung MP ( đi ngược chiều kim đồng hồ ) là 2 10,16R R

Cường độ dòng điện qua điện trở R0 là

1 10

0,16

0,16

c

t

eI

R RR r

Khi R1 = 0 tức là M trùng với P thì dòng điện cực đại: max 13,3I mA

Khi 1 0,08R M trùng với Q thì dòng điện cực tiểu min 10I mA

BÀI 11

Một đĩa tròn bằng đồng có thể quay quanh một trục nằm ngang được đặt vào

giữa hai cực của một nam châm, mép dưới của đĩa nhúng vào một chậu thủy ngân

và trục của bánh xe được mắc vào một nguồn điện một chiều ( Như hình vẽ 12 ).

Điện trở tổng cộng của dây dẫn ở mạch ngoài là 0,8R đường kính của đĩa là d

= 0,5m. Cảm ứng từ B của từ trường gây ra bởi nam châm có độ lớn B = 1 T và chỉ

tồn tại trong vùng không gian giữa trục và mặt thủy ngân.

27

Hình 12

a) Mô tả hiện tượng xảy ra khi đóng khóa K

b) Bây giờ gắn vào trục của bánh xe một ròng rọc có khối lượng không đáng

kể, bán kính của ròng rọc r = 2 cm. Quấn vào ròng rọc một sợi dây dài, không dãn,

mảnh đầu sợi dây treo một vật có khối lượng m = 200g. Tính suất điện động tối

thiểu của nguồn điện để vật m được nâng lên cao.

c) Biết rằng khi suất điện động của nguồn điện có độ lớn 1,5 V thì vật m được

nâng lên với vận tốc không đổi. Tính vận tốc góc của đĩa lúc này.

LỜI GIẢI

a) Khi khóa K đóng thì có dòng điện chay qua đĩa. Một nửa đĩa lại đặt trong

từ trường gây bởi nam châm nên phần đĩa đó sẽ chịu tác dụng của lực từ làm đĩa

quay

b) Để có thể nâng vật lên thì mo-men lực từ tác dụng vào vành phải lớn hơn

mo-men cản do vật treo gây ra ( Xét tại thời điểm ban đầu vật bắt đầu được nâng

lên, do vậy khi đó không xuất hiện suất điện động cảm ứng trong đĩa )

M mgr ( M là tổng mo-men lực từ tác

dụng vào đĩa )

Để tính mô-men lực từ ta chia nửa đĩa

tròn thành các phần nhỏ như hình vẽ 13:

Mỗi phần nhỏ đó có dòng điện I chạy

qua, đặt cách trục quay một đoạn x, và có

chiều dài dx.

O

x

x

x dx

Hình 13

28

Mô-men lực từ tác dụng lên phần nhỏ

đĩa đó là:

. . .dM B I dx x

Vậy mô-men lực từ tổng hợp tác dụng lên đĩa là:

/2 2

08

dBId

M dM BIxdx ; với IR

E

Vậy điều kiện để vật được nâng lên là: 2

2

81,26

8

B d mgrRmgr V

R Bd

EE

c) Muốn nâng vật đi lên đều thì suất điện động bằng 1,5V > 1,26 V là vì khi

đĩa quay đều thì trong đĩa sẽ xuất hiện một suất điện động cảm ứng ngược chiều

với suất điện động của nguồn. Do vậy suất điện động của nguồn phải lớn hơn giá

trị tối thiểu khi vật bắt đầu đi lên

Để đĩa chuyển động đều đi lên thì ta phải có:

2

2

8

8

BId mgrmgr I

Bd (1)

Dòng điện này mặt khác được tính theo ĐL Ôm cho toàn mạch cIR

E -E

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2

80,476c

mgrRV

Bd E E

Suất điện động cảm ứng 2

8c

B dE 15,23 rad/s

BÀI 12 ( MÁY PHÁT ĐIỆN ĐƠN CỰC FARADAY )

Xét một đĩa siêu dẫn có bán kính r0 đặt trong một từ trường đều có cảm ứng

từ B vuông góc với mặt phẳng của đĩa

Các chổi quét được bố trí ở mép đĩa và ở trục của nó (Xem hình vẽ 14) hệ

thống này được gọi là máy phát điện đơn cực Faraday, khi quay đĩa với tốc độ góc

không đổi thì nó sẽ cung cấp một dòng điện một chiều rất lớn và mượt (không có

gợn ). Một mo-men quay được tạo ra nhờ một trọng vật có khối lượng M treo trên

một sợi dây dài quấn quanh mép đĩa.

29

M

0r

1C2C

R

Hình 14

a) Hãy giải thích làm thế nào và tại sao lại xuất hiện dòng điện. Lập biểu thức

định lượng của dòng điện như một hàm của tốc độ góc

b) Cho rằng sợi dây đủ dài, hệ thống sẽ đạt đến một tốc độ góc không đổi f .

Hãy tìm tốc độ góc và dòng điện khi đó.

LỜI GIẢI

a) Giải thích sự tạo thành suất điện động giữa hai chổi quét.

Trong đĩa có sẵn nhiều electron khi đĩa quay với tốc độ góc thì các electron

cũng bị kéo theo với tốc độ v r ( r là khoảng cách từ electron đến trục quay ),

vì vậy electron sẽ chịu tác dụng của lực Lo-ren-xơ. Áp dụng quy tắc bàn tay trái ta

thấy các electron sẽ chuyển động về phía tâm đĩa, và kết quả là tâm đĩa nhiễm điện

tích âm, mép đĩa nhiễm điện tích dương, làm xuất hiện một suất điện động ở tâm

đĩa và mép đĩa.

Lực Lo-ren-xơ tác dụng lên một eletron là: F e Bv e B r

Ta có thể coi có một điện trường tương đương tác dụng lực điện trường lên

electron bằng độ lớn của lực Lo-ren-xơ. Cường độ điện trường đó có độ lớn là

rE B r

Vậy suất điện động tạo thành giữa hai điểm C1 và C2 có độ lớn là:

30

0 20

02

rB r

B rdr

E

Dòng điện chạy trong mạch có biểu thức: 2

0

2

B ri

R R

E

b) Tìm tốc độ góc và dòng điện khi chuyển động của hệ ổn định

Xét trong thời gian dt, theo ĐL bảo toàn năng lượng thì độ giảm thế năng của

trọng vật M sẽ bằng độ tăng động năng quay của đĩa và nhiệt lượng Jun – Len-xơ

tỏa ra trên điện trở R

20

1

2Mgr dt d I i Rdt

( I là mô-men quán tính của đĩa với trục quay đi qua tâm đĩa )

Chia hai vế cho dt ta có: 20

1

2

dMgr I i R

dt

2 2 40

0

1

2 4

d B rMgr I

dt R

Khi đã đạt đến tốc độ góc ổn định thì 0d

dt

vậy ta có:

2 2 40

04

f

f

B rMgr

R

2 30

4f

RMg

B r

Và dòng điện chạy trong mạch là 0

2f

Mgi

Br

BÀI 13

Một đĩa kim loại bán kính r có thể quay không ma sát ở bên trong, dọc theo

một ống dây điện, trục của đĩa song song với trục hình học của ống dây. Một đầu

của ống dây điện được nối với mép đĩa và đầu kia nối với trục của ống dây. Cuộn

dây có điện trở thuần R và có n vòng dây trên một đơn vị dài, nó được đặt sao cho

trục của nó song song với véc tơ cảm ứng từ 0B

của từ trường trái đất

31

Tính dòng điện chạy qua Am-pe kế nếu đĩa

quay với tốc độ góc . Hãy vẽ đồ thị dòng điện là

hàm số của tần số góc ứng với cả hai hướng quay

của đĩa.

Hãy chứng minh rằng công suất cần thiết để

làm quay đĩa bằng với công suất tỏa nhiệt do hiệu

ứng Jun-Len-xơ trong cuộn dây dẫn.

Hình 15

LỜI GIẢI

Từ trường ở trong lòng cuộn dây là tổng hợp của hai từ trường, từ trường trái

đất và từ trường do dòng điện của cuộn dây sinh ra, 0B và B tương ứng

Gọi B’ là cảm ứng từ tổng hợp: 0'B B B (1)

Suất điện động cảm ứng xuất hiện giữa tâm đĩa và mép đĩa có độ lớn:

2'

2c

B re

Cường độ dòng điện qua Am-pe kế được tính theo ĐL Ôm cho toàn mạch:

2'

2ce B r

IR R

(2)

Cảm ứng từ do dòng điện trong cuộn dây sinh ra được tính bởi: 0B nI (3)

Từ ba phương trình trên ta có thể dễ dàng xác định được B, B’ và I. Hai dấu

dương và âm trong phương trình (1) được nhận cho hai trường hợp của tốc độc

góc: Giá trị mang dấu dương nếu từ trường của cuộn dây cùng hướng với từ

trường trái đất, theo kết quả đó thì ta sẽ thu được:

02

0

2'

2

RBB

R nr

;

20

202

B rI

R nr

Từ kết quả trên ta thấy rõ khi đĩa được giữ cho không quay thì từ trường trong

lòng ống dây bằng với từ trường trái đất và dòng điện trong ống dây bằng không.

32

Khi hướng quay của đĩa làm cho từ trường trong cuộn dây ngược hướng với

từ trường ngoài ( 0 ) thì từ trường trong lòng ống dây giảm tiệm cận đến giá trị

0 khi tốc độ quay của đĩa tăng lên. Với tốc độ quay cao thì dòng điện tiến đến giá

trị 0

0

B

n

( Giá trị cần thiết để triệt tiêu từ trường trái đất )

Khi sự quay của đĩa theo hướng ngược lại ( 0 ), kết quả làm cho từ trường

tăng lên. Điều này làm cho hiệu điện thế lớn hơn và dòng điện cũng mạnh hơn, làm

cho từ trường trong cuộn dây tăng lên. Trong những điều kiện liên tiếp đó thì cả từ

trường và dòng điện đều tiến đến vô cùng như là một trạng thái tới hạn với giá trị

của tốc độ góc 2

0

2th

R

nr

. Trạng thái này không đạt được đến trong thực tế vì khi

đó dòng điện sẽ rất lớn, dẫn đến nhiệt lượng tỏa ra cũng rất lớn làm cháy dây của

cuộn dây

Từ các biểu thức của B’ và I như trên ta có thể vẽ được đồ thị cho hai hàm đó

phụ thuộc vào tốc độ góc ứng với cả hai chiều quay như sau:

O

'B

0B

th

0

0

B

n

O th

I

Hình 16

Ta đi chứng minh công suất cần thiết để làm quay đĩa bằng với công suất tỏa

nhiệt do hiệu ứng Jun – Len-xơ

Công suất tỏa nhiệt trên cuộn dây là: 2nP I R

Công suất cơ để làm quay đĩa bằng độ tăng động năng quay trong 1 giây.

Pc = dWđ = .I d ( Với d là độ tăng tốc độ góc trong 1 giây = gia tốc góc

). Ta có M

I . Thế vào pt công suất cơ ta thu được:

33

cP M , lại có: 2'Ir

'Ir.2 2

r BM B

Công suất cơ là: 2'Ir

2c

BP

Sử dụng mối quan hệ giữa B’ và I chúng ta chứng minh được c nP P

CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 14

Đầu trên của hai thanh kim loại thẳng song song cách nhau khoảng L đặt

dựng đứng nối với hai cực của một tụ điện như hình vẽ ( Hình 17 )

Hiệu điện thế đánh thủng của tụ điện là UB một từ trường đều cường độ B

vuông góc với mặt phẳng chứa hai thanh, một thanh kim loại khác ef có khối lượng

m trượt từ trên đỉnh hai thanh kia xuông dưới với vận tốc ban đầu v0.

Hãy tìm thời gian trượt của thanh ef cho đến khi

tụ điện bị đánh thủng. Giả thiết các thanh kim loại đủ

dài, bỏ qua điện trở của các thanh.

C

e f

Hình 17

ĐÁP SỐ:

BÀI 15

Hai thanh ray song song với nhau

được đặt trong mặt phẳng lập với mặt

phẳng nằm ngang một góc và được

nối ngắn mạch ở hai đầu dưới. Khoảng

cách giữa hai thanh ray là L. Một thanh

dẫn có điện trở R và khối lượng m có

Hình 18

B

m

M

34

thể trượt không ma sát trên hai ray.

Thanh này được nối với một sợi dây mảnh không giãn vắt qua một ròng rọc

cố định và đầu kia của dây có treo một vật có khối lượng M. Đoạn dây giữa thanh

và ròng rọc nằm trong mặt phẳng chứa hai ray và song song với chúng. Hệ trên

được đặt trong một từ trường đều có cảm ứng từ B hướng thẳng đứng lên trên (xem

hình vẽ 18). Ban đầu giữ cho hệ đứng yên, rồi thả nhẹ ra. Bỏ qua điện trở của hai

thanh ray. Hãy xác định:

a) Vận tốc ổn định của thanh.

b) Gia tốc của thanh ở thời điểm vận tốc của nó bằng một nửa vận tốc ổn

định.

ĐÁP SỐ:

a) 2 2 2

( sin )

cos

gR M mv

RB L

b) )(2

)sin(

mM

gmMa

BÀI 16

Một thanh kim loại có chiều dài l

nằm ngang, có thể quay quanh trục

thẳng đứng đi qua một đầu. Đầu kia của

thanh được tựa trên một vòng dây dẫn

nằm ngang có bán kính l. Vòng dây

được nối với trục quay ( dẫn điện) qua

một điện trở thuần R. Hệ được đặt trong

một từ trường đều B hướng thẳng đứng

xuống dưới ( Xem hình vẽ 19 )

Hình 19

. Hỏi lực cần thiết phải tác dụng vào thanh để nó quay với vận tốc góc không

đổi . Bỏ qua điện trở của vòng, trục quay, các dây nối và ma sát. Áp dụng số với

B = 0,8T,l = 0,5m, 10 /rad s .

ĐÁP SỐ: 3 2

min4

B lF

R

35

BÀI 17

Trên mặt bàn phẳng nằm ngang đặt

một khung dây dẫn hình chữ nhật có

các cạnh là a và b (xem hình vẽ 20).

Hình 20

Khung được đặt trong một từ trường có thành phần của véctơ cảm ứng từ dọc

theo trục z chỉ phụ thuộc vào toạ độ x theo quy luật: 0(1 ),

zB B x trong đó 0B

và là các hằng số. Truyền cho khung một vận tốc 0v dọc theo trục x. Bỏ qua độ

tự cảm của khung dây, hãy xác định khoảng cách mà khung dây đi được cho đến

khi dừng lại hoàn toàn. Cho biết điện trở thuần của khung dây là R.

ĐÁP SỐ: 0

2 2 2 2

0

mRvs

B a b

BÀI 18

Một vành kim loại có ba nan hoa kim loại

có chiều dài 0,2r m nằm trong mặt phẳng

thẳng đứng có thể quay quanh trục cố định nằm

ngang trong một từ trường đều 0,5B T . Véctơ

cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng của vành.

Giữa trục quay và mép vành được nối với nhau

qua một điện trở 0,15R nhờ hai tiếp điểm

trượt. Quấn một sợi dây mảnh, nhẹ không giãn

vào vành còn đầu kia của dây treo một vật có

khối lượng 20m g .

Hình 21

Ở thời điểm nào đó người ta thả vật. Bỏ qua mọi ma sát, điện trở của vành,

các nan hoa và các dây nối.

a) Tìm mô men lực tác dụng lên vành do lực từ khi vật chuyển động với vận

tốc không đổi.

b) Tìm cường độ dòng điện chạy qua điện trở khi vận tốc của vật bằng 3 / .m s

36

c) Tìm vận tốc lớn nhất của vật.

ĐÁP SỐ:

a) 0,02 10 0,2 0,04( )M mg r N m

b) 0,5 3 0,2

12 2 0,15

E BVrI A

R R

c) 2 2 2 2

4 4 0,02 10 0,1512 /

0,5 0,2

mgRV m s

B r

4. Kết quả đạt được

Trong quá trình giảng dạy cho học sinh chuyên, ôn thi đội tuyển Quốc gia,

tôi đã vận dụng các ví dụ và hệ thống bài tập trên và thấy rằng:

- Các em được cung cấp bài bản các kiến thức toán học cao cấp cần thiết để

áp dụng giải các bài tập điện từ nói riêng và các bài tập vật lí nói chung

- Chỉ thông qua một số ví dụ cho từng dạng bài tập liên quan, học sinh có thể

làm tốt các bài tập khác dạng tương tự

- Học sinh có thể nắm bắt tốt các hiện tượng vật lí và hình dung được quá

trình diễn biến của các hiện tượng điện từ thông qua các phương trình toán học từ

đó rèn được kĩ năng tư duy

37

PHẦN III: KẾT THÚC VẤN ĐỀ

1. Kết luận

Trên đây tôi đã trình bày toàn bộ phần cơ sở và nội dung sáng kiến kinh

nghiệm. Vấn đề vận dụng thành thạo tích phân và phương trình vi phân vào giải

các bài tập Vật lí là bắt buộc đối với các em học sinh chuyên, thi đội tuyển quốc

gia và quốc tế. Thông qua đề tài, tác giả muốn đưa ra các phương pháp vận dụng

tích phân và phương trình vi phân vào các dạng bài tập cụ thể trong phần cảm ứng

điện từ, đây chỉ là một phần rất nhỏ có sử dụng toán học cao cấp để giải các bài tập

Vật lí. Chính vì vậy mục tiêu cao hơn của đề tài là học sinh biết vận dụng thành

thạo toán học cao cấp vào giải các bài tập Vật lí nói chung.

2. Bài học kinh nghiệm

Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi thấy cần rút kinh nghiệm như sau: Trong

quá trình dạy cho lớp chuyên, ôn luyện đội tuyển thì việc hệ thống các kiến thức

toán học có liên quan, các kiến thức Vật lí có liên quan là hết sức quan trọng và

cần thiết. Điều này làm cho học sinh dễ dàng hình dung được một cách khái quát

bài toán cần giải quyết. Bên cạnh đó việc đưa ra các ví dụ điển hình và giảng giải

chi tiết giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt bài toán và có thể vận dụng tốt cho cá

bài tập tương tự và có tính sáng tạo cao trong việc giải bài tập

3. Khuyến nghị, đề xuất

Trong quá trình thực hiện giảng dạy chuyên đề cho học sinh lớp chuyên lí 11,

ôn thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia tôi thấy cần đưa ra những đề xuất với tổ bộ

môn và thư viện nhà trường như sau:

- Trang bị đủ tài liệu về kiến thức toán cho Vật lí, đặc biệt là các kiến thức

toán học cao cấp, tổ bộ môn nên đưa ra danh mục sách tham khảo toán cho Vật lí

đề nghị thư viện trường trang bị cho học sinh tham khảo.

- Trong quá trình giảng dạy một phần kiến thức Vật lí mới cần dùng đến kiến

thức toán học mà trong chương trình toán chưa kịp học tới, thì có thể bố trí một số

tiết học trong phân phối chương trình để trang bị kiến thức toán cho học sinh trước

khi học phần kiến thức Vật lí đó. Như vậy thì hiệu quả giảng dạy Vật lí sẽ cho kết

quả cao hơn.

38

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. PHẠM VĂN THIỀU ( Tổng biên tập )-Tạp chí Vật lí tuổi trẻ

[2]. NGUYỄN VĂN HƯỚNG, HÀ HUY BẰNG-300 bài toán Vật lí sơ cấp. Nhà

xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2000

[3]. PHAN HỒNG LIÊN, LÂM VĂN HÙNG, NGUYỄN TRUNG KIÊN-Các bài

tập vật lý đại cương- NXBGD 2009.

[4]. I. E. IRÔĐỐP, I.V XAVALIÉP, O.I.ĐAMSA- Tuyển tập các bài tập vật lí đại

cương. Người dịch LƯƠNG DUYÊN BÌNH, NGUYỄN QUANG HẬU. NXB đại

học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội

[5]. LIM YUNG-KUO - Problems And Solutions Electromagnetism.

[6]. 200 Puzzling Physics Problems. Cambridge University Press 2001

[7]. S.S.KROTOV-SFE-Aptitude_Test_Problems_in_Physics

39

Đức Thọ, ngày 20 tháng 5 năm 2016

Người viết

Nguyễn Quang Trung

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………