Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp Dạng 1: Tính số lượng

Bài 1: Cho 2 đường thẳng song song (d1) và (d2).Trên d1 có 17 điểm phân biệt ,d2 có 20 điểm phân biệt .Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm trên. Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ .Thầy chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng .Hỏi có bao nhiêu cách

a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp ? b) Chọn ra 3 hoc sinh trong lớp trong đó có 1 nam và 2 nữ ? c) Chọn ra 3 học sinh trong lớp trong đó có ít nhất 1 nam ?

Bài 3: Cho tập A= {1,2,3,….,9}.Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ A Bài 4 : Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.Cần chọn ra nhóm 3 học sinh đi dự cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào cả.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 5: Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000? Bài 6: Trên 1 mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó? Bài 7: Xét 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số gồm 2,3,4,5.Hỏi có bao nhiêu số như thế:

a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau? b) Các chữ số đều xuất hiện tùy ý?

Bài 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một cái ghế dài sao cho

a) Bạn C ở chính giữa ? b) Hai bạn A,E ngồi ở 2 đầu ghế?

Bài 9: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.Tìm tổng của các số gồm 5 chữ số tạo bởi các hoán vị của năm chữ số đó? Bài 10: Trong 1 phòng học có 2 chiếc ghế dài .Người ta cần xếp 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế đó sao cho nam ngoài 1 ghế ,nữ ngồi 1 ghế .Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Bài 11: Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,….,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt chữ số 0 và 1? Bài 12: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó luôn có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ?

Bài 13: Có 9 viên bi xanh ,5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng a) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó có đúng 2

bi đỏ? b) Có bao nhiêu cách chon 6 viên bi mà số bi xanh bằng

số bi đỏ Bài 14: Trong lớp học có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ.Cần chọn ra 3 học sinh sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 15: Có 5 nhà toán học nam ,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam .Cần lập 1 đoàn công tác gồm có 3 người có cả nam ,nữ ,có cả nhà toán học và nhà vật lý học.Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 16: Cho tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau .Hỏi có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng gồm số phần tử chẵn? Bài 17:Một lớp học có 30 nam và 16 nữ .Cần 6 học sinh để lập 1 nhóm tốp ca .Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Phải có ít nhất 2 nữ b) Có đúng 2 nam

Bài 18: Một đội văn nghệ gồm 20 người ,trong đó có 10 nam và 10 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho:

a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó? b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó?

Bài 19: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người thường trực ở đồn .Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Bài 20: Có bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau bằng cách lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho 2 chữ số chẵn không đứng kề nhau? Bài 21: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số khác nhau từ tập A={1,2,3,4,5,6} trong đó chữ số 1 và 6 đều xuất hiện 2 lần ,các chữ số khác có mặt đúng 1 lần Bài 22: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng của các chữ số của mỗi số là số lẽ? Bài 23: Từ 3 chữ số 1,2,3 co thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có mặt đầy đủ 3 chữ số trên? Bài 24: Xếp 3 viên bi đỏ có kích thướt khác nhau và 3 viên bi xanh kích thướt giống nhau vào 1 dãy gồm 7 ô trống .

a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau? b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau mà sao cho 3 viên bi

đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

Bài 25: Từ 1 tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình ,người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người .Tìm cách chọn trong các trường hợp sau:

a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ ? b) Trong tổ có 1 tổ trưởng ,5 tổ viên ,hơn nữa An và Bình

không đồng thời có mặt trong tổ?

Bài 26: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn luôn có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 Bài 27: có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà chữ số 2 có mặt hai lần ,chữ số 3 xuất hiện ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Bài 28: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một mà tổng của các chữ số này bằng 8 Bài 29: có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng các chữ số đó? Bài 30: cho tập A= {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho :

a) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 b) chia hết cho 6

Dạng 2: Tìm hệ số chứa xktrong một khai triển

Bài 1: Tìm số hạng không chứa x của khai triển Newton sau:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx 1

12

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+4 3

3 2

117

xx

Bài 2: Trong khai triển sau: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 2

3 235

xx tìm hệ số của số hạng chứa

x10

Bài 3: Tổng các hệ số của khai triển ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 22

123

nxnx

n

bằng 64.Tính

số hạng không chứa x

Bài 4: Tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−41

4 xx

n

bằng

512. Tính số hạng không chứa x Bài 5: Tổng của hệ số của số hạng thứ 2 và thứ 3 của khai triển sau:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 6

5 2

21

xx

n

bằng 25,5 .Tính số hạng độc lập với x

Bài 6: Với giá trị bao nhiêu của x thì số thứ tư của khai triển

( )31 22 xxm

−− − bằng 20m, biết rằng hệ số tổ hợp thư tư trong khai

triển gấp 5 lần hệ số tổ hợp thứ hai trong khai triển

Bài 7: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−12

12x

xn

có

số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135,các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển có tổng bằng 22 Bài 8: Tìm giá trị x sao cho khai triển

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+ −− 5 3lg)2()310lg( 22 xx

m

sao cho số hạng thứ 6 là 21, các hệ số

thứ hai ,ba ,bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất ,ba và năm của một cấp số cộng

Bài 9: Trong khai triển của ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+10

3

7

ba

ba

n

có số hạng chứa ab.Tìm số

hạng ấy

Bài 10: Trong khai triển nhị thức ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−1528

3 xxx

n

hãy tìm số hạng

không phụ thuộc vào x .Biết rằng 7921 =++ −− nn

nn

nn CCC

Bài 11: Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển sau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +3

21

n

tỉ số của sồ hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 là 23

Bài 12: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 của khai triển lớn hơn số hạng thứ 3 và thứ 5 ( )x25 16+Bài 13: Cho P(x) = (1+x) + 2(1+x)2 + 3(1+x)3 +….+ 20(1+x)20 được khai triển dưới dạng P(x) = a0+a1x+a2x2+……+a20x20.Tìm a15Bài 14: Cho P(x) = (1+2x+3x2)10. Xác định hệ số của x3 trong khai triển của P(x) theo lũy thừa x Bài 15: Cho P(x) = (1+x+x2+x3)10.Tìm hệ số chứa x10 của khai triển ấy Bài 16: Cho P(x) = (1+2x)12 thành dạng a0 + a1x + a2x2 +…..+ a12x12.Tìm max(a1,a2,…,a12) Bài 17: Biết tổng các hệ số của khai triển sau (x2+1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng chứa ax12 trong khai triển đó

Dạng 3: Giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình có chứa các công thức tổ hợp ,chỉnh hợp và giai thừa

Bài 1: giải các phương trình sau

a) xCCC xxx 2

7321 =++

b) 2324

431

4

=− −

+nnn

n

CAA

c) xxCCC xxx 14966 2321 −=++

d) )1(72 31

21 −=+ −−+ xCC x

xx

e) 243 32 xxx ACA =−

f) xxxx PPA

7302 1

11 =+ −−+

g) 791

11 =−

−++

x

yxyx

PPA

h) 7205

53 =−

+

xx

x

PAP

i) 3365

1

5

=−−

xx

x

CA

j) 1023..... 10921 =++++ −−−− xx

xx

xx

xx CCCC

Bài 2 : giải các bất phương trình và hệ sau:

a) 256

111

−++ ==

Yx

yx

yx CCC

b) 10621 322

2 +≤− xxx Cx

AA

c) { 8025

9052

=−

=+yy

yx

yx

CA

CA

xx

d) {720

126

1

1

=

=+

+

−

−

x

xyy

x

xy

P

CPA

e) 522

3

11222

1 ++−−−

−

=++

=yx

yx

yx

yx

yx CCCCC

f) 1210

11111

−−−−− ==

+ yx

yx

yx

yx CAyAA

Dạng 4: Chứng minh các hệ thức giải tích tổ hợp

Bài 1: Cho hai số nguyên n và m thỏa mãn 0 < m < n. Chứng minh rằng 1

1−−= m

nmn nCmC

Bài 2: Chứng minh rằng:

122

32

12

22

22

02 ........ −+++=+++ n

nnnnnnn CCCCCC

Bài 3: Tính tổng sau:

S = 1111

1011

911

811

711

611 CCCCCC +++++

Bài 4: Chứng minh rằng:

1616

1602

16141

16150

1616 23......333 =+−+− CCCC

Bài 5: Tính tổng sau:

S= 1010

910

810

710

610 CCCCC ++++

Bài 6: Chứng minh rằng:

kn

kn

kn

kn

kn CCCCC 3

321 33 +−−− =+++

Bài 7: Chứng minh rằng:

11

112

11 ..... −

−−−

−−− ++++= m

mmm

mn

mn

mn CCCCC

Bài 8: Chứng minh rằng:

kn

kn

kn

kn

kn

kn CCCCCC 4

4321 464 +−−−− =++++

Bài 9: Chứng minh rằng:

200201

20012002

200120022002

20002001

12002

20012002

02002 2.1001..... =++++ −

− CCCCCCCC kk

k

Bài 10: Chứng minh rằng:

112

11....

31

211

111

+−

=+

++++−

nC

nCC

nnnnn

Bài 11: Chứng minh rằng:

221

22)1(....

61

41

21 210

+=

+−

+−+−n

Cn

CCC nn

n

nnn

Bài 12: Chứng minh rằng:

2432 2)1().1.(......3.4.2.3.1.2 −−=−++++ nn

nnnn nnCnnCCC

Bài 13: Chứng minh rằng:

11312111 4.....3.33.23. −−−− =++++ n

nn

nn

nn

n nnCCCCBài 14: Tính tổng

S= 20002000

22000

12000

02000 2001.....32 CCCC ++++

Bài 15: Chứng minh rằng:

nn

nnnnn CCCCC 2

2222120 )(....)()()( =++++