bài toán điều khiển được và phương trình riccati

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAMVIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Hồng Phương

Chuyên ngành : Toán ứng dụng

Đề tài :

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀPHƯƠNG TRÌNH RICCATI

Giáo viên hướng dẫn:GS-TSKH. Vũ Ngọc Phát

Học viên thực hiện:Nguyễn Thị Hồng Phương

Hà Nội - 2011

1

Lời nói đầuTrong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kỹ thuật, điểu khiển

thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bằng các phương trình toánhọc với thời gian liên tục hay rời rạc dạng

.x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0 (0.1)

x(k + 1) = f(k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2...

trong đó x(.) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(.) là biến điềukhiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Các đối tượng điều khiểntrong các mô hình điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầuvào có tác động quan trọng, ở mức độ này hoặc mức độ khác, có thể làmảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy, ta hiểu một hệthống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trìnhtoán học biểu thị sự liên hệ vào−ra:

u(t) x(t).x = f(t, x, u)

(hệ điều khiển)

Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thốnglà tìm điều khiển (đầu vào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chấtmà ta mong muốn. Thông thường, việc chuyển một hệ thống có điều khiểntừ vị trí này sang vị trí khác có thể thực hiện bằng nhiều phương phápdưới tác động bởi các điều khiển khác nhau. Căn cứ vào những mục đíchcụ thể của hệ thống − đầu ra − người ta xác định các bài toán điều khiểnkhác nhau.

Sau lời mở đầu, bài luận văn gồm có hai chương và danh mục tài liệutham khảo.

Chương 1: Trình bày bài toán điều khiển được cho hệ phương trìnhvi phân điều khiển tuyến tính. Đầu tiên là trình bày định nghĩa về một

2

Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati

số bài toán điều khiển được cơ bản mô tả bởi phương trình vi phân tuyếntính: Điều khiển được sau thời gian t1, điều khiển được hoàn toàn, đạtđược hoàn toàn và điều khiển được hoàn toàn về không. Tiếp theo là cácđịnh lý điều khiển được cơ bản cho hệ ôtônôm, hệ không ôtônôm cùng mộtsố ví dụ minh họa.

Chương 2: Trình bày sự liên hệ mới của bài toán điều khiển được,bài toán ổn định hóa và phương trình Riccati cho các hệ tuyến tính khôngôtônôm; Chứng minh sự tương đương giữa bài toán điều khiển hoàn toànvề không, tính ổn định hóa tuyết đối và sự tồn tại nghiệm cho các phươngtrình Riccati tương ứng.

Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Khoa học và Côngnghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS-TSKH Vũ Ngọc Phát. Tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự quan tâm chỉ dẫn nhiệt tình của thầy.Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớpCao học K17 đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị trong Viện toánhọc, những người luôn sẵn sàng nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian họctập và làm luận văn

Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả người thân, bạn bèđã luôn động viên, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận của mình.

Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2011

Học ViênNguyễn Thị Hồng Phương

3

Mục lục

1 Bài toán điều khiển được 51.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Các định lý về điều khiển được cơ bản . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Định lý điều khiển được cho hệ ôtônôm. (Tiêu chuẩnhạng Kalman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm. . . . 161.2.3 Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm. (Tiêu

chuẩn hạng Kalman biến thiên). . . . . . . . . . . . 23

2 Bài toán điều khiển được, bài toán ổn định hóa và phươngtrình Riccati 302.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Các ký hiệu và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4

Chương 1

Bài toán điều khiển được

Tính điều khiển được nghiên cứu các lớp hàm điều khiển chấp nhậnđược sao cho dưới tác động của lớp hàm điều khiển chấp nhận được, hệthống được điều khiển về các vị trí mong muốn. Nói một cách cụ thể hơn:cho một hệ thống mô tả bởi phương trình điều khiển, ví dụ dạng (0.1),các vị trí mong muốn cần điều khiển của hệ thống, như trạng thái x0, x1được cho trước, tìm các điều khiển chấp nhận được u(t) sao cho dưới tácdụng của điều khiển này, hệ thống (0.1) được điều khiển từ trạng thái x0tới trạng thái x1 trong một thời gian (tùy ý hoặc cố định) nào đó, tứclà quỹ đạo của hệ thống (0.1) xuất phát từ trạng thái x0 tại thời điểmt0 sẽ chuyển đến trạng thái x1 tại thời điểm t1. Dựa vào mục đích điềukhiển của hệ thống, người ta định nghĩa các khái niệm khác nhau củabài toán điều khiển được như: điều khiển được về 0, đạt được từ một vịtrí cho trước, điều khiển được hoàn toàn, điều khiển được địa phương, v.v...

Tính điều khiển được hệ động lực được khởi xướng bởi những ý tưởngvà kết quả quan trọng của R.Kalman từ những năm 60, trong đó đã chứngminh một điều kiện đại số về tính điều khiển được hệ tuyến tính đơn giản.Từ đó đến nay, bài toán điều khiển được đã được nghiên cứu và phát triểnmạnh mẽ và trở thành một hướng quan trọng của lý thuyết điều khiển hệđộng lực.

Ví dụ. Ta xét sự vận hành của một toa xe có trọng lượng m trên đườngthẳng đi từ một vị trí x0 tới vị trí x1 trong thời gian T > 0 cho trước.Sự chuyển động của toa xe có ba lực tác động: lực ma sát, lực đàn hồi vàlực đẩy (hoặc lực kéo). Khi đó, theo quy luật chuyển động Newton thì quá

5


trình chuyển động của toa xe mô tả bởi phương trình điều khiển

m..x(t) + b

.x(t) + kx = u(t),

trong đó u(t) biểu thị lực đẩy hoặc lực kéo tại thời điểm t thỏa mãn hạnchế |u(t)| ≤ a, x(t) biểu thị vị trí của toa xe tại thời điểm t. Phương trìnhchuyển động toa xe được đưa về phương trình vectơ tuyến tính điều khiểndạng:

.y = Ay + Bu,

trong đó

A =

(

0 1− k

m − bm

)

, B =

(

11m

)

, y(t) =

(

x1(t)x2(t)

)

.

Khi đó trạng thái y(t) gồm hai thành phần: x1(t) mô tả vị trí của toaxe, x2(t) mô tả tốc độ chuyển động của toa xe. Bài toán đặt ra là tìm điềukhiển chấp nhận được u(t) sao cho toa xe chuyển động từ vị trí x0 tới vịtrí x1 trong thời gian T . Đó chính là nội dung của bài toán điều khiển được.

Như đã đề cập trong phần mở đầu, bước đầu tiên trong các bài toánđiều khiển hệ thống là xác định điều khiển chấp nhận được sao cho hệthống chuyển một vị trí này tới một vị trí khác trong thời gian hữu hạnnào đó. Đó là nội dung của bài toán điểu khiển được. Tính điều khiển đượclà một tính chất khá quan trọng trong lý thuyết định tính các hệ động lực,đặc biệt trong các bài toán điều khiển tối ưu. Nội dung chương này baogồm những bài toán điều khiển được và các định lý chọn lọc đối với cáchệ động lực mô tả bởi các phương trình điều khiển với thời gian liên tụccũng như rời rạc khác nhau.

1.1 Các định nghĩa

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tínhdạng

.x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t), t ≥ 0 (1.1)

trong đó x(t) ∈ Rn− là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển; n ≥m;A(t), B(t), t ≥ 0, là những ma trận liên tục có số chiều (n× n), (m×n)

6


tương ứng. Một hàm vectơ u(t) xác định trên [0,∞) là khả tích trên mọiđoạn hữu hạn lấy giá trị trong Rm sẽ được gọi là điều khiển chấp nhậnđược của hệ (1.1). Lớp các hàm điều khiển chấp nhận được thông thườnglà các hàm trong Lp ([0; s), R

m) , s ≥ 0. Trong luận văn này, ta chỉ xét p = 2và lớp hàm này được lý hiệu là U . Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.1) vớigiá trị ban đầu x(0) = x0 cho trước. Như vậy ứng với mỗi điều khiển chấpnhận được u(t), bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính(1.1) luôn có nghiệm x(t, x0, u) tại thời điểm t được cho bởi

x(t, x0, u) = Φ(t, 0)x0 +

t∫

0

Φ(t, s)B(s)u(s)ds, t ≥ 0 (1.2)

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất:.x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0,

x(0) = x0.

Định nghĩa 1.1. Cho hai trạng thái x0, x1 ∈ Rn, cặp (x0, x1) được gọilà điều khiển được sau thời gian t1 > 0, nếu tồn tại một điều khiển chấpnhận được u(t) sao cho nghiệm x(t, x0, u) của hệ thỏa mãn điều kiện

x(0, x0, u) = x0,

x(t1, x0, u) = x1

Định nghĩa 1.2. Hệ điều khiển (1.1) gọi là điều khiển được hoàn toàn(Globally Controllable - GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái x0, x1 sẽ tìmđược một thời gian t1 > 0 sao cho (x0, x1) là điều khiển được sau thời giant1.

Trong trường hợp tồn tại một lân cận gốc V (0) ⊂ Rn sao cho hệ (1.1) làđiều khiển được hoàn toàn trong V (0), thì hệ được gọi là điều khiển đượcđịa phương (Locally Controllable - LC).

7


Định nghĩa 1.3. Hệ điều khiển (1.1) gọi là đạt được hoàn toàn (Glob-ally Reachable - GR) nếu với bất kỳ trạng thái x1 ∈ Rn, tồn tại một thờigian t1 > 0 sao cho (0, x1) là điều khiển được sau thời gian t1

Định nghĩa 1.4. Hệ điều khiển (1.1) được gọi là điều khiển được hoàntoàn về 0 (Globally Null Controllable - GNC) nếu với bất kỳ trạng tháix0 ∈ Rn, tồn tại một thời gian t1 > 0 sao cho (x0, 0) là điều khiển đượcsau thời gian t1.

Một cách hình học, nếu ta định nghĩa tập Rt(x0) là tập hợp tất cả cáctrạng thái x ∈ Rn mà từ đó hệ thống đạt được từ trạng thái x0 sau thờigian t1 > 0, tức là,

Rt(x0) = {x ∈ Rn : ∃u(t) ∈ U , x(t, x0, u) = x}

Khi đó ta có thể nói hệ (1.1) là:+ GC nếu ∀x0 ∈ Rn : R(x0) = Rn.

+ GR nếu R(0) = Rn.+ GNC nếu ∀x0 ∈ Rn, 0 ∈ R, trong đó ký hiệu

R(x0) =⋃

t>0

Rt(x0).

Nhận xét:

GR

GNC

GC

8


1.2 Các định lý về điều khiển được cơ bản

Hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm là hệ có dạng:.x(t) = Ax(t) +Bu(t), t ≥ 0, (1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, A, B là các ma trận hằng số có số chiềutương ứng. Đối với hệ ôtônôm (1.3), theo công thức nghiệm (1.2), ta cóma trận nghiệm cơ bản là Φ(t, 0) = eAt, cho nên, nghiệm x(t, x0, u) của hệ(1.3) sẽ được cho bởi

x(t, x0, u) = eAtx0 +

t∫

0

eA(t−s)Bu(s)ds (1.4)

Và khi đó, ta mô tả tập đạt được Rt của hệ (1.2) sau thời gian t là:

Rt = Rt(0) =

x ∈ Rn : x =

t∫

0

eA(t−s)Bu(s)ds, u(.) ∈ U

.

1.2.1 Định lý điều khiển được cho hệ ôtônôm. (Tiêu chuẩn hạngKalman).

Hệ tuyến tính ôtônôm (1.3) là điều khiển được hoàn toàn (GC) khi và chỉkhi

rank[B,AB, ..., An−1B] = n (1.5)

Chứng minh:

Điều kiện cần:

Giả sử phản chứng rằng hệ (1.3) là GC nhưng điều kiện hạng (1.5)không thỏa mãn, tức là:

rank[B,AB, ..., An−1B] < n

Khi đó sẽ tìm được vectơ khác không v ∈ Rn, v 6= 0 sao cho

v′[B,AB, ..., An−1B] = 0

9


Từ đó ta cóv′B = v′AB = ... = v′An−1B = 0

Sử dụng định lý Cayley-Hamilton, ta được:

p(A) = An + an−1An−1 + ...+ a0I = 0

cho nênAn = −an−1A

n−1 − an−2An−2 − ...− a0I

Nhân vô hướng hai vế phương trình ma trận trên với vectơ khác khôngv ∈ Rn ta có v′AB = 0. Lý luận tương tự, ta có

v′An+kB = 0, ∀k = 0, 1, 2, ... (1.6)

Mặt khác, theo khai triển hàm số eAt, với mọi t > 0, ta có

v′eAtB = v′B + tv′AB +t2

2!v′A2B + ...+

tn

n!v′AnB + ... (1.7)

Từ điều kiện (1.6) suy ra v′eAtB = 0 với mọi t > 0. Theo giả thiết hệlà GC, và từ nhận xét, hệ là GR, tức là, với bất kỳ x ∈ Rn, theo côngthức nghiệm (1.4), tồn tại thời gian t1 > 0 và điều khiển chấp nhận đượcu(t) ∈ U sao cho

x =

t∫

0

eA(t1−s)Bu(s)ds.

Nhân vô hướng hai vế đẳng thức trên với vectơ v và áp dụng (1.7), tacó

< v, x >= 0

Vì x là vectơ tùy ý nên v = 0, suy ra mâu thuẫn với điều kiện v 6= 0.Vậy điều phản chứng vô lý, ta có điều kiện hạng (1.5).

Điều kiện đủ

Bây giờ ta giả sử điều kiện hạng (1.5) thỏa mãn. Trước tiên ta chứngminh rằng hệ (1.3) sẽ đạt được hoàn toàn sau một thời gian t1 > 0 nào đó,tức là:

∃t1 > 0 : Rt1 = Rn (1.8)

10


Giả sử phản chứng rằng điều này không xảy ra, hay là Rt 6= Rn với mọit > 0. Cố định một thời gian t1 > 0 bất kỳ. Vì Rt1 là ảnh của ánh xạ tuyếntính liên tục Lt1 = Ut → Rn xác định bởi

Lt1u =

t1∫

0

eA(t−s)Bu(s)ds

qua một không gian Ut = L2 ([0, t1] , Rm) nên Rt là một không gian con

trong Rn. Vì Rt1 6= Rn nên sẽ tìm được vectơ v ∈ Rn, v 6= 0 sao cho

v′x = 0, ∀x ∈ Rt1.

Theo định nghĩa về tập đạt được của hệ sau thời gian t1, ta cót1∫

0

v′eA(t1−s)Bu(s)ds, ∀u(.) ∈ Ut1

Vì hàm dưới tích phân là liên tục theo s ∈ [0, t1] và tích phân triệt tiêuvới mọi u(t) ∈ Ut1 nên

v′eA(t1−s)B = 0, ∀s ∈ [0, t1] (1.9)

Trong (1.9) đặt s = t1, ta được v′B = 0. Đạo hàm hai vế (1.9) theos ∈ [0, t1], sau đó lại cho s = t, ta được v′AB = 0. Tiếp tục lấy đạo hàmcủa biểu thức v′AeA(t1−s)B = 0 theo s và cho s = t1, ta được v′A2B = 0.Kéo dài quá trình tương tự cho đến bậc n, ta có v′An−1B = 0, hay là,

v′[B,AB, ..., An−1B] = 0

Đẳng thức trên cho ta điều kiện

rank[B,AB, ..., An−1B] < n

vì v′ 6= 0, điều mâu thuẫn với điều kiện (1.5) cho ta khẳng định (1.8). Bâygiờ việc chứng minh được hoàn thành như sau: Với bất kỳ hai trạng tháix0, x1 ∈ Rn, đặt vectơ a = x1 − eAt1x0, trong đó t1 > 0 được xác định từđiều kiện (1.8). Vì hệ là GR sau thời gian t1 nên sẽ tìm được một điềukhiển u(t) ∈ U sao cho

a =

t1∫

0

eA(t1−s)Bu(s)ds

11


kéo theo

x1 = eAtx0 +

t1∫

0

eA(t1−s)Bu(s)ds.

Theo định nghĩa về tính GC, hệ đã cho là điều khiển được hoàn toàn.Định lý được chứng minh. �

Nhận xét: Để xét tính điều khiển được của một hệ tuyến tính ôtônôm(1.3), ta chỉ cần xác lập ma trận [B,AB, ..., An−1B] − (n × nm), sau đókiểm tra hạng của nó là đủ. Ma trận này được gọi là ma trận điều khiểnđược và ký hiệu tắt là [A/B].

MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1.1. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau{ .x1 = 3x2 + u.x2 = 2x1 + 2u

Giải

Ta có( .x1.x2

)

=(

0 3

2 0

) (

x1x2

)

+(

1

2

)

u

⇒ A=(

0 32 0

)

; B=(

12

)

Vì rank[A/B] = rank

(

1 6

2 2

)

=2.

nên hệ đã cho là điều khiển được.

12


Ví dụ 1.2. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau

.x1 = x1 + 2x2 + u1.x2 = x2 + 3x3 + 2u2.x3 = 3x1 + 4x2 + 3u1

Giải

Ta có: A=

1 2 00 1 3

3 4 0

; B=

1 00 2

3 0

⇒ AB =

1 4

9 23 8

; A2B =

19 8

18 2639 20

⇒ [A/B] =

1 0 1 4 19 80 2 9 2 18 263 0 3 8 39 20

⇒ rank[A/B] = 3

Vậy hệ đã cho là GC

Ví dụ 1.3. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau{ .x1 = −x1.x2 = x1 + 2x2 + u1 + 2u2

Giải

Ta có: A=(

−1 0

1 2

)

; B=(

0 0

1 2

)

⇒ [A/B] =

[

0 0 01 2 4

]

⇒ rank[A/B] = 1 < 2

Vậy hệ đã cho không điều khiển được

13


Ví dụ 1.4. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau..x(t) + 2

.x(t) + 4x+ 3u = 0 (∗)

Giải

Đặt x = x1;.x1 = x2 , thay vào (*) ta được hệ

{ .x1 = x2.x2 = −4x1 − 2x2 − 3u

Ta có A=(

0 1

−4 −2

)

; B=(

0

−3

)

Vì rank[A/B] = rank

(

0 −3−3 6

)

=2.

nên hệ đã cho là GC.

Ví dụ 1.5. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau...x + 2

.x− au = 0, a ∈ R (∗∗)

Giải

Đặt x = x1;.x1 = x2;

.x2 = x3 , thay vào (**) ta được hệ

.x1 = x2.x2 = x3.x3 = −2x2 + au

Ta có A=

0 1 00 0 10 −2 0

; B=

00a

14


⇒ AB =

0a0

;A2B =

a0

−2a

⇒ [A/B] =

0 0 a0 a 0

a 0 −2a

• Xét a = 0 ⇒ rank[A/B] = 1 < 3, thì hệ đã cho không là GC

• Xét a 6= 0 ⇒ rank[A/B] = 3, thì hệ đã cho là GC

Ví dụ 1.6. Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau

2x(4) − x(2) − 2a.x− 4x− 2bu = 0, a, b ∈ R (∗ ∗ ∗)

Giải

Đặt x = x1;.x1 = x2;

.x2 = x3;

.x3 = x4 , thay vào (***) ta được hệ

.x1 = x2.x2 = x3.x3 = x4.x4 = 4x1+2ax2+x3+2bu

2

Ta có A=

0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

2 a 12 0

; B=

0

00

b

⇒ AB =

0

0b0

; A2B =

0

b0b/2

; A3B =

b

0b/2ab

15


⇒ [A/B] =

0 0 0 b0 0 b 0

0 b 0 b2

b 0 b2 ab

• Xét b = 0 ⇒ rank[A/B] = 1 < 4, thì hệ đã cho không là GC

• Xét b 6= 0 ⇒ rank[A/B] = 4, thì hệ đã cho là GC

1.2.2 Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm.

Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình tuyến tính không ôtônôm (1.1):.x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t), t ≥ 0

Như vậy, điều kiện (1.5) trong Định lý 2.1 cho ta tiêu chuẩn để hệ làđiều khiển được (đạt được hoặc điều khiển được về 0) hoàn toàn, nhưngchưa cho ta cách xác định hoặc tìm cụ thể điều khiển chấp nhận được u(t)mà nhờ đó hệ thống chuyển được từ một trạng thái này đến trạng tháikhác. Để đạt được mục đích này, ta xét tính điều khiển được hệ (1.1) trongđó A(t), B(t) là các ma trận hàm liên tục theo t theo một cách tiếp cậnkhác. Ta biết rằng với trạng thái ban đầu x(t0) = x0 và với điều khiển chấpnhận được u(t) ∈ U , nghiệm x(t, x0, u) của hệ (1.1) được cho bởi

x(t, x0, u) = Φ(t, t0)x0 +

t∫

t0

Φ(t, s)B(s)u(s)ds.

Xác định ma trận Lt − (n× n) chiều bởi

Lt =

t∫

t0

Φ(t, s)B(s)B′(s)Φ′(t, s)ds.

Ma trận Lt thường được gọi là ma trận tích phân điều khiển được.

16


Định lý 1.2.2. Hệ (1.1) là điều khiển được hoàn toàn trong thời gianT khi và chỉ khi ma trận LT là không suy biến .

Chứng minh:

Điều kiện cần:

Giả sử hệ (1.1) là GC trong thời gian T . Trước hết với vectơ tùy ýx ∈ Rn và vì ma trận LT là đối xứng nên ta có thể xét dạng toàn phươngsau

x′LTx =

T∫

t0

< Φ(T, s)B(s)B′(s)Φ′(T, s)x, x > ds

=

T∫

t0

||B′(s)Φ′(T, s)x||2ds (1.10)

Vì hệ là GC nên hệ là GR sau một thời gian T . Vì LT theo giả thiếtphản chứng là suy biến nên có một vectơ x ∈ Rn, x 6= 0 sao cho LTx = 0.Từ (1.10), ta có

x′LTx =

T∫

t0

||B′(s)Φ′(T, s)x||2ds = 0

Từ đó suy raB′(s)Φ′(T, s)x = 0 với mọi s ∈ [t0, T ].

Mặt khác vì hệ (1.1) là GR sau thời gian T > 0, cho nên sẽ tồn tại mộtđiều khiển chấp nhận được u(t) ∈ U sao cho

x =

T∫

t0

Φ(T, s)B(s)u(s)ds.

17


Nhân hai vế đẳng thức trên với x 6= 0, ta có

||x||2 =T∫

t0

< Φ(T, s)B(s)u(s), x > ds

=T∫

t0

< u(s), B′(s)Φ′(T, s)x > ds ≡ 0

Điều này dẫn tới mâu thuẫn vì x 6= 0. Vậy ma trận LT là không suy biếnvới T .

Điều kiện đủ:

Giả sử ma trận LT là không suy biến. Như vậy ma trận LT có nghịchđảo L−1

T . Với hai trạng thái tùy ý x0, x1 ∈ Rn ta xác định điều khiển chấpnhận được u(t) ∈ U như sau

u(t) = −B′(t)Φ′(T, t)L−1T [Φ(T, t0)x0 − x1] . (1.11)

trong trường hợp u(t) xác định theo (1.11) thì dễ kiểm tra được rằng nóchính là điều khiển chấp nhận được chuyển trạng thái x0 tới x1:

x(T, x0, u) = Φ(T, t0)−T∫

t0

Φ(t, s)B(s)B′(s)Φ′(T, s)L−1T [Φ(T, t0)x0 − x1] ds

= Φ(T, t0)x0 − LTL−1T [Φ(T, t0)x0 − x1] = x1

Vậy định lý được chứng minh. �

MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1.7. Xét tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân sau{ .x1 = 2u.x2 = 4tx1

Giải

18


Ta có A =

(

0 04t 0

)

; B(

20

)

Sử dụng ma trận điều khiển được tích phân:

Lt =

t∫

0

Φ(t, s)B(s)B′(s)Φ′(t, s)ds

Với{

∂∂tΦ(t, s) = A(t)Φ(t, s)Φ(t, t) = Φ(s, s) = I

Đặt Φ(t, s) =

(

Φ1 Φ2

Φ3 Φ4

)

⇒( .

Φ1

.

Φ2.

Φ3

.

Φ4

)

=

(

0 0

4t 0

)(

Φ1 Φ2

Φ3 Φ4

)

=

(

0 0

4tΦ1 4tΦ2

)

⇒

.

Φ1 = 0; Φ1(t, t) = Φ1(s, s) = 1.

Φ2 = 0; Φ2(t, t) = Φ2(s, s) = 0.

Φ3 = 4tΦ1; Φ3(t, t) = Φ3(s, s) = 0.

Φ4 = 4tΦ2; Φ4(t, t) = Φ4(s, s) = 1⇒

.

Φ1 =t∫

s

0 = 1.

Φ2 = 0.

Φ3 =t∫

s

4tdt = 2t2 − 2s2

.

Φ4 =t∫

s

0 = 1

⇒ Ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) =

(

1 02t2 − 2s2 1

)

⇒ Lt =t∫

0

(

1 0

2t2 − 2s2 1

)(

2

0

)

(

2 0)

(

1 2t2 − 2s2

0 1

)

ds

19


=t∫

0

4 8(t2 − s2)

8(t2 − s2) 168(t2 − s2)2

ds =

4t 163 t

3

163t3 128

15t5

Chọn t = 1 ⇒ det(Lt) = 53145 6= 0

Vậy hệ điều khiển được.

Ví dụ 1.8. Xét tính điều khiển được của hệ sau{ .x1 = 2tx2 + 2u1.x2 = u1 + u2

Giải

Ta có A =

(

0 2t

0 0

)

B(

2 0

1 1

)

Đặt Φ(t, s) =

(

Φ1 Φ2

Φ3 Φ4

)

⇒( .

Φ1

.

Φ2.

Φ3

.

Φ4

)

=

(

0 2t

0 0

)(

Φ1 Φ2

Φ3 Φ4

)

=

(

2tΦ3 2tΦ4

0 0

)

⇒

.

Φ1 = 2tΦ3; Φ1(t, t) = Φ1(s, s) = 1.

Φ2 = 2tΦ4; Φ2(t, t) = Φ2(s, s) = 0.

Φ3 = 0; Φ3(t, t) = Φ3(s, s) = 0.

Φ4 = 0; Φ4(t, t) = Φ4(s, s) = 1

⇒

.

Φ1 = 1.

Φ2 = t2 − s2.

Φ3 = 0.

Φ4 = 1


(

1 2t2 − 2s2

0 1

)

20


⇒ Lt =t∫

0

(

1 t2 − s2

0 1

)(

2 01 1

)(

2 10 1

)(

1 0t2 − s2 1

)

ds

=t∫

0

(

2t4 + 2s4 − 4t2s2 + 4t2 − 4s2 + 4 2t2 − 2s2 + 2

2t2 − 2s2 + 2 2

)

ds

=

1615t

5 + 83t

3 + 4t 43t

3 + 2t

43t

3 + 2t 2t

Chọn t = 1 ⇒ det(Lt) =19645 6= 0


Ví dụ 1.9. Xét tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân sau{ .x1 = x1 + u.x2 = 2tx1

Giải

Ta có A =

(

1 02t 0

)

B(

10

)

Đặt Φ(t, s) =

(

Φ1 Φ2

Φ3 Φ4

)

⇒( .

Φ1

.

Φ2.

Φ3

.

Φ4

)

=

(

1 02t 0

)(

Φ1 Φ2

Φ3 Φ4

)

=

(

Φ1 Φ2

2tΦ1 2tΦ2

)

⇒

.

Φ1 = Φ1; Φ1(t, t) = Φ1(s, s) = 1.

Φ2 = Φ2; Φ2(t, t) = Φ2(s, s) = 0.

Φ3 = 2tΦ1; Φ3(t, t) = Φ3(s, s) = 0.

Φ4 = 2tΦ2; Φ4(t, t) = Φ4(s, s) = 1

21


⇒

.

Φ1 = et−s

.

Φ2 = 0.

Φ3 = 2tet−s − 2et−s − 2s+ 2.

Φ4 = 1


(

et−s 0

2tet−s − 2et−s − 2s+ 2 1

)

⇒ Lt =t∫

0

(

et−s 02tet−s − 2et−s − 2s+ 2 1

)(

10

)

×

×(

1 0)

(

et−s 2tet−s − 2et−s − 2s+ 20 1

)

ds

=t∫

0

(

a1 b1c1 d1

)

ds

với a1 = e2(t−s)

b1 = 2te2(t−s) − 2e2(t−s) − 2se(t−s) + 2e(t−s)

c1 = 2te2(t−s) − 2e2(t−s) − 2se(t−s) + 2e(t−s)

d1 = 4t2e2(t−s) + 4e2(t−s) − 8te2(t−s) + 4s2 + 4−−8tse(t−s) + 8te(t−s) + 8se(t−s) − 8e(t−s) − 8s

=

(

a2 b2c2 d2

)

với a2 = (e2t − 1)/2

b2 = te2t − e2t + t+ 1

c2 = te2t − e2t + t+ 1

d2 = 2t2e2t − 4te2t + 2e2t + 43t

2 + 2t2 − 2

22


Chọn t = 1 ⇒ det(Lt) = (2e2 − 14)/3 6= 0


1.2.3 Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm. (Tiêuchuẩn hạng Kalman biến thiên).

Xét hệ tuyến tính điều khiển không ôtônôm (1.1).x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t), t ≥ 0

Định lý 1.2.2 cho chúng ta một tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàncủa hệ không ôtônôm dưới dạng ma trận điều khiển tích phân không suybiến. Ta nhận thấy phương pháp chứng minh Định lý 1.2.2 khác với Địnhlý 1.2.1 đối với hệ ôtônôm (1.2), mặc dù các tiêu chuẩn này là tương đươngkhi các hệ là ôtônôm. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là đối với các hệ khôngôtônôm thì liệu có tiêu chuẩn kiểu hạng Kalman (1.5) hay không? Nóichung việc kiểm tra điều kiện hạng (1.5) bao giờ cũng dễ hơn việc kiểmtra điều kiện ma trận LT là không suy biến. Để đạt mục đích này ta cầncó một số bổ đề sau.

Định nghĩa: Hệ hàm vectơ fi(t), i = 1, ..., n gọi là phụ thuộc tuyếntính trên [a, b] nếu tồn tại các số λi, i = 1, 2, ..., n, không đồng thời bằng0 sao cho

n∑

i=1

λifi(t) = 0, ∀t ∈ [a, b],

và ngược lại với khẳng định trên, thì gọi là độc lập tuyến tính.

Bổ đề 1: Các hàm fi(.) : [t0, t1] → Rm, i = 1, 2, ..., n. Hệ hàm {fi(t)}là độc lập tuyến tính trên [t0, t] khi và chỉ khi ma trận

ψ(t0, t1) =

t1∫

t0F (t)F′(t)dt (1.12)

23


là không suy biến, trong đó F (t)△= (f1(t), f2(t), ..., fn(t))

′ .

Bổ đề 2: Cho fi(.) : [t0, t1] → Rm, i = 1, 2, ..., n. là các hàm vectơ khảvi liên tục theo t tới bậc (n − 1). Khi đó hệ {fi(t)} là độc lập tuyến tínhnếu có một t2 ∈ [t0, t1] sao cho

rank[F (t2),.

F (t2), ..., F(n−1)(t2)] = n (1.13)

Định nghĩa: Hàm thực f : R→ R được gọi là hàm giải tích trên M⊂Rnếu với ∀x0 ∈M , hàm f biểu diễn được dưới dạng một chuỗi hội tụ:

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n, ai ∈ R

Bổ đề 3: Giả sử các hàm {fi(t)}, i = 1, 2, ..., n là các hàm giải tích trên[t0, t1]. Hệ hàm {fi(t)} là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hoặc điều điện(1.12) hoặc (1.13) thỏa mãn.

* Các bổ đề trên được chứng minh trong [1].

Dựa vào các bổ đề trên, ta sẽ chứng minh định lý sau đây về tính điềukhiển được hoàn toàn cho hệ không ôtônôm (1.1) dưới dạng điều khiểnhạng Kalman.

Định lý 1.2.3. Giả sử các ma trận A(t), B(t) là các hàm giải tích trên[t0,∞]. Hệ (1.1) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi

∃t2 ∈ [t0,∞] : rank[M0(t2),M1(t2), ...,Mn−1(t2)] = n. (1.14)

trong đóM0(t) = B(t)

Mk+1(t) = −A(t)Mk(t) +d

dtMk(t), k = 0, 1, ..., n− 2.

24


Chứng minh:

Điều kiện cần:Trước tiên ta nhận xét rằng hệ thức sau thỏa mãn

dk

dtk= Φ(t0, t)Mk(t), k = 1, 2, ..., n− 1.

trong đó Φ(t0, t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.10). Từ đó với t2 > t0tùy ý, ta có

Φ(t0, t2) [M0(t2),M1(t2), ...,Mn−1(t2)] =

=[

Φ(t0, t2)B(t2),ddtΦ(t0, t)B(t) |t=t2, ...,

dn−1

dtn−1Φ(t0, t)B(t) |t=t2

]

=[

F (t2).

F (t2), ..., F(n−1)(t2)

]

. (1.15)

trong đó ký hiệu F (t) = Φ(t0, t)B(t).

Gọi các hàng của ma trận F (t) là các hàm {fi(t)}, i = 1, 2, ..., n. Bâygiờ nếu ta giả sử hệ (1.1) là GC, thì khi đó theo định lý 1.2.2, ma trậnΨ(t0, t) là không suy biến với t1 > t0 nào đó. Từ Bổ đề 1. suy ra hệ {fi(t)}là độc lập tuyến tính trên [t0, t1]. Mặt khác, vì A(t), B(t) là các hàm giảitích nên các hàm {fi(t)} sẽ khả vi liên tục cấp vô hạn (mặc dù ta chỉ cầntới cấp (n− 1) ), áp dụng Bổ đề 2, có t2 ∈ [t0, t1] sao cho (1.13) thỏa mãn.Theo đẳng thức (1.15) ta có:

rankΦ(t0, t2)[

M0(t2),M1(t2), ...,Mn−1(t2)

]

= n.

Vì ma trận Φ(t0, t2) không suy biến, nên (1.14) thỏa mãn, tức là điều kiệncần của định lý được chứng minh.

Điều kiện đủ:

Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả thiết có điều kiện (1.14). Từ đẳngthức (1.15) suy ra

rank[

F (t2),.

F (t2), ..., F(n−1)(t2)

]

= n.

25


Áp dụng Bổ đề 2 và Bổ đề 3, ma trận Ψ(t0, t1) là không suy biến vàđiều khẳng định sẽ được suy ra ngay từ Định lý 1.2.2.

Định lý được chứng minh. �

MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1.10. Xét tính điều khiển được:{ .x1 = t2x1 + x2 + tu1 + t2u2.x2 = tx1 + tx2 + u1 + tu2

Giải

Ta có A(t) =(

t2 1

t t

)

, B(t) =(

t t2

1 t

)

Nên M0(t) = B(t) =

(

t t2

1 t

)

⇒M1(t) = −A(t)M0(t) +ddtM0(t)

= −(

t2 1t t

)(

t t2

1 t

)

+

(

1 2t0 1

)

= −(

−t3 − 1 −t4 − t−t2 − t −t3 − t2

)

+

(

1 2t0 1

)

=

(

−t3 −t4 + t−t2 − t −t3 − t2 + 1

)

Có

rank[M0(t),M1(t)] = rank

(

t t2 −t3 −t4 + t

1 t −t2 − t −t3 − t2 + 1

)

= 2 với ∀t > t0 = 0

Theo định lý 1.2.3 thì hệ là G.C

26


Ví dụ 1.11. Xét tính điều khiển được của hệ sau{ .x1 = tx1 − tx2 − t2u1 + u2.x2 = −x1 − x2 + tu1 + tu2

Giải

Ta có A(t) =(

t t−1 −1

)

, B(t) =(

−t2 t1

t t

)

Nên M0(t) = B(t) =

(

−t2 1

t t

)

⇒M1(t) = −A(t)M0(t) +ddtM0(t)

= −(

t t

−1 −1

)(

−t2 1

t t

)

+

(

−2t 0

1 1

)

=

(

t3 − t2 −t2 − t

−t2 + t t+ 1

)

+

(

−2t 0

1 1

)

=

(

t3 − t2 − 2t −t2 − t

−t2 + t+ 1 t+ 2

)

Có

rank[M0(t),M1(t)] = rank

(

−t2 1 t3 − t2 − 2t −t2 − tt t −t2 + t+ 1 t+ 2

)

= 2

với t = 3 > t0 = 0


Ví dụ 1.12. Xét tính điều khiển được của hệ sau:

.x1 = tx1 − x3 + tu1 + u3.x2 = −tx2 + 2x3 + 2tu3.x3 = x2 − 2tx3 − tu2 + u3

Giải

27


Ta có A(t) =

t 0 −10 −t 20 1 −2t

, B(t) =

t 0 10 0 2t0 −t 1

Nên M0(t) = B(t) =

t 0 1

0 0 2t0 −t 1

⇒M1(t) = −A(t)M0(t) +ddtM0(t)

= −

t 0 −10 −t 2

0 1 −2t

t 0 10 0 2t

0 −t 1

+

1 0 00 0 2

0 −1 0

=

−t2 −t −t+ 10 2t 2t2 − 2

0 −2t2 0

+

1 0 00 0 2

0 −1 0

=

−t2 + 1 −t −t+ 1

0 2t 2t2

0 −2t2 − 1 0

⇒M2(t) = −A(t)M1(t) +ddtM1(t)

= −

t 0 −10 −t 20 1 −2t

−t2 + 1 −t −t+ 10 2t 2t2

0 −2t2 − 1 0

+

−2t −1 −10 2 4t0 −4t 0

=

t3 − 1 −t2 − 1 t2 − t0 6t2 + 2 2t3

0 −4t3 − 4t −2t2

+

−2t −1 −10 2 4t

0 −4t 0

=

t3 − 2t− 1 −t2 − 2 t2 − t− 1

0 6t2 + 4 2t3 + 4t0 −4t3 − 8t −2t2

Có

rank[M0(t),M1(t),M2(t)] =

28


= rank

t 0 1 −t2 + 1 −t −t+ 1 t3 − 2t− 1 −t2 − 2 t2 − t− 10 0 2t 0 2t 2t2 0 6t2 + 4 2t3 + 4t0 −t 1 0 −2t2 − 1 0 0 −4t3 − 8t −2t2

= 3 với ∀t > t0 = 0


29

Chương 2

Bài toán điều khiển được, bài toánổn định hóa và phương trình Riccati

Chương này trình bày kết quả trong [7] về sự liên hệ giữa bài toán điềukhiển được, bài ổn định hóa và phương trình Riccati cho các hệ tuyến tính.Một tương đương được đưa ra giữa bài toán điều khiển hoàn toàn về không(GNC), tính ổn định hóa tuyệt đối và sự tồn tại của lời giải cho các phươngtrình vi phân Riccati.

2.1 Giới thiệu

Trong lý thuyết điều khiển các hệ động lực, bài toán điều khiển được nhậnđược nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trong những thập kỷ gầnđây. Bài toán này, xem như là một phần mở rộng của các kết quả Kalmancổ điển về khả năng điều khiển và ổn định của hệ tuyến tính, đó là tìmmột điều khiển chấp nhận được (admissible control) u(t) sao cho các lờigiải tương ứng của trạng thái vectơ x(t) của hệ có tính chất mong muốn.Tùy thuộc vào các tính chất liên quan mà người ta có những định nghĩakhác nhau cho các bài toán. Ví dụ, bài toán điều khiển về không toàn cục(GNC) cho hệ tuyến tính:

.x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0,

liên quan đến việc tìm một điều khiển chấp nhận được (admissible control)u(t) mà nó điều khiển được một trạng thái x0 bất kỳ trong không gian củahệ về gốc 0 ; Bài toán ổn định hóa là tìm một điều khiển ngược (feedback

30


control) u(t) = K(t)x(t) sao cho nghiệm không của hệ đóng (closed-loopsystems)

.x(t) = [A(t) +B(t)K(t)]x(t), t ≥ 0,

là tiệm cận ổn định theo nghĩa Lyapunov. Trong trường hợp này, ngườita gọi hệ là ổn định hóa được với một điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t).Một trong những tính chất ổn định hóa mở rộng của hệ điều khiển là tínhổn định hóa tuyệt đối, ban đầu được giới thiệu bởi Wonham [2], có liênquan đến một sự ổn định mạnh hơn của hệ. Cụ thể, hệ điều khiển được gọilà ổn định tuyệt đối nếu với mọi số δ > 0, tồn tại một điều khiển ngượcu(t) = K(t)x(t) sao cho nghiệm x(t, x0) của hệ đóng thỏa mãn điều kiện:

∃N > 0 : ||x(t, x0)|| ≤ Ne−δt||x0||, ∀t ≥ 0,

Điều này có nghĩa là, với mọi số dương δ > 0, nghiệm không của hệ đónggiảm về 0 nhanh hơn e−δt. Nói cách khác, với mọi số dương δ > 0 tốc độgiảm về 0 cho trước, hệ có thể là ổn định mũ với số mũ ổn định là δ. Vấnđề này có thể phát sinh trong việc điều khiển tốc độ của hệ trong sản xuấtthực tế, mạng lưới truyền thông, điều khiển ôtô và máy bay. Tính ổn địnhtuyệt đối cũng được biết đến nếu một hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm(LTI) là điều khiển về không toàn cục thì hệ đó là ổn định hóa, nhưng điềungược lại thì không đúng. Theo Wonham [2], nếu một hệ LTI là ổn địnhhóa tuyệt đối, thì nó điều khiển được hoàn toàn về không. Kết quả nàyđã được mở rộng cho hệ LTI trong không gian Hilbert [4]. Đó là một kếtquả chứng minh về sự tương ứng giữa sự ổn định là tồn tại của lời giải -như các phương trình của hệ điều khiển LTI. Đối với những hệ tuyến tínhkhông ôtônôm (LTV) thì kết quả đầu tiên về mối liên hệ giữa hệ GNC vàphương trình vi phân Riccati (RDE) được đưa ra bởi Kalman và các cộngsự [3], đã chứng minh rằng, nếu hệ điều khiển LTV là GNC thì phươngtrình Riccati (RDE):

.

P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) = 0

trong đó Q(t) ≥ 0, có nghiệm P (t) nửa xác định dương. Tuy nhiên, sựtồn tại nghiệm P (t) xác định dương của hệ RDE ở trên là chưa đủ cho hệGNC. Ví dụ sau đây sẽ chứng minh điều này:

31


Xét hệ điều khiển LTV sau:

.x =

(

0, 5(1− et) 00 0, 5(1− 2et)

)

x+

(

et

0

)

u.

Hệ này không điều khiển được hoàn toàn về không do rank[B(t), A(t)B(t)]

< 2, với mọi t ≥ 0; Tuy nhiên, phương trình RDE tương ứng với Q = 2Icó một nghiệm bị chặn xác định dương P (t) = e−tI. Một số tiêu chuẩn chotính ổn định hóa của hệ điều khiển LTV với điều khiển nghiệm P (t) phải làxác định dương đều. Đó là, P (t) phải thỏa mãn λ1I ≤ P (t) ≤ λ2I, ∀t ≥ 0.Chú ý rằng, tính xác định dương đều của lời giải của hệ RDE vẫn là chưađủ với hệ GNC của hệ LTV. Ví dụ, xét hệ điều khiển LTV với

A(t) =

(

−0, 5cost 0

0 0, 5sint− e−cost

)

, B(t) =

(

e−sint

0

)

Dễ thấy, hệ trên không là GNC, nhưng RDE, trong đó Q(t) =(

1 00 2

)

, có

nghiệm xác định dương đều P (t) =

(

esint 00 ecost

)

. Trong một nỗ lực để

tìm mối liên hệ giữa tính điều khiển được và tính ổn định hóa, Ikeda vàcác cộng sự [8] đã đưa ra khái niệm điều khiển toàn cục đều, từ đó chỉ rarằng, hệ điều khiển LTV là ổn định hóa tuyệt đối khi và chỉ khi hệ đó làhệ điều khiển toàn cục đều. Đặc biệt, kết quả này cùng với kết quả củaKalman và cộng sự [3] chỉ ra rằng tính ổn định hóa tuyệt đối là một điềukiện đủ cho sự tồn tại của nghiệm bị chặn, xác định dương của hệ RDE.Câu hỏi được đặt ra là, liệu có tồn tại một mối liên hệ giữa GNC, tính ổnđịnh hóa và sự tồn tại nghiệm của RDE không? Trong chương này, chúngtôi trình bày sự liên hệ mới giữa bài toán GNC, bài toán ổn định hóa vàsự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati. Sẽ chỉ ra rằng tính GNC vàtính ổn định hóa tuyệt đối của hệ điều khiển LTV là tương đương với sựtồn tại của nghiệm bị chặn nửa xác định dương của một số phương trìnhRDE tương ứng.

32


2.2 Các ký hiệu và định nghĩa

R+ kí hiệu cho tập các số thực không âm, Rn là không gian Euclid n chiềuvới tích vô hướng < x, y > của 2 vectơ x, y ∈ Rn.

Mm×n là không gian các (m× n)−ma trận.

I, A−1 và AT theo thứ tự là ma trận đơn vị, ma trận nghịch đảo và matrận chuyển vị của ma trận A. Ma trận A đối xứng nếu A = AT .

Ma trận Q ∈ Mm×n là nửa xác định dương (kí hiệu: Q � 0) nếu〈Qx, x〉 ≥ 0, với mọi x ∈ X. Nếu 〈Qx, x〉 > 0 với x 6= 0, thì Q xácđịnh dương (kí hiệu: Q ≻ 0). Ma trận A ≥ B nếu A − B ≻ 0. M+ là tậptất cả các ma trận hằng đối xứng xác định dương.

BMm×n(0,∞) và BM+(0,∞) theo thứ tự là tập tất cả (m × n)−matrận hàm liên tục trên R+ và tập các ma trận hàm liên tục đối xứng nửaxác định dương trên (0,∞).

L2([0, t]), Rm là không gian các hàm bình phương khả tích trên [0, t] có

giá trị trên Rm.

Xét hệ điều khiển LTV được ký hiệu tắt là [A(t), B(t)]:.x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(0) = x0, t ∈ R+ (2.1)

với A ∈ BMn×n(0,∞) và B ∈ BMn×m(0,∞) là các ma trận hàm cho trước.Điều khiển u(t) là chấp nhận được nếu u(t) ∈ L2 ([0, s], R

m) , ∀s ≥ 0. Vớix0 ∈ Rn bất kì và điều khiển u(t) chấp nhận được, thì nghiệm của hệ (2.1)được cho bởi

x(t) = U(t, 0)x0 +

t∫

0

U(t, s)B(s)u(s)ds,

với U(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ.x(t) = A(t)x(t). Được biết

rằng [5] nếu A ∈ BM(0,∞), thì mà trận nghiệm cơ bản U(t, s) thỏa mãn

33


điều kiện:

∃M ≥ 1, α > 0 : ||U(t, s)|| ≤Me−α|t−x|, ∀ t, s ∈ R+ (2.2)

Định nghĩa 2.1: Hệ điều khiển tuyến tính (2.1) là điểu khiển được hoàntoàn về không (GNC) nếu với mọi x0 ∈ Rn, tồn tại số T > 0 và điều khiểnchấp nhận được u(t) sao cho nghiệm x(t) thỏa mãn x(T ) = 0.

Tiêu chuẩn về tính điều khiển được dưới đây sẽ được thừa nhận để sửdụng ở phần sau.

Mệnh đề 2.1 [5]: Hệ điều khiển tuyến tính (2.1) là điều khiển đượchoàn toàn về không nếu và chỉ nếu điều kiện sau thỏa mãn

∃t > 0, c > 0 :

t∫

0

||BT (s)UT (t, s)x||2ds ≥ c||UT (t, 0)x||2, ∀x ∈ Rn.

Định nghĩa 2.2: [2]. Hệ điều khiển tuyến tính (2.1) là ổn định hóa tuyệtđối nếu với δ > 0 bất kỳ, tồn tại một điểu khiển ngược u(t) = K(t)x(t),với K(t) ∈ BMm×n(0,∞), sao cho nghiệm x(t, x0) của hệ đóng thỏa mãn:

∃N > 0 : ||x(t, x0)|| ≤ Ne−δt||x0||, ∀t ∈ R+.

Lời giải của bài toán ổn định liên quan đến RDE sau:.

P (t) +AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) = 0 (2.3)

Định nghĩa 2.3: Cho Q ∈ BM+(0,∞). Hệ điều khiển tuyến tính (2.1)là Q - ổn định hóa nếu với mọi trạng thái ban đầu x0, có một điều khiểnu(t) ∈ L2([0,∞), Rm) sao cho hàm mục tiêu

J(u) =

∞∫

0

[||u(t)||2+ < Q(t)x(t), x(t) >]dt.

34


với x(t) là nghiệm của hệ, tồn tại và hữu hạn.

Mệnh đề 2.2: [4]. Cho Q ∈ BM+(0,∞). Nếu hệ điều khiển tuyến tính(2.1) là Q(t)− ổn định hóa, thì hệ RDE (2.3) có một nghiệm P ∈ BM+(0,∞).

Mệnh đề 2.3: [9]. Xét hệ phương trình vi phân.x(t) = f(t, x(t)), x(0) =

x0, f(t, 0) = 0, t ∈ R+. Nếu tồn tại một hàm Lyapunov V (t, x) : R+ ×Rn → R thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1||x||2 ≤ V (t, x) ≤ λ2||x||2, ∀t ∈ R+,

(ii) Vf(t, x) := ∂V∂t +

∂V∂x f(t, x(t)) ≤ 0 với mọi nghiệm x(t) của hệ, thì

nghiệm x(t) bị chặn : ∃N > 0 : ||x(t, x0)|| ≤ N ||x0||, ∀t ∈ R+.

2.3 Kết quả chính

Cho δ > 0, đặt Aδ(t) = A(t) + δI. Với P,Q ∈ BM+(0,∞), xét phươngtrình RDE sau:

(RDEδ) :.

P (t)+ATδ (t)P (t) +P (t)Aδ(t)−P (t)B(t)BT (t)P (t)+Q(t) = 0.

Định lý 3.1. Các mệnh đề sau tương đương:(i) Hệ [A(t), B(t)] là điều khiển về không toàn cục (GNC).(ii) Với mỗi δ > 0 , tồn tại Q ∈ BM+(0,∞) , RDEδ có nghiệm

P ∈ BM+(0,∞).

(iii) Hệ [A(t), B(t)] là ổn định hóa tuyệt đối.

Chứng minh:

* (i) → (ii).

Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển về không toàn cục (GNC). TheoĐịnh nghĩa 2.1, với x0 ∈ Rn bất kỳ, có một thời gian h > 0 và điều khiển

35


chấp nhận được u(s) ∈ L2([0, h], Rm) thỏa mãn

U(h, 0)x0 +

h∫

0

U(t, s)B(s)u(s)ds = 0 (3.1)

Cho δ > 0 là số dương tùy ý. Nhân 2 vế của (3.1) với eδh và do UAδ(t, s) =

eδ(t−s)U(t, s), ta có:

UAδ(h, 0)x0 +

h∫

0

UAδ(h, s)B(s)u(s)ds = 0,

Với u(s) = eδsu(s). Điều này suy ra, trạng thái ban đầu x0 có thể đượcđiều khiển về 0 bởi một điều khiển chấp nhận được u(t) trong khoảng thờigian h, tức là hệ [Aδ(t), Bδ(t)] :

.y(t) = Aδ(t)y(t) + B(t)u(t), t ∈ R+, (3.2)

là điểu khiển hoàn toàn về không (GNC). Do vậy, với mỗi trạng thái banđầu x0 ∈ X, có một điều khiển chấp nhận được ux(t) ∈ L2([0, h], R

m)sao cho nghiệm x(t) của hệ (3.2) theo điều khiển ux(t) thỏa mãn x(0) =

x0, x(h) = 0. Xác định điều khiển ux(t) ∈ L2([0,∞], Rm), t ≥ 0 : là ux(t) =u(t) nếu t ∈ [0, h], và ux(t) = 0 nếu t > h. Sau đó, lấy Q ∈ BM+(0,∞)bất kỳ, ta có:

J(ux) =∞∫

0

[

||ux(t)| |2 + 〈Q(t)x(t), x(t)〉]

dt

=h∫

0

[

||ux(t)| |2 + 〈Q(t)x(t), x(t)〉]

dt < +∞.

Điều này có nghĩa rằng, hệ [Aδ(t), B(t)] là Q− ổn định hóa, theo Mệnh đề2.2, phương trình RDE

.

P (t) +ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) = 0,

có nghiệm P ∈ BM+(0,∞), vậy có (ii).

* (ii) → (iii).

36


Giả sử có (ii). Cho δ > 0 bất kỳ, ta xác định hàm ma trân Q ∈BM+(0,∞) thỏa mãn

Q(t) ≥ A(t) + AT (t) + 2δI +B(t)BT (t), t ∈ R+. (3.3)

Khi đó, phương trình RDEδ có nghiệm P ∈ BM+(0,∞). Ta viết lại phươngtrình RDEδ như sau

.

P (t)+ATδ (t)P (t)+P (t)Aδ(t)−e−2δtP (t)Bδ(t)B

Tδ (t)P (t)+Q(t) = 0, (3.4)

ở đây, Bδ(t) = eδtB(t). Sử dụng hàm chuyển y(t) = etx(t), t ∈ R+, hệ (2.1)được chuyển vào hệ

.y(t) = Aδ(t)y(t) +Bδ(t)u(t). y(0) = y0, t ∈ R+. (3.5)

Đầu tiên, ta chứng minh nghiệm y(t) của hệ (3.5) bị chặn trên R+. Vớiđiều này, ta xét hàm Lyapunov sau:

V (t, y) = 〈P (t)y, y〉+ ||y||2, t ∈ R+,

trong đó, P ∈ BM+(0,∞) là nghiệm của hệ (3.4). Dễ thấy, hàm LyapunovV (t, y) thỏa mãn bất phương trình

λ1||y||2 ≤ V (t, y) ≤ λ2||y||2, ∀t ∈ R+,

với λ1, λ2 > 0 nào đó. Ta chọn điều khiển ngược có dạng

u(t) = −e−2δt

2BT

δ (t)[P [−I]y(t). (3.6)

Với điều khiển ngược (3.6), lấy đạo hàm của V (.) theo t, ta được

.

V (t, y(t)) =⟨ .

P (t)y(t), y(t)⟩

+ 2 〈P (t) .y(t), y(t)〉+ 2 〈 .y(t), y(t)〉

=⟨ .

P (t)y(t), y(t)⟩

+⟨

(ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ(t))y(t), y(t)

⟩

+ 2 〈Aδ(t)y(t), y(t)〉+ 2 〈Bδ(t)u(t), y(t)〉+ 2 〈P (t)Bδ(t)u(t), y(t)〉

=⟨[ .

P + ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ(t)− e−2δtP (t)BT

δ (t)BTδ (t)P (t)

]

y(t), y(t)⟩

+⟨

[Aδ(t) +ATδ (t) + e−2δtBδ(t)B

Tδ (t)]y(t), y(t)

⟩

37


= −⟨[

Q(t)−(

A(t) + AT (t) + 2δI +B(t)BT (t))]

y(t), y(t)⟩

.

Bằng cách chọn của Q(t) từ điều kiện (3.3), ta được.

V (t, y(t)) ≤ 0, t ∈ R+,và theo Mệnh đề 2.3 , nghiệm y(t) bị chặn:

∃N > 0 : ||y(t)|| ≤ N ||y0||, t ∈ R+.

Quay lại nghiệm x(t) của hệ (2.1), và lưu ý rằng x(0) = y(0) = x0, ta được

||x(t)|| ≤ N ||x0||e−δt, ∀t ∈ R+.

Điều kiện cuối cùng có nghĩa rằng, với điều khiển ngược (3.6),

u(t) = −−e2δt

2 BTδ (t) [P (t)− I] y(t)

= −12BT (t) [P (t)− I] x(t) = K(t)x(t);

nghiệm không của hệ đóng.x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t), t ∈ R+,

ở đây

K(t) = −1

2BT (t) [P (t)− I] ∈ BMm×n(0,∞),

là ổn định mũ với tốc độ ổn định δ > 0.

* (iii) → (i).

Giả sử [A(t), B(t)] là ổn định hóa tuyệt đối, giả sử phản chứng rằnghệ này không điều khiển được hoàn toàn về không. Lấy δ > α, với α > 0

được xác định bởi điều kiện (2.2), từ tính ổn định hóa tuyệt đối, tồn tạiK ∈ BMm×n(0,∞) sao cho nghiệm x(t, x0) của hệ đóng

.x(t) = [A(t) +B(t)K(t)]x(t)

thỏa mãn

||x(t, x0)|| = ||UK(t, 0)x0|| ≤ N ||x0||e−δt, ∀t ∈ R+ (3.7)

38


ở đây, UK(t, s) là ma trận của hệ đóng. Thay điều khiển ngược u(t) =

K(t)x(t) = K(t)UK(t, 0)x0 và nghiệm x(t, x0) = UK(t, 0)x0 là nghiệmCauchy của hệ :

x(t, x0) = U(t, 0)x0 +

t∫

0

U(t, s)B(s)u(s)ds,

ta được

U(t, 0)x0 = UK(t, 0)x0 −t∫

0

U(t, s)B(s)K(s)UK(s, 0)x0ds, t ∈ R+.

Thấy rằng phương trình trên đúng với mọi x0 ∈ Rn, nên bất đẳng thứcsau đúng với mọi x ∈ Rn :

||UT (t, 0)x|| ≤ ||UTK(t, 0)x||+

T∫

0

||UTK(s, 0)K

T(s)BT (s)UT (t, s)x||ds.

Thay điều kiện (3.7), ta có:

||UT (t, 0)x|| ≤ Ne−δt||x||+Nkt∫

0

e−δs||BT (s)UT (t, s)x||ds

≤ Ne−δt||x||+Nk

(

t∫

0

e−2δsds

)1/2

×(

t∫

0

||BT (s)UT (t, s)x||2ds)1/2

(3.8)

với k := sup {||K(s)|| : s ∈ [0,∞)} < +∞. Đặt β(t) =(

∫ t

0 e−2δsds

)1/2

, ta

nhận được

β(t) =

(

1

2δ− 1

2δe−2δt

)1/2

. (3.9)

Theo giả thiết phản chứng, ta có hệ (2.1) không điều khiển được vềkhông hoàn toàn. Vậy, theo Mệnh đề 2.1(i), với mọi t > 0, c > 0 và ε ∈ (0, 1)

39


thỏa mãn

c <

[

(1− ε)√2δ

Nk

]2

. (3.10)

tồn tại x∗ ∈ Rn thỏa mãn

t∫

0

||BT (s)UT (t, s)x∗||ds < c||UT (t, 0)x∗||2. (3.11)

Rõ ràng x∗ 6= 0. Không mất tính tổng quát, ta coi bất đẳng thức (3.11)đúng với ||x∗|| = 1, nếu không, ta cũng có thể lấy x1 = x∗

||x∗|| . Do đó, từ

(3.8) và (3.11), ta có

||UT (t, 0)x∗|| < Ne−δt +√cNkβ(t)||UT (t, 0)x∗||. (3.12)

Mặt khác, chú ý rằng

1 = ||x∗|| = ||UT (0, t)UT (t, 0)x∗|| ≤ ||UT (0, t)||.||UT (t, 0)x∗||,nên có

1

||UT (t, 0)x∗||≤ ||UT (0, t)|| ≤ Meαt, t ∈ R+. (3.13)

Kết hợp (2.2), (3.12) và (3.13), được

1 <Ne−δt

||UT (t, 0)x∗||+√cNkβ(t) < NMe−(δ−α)t +

√cNkβ(t), t ∈ R+;

Do vậy,1−

√cNkβ(t) < NMe−(δ−α)t, t ∈ R+

Cho t tiến đến vô cùng, và lưu ý (3.9) là β(t) →(

1/√2δ)

, vế phải của bất

đẳng thức trên tiến về 0 (vì δ > α), nên ta có

1−√cN

1√2δk ≤ 0.

Từ điều kiện (3.10), ta được bất đẳng thức sau:

ε < 1−√cN

1√2δk ≤ 0.

40


dẫn đến mâu thuẫn. Vậy giả thiết phản chứng là sai.Định lý được chứng minh �

Nhận xét 3.1. Điều kiện (ii) của Định lý 3.1 có thể được làm yếu đibởi điều kiện: (ii) Với mọi δ > 0, tồn tại Q ∈ M+ sao cho hệ RDEδ, vớiQ(t) = Q có một nghiệm P (t) ∈ BM+(0,∞).

Thực sự, trong trường hợp này, sử dụng hàm Lyapunov V (t, y) =〈P (t)y, y〉, trong đó P (t) ∈ BM+(0,∞) là nghiệm của hệ RDE (3.4) vớimột số Q(t) = Q ∈M+, cùng điều khiển ngược

u(t) = −e−2δt

2BT

δ (t)P (t)y(t),

đạo hàm của V (.) theo t với nghiệm của y(t) trong hệ đóng (3.5) cho taV (t, y(t)) ≤ −ε||y(t)||2, với ε > 0. Lấy tích phân hai vế từ 0 đến t của bấtđẳng thức này, ta được

V (t, y(t))− V (0, y0) ≤ −εT∫

0

||y(s)||2ds.

Vì V (t, y) ≥ 0, nên

t∫

0

||y(t)||2dt ≤ λmax (P (0)))

ε||y0||2 < +∞.

Cho Uδ(t, s) là ma trận chuyển của hệ đóng (3.5). Dễ dàng chứng minhrằng Uδ(t, s) thỏa mãn điều kiện (2.2). Với mọi x ∈ Rn và t ∈ R+, ta được

1−e−2αt

2α ||Uδ(t, 0)x||2 =t∫

0

e−2α(t−s)||Uδ(t, 0)x||2ds

≤t∫

0

e−2α(t−s)||Uδ(t, s)||2||Uδ(s, 0)x||2ds

=M2t∫

0

||Uδ(s, 0)x||2ds

41


do đó

||y(t)||2 = ||Uδ(t, 0)y0||2 ≤ M22α1−e−2αt

t∫

0

||Uδ(s, 0)y0||2ds

= M22α1−e−2αt

t∫

0

||y(s)||2ds

≤ M22α1−e−2αt

λmax(P (0))ε

||y0||2. (3.14)

Cho t→ ∞, vế phải của hàm là hữu hạn vì (1− e−2αt) → 1 và điều này cónghĩa là nghiệm y(t), là một hàm liên tục, bị chặn trên R+. Phần còn lạicủa chứng minh được lập luận tương tự như phần chứng minh ở Định lý 3.1.

Nhận xét 3.2. Điều kiện (ii) của Định lý 3.1 có liên quan tới nghiệmcủa các phương trình RDE. Lưu ý rằng việc giải các phương trình RDEnhìn chung vẫn còn phức tạp ; tuy nhiên, một số cách tiếp cận hiệu quảđể giải quyết các phương trình RDE đã được đề cập trong [6]

Ví dụ Xét hệ điều khiển LTV (2.1) trong R2, với

A(t) =

(

−0, 5sint −11 −0, 5sint

)

,

B(t) =

√e2cost + 2ecost − 1 1

−1√e2cost + 2ecost − 1

.Để xác định tính điều khiển được hoàn toàn về không của hệ, ta sử dụngMệnh đề 2.1 (ii). Ta được

M(t) =

(

b(t) 1 0, 5b(t)sint− 1 + b(t) 0, 5sint+ b(t)−1 b(t) −0, 5sint− b(t) 0, 5b(t)sint− 1 + b(t)

)

.

ở đây b(t) :=√e2cost + 2ecost − 1. Chọn t0 = π

2 thì rankM(t0) = 2. Vớiδ > 0 bất kỳ, lấy Q = δ2I ∈M+, hệ RDEδ có nghiệm P (t) ∈ BM+(0,∞)

42


là

P (t) =

(

δe−cost 0

0 δe−cost

)

.

Mặt khác, ta có thể xác minh hệ là ổn định hóa tuyệt đối với điều khiểnngược

u1(t) = −0, 5δe−cost√e2cost + 2ecost − 1 x1(t) + 0, 5δe−cost x2(t)

u2(t) = −0, 5δe−cost x1(t) − 0, 5δe−cost√e2cost + 2ecost − 1 x2(t)

Từ đánh giá (3.14), ta xác định được số N > 0 sao cho nghiệm của hệ thỏamãn bất đẳng thức

||x(t, x0)|| ≤ Ne−δt||x0||, ∀t ≥ 0.

43


Kết luậnLuận văn nghiên cứu bài toán điều khiển được các hệ phương trình vi

phân tuyến tính và sự liên hệ giữa bài toán điều khiển được, ổn định hóavà phương trình Riccati.

Luận văn hệ thống một số kết quả cơ bản về bài toán điều khiển đượccác hệ ôtônôm, không ôtônôm với các chứng minh chi tiết và các ví dụminh họa mới của tác giả.

44

Tài liệu tham khảo

[1] V. N. Phát (2001) Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXBĐHQG, Hà Nội.

[2] Wonham, W. M. (1967) On pole assignment in multi-input controllablelinear systems, IEEE TransAutom. Control, 12. 660-665.

[3] Kalman R.E. (1960) Contribution to the theory of optimal control, Bol.Soc. Math. Mexicana, 102-119.

[4] Zabczyk, J. (1992) Mathematical Control Theory: An Introduction ,Boston, MA: Birkhauzer.

[5] Ahmed, N. U. (1982) Element of Finite-dimensional Systems and Con-trol Theory, Longman Sci. Tech, New York.

[6] W. Thomas. (1972) Differential Riccati Equations, Academic Press,New York.

[7] V. N. Phat and Q. P. Ha. (2008) New characterization of stabilizabilityvia Riccati equations for LTV systems, IMA J.Math. Control. Inform,Vol 25, 419-429.

[8] Ikeda M., Maeda H. and Komada S. (1972) Stabilization of linear sys-tems, Siam. J. Control., Vol 10, 716 - 729.

[9] Yoshizawa, T. (1966) Stability Theory by Lyapunov’s Second Method :Publication of the Mathematical Society of Japan, Tokyo.

45

bài toán điều khiển được và phương trình riccati

Documents