BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ HỘI TỤI/ PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Khi tìm điều kiện để dãy số cho bởi công thức là hội tụ, ta thường xét các

tính chất của hàm số và ảnh của các miền của qua ánh xạ sau: .II/ CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ:

Bài toán 1:

Cho dãy số thỏa mãn điều kiện:

Tìm để dãy số hội tụ.Giải:

Đặt Từ giả thiết ta có:

Bằng cách vẽ đồ thị hàm số và xét tập ảnh của các miền tương ừng qua ánh xạ , ta có các trường hợp:

Trường hợp 1: Khi đó: suy ra

Vì dãy không tăng, bị chặn dưới bởi số 0 nên tồn tại hữu hạn , Chuyển

qua giới hạn ta có: .

Vậy nếu thì

Trường hợp 2: Khi đó: Tương tự có: Nếu bị chặn dưới thì tồn tại

Nhưng từ điều kiện, chuyển qua giới hạn được: (vô lý).

Vậy: với thì

Kết luận: là các giá trị cần tìm. Bài toán 2: Tìm để dãy số thỏa mãn:

là dãy hội tụ. Giải:

Điều kiện cần: Xét hàm số: . Ta có: .

Vì: nên là dãy tăng.

Giả sử: hội tụ về , ta được . Mà là dãy tăng nên:

Vậy: điều kiện cần để hội tụ là: Điều kiện đủ:

Ta có: ánh xạ nên nếu thì với mọi ta có:

Vì dãy số là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Mặt khác

nên nếu thì với mọi và

không hội tụ. (vì nếu hội tụ về thì , vô lý).

Kết luận: hội tụ