Barangols a geometria szpsgeiben

1. feladatRekken hsgben a tz napon a patak egyik partjn ll egy szamr. A patak ugyanazon oldaln van egy hs rnyat ad lombos fa is. A szamr okos s lusta llat, ezrt a legrvidebb ton megy a patakhoz inni s onnan a fa al hslni. A patak melyik pontjn iszik a szamr?

1. feladat megoldsaSK +KF = SK + KF

2. feladatAdott egy ltalnos s hegyesszg ABC hromszg s AB oldaln egy P pont. Tekintsk az sszes ABC hromszgbe bert hromszget, amelyeknek egyik cscsa P. Szerkesszk meg ezek kzl a legkisebb kerlett!

2. feladat megoldsaPR + RS + SP = P1R + RS +SP2

3. feladatBizonytsuk be, hogy az elz pldabeli hromszgek kerlete annl kisebb, minl kzelebb van P pont a szemkzti cscshoz!

3. feladat megoldsaP1C = PCP2C = PC P1CP2 hromszg egyenlszr. Mivel P-t az oldalakra tkrztk, ezrt P1CP2 = 2, azaz lland, a hromszg alapja pedig a bert hromszg kerlete. Ez akkor lesz a legrvidebb, ha a szr a legrvidebb, ez pedig akkor van, ha P a C-bl indul magassg talppontja.

3. feladat megoldsaABCKvetkezmny: a hegyesszg hromszgekbe rt hromszgek kzl a talpponti hromszg a minimlis kerlet.

4. feladatJelljk egy hromszgben a cscs s a magassgpont kzti szakaszokat m1, m2, m3-mal. Igazoljuk, hogy ezek sszege nagyobb, mint a talpponti hromszg kerlete!

4. feladat megoldsam1 +m2 > cm2 + m3 > am3 + m1 > b m1 + m2 + m3 > (a + b + c)/2 = K kzpvonal > Ktalpponti hromszg

5. feladatAz egyenl alap s magassg hromszgek kzl melyiknek minimlis a kerlete? AC

6. feladatAdott egy sktkr s egy pontszer fnyforrs. A tkr melyik pontjt kell megvilgtani ahhoz, hogy a visszaverd fnysugr thaladjon egy rgztett F ponton?

6. feladat megoldsaFermat-elv: A fny a legrvidebb idej plyn mozog, ezrt S-bl F-be a legrvidebb ton kell haladnia.Kvetkezmny visszaverds trvnye: 1 = 2

7. feladatEgy 10 mter szles folyn szeretnnk tkelni. A foly sebessge 2 m/s, mi pedig 1 m/s sebessggel tudunk evezni a csnakkal. Melyik a legkzelebbi pont a tlparton, ahova elrhetnk?

7. feladat megoldsaA tls part elrhet pontjai kzl a legkzelebbi irnya O pontbl a flkrhz hzott rint irnyval egyezik meg.

7. feladat megoldsa

8. feladatTparton a parttl 20 m tvolsgban llva szrevesszk, hogy a parttl 30 m-re valaki segtsget kr a vzben. Milyen tvonalat vlasszunk a mentshez, hogy a legrvidebb id alatt rjk el a fuldoklt, ha 2 m/s sebessggel tudunk futni s 1 m/s sebessggel szni?

8. feladat megoldsa

8.feladat megoldsaA t(x) fggvnyminimumt keressk.

t(x) minimumax = 26,8 m esetn lesz, a minimum rtke 49,49 sec.

9. feladatEgy ngyzet alap gla oldalle 10 dm, s minden oldallapja olyan egyenl szr hromszg, amelyben az alapon fekv szgek sszege 11-szerese a szrak ltal bezrt szgnek. E gla alapjnak egyik cscsbl elindult egy hangya, s mind a ngy oldallapon thaladva, a legrvidebb ton visszatrt a kiindulsi pontba. Hny millimtert tett meg a hangya?

9. feladat megoldsa

9. feladat megoldsaAEA =60 o s egyenlszr, ezrt AEA hromszg szablyos.AA=AE= 10 dm = 1000 mm

10.feladatEgy egyenes kp alapkrnek sugara r, alkotja 3r. A kp felletnek A pontjbl egy lgy indul el s 1 cm/s sebessggel mindig a kppalston haladva megkerli a kpot. Mekkora a megkerlshez szksges minimlis idtartam? (Az A pont a kp C cscstl 10 cm tvolsgra van.)

10. feladat megoldsai = 2r= (6r)/3 =120 o

11. feladatEgy 3m 7m 3m mret szobban a padln a 3 mteres l felezpontjban egy pk l. A pk szreveszi a vele tellenben a plafonon a 3 mteres l felezpontjban tartzkod legyet. Melyik a legrvidebb t, amelyiken a pk elrheti a legyet?

11. feladat megoldsa

11. feladat megoldsa1. esetSF=3m + 7m = 10 m2.eset

11. feladat megoldsa3. eset

12. feladatEgy henger alak edny (melynek alaplapjnak kerlete 6 dm, magassga 4dm) tengelynek felezpontjra szimmetrikusan helyezkedik el egy hangya s egy mzcsepp, mghozz a hangya a kls, a mzcsepp a bels falon. A hangynak t kell msznia az edny peremn, hogy a mzcseppet elrje. Szmtsuk ki a legrvidebb utat a hangya szmra!

12. feladat megoldsa

12. feladat megoldsa

13. feladatNgyzet alap hasb alaple a, oldalle 2a. Egy pk a legrvidebb ton szeretne eljutni a hasb felletn az A pontbl a G pontba. Milyen tvonalon kell haladnia? Mekkora a legrvidebb t hossza a-val kifejezve?

13. feladat megoldsa

13. feladat megoldsa1.eset

2.eset

3.eset

14. feladatAz ABCD ngyzet DC oldaln vegynk fel egy tetszleges M pontot. MAB szgfelezje BC-t K-ban metszi. Bizonytsuk be, hogy AM=BK+DM!

14. feladat megoldsaAMK egyenlszr AM=KM=KD+DM=BK+DM

15. feladatAz albbi cipfz ktsek kzl melyikhez kell a legrvidebb (ill. leghosszabb) cipfz, ha n jelli a sorok szmt, d kt szomszdos sor tvolsgt, g pedig a szemkzti lyukak tvolsgt? a)b)c)

15. feladat megoldsa2(n 1)n=8; d=1 cm, g=2 cm esetnh33,305 cm

15. feladat megoldsah=g(n-1)+(n-2)n=8; d=1 cm, g=2 cm esetnh35,44 cm

15. feladat megoldsah= (n-1)g+n=8; d=1 cm, g=2 cm esetnh36,93 cm

16. feladatHrom kr az brnak megfelel mdon rinti egymst s a kzs rintjket. Milyen sszefggst llapthatunk meg a krk sugarai kztt?

16. feladat megoldsa

16. feladat megoldsa

17. feladatEgy derkszg hromszgbe az brn lthat mdon hrom ngyzetet s hrom krt rtunk. Milyen sszefggst llapthatunk meg a krk sugarai kztt?

17. feladat megoldsa

18. feladatEgy derkszg hromszg hegyesszgei 60o s 30o. Ahromszgbe kt egyenl sugar krt runk, amelyek rintik az tfogt, egymst s egy-egy befogt. Hnyszorosa a kisebbik befog a krk sugarnak?

18.feladat megoldsa

19. feladatAz ABCD trapz AB alapjra, mint tmrre rt kr rinti a CD alapot s felezi az AD s BC szrakat. Mekkork a trapz szgei?

19. feladat megoldsaEK=EOEO=KO=r EOK egyenloldal, szgei 60 fokosakEAO egyenlszr, szrszge 30 o alapon fekv szgei 75o-osak