MATEMÁTICAS BÁSICAS I

PROBLEMAS RESUELTOS

A.- INDUCCIÓN MATEMÁTICA

1. Utilizando inducción matemática, probar que 4 nn+1

<(2n)!(n!)2 , n ≥2

Solución:

Para n=2: 4 22+1< (4)!

(2 !)2 → 163 <6 (Verdadero)

Para n=m: 4 mm+1<(2m)!

(m!)2 (Hipótesis inductiva)Para n=m+1: 4 m+1

m+2 <(2(m+1))!(m+1 !)2 (Se debe probar)

Entonces:4 m+1m+2 =4.4 m

m+2 =4 mm+1 ∙4 (m+1)

m+2<(2m)!

(m!)2 ∙4 (m+1)

m+2

Hasta aquí hemos utilizado 4 mm+1 reemplazando en la hipótesis

inductiva, luego:4 m+1m+2 <(2m)!

(m!)2 ∙2(2m+2)

m+2 = (2m)!(2m+1)(2m+2)(m! )2

∙2

(2m+1)(m+2)<[2(m+1)]2

(m !)2(m+1)2 ∙2(m+1)2

(2m+1)(m+2)… (α)

Pero m≥2>0→2m2+4m+2<2m2+5m+2 →2 (m+1)2< (2m+1) (m+2)2(m+1)2

(2m+1)(m+2)<1

En (α): 4 m+1m+1+1<(2(m+1))!

(m+1 !)2

Luego, concluimos que la expresión está demostrada

Finalmente, ∀n∈Z∧ n≥2, se cumple que 4 m+1m+2 <(2(m+1))!

(m+1 !)2

2. Demostrar por inducción matemática que x2n− y2n es múltiplo de x+ y

3. Dado el conjunto de números reales { an/ n∈N },se define las relaciones de

recurrencia:

a1 =1, a2 =5, an =5 an-1 - 3an-2; ∀n≥3

Probar que an =1

2 n √13[(5+√13)n−(5−√13)n ] ; ∀n≥3

Solución:Utilizamos la inducción matemática para demostrar esta proposición:i) Para n=3: a3= 1

2 3√13[(5+√13)3−(5−√13)3 ]=22

a3 =5 a3-1 - 3a3-2=5(5)-3=22 (Verdadero)ii) Para n=m: am= 1

2 m √13[(5+√13)m−(5−√13)m ] (Hipótesis

inductiva)iii) Para n=m+1: am+1 =5 am - 3am-1Entonces debemos probar, a partir de la hipótesis inductiva, que:am+1 =5. 1

2 m √13[(5+√13)m−(5−√13)m ] - 3. 1

2 m-1√13[(5+√13)m−1−(5−√13)m−1 ]

am+1 = 52 m √13

[(5+√13)m−(5−√13)m ] - 62 m-√13

[(5+√13)m−1−(5−√13)m−1 ]

donde a=(5+√13)m, b= (5−√13)m

am+1 = 12 m √13 [5a−5b− 6a

5+√13+ 6b

5−√13 ] = 12 m √13 [ 30 (a−b )+6√13 (a+b)

12 ]= 1

2 m+1√13[5 (a−b )+√13(a+b)]= 1

2 m+1√13[a (5+√13 )−b(5−√13)]

Reemplazando a y b:= 1

2 m+1√13[(5+√13)m+1−(5−√13)m+1 ] l.q.q.d.

4. an =1

2 n √17[(1+√17)n−(1−√17)n ]

Pruebe que:

an+2=an+1 +4an

an es un entero positivo, ∀n∈N

Solución i:Para probar debemos emplear la inducción matemática, pero antes de esto calculemos en la definición a0, a1, a2.a0 = 1

2 0√17[(1+√17)0−(1−√17)0 ] =0

De modo similar a1= 1y a2=1Ahora, utilizando la inducción:Para n=0: a2=a1 +4a0 →1=1+ 4(0) (Verdadero)Para n=m: am+2=am+1 +4am (Hipótesis inductiva)Para n=m+1: 1

2 m+3 √17[(1+√17)m+3−(1−√17)m+3 ] =

1

2 m+2√17[(1+√17)m+2−(1−√17)m+ 2 ] + 4 [ 1

2 m+1√17[(1+√17)m+1−(1−√17)m+1 ]]Debemos probar que am+3=am+2 +4am+1

→am+1= 1

2 m+1√17[(1+√17)m+1−(1−√17)m+1 ] ;

→am+2= 1

2m+2 √17[(1+√17)m+2−(1−√17)m+ 2 ]

Asignemos (1+√17)m+1 =α y a (1−√17)m+1=βReemplazamos y obtenemos:am+1= α−β

2 m+1√17 ; am+2= (1+√17 ) α−(1−√17) β

2m+2√17

am+1= 2α−2 β2 m+2√17

→4am+1 = 8α−8 β2 m+2√17

am+2=α+√17α−β+√17 β2 m+2√17

→ am+2= (α−β )+√17 (α+ β)2 m+2√17Ahora sumamos am+2 +4am+1

= 8 (α−β )+ (α−β )+√17 ( α+β )2 m+2√17

∙22=18 (α−β )+2√17 (α+ β )

2 m+3 √17=

18α+2√17α−18 β+2√17 β2 m+3 √17

= (18+2√17 ) α−(18−2√17) β2 m+3 √17

= (1+√17 )2 α−(1−√17)2β

2 m+3 √17Reemplazamos α y β:→ am+2 +4am+1= 1

2 m+3 √17[(1+√17)m+3−(1−√17)m+3 ]= am+3 (por

definición inicial

Entonces, esta expresión es lo que queda demostrada.Solución ii :Lo demostraremos por la propiedad de clausura, tanto en la adición como en la multiplicación.Las propiedades son:

Si a ∈N , b ∈N ; entonces a + b ∈N

Si k entonces k∈N , a ∈N entonces k.a ∈NEntonces se puede ver que a1=1, a2=1, y ambos ∈N , por lo tanto aplicando las propiedades, generalizamos.An ∈N , an+1 ∈N →4 an ∈N(por la propiedad de clausura), En consecuencia, sumando 4 an + an+1 (suma de números naturales) ∈N , Entonces an+2=an+1 +4an es también entero positivo5. Sea un definido por:

u0= 2; u1= 52

; un+1=un (u2n-1-2)2-u1;∀n∈N 0

Donde: en=13

(2n-(-1)n)

Probar por inducción matemática que: un=2en+2−en :∀n∈N 0

Solución:Para n=0:u0=2e0+2−e0 = 2 (Verdadero)Para n=m: um=2em+2−em(Hipótesis inductiva)Para n=m+1: um+1=2em+1+2−em+1(Se debe probar)Entonces: um+1=¿) [(2em−1+2−em−1)2-2]-5

2

um+1=¿) (22em−1+2−2em−1)-52

um+1=2em+2em−1+2em−2em−1+22em−1−2em+2−2em−1−2em-52… (α)

Pero: em=13 (2m-(-1) m)

2 em-1=23 (2m-1-(-1) m-1)

Sumando: em + 2 em-1 = 13[2m-(-1) m+2m+2(-1) m]

Además: em-2em-1=(-1)m+1 2em-1-2em=(-1)m-2em-1-em=em+1En (α): un+1=2en+1+2(−1)n+1+2(−1)n+2−en+1-5

2… (β)Si n par: 2-1+2=5

2

Si n impar: 2+2-1=52En (β) 2em+1+2−em+1=um+1 l. q. q. d.

B.- PRODUCTORIAS

1. Halle una expresión para cada caso en términos de n.

∏k=2

2n+1

⟨1− 1k2 ⟩

Solución:

∏k=2

2n+1

⟨1− 1k2 ⟩ =∏

k=2

2n+1 ⟨ k2−1k2 ⟩=∏

k=2

2n+1 ⟨ (k+1)(k−1)k . k ⟩=∏

k=2

2n+1 ⟨ k+1kk

k−1⟩… (α)

Definamos ak= k+1k , entonces: en (α)α=∏

k=2

2n+1 ⟨ ak +1

ak⟩

Por la propiedad telescópica que dice:∏k= j

n ⟨ ak

ak−1⟩ = ak

a j−1

Aplicando a ∏k=2

2n+1 ⟨ ak +1

ak⟩= ∏

k=2

2n+1 ⟨ a2n+1

a1⟩= 2n+1+1

2n+11+1

= n+12n+1

Por lo tanto ∏k=2

2n+1

⟨1− 1k2 ⟩= n+1

2n+1

2. ∏k =1

n

⟨1− 1k+1 ⟩

Solución :

∏k =1

n

⟨1− 1k+1 ⟩ =∏

k =1

n

⟨ k+1−1k+1 ⟩=∏

k =1

n

⟨ kk+1 ⟩=1

2∙23

∙34

…∙ n

n+1=

1n+1

3. Si: ∏i=1

k

⟨ logaiM ⟩= ∑

i=1

k [∏j=1

k

(loga jM

(logaiM)

−1k

)] Halle una expresión sin la notación ∑ , ni∏, para:

N= ∏i=1

k

¿¿ ; M≠1

Solución:Lo primero que debemos hacer es calcular M, para reemplazar en N, que es lo que se pide.

Utilizando la propiedad del logaritmo log abn=n log ab y de la

productoria ∏k =1

n

c .ak= cn ∏k =1

n

ak; por lo que la primera expresión queda así:∏i=1

k

⟨ logaiM ⟩=∑

i=1

k [∏j=1

k

(loga jM ∙( logai

M )−1k )]

∏i=1

k

⟨ logaiM ⟩=∑

i=1

k

¿¿

∏i=1

k

⟨ logaiM ⟩=∑

i=1

k

¿¿

∏i=1

k

⟨ logaiM ⟩=∏

j=1

k

¿¿

log a1M ∙ loga2

M ∙…∙ log akM=log a1

M ∙ loga2M ∙…∙ log ak

M .[∑i=1

k

[ logM ai ] ]1= logM a1+logM a2+…+ logM ak1=logM a1 ∙a2 ∙ a3 ∙…∙akPor lo que M=a1 ∙ a2 ∙a3 ∙…∙akAhora , con el valor de M, calculamos lo que nos piden , N.N= ∏

i=1

k

¿¿

N=∏i=1

k

¿¿

N=∏i=1

k

¿¿

N=(k ∙a¿¿1 ∙ a2 ∙ a3∙…∙ak )k¿ Respuesta

C.- SUMATORIAS Y BINOMIO DE NEWTON

1. Dado:

A= (x √x+x-4)n=… +λ +…

B= (2-m+1√x) 12=… + α XΦ +…

Halle α, λ y Φ si son enteros, e indique los α y Φ posibles.

Solución:

A= (x √x+x-4)n→tk-1=(nk) (x1.5)n-k(x-4)k

B= (2-m+1√x) 12→tk-1=(12k )(2)12-k(-x⅓)k

En A , para calcular el término independiente λ, consideremos que el grado ces CERO; por lo que 1.5(n-k)-4k=0→3n=11kde aquí. N=11 y k=3, con esto λ=(11

3 ) (x1.5)11-3(x-4)3→λ=165En B, el grado de cada término solo depende de (-x⅓)k por lo que obviamos al otro término (2)12-k y centrémonos en: 1

3k=ϕ ¿, por

condición del problema)→Φ=k3 (k=3,6,9,12)

→Φ=1,2,3,4.k no puede tomar valores mayores a 12 por ser el exponente del binomio.Una vez calculado Φ, calcularemos α, en cada caso:Para Φ=1 →t3-1=(12

3 )(2)12-3(-x⅓)3 →α=-112640Para Φ=2 →t6-1=(12

6 )(2)12-6(-x⅓)6 →α=59136Para Φ=3 →t9-1=(12

9 )(2)12-9(-x⅓)9 →α=-1760Para Φ=4 →t12-1=(12

12)(2)12-12(-x⅓)12 →α=12. Calcular, usando propiedades.

∑k=−5

6n+4

(3nk

)cos4 nkθ

Solución:

Antes de efectuar las sumatorias, nos damos cuenta que ¿) tiene un intervalo para que exista y es 0≤k≤3n, y en la sumatoria los índices son números de mayor rango, por lo que redefinimos:∑k=0

3n

(3nk

)cos4 nkθ; porque -5<0 (k=-5 no existe) 6n+4>3n (no existen)Resolvemos:La presencia de ∑

k=0

3n

(3nk

) nos hace pensar en binomio de Newton y la presencia de cos 4nkθ con k variable nos hace pensar en el teorema de De Moivre en números complejos, por lo que vemos:(1+e i 4nθ)3n=∑

k=0

3n

13n−k (e i 4nθ)k=∑k=0

3n

(3nk

)¿ … (α)De otro lado 1+e i 4nθ=2e i 2nθ .

(e i2nθ+e−i 2nθ)2

= 2e i2nθ .cos2nθ

Elevando: (1+e i 4nθ)3n=23n ei 6n2 θcos3n 2nθ =23n ¿ … (β)(α)= (β): Igualando partes reales23n .cos3n 2nθ.cos6 n2θ=∑

k=0

3n

(3nk

)cos4 nkθ 10. Halle en términos de n

∑k=0

6n

(6nk )cos 4kθ

11. Calcular

S=(n1) x (1−x )n−1+2(n2)x2(1−x )n−2+…+k (nk )(1−x )n−k+…+n (nn)xn

12. Calcular ∑k=2

4n+10

(x−4)(2n+1k−6 )

D.- APLICACIÓN MATRICIAL

1. En el mercado de telecomunicaciones de cierto país existen 6 empresas de

telefonía móvil las cuales ofertan 500 paquetes de servicios. Cada empresa

tiene su propio tarifario por paquete, considerando que las tarifas se mantienen

constantes, se pide:

A) Definir las matrices de paquetes vendidos y de tarifas para cada empresa

B) Calcular matricialmente la expresión que describe la venta para cualquier

mes y para cualquier empresa (Exprese mediante sumatorias)

C) Represente mediante sumatorias la venta total anual de todas las empresas

Solución

A)

Definimos Ak=(nijk )12 x500

Donde i : mes , j : paquete , k :empresa

1≤i ≤12 ,1≤ j ≤ 500 ,1≤ k ≤6

Ak : Matriz paquetes vendidos por la empresa k

Pk= (T jk )500 x 1 , Matriz tarifas de la empresa k

B) Venta para cualquier mes para cualquier empresa (V ik )

V ik=(ni1kni2k

ni3 k…ni500k )(

T 1K

T 2K

…T500 K

)V ik=(n ijk )1x 500 (T JK )500 X 1 Expresión matricial

V ik=∑j=1

500

n ijkT jk Expresión mediante sumatorias

C) V Tk=V 1k+V 2k+…+V 12 k=∑i=1

12

V Ik

Venta total (V t ¿ :V t 1+V t 2+…+V t 6=∑k=1

12

V ik

V t=∑k=1

6

∑i=1

12

∑j=1

500

n ijk t jk

2. Un grupo de abonados telefónicos efectúa n llamadas locales de las cuales

n1 son en horario normal (H.N.) y el resto n2 en horario reducido (H.R.); y m

llamadas a larga distancia, y de las cuales m1 son en horario normal (H.N.) y el

resto m2 en horario reducido (H.R.). Si se sabe que cada llamada se registra en

segundos, pero se factura al minuto superior (es decir, si la parte fraccionaria

es mayor o igual a 1 segundo se redondea al minuto siguiente). Calcular:

El pago efectuado por los minutos consumidos mediante una expresión en

sumatorias, para el caso de tráfico local y el tráfico de larga distancia.

El pago total efectuado por los abonados por los minutos consumidos, usando

sumatorias.

SUGERENCIA: Considere el pago por el tráfico es igual al producto del tráfico

por el importe del minuto según sea el caso.

TARIFA: (s/. /Min)

Llamada

s

H.N. H.R.

Local T11 T12

Nacional T21 T22

Solución:

Para tener una secuencia numérica, asignemos:

Local: H.N. T11 =C1 (a1) k, donde k= (1, 2,3,…, n1) → n1=p1

Local: H.R. T12 =C2 (a2) k, donde k= (1, 2,3,…, n2) →n2=p2

Nacional: H.N. T21 =C3 (a3) k, donde k= (1, 2,3,…, m1) →m1=p3

Nacional: H.R. T22 =C4 (a4) k, donde k= (1, 2,3,…, m2) →m2=p4

Costos por minuto Duraciones k-ésima llamada La última llamadaTomando en cuenta la sugerencia, consideramos: Costo por llamada= (ai)k .ciA partir de estas variables, obtenemos la matriz tráfico en cada caso, pero en este ejercicio es suficiente mostrar uno, porque los demás son similares, para esto, mostraremos la matriz tráfico para llamadas locales en horario normalLlamadas Duración Tarifa1 (a1) 1 T 11

Caso i , dondeCaso 1: Local: H.N.Caso 2: Local: H.R.Caso 3: Nacional: H.N.Caso 4: Nacional: H.R. , en este caso graficamos el caso 1

=C12 (a1) 2 T 11 =C1⋮ ⋮ ⋮n1=p1 (a1)p1 T 11 =C1

Sumando:Total caso 1= (a1) 1.C1+(a1) 2.C1+…+ (a1)p1.C1 = ∑

k =1

Pi

(a1)k .C1

→u1= ∑k =1

P1

(a1)k .C1

Además, consideramos ui como el total del caso iEntonces, generalizando, para un caso i:ui =∑

k =1

Pi

(a i)k .C i

Con esta fórmula, expresada en sumatoria, respondemos s las preguntas:a) * Para llamadas locales, casos 1 y 2: costo= u1+ u2

Costo = ∑k =1

2

u i =∑k =1

2

∑k=1

Pi

(a i)k .C i

* Para llamadas de larga distancia nacional: casos 3 y 4: costo=u3+ u4

Costo = ∑k =3

4

u i =∑k =3

4

∑k=1

Pi

(a i)k .Ci

b) Pago total por el gripo de abonadosCosto total= costo de los 4 casos→Costo total=u1 + u2+u3 + u4= ∑

k =1

4

u i

→Costo total=∑k =1

4

∑k=1

Pi

(a i)k .C i

3. Dado el siguiente cuadro en el cual se muestra los cursos y facultades de la de la universidad para un determinado año .Donde: nijes el número de alumnos matriculados en el curso C j y facultad F i C1 C2 C3 … C8 C9 C10 TOTAL

F1 n11 n12 n13 n110 T 1

F2 n21 n22 n23 n210 T 2

F3

F4…F12 n12 10 T 12

Expresar en términos de una sumatoria el total de los alumnos matriculados por curso en cualquier facultad y el total de alumnos matriculados en todos los cursos en toda la universidad.Solución

Total de alumnos por curso N i=∑i=1

12

nij

Total de alumnos por facultad ∑j=1

10

nij

Total de alumnos todas las facultades todos los cursos

N=T 1+T 2+T 3+…+T 12=N1+N2+N3+…+N10

N=∑I =1

12

T i=∑j=1

10

N J

N=∑I =1

12

∑J=1

10

nij

4. El cuadro muestra las ventas de un conjunto de productos .Calcular utilizando sumatorias y/o productorias:

i) El monto o importe facturado por cada producto.ii) El monto total facturado por todos los productos.

------------------Descuentos------------------------PRODUCTO Valor

nominal(soles)cantidad volumen plazo concentración distancia factura

1 P1 C1 d11 d12 d13 d14 F1

2 P2 C2 d21

3 P3 C3

… … …N Pn Cn dn1 dn2 dn3 dn4 Fn

(Completar el cuadro)

SOLUCION

Para la obtención del monto o importe facturado por cada producto nos basaremos en lo siguiente:

F i=PiC i D ti

Donde: F i monto facturado del producto i Pi Precio por unidad del producto i C i Cantidad de elementos facturados del producto i Dti Descuento total aplicado al producto iAnalizando para un caso particular ( i =1)F1=P1C1 Dt 1

F1=P1C1[( 100−d11 ) % (100−d12) % (100−d13 ) % (100−d14 ) % ]

Entonces para un i general

F i=PiC i[ (100−d I 1 ) % (100−d i 2 ) % (100−d i 3 ) % (100−d i 4 ) % ]

F i=PiC i∏j=1

4

(100−d ij ) %

Donde j es el tipo de descuento , i tipo de productoEl monto total facturado por todos los productos se expresa de la siguiente manera

M t=∑i=1

n

F I=∑i=1

n

Pi C i∏j=1

4

(100−dij ) %

Donde j tipo de producto , i tipo de descuento aplicado.

5. Una cadena de farmacias cuenta con 60 establecimientos distribuidos en distintas partes del Perú .Todas venden 600 medicamentos .Cada farmacia maneja su lista de precios. Se pidea) Definir las matrices de ventas de productos vendidos y de precios b) Exprese matricialmente (producto) y mediante sumatorias la venta para cualquier mes del año de cualquier farmacia.c) Exprese matricialmente la venta anual de cualquier farmacia (expresar en producto matricial)d) Exprese mediante sumatorias la venta total anual de todas las farmacias.

6. La empresa ABC tiene 200 tiendas dentro del territorio nacional cada una de las cuales vende 2000 productos .Sabiendo que cada tienda tiene su propio tarifario, se pide:a) Definir las matrices de productos vendidos mensualmente, también las matrices de tarifas o lista de precios.b) Exprese matricialmente la venta (en soles) para cualquier mes de cualquier tienda de todos los productos.c) Exprese mediante sumatorias lo solicitado en punto anteriord) Exprese matricialmente la venta anual de cualquier tiendae) Exprese mediante sumatoria lo pedido en al caso anteriorf) Exprese mediante sumatoria la venta anual de todas las tiendas

SOLUCIONa) Definimos la matriz de productos vendidos mensualmente, hacemos la restricción de un año .Sea A=(nijk )12 x2000 la matriz de productos vendidos mensualmente en un año, donde: 1≤i ≤12 para i mes del año ( i = 1,2,3,..,12) 1≤ j≤ 2000 para j que es un tipo de producto 1≤ k≤ 200 para k que es una de las tiendas

nijk : Es el número o cantidad de productos vendidos en el i-esimo mes, del j-esimo producto en la k-esima tienda

B=(T jk )2000 x 1 Matriz de tarifas o precios de la k-esima tienda (en cada una de las 200 tiendas se venden 2000 productos)b) La venta en soles de cualquier mes para cualquier tienda

(n i1k ni 2k ni 3kn i 4k …ni 2000k )(T1k

T2k

T3k

…T 2000 k

)=V ik , representa las ventas del mes i de la tienda k

(expresión en unidades monetarias)

c) La venta del mes i en la tienda k mediante sumatorias V ik=∑j=1

2000

nijk T jk , cada tienda

vende 2000 productos de allí la sumatoria desde j=1 hasta j=2000, para un i, k particulard) Buscamos una expresión matricial para la venta anual en cualquier tienda

[n11k n12k … n1 jk … n12000k

n21 k n22k n2 jk … n22000k

…ni 1k

…n121 k

…ni 2k

…n122 k

…n ijk

……

…ni 2000 k

… … …n12 jk … n122000 k

] Sea [ N1k N 2k… N jk … N2000 k ] , (donde M ik=n1k+n2k+…+n12 k=∑

i=1

12

nik)

También N j=n1 jk+n2 jk+…+n12 jk=∑i=1

12

nijk

La expresión matricial de la venta anual de cualquier tienda está dada por

( N1k N2k N3k … N2000 k )(T1k

T2k

T3k

…T 2000K

)=V k

e) Expresión mediante sumatorias

V k=∑i=1

12

∑j=!

2000

n ijkT jk

f) ∑i=1

12

∑j=1

2000

∑k=1

200

nijk T jk

7. Suponga que en el Perú existen 10 empresas de telefonía fija, cada una de las cuales ofertan 50 tipos de servicios y cada una tiene su propio plan tarifario para cada uno de los 50 productos .Se pide:i) Defina las matrices correspondientes de productos vendidos y de tarifasii) Exprese matricialmente la venta (en N soles) para cualquier empresa de todos los productos vendidos en cualquier mes iii) Exprese matricialmente la venta anual (en nuevos soles) para cualquier empresa de cualquier productoiv) Exprese matricialmente la venta anual (N soles) de todas las empresas de cualquier producto.v) Exprese mediante sumatorias la venta anual (N soles) de todas las empresas de cualquier producto.(2da practica 06-05-13)