MATEMTICAS BSICAS I

A.- INDUCCIN MATEMTICAIntroduccin. Sabemos que existen proposiciones generales y particulares.

Ejemplo:1. Un nmero es divisible por cinco si y solo si termina en cero o en cinco (general)El nmero 125 es divisible por cinco (particular).1. Un nmero entero positivo es cuadrado perfecto si y solo si los exponentes de sus factores primos son mltiplos de dos.El nmero 3600 = 24 . 32 . 52 es un cuadrado perfecto.

El paso de lo general a lo particular, se llama deduccin; mientras que el paso de lo particular a lo general se llama induccin. No siempre es fcil pasar de situaciones particulares a casos generales (generalizaciones) y que estos sean vlidas.

Ejemplos:

1. De las siguientes igualdades (particulares):

Obtenemos el caso general ara todo nmero natural n (generalizacin)

1. Mientras que de las igualdades (particulares)

12 1 + 41 es primo(41)22 2 + 41es primo(43)32 3 + 41es primo(47)42 4 + 41es primo(53)

Obtenemos el caso general n2 n + 41 es primo para todo nmero natural n (generalizacin)

Cmo estamos seguros de que estas generalizaciones son slidas?La respuesta a esta interrogante viene dada por un mtodo que se utiliza para verificar la valides (demostracin) de estas proposiciones (generalizaciones), dentro del conjunto de los nmeros naturales. Este mtodo se le llama induccin matemtica, est fundamentado en los siguientes principios:

Primer principio de induccin matemtica Sea s(n) una proposicin que puede ser verdadera o falsa para cada n N (pero no ambas). Si s(n) satisface las condiciones:

1. Para n = 1, la proposicin s(1) es verdadera1. Si para n = k, la proposicin s(k) es verdadera, entonces para el siguiente nmero natural n = k + 1, la proposicin s(k + 1) es verdadera.

Concluimos que la proposicin s(n) es verdadera para todo n N.

Segundo principio de induccin matemtica Estamos frente al segundo principio cuando la proposicin es vlida a partir de n = K0, donde K o N, y K0 > 2.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Utilizando induccin matemtica, probar que < , n 2Solucin:Para n=2: <