Basis Ortogonal dan Ortonormal

Ortogonal

• Himpunan vektor {v1, v2, ….., vk} dalam Rn disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam him-punan vektor tersebut adalah ortogonal, yaitu jika :

vi . vj = 0

• Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam di-namakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vek-tor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah or-togonal (saling tegak lurus).

Contoh 1Tunjukkan bahwa {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal dalam R3 jika :

Jawab :

Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal

v1 . v2 = 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0

v2 . v3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0

v1 . v2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0

Kesimpulan : {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal

1 2 3

2 0 1

1 , 1 , -1

-1 1 1

v v v

Basis Ortogonal

• Basis ortogonal dari subruang W dari Rn adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal.

Contoh 2Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu :

Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk :

Jadi vektor u = dan v = adalah basis W,

namun tidak ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut.

: 2 0

x

W y x y z

z

2 1 -2

1 0

0 1

y z

y y z

z

1

1

0

-2

0

1

Contoh 2

Anggap adalah vektor dalam W yang ortogonal

dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0.

Dengan menyelesaikan SPL :

x-y+2z = 0

x+y = 0

Didapatkan : x = -z dan y = z

Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk :

x

w y

z

-

z

w z

z

Contoh 2

Jika diambil dengan mudah dapat dibuktikan

bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W, se-hingga merupakan basis ortogonal W.

-1

1

1

w

Ortonormal

• Himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan ortonor-mal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan.

• Basis ortonormal untuk subruang W dari Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal.

Contoh 3Tunjukkan bahwa S = {q1,q2} adalah himpunan ortonormal dalam R3 jika :

Jawab :

Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap vektor himpunan ortogonal tersebut.

1 13 6

1 21 23 6

1 13 6

- dan

q q

1 2 11 2 18 18 18. 0q q

1 1 13 3 31 1. 1q q

1 4 16 6 62 2. 1q q

ortonormal

Contoh 4Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor :

Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v1, v2, dan v3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap vektor diperoleh :

Jadi {q1, q2, q3} merupakan basis ortonormal untuk R3

1 2 3

2 0 1

1 , 1 , -1

-1 1 1

v v v

26

11 1 6

11

6

21 1

1 6

-1 -

q vv

12 2 2

21

2

0 01 1

12

1

q vv

13

13 3 3

31

3

11 1

-1 -3

1

q vv

Sekian dan Terima Kasih