Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

Chuyên đề

KỸ THUẬT BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐCauchy – Bunhiacopsky

Nguyễn Thành An

Giáo viên Toán – Trường THPT Hòa BìnhUsepackage beamer of LATEX

Ngày 5 tháng 1 năm 2010

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 1

Cho các số thực a, b, c ≥ 0. Cmr:1

a+

1

b+

1

c≥ 9

a + b + c

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = an

Xét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 1

Cho các số thực a, b, c ≥ 0. Cmr:1

a+

1

b+

1

c≥ 9

a + b + c

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 1

Cho các số thực a, b, c ≥ 0. Cmr:1

a+

1

b+

1

c≥ 9

a + b + c

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 1

Cho các số thực a, b, c ≥ 0. Cmr:1

a+

1

b+

1

c≥ 9

a + b + c

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 1

Cho các số thực a, b, c ≥ 0. Cmr:1

a+

1

b+

1

c≥ 9

a + b + c

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 2 (Bất đẳng thức Nesbitt)

Cmr: mọi số thực không âm a, b, c thìa

b + c+

b

c + a+

c

a + b≥ 3

2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 2 (Bất đẳng thức Nesbitt)

Cmr: mọi số thực không âm a, b, c thìa

b + c+

b

c + a+

c

a + b≥ 3

2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 3 (IMO Shortlist 1998)

Cho số thực x , y , z ≥ 0 và xyz = 1 Cmr:∑

x ,y ,z

x3

(1 + y)(1 + z)≥ 3

4

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi số thực dương a1, a2, a3, ..., an ta luôn có

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

n≥ n√a1.a2.a3...an

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = anXét các trường hợp đặc biệt

• Với n = 2 thìa + b

2≥√

ab và dấu "=" xảy ra a = b

• Với n = 3 thìa + b + c

3≥ 3√

abc và dấu "=" xảy ra a = b = c

Ví dụ 3 (IMO Shortlist 1998)

Cho số thực x , y , z ≥ 0 và xyz = 1 Cmr:∑

x ,y ,z

x3

(1 + y)(1 + z)≥ 3

4

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Nền tảng lý thuyết chính của kỹ thuật này là bất đẳng thức

Cauchy và tính chất a ≥ b > 0⇒ c− a ≤ c− b và1

a≤

1

b.

Có thể chúng ta chưa hiểu được kỹ thuật này là gì? Nhưng thôngqua ví dụ thì mới thấy vẽ đẹp ấn tượng của kỹ thuật.

Ví dụ 1

Cho a, b, c ∈ R+ có tổng là 3. Cmr:a

1 + b2+

b

1 + c2+

c

1 + a2≥ 3

2

Ví dụ 2

Cho a, b, c , d là các số thực dương. Cmr:a3

a2 + b2+

b3

b2 + c2+

c3

c2 + d2+

d3

d2 + a2≥ a + b + c + d

2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Nền tảng lý thuyết chính của kỹ thuật này là bất đẳng thức

Cauchy và tính chất a ≥ b > 0⇒ c− a ≤ c− b và1

a≤

1

b.

Có thể chúng ta chưa hiểu được kỹ thuật này là gì? Nhưng thôngqua ví dụ thì mới thấy vẽ đẹp ấn tượng của kỹ thuật.

Ví dụ 1

Cho a, b, c ∈ R+ có tổng là 3. Cmr:a

1 + b2+

b

1 + c2+

c

1 + a2≥ 3

2

Ví dụ 2

Cho a, b, c , d là các số thực dương. Cmr:a3

a2 + b2+

b3

b2 + c2+

c3

c2 + d2+

d3

d2 + a2≥ a + b + c + d

2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Nền tảng lý thuyết chính của kỹ thuật này là bất đẳng thức

Cauchy và tính chất a ≥ b > 0⇒ c− a ≤ c− b và1

a≤

1

b.

Có thể chúng ta chưa hiểu được kỹ thuật này là gì? Nhưng thôngqua ví dụ thì mới thấy vẽ đẹp ấn tượng của kỹ thuật.

Ví dụ 1

Cho a, b, c ∈ R+ có tổng là 3. Cmr:a

1 + b2+

b

1 + c2+

c

1 + a2≥ 3

2

Ví dụ 2

Cho a, b, c , d là các số thực dương. Cmr:a3

a2 + b2+

b3

b2 + c2+

c3

c2 + d2+

d3

d2 + a2≥ a + b + c + d

2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

1. Bất đẳng thức Cauchy

1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Nền tảng lý thuyết chính của kỹ thuật này là bất đẳng thức

Cauchy và tính chất a ≥ b > 0⇒ c− a ≤ c− b và1

a≤

1

b.

Có thể chúng ta chưa hiểu được kỹ thuật này là gì? Nhưng thôngqua ví dụ thì mới thấy vẽ đẹp ấn tượng của kỹ thuật.

Ví dụ 1

Cho a, b, c ∈ R+ có tổng là 3. Cmr:a

1 + b2+

b

1 + c2+

c

1 + a2≥ 3

2

Ví dụ 2

Cho a, b, c , d là các số thực dương. Cmr:a3

a2 + b2+

b3

b2 + c2+

c3

c2 + d2+

d3

d2 + a2≥ a + b + c + d

2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

2. Bất đẳng thức Bunhiacopsky

2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopsky

Cho 2 bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn ta luôn có

(a1b1 + a2b2 + .. + anbn)2 ≤ (a21+a22+..+a2n)(b

21+b22+..+b2n)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = k.bi với i = 1, 2, .., n và k 6= 0

2.2 Hệ quả 1

Với hai bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn; bi ≥ 0

thìa21b1

+a22b2

+ ... +a2nbn≥

(a1 + a2 + ... + an)2

b1 + b2 + ... + bn

Ví dụ 1

Cho a, b, c là các số thực dương.Cmr:a

(b + c)2+

b

(c + a)2+

c

(a + b)2≥ 9

4(a + b + c)

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

2. Bất đẳng thức Bunhiacopsky

2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopsky

Cho 2 bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn ta luôn có

(a1b1 + a2b2 + .. + anbn)2 ≤ (a21+a22+..+a2n)(b

21+b22+..+b2n)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = k.bi với i = 1, 2, .., n và k 6= 0

2.2 Hệ quả 1

Với hai bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn; bi ≥ 0

thìa21b1

+a22b2

+ ... +a2nbn≥

(a1 + a2 + ... + an)2

b1 + b2 + ... + bn

Ví dụ 1

Cho a, b, c là các số thực dương.Cmr:a

(b + c)2+

b

(c + a)2+

c

(a + b)2≥ 9

4(a + b + c)

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

2. Bất đẳng thức Bunhiacopsky

2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopsky

Cho 2 bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn ta luôn có

(a1b1 + a2b2 + .. + anbn)2 ≤ (a21+a22+..+a2n)(b

21+b22+..+b2n)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = k.bi với i = 1, 2, .., n và k 6= 0

2.2 Hệ quả 1

Với hai bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn; bi ≥ 0

thìa21b1

+a22b2

+ ... +a2nbn≥

(a1 + a2 + ... + an)2

b1 + b2 + ... + bn

Ví dụ 1

Cho a, b, c là các số thực dương.Cmr:a

(b + c)2+

b

(c + a)2+

c

(a + b)2≥ 9

4(a + b + c)

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

2. Bất đẳng thức Bunhiacopsky

2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopsky

Cho 2 bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn ta luôn có

(a1b1 + a2b2 + .. + anbn)2 ≤ (a21+a22+..+a2n)(b

21+b22+..+b2n)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = k.bi với i = 1, 2, .., n và k 6= 0

2.2 Hệ quả 1

Với hai bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn; bi ≥ 0

thìa21b1

+a22b2

+ ... +a2nbn≥

(a1 + a2 + ... + an)2

b1 + b2 + ... + bn

Ví dụ 1

Cho a, b, c là các số thực dương.Cmr:a

(b + c)2+

b

(c + a)2+

c

(a + b)2≥ 9

4(a + b + c)

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

2. Bất đẳng thức Bunhiacopsky

2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopsky

Cho 2 bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn ta luôn có

(a1b1 + a2b2 + .. + anbn)2 ≤ (a21+a22+..+a2n)(b

21+b22+..+b2n)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = k.bi với i = 1, 2, .., n và k 6= 0

2.2 Hệ quả 1

Với hai bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn; bi ≥ 0

thìa21b1

+a22b2

+ ... +a2nbn≥

(a1 + a2 + ... + an)2

b1 + b2 + ... + bn

Ví dụ 2 (Math Changelles)

Cho các số thực dương x1, x2, .., xn có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

(x1 +

1

x1

)2

+

(x2 +

1

x2

)2

+ ... +

(xn +

1

xn

)2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

2. Bất đẳng thức Bunhiacopsky

2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopsky

Cho 2 bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn ta luôn có

(a1b1 + a2b2 + .. + anbn)2 ≤ (a21+a22+..+a2n)(b

21+b22+..+b2n)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = k.bi với i = 1, 2, .., n và k 6= 0

2.2 Hệ quả 1

Với hai bộ số thực tùy ý a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn; bi ≥ 0

thìa21b1

+a22b2

+ ... +a2nbn≥

(a1 + a2 + ... + an)2

b1 + b2 + ... + bn

Ví dụ 2 (Math Changelles)

Cho các số thực dương x1, x2, .., xn có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

(x1 +

1

x1

)2

+

(x2 +

1

x2

)2

+ ... +

(xn +

1

xn

)2

Tiêu đề Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopsky Bài tập về nhà

3. Bài tập về nhà

Bài 1 (IMO Shortlist 1990) – (Viet Nam MO)

1.1 Cho a, b, c , d ∈ R+ thỏa ab + bc + cd + da = 1. Cmr:a3

b + c + d+

b3

c + d + a+

c3

d + a + b+

d3

a + b + c≥ 1

3

2.2 Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn thỏa mãn hệ thức1

1 + x1+

1

1 + x2+ ... +

1

1 + xn= 1. Cmr: x1.x2...xn ≥ (n − 1)n

Bài 2

Cho a, b, c ≥ 0 có tổng là 3.Cm:a2

a + 2b3+

b2

b + 2c3+

c2

c + 2a3≥ 1

Bài 3 (Viet Nam MO 1991)

Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0. Cm:x2y

z+

y2z

x+

z2x

y≥ x2 + y2 + z2