bayesův teorém – cesta k lepší náladě
DESCRIPTION
Bayesův teorém – cesta k lepší náladě. Martina Litschmannová. Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti?. X. Deterministické procesy. Náhodné procesy. Základní pojmy. Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Bayesův teorém – cesta k lepší náladě
Martina Litschmannová
Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti?
Deterministické procesy Náhodné procesyX
Základní pojmy
• Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá
• Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout(značíme A, B, X, Y, …)
• Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů)
• Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů
• Jev A – libovolná podmnožina základního prostoru
Typy jevů
Padne „7“.
Jev nemožný
Padne méně než „7“.
Jev jistý
Padne „6“.
Jev náhodný
Vztahy mezi jevy a jejich prezentace Vennovými diagramy
Podjev A B
B A
Průnik jevůA B
BA
A B
Sjednocení jevůA B
BA
A B
Rozdíl jevůA - B
BA
A - B
Doplněk jevu
A
A
A
Disjunktní jevy A B =
BA
Úplná množina vzájemně disjunktních jevů
A1
A2
A3
A4
A5
A6
1. De Morganův zákon
BA
BA = BA
BA
2. De Morganův zákon
BA = BA
B
A
BA
Co je to pravděpodobnost?
Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane.
Jak pravděpodobnost definovat?
Statistická definice pravděpodobnosti
nAnAP
n
)(lim)(
Počet realizací pokusu příznivých jevu A
Počet všech realizací pokusu
Klasická definice pravděpodobnosti
Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků.
nmAP )(
Počet výsledků příznivých jevu A
Počet všech možných výsledků
Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
333031 ,)A(P
Geometrická pravděpodobnost
Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný.
V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:
AP A
Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?
A
70,0107)( AP
Kolmogorovův axiomatický systém
• Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení.
1. Pravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo.
2. Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. 3. Pravděpodobnost sjednocení konečného počtu
vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
Podmíněná pravděpodobnost
BPBAPBAP
Vlastnosti pravděpodobnosti
10 )A(P1.
2.
3.
4.
00 )(P
)B(P)A(PBAPBA
)BA(P)B(P)A(PBAP
0
BPAPBAPnezávislé...B,A
BPBAPBAP
Vlastnosti pravděpodobnosti
)A(P)A(P 15.
6.
7.
8.
)BA(P)B(P)AB(P
BAPBAPBAP 11
BAPBAPBAP 11
Věta o úplné pravděpodobnosti
B1
B2
B3
B4
B5
B6
A
ii
ii
ii
i BPBAPBAPBAPAP
70%
30%
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
70%
30%
80% 20%
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
70%
30%
80% 20%
10% 90%
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
70%
30%
80% 20%
10% 90%
Pravoúhlý Vennův diagram
CHPCHDVPDPDDVPCHDVPDDVPDVP
80,DDVP 20,DKVP
10,CHDVP 90,CHKVP
70,CHP
30,DP
31070103080 ,,,,,DVP
0,06
0,63
0,24
0,07
Rozhodovací strom
Studenti
DDV
KV
CHDV
KV
Pohlaví Délka vlasů
70,CHP
30,DP
10,CHDVP
90,CHKVP
80,DDVP
20,DKVP
0701070 ,,,DVCHP
6309070 ,,,KVCHP
2408030 ,,,DVDP
0602030 ,,,KVDP
Studenti
DDV
KV
CHDV
KV
Pohlaví Délka vlasů
70,CHP
30,DP
10,CHDVP
90,CHKVP
80,DDVP
20,DKVP
0701070 ,,,DVCHP
6309070 ,,,KVCHP
2408030 ,,,DVDP
0602030 ,,,KVDP
CHDVPDDVPDVP
31070103080070240 ,,,,,,,DVP
CHPCHDVPDPDDVP
Bayesův teorém
ABP k
Thomas Bayes(1702 – 1761)
APBAP k
ii
k
BAPBAP
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
A Jaká je pravděpodobnost,
že náhodně vybraný student je chlapec?
70 %
Apriorní pravděpodobnost
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?
Aposteriorní pravděpodobnost
Studenti
DDV
KV
CHDV
KV
Daný stav Výsledek testu
70,CHP
30,DP
10,CHDVP
90,CHKVP
80,DDVP
20,DKVP
0701070 ,,,DVCHP
6309070 ,,,KVCHP
2408030 ,,,DVDP
0602030 ,,,KVDP
31070103080 ,,,,,DVP
DVCHP DVP
DVCHP 2260
310070 ,,,
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?
Aposteriorní pravděpodobnost
2260
310070 ,,,
DVPDVCHPDVCHP
Jak znalost Bayesova teorému může zlepšit náladu???
Biomedicínská aplikaceaneb
naděje umírá poslední
Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce.
Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek.
Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné?
Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?
Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce.
Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek.
Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné?
Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?
Rozhodovací strom
Populace
ZT+
T-
NT+
T-
Daný stav Výsledek testu
00010,NP
99990,ZP
990,NTP
010,NTP
010,ZTP
990,ZTP
0000990
99000010,
,,TNP
0000010
01000010,
,,TNP
0099990
01099990,
,,TZP
98990
99099990,
,,TZP
Populace
ZT+
T-
NT+
T-
Daný stav Výsledek testu
00010,NP
99990,ZP
990,NTP
010,NTP
010,ZTP
990,ZTP
0000990
99000010,
,,TNP
0000010
01000010,
,,TNP
010098000999900000990 ,,,TZPTNPTP
TNP
0099990
01099990,
,,TZP
98990
99099990,
,,TZP
TPTNP
%98,0009804,0010098,0000099,0
Váš test je pozitivní !!!
Váš test je pozitivní !!!Riziko, že jste nemocen stouplo z 0,01% na
0,98%.
Děkuji za pozornost !