ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN HỒNG LỘCNHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM 4

HỌ TÊN MSSVNGUYỄN TIẾN ĐẠT 61300806TRÀN MẠNH QUANG 51303187DƯƠNG QUỐC BẢO 61300217NGUYỄN THÀNH TOÀN 41304202

V1301754

Nội dung

Bài 1: Viết khai triển Taylor cho hàm f đến cấp n trong lân cận x0

Miêu tả thuật toán: Gán taylor cho hàm f(x0) Cho k=1. Nếu k ≤ n thì làm các bước sau

a. Tính f (k )

b. taylor = taylor + f ( k ) ( x0 )

k !( x−x0)

k

c. k =k+1

Cơ sở lý thuyết:Công thức của khai triển Taylor khi x tiến về x0

f (x)=∑k=0

n f ( k )(x0)k !

(x−x0)k

f (k ) là đạo hàm bậc k của hàm f(x)k! là giai thừa hệ số k

chương trình:function taylorsyms xf=input('nhap f(x)= ');x0=input('nhap x0= ');a=input('nhap so bac cua khai trien taylor: ');k=0;n=1;taylor=(subs(diff(f,k),x,x0)*(x-x0)^k)/n;taylor=double(taylor);if abs(taylor)<0.000001 taylor=0;endk=1;while k<=a n=n*k; if abs(subs(diff(f,k),x,x0))>0.0000001

taylor=taylor+((subs(diff(f,k),x,x0)*(x-x0)^k))/n; end k=k+1;enddisp('khai trien taylor cua f la')disp(taylor)end

ví dụ minh họa:Tìm khai triển taylor cho hàm f đến cấp n trong lân cận x0.

a. f(x)= ln(x), n =3, x0=1nhap f(x)= log(x)nhap x0= 1nhap so bac cua khai trien taylor: 3khai trien taylor cua f lax - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - 1

b. f(x)= arctan(x-2), n =3, x0=2nhap f(x)= atan(x-2)nhap x0= 2nhap so bac cua khai trien taylor: 3khai trien taylor cua f lax - (x - 2)^3/3 – 2

c. f(x)= sin(x), n =3, x0= nhap f(x)= sin(x)nhap x0= pinhap so bac cua khai trien taylor: 3khai trien taylor cua f lapi - x - (pi - x)^3/6

Bài 2 : Viết một function tìm bậc vô cùng bé (VCB) của (x) khi x x0. Và vẽ đồ thị của (x) và hàm tương đương trong lân cận x0

Miêu tả thuật toán:

Khai triển Taylor cho (x) khi xx0 Đến khi phần đa thức hết triệt tiêu cho nhau thì dừng lại

Chương trình

function taylor2syms xf=input('nhap f(x)= ');x0=input('nhap x0= ');if limit(f,x,x0)==0k=0;n=1;taylor=(subs(diff(f,k),x,x0)*(x-x0)^k)/n;if taylor==0 k=1; while taylor==0 n=n*k; taylor=taylor+((subs(diff(f,k),x,x0)*(x-x0)^k))/n; k=k+1; endenddisp('VCB tuong duong la:')disp(taylor)text=['bac cua VCB bang: ' num2str(k-1)];disp(text);ezplot(f)else disp('f(x) khong phai vo cung be')endend

Ví dụ minh họa:

Tìm bậc vô cùng bé (VCB) của các hàm sau

a/ (x) = √1+2 x2− 3√1+3 x2 , x0=0

nhap f(x)= sqrt(1+2*x^2)-(1+3*x^2)^(1/3)nhap x0= 0VCB tuong duong la:x^4/2bac cua VCB bang: 4

b/ (x) = (x+1)ln(x+1) – sin (x) , x0=0

nhap f(x)= (x+1)*log(x+1)-sin(x)nhap x0= 0VCB tuong duong la:x^2/2bac cua VCB bang: 2

c/ (x)= e−cos2 x

2 – sinx, x0 = ❑2

nhap f(x)= exp(-(cos(x))^2/2)

nhap x0= pi/2

f(x) khong phai vo cung be

Bài 3: Tính giới hạn dạng vô định 0/0 ( không dùng lệnh limit trong matlab).Miêu tả thuật toán

Dùng lệnh numden tách f(x) thành hai hàm của tử và mẫu . Xét VCB của tử và mẫu .

a/ Công thức Taylor :

f(x)= ∑k=0

n f (k )x0

k !¿

b/Áp dụng công thức Taylor . Tạo vòng lặp trong matlab để tính k! Và tổng xichma các thành phần .

Tính giới hạn bằng cách xét bậc của VCB của tử và VCB của mẫu khi x→ x0

Chương trình

function gioihanVCBsyms xf = input(' Nhap ham f(x)= ');x0 = input(' Nhap gia tri x0= ');[f1 f2]= numden(f);i=0;m=1;taylor1= (subs(diff(f1,i),x,x0)*(x-x0)^i)/m; if taylor1==0 i=1; while taylor1 == 0 m=m*i; taylor1 = taylor1 + (subs(diff(f1,i),x,x0)*(x-x0)^i)/m i=i +1 ;

end end j=0;m=1;taylor2= (subs(diff(f2,j),x,x0)*(x-x0)^j)/m; if taylor2==0 j=1; while taylor2 == 0 m=m*j; taylor2 = taylor2 + (subs(diff(f2,j),x,x0)*(x-x0)^j)/m; j=j +1 ; end end disp('VCB cua tu'); disp(taylor1); text1=['bac VCB cua tu ' num2str(i-1)];disp(text1);disp('VCB cua mau '); disp(taylor2); text2=[' bac VCB cua mau ' num2str(j-1)]; disp(text2); c=limit(taylor1/taylor2,x0);disp('gioi han cua ham f(x)la : ') disp(c)end

Ví dụ minh họa

Tính các giới hạn các phương trình sau

a/ f(x) =sin x

x

Nhap ham f(x)= sin(x)/x

Nhap gia tri x0= 0

VCB cua tu

x

bac VCB cua tu 1

VCB cua mau

x

bac VCB cua mau 1

gioi han cua ham f(x)la :

1

b/ f(x)= xsin x+1−√1−2 x2

x3

Nhap ham f(x)= (x*sin(x)+1-sqrt(1+2*x^3))/x^4

Nhap gia tri x0= 0

VCB cua tu

x^2

bac VCB cua tu 2

VCB cua mau

x^4

bac VCB cua mau 4

gioi han cua ham f(x)la :

Inf