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Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht?
Franz Embacher
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Didaktik der Physik und eLearningFakultät für PhysikUniversität Wien
25. November 2008
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Das zweite Newtonsche Axiom
„Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“
F maF
am
( )F x
am
( ( ))( )
F x tx t
m
0(0)x xAnfangsdaten
0(0)x v
Bewegungsgleichung„Bewegungs-Differentialgleichung“
( )x x tLösung
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Beispiele
• Kräftefreier Fall:Lösung:
• Bewegung im homogenen Schwerefeld: Lösung:
• Harmonischer Oszillator: Lösung:
• Mathematisches Pendel:
( Auslenkungswinkel im Bogemaß)Lösung: nicht geschlossen darstellbar
( ) 0F x
0 0( )x t x v t ( )F x mg
20 0( )
2
gx t x v t t
( )F x kx
( ) sin( )x t A t wobei /k m
( ) sinmg
F x xL
x
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Problem für den Physikunterricht
Aber:
• Methoden der Analysis stehen nicht zur Verfügung.
Wünschenswert ist daher ein Verfahren, das
• es ermöglicht, zumindest näherungsweise von einem Kraftgesetz auf den sich daraus ergebenden Bewegungstypus schließen zu können,
• im Prinzip von SchülerInnen der Oberstufe (Sek 2) verstanden werden kann, und das
• SchülerInnen eigenständiges Operieren (durchaus auch im Sinne spielerisch-experimenteller Erforschung) ermöglicht,
d. h. ein operationaler Zugang!
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Idee zur näherungsweisen Lösung
Bewegung während eines kurzen Zeitintervalls verfolgen:
• Geschwindigkeit
• Beschleunigung
xv
t
t
va
t
Im Folgenden muss gerade so klein sein wie in diesen Definitionen!
t
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Näherungsverfahren 1. Schritt
Anfangsort:
0x
0x Anfangsgeschwindigkeit: 0v
0v
xv
t
1 0x x x
0v v ... Näherung!
1 0 0x x v t
nach dem
Zeitintervall ...t
1x
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Näherungsverfahren 2. Schritt
0x0v
va
t
1 0v v v
0( )F xa
m ... Näherung!
1x
01 0
( )F xv v t
m
nach dem
Zeitintervall ...t
1v
Berücksichtigung der Änderung der Geschwindigkeit:
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Näherungsverfahren
1 0 0x x v t
01 0
( )F xv v t
m
0 0 1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x v x v x v x v Iterative Anwendung:
Euler-Cauchy-Verfahren
Das Verfahren besitzt aber einen didaktischen Nachteil:Es ist ungenau!
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Beispiel
Harmonischer Oszillator:
0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v
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Verbesserung 1. Schritt
verbessertes Verfahren benötigt!
20 ( )
2
ax v t t
Voraussetzung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Wenn Beschleunigung konstant und Anfangsgeschwindigkeit ,dann wird während des Zeitintervalls die Strecke
at
zurückgelegt.
0v
201 0 0
( )( )
2
F xx x v t t
m
0( )F xa
m
Näherung
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Verbesserung 2. Schritt
01 0
( )F xv v t
m
beruht auf der Näherung Beschleunigung = Anfangsbeschleunigung.Da aber bereits berechnet wurde, kann die Näherung zu
Beschleunigung = (Anfangsbeschleunigung + Endbeschleunigung)/2
verbessert werden:
1x
0 11 0
( )1 ( )
2
F x F xv v t
m m
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Verbessertes Näherungsverfahren
... Heun- Verfahren
201 0 0
( )( )
2
F xx x v t t
m
0 11 0
( )1 ( )
2
F x F xv v t
m m
... quadratische Entwicklung
keine erkennbaren numerischen Artefakte mehr!
Die Näherungslösung stimmt mit der exakten Lösung bis zur Ordnung überein. Für die gleichmäßigbeschleunigte Bewegung ist sie exakt.
2( )t
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Bezeichnungsweise ...
Anfang 2Ende Anfang Anfang ( )
2
Fx x v t t
m
Anfang EndeEnde Anfang
1
2
F Fv v t
m m
... ist kein Dogma!
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Umsetzung mit Tabellenkalkulation
Harmonischer Oszillator:
0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v
t x v
0 1 0
0.1 0.995 0.09975
0.2 0.98005 0.1985025
... ... ...
3.1 0.999188064 0.040238232
3.2 0.998215967 0.05963197
... ... ...
6.3 0.999810998 0.019417108
Visualisierung der ersten beiden Spalten Zeit-Weg-Darstellung
cos(6.3)
0.999859
exakte Lösung:
( ) cos( )x t t
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Visualisierung
Harmonischer Oszillator:
0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v
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Interaktivität ...
... mit Hilfe von Schiebereglern
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Perspektiven
• Selbständiges Erschließen von Bewegungen aus Kraftgesetzen, vertieftes Verständnis der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegung
• Spielerisch-experimentelles Erforschen• Interessantere Systeme können besprochen werden als
normalerweise üblich (z. B. Pendel)• Besseres Verständnis der Bedeutung von Zeit-Weg-
Darstellungen, Übersetzung Bewegung Diagramm• Kombination mit (Real-)Experimenten Wechselspiel
zwischen Beobachtung und Theorie• Grundstock für das spätere Verständnis von
Differentialgleichungen bei der Beschreibung dynamischer Systeme
• Falls keine Kenntnisse über Tabellenkalkulation vorhanden sind vorbereitete interaktive Spreadsheets
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Einstiegs-Szenario
1. Unterrichtseinheit: Das zweite Newtonsche Axiom in der Lesart a = F/m bei gegebener Kraft. Kräfte können vom Ort abhängen. Beispiel: Federkraft. Idee, die Bewegung über kurze Zeitintervalle zu verfolgen, „Herleitung“ des Näherungsverfahrens.
2. Unterrichtseinheit : Umsetzung mit Tabellenkalkulation, Diskussion der Bewegung, Begriff der Schwingung.
3. Unterrichtseinheit : Wiederholung der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegungsablauf. Die Rolle des zweiten Newtonschen Axioms in der Physik, der Laplacesche Dämon. Was besagt das zweite Newtonsche Axiom für F = 0? „Wiederentdeckung“ des Trägheitssatzes. Aufgaben (ggf. i. R. eines differenzierten Bewertungssystems): Übertragung des Algorithmus auf andere Kraftgesetze, allgemeine Formulierung.
5. Klasse
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Beispiel: Pendel, große Auslenkungen
0 0( ) sin , / 9.81, 0.01, 3.14, 0mg
F x x g L t x vL
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2D- und 3D-Verallgemeinerung
0 21 0 0
( )( )
2
F xx x v t t
m
����������������������������
0 11 0
1 ( ) ( )
2
F x F xv v t
m m
��������������������������������������������������������
Keplerproblem (im Ursprung fixierte Zentralmasse):
3| |( ) GMm
xF x x ��������������
������������������������������������������Bewegung o.B.d.A. in der xy-Ebene
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Keplerbewegung
Im Himmel und auf der Erde gelten die gleichen physikalischen Grundgesetze! „Universalität“ des zweiten Newtonschen Axioms!
0 0 0 01, 0.005, 1.3, 0, 0, 0.53x yGM t x y v v
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Weitere Verallgemeinerungen
Geschwindigkeitsabhängige Kräfte, Reibung
• Freier Fall mit Luftwiderstand, Grenzgeschwindigkeit• Gedämpfte Schwingungen
Explizit zeitabhängige („antreibende“) Kräfte
• Erzwungene und gedämpfte Schwingungen• Resonanz und Resonanzkatastrophe
Phasenraumdiagramme: (x,p) bzw. (x,v)
• Harmonische Schwingungen: Energieerhaltung• Gedämpfte Schwingungen: Energieverlust durch
Reibung
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Phasenraumdiagramm
Gedämpfte Schwingung:
0 01, 0.5, 0.14, 1, 0k m t x v ( )F x kx v
2 21( )
2E p x
beachte:
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Ausblick
• Den hier vorgestellten Zugang imPhysikunterricht erproben.
• Die für den hier vorgestelltenZugang nötigen Kompetenzenim Lehramtsstudium vermitteln.
Wunschzettel:
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Danke...
... für Ihre Aufmerksamkeit!
Excel-Spreadsheets zu den besprochenen Beispielen und zu einigen weiteren Anwendungen stehen unter
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Bewgl/
zur Verfügung.