bÀi 6 nguyÊn hÀm vÀ tÍch phÂn bẤt ĐỊnheldata3.neu.topica.vn/txtocb01/giao...

Bài 6: Nguyên hàm và tích phân bất định

70 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205

BÀI 6

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Hướng dẫn học Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn.

Đọc tài liệu:

1. BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê.

2. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục.

3. ALPHA C. CHIANG,1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc. Graw–Hill, Inc.

4. MICHAEL HOY, JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.

Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email.

Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.

Nội dung

Nguyên hàm của hàm số;

Tích phân bất định;

Các công thức tích phân cơ bản;

Các phương pháp tính tích phân.

Mục tiêu

Nắm vững được định nghĩa tích phân bất định và các tính chất cơ bản;

Hiểu, nhớ và áp dụng được tích phân các hàm cơ bản;

Nắm được 4 phương pháp tính tích phân;

Nhớ các dạng tích phân cơ bản.


TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 71

Tình huống dẫn nhập

Giả sử chi phí cận biên (MC) ở mỗi mức sản lượng Q là:

MC = 25 – 30Q + 9Q2

và chi phí cố định FC = 55

Hãy chọn một cơ cấu sản lượng (Q1, Q

2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa.


72 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205

6.1. Nguyên hàm của hàm số

6.1.1. Khái niệm nguyên hàm

Bài này đề cập đến phép toán ngược của phép tính đạo hàm và vi phân của hàm số. Ta xét bài toán sau đây: Tìm tất cả các hàm số có đạo hàm là một hàm số f(x) cho trước.

Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng X nếu:

F’(x) = f(x), xX Ví dụ:

Hàm số sinx là nguyên hàm của hàm số cosx trên R:

(sinx)’ = cosx, xR Hàm số x4 là một nguyên hàm của hàm số 4x3 trên R:

(x4)’ = 4x3, xR

6.1.2. Biểu thức nguyên hàm tổng quát

Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng X thì:

Hàm số F(x) + C, với C là một hằng số bất kỳ, cũng là nguyên hàm của hàm số f(x).

Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) đều biểu diễn được dưới dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Chứng minh: Với C là hằng số bất kỳ ta luôn có [F(x) + C]’ = F’(x), do đó nếu

F’(x) = f(x), xX thì [F(x) + C]’ = f(x) xX.

Ngược lại, với (x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x), ta có:

[(x) – F(x)]’ = ’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0, (xX)

Từ đây suy ra rằng hàm số (x) – F(x) nhận giá trị không đổi trên khoảng X:

(x) – F(x) = C, xX (x) = F(x) + C, xX Định lý nêu trên cho thấy biểu thức F(x) + C bao quát tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x): mỗi hằng số C cho tương ứng một nguyên hàm.

6.2. Tích phân bất định

6.2.1. Định nghĩa tích phân

Định nghĩa: Tích phân bất định của hàm số f(x) là biểu thức nguyên hàm tổng quát F(x) + C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và C là hằng số bất kỳ.

Để biểu diễn tích phân bất định của hàm số f(x) người ta dùng ký hiệu:

∫f(x)dx [đọc là: tích phân của f(x)dx].

Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f(x) được gọi là hàm số dưới dấu tích phân.

Theo ký hiệu nói trên ta có:

∫f(x)dx = F(x) + C Ví dụ:

∫cosxdx = sinx + C ∫4x3dx = x4 + C


TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 73

6.2.2. Các tính chất cơ bản của tích phân bất định

Tích phân bất định có các tính chất cơ bản sau đây:

'

1. f (x)dx f (x) hay d f (x)dx f (x)dx

2. F '(x)dx F(x) C hay dF(x) F(x) C

3. [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx

4. kf (x)dx k f (x)dx (k là hằng số)

6.3. Các công thức tích phân cơ bản

Để tính tích phân bất định, trước hết bạn cần ghi nhớ các công thức sau đây:

1. 1.dx dx x C

1x2. x dx C ( 1)

1

dx3. ln x C

x

xx

x x

a4. a dx C

ln a

e dx e C

5. sin xdx cos x C

6. cos xdx sin x C

2

dx7. cot x C

sin x

2

dx8. tan x C

cos x

6.4. Các phương pháp tính tích phân

6.4.1. Phương pháp khai triển

Để tính tích phân ta cần phải sử dụng các phương pháp thích hợp để chuyển về các tích phân đã có trong bảng công thức tích phân cơ bản. Một cách đơn giản là khai triển tích phân của tổng (hiệu) thành tổng (hiệu) các tích phân và đưa hằng số nhân ra ngoài dấu tích phân:

[af (x) bg(x) c (x)]dx a f (x)dx b g(x)dx c (x)dx

Ví dụ 1: Tính tích phân 5 3I (3x 5x 2sin x)dx

Giải: Sử dụng quy tắc khai triển ta dễ dàng đưa về các tích phân cơ bản 5 3

6 4

I 3 x dx 5 x dx 2 sin xdx

x 5x2cos x C

2 4


74 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205

Ví dụ 2: Tính tích phân 3

3

(1 2x) dxI

x

Giải: Ta có: 1 2 5 82 33 3 3 3

3

(1 6x 12x 8x )dxI x 6x 12x 8x dx

x

Sử dụng phương pháp khai triển và công thức tích phân của hàm lũy thừa (công thức 2) ta được:

1 2 5 8

3 3 3 3

2 5 8 11

3 3 3 3

3 3 3 32 5 8 11

I x dx 6 x dx 12 x dx 8 x dx

3 3 3 3x 6 x 12 x 8 x C

2 5 8 11

3 18 9 24x x x x C

2 5 2 11

Ví dụ 3: Tính tích phân 23(1 x ) dx

Ix

Giải:

3 23

33 2

2 1 1 2

3 3 3 3

3 23

(1 2 x x )dx 1 2 1I dx

x x xx

dx 32 x dx x dx ln x 2 3x x C

x 2

3ln x 6 x x C

2

Ví dụ 4: Tính tích phân 2I tan x.dx

Giải: Sử dụng công thức lượng giác 22

11 tan

cos x

x, ta có

2 2

1 dx1 dx dx tan x x C

cos x cos x

Ví dụ 5: Tính tích phân 2 2

dxI

sin x.cos x

Giải: Sử dụng công thức lượng giác sin2x + cos2x = 1, ta có 2 2

2 2 2 2

sin x cos x 1 1I dx dx

sin x.cos x cos x sin x

Sử dụng quy tắc khai triển ta được:

I = tanx – cotx + C

6.4.2. Sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân

Tính bất biến của biểu thức tích phân có nội dung như sau:

Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C thì ∫f(u)du = F(u) + C, trong đó u = (x) là một biểu thức hàm số có đạo hàm liên tục.


TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 75

Trường hợp u = kx + b ta có du = kdx, hay du

dxk

. Sử dụng tính chất trên, ta có quy

tắc như sau:

Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C thì 1

f (kx b)dx F(kx b) Ck

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc về tính bất biến của biểu thức tích phân trong trường hợp u = kx + b, từ các công thức 2, 3, 6, 7, 8 trong bảng tích phân cơ bản ta suy ra:

1(kx b)(kx b) C, 1

k( 1)

dx 1ln kx b C

kx b k

kx kx1e dx e C

k

1sin kxdx cos kx C

k

1cos kxdx sin kx C

k

Chú ý: Sử dụng công thức thứ nhất trong ví dụ 1 trên đây ta dễ dàng tính tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất

P(x)dx

kx b

Với P(x) là đa thức, bởi vì bằng cách thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức bậc nhất ta dễ dàng đưa được tích phân này về dạng:

P(x) mdx Q(x) dx

kx b kx b

Với Q(x) là một đa thức bậc nhỏ hơn 1 đơn vị và m là phần dư của phép chia.

Ví dụ 2: Tính tích phân 23x 2x

I dxx 1

Giải: Bằng cách chia đa thức P(x) = 3x2 + 2x cho x + 1 ta có: 23x 2x 1

3x 1x 1 x 1

Bằng phương pháp khai triển ta dễ dàng tính được: 21 3x

I 3x 1 dx x ln x 1 Cx 1 2

Ví dụ 3: Tính tích phân 2 9x(1 x ) dx

Giải: Biểu thức xdx có thể viết dưới dạng 21xdx d(1 x )

2 , do đó

2 9 2 2 10 21 1(1 x ) d(1 x ) (1 x ) C (u 1 x )

2 20


76 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205

Ví dụ 4: Tính tích phân cos xI sin x.e dx

Giải: Biểu thức sinxdx có thể viết dưới dạng sinxdx = –d(cosx), do đó cos x cos xI e d(cos x) e C (u cos x)

Ví dụ 5: Tính tích phân 4I tan x.dx

Giải:

2 2 22

2 22

2 32

1I tan x.tan xdx tan x. 1 dx

cos x

dxtan x. tan x.dx

cos x1 1

tan x.d(tan x) 1 dx tan x (tan x x) Ccos x 3

Ví dụ 6: Tính tích phân dx

Isin x.cos x

Giải: Biểu thức ở mẫu số có thể viết dưới dạng

2 2sin xsin x.cos x cos x tan x.cos x

cos x

Do đó

2

dx dx d(tan x)ln tan x C

sin x.cos x tan x.cos x tan x

Ví dụ 7: Tính tích phân I cot x.dx

Giải

cos x.dx d(sin x)cot x.dx ln sin x C

sin x sin x

6.4.3. Phương pháp đổi biến số

Xét tích phân I = ∫f(x)dx, trong đó f(x) là một hàm số liên tục. Để tính tích phân này ta

có thể chuyển sang một tích phân khác bằng cách thay x = (t). Với giả thiết hàm số

x = (t) đơn điệu và có đạo hàm liên tục, ta có

dx '(t)dt I f (x).dx f[ (t)] '(t)dt g(t)dt

Khi phép đổi biến được lựa chọn phù hợp thì tích phân theo biến số t sẽ đơn giản hơn. Nếu ta tính được ∫g(t)dt = G(t) + C thì

I f (x).dx G[h(x)] C

Trong đó t = h(x) là hàm ngược của hàm số x = (t)


dxI

1 x

Giải: Trong trường hợp này ta có thể đổi biến như sau 3 2x t , dx 3t dt


TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 77

2 2

2

3t dt (t 1) 1 1I 3 dt 3 t 1 dt

1 t 1 t 1 t

t3 t ln 1 t C

2

Hàm ngược của hàm số x = t3 là 3t x , do đó

3 2 3 3

3

dx 1I 3 x x ln 1 x C

21 x

Chú ý: Khi tính tích phân của biểu thức chứa căn của nhị thức bậc nhất n kx b

Ta có thể thoát khỏi căn bằng cách đặt nt kx b , từ đó chọn phép đổi biến

n1x t b

k

Ví dụ 2: Tính tích phân x.dx

I2x 1 2

Giải: Đặt t 2x 1 và đổi ngược x theo t ta chọn được phép đổi biến làm mất căn: 2t 1

x , dx tdt2

Sau khi đổi biến ta được

23

2

3 2

3

1(t 1)t.dt 1 t t 1 102I dt t 2t 5 dt

t 2 2 t 2 2 t 2

1 1 5t t t 5ln t 2 C

6 2 21 1 5

(2x 1) (2x 1) 2x 1 5ln( 2x 1 2) C6 2 2

Chú ý: nếu biểu thức f(x)dx dưới dấu tích phân có thể biểu diễn dưới dạng

f(x)dx = g[(x)]d(x)

Thì ta có thể đặt t = (x) để chuyển sang tích phân của biểu thức g(t)dt nếu tích phân đó dễ tính hơn

Ví dụ 3: Tính tích phân 5I sin x.dx

Giải: Ta có 5 4 2 2sin x sin x.(sin x.dx) (1 cos x) [ d(cos x)]

Đặt t = cosx ta được

2 2 2 4 3 5

3 5

2 1I (1 t ) .( dt) (1 2t t )dt t t t

3 5

2 1cos x cos x cos x C

3 5

Nhận xét: Tương tự như ví dụ 2 ta dễ dàng tính các tích phân sau đây 2n 1 m m 2n 1I sin x.cos x.dx.K sin x.cos x.dx


78 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205

Với n là một số nguyên dương.

Tích phân J dễ dàng đổi qua biến t = cosx: 2n 1 m 2n m

2 n m 2 n m

sin .cos x.dx sin x.cos x.(sin x.dx)

(1 cos x) .cos x.(sin x.dx) (1 t ) t ( dt)

Tích phân J dễ dàng đổi qua biến t = sinx: m 2n 1 m 2n

m 2 n 2 n m

sin .cos x.dx sin x.cos x.(cos x.dx)

sin x.(1 sin x) .(cos x.dx) (1 t ) t .dt

Ví dụ 4: Tính tích phân 6 3K sin x.cos x.dx

Giải: Trong trường hợp này ta có 6 3 6 2

6 2

sin x.cos x sin x.cos x(cos x.dx)

sin x(1 sin x).d(sin x)

Đặt t = sinx ta được

6 2 6 8

7 9 2 9

K t (1 t ).dt t t dt

1 1 1 1t t C sin x sin x C

7 9 7 9

Ví dụ 5: Tính tích phân 2x

4 x

e .dxI

e 1

Giải: Ta có x x x x

4 x x

e .(e dx) e d(e )I

e 1 e 1

Đặt t = ex, ta được

4

x x

tdt 1I 1 dt t ln t 1 C

t 1 t 1

e ln(e 1) C


5 3 3

x .dxI

1 x

Giải: Ta có 5 3 3

5 3 33 3

x .dx 1 [(1 x ) 1].d(1 x )I

31 x 1 x

Đặt t = 1 + x3 ta được 5 2

3 2 3 35 3 3

3 23 2 33

1 (t 1).dt 1 1 1 3 3I t .dt t t C

3 3 3 5 2t t

(1 x )t 3 3 3 9t C x C

3 5 2 3 5 10


TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 79

6.4.4. Phương pháp tích phân từng phần

Công thức tính tích phân từng phần

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Ta có:

d(uv) = vdu + udv udv = d(uv) – vdu

Từ đây suy ra:

udv d(uv) vdu

udv uv vdu

Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần.

Áp dụng

Để tính tích phân I = ∫f(x)dx bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phải biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân dưới dạng:

f(x)dx = g(x).[h(x)dx] = udv

trong đó u = g(x) và dv = h(x)dx. Với u và dv là các biểu thức đã biết ta tìm được

du u 'dx g '(x)dx, v dv h(x)dx

sau đó sử dụng công thức tích phân từng phần.

Ví dụ 1: Tính tích phân 2xI xe dx

Giải: Với u = x, dv = e–2xdx, ta có du = dx, 2x 2x1v e dx e

2

Thay vào công thức tích phân từng phần ta được

2x 2x

2x 2x 2x 2x

x 1I udv uv vdu e e dx

2 2

x 1 x 1e e dx e e C

2 2 2 4

Ví dụ 2: Tính tích phân 2I x sin 3xdx

Giải: Với u = x2, dv = sin3xdx, ta có du = 2x.dx, 1

v cos3x3

2x 2I cos3x x cos3xdx

3 3

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần đối với tích phân ở vế phải với u = x, dv = cos3x.dx ta có

2

2

1du dx, v sin x

3

x 2 x 1I cos3x sin 3x sin 3xdx

3 3 3 3

x 2x 2cos3x sin 3x cos3x C

3 9 27

Chú ý: Tương tự như ví dụ 1 và ví dụ 2, ta có thể tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần


80 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205

n kx n nx e dx; x sin kxdx; x cos kx.dx (n nguyên dương)

Với u = xn và dv là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân.

Ví dụ 3: Tính tích phân 2I x ln x.dx

Giải: Với u = lnx, dv = x2dx, ta có 3dx x

du , vx 3

3 3 32x ln x 1 x ln x x

I x dx C3 3 3 9

Ví dụ 4: Tính tích phân 2I x ln xdx

Giải: Với u = ln2x, dv x , ta có dx 2x x

du 2ln x , v xdxx 3

Sử dụng công thức tích phân từng phần ta được 22x x ln x 4

I x ln xdx3 3

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần đối với tích phân ở vế phải với

u = lnx, dv xdx ta có

dx 2x xdu , v

x 3

2

2

2

2x x ln x 4 2x x ln x 2I xdx

3 3 3 3

2x x ln x 4 2x x ln x 4x xC

3 3 3 9

2x x9ln x 12ln x 8 C

27

Chú ý: Tương tự như ví dụ 3 và ví dụ 4, ta có thể tính tích phân sau đây nx ln x.dx (n nguyên dương, ≠ –1)

Bằng phương pháp tích phân từng phần với u = lnnx và dv là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân.

Ví dụ 5: Tính tích phân 2I x tan x.dx

Giải: Với u = x, dv = tan2x.dx, ta có

22

1du dx, v tan xdx 1 dx tan x x

cos x

2

I x(tan x x) (tan x x).dx

d(cos x)x(tan x x) xdx

cos x1

x tan x x ln cos x C2


TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 81

Ví dụ 6: Tính tích phân x

2

xe .dxI

(x 1)

Giải: Đặt x2

dxu xe , dv

(1 x)

, ta có x 1

du (1 x)e , v1 x

. Sử dụng công thức

tích phân từng phần ta được x x x

x xxe xe eI e dx e C C

1 x 1 x 1 x


82 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205

Tóm lược cuối bài

Nguyên hàm của hàm số f(x) trên X là hàm F(x) thỏa mãn: F’(x) = f(x) trên X.

Tích phân bất định: f (x)dx F(x) C với F(x) là một nguyên hàm.

Các tính chất cơ bản nhất:

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

k.f (x)dx k f (x)dx

Có 4 phương pháp tính tích phân bất định: Phương pháp khai triển, phương pháp sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân, phương pháp đổi biến, phương pháp tích phân từng phần.


TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 83

Câu hỏi ôn tập

1. Nêu các tính chất cơ bản của tích phân bất định?

2. Nêu các tích phân cơ bản?

3. Sử dụng phương pháp khai triển, tính tích phân 5 31I 3x 4x x sin x dx

4. Sử dụng phương pháp khai triển, tính tích phân 22 3

2I 5x x dx

5. Sử dụng phương pháp bất biến, tính tích phân 2023I x 3x 4 .dx

6. Sử dụng phương pháp bất biến, tính tích phân 32 x

4I x e .dx

7. Sử dụng phương pháp đổi biến, tính tích phân 5

2x 3I dx

1 5x 1

8. Sử dụng phương pháp đổi biến, tính tích phân 36I x. 4x 3.dx

9. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính tích phân 23x7I 2x e dx

10. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính tích phân 8I 3x 1 sin 5x.dx

bÀi 6 nguyÊn hÀm vÀ tÍch phÂn bẤt ĐỊnheldata3.neu.topica.vn/txtocb01/giao...

Documents