bi ến ngẫu nhiên - staff.agu.edu.vn · pdf filesao cho v ới m ọi kho ảng k...

Ch��ng 2 BI�N NG�U NHIÊN 33

Chương 2

Biến ngẫu nhiên

1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN

Như chúng ta ñã biết, một không gian mẫu M có thể ñược mô tả không thuận lợi nếu những phần tử của M không phải là các con số. Để tiện lợi trong việc mô tả, giải toán và ñưa vào một số khái niệm mới, người ta sẽ tìm một qui tắc, theo ñó, mỗi phần tử m thuộc M có thể ñược biểu diễn bởi một số thực x tương ứng. Ý tưởng này dẫn ñến khái niệm Biến ngẫu nhiên.

1.1. Định nghĩa. Cho trước không gian xác suất M. Một hàm X: M → � sao cho với mọi khoảng K trong �, tập hợp

{m ∈ M / X(m) ∈ K} là một biến cố của M,

ñược gọi là một Biến ngẫu nhiên ( viết tắt là BNN ) trên M.

Miền giá trị của X ñược ký hiệu là Im(X), i.e.

Im(X) = {x ∈ � / ∃m ∈ M, X(m) = x}.

• Để ñơn giản cách viết, biến cố {m ∈ M / X(m) ∈ K} ñược viết là {X ∈ K}. Đặc biệt, với các số thực a và b, các biến cố: {m ∈ M / X(m) = a}; {m ∈ M / X(m) < a}; {m ∈ M / a ≤ X(m) ≤ b}; {m ∈ M / X(m) ≥ b}; …

lần lượt ñược viết là {X = a}; {X < a}; {a ≤ X ≤ b}; {X ≥ b}; …

Các xác suất P({X = a}); P({X < a}); P({a ≤ X ≤ b})…ñược viết gọn là

P(X = a); P(X < a); P(a ≤ X ≤ b) …

Dựa vào các tính chất của hàm thực, chúng ta có:

1.2. Định lý. Giả sử X và Y là các BNN trên cùng một không gian xác suất M; a và b là các hằng số thực; khi ñó, các hàm aX + bY, XY, max(X, Y), min(X,Y) và X/Y (với Y ≠ 0) cũng là các BNN trên M. Ngoài ra, nếu ϕ là một hàm liên tục xác ñịnh trên Im(X) thì ϕoX cũng là một BNN trên M.

1.3. Thí dụ.


1.3.1. Tham khảo lại Định nghĩa 1.6.1 và Định lý 1.6.2; với B(p), không

gian mẫu là M = {T, B}, trong ñó, T và B lần lượt chỉ các kết quả sơ cấp "Thành công" và "Thất bại". Hàm số thực X trên M ñược xác ñịnh bởi:

X(T) = 1 và X(B) = 0

là một biến ngẫu nhiên trên M. "Qui tắc" ñể thành lập hàm X là "số lần thành công trong B(p)". Chúng ta nói rằng X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong B(p). X có miền giá trị là {0, 1}, và

P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 − p.

1.3.2. Trong quá trình B(n; p), không gian mẫu M chứa 2n ñiểm mẫu, mỗi ñiểm ñược biểu diễn bởi một dãy n ký tự gồm chữ T và B.Thật bất tiện.

Bây giờ, chúng ta xét hàm thực X xác ñịnh trên M bởi: Ứng với mỗi ñiểm mẫu m của M, X(m) là số chữ T có trong m, tức là số lần thành công trong mỗi kết quả sơ cấp. Như vậy, chúng ta có BNN X chỉ số lần thành công trong quá trình B(n;p). X có miền giá trị là {0, 1, 2, …, n}, và xác suất ñể có k thành công trong quá trình là: (Định lý 1.6.2.)

( ) ( ) ( ) −= = = −P C 1k k n kn nX k P k p p , k ∈ {0, 1, 2, …, n}

Khi ñó, người ta nói rằng: BNN X có phân phối nhị thức, với hai tham số n và p. Ký hiệu: X ~ B(n;p).

• Chú ý rằng: Nếu gọi Xi là BNN chỉ số lần thành công trong phép thử

thứ i ( 1 ≤ i ≤ n ) thì X = X1 + X2 + . . . + Xn.

1.3.3. Trong mô hình phân phối siêu hình học ở ñoạn 1.2, nếu gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phần tử "ñược ñánh dấu" trong mẫu kích thước n thì biến cố

{X = k} = Ak (Ak: “có k phần tử ñược ñánh dấu trong mẫu”)

có xác suất là

.( )

−−

= =CC

PC

n kkT N T

nN

X k ,

trong ñó k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)}.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Chú ý: Trong giáo trình này, khi cần tham khảo lại một ñịnh nghĩa, một ñịnh lý hoặc một thí dụ ỏ phần trước, tác giả ghi thêm số chương vào phía trước số chỉ mục. e.g. Khi cần tham khảo Định nghĩa 6.1 ở chương 1, tác giả ghi: Định nghĩa 1.6.1; Định lý 2.3 ở chương 2, sẽ ñược ghi là Định lý 2.2.3…

Khi ñó, người ta nói rằng: Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật ( hay có luật) phân phối siêu hình học.

1.3.4. Một công ty nghiên cứu phản ứng của thị trường ñối với một loại sản phẩm mới ở 3 mức ñộ: Tốt , trung bình và kém. Không gian mẫu M gồm 3 biến cố


sơ cấp: {tốt, trung bình, kém}. Chúng ta có thể xác ñịnh một biến ngẫu nhiên X trên M như sau:

X(tốt) = 1; X(trung bình) = 0; X(kém) = −1.

Miền giá trị của X là {−1, 0, 1}.

2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TÍCH LŨY

2.1. Định nghĩa. Cho biến ngẫu nhiên X trên không gian xác suất M. Với mọi x thuộc �, {X < x} là một biến cố, nên tồn tại P(X < x). Hàm F ñược xác ñịnh bởi:

∀x ∈ �, F(x) = P(X < x )

ñược gọi là Hàm phân phối xác suất tích lũy (hay nói gọn là hàm phân phối, viết tắt là h.p.p. ) của X.

Từ ñịnh nghĩa của h.p.p. và tính chất của xác suất, dễ thấy rằng:

∀x ∈ �, 0 ≤ F (x) ≤ 1

H.p.p. F của BNN X có các tính chất cơ bản ñược thể hiện ở ñịnh lý sau:

2.2. Định lý. Cho biến ngẫu nhiên X xác ñịnh trên một không gian xác suất; F là h.p.p. của X . Khi ñó,

(i) ∀(x1, x2) ∈ �2, ( x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) )

(ii) lim ( ) 0x

F x→ − ∞

= và lim ( )x

F x→ + ∞

= 1

(iii) F liên tục bên trái trên �

(iv) P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a) với mọi a và b thỏa a < b

(v) P(X = a) = F (a+) −−−− F (a) với mọi a ∈ �.

Chứng minh.

(i). Nếu x1 ≤ x2 thì {X < x1} ⊂ {X < x2};

do ñó: P(X < x1) ≤ P(X < x2).

Vậy, F(x1) ≤ F(x2).

(ii) Hàm F ñơn ñiệu và bị chặn, nên tồn tại

lim ( )x

x→−∞

F và lim ( )x

F x→+∞

Có một dãy số giảm (xn)n ∈ �* sao cho n nx

∞→ −∞


Với mọi n ∈ �*, ñặt An = {X < xn} thì (An) là một dãy giảm các biến cố

và 1

nn

A∞

=

= ∅∩ .

Do ñó,

1lim P ( ) P 0n n

n n

A A∞

→∞ =

= = ∩ hay lim ( )n

nF x

→∞= 0

Vậy, lim ( )x

x→−∞

F = 0 (viết gọn là ( ) 0F −∞ = ).

Chứng minh tương tự cho lim ( )x

F x→ + ∞

= 1 (viết gọn là

( ) 1F + ∞ = ).

(iii) Hàm F ñơn ñiệu trên � nên tại mọi ñiểm x ∈ �, luôn có

( ) lim ( )t x

F x F t→ −

− =

Với mọi x ∈ � và với mọi n ∈ �*, ñặt { }1n n

B x X x= − ≤ < thì Bn là

một dãy giảm các biến cố và 1

nn

B∞

=∩ = ∅. Do ñó,

1lim P ( ) P ( ) 0n n

n n

B B∞

→ ∞ =

= =∩

Thế mà,

{X < x} = {X < x −−−− 1n

} + Bn ⇒ F ( x − 1n

) = F (x) − P(Bn),

nên 1lim ( ) ( )nn

F x F x→∞

− = ;

từ ñó, chúng ta có F (x−−−−) = F (x).

Vậy, F liên tục bên trái tại mọi ñiểm x ∈ �.

Phần chứng minh (iv) và (v) ñược xem như bài tập.�

( Gợi ý: Để chứng minh (v), dùng 1{ }n nC a X a= ≤ < +

Ngược lại, người ta chứng minh ñược rằng:

2.3. Định lý. Nếu một hàm F: � → � thỏa ba tính chất (i), (ii) và (iii) trong Định lý 2.2.2. thì F là h.p.p. của một biến ngẫu nhiên trên một không gian xác suất nào ñó.


Thí dụ. Cho BNN X có h.p.p. F ñược xác ñịnh bởi:

2

0 0

( ) 0 1

1 1

x

x

F x x

x

≤

= < ≤

<

+ 1

nÕu

nÕu

nÕu

Khi ñó,

3 31 12 2 4 4

P ( 3 ) ( ) ( 3) 0X F F− ≤ < = − − = − =

P(X = 0) = F (0+) −−−− F (0) = 1 12 2

0− = .

3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

Các ñịnh lý 2.2.2 và 2.2.3 cho chúng ta thấy rằng: Nếu biết h.p.p. F của một BNN X thì chúng ta biết ñược ñầy ñủ về X. Vì vậy, hàm phân phối là một ñặc trưng ñầy ñủ của một biến ngẫu nhiên. Khi biết h.p.p. F của BNN X, người ta nói rằng phân phối xác suất của X ñược xác ñịnh.

Có hai loại phân phối xác suất: Loại rời rạc và loại liên tục.

3.1. Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X trên không gian xác suất M ñược gọi là có phân phối xác suất thuộc loại rời rạc hay X là BNN rời rạc nếu Im(X) là một tập hợp hữu hạn hoặc ñếm ñược. Nói cách khác, X là một BNN rời rạc nếu các phần tử của Im(X) có thể liệt kê ñược thành một dãy. Giả sử Im(X) = {x1, x2,

..., xn, …}. Hàm f : � → � ñược xác ñịnh bởi:

f (x) = P( ) Im( )

0 Im( )k kX x x x X

x X

= = ∈

∉

nÕu

nÕu

ñược gọi là Hàm mật ñộ xác suất hay nói gọn là Hàm mật ñộ ( viết tắt là h.m.ñ. ) của BNN X.

Rõ ràng, f có các tính chất:

(i) f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ �

và (ii) ( ) 1x

f x∈

=∑R

Để ñơn giản cách viết, cụm từ "nếu x ∉ Im(X)" có thể ñược thay bằng cụm từ "nơi khác".

• Nếu F là h.p.p. của X thì

∀x ∈ �, ( ) ( )w x

F x f w

<

= ∑

Hàm phân phối của một BNN rời rạc là một hàm bậc thang.


Khi Im(X) là hữu hạn, phân phối xác suất của X có thể ñược trình bày dưới

dạng bảng gọi là Bảng phân phối xác suất:

x x1 x2 . . . xn

f (x) p1 p2 . . . pn

trong ñó, pi = f (xi), với mọi i ∈ {1, 2, …, n}.

Thí dụ. Gieo 2 con xúc xắc vô tư và quan sát số nút xuất hiện ở mặt trên của hai con xúc xắc. Không gian mẫu M tương ứng là hữu hạn ñều và gồm 36 ñiểm (Thí dụ 1.1.3.1). Gọi X là BNN chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện, i.e. với mọi (a,b) thuộc M, X(a,b) = max (a,b).

Khi ñó, Im(X) = {1, 2, 3. 4, 5, 6}.

Gọi f là h.m.ñ. của X, chúng ta có:

f (1) = P(X = 1) = P({(1,1)}) = 1/36;

f (2) = P(X = 2) = P({(1,2), (2,2), (2,1)}) = 3/36;

f (3) = P(X = 3) = P({(1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1)}) = 5/36;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng phân phối xác suất của X:

x 1 2 3 4 5 6

f (x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Xác suất của biến cố {X ≤ 3}:

P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

= + + = 91 3 536 36 36 36

.

Xác suất của biến cố {2 ≤ X < 5}:

P(2 ≤ X < 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

= + + =3 5 7 1536 36 36 36

.

Phân phối xác suất của X có thể ñược trình bày dưới dạng một Biểu ñồ:

f (x)


0

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

7/36

8/36

9/36

10/36

11/36

1 2 3 4 5 6 x

3.2. Định nghĩa. Cho BNN X có hàm phân phối F.

(a) Nếu F liên tục trên � thì X ñược gọi là có phân phối xác suất thuộc loại liên tục hay X là BNN liên tục.

(b) Giả sử X là một BNN liên tục. Nếu h.p.p. F có ñạo hàm trên � thì hàm f = F’ ñược gọi là hàm mật ñộ (viết tắt là h.m.ñ.) của X. Trong trường hợp này, F ñược viết dưới dạng:

∀x ∈ �, ( ) ( )x

F x f t dt

− ∞

= ∫

và X ñược gọi là liên tục tuyệt ñối.

X hoàn toàn ñược xác ñịnh nếu và chỉ nếu h.m.ñ. của X ñược xác ñịnh.

Đối với BNN liên tục, giáo trình này chỉ khảo sát loại tuyệt ñối liên tục nên ñể ñơn giản cách trình bày, chúng ta gọi chung là BNN liên tục.

3.3. Định lý. Một hàm thực f xác ñịnh trên � là hàm mật ñộ của một BNN X nếu và chỉ nếu f thỏa mãn hai tính chất sau:

(i) f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ � và (ii) ( ) 1f x dx

+ ∞

− ∞

=∫ .

Chứng minh.

(a) Nếu f là h.m.ñ. của một BNN X thì dựa vào các tính chất của h.p.p. của X, dễ thấy rằng f thỏa hai tính chất (i) và (ii).

.(b) Bây giờ giả sử f thỏa (i) và (ii). Với mọi số thực x, ñặt:

( ) ( )x

F x f t dt

−∞

= ∫ .

Dễ thấy F thỏa các tính chất (i), (ii) và (iii) của Định lý 2.2.2 nên F là hàm phân phối của một BNN X và F’ = f.


Vậy f là h.m.ñ. của BNN X. �

3.4. Chú ý. Giả sử X là một BNN liên tục có h.p.. F và h.m.ñ. f. Khi ñó, với mọi số thực a và b thỏa a < b:

(i) P(a ≤ X < b) = ( ) ( ) ( )b

a

F b F a f x dx− = ∫ ;

(ii) P(X = a) = F ( a+) −−−− F (a) = 0 ( vì F liên tục tại a ).

(iii) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b);

Như vậy, sự thay ñổi giá trị của h.m.ñ. của X tại một ñiểm không làm thay ñổi phân phối xác suất của X.

Thí dụ, h.m.ñ. f xác ñịnh bởi

0( )

0

xe x

f x− < < + ∞

=

nÕu

n¬i kh¸c

có thể ñược viết là

0( )

0

xe x

f x− ≤ < + ∞

=

nÕu

n¬i kh¸c

Đồ thị hàm mật ñộ f của một BNN liên tục.

Diện tích của vùng ñược tô ñen trong hình là xác suất P(a ≤ X ≤ b).

3.5. Thí dụ. Cho BNN X rời rạc có h.m.ñ. f ñược xác ñịnh bởi:

6{1,2,3}

( )0

x xf x

∈=

nÕu

n¬i kh¸c

Khi ñó, h.p.p. F của X ñược xác ñịnh bởi:


1636

0 1

1 2( )

2 3

1 3

x

xF x

x

x

≤

< ≤=

< ≤

<

nÕu

nÕu

nÕu

nÕu

3.6. Thí dụ. Cho BNN X liên tục có h.m.ñ. f ñược xác ñịnh bởi:

31

( )0

a

xx

f x

< < + ∞=

nÕu

n¬i kh¸c

trong ñó a là một hằng số cho trước.

Hãy xác ñịnh a, h.p.p. F của X và tính P(0 < X < 3).

Giải.

Dựa vào các tính chất: (∀x ∈ �, f (x) ≥ 0) và ( ) 1f x dx

+ ∞

−∞

=∫ , chúng

ta tính ñược a = 2. Hàm phân phối F ñược xác ñịnh bởi:

( ) 0 0 1x

F x dt x

−∞

= = ≤∫ nÕu

và 3 22 1

1

( ) 1 1x

t xF x dt x= = − <∫ nÕu

Xác suất: 3

89

0

(0 3) ( ) (3) (0)P X f x dx F F< < = = − =∫

4. VECTƠ NGẪU NHIÊN

Trong nhiều trường hợp, khi nghiên cứu một ñối tượng, chúng ta phải ghi nhận cùng một lúc nhiều ñặc tính của ñối tượng. Thí dụ., khi quan sát tầm vóc mỗi người, chúng ta phải ñể ý ñến cả chiều cao, ñược biểu diễn bởi BNN X1, lẫn khối lượng, ñược biểu diễn bởi BNN X2, của người ñó. Như vậy, tầm vóc của một người ñược ñặc trưng bởi một bộ hai BNN (X1, X2 ), mà người ta gọi là một vectơ ngẫu nhiên viết tắt là VTNN ). Ở thí dụ này., VTNN có 2 thành phần nên ñược gọi là một Biến ngẫu nhiên 2 chiều. Một VTNN có n thành phần ñược gọi là một BNN n chiều.

4.1. Định nghĩa. Giả sử X1, X2, …, và Xn là n biến ngẫu nhiên trên không

gian xác suất M. Hàm X: M → �n ñược xác ñịnh bởi:


∀m ∈ M , X (m) = (X1(m), X2(m), …, Xn(m))

ñược gọi là một vectơ ngẫu nhiên (viết tắt là VTNN) n thành phần hay một Biến ngẫu nhiên n chiều trên M.

Người ta viết: X = (X1, X2, …, Xn); các BNN Xi (i = 1, …, n) ñược gọi là các thành phần của VTNN X.

Miền giá trị của X là Im(X) = Im(X1) × Im(X2) × . . . × Im(Xn).

Để ñơn giản cách viết, với mọi tập con A trong �n, biến cố

{m ∈ M / (X1(m), X2(m), …, Xn(m)) ∈ A}

ñược ký hiệu là {(X1, X2, …, Xn) ∈ A}. Đặc biệt, với mọi (x1 , x2, …, xn) ∈ �n,

biến cố { }1

/ ( )n

i ii

m X m x

=

∈ <∩ M ñược ký hiệu là

{(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn)} hay i1{X }

n

ii

x=

<∩ ,

và xác suất của nó ñược viết là

P(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn) hay 1

P( { })n

i ii

X x=

<∩ .

4.2. Định lý. Giả sử X = (X1, X2, …, Xn) là một VTNN trên không gian

xác suất M ; u: �n → � là một hàm liên tục. Khi ñó, hàm Y = uoX là một BNN trên M.

Sau này, ñể ñơn giản cách trình bày, giáo trình chỉ trình bày các vấn ñề liên quan trong trường hợp biến ngẫu nhiên hai chiều (X1, X2). Đối với BNN n

chiều (X1, X2, …, Xn), chúng ta cũng có biểu thức tương tự.

5. HÀM PHÂN PHỐI, HÀM MẬT ĐỘ ĐỒNG THỜI

5.1. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) trên một không gian xác suất.

Hàm F : �2 → � ñược xác ñịnh bởi:

F (x1, x2) = ( )1 1 2 2P ,X x X x< <

ñược gọi là hàm phân phối (tích lũy) ñồng thời của các BNN X1, X2 hay hàm phân phối (h.p.p.) của VTNN X.

Tương tự như trường hợp BNN, h.p.p. F của VTNN X = (X1, X2) có các tính chất sau:

(i) Với mọi a = (a1, a2) và b = (b1, b2) thuộc �2,


(a1 ≤ b1 và a2 ≤ b2) ⇒ F (a) ≤ F (b)

(ii) F liên tục bên trái ñối với mỗi biến

(iii) 1

1 2lim ( , ) 0x

F x x→−∞

= ; 2

1 2lim ( , ) 0x

F x x→−∞

=

và 12

1 2lim ( , ) 1xx

F x x→+∞→+∞

=

5.2. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) rời rạc trên một không gian

xác suất. Hàm f : �2 → � ñược xác ñịnh bởi:

f (x1, x2) = 1 1 2 2 1 2( , ) ( , ) Im( )

0

P X x X x x x= = ∈

nÕu

n¬i kh¸c

X

ñược gọi là h.m.ñ. ñồng thời của các BNN X1, X2 hay h.m.ñ. của VTNN X.

Nếu F là h.p.p. của X thì với mọi (x1, x2) ∈ �2,

F (x1, x2) =

1 1 2 21 2( , )

u x u x

f u u

< <∑ ∑

Rõ ràng, f (x1, x2) ≥ 0 với mọi (x1, x2) ∈ �2

và 2

1 2( , ) 1f x x =∑�

.

5.3. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) liên tục có h.p.p. F . Có một

hàm f : �2 → � không âm và khả tích trên �2 sao cho với mọi (x1, x2)∈ �2,

F (x1, x2) = 1 2

1 2 1 2( , )x x

f u u du du

− ∞ −∞∫ ∫

Hàm f ñược gọi là h.m.ñ. ñồng thời của các BNN X1, X2 hay h.m.ñ. của VTNN X.

5.4. Định lý. Nếu VTNN X = (X1, X2) liên tục có h.m.ñ. f và h.p.p. F thì

(a) f (x1, x2) ≥ 0 với mọi (x1, x2) ∈ �2

(b) 1 2 1 2( , ) 1f x x dx dx+∞ +∞

− ∞ −∞

=∫ ∫

(c) ∀(x1, x2) ∈ �2 , f (x1, x2) = 2

1 21 2

( , )F x x

x x

∂

∂ ∂

• Ngược lại, nếu cho trước hàm f : �2 → � thỏa hai tính chất


(a) f (x1, x2) ≥ 0 với mọi (x1, x2) ∈ �2 , và

(b) 1 2 1 2( , ) 1f x x dx dx

+ ∞ + ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

thì tồn tại một không gian xác suất M và một BNN 2 chiều X trên M sao cho f là h.m.ñ. của X.

6. HÀM MẬT ĐỘ BIÊN, MẬT ĐỘ ĐIỀU KIỆN

6.1. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) có h.m.ñ. f . Với hai số thực a và b (a < b), biến cố {a < X1 < b} xảy ra nếu và chỉ nếu biến cố {a < X1 < b} và

{- ∞ < X2 < + ∞} cùng xảy ra. Do ñó:

1 1 21 2

( ) ( , )a x b x

P a X b f x x< <

< < = ∑ ∑ , nếu X1 và X2 rời rạc,

hay

1 1 2 2 1( ) ( , )b

a

P a X b f x x dx dx

+ ∞

− ∞

< < = ∫ ∫ , nếu X1 và X2 liên tục.

Với mọi x1∈ �, ñặt:

f1(x1) = 1 22

( , )x

f x x∑ , nếu X1 và X2 rời rạc,

hay f1(x1) = 1 2 2( , )f x x dx

+ ∞

−∞∫ , nếu X1 và X2 liên tục

Khi ñó, f1 là một hàm theo biến x1. Ngoài ra, với mọi a và b thỏa a < b, chúng ta có

11 1

1

1 1 1

( )

( )( )

a x b

b

a

f x

P a X b

f x dx

< <

< < =

∑

∫

( tr−êng hîp rêi r¹c )

( tr−êng hîp liª n tôc )

Như vậy, f1 là h.m.ñ. của riêng BNN X1 và ñược gọi là h.m.ñ. biên của X1.

• Tương tự, hàm f2 ñược xác ñịnh với mọi x2 ∈ � bởi:

f2(x2) = 1 21

( , )x

f x x∑ , nếu X1 và X2 rời rạc,


hay f2(x2) = 1 2 1( , )f x x dx

+ ∞

−∞∫ , nếu X1 và X2 liên tục,

là h.m.ñ. của riêng BNN X2 và ñược gọi là h.m.ñ. biên của X2. (h.m.ñ. biên còn ñược gọi là h.m.ñ. lề )

Chú ý. Xét trường hợp ñặc biệt:

Hai BNN X1 và X2 có miền giá trị hữu hạn. Giả sử

Im(X1) = {a1, a2, …, an}; Im(X2) = {b1, b2, …, bm},

và f là h.m.ñ. của VTNN (X1,X2). Phân phối xác suất của (X1,X2) có thể ñược trình bày dưới dạng bảng:

X2

X1

b1 b2 . . . bm f1 (aj)

a1

a2

. . .

an

p11

p21

. . .

pn1

p12

p22

. . .

pn1

. . .

. . .

. . .

. . .

p1m

p2m

. . .

pnm

p1*

p2*

. . .

pn*

f2 (bk) p*1 p*2 . . . p*m 1

trong ñó:

pjk = f (aj,bk),

m

j* j kk 1

p p==∑ = f1 (aj) và

n

*k j kj 1

p p==∑ = f2 (bk) ,

với mọi j ∈ {1,…,n} và k ∈ {1,…,m}.

• Tương tự, cho VTNN (X1, X2, …, Xn ) (n > 2), có h.m.ñ. f ; chúng ta có thể ñịnh nghĩa các h.m.ñ. biên f1, f2, … và fn, theo thứ tự, của các BNN X1, X2, …và Xn.

H.m.ñ.biên f1 của X1 ñược xác ñịnh bởi:

1 1 1 2 2( ) . . . ( , ,. . . ., ) . . .n nf x f x x x dx dx

+∞ +∞

−∞ −∞

= ∫ ∫

nếu các BNN ñã cho là liên tục, hoặc


1 1 1 22

( ) . . . ( , ,. . . ., )nx xn

f x f x x x= ∑ ∑

nếu các BNN ñã cho là rời rạc.

………………………...

6.2. Thí dụ.

6.2.1. Cho hai BNN X1 và X2 trên cùng một không gian xác suất, có h.m.ñ. ñồng thời f ñược cho bởi:

1 21 2211 2

, {1,2,3}; {1,2},( , )

0

x xx x

f x x

+ ∈ ∈= n¬i kh¸c

Khi ñó,

P(X1 = 3) = f (3,1) + f (3,2) = 37

,

P(X2 = 2) = f (1,2) + f (2,2) + f (3,2) = 47

.

H.m.ñ. biên f 1 của X1 ñược xác ñịnh bởi:

1 2 1

2

2 2 3121 21

1 1 1, {1,2,3}

( )

0

x x x

x

xf x

+ +

=

= ∈

=

∑

n¬i kh¸c

Tương tự, bạn ñọc hãy tìm h.m.ñ.biên f 2 của X2 .

6.2.2. Cho hai BNN X và Y trên cùng một không gian xác suất, có h.p.p. ñồng thời F ñược cho bởi:

( ) 21 ( , ) ( )( , )0

x y x ye e e x y

F x y− − − +

+ − − + ∈

=

víi

n¬i kh¸c

�

(a) Tìm h.m.ñ. ñồng thời của X và Y

(b) Tìm các h.m.ñ. biên của X và Y

(c) Tính xác suất: P(0 ≤ X < 1, 0 ≤ Y < 1).

Giải.

(a) H.m.ñ. ñồng thời f của X và Y ñược xác ñịnh với mọi (x,y) ∈ �2 bởi:

2 ( , )x y

( , )F x y

f x y∂

∂ ∂= =

( ) 2( , ) ( )

0

x ye x y

− ++

∈

víi

n¬i kh¸c

�

(b) H.m.ñ. biên f1 của X ñược xác ñịnh với mọi x ∈ � bởi:


f1(x) = ( , )f x y dy

+ ∞

−∞

=∫( )

0

0

0 0

x ye dy x

x

+∞− +

≥

<

∫ víi

víi

= 0

0 0

xe x

x

− ≥

<

víi

víi

Bạn ñọc tự tìm h.m.ñ. biên của BNN Y và giải câu (c).

6.3. Định lý và Định nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng một không gian xác suất có h.m.ñ. ñồng thời f và hai h.m.ñ. biên của X và Y lần lượt là f 1 và f 2. Giả sử x là một số thực sao cho f1 (x) > 0. Hàm f ( . / x) ñược xác ñịnh với mọi y thuộc � bởi

f ( y / x) = P(Y = y / X = x) = 1

P( , ) ( , )P( ) ( )X x Y y f x y

X x f x

= =

==

thỏa các ñiều kiện của một h.m.ñ. và ñược gọi là h.m.ñ. ñiều kiện của Y, khi biết X lấy giá trị x.

Tương tự, Giả sử y là một số thực sao cho f2 (y) > 0. Hàm f ( . / y) ñược

xác ñịnh với mọi x ∈ � bởi

f ( x / y) = P(X = x / Y = y) = 2

P( , ) ( , )P( ) ( )X x Y y f x y

Y y f y

= =

==

thỏa các ñiều kiện của một h.m.ñ. và ñược gọi là h.m.ñ. ñiều kiện của X, khi biết Y lấy giá trị y.

Các hàm f ( . / x) và f ( . / y) là các h.m.ñ. của một BNN, nên cũng có các tính chất của một h.m.ñ. Chẳng hạn, nếu X và Y là hai BNN liên tục thì xác suất

P( / ) ( / )b

a

a Y b X x f y x dy< < = = ∫

ñược gọi là " xác suất ñiều kiện của biến cố {a < Y < b}, với ñiều kiện {X = x} ñã xảy ra".

Tương tự, xác suất ñiều kiện của biến cố {c < X < d}, với ñiều kiện {Y = y} ñã xảy ra (hay với giả thiết {Y = y}) là

P( / ) ( / )d

c

c X d Y y f x y dx< < = = ∫

Thí dụ. Cho hai BNN X và Y có h.m.ñ. ñồng thời f ñược xác ñịnh bởi:

2, 0 1;( , )

0

x yf x y

< < <=

víi

n¬i kh¸c


H.m.ñ. biên f 1 và f 2 , theo thứ tự, của hai biến X và Y ñược xác ñịnh bởi:

1

1( ) 2 2(1 )x

f x dy x= = −∫ , với 0 < x < 1;

f 1(x) = 0 nơi khác

20

( ) 2 2y

f y dx y= =∫ , với 0 < y < 1;

f 2(y) = 0 nơi khác

H.m.ñ. ñiều kiện của X, biết rằng Y lấy giá trị y, là

2 12

( / )y y

f x y = = , với 0 < x < y, 0 < y < 1;

f (x/y) = 0 nơi khác.

Xác suất ñiều kiện:

1/ 2 1/ 23 31 4 2

2 4 4 3 30 0

P(0 / ) ( / )X Y f x dx dx< < = = = =∫ ∫ ,

trong khi ñó,

1/ 2 1/ 231

12 40 0

P(0 ) ( ) 2(1 )X f x dx x dx< < = = − =∫ ∫ .

6.4. Định nghĩa. Cho các BNN X1, X2, …và Xn (n > 1), có h.m.ñ. ñồng thời f và các h.m.ñ. biên f1, f2, … và fn, theo thứ tự, của các BNN X1, X2, …và Xn. Các BNN X1, X2, …và Xn ñược gọi là ñộc lập nếu với mọi (x1,

x2,…, xn) thuộc �n, chúng ta có:

f (x1, x2,…, xn) = f1(x1). f2(x2). … . fn(xn).

Từ ñịnh nghĩa trên, chúng ta có ngay:

P(a1 < X1 < b1, a2 < X2 < b2, …, an < Xn < bn ) = n

i i ii 1

P (a X b )=

< <∏

7. KỲ VỌNG, PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA MỘT BIẾN

NGẪU NHIÊN


7.1. Định nghĩa. Giả sử X là BNN có h.m.ñ. f. sao cho . ( )x f x dx

+ ∞

− ∞∫

tồn tại nếu X là BNN liên tục hoặc . ( )x

x f x∑ tồn tại nếu X là BNN rời rạc. Khi

ñó, người ta nói rằng BNN X có kỳ vọng, và số thực

. ( )x f x dx

+∞

−∞∫ (nếu X liên tục)

hay . ( )x

x f x∑ (nếu X rời rạc)

ñược gọi là giá trị kỳ vọng ( hay nói gọn là kỳ vọng ) của X, và ñược ký hiệu là E(X) hay µµµµX hay µµµµ, nếu không có sự lầm lẫn.

7.2. Định lý. Giả sử X và Y là hai BNN trên cùng một không gian xác suất, có h.m.ñ. lần lượt là f và g; k là một số thực, ϕ là một hàm thực liên tục trên Im(X). Ngoài ra, X và Y có kỳ vọng. Khi ñó,

(i) Nếu P(X = k) = 1 thì E(X) = k

(ii) Biến ngẫu nhiên ϕoX có kỳ vọng nếu và chỉ nếu ( ) . ( )x f x dx

+ ∞

− ∞∫ ϕ

tồn tại khi X là BNN liên tục hoặc ( ) . ( )x

x f x∑ ϕ tồn tại nếu X là BNN rời

rạc. Trong trường hợp ñó,

( ). ( )E ( )

( ). ( ).x

x f x dx X

X

x f x X

+∞

−∞

ϕ

ϕ = ϕ

∫

∑

nÕu liª n tôc

nÕu rêi r¹c

�

(iii) BNN kX có kỳ vọng và E(kX ) = kE(X)

(iv) BNN X + Y có kỳ vọng và E(X + Y) = E(X) + E(Y).

(v) Nếu X và Y ñộc lập thì E(XY) = E(X).E(Y)

Chứng minh.

Giả sửchỉ X và Y rời rạc.

(i) Hiển nhiên.

(ii) Giả sử ϕoX có miền giá trị là {z1, z2, ... }; với mỗi zk, ñặt

Ak = {xi ∈ Im(X) / ϕ(xi) = zk)},


chúng ta có, P(ϕoX = zk) = ( )

∈∑

i k

ix A

f x .

Do ñó,

.P( ) ( )

( )

i k

i k

k k k ik k x A

k ik x A

z oX z z f x

z f x

∈

∈

ϕ = =

=

∑ ∑ ∑

∑ ∑

( ) . ( )i k

i ik x A

x f x

∈

= ϕ∑ ∑

Vì các Ak rời nhau và hợp các Ak bằng Im(X) nên

.P( ) ( ) ( )k k i ik i

z oX z x f xϕ = = ϕ∑ ∑ .

Vậy, ϕoX có kỳ vọng nếu và chỉ nếu chuỗi

1( ). ( )i i

i

x f x∞

=

ϕ∑

hội tụ tuyệt ñối. Khi ñó:

E(ϕoX) = 1

( ). ( )i ii

x f x∞

=

ϕ∑ .

(iii) Vì kX = ϕoX, với ϕ(x) = kx (x � �), và

. ( ) . ( )=∑ ∑i i i ii i

k x f x kx f x

nên E(kX) = kE(X)

(iv) Ký hiệu fX.Y là h.m.ñ. ñồng thời của X và Y, chúng ta có:

E( ) E( ) ( ) ( )j j k kj k

X Y x f x y g y+ = +∑ ∑

. .( , ) ( , )j X Y j k k X Y j kj k k j

x f x y y f x y= +∑∑ ∑∑

.( ) ( , )j k X Y j kj k

x y f x y= +∑∑

= E(X + Y)

(v) Vì X và Y ñộc lập nên


,E( ) ( ). ( )j k j k

j k

XY x y f x g y= ∑

E(XY) = ( ). . ( )j j k kj k

x f x y g y∑ ∑ = E(X).E(Y).

Trường hợp BNN liên tục dược chứng mih tương tự.(Dành cho bạn ñọc). �

Hệ quả. Cho các BNN X1, X2, . . ., Xn (n > 2) có kỳ vọng trên M

(a) E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).

(b) Nếu X1, X2, . . ., Xn ñộc lập thì

E(X1X2... Xn) = E(X1)E(X2)... E(Xn).

7.3. Định nghĩa. Giả sử X là B NN có h.m.ñ. f. Người ta gọi Mode của X, ký hiệu Mod(X), là giá trị xo ∈ Im(X) sao cho:

( ) max ( )of x f x=�

7.4. Định nghĩa. Giả sử X là một BNN có h.m.ñ. f và có kỳ vọng µ . Nếu

tồn tại E(X − µ )2 thì người ta gọi nó Phương sai của X, ký hiệu Var(X) hay

D(X) hay 2Xσσσσ hay σ 2. Vậy,

D(X) = ( ) ( )2x f x dx

+∞

−∞

−∫ µµµµ nếu X là một BNN liên tục,

hoặc D(X) = ( ) ( )2

x

x f x−∑ µµµµ nếu X là một BNN rời rạc.

với ñiều kiện là tích phân hoặc chuỗi nêu trên hội tụ tuyệt ñối.

Khi có D(X), số thực ( )σ =X D X ñược gọi là Độ lệch chuẩn của X.

• Chú ý rằng:

2 2 2 2 2E(( ) ) E ( 2 ) E( ) 2 E( )X X X X X− µ = − µ + µ = − µ + µ

nên: D(X) = E(X2) −−−− µµµµ2.

Từ biểu thức của phương sai và tính chất của kỳ vọng, chúng ta có:

7.5. Định lý. Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên có phương sai; a và b là hai số thực. Khi ñó:

(i) Nếu P(X = a) = 1 thì D(X) = 0

(ii) D(aX + b) = a2D(X)

(iii) Nếu X và Y ñộc lập thì D(X + Y) = D(X) + D(Y).


Hệ quả. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng µ và ñộ lệch chuẩn σ > 0.

Biến ngẫu nhiên X* xác ñịnh bởi

*X

X−µ

=σ

có kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1, i.e. E(X*) = 0 và D(X*) = 1. X* ñược gọi là Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa của X.

7.6. Thí dụ.

7.6.1. Gieo 2 con xúc xắc vô tư và quan sát số nút xuất hiện ở mặt trên của hai con xúc xắc. Gọi X là BNN chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện, và Y là BNN chỉ số mặt 1 xuất hiện.

(a) Tìm luật phân phối xác suất, kỳ vọng, phương sai và ñộ lệch chuẩn của các BNN X và Y.

(b) Tìm luật phân phối xác suất của VTNN (X,Y). X và Y có ñộc lập không?

Giải.

Không gian mẫu gồm 36 ñiểm ñồng khả năng.

(a) Bảng phân phốijj xác suất của X:

x 1 2 3 4 5 6

P(X = x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Kỳ vọng của X: µX = E(X) = �xi P(X = xi)

3 5 7 9 1611 1136 36 36 36 36 36 36

1 2 3 4 5 6Xµ = × + × + × + × + × + × =

Phương sai của X: 2 2 2D( ) E( )X XX Xσ = = − µ

( )22 2 2 2 2 23 5 7 9 1611 11

36 36 36 36 36 36 36( ) (1 2 3 4 5 6 )D X = × + × + × + × + × + × −

( ) 1,97145D X =

Độ lệch chuẩn của X:

D( ) 1,40408σ = =X X

• Im(Y) = {0,1,2}.

Trong không gian mẫu, có 25 cặp không chứa mặt 1 nào; có 10 cặp chỉ chứa 1 mặt 1 và chỉ có 1 cặp chứa 2 mặt 1. Bảng phân phối xác suất của Y:

yk 0 1 2


P(X = yk) 25/36 10/36 1/36

Với cách tính như trên, kỳ vọng, phương sai và ñộ lệch chuẩn của Y lần lượt là:

µY = E(Y) = 13

2 2 2 518

D( ) E( )Y YY Yσ = = − µ =

D( ) 0,527046Y Yσ = = .

(b) Luật phân phối xác suất của VTNN (X,Y):

Miền giá trị của (X,Y) là Im(X) × Im(Y). Xác suất:

P(X = 1,Y = 0) = 0;

P(X = 1,Y = 1) = 0;

P(X = 1,Y = 2) = P({(1,1)}) = 1/36;

P(X = 2,Y = 0) = P({(2,2)}) = 1/36;

P(X = 2,Y = 1) = P({(1,2), (2,1)}) = 2/36;

P(X = 2,Y = 2) = 0; . . .

Các giá trị còn lại, bạn ñọc tự tính. Chúng ta có bảng phân phối xác suất của VTNN (X,Y):

xi

yk

1 2 3 4 5 6

0 0 1/36 3/6 5/36 7/36 9/36

1 0 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36

2 1/36 0 0 0 0 0

( 1, 0) 0= = =P X Y ; 25136 36

( 1). ( 0) .= = =P X P Y

Vì ( 1). ( 0) ( 1, 0)= = ≠ = =P X P Y P X Y

nên X và Y không ñộc lập.

7.6.2. Một người tham gia trò chơi sau: Từ một hộp chứa 3 bi ñỏ và 7 bi trắng cùng cỡ, rút ngẫu nhiên 1 bi. Nếu ñược bi màu ñỏ thì ñược 5.000ñ, ñược bi màu trắng thì mất 2.300ñ. Hỏi có nên tham gia trò chơi này nhiều lần không?

Giải. Nếu X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền có ñược sau mỗi lần tham gia trò chơi thì X có miền giá trị {− 2300; 5000} và phân phối xác suất của X là:

P (X = − 2300) = 7/10 và P (X = 5000) = 3/10.

Kỳ vọng của X:


E(X) = − 2300 × 7/10 + 5000 × 3/10 = − 110.

Vậy, nếu tham gia chơi nhiều lần, trung bình, mỗi lần chơi, người tham gia trò chơi mất 110ñ. Do ñó, không nên tham gia trò chơi này nhiều lần.

7.6.3. Một xạ thủ có 4 viên ñạn. Anh ta lần lượt bắn từng viên vào bia và sẽ ngừng bắn khi có một viên trúng bia; nếu không, anh ta sẽ bắn cho ñến khi hết ñạn. Biết rằng xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,8. Đặt X biểu thị số ñạn mà xạ thủ ñã bắn. Hãy tìm luật phân phối xác suất của X rồi tính kỳ vọng và phương sai của X.

Giải.

Miền giá trị của X là {1, 2, 3, 4 }

Đặt Ai : “viên thứ i trúng bia” (i = 1, 2, 3),

chúng ta có:

P(X = 1) = P(A1) = 0,8

P(X = 2) = 1 2 1 2( ) ( ). ( )P A A P A P A=

= 0,2 × 0,8 = 0,16

P(X = 3) = 1 2 3 1 2 3( ) ( ). ( ). ( )P A A A P A P A P A=

= 0,2 × 0,2 × 0,8 = 0,032

P(X = 4) = 1 2 3 1 2 3( ) ( ). ( ). ( )P A A A P A P A P A=

= 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008

Bảng phân phối xác suất của X:

xi 1 2 3 4

P(X = xi) 0,8 0,16 0,032 0,008

Kỳ vọng của X:

µ = E(X) = 1 × 0,8 + 2 × 0,16 + 3 × 0,032 + 4 × 0,008 = 1,248

Phương sai của X:

D(X) = 12 × 0,8 + 22 × 0,16 + 32 × 0,032 + 42 × 0,008 − (1,248)2 = 0,2985.

8. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV −−−− LUẬT SỐ LỚN

8.1. Định lý. ( Bất ñẳng thức Chebyshev). Cho biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng µ và ñộ lệch chuẩn σ. Khi ñó, với mọi số thực ε > 0 cho trước,

P( |||| X −−−− µµµµ |||| ≥≥≥≥ εεεε ) ≤≤≤≤ 22

σσσσ

εεεε

Chứng minh.


Giả sử X rời rạc, lấy các giá trị x1, x2,... và có h.m.ñ. f.

σ2 = E(X − µ)2 = Σ(xk − µ)2 f (xk)

là một chuỗi gồm các số hạng không âm. Nếu xoá ñi những số hạng thoả ñiều kiện | xk − µ | < ε thì:

σ2 ≥ Σ*(xk − µ)2 f (xk)

trong ñó ký hiệu Σ* dùng ñể chỉ tổng gồm toàn các số hạng thoả |xk − µ | ≥ ε.

Rõ ràng:

Σ*(xk − µ)2 f (xk) ≥ ε2 Σ* f (xk) = ε 2 P( | X − µ | ≥ ε ).

Trường hợp X liên tục ñược xem như bài tập. �

8.2. Định lý Chebyshev (Luật số lớn). Giả sử (Xn) là một dãy các BNN

ñộc lập và có phương sai bị chặn trên bởi cùng một số C. Đặt: 1

1

n

ini

X X

=

= ∑ . Khi

ñó, với mọi số thực ε > 0 cho trước, chúng ta có:

1

1lim P ( ) 1

n

inn i

X E X→∞ =

− < ε =

∑

Chứng minh.

Theo giả thiết, D (X k) ≤ C với mọi k ∈ �*.

Theo các tính chất của kỳ vọng và phương sai,

1

1

E( ) E( )n

n knk

X X

=

= ∑ và 21

1

D( ) D( )n

n kn k

X X

=

= ∑

Với mọi ε > 0 cho trước, theo bất ñẳng thức Chebyshev, chúng ta có:

( ) 2 2( )

0 ( ) nD X Cn n

nP X E X

ε ε≤ − ≥ ε ≤ ≤

Do ñó,

( )( ) 0n nn

P X E X∞

− ≥ ε →

hay

( ( ) ) 1n nn

P X E X∞

− < ε →

Vậy,


1

1lim P ( ) 1

n

inn i

X E X→∞ =

− < ε =

∑ . ■

8.3. Hệ quả. Giả sử (Xn) là một dãy các BNN ñộc lập có cùng phân phối,

với kỳ vọng µ và ñộ lệch chuẩn σ. Khi ñó, với mọi ε > 0 cho trước, chúng ta có:

( )lim P 1n

X→∞

− µ < ε =

• Định lý CHEBYSHEV cho chúng ta một qui tắc thực hành trong phạm vi số lớn:

Giả sử ñể ño một ñại lượng có số ño x chưa biết, người ta ño n lần ñộc lập nhau. Kết quả mỗi lần ño là một biến ngẫu nhiên mà giá trị của chúng có thể sai khác với x một cách ñáng kể, nhưng theo luật số lớn thì trung bình các kết quả ño sẽ sai lệch với kỳ vọng của nó (là x) không ñáng kể và ñiều ñó hầu như chắc chắn nếu số phép ño ñủ lớn.

Chúng ta xét một trường hợp ñặc biệt quan trọng của ñịnh lý Chebyshev: Giả sử trong một phép thử, người ta quan tâm ñến xác suất xuất hiện p của một biến cố T, gọi là “thành công”. Làm thế nào ñể tìm ñược p?.

Như ñã trình bày trong Chương 1, dựa vào thực nghiệm, người xưa ñã nêu lên sự ổn ñịnh của tần suất của T trong một dãy n phép thử ñộc lập khi n khá lớn. Do ñó, khi n khá lớn, tần suất của T rất gần với p. Bây giờ chúng ta nêu lên ñịnh lý chứng minh ñiều trên. Định lý này ñặt sơ sở khoa học cho lý thuyết xác suất.

8.4. Định lý Bernoulli. Trong quá trình B(n; p), nếu gọi X là BNN chỉ số

thành công và ñặt Xn

P = , gọi là tần suất thành công, thì với mọi ε > 0 cho trước,

( )lim 1n

P P p→∞

− < ε =

Chứng minh.

Đặt Xi là BNN chỉ số lần thành công ở phép thử thứ i (i = 1, 2, .., n) thì

(Xi) 1 ≤ i ≤ n là một dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập có phân phối xác suất:

P(Xi = 0) = 1 − p, P(Xi = 1) = p

và E(Xi) = p, với mọi i = 1, 2, ..., n.

Vì 1

1 n

ii

P Xn =

= ∑ nên áp dụng Định lý 2.8.2, chúng ta có ñiều phải chứng

minh.■

9. COVARIAN −−−− HỆ SỐ TƯƠNG QUAN


Cho X và Y là hai BNN trên cùng một không gian mẫu, có kỳ vọng lần lượt

là µX và µY. Nếu X và Y không ñộc lập, người ta muốn có một ñại lượng ño mối liên hệ giữa chúng. Một mối liên hệ ñơn giản là liên hệ tuyến tính. Để ñánh giá ñiều này, người ta ñể ý ñến BNN (X − µX)(Y − µY) và kỳ vọng của nó (nếu tồn

tại).

9.1. Định nghĩa. Người ta gọi Covarian của hai BNN X và Y, ký hiệu Cov(X, Y), là số thực ñược xác ñịnh bởi

Cov(X,Y) = E[(X − µX)(Y − µY)]

Dĩ nhiên, ñịnh nghĩa trên chỉ có nghĩa trong ñiều kiện Cov(X,Y) tồn tại.

Dùng tính chất của kỳ vọng, chúng ta có:

Cov(X,Y) = E(XY) − µX.µY

Như vậy, nếu X và Y ñộc lập thì Cov(X,Y) = 0.

9.2. Định lý. Nếu X và Y là 2 BNN có phương sai thì

D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y).

Chứng minh.

Đặt Z = X + Y, chúng ta có µZ = µX + µY,

(Z − µZ)2 = (X − µX + Y − µY)2

= (X − µX)2 + (Y − µY)2 + 2(X − µX)(Y − µY).

Lấy kỳ vọng hai vế, ñịnh lý ñược chứng minh.■

9.3. Hệ quả. Cho X và Y là 2 BNN có phương sai; a và b là 2 số thực, chúng ta có

(i) Cov( , ) = Cov( , )aX bY ab X Y

(ii) 2 2D( + ) = D( ) D( ) 2 Cov( , )aX bY a X b Y ab X Y+ +

(iii) Nếu X và Y ñộc lập thì D(X + Y) = D(X) + D(Y).

9.4. Định nghĩa. Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng, theo thứ tự, là µX và µY; có ñộ lệch chuẩn, theo thứ tự, là σX và σY. Người ta gọi Hệ

số tương quan của X và Y, ký hiệu ρ(X,Y), là số thực ñược xác ñịnh bởi

( , )( , ) =

X Y

Cov X YX Yρρρρ

σ σσ σσ σσ σ.

Nếu X và Y ñộc lập thì E(XY) = µX.µY ; từ ñó, Cov(X,Y) = 0 và ρ(X,Y) = 0. Điều ngược lại không ñúng.

Thí dụ: Cho biến ngẫu nhiên X có h.m.ñ. f:


12

[-1,1]( )

0 [-1,1]

xf x

x

∈=

∉

víi

víi

Đặt 2Y X= , thì rõ ràng X và Y không ñộc lập.

Vì 1

12

1

( ) . 0E X x dx

−

= =∫

và 1

3 312

1

( ) ( ) 0E XY E X x dx

−

= = =∫

nên ρ(X,Y) = 0.

9.5. Định lý. Nếu hai BNN X và Y có hệ số tương quan là ρ(X,Y) thì |ρ(X,Y)| ≤ 1; hơn nữa, |ρ(X,Y)| = 1 nếu và chỉ nếu có hai hằng số thực a và b sao cho Y = aX + b, có thể trừ một số giá trị của X, tại ñó, xác suất bằng 0.

Chứng minh.

Đặt *−µ

=σ

X

X

XX và *

−µ=

σY

Y

YY ,

chúng ta có

D(X* − Y*) = D(X*) + D(Y*) − 2Cov(X*, Y*) = 2(1 − ρ(X,Y)).

Vì vế trái không âm nên ρ(X,Y) ≤ 1.

Tương tự, dùng D(X* + Y*), chúng ta chứng minh ñược ρ(X,Y) ≥ −1.

Nếu ρ(X,Y) = 1 thì D(X* − Y*) = 0; như vậy, với xác suất bằng 1, X* − Y* = b (b là hàm số hằng).

Do ñó,

Y = aX + b, với a = Y

X

σ

σ.

Chứng minh tương tự cho trường hợp ρ(X,Y) = − 1.

Điều ngược lại hiển nhiên ñúng.■

BÀI TẬP

2.1. Có ba hộp A, B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 7 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc.


(a) Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt có trong 3 lọ lấy ra.

(b) Tính xác suất ñể ñược ít nhất 2 lọ tốt; ñược 3 lọ cùng loại.

2.2. Trong một ñội tuyển, 3 vận ñộng viên A, B và C thi ñấu với xác suất thắng trận của mỗi người lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong một ñợt thi ñấu, mỗi vận ñộng viên thi ñấu một trận ñộc lập nhau.

(a) Tìm luật phân phối xác suất cho số trận thắng của ñội tuyển. Tính xác suất ñể ñội tuyển thắng ít nhất 1 trận.

(b) Tính xác suất ñể ñội tuyển thua nhiều nhất 1 trận.

(c) Sau ñợt thi ñấu, ñội tuyển có 2 trận thắng; tính xác suất ñể A thua trận.

(d) Tính số trận thắng trung bình và phương sai của số trận thắng của ñội tuyển.

2.3. Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số viên kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:

Số viên kẹo 18 19 20 21 22

Xác suất 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09

(a) Tính xác suất ñể một bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên sẽ chứa từ 19 ñến 21 viên kẹo.

(b) Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao.

(c) Chi phí sản xuất một bao kẹo là 3X + 16, trong ñó X là biến ngẫu nhiên chỉ số viên kẹo trong bao. Tiền bán một bao kẹo là 100$, không phân biệt số kẹo trong bao. Tìm lợi nhuận trung bình và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi bao kẹo.

(d) Hai bao kẹo ñược chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất ñể ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo.

2.4. Một hộp ñựng 5 sản phẩm, trong ñó có 2 phế phẩm. Người ta lần lượt kiểm tra từng sản phẩm (không hoàn lại) cho ñến khi gặp 2 phế phẩm thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm ñược kiểm tra. Tính số lần kiểm tra trung bình.

2.5. Một người ñiều khiển 3 máy tự ñộng hoạt ñộng ñộc lập với nhau. Xác suất bị hỏng trong một ca sản xuất của máy 1, 2 và 3 lần lượt là 0,1, 0,2 và 0,3.

(a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất. Trung bình, trong một ca, có bao nhiêu máy hoạt ñộng tốt? Tính ñộ lệch chuẩn của số máy hoạt ñộng tốt trong một ca sản xuất.

(b) Tính xác suất ñể trong ca có nhiều nhất một máy bị hỏng.

(c) Sau ca sản xuất, người ñiều khiển báo rằng suốt ca chỉ có một máy hoạt ñộng tốt . Tính xác suất ñể máy hoạt ñộng tốt ñó là máy 1.

(d) Tính xác suất ñể trong 3 ca sản xuất liên tiếp, có ít nhất một ca không có máy bị hỏng.


2.6. Một công ty có 3 tổng ñại lý. Gọi X,Y và Z, theo thứ tự, là khối lượng

hàng bán ñược trong một ngày của 3 tổng ñại lý trên (tính bằng tấn). Biết phân phối xác suất của các BNN X,Y và Z như sau:

xi 5 6 7 8

P(X = xi ) 0,1 0,3 0,4 0,2

yj 4 5 6 7 8

P(Y = yj ) 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15

zk 7 8 9 10

P(Z = zk ) 0,2 0,3 0,4 0,1

Tính khối lượng hàng bán ñược trung bình trong một tháng (30 ngày) của công ty trên.

2.7. Tiến hành khảo sát số khách trên một chuyến xe buýt (SK/1C) tại một tuyến giao thông, người ta thu ñược số liệu sau:

SK/1C 25 30 35 40 45

Xác suất 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1

(a) Tính kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của SK/1C.

(b) Giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 200 ngàn ñồng, không phụ thuộc vào số khách ñi trên xe, thì công ty phải qui ñịnh giá vé là bao nhiêu ñể có thể thu ñược số tiền lời trung bình cho mỗi chuyến xe là 100 ngàn ñồng?

2.8. Một người tham gia trò chơi gieo 3 ñồng tiền vô tư. Anh ta ñược 500ñ nếu xuất hiện 3 mặt sấp, 300ñ nếu xuất hiện 2 mặt sấp, và 100ñ nếu chỉ có một mặt sấp xuất hiện. Mặt khác, anh ta mất 900ñ nếu xuất hiện 3 mặt ngửa. Trò chơi này có công bằng ñối với người chơi không? (Trò chơi ñược gọi là công bằng ñối với người chơi nếu khi tham gia chơi nhiều lần thì, trung bình, anh ta hòa vốn).

2.9. Một người tham gia trò chơi sau: Gieo một con xúc xắc vô tư 3 lần ñộc lập nhau. Nếu xuất hiện “mặt 1” cả 3 lần thì ñược thưởng 6 ngàn ñồng; nếu xuất hiện “mặt 1” 2 lần thì ñược thưởng 4 ngàn ñồng; xuất hiện “mặt 1” 1 lần thì ñược thưởng 2 ngàn ñồng; khi không có “mặt 1” nào xuất hiện thì không ñược thưởng. Mỗi lần tham gia trò chơi, người chơi phải ñóng M ngàn ñồng. Hãy ñịnh M ñể trò chơi công bằng.

2.10. Theo thống kê dân số, xác suất ñể một người ở ñộ tuổi 40 sẽ sống thêm 1 năm nữa là 0,995. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở ñộ tuổi ñó với giá 10 ngàn, và trong trường hợp người mua


bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là 1 triệu. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm là bao nhiêu?

2.11. Hai vận ñộng viên bóng rổ A và B lần lượt ném bóng vào rổ cho ñến khi có người ném trúng, với xác suất ném trúng của từng người, theo thứ tự, là 0,3 và 0,4. A ném trước.

(a) Tìm luật phân phối xác suất cho số lần ném rổ của mỗi người.

(b) Tìm luật phân phối xác suất cho tổng số lần ném rổ của cả hai người.

2.12. Số lượng xe ô tô mà một ñại lý bán ñược trong một tuần là một BNN có phân phối xác suất như sau:

Số xe bán ñược 0 1 2 3 4 5

Xác suất tương ứng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1

(a) Tính xác suất ñể ñại lý ñó bán ñược nhiều nhất 3 xe trong một tuần. Tính kỳ vọng và phương sai của số xe mà ñại lý bán ñược trong một tuần.

(b) Giả sử chi phí cho hoạt ñộng của ñại lý bằng căn bậc hai của số xe bán ñược cộng với 5 (triệu ñồng). Tìm chi phí trung bình cho hoạt ñộng của ñại lý trong một tuần.

2.13. Một cửa hàng bán sữa tươi mua vào mỗi chai với giá 20$ và bán ra với giá 50$ mỗi chai. Cuối ngày, chai nào không bán ñược thì phải bỏ. Người ấy muốn tính xem nên ñặt mua mỗi ngày bao nhiêu chai, nên ñã theo dõi 100 ngày và ghi lại như sau:

Số bán ra (chai) 10 11 12 13

Số ngày bán 15 20 40 25

Đối với chủ cửa hàng, có hai loại thiệt hại: Thiệt hại do dư thừa, gây ra do số bán ra ít hơn số mua vào, và thiệt hại cơ hội, do số mua vào ít hơn số cầu.

Chủ cửa hàng nên mua vào bao nhiêu chai sữa mỗi ngày ñể ít thiệt hại nhất?

2.14. Một công ty dự ñịnh mua một số xe hơi ñể cho thuê. Giá mua mỗi xe là 5000 USD; mỗi xe cho thuê 24 USD/ngày. Công ty dự ñịnh cho thuê 6 ngày/tuần (312 ngày/năm), và chi phí cho mỗi xe là 1,5 USD/ngày. Cuối năm, công ty sẽ bán lại xe với giá 50% giá mua ban ñầu. Ước tính nhu cầu về số xe thuê mỗi ngày như sau:

Số xe theo nhu cầu 11 12 13 14 15

Xác suất 0,20 0,25 0,30 0,13 0,12

Tìm số xe tối ưu mà công ty cần mua.

2.15. Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong ñó có 4 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm loại II và 3 sản phẩm loại III. Lấy ngẫu nhiên từ kiện ra 2 sản phẩm. Gọi X


và Y, theo thứ tự, là BNN chỉ số sản phẩm loại I và số sản phẩm loại II có trong 2 sản phẩm lấy ra.

(a) Lập bảng phân phối xác suất ñồng thời của X và Y. Lập bảng phân phối xác suất lề của X và của Y

(b) Lập bảng phân phối xác suất ñiều kiện của Y, với ñiều kiện X lấy giá trị 1.

(c) X và Y có ñộc lập không? Tại sao?

2.16. Một người có 1000 USD ñể ñầu tư và xem xét hai cơ hội ñầu tư. Mỗi cơ hội ñòi hỏi ñầu tư tối thiểu 500 USD. Lợi nhuận trên 100 USD ñầu tư của cơ hội 1 và 2 lần lượt là hai biến ngẫu nhiên X và Y ñộc lập và có phân phối xác suất như sau:

P(X = −5) = 0,4; P(X = 20) = 0,6

P(Y = 0) = 0,6; P(Y =25) = 0,4

Người ấy có các phương án sau ñây ñể lựa chọn:

(a) Đầu tư 1000 USD vào cơ hội 1;

(b) Đầu tư 1000 USD vào cơ hội 2;

(c) Đầu tư 500 USD vào mỗi cơ hội.

Hãy tìm lợi nhuận trung bình và phương sai của lợi nhuận cho từng phương án ñầu tư. Người ấy nên chọn phương án nào?

2.17. Thống kê dân số của một nước theo hai chỉ tiêu: Học vấn và Giới tính.

Học vấn ñược thể hiện ở 4 trình ñộ: Thất học, tiểu học, trung học và ñại học; ñược biểu diễn bởi BNN X lấy các giá trị tương ứng là 0, 1, 2 và 3. Giới tính gồm nam và nữ; ñược biểu diễn bởi BNN Y lấy các giá trị tương ứng là 0 và 1.

Kết quả ñược thể hiên ở bảng phân phối xác suất ñồng thời sau ñây:

Y

X

0 1

0 0,04 0,05

1 0,10 0,12

2 0,23 0,29

3 0,10 0,07

(a) Tính xác suất ñể khi chọn ngẫu nhiên một người thì người ñó không thất học

(b) Tìm trình ñộ học vấn trung bình.

(c) Học vấn có ñộc lập với giới tính không? Tại sao?


(d) Lập bảng phân phối xác suất cho học vấn của nam, cho học vấn của nữ.

So sánh trình ñộ học vấn trung bình của nam và của nữ.

(e) Giả sử tiền lương T của mỗi người phụ thuộc vào học vấn và giới tính như sau: T = 10 + 2X + 4Y. Tính tiền lương trung bình của mỗi người theo hai cách khác nhau. (Dùng phân phối của T và dùng tính chất của kỳ vọng)

2.18. Một người ñang cân nhắc giữa việc ñầu tư vào cổ phiếu A hay trái phiếu B. Lãi suất hằng năm (tính theo %) của cổ phiếu và trái phiếu, theo thứ tự, là BNN X và Y có bảng phân phối xác suất ñồng thời sau:

yk

xi

− 2 0 5 10

0 0 0,05 0,05 0,1

4 0,05 0,1 0,25 0,15

6 0,1 0,05 0,1 0

(a) Nếu ñầu tư toàn bộ tiền vào cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng và mức ñộ rủi ro là bao nhiêu?

(b) Câu hỏi tương tự, nếu ñầu tư toàn bộ tiền vào trái phiếu B.

(c) Nếu ñầu tư vào cả trái phiếu và cổ phiếu thì nên dầu tư theo tỉ lệ nào ñể:

(i) Lãi suất kỳ vọng thu ñược là lớn nhất?

(ii) Độ rủi ro về lãi suất là thấp nhất?

2.19. Gieo một con xúc xắc cho ñến khi xuất hiện mặt 3 (thành công) thì ngừng. Biết rằng xác suất ñể xuất hiện mặt 3 là p (0 < p < 1).

(a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần gieo con xúc xắc. Tìm phân phối xác suất của X. Tính E(X) và D(X).

(b) Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ số lần gieo không thành công (không xuất hiện mặt 3). Tìm phân phối xác suất của Y và tính E(Y).

2.20. Lãi suất thu ñược trong một năm (tính theo %) khi ñầu tư vào công ty A và công ty B tương ứng là các biến ngẫu nhiên X và Y ñộc lập nhau. Cho biết qui luật phân phối xác suất của X và Y như sau:

xi 4 6 8 10 12

P(X = xi ) 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

yj - 4 2 8 10 12 16


P(Y = yj ) 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1

(a) Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?

(b) Đầu tư vào công ty nào có mức ñộ rủi ro ít hơn?

(c) Nếu muốn ñầu tư vào cả hai công ty thì nên ñầu tư theo tỉ lệ nào ñể cho:

(i) thu ñược lãi suất kỳ vọng cao nhất?

(ii) mức ñộ rủi ro về lãi suất thấp nhất?

2.21. Xác suất cho mỗi phát súng bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là p (0 < p < 1). Xạ thủ ñó bắn liên tiếp trong ñiều kiện không ñổi cho ñến khi có k viên ñạn (k ≥ 1) trúng mục tiêu thì ngừng bắn. Tìm kỳ vọng của số lần bắn cần thiết.

2.22. Một ñồng tiền vô tư ñược gieo 3 lần. Đặt X biểu thị số 0 hoặc 1 tùy theo mặt sấp hay mặt ngửa, theo thứ tự, xuất hiện ở lần gieo thứ nhất, và Y biểu thị số mặt sấp xuất hiện. Tìm

(a) phân phối xác suất của X và của Y.

(b) phân phối xác suất ñồng thời p của X và Y.

(c) Cov(X, Y) và ρ(X,Y).

2.23. Giả sử X1, X2, …, Xn là các BNN ñộc lập có chung kỳ vọng µ và

phương sai σ2. Đặt ... nX X X

nX

+ + += 1 2 . Chứng minh rằng:

( ) ( )n

k

k

E X X n

=

− = − σ ∑ 2 2

1

1

2.24. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật ñộ f ñịnh bởi:

2( ) . x

f x a e−= với mọi x ∈ �.

Hãy xác ñịnh hằng số a và tính xác suất ñể BNN X lấy giá trị trong khoảng (− ∞, 0).

2.25. Cho hàm số F xác ñịnh trên � bởi:

20 0

( ) 0 11 1

x

F x mx x

x

≤

= < ≤ <

víi

víi

víi

trong ñó m là một hằng số cho trước.

(a) Hãy xác ñịnh m ñể F là h.p.p. của một BNN liên tục X nào ñó

(b) Tìm h.m.ñ. của X và tính P(0,25< X ≤ 0,5).

2.26. Cho BNN liên tục X có hàm mật ñộ f ñịnh bởi:


( ). x

xf x

k x e x−

<=

≥2 2

0 nÕu 0

nÕu 0

trong ñó k là một hằng số dương cho trước.

(a) Hãy xác ñịnh k.

(b) Tìm kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của X.

(c) Tìm h.p.p. của X.

2.27. Giả sử X và Y là hai BNN có h.m.ñ. ñồng thời f ñược xác ñịnh bởi:

512

(1 ), 0, 0

( , ) x yx y

f x y + + > >

=

víi

0 n¬i kh¸c

(a) Tìm các h.m.ñ. biên của X và Y.

(b) Tìm h.m.ñ. ñiều kiện của mỗi biến X và Y.

2.28. Cho hàm số f xác ñịnh với mọi số thực x bởi:

21

(1 )( )

xf x

π +=

Chứng minh rằng f là hm.ñ. của một BNN liên tục X và X không có kỳ vọng. (Phân phối Cauchy).

2.29. Giả sử tuổi thọ của một người dân ở một thành phố lớn ABC là một BNN có hàm mật ñộ f ñược xác ñịnh bởi:

2 2(100 ) , [0,100]( )

0, [0,100]

kx x xf x

x

− ∈=

∉

trong ñó, k là một hằng số thực.

(a) Hãy xác ñịnh k.

(b) Tính tuổi thọ trung bình của một người dân trong thành phố ABC.

(c) Nếu kiểm tra ngẫu nhiên danh sách của 100 người dân trong thành phố ABC, thì xác suất ñể tất cả những người ñó trên thực tế vẫn ñang sống và có ñộ tuổi từ 60 ñến 70 là bao nhiêu?

2.30. Trong một tuần, số trẻ em ñược sinh ra và số người chết ở một làng A lần lượt là BNN X và Y ñộc lập nhau và có phân phối xác suất như sau:

xi 0 1 2 3

P(X = xi ) 0,4 0,3 0,2 0,1

yj 0 1 2 3 4

P(Y = yj ) 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05


(a) Tìm phân phối xác suất ñồng thời của X và Y.

(b) Tính xác suất ñể trong một tuần, ở làng A, số trẻ em ñược sinh ra nhiều hơn số người chết.

2.31. Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong ñó có 3 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại).

(a) Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính số sản phẩm loại A trung bình có trong 4 sản phẩm lấy ra.

(b) Biết rằng giá bán một sản phẩm loại A là 200 (ngàn ñồng) và giá bán một sản phẩm không phải loại A là 120 (ngàn ñồng). Khi bán 4 sản phẩm trên, hy vọng số tiền thu ñược là bao nhiêu? Tính ñộ lệch chuẩn của số tiền thu ñược.

(c) Đem 4 sản phẩm nói trên bỏ vào một kiện hàng khác có chứa sẵn 6 sản phẩm, trong ñó có 1 sản phẩm loại A; sau ñó lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ñó ra 2 sản phẩm. Tính xác suất ñể ñược 2 sản phẩm loại A.

2.32. Một ô tô khách chạy trên ñoạn ñường từ O ñến B có khoảng cách L. Một ñiểm trên ñoạn ñường ñó cách O một khoảng x sẽ ñược nói gọn là ñiểm x. Xe sẽ dừng ở bất kỳ chỗ nào khách có yêu cầu. Biết rằng trên quãng ñường dó ñã có một khách lên xe và sau ñó một ñoạn ñường ñã xuống xe. Mật ñộ xác suất của

việc lên xe ở ñiểm x (0 ≤ x < L) tỉ lệ với giá trị 2.( )x L x− còn mật ñộ xác suất của

việc lên xe ở ñiểm y, với ñiều kiện khách ñã lên xe tại ñiểm x ( x < y ≤ L ) tỉ lệ với

giá trị ( ) , ( 0)hy x h− ≥ . Xem một ñiểm z bất kỳ trên ñoạn ñường. Tính xác suất

ñể:

(a) người khách lên xe trước ñiểm z

(b) người khách lên xe ở ñiểm x và xuống xe sau ñiểm z.

XS

TTKK

2008

bi ến ngẫu nhiên - staff.agu.edu.vn · pdf filesao cho v ới m ọi kho ảng k...

Documents